e-book

อนกุ รมเลขคณิตและอนกุ รมเรขาคณิต Geometric series จดั ทาโดย นายณัฐชนน ทับแว่ว เลขท่ี 1 ม.5/3 นายดนยด์ นษิ ฐ์ ขนุ สูงเนิน เลขที่ 2 ม.5/3 นายภมู พิ ฒั น์ ลาภเกนิ เลขท่ี 7 ม.5/3

คำนำ หนังสอื เล่มน้ีเป็นส่วนหน่ึงของวชิ าเพ่ิมอจั ฉริยะภาพทกั ษะทางคณติ ศาสตร์ ค32206 จดั ทาข้นึ เพ่ือ เป็นประโยชน์ให้นักเรียนระดับช้ันมัธยมศกึ ษาช้ันปี ท่ี 5 และผ้ทู ่ตี ้องการศึกษาเพ่มิ เตมิ ได้เรียนร้เู ก่ยี วกบั วิชา คณติ ศาสตร์ เร่ืองลาดับและอนุกรม โดยคณะผู้จดั ทาหวังว่าหนังสอื เล่มน้ีจะเป็นประโยชน์แก่นักเรียนทุก ระดับช้ัน โดยเฉพาะระดับมัธยมศกึ ษาช้ันปี ท่ี 5 อย่างท่สี ดุ หากผดิ พลาดประการใดขออภัยมา ณ ท่ีน้ี โดยคณะผู้จดั ทา 2

สำรบญั เน้ อื หา เลข ซมั เมชนั่ .............................................................................................................................4 สตู รซัมเมช่ัน...............................................................................................................4 สมบตั ิสาคัญซัมเมช่ัน....................................................................................................5 อนุกรมเลขคณติ ..................................................................................................................6 บทนิยาม....................................................................................................................6 สตู ร...........................................................................................................................6 ข้อสงั เกตุ....................................................................................................................7 การหาผลต่างร่วม.........................................................................................................8 ตัวอย่างโจทย์...............................................................................................................9 อนุกรมเรขาคณิต...............................................................................................................11 การหาสตู รผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ ..........................................................12 สรุปสาระสาคญั เรื่องลาดบั และอนุกรม..................................................................................13 แบบฝึ กหดั ทา้ ยบท...............................................................................................................16 บรรณานุกรม.......................................................................................................................17 3

ซมั เมชนั่ หรอื ซกิ มำ ∑ คือ เป็นเคร่ืองหมายท่ีใช้ในการหาผลรวมของอนุกรมหรือลาดับท่ีมีรปู ท่ัวไปเป็นพหุนามกาลงั ไม่เกนิ สาม 1+2+3+4+...+120 รปู ท่ัวไปของพจน์ท่ี n คือ an=n โดยท่ี n เร่ิมท่ี n=1 ไปจนถงึ n=120 และเขยี นแทน ด้วย ซ่ึงตัวแปรท่ใี ช้จะเป็นตัวแปรอะไรกไ็ ด้ ดังน้ันเราสามารถเขียนผลรวมด้านบนใหม่ได้อกี หลายๆ แบบ ตัวอย่างการเขยี นผลบวกในรูปซมั เมช่ัน สูตรซมั เมชนั่ ในสตู รซัมเมช่นั ตัวแปรจะเร่ิมท่ี 1 และจบท่ี n เสมอ ให้ k แทนค่าคงตัวใดๆ จะได้ 4

สมบตั ิสาคญั ของซมั เมชนั่ มี 3 ขอ้ คือ 1.แยกบวกได้ 2.แยกลบได้ 3.และดึงค่าคงตัวมาด้านหน้าได้ โดยเขียนในรูปสมการคณิตศาสตร์ได้ดังน้ี ถ้าให้ an และ bn เป็นลาดับ และ k เป็นค่าคงตัว จะได้ ตวั อย่างโจทยซ์ มั เมชนั่ 1.หารปู ท่ัวไปของพจน์ท่ี n ของ 3+9+15+21+....+303 วิธีทา หารูปท่วั ไปของพจน์ท่ี n ของ 3+9+15+21+....+303 กอ่ น โดยพบว่าอนุกรมน้ีเป็นอนุกรมเลขคณิต ท่มี ีผลต่างร่วม คือ d=6d=6 และมี a1=3a1=3 ดังน้ันจึงได้รูปท่วั ไปเป็น ก่อนนาไปเขียนซัมเมช่นั เราต้องทราบก่อนว่า 303 เป็นพจน์ท่เี ท่าใด จึงต้องแก้สมการ an=303 เพ่ือหา ค่า n (หาว่าเป็นพจนท์ ่เี ท่าใด) ดังน้ันพจน์สดุ ท้ายจงึ เป็นพจน์ท่ี 51 ทาให้สามารถเขียนซัมเมช่ันได้ 5

อนกุ รมเลขคณติ บทนยิ าม อนุกรมท่ไี ด้จากลาดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลต่างร่วมของลาดับเลขคณิต เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณติ ด้วย เม่ือ a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n – 1)d เป็นลาดับเลข คณติ จะได้ a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n – 1)d) เป็นอนุกรมเลขคณติ ซ่งึ มี a1 เป็น พจน์แรกของอนุกรม และ d เป็นผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณติ จึงสรุปไดว้ ่า อนุกรมเลขคณติ คือ อนุกรมท่ีเกดิ จากการนาลาดับเลขคณิตมาบวกกนั ให้ a1,a1+d,…,a1+(n−1) da1,a1+d,…,a1+(n−1)d เป็นลาดับเลขคณิต จะได้อนุกรมเลขคณิตดังน้ี สูตร ผลรวม n พจน์ของอนุกรมเลขคณติ คือ 1. 2. 6

ขอ้ สงั เกต  พจน์ท่ี n ของอนุกรมเลขคณิตยังคงเป็นสตู รเดียวกบั ลาดับเลขคณิต คือ an=a1(n−1)dan=a1 (n−1)d เพราะถอื ว่าเป็นตัวท่ี n ไม่ใช่ผลรวม n พจน์  ผลรวม n พจน์ หรือ ผลบวก n พจน์ มีช่ือเรียกอกี ช่ือหน่ึงว่าผลบวกย่อย เขียนแทนด้วย Sn  ใช้สตู ร เม่ือทราบ a1 และ d โดยไม่ต้องคานวณพจน์สดุ ท้าย (an)  ใช้สตู ร เม่ือทราบค่าของ a1 และพจน์สดุ ท้าย (an) ดงั น้นั Sn คือ ผลบวกท้งั หมดของลาดับอนุกรม d คือ ผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณติ an คือ ลาดับสดุ ท้ายของอนุกรม n คือ จานวนของลาดับอนุกรม 7

การหาผลต่างร่วมของอนุกรม (d) การหาผลต่างร่วมของอนุกรมทาได้โดยการนาพจน์ท่ี ตัวอย่าง 3+5+7+9+11+13 หา d วธิ ที า = a2-a1 = 5-3 =2 ดังน้ัน d = 2 สามารถตรวจสอบด้วยการใช้สตู ร (คิดเอง) หรือกค็ ือเราสามาถนาพจน์อ่นื ๆ มาลบกบั พจน์ท่นี ้อยกว่า ดังเช่นพจน์ท่ี 3 — พจน์ท่ี 2 หรือ พจน์ท่ี 5 — พจน์ท่ี 4 8

ตวั อยา่ งโจทยอ์ นุกรมเลขาคณิต 1. จงหาค่าของอนุกรมต่อไปน้ี 2+4+6+8+......+80 วธิ ที า อนุกรมน้ีเป็นอนุกรมเลขคณติ ใช้ไหมครับ รู้พจน์สดุ ท้ายใช้สตู รน้ีได้เลย แต่เรายังไม่ร้วู ่าอนุกรมน้ีมีก่พี จน์ กค็ ือยังไม่รู้ n ดังน้ันเราต้องหาเอน็ กอ่ นครับ เราหา n จากความร้เู ร่ือง ลาดับเลขคณิตครับจากพจน์ท่วั ไปของลาดับเลขคณิต คือ an=a1+(n−1)d เรากแ็ ทน n ด้วย 80 ครับจะได้ 80 = 2+(n-1)2 80 = 2+2n-2 80 = 2n 40 = n ดังน้ันอนุกรมน้มี ีท้งั หมด 40 พจน์น้นั เองข้อน้ีเรากห็ า S40 น่ันเองจาก = = S40 = 20(82) = S40 = 1,640 a5=3(5)−1a5=3(5)−1 a5=14a5=14 ต้งั ใจเรียนนะเดก็ ๆ 9

2. ลาดับชุดหน่ึงมี an=3n−1an=3n−1 จงหาค่าของ a6+a7+a8+...+a20a6+a7+a8+...+a20 วิธที า เรามาดตู รงน้ีกอ่ น S20 คือผลบวก 20 พจน์แรก ซ่งึ กค็ ือ S20=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7...+a20 และ S5 คือผลบวก 5 พจน์แรก ซ่งึ กค็ ือ S5=a1+a2+a3+a4+a5 ซ่งึ เราจะเหน็ ว่า ต้องเหน็ เหมือนผมนะ S20−S5=a6+a7+a8+...+a20 ดังน้ันข้อน้ีกค็ ือหาค่าของ S20−S5S20−S5 น่ันเองครับ หาทีละตัวกอ่ นนะแล้วค่อยเอามาลบกนั ครับ S20 ก่อน ต้องหา a20,a1 ให้ได้กอ่ น จาก an=3n−1 a20=3(20)−1 a20=59 a1=3(1)−1 a1=2 S20=202(2+59) S20=10(61) S20=610 ต่อไปหา S5 ครับ จาก an=3n−1 S5=52(2+14) S5=52×16 S5=5×8 S5=40 หาได้ท้งั สองอนั แล้วกเ็ อามาลบกนั กจ็ ะได้คาตอบครับ S20−S5=610−40=570 10

อนกุ รมเรขำคณิต อนุกรมท่ไี ด้จากลาดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณติ และเรียกอตั ราส่วนร่วมของลาดับ เรขาคณิต (r) ว่าเป็นอตั ราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณติ เช่น การหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ ท่ีเป็นอนุกรมจากดั สามารถหาได้จากการหาผลบวกตามปกติ หรือหาผลบวกโดยใช้สตู ร ดังต่อไปน้ี 11

การหาสูตรผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต จากสมการ 3 และ 4 จึงสรปุ ได้ว่า ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ คือ 12

ตัวอย่างท่ี อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหน่ึง มี พจน์แรกเทา่ กบั 3 และ พจน์ท่ี n เท่ากบั 96 และ ผล บวก n พจน์แรก เท่ากบั 189 จงหาผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรมน้ี แนวคิด โจทย์กาหนด พจน์แรกเท่ากบั 3, พจน์ท่ี n เท่ากบั 96 และผลบวก n พจน์แรก เท่ากบั 189 ถามผลบวกของ 10 พจน์แรกของอนุกรมน้ี 13

14

15

แบบฝกึ หัดทำ้ ยบท 1.จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต เมอื่ กาหนดให้ 1.1 n = 4 , a1 = 3 , r = 2 1.2 n = 7 , a1 = 5 , r = 4 1.3 n = 9 , a1 = - 3 , r = 5 1.4 n = 11 , a1 = - 7 , r = 3 1.5 n = 14 , a1 = - 5 , r = - 2 2. จงหาผลบวก 9 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 2+6+18+54+... 3. จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 9+12+16+ +.... 4.จงหาผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องอนุกรมเรขาคณิตทกี่ าหนดใหต้ ่อไปน้ ี 4.1 9+27+81+....+729 4.2 2+8+32+...+8192 4.3 4+2+1+....+ 4.4 16+8+4+... 4.5 1+(-2)+4+...+256 4.6 (-1)+3+(-9)+(-729) 6.พลต้ังใจจะออมเงนิ โดยวนั แรกเขาเกบ็ ไว้ 1 บาท วนั ท่ีสอง 2 บาทวนั ท่ีสาม 4 บาท วนั ท่ี ส่ี 8 บาท เช่นน้เี ร่ือยไปจนครบ 15 วัน พลจะมีเงนิ ออมท้งั หมดเทา่ ใด ขอใหท้ ำไดน้ ะ 16

บรรณำนุกรม Opendurian.//(2561).//ลาดับและอนุกรม.//สบื ค้นเม่ือวนั ท่ี 8 กมุ ภาพันธ์ 2563,/จาก https:// www.opendurian.com/learn/geometric_progression/ GoGoone.//(2555).//ลาดับและอนุกรม.//สบื ค้นเม่ือวนั ท่ี 8 กมุ ภาพันธ์ 2563,/จาก https:// www.goonone.com/sequences-and-series/881-%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%B8%E0% B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2% E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95-%E0%B8%A1-5-%E0%B9%81%E0% B8%9A%E0%B8%9A%E0%B8%9D%E0%B8%B6%E0%B8%81%E0%B8%AB%E0%B8%B1% E0%B8%94-1-2-2.html โรงเรียนเฉลิมพระเกยี รติสมเดจ็ พระศรีนครินทร์ ศรีสะเกษ ในพระราชูปถมั ป์ สมเดจ็ พระเทพรัตนราชสดุ าฯ สยามบรมราชกุมารี สานักงานเขตพ้ืนท่ีการศกึ ษา เขต 28.//แบบฝึ กหัดคณติ ศาสตร์ เร่ืองลาดับและ อนุกรม//สบื ค้นเม่ือวนั ท่ี 8 กมุ ภาพันธ์ 2563,/จาก http://www.mskyt28.info/2016/reserch/wp- content/uploads/2018/02/%E0%B9%80%E0%B8%9C%E0%B8%A2%E0%B9%81%E0%B8% 9E%E0%B8%A3%E0%B9%88-%E0%B8%8A%E0%B8%B8%E0%B8%94%E0%B8%97%E0% B8%B5%E0%B9%88-6.pdf Site.google.//ลาดับและอนุกรม.//สบื ค้นเม่ือวนั ท่ี 8 กมุ ภาพันธ์ 2563,/จากhttps://sites.google.com/ site/sheetmath/home/xnukrm-rekhakhnit 17