่ข้อสอบโอเน็ต สถิติ

สถิติ 49คา่ เฉลยี่ - มธั ยฐาน - ฐานนิยมหวั ข้อนี ้จะพดู ถงึ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งคา่ กลางทงั้ 3 ตวัจากการสงั เกตจากข้อมลู ทม่ี ีอยจู่ ริงๆ เราพบวา่ คา่ เฉลย่ี มธั ยฐาน และ ฐานนิยม จะมคี วามสมั พนั ธ์กนั อยนู่ ิดๆความสมั พนั ธ์ดงั กลา่ ว คอื ������̅ − Mode = 3(������̅ − Med)กอ่ นอ่นื ต้องเข้าใจก่อนวา่ สตู รนี ้ได้จากการสงั เกตจากข้อมลู จริงอาจจะไมไ่ ด้ผลถกู ต้อง 100% แตก่ ็สามารถใช้ประมาณของคา่ กลาง เม่อื รู้คา่ กลางอกี 2 ชนิดได้ตวั อยา่ ง ข้อมลู ชดุ หนงึ่ มี ������̅ = 20 และ Med = 18 จงหาคา่ ประมาณของฐานนยิ มวิธีทา ������̅ − Mode = 3(������̅ − Med)20 − Mode = 3(20 − 18)20 − Mode = 6 Mode = 14 #นอกจากนี ้ ลาดบั มากน้อยของคา่ กลางทงั้ 3 ตวั ยงั สามารถบอก ลกั ษณะ “การเบ้” ได้ด้วยตอนทเ่ี รียนเร่ืองโค้งความถี่ เราแบง่ ประเภทโค้งความถ่ีได้ 3 แบบ ตามลกั ษณะการเบ้ ดงั นี ้ เบ้ซ้าย เบ้ขวา สมมาตรซง่ึ ในการเบ้แตล่ ะแบบ คา่ กลางทงั้ 3 ตวั จะเรียงลาดบั มากน้อยไมเ่ หมือนกนั ดงั นี ้������̅ Med Mode Mode Med ������̅ ������̅ Med Modeสงิ่ ทต่ี ้องจา คอื ในโค้งเบ้ซ้าย ������̅ < Med < Mode ในโค้งเบ้ขวา Mode < Med < ������̅ ในโค้งสมมาตร ������̅ = Med = Modeหมายเหตุ : ข้อมลู ทส่ี ารวจจากธรรมฃาติจานวนมากๆ จะมีลกั ษณะการแจกแจงเฉพาะตวั ท่ีเรียกวา่ “การแจกแจงปกติ” ซง่ึ ข้อมลู จากธรรมชาตนิ ี ้จะมลี กั ษณะเป็นโค้งสมมาตรเสมอ

50 สถิติตวั อยา่ ง ข้อมลู ชดุ หนงึ่ มมี ธั ยฐานเทา่ กบั 24 และฐานนิยมเทา่ กบั 18 จงหาคา่ ประมาณของ คา่ เฉลยี่ พร้อมทงั้ ระบวุ า่ ข้อมลู ชดุ นี ้มลี กั ษณะการเบ้แบบใดวิธีทา ������̅ − Mode = 3(������̅ − Med) ������̅ − 18 = 3(������̅ − 24) ������̅ − 18 = 3������̅ − 72 54 = 2������̅ ������̅ = 27 เนือ่ งจาก 18 < 24 < 27 ดงั นนั ้ Mode < Med < ������̅ # ดงั นนั้ ข้อมลู ชดุ นมี ้ ีลกั ษณะการกระจายแบบเบ้ขวาแบบฝึกหดั 2. 0 2 41. จงหาลกั ษณะการเบ้ของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้ 13345 1. 2 , 3 , 4 , 6 , 10 , 10 , 10 , 11 212 312. จงหาคา่ ประมาณของคา่ กลางทเ่ี หลอื พร้อมทงั้ ระบลุ กั ษณะการเบ้ 1. ������̅ = 5 , Mode = 11 2. ������̅ = 11, Med = 9 3. Mode = 12 , Med = 143 คะแนนสอบของนกั เรียนห้องหนง่ึ มกี ารแจกแจงแบบปกติ ถ้าห้องนมี ้ นี กั เรียน 40 คน และฐานนิยมเทา่ กบั 60 คะแนน แล้ว จงหาผลรวมคะแนนของนกั เรียนทงั้ ห้อง

สถิติ 514. ข้อมลู ชดุ หนงึ่ มคี า่ เฉลยี่ เลขคณิตเทา่ กบั 20 มธั ยฐานเทา่ กบั 25 และฐานนยิ มเทา่ กบั 30 ข้อสรุปใดตอ่ ไปนีถ้ กู ต้อง [O-NET 52/30] 1. ลกั ษณะการกระจายของข้อมลู เป็นการกระจายทเี่ บ้ทางซ้าย 2. ลกั ษณะการกระจายของข้อมลู เป็นการกระจายทเี่ บ้ทางขวา 3. ลกั ษณะการกระจายของข้อมลู เป็นการกระจายแบบสมมาตร 4. ไมส่ ามารถสรุปลกั ษณะการกระจายของข้อมลู ได้

52 สถิติ การวดั ตาแหนง่ ข้อมลู ในหวั ข้อกอ่ นหน้า เราได้เรียนเก่ียวกบั มธั ยฐาน ซง่ึ เป็นวิธีวดั ตาแหนง่ ข้อมลู อยา่ งหนงึ่ มธั ยฐาน จะหมายถงึ ข้อมลู ทีม่ ี “ตาแหนง่ ตรงกลาง” นน่ั เอง Med 10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51 ในเรื่องนี ้เราจะได้เรียนข้อมลู ในตาแหนง่ อืน่ ๆ ซง่ึ เราวดั ได้โดยใช้ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอร์เซ็นไทล์ควอไทล์ Q3ถ้าเราแบง่ ข้อมลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมีจดุ แบง่ อยู่ 3 จดุเราจะเรียกข้อมลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 3 จดุ วา่ Q1 Q2 และ Q3 ตามลาดบั ดงั นี ้ Q1 Q2 10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51หมายเหตุ : จะเห็นวา่ Q2 = Med เสมอตาแหนง่ ของ Q������ จะหาได้จากสตู ร ������ ∙ (������ + 1) 4เชน่ จากตวั อยา่ งด้านบน มีข้อมลู 19 ตวั (������ = 19)จะได้ Q1 อยตู่ วั ที่ 1 ∙ (19 + 1) = 5 Q2 อยตู่ วั ที่ 2 ∙ (19 + 1) = 10 4 4 Q3 อยตู่ วั ที่ 3 ∙ (19 + 1) = 15 4เดไซล์ถ้าเราแบง่ ข้อมลู ออกเป็น 10 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมีจดุ แบง่ อยู่ 9 จดุเราจะเรียกข้อมลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 9 จดุ วา่ D1 D2 D3 … D9 ตามลาดบั ดงั นี ้ D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51หมายเหตุ : จะเห็นวา่ D5 = Q2 = Med เสมอตาแหนง่ ของ D������ จะหาได้จากสตู ร ������ ∙ (������ + 1) 10เช่น จากตวั อยา่ งด้านบน มีข้อมลู 19 ตวั (������ = 19)จะได้ D1 อยตู่ วั ท่ี 1 ∙ (19 + 1) = 2 D2 อยตู่ วั ท่ี 2 ∙ (19 + 1) = 4 10 10 D5 อยตู่ วั ที่ 5 ∙ (19 + 1) = 10 D9 อยตู่ วั ที่ 9 ∙ (19 + 1) = 18 เป็นต้น 10 10

สถิติ 53เปอร์เซน็ ไทล์ถ้าเราแบง่ ข้อมลู ออกเป็น 100 สว่ นเทา่ ๆกนั จะมจี ดุ แบง่ อยู่ 99 จดุเราจะเรียกข้อมลู ตรงจดุ แบง่ ทงั้ 99 จดุ วา่ P1 P2 P3 … P99 ตามลาดบั P10 P18 P62 P87.5 ... ... ... ... 10 11 15 17 18 21 26 27 32 33 35 39 40 43 44 45 46 49 51หมายเหตุ : จะเห็นวา่ P10 = D1 P20 = D2 P30 = D3 P40 = D4 P50 = D5 P60 = D6 P70 = D7 P80 = D8 P90 = D9 และ P25 = Q1 P50 = Q2 P75 = Q3 และ P50 = Medตาแหนง่ ของ P������ จะหาได้จากสตู ร ������ ∙ (������ + 1) 100เช่น จากตวั อยา่ งด้านบน มขี ้อมลู 19 ตวั (������ = 19)จะได้ P10 อยตู่ วั ที่ 10 ∙ (19 + 1) = 2 P18 อยตู่ วั ท่ี 18 ∙ (19 + 1) = 3.6 100 100 P62 อยตู่ วั ที่ 62 ∙ (19 + 1) = 12.4 P87.5 อยตู่ วั ท่ี 87.5 ∙ (19 + 1) = 17.5 เป็นต้น 100 100ในการหาคา่ ของ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอร์เซ็นไทล์ จะมขี นั้ ตอน คล้ายๆตอนทเ่ี ราหา Med ดงั นี ้ 1. หา “ตาแหนง่ ” Q������ → ������ ∙ (������ + 1) D������ → ������ ∙ (������ + 1) P������ → ������ ∙ (������ + 1) 4 10 1002. เอาตาแหนง่ ทไ่ี ด้ ไปหา “คา่ ” โดยต้องเรียงข้อมลู จากน้อยไปมาก นบั จนถงึ ตาแหนง่ ทีต่ ้องการ แล้วตอบคา่ ข้อมลู ณ ตาแหนง่ นนั้ ถ้าตาแหนง่ ไมเ่ ป็นจานวนเตม็ ให้ประมาณเอาจากสองตวั ทค่ี ร่อมตาแหนง่ นนั้ อยู่ เช่น ถ้าต้องการหาคา่ ข้อมลู ตวั ที่ 5.62 จะหาได้ดงั นี ้ ข้อมลู ตวั ที่ 5.62 = ตวั ท่ี 5 + 0.62 × (ตวั ท่ี 6 − ตวั ที่ 5) เราต้องหดั ใช้สตู รนใี ้ ห้คลอ่ ง เชน่ ตวั ท่ี 10.3 = ตวั ที่ 10 + 0.3 × (ตวั ที่ 11 − ตวั ที่ 10) ตวั ที่ 8.03 = ตวั ที่ 8 + 0.03 × (ตวั ที่ 9 − ตวั ท่ี 8) ตวั ที่ 3.45 = ตวั ที่ 3 + 0.45 × (ตวั ท่ี 4 − ตวั ท่ี 3) เป็นต้น

54 สถิติตวั อยา่ ง จงหา Q3 , D2 และ P83 ของข้อมลู 15 , 18 , 18 , 19 , 20 , 24 , 24วธิ ีทา มขี ้อมลู 7 ตวั → Q3 จะอยตู่ วั ท่ี 3 ∙ (7 + 1) = 6 4 นบั ดู จะได้ตวั ท่ี 6 มคี า่ 24 ดงั นนั้ Q3 = 24 → D2 อยตู่ วั ท่ี 2 ∙ (7 + 1) = 1.6 10 ตวั ที่ 1.6 = ตวั ท่ี 1 + 0.6 × (ตวั ที่ 2 − ตวั ที่ 1) = 15 + 0.6 × ( 18 − 15 ) = 16.8 ดงั นนั ้ D2 = 16.8 → P83 อยตู่ วั ที่ 83 ∙ (7 + 1) = 6.64 100 ตวั ที่ 6.64 จะอยรู่ ะหวา่ งตวั ท่ี 6 กบั ตวั ท่ี 7 แตบ่ งั เอญิ ตวั ท่ี 6 กบั ตวั ท่ี 7 เทา่ กนั = 24 ดงั นนั้ ไมต่ ้องคดิ เลข ตอบได้เลยวา่ P83 = 24 #สดุ ท้าย ถ้าเราเจอประโยคพวกนี ้ต้องรู้วา่ เป็นเร่ือง ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์ “มีข้อมลู ประมาณ 3 ใน 4 ได้คะแนนน้อยกวา่ สมชาย” → สมชาย = Q3 “มขี ้อมลู ประมาณครึ่งหนง่ึ ได้คะแนนน้อยกวา่ สมหญิง” → สมหญิง = Med “มีข้อมลู ประมาณ 7 ใน 10 ได้คะแนนน้อยกวา่ สมหวงั ” → สมหวงั = D7 “มขี ้อมลู ประมาณ 60% ได้คะแนนมากกวา่ สมปอง” → สมปอง = P40 “สมศรี ได้คะแนนสงู ทีส่ ดุ ในกลมุ่ 20% ท่ไี ด้คะแนนต่าสดุ ” → สมศรี = P20 “สมหมาย ได้คะแนนตา่ ทสี่ ดุ ในกลมุ่ 30% ท่ไี ด้คะแนนสงู สดุ ” → สมหมาย = P70 “โอกาสทจ่ี ะสมุ่ ได้คนที่คะแนนน้อยกวา่ สมบตั ิ เทา่ กบั 3 ใน 10” → สมบตั ิ = D3สงิ่ ที่ต้องรู้ เวลาใช้คาศพั ท์พวกนี ้คือ เราจะไมจ่ กุ จิกเร่ือง “เทา่ กบั ”นน่ั คอื เราจะถือวา่ ประโยคตา่ งๆตอ่ ไปนี ้อนโุ ลมให้มีความหมายเหมอื นกนั ได้ “มขี ้อมลู ประมาณ 3 ใน 4 ได้คะแนนน้อยกวา่ สมชาย” “มขี ้อมลู ประมาณ 3 ใน 4 ได้คะแนนน้อยกวา่ หรือเทา่ กบั สมชาย” “มีข้อมลู ประมาณ 1 ใน 4 ได้คะแนนมากกวา่ สมชาย” “มีข้อมลู ประมาณ 1 ใน 4 ได้คะแนนมากกวา่ หรือเทา่ กบั สมชาย”อยา่ งไรก็ตาม การไมจ่ กุ จกิ แบบนี ้สร้างปัญหาให้เราได้พอสมควรเพราะบางที เราต้องเดาเอาเอง วา่ โจทย์หมายถงึ แบบไหน วา่ โจทย์จะนบั สมชายเป็นหนง่ึ ในข้อมลู หรือไม่สว่ นใหญ่ มกั จะต้องเลือกแบบทค่ี ดิ แล้วมตี วั เลอื กให้กา และ / หรือ ได้คาตอบเป็นเลขลงตวั

สถิติ 55ตวั อยา่ ง จากข้อมลู คะแนนสอบตอ่ ไปนี ้ 20 22 25 25 27 29 31 33 33 34 38 39 39 41 45 48 49 51 54 55 57 59 59จงหาวา่ นกั เรียนที่ได้คะแนนมากทส่ี ดุ ในกลมุ่ 10% ต่าสดุ ได้คะแนนน้อยกวา่ นกั เรียนทไี่ ด้คะแนนน้อยทส่ี ดุ ในกลมุ่ 10% สงู สดุ อยกู่ ี่คะแนนวิธีทา คะแนนมากทีส่ ดุ ในกลมุ่ 10% ต่าสดุ → P10 ข้อนี ้โจทย์ให้หา P90 − P10 นน่ั เอง คะแนนน้อยท่ีสดุ ในกลมุ่ 10% สงู สดุ → P90นบั ดู จะมีข้อมลู ทงั้ หมด 23 ตวั → P10 จะอยตู่ วั ท่ี 10 ∙ (23 + 1) = 2.4 100 ตวั ท่ี 2.4 = ตวั ท่ี 2 + 0.4 × (ตวั ท่ี 3 − ตวั ที่ 2) = 22 + 0.4 × ( 25 − 22 ) = 23.2 → P90 จะอยตู่ วั ท่ี 90 ∙ (23 + 1) = 21.6 100 ตวั ที่ 21.6 = ตวั ท่ี 21 + 0.6 × (ตวั ท่ี 22 − ตวั ท่ี 21) = 57 + 0.6 × ( 59 − 57 ) = 58.2ดงั นนั ้ P10 น้อยกวา่ P90 อยู่ 58.2 − 23.2 = 35 #แบบฝึกหดั1. จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้เมอื่ กาหนดข้อมลู ให้ดงั นี ้ 10 12 15 20 25 26 28 29 33 34 36 38 40 42 421. Med 2. Q33. D3 4. P152. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ มี 10 จานวนประกอบด้วยจานวนตอ่ ไปนี ้ 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอไทล์ท่ีสามของข้อมลู ชดุ นมี ้ ีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 49/2-5]

56 สถิติ 3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนห้องหนง่ึ แสดงด้วยแผนภาพต้น - ใบได้ดงั นี ้ 3049 4077888 500122346677889 60233689 701 เปอร์เซน็ ต์ไทล์ที่ 50 ของคะแนนสอบนเี ้ทา่ กบั คะแนนเทา่ ใด [O-NET 54/40]4. จากแผนภาพต้น–ใบของข้อมลู ชดุ หนงึ่ เป็นดงั นี ้ 20 2 5 5 6 7 7 8 9 9 31 3 3 3 4 4 5 8 8 9 40 0 0 1 2 2 3 3 4 7 50 1 1 2 3 4 5 6 7 เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 86 ของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 58/40]5. พจิ ารณาข้อมลู ตอ่ ไปนี ้10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18คา่ ของ P80 ใกล้เคยี งกบั ข้อใดตอ่ ไปนีม้ ากที่สดุ [O-NET 52/31]1. 15.1 2. 15.4 3. 15.7 4. 16.06. บริษัทขนสง่ พสั ดแุ หง่ หนงึ่ ได้บนั ทกึ ระยะทาง (หนว่ ย : กิโลเมตร) ในการสง่ ของในแตล่ ะวนั เป็นเวลา 30 วนั เมือ่ เรียงลาดบั ข้อมลู จากน้อยไปมาก ดงั นี ้ 33 37 43 44 44 55 58 65 65 66 71 74 75 75 78 81 81 81 82 84 86 86 87 89 89 92 92 93 93 95 แล้ว เปอร์เซนไทลท์ ี่ 33 ของข้อมลู ชดุ นี ้เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 59/28]

สถิติ 577. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนห้องหนงึ่ (เรียงจากน้อยไปมาก) เป็นดงั นี ้ 29, 35, 36, 40, 41, 43, 47, 50, 56, 59, 60, 61, 63, 65, 72, 72, 74, 75, 75, 78, 78, 78, 80, 80, 81, 82, 84, 87, 88, 89, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 95, 95, 95, 97 เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 70 ของคะแนนสอบนเี ้ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 57/31]8. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ เรียงจากน้อยไปมากดงั นี ้ 5 10 12 20 ������ 26 30 42 47 ������ ถ้าข้อมลู ชดุ นมี ้ พี สิ ยั เทา่ กบั 45 และคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กบั 26.4 แล้ว ควอไทล์ท่สี องของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 57/32]9. คะแนนของผ้เู ข้าสอบ 15 คน เป็นดงั นี ้45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81ถ้าเกณฑ์ในการสอบผา่ น คอื ต้องได้คะแนนไมต่ า่ กวา่ เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 60 แล้วข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นคะแนนตา่ สดุ ของผ้ทู สี่ อบผา่ น [O-NET 51/18]1. 68 คะแนน 2. 70 คะแนน 3. 72 คะแนน 4. 73 คะแนน10. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ ประกอบด้วย 19 จานวน ตอ่ ไปนี ้ 19 6 8 9 12 12 15 15 16 18 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทลท์ ่ี 3 มคี า่ ตา่ งจากเปอร์เซ็นต์ไทลท์ ่ี 45 เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/15]

58 สถิติ 11. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ มี 5 จานวน ถ้าควอไทล์ท่ีหนง่ึ ควอไทล์ที่สอง และควอไทล์ที่สามเทา่ กบั 18, 25, และ 28 ตามลาดบั แล้ว คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/38]12. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ ถ้าเรียงจากน้อยไปมากแล้ว ได้เป็นลาดบั เลขคณิตตอ่ ไปนี ้ 2, 5, 8, …, 92 ควอไทลท์ ี่ 3 ของข้อมลู ชดุ นมี ้ คี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 51/34]13. คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ของนกั เรียนห้องหนง่ึ จานวน 119 คน เป็นดงั นี ้คะแนนทไ่ี ด้ จานวนนกั เรียน (คน) 52 13 55 12 57 17 60 9 62 10 65 6 70 14 75 14 78 7 80 10 82 7คะแนนท่ีเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 56 เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 56/39]

สถิติ 5914. นกั เรียนกลมุ่ หนง่ึ จานวน 80 คน ซงึ่ มี ลาเจียก ลาดวน และลาพู รวมอยดู่ ้วย ปรากฏผลการสอบดงั นี ้ลาดวนได้คะแนนตรงกบั ควอไทลท์ ี่สามลาพไู ด้คะแนนตรงกบั เปอร์เซ็นไทล์ท่ี 50ลาเจียกได้คะแนนเป็นลาดบั ท่ี 30 เม่อื เรียงคะแนนจากมากไปหาน้อยข้อใดตอ่ ไปนเี ้ป็นการเรียงรายชื่อของผ้ทู ไ่ี ด้คะแนนน้อยไปหาผ้ทู ี่ได้คะแนนมาก [O-NET 51/19]1. ลาพู ลาเจียก ลาดวน2. ลาพู ลาดวน ลาเจียก3. ลาเจียก ลาพู ลาดวน4. ลาเจียก ลาดวน ลาพู15. จากการตรวจสอบลาดบั ทข่ี องคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ใน วชิ าคณิตศาสตร์ทม่ี ีผ้เู ข้าสอบ 400 คน ปรากฏ วา่ นาย ก สอบได้คะแนนอยใู่ นตาแหนง่ ควอไทลท์ ่ี 3 และนาย ข สอบได้คะแนนอยใู่ นตาแหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 จานวนนกั เรียนที่สอบได้คะแนนระหวา่ งคะแนนของนาย ก และนาย ข มีประมาณกี่คน [O-NET 53/33]16. เม่อื พิจารณาผลการสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรียน 39 คน พบวา่ เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี 25 ของคะแนนสอบเทา่ กบั 35 คะแนน และมีนกั เรียน 30 คน ได้คะแนนน้อยกวา่ หรือเทา่ กบั 80 คะแนน ถ้ามีนกั เรียนท่ีสอบได้ 35 คะแนนเพยี งคน เดยี ว แล้ว จานวนนกั เรียนทีส่ อบได้คะแนนในชว่ ง 35 - 80 คะแนน เทา่ กบั ก่คี น [O-NET 49/1-15]

60 สถิติการวดั ตาแหนง่ ข้อมลู (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)ในกรณีท่ีข้อมลู มาในรูปตารางทมี่ ีอนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง เราจะคานวณ ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซน็ ไทล์ ยากขนึ ้ เยอะเลย คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) 1 - 10 8 11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12ในกรณีนี ้ถ้าจะหา ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์ จะมขี นั้ ตอนคล้ายๆตอนหา Med ดงั นี ้ 1. สร้างชอ่ ง “ความถี่สะสม” เพื่อความสะดวกในการหาคา่ ข้อมลู ณ ตาแหนง่ ตา่ งๆ 2. หา “ตาแหนง่ ” ด้วยสตู รใหม่ Q������ → ������ ∙ (������) D������ → ������ ∙ (������) P������ → ������ ∙ (������) 4 10 100 สตู รนี ้ใช้กบั กรณี อนั ตรภาคชนั้ เป็นช่วงเทา่ นนั้ ถ้ามาเป็นตวั ๆ ให้ใช้ ������ + 1 เหมอื นเกา่ 3. ใช้ช่องความถ่ีสะสม หาวา่ ตาแหนง่ ที่ต้องการ อยชู่ นั้ ไหน แล้วใช้สตู รไหนก็ได้ จาก 2 สตู รตอ่ ไปนี ้ ความถี่สะสมชนั้ กอ่ นหน้า สตู รนี ้จะเร่ิมจากขอบลา่ ง คา่ ข้อมลู = ������ + (ตาแหนง่ − ������������) ������ ความกว้างชนั ้ แล้วหาวา่ ต้องเดินหน้าตอ่ ไปอีกเป็นสดั สว่ นเทา่ ไหร่ของชนั้ ������������ สดั สว่ นทลี่ า้ = ข้อมลู ลา้ ไปในชนั้ ก่ีตวั จานวนตวั ในชนั้ ขอบลา่ ง ความถ่ีในชนั้ นนั้ ความถี่สะสมในชนั้ นนั้ ความกว้างชนั ้ สตู รนี ้จะเร่ิมจากขอบบน คา่ ข้อมลู = ������ − (������������ − ตาแหน่ง) ������ แล้วหาวา่ ต้องถอยกลบั มาเป็นสดั สว่ นเทา่ ไหร่ของชนั้ ������������ สดั สว่ นที่ถอย = อีกกี่ตวั ข้อมลู ถงึ จะเลอ่ื นไปเต็มชนั้ ขอบบน จานวนตวั ในชนั้ ความถี่ในชนั้ นนั้

สถิติ 61ตวั อยา่ ง จงหา Q2 D9 และ P6.5 ของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ความถ่ีสะสม (������) 1 - 10 8 8 11 - 20 10 18 21 - 30 20 38 31 - 40 12 50วิธีทา จากช่องความถี่สะสมแถวสดุ ท้าย จะได้ ������ = 50Q2 อยตู่ วั ที่ 2 × 50 = 25 → ชนั้ ท่ี 3 4 Q2 = 20.5 + (25−18) (10) หรือถ้าใช้อกี สตู ร Q2 = 30.5 − (38−25) (10) 20 20 = 20.5 + 3.5 = 30.5 − 6.5 = 24 = 24 เทา่ กนัD9 อยตู่ วั ที่ 9 × 50 = 45 → ชนั้ สดุ ท้าย 10 D9 = 30.5 + (45−38) (10) หรือถ้าใช้อกี สตู ร D9 = 40.5 − (50−45) (10) 12 12 = 30.5 + 5.83 = 40.5 − 4.17 = 36.33 = 36.33 เทา่ กนัP6.5 อยตู่ วั ที่ 6.5 × 50 = 3.25 → ชนั้ แรก 100 P6.5 = 0.5 + (3.285−0) (10) หรือถ้าใช้อีกสตู ร P6.5 = 10.5 − (8−83.25) (10) = 0.5 + 4.06 = 10.5 − 5.94 = 4.56 = 4.56 เทา่ กนั #ตวั อยา่ ง จากข้อมลู คะแนนสอบตอ่ ไปนี ้จงหาวา่ นกั เรียนทไ่ี ด้คะแนนมากทส่ี ดุ ในกลมุ่ 10% ต่าสดุ ได้คะแนนน้อยกวา่ นกั เรียนท่ีได้คะแนนน้อยท่สี ดุ ในกลมุ่ 10% สงู สดุ อยกู่ ี่คะแนน คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) ความถี่สะสม (������) 51 - 59 6 6 60 - 68 10 16 69 - 77 17 33 78 - 86 15 48 87 - 95 12 60วิธีทา คะแนนมากท่สี ดุ ในกลมุ่ 10% ตา่ สดุ → P10 คะแนนน้อยทีส่ ดุ ในกลมุ่ 10% สงู สดุ → P90 และต้องใช้ความกว้างชนั้ = 60 − 51 = 9P10 อยตู่ วั ท่ี 10 × 60 = 6 → ชนั้ แรก ดงั นนั ้ P10 = 50.5 + (6−0)(9) = 59.5 100 6P90 อยตู่ วั ที่ 90 × 60 = 54 → ชนั้ สดุ ท้าย ดงั นนั้ P90 = 86.5 + (54−48)(9) = 91 100 12ดงั นนั ้ P10 น้อยกวา่ P90 อยู่ = 91 − 59.5 = 31.5 #

62 สถิติแบบฝึกหดั1. จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้เมื่อกาหนดข้อมลู ให้ดงั นี ้ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) 1 - 10 8 11 - 20 10 21 - 30 20 31 - 40 12 1. Med 2. Q3 3. D6 4. P852. จงหาคา่ ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี ้เมื่อกาหนดข้อมลู ให้ดงั นี ้ คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) 1- 5 8 6 - 10 12 11 - 15 15 16 - 20 5 1. Med 2. Q3 3. D1 4. P90.5

สถิติ 633. กาหนดข้อมลู ให้ดงั ตาราง จงหาวา่ คา่ ข้อมลู ตอ่ ไปนี ้เป็นเปอร์เซน็ ไทลท์ ่ีเทา่ ไร คะแนนสอบ จานวนนกั เรียน (������) 1 - 10 5 11 - 20 12 21 - 30 20 31 - 40 31. 29 2. 10.13. 20.5 4. 26.5

64 สถิติการวดั การกระจายสมั บรู ณ์อกี หลายๆหวั ข้อตอ่ จากนี ้จะสนใจวา่ ข้อมลู ในกลมุ่ มคี วามแตกตา่ งกนั มากน้อยขนาดไหน  ถ้า ข้อมลู ในกลมุ่ มีความแตกตา่ งกนั มาก → ข้อมลู กระจายมาก  ถ้า ข้อมลู ในกลมุ่ มคี วามแตกตา่ งกนั น้อย → ข้อมลู กระจายน้อย คะแนนสอบห้อง 5/1 (ข้อมลู กระจายมาก) คะแนนสอบห้อง 5/2 (ข้อมลู กระจายน้อย) 30 95 21 80 5 72 81 80 76 75 20 85 15 75 12 80 75 75 72 71 51 84 62 7 11 81 74 82 77 81วธิ ีวดั การกระจายของข้อมลู จะมหี ลายวิธี ได้แก่ 1. พสิ ยั (Range) 2. สว่ นเบ่ียงเบนควอไทล์ (Quatile Deviation: Q.D.) 3. สว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี (Mean Deviation: M.D.) 4. สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.)ในคณิตศาสตร์พนื ้ ฐานนี ้จะพดู ถงึ เฉพาะ พิสยั และ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานเทา่ นนั้

สถิติ 65พสิ ยั #พสิ ยั (Range) เป็นวธิ ีทีว่ ดั การกระจายทงี่ ่ายที่สดุซง่ึ หาได้จากสตู ร พสิ ยั = ข้อมลู มากสดุ − ข้อมลู น้อยสดุตวั อยา่ ง จงหาพสิ ยั ของคะแนนสอบห้อง 5/1 และ ห้อง 5/2 ตอ่ ไปนี ้ คะแนนสอบห้อง 5/1 คะแนนสอบห้อง 5/2 30 95 21 80 5 72 81 80 76 75 20 85 15 75 12 80 75 75 72 71 51 84 62 7 11 81 74 82 77 81วธิ ีทา ห้อง 5/1: คะแนนมากสดุ = 95 คะแนนสอบน้อยสดุ = 5 ดงั นนั ้ พิสยั = 95 − 5 = 90 ห้อง 5/2: คะแนนมากสดุ = 82 คะแนนสอบน้อยสดุ = 71 ดงั นนั ้ พสิ ยั = 82 − 71 = 11พสิ ยั จะเป็นวธิ ีวดั การกระจายแบบหยาบๆ คิดงา่ ย แตไ่ มค่ อ่ ยแมน่เพราะ พสิ ยั หาจากข้อมลู แค่ 2 ตวั (คือข้อมลู มากสดุ กบั ข้อมลู น้อยสดุ ) ข้อมลู ตวั อ่ืนจะไมม่ ผี ลกบั พิสยัเชน่ 2 7 7 8 8 9 → พิสยั = 9 − 2 = 7 2 3 4 5 7 9 → นา่ จะกระจายมากกวา่ แต่ พิสยั = 9 − 2 = 7 เทา่ กนัดงั นนั้ เราจงึ ไมค่ อ่ ยนิยมใช้พสิ ยั ในการวดั การกระจายแบบฝึกหดั1. จงหาพสิ ยั ของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้1. 5 12 10 22 2. 8 6 2 0 3 20 16 8 11 29 20 6 98 3 1 2 7 12 9 18 10 4 9 3 14 15 34 34 11 2 3 16 182. คะแนนสอบของนกั เรียน 3 คน มีพิสยั เทา่ กบั 8 คะแนน ถ้ามธั ยฐานคือ 12 คะแนน และ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตคอื 14 คะแนน แล้ว จงหาคะแนนของนกั เรียนทงั้ 3 คนนี ้

66 สถิติ 3. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ เรียงจากน้อยไปมากดงั นี ้ ������ 11 15 18 25 ������ 36 41 47 53 ถ้าข้อมลู ชดุ นมี ้ มี ธั ยฐานเทา่ กบั 28 และคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กบั 28.5 แล้ว พิสยั ของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 58/39] 4. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ มี 8 คา่ เรียงจากน้อยไปมาก ดงั นี ้ 74 78 80 80 ������ 90 90 ������ ถ้าข้อมลู ชดุ นมี ้ พี สิ ยั เทา่ กบั 18 และมธั ยฐานเทา่ กบั 85 แล้วคา่ เฉลย่ี เลขคณิต เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 59/38]5. ความสงู ในหนว่ ยเซนตเิ มตรของนกั เรียนกลมุ่ หนงึ่ ซงึ่ มี 10 คน เป็นดงั นี ้ 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166ถ้ามีนกั เรียนเพ่ิมขนึ ้ อีกหนงึ่ คน ซง่ึ มีความสงู 158 เซนตเิ มตร แล้ว คา่ สถติ ิใดตอ่ ไปนีไ้ มเ่ ปลย่ี นแปลง[O-NET 52/28] 2. มธั ยฐาน 4. พิสยั1. คา่ เฉลยี่ เลขคณิต3. ฐานนิยม6. สว่ นสงู ของพนี่ ้อง 2 คน มพี ิสยั เทา่ กบั 12 เซนติเมตร มีคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเทา่ กบั 171 เซนตเิ มตร ข้อใดตอ่ ไปนี ้ เป็นสว่ นสงู ของพีห่ รือน้องคนใดคนหนง่ึ [O-NET 52/26] 1. 167 เซนติเมตร 2. 172 เซนตเิ มตร 3. 175 เซนตเิ มตร 4. 177 เซนติเมตร

สถิติ 677. ครอบครัวหนง่ึ มบี ตุ ร 4 คน บตุ ร 2 คนมนี า้ หนกั เทา่ กนั และมนี า้ หนกั น้อยกวา่ บตุ รอกี 2 คน ถ้านา้ หนกั ของบตุ รทงั้ 4 คนมคี า่ ฐานนยิ ม มธั ยฐาน และพสิ ยั เทา่ กบั 45, 47.5 และ 7 กิโลกรัมตามลาดบั แล้ว คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของนา้ หนกั ของบตุ รทงั้ 4 คน มคี า่ เทา่ กบั กี่กิโลกรัม [O-NET 49/1-28]8. สาหรับข้อมลู เชงิ ปริมาณใดๆ ทม่ี คี า่ สถิตติ อ่ ไปนี ้คา่ สถิตใิ ดจะตรงกบั คา่ ของข้อมลู คา่ หนง่ึ เสมอ [O-NET 53/30]1. พสิ ยั 2. คา่ เฉลย่ี เลขคณิต3. มธั ยฐาน 4. ฐานนิยม

68 สถิติสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.) หรือเรียกสนั ้ ๆวา่ ������สตู รสาหรับหา ������ จะมี 2 สตู ร คอื ������ = √∑(������������−������̅)2 ������ = √∑ ������������2 − ������̅ 2 ใช้สตู รไหนก็ได้ ได้ผลลพั ธ์เทา่ กนั ������ ������สตู รนี ้อา่ นสตู รเข้าใจยากนดิ หนอ่ ย ดจู ากตวั อยา่ งจะเข้าใจกวา่เชน่ ถ้าต้องการหาสว่ นเบ่ยี งเบนสามาตรฐานของข้อมลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9ถ้าหาด้วยสตู ร √∑(������������−������̅)2 จะมขี นั ้ ตอนดงั นี ้ ������ 1. หา ������̅ จะได้ ������̅ = 2+3+4+5+7+9 = 5 6 2. หาผลตา่ งของข้อมลู แตล่ ะตวั กบั ������̅ แล้วยกกาลงั สอง ได้เป็น (������������ − ������̅)2 23457 9 −3 −2 −1 0 2 4 ������̅ = 5 (ผลตา่ งของข้อมลู แตล่ ะตวั กบั ������̅)2 คอื 9 , 4 , 1 , 0 , 4 , 16 3. เอาผลในข้อ 2 มาหาคา่ เฉลย่ี แล้วถอดรูท ตอบ → 9+4+1+0+4+16 = 34 = 17 6 63 ดงั นนั ้ ������ = √17 = √17 × √3 = √51 3 √3 √3 3หรือถ้าจะหาด้วยสตู ร √∑������������2 − ������̅2 จะมีขนั ้ ตอนดงั นี ้ ������ 1. หา ������̅ จะได้ ������̅ = 2+3+4+5+7+9 = 5 6 2. หา ������������2 โดยเอาข้อมลู แตล่ ะตวั มายกกาลงั สอง แล้วหาคา่ เฉลยี่ ของผลยกกาลงั สอง ได้เป็น ∑������������2 ������ 234579 4 9 16 25 49 81 ∑ ������������2 = 4+9+16+25+49+81 = 184 = 92 ������ 6 6 3 3. เอาผลจากข้อ 2 มาลบ ������̅2 แล้วถอดรูท ตอบ → 92 − 52 = 92 − 25 = 92−75 = 17 33 33 ดงั นนั้ ������ = √17 = √17 × √3 = √51 √3 √3 3 3

สถิติ 69จะเห็นวา่ คา่ ������ มกั ติด √ ทาให้ได้ตวั เลขไมล่ งตวั อ้างองิ ลาบากเราจะใช้คาวา่ “ความแปรปรวน” (Variance) หรือ ������ ในการเรียก ������ แบบทีไ่ มต่ ้องถอด √ดงั นนั ้ ข้อมลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 จะมี ความแปรปรวน (������) = 17 3อกี อยา่ งทคี่ วรทราบคอื ในกรณีทตี่ ้องการหา ������ จากกลมุ่ ตวั อยา่ ง เราจะใช้สตู ร ������ = √∑(������������−������̅)2 ������−1 ������ = √∑ ������������2 − ������������̅2 ������−1สตู รอีกชดุ ที่ไมจ่ าเป็นต้องรู้ แตถ่ ้ารู้จะทาให้ชว่ ยทาข้อสอบบางข้อได้เร็วขนึ ้ คือ สตู ร “ความแปรปรวนรวม”ถ้ามขี ้อมลู 2 ชดุ ชดุ แรก มีข้อมลู ������1 ตวั มคี า่ เฉลยี่ = ������̅1 และมีความแปรปรวน = ������12 ชดุ ที่สอง มขี ้อมลู ������2 ตวั มีคา่ เฉลยี่ = ������̅2 และมีความแปรปรวน = ������22ถ้ารวมข้อมลู ทงั้ 2 ชดุ เป็นข้อมลู ชดุ ใหญช่ ดุ เดยี ว จะได้จานวนข้อมลู ทงั้ หมด ������1 + ������2 ตวัถ้า ������̅1 = ������̅2 แล้ว จะได้ คา่ เฉลย่ี รวม ������̅รวม = ������1̅ = ������̅2 ความแปรปรวนรวม ������ร2วม = ������1������12+������2������22 ������1+������2แตถ่ ้า ������1̅ ≠ ������̅2 แล้ว จะได้ คา่ เฉลย่ี รวม ������̅รวม = ������1������̅1+������2������̅2 ������1+������2 ������1(������12+(������̅1−������̅รวม)2)+������2(������22+(������̅2−������̅รวม)2) ความแปรปรวนรวม ������ร2วม = ������1+������2ตวั อยา่ ง นกั เรียนห้องหนง่ึ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถ้ากลมุ่ นกั เรียนชายมีคะแนนเฉลย่ี 22 คะแนน มสี ว่ น เบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 คะแนน และกลมุ่ นกั เรียนหญิงมีคะแนนเฉลย่ี 22 คะแนน มีสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 3 คะแนน จงหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของนกั เรียนห้องนี ้วิธีทา เนอื่ งจากกลมุ่ นกั เรียนชายและหญิง มคี า่ เฉลย่ี เทา่ กนั (= 22 คะแนน) ดงั นนั้ จะใช้สตู รความแปรปรวนรวม ������ร2วม = ������1������12+������2������22 ได้ ������1+������2 จะได้ ������ร2วม = ������ช������ช2+������ญ������ญ2 = (16)(22) + (20)(32) = 64 + 180 = 244 = 61 ������ช+������ญ 16+20 36 36 9 ถอดรูท จะได้ ������รวม = √61 = √61 # 3 9ตวั อยา่ ง นกั เรียนห้องหนง่ึ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถ้ากลมุ่ นกั เรียนชายมีคะแนนเฉลยี่ 15 คะแนน มสี ว่ น เบย่ี งเบนมาตรฐาน 2 คะแนน และกลมุ่ นกั เรียนหญิงมคี ะแนนเฉลยี่ 24 คะแนน มีสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน 3 คะแนน จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของนกั เรียนห้องนี ้วิธีทา เนอ่ื งจากกลมุ่ นกั เรียนชายและหญิง มคี า่ เฉลย่ี ไมเ่ ทา่ กนั (15 และ 24 คะแนน) ดงั นนั ้ ต้องหา ������̅รวม และใช้สตู รความแปรปรวนรวม ������ร2วม = ������1(������12+(������̅1−������̅รวม)2)+������2(������22+(������̅2−������̅รวม)2) ������1+������2 จะได้ ������̅รวม = ������1������̅1+������2������̅2 = 16(15)+20(24) = 240+480 = 720 = 20 ������1+������2 16+20 36 36 จะได้ ������ร2วม = ������1(������12+(������̅1−������̅รวม)2)+������2(������22+(������̅2−������̅รวม)2) ������1+������2 = (16)(22+(15−20)2) + (20)(32+(24−20)2) = (16)(29)+ (20)(25) = 964 = 241 16+20 36 36 9 ถอดรูท จะได้ ������รวม = √241 = √241 # 3 9

70 สถิติแบบฝึกหดั1. จงหาสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน ของข้อมลู ตอ่ ไปนี ้ 1. 2 , 3 , 4 , 5 , 6 2. 3 , 6 , 9 , 102. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ มีจานวน 12 ตวั ถ้า 12 (������������ − ������̅)2 = 192 แล้ว จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ นี ้  i 13. ในการสมุ่ ตวั อยา่ งเพ่ือสารวจข้อมลู ราคามะนาว (ตอ่ ผล) จากตลาด 5 แหง่ ได้ข้อมลู ดงั นี ้ 2 10 6 8 9 (หนว่ ย : บาท) ถ้า ������̅ คือ คา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู ������ คอื สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของข้อมลู แล้ว ร้อยละของจานวนข้อมลู ทอ่ี ยใู่ นชว่ ง (������̅ − ������ , ������̅ + ������) เทา่ กบั เทา่ ใด (กาหนดให้ √2 = 1.41 , √2.5 = 1.58 , √10 = 3.16) [O-NET 59/39]

สถิติ 714. กลมุ่ ตวั อยา่ งของข้อมลู ชดุ หนง่ึ มี 11 จานวนดงั นี ้ 15 , 10 , 12 , 15 , 16 , ������ , 16 , 19 , 13 , 17 , 15 ถ้าคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั 15 แล้ว กาลงั สองของสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 56/31*]5. กาหนดให้ ������ เป็นรายได้ตอ่ เดอื นของพนกั งาน (หนว่ ย : หมน่ื บาท)และ ������ เป็นจานวนปีทพ่ี นกั งานใช้ในการศกึ ษาระดบั อดุ มศกึ ษาโดย ������ และ ������ สมั พนั ธ์กนั ดงั นี ้ ������������ = 2������������ + 1 ������ = 1, 2, …ถ้าพนกั งานสคี่ น ซง่ึ มีรายได้ตอ่ เดือนเป็น 5 , 7 , 9 , ������ (หม่ืนบาท)และคา่ เฉลยี่ เลขคณิต (������̅) ของจานวนปีที่พนกั งานใช้ในการศกึ ษาระดบั อดุ มศกึ ษาเทา่ กบั 4 แล้ว ความแปรปรวนของรายได้ตอ่ เดือน เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 59/30]6. ข้อมลู ชดุ หนง่ึ เรียงลาดบั จากน้อยไปมากดงั นี ้ 2 3 3 ������ 4 ������ 7 ถ้าคา่ เฉลย่ี เลขคณิตและสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ นเี ้ทา่ กบั 4 และ 4 ตามลาดบั √7 แล้ว ������ − ������ มีคา่ เทา่ ใด [O-NET 54/37]

72 สถิติ 7. มขี ้อมลู 5 จานวนซงึ่ เรียงจากน้อยไปหามาก คือ ������1, ������2, ������3, ������4, ������5 โดยมี ������1 = 7 คา่ เฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กบั ������ และความแปรปรวนเทา่ กบั 16 ถ้ากาหนดตารางแสดงคา่ ของ ������������ − ������ ดงั นี ้ ������ ������������ − ������ 1 7 − ������ 2 −3 3 −1 43 56 แล้ว คา่ ของ ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 49/1-31]8. โรงเรียนแหง่ หนงึ่ มชี นั้ ม.6 อยสู่ องห้องคอื 6/1 และ 6/2 ซงึ่ มีจานวนนกั เรียน 52 และ 48 คน ตามลาดบั ถ้าคะแนนสอบของนกั เรียน ม.6 ทงั้ สองห้องมีคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเทา่ กนั และมสี ว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 2 และ 1.5ตามลาดบั แล้วสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของชนั้ ม.6 เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 58/32]1. √3.12 2. √3.14 3. √3.16 4. 1.75 5. 1.769. กาหนดให้ข้อมลู ชดุ ทีห่ นง่ึ ซงึ่ ประกอบด้วย ������1, ������2, … , ������10 มคี า่ เฉลยี่ เลขคณติ เทา่ กบั ������ และ ข้อมลู ชดุ ที่สองซงึ่ประกอบด้วย ������1, ������2, … , ������20 มีคา่ เฉลยี่ เลขคณติ เทา่ กบั ������ โดยท่ี 10 (������������ − ������)2 = 160 ,  i 120 (������������ − ������)2 = 110 และ ������ = ������ ถ้านาข้อมลู ทงั้ สองชดุ มารวมเป็นชดุ เดยี วกนั แล้ว สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานi 1ของข้อมลู ชดุ ใหมเ่ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 51/20]

สถิติ 73สมบตั ขิ องสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน มสี มบตั ทิ นี่ า่ สนใจดงั นี ้  ������ จะไมม่ ีทางตดิ ลบ ถงึ แม้ข้อมลู จะเป็นเลขตดิ ลบ ก็ไมม่ ที างได้ ������ ติดลบ เพราะการยกกาลงั สอง จะทาให้เลขลบกลายเป็นบวก ถ้า ������ = 0 แปลวา่ ข้อมลู ชดุ นนั้ “ไมก่ ระจาย” เกิดขนึ ้ ได้เมือ่ ข้อมลู ทกุ ตวั เทา่ กนั หมด “กระจายแบบปกต”ิ ของข้อมลู สว่ นใหญ่ทม่ี อี ยตู่ ามธรรมชาติ มกั จะ “กองอยตู่ รงกลางแบบสมมาตร” เสมอจะมีข้อมลู ประมาณ 68% อยรู่ ะหวา่ ง ������̅ − ������ กบั ������̅ + ������ กฎ 68 - 95 - 99จะมีข้อมลู ประมาณ 95% อยรู่ ะหวา่ ง ������̅ − 2������ กบั ������̅ + 2������จะมีข้อมลู ประมาณ 99% อยรู่ ะหวา่ ง ������̅ − 3������ กบั ������̅ + 3������เช่น ถ้ามขี ้อมลู 1000 ตวั กระจายแบบปกติ โดยท่ี ������̅ = 25 และ ������ = 368% = 68 × 1000 680 340 340 22 28 160 160 100 22 25 28 = 680 คนอยรู่ ะหวา่ ง 22 กบั 2895% = 95 × 1000 950 475 475 19 31 25 25 100 19 25 31 = 950 คนอยรู่ ะหวา่ ง 19 กบั 3199% = 99 × 1000 990 495 495 55 100 16 25 34 = 990 คนอยรู่ ะหวา่ ง 16 กบั 34 16 34 ������ จะมคี า่ ประมาณ พิสยั (สตู รนจี ้ ะใช้เวลาต้องการประมาณคา่ ������ แบบเร็วๆ) 4 การเพมิ่ หรือลดข้อมลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการบวกหรือลบด้วยคา่ คงท่ี จะไมท่ าให้คา่ การกระจายเปลยี่ น เชน่ ถ้าเอาข้อมลู 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 มาบวก 50 เพิม่ ให้ข้อมลู ทกุ ตวั จะได้เป็น 52 , 53 , 54 , 55 , 57 , 59 ข้อมลู ชดุ ใหมห่ ลงั บวก จะมี ������ เทา่ กบั ข้อมลู ชดุ เดิมทย่ี งั ไมไ่ ด้บวก การเปลย่ี นข้อมลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการคณู ด้วย ������ จะทาให้การกระจายเปลย่ี นเป็น |������| เทา่ ของของเดมิการเปลย่ี นข้อมลู ทกุ ตวั อยา่ งเทา่ ๆกนั โดยการหารด้วย ������ จะทาให้การกระจายเปลยี่ นเป็น 1 เทา่ ของของเดมิ |������|เช่น ถ้าเอา 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 มาคณู −10 ได้เป็น −20 , −30 , −40 , −50 , −70 , −90ข้อมลู ชดุ ใหม่ จะมี ������ เป็น |−10| = 10 เทา่ ของของเดมิ

74 สถิติตวั อยา่ ง ข้อมลู อณุ หภมู ปิ ระจาวนั ในหนว่ ย °C ชดุ หนงึ่ ประกอบด้วย 28 , 27 , 29 , 27 , 24 มีสว่ นเบยี่ งเบน มาตรฐาน 2.8 เม่อื แปลงข้อมลู นใี ้ ห้อยใู่ นหนว่ ย °F ด้วยสตู ร (C × 59) + 32 จะกลายเป็น 47.56 , 47.00 , 48.11 , 47.00 , 45.33 จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ นี ้หลงั จากที่แปลงเป็นหนว่ ย °F แล้ววิธีทา ข้อนี ้จะหา ������ ตรงๆ จาก 47.56 , 47.00 , 48.11 , 47.00 , 45.33 ตรงๆ ก็ได้ แตใ่ ช้แรงเยอะมาก จะเหน็ วา่ ข้อมลู 28 , 27 , 29 , 27 , 24 จะถกู แปลงโดย คณู 5 แล้วบวกด้วย 32 9 การคณู ด้วย 5 จะทาให้ ������ เปลย่ี นไป 5 เทา่ 9 9 แตก่ ารบวกด้วย 32 จะไมท่ าให้ ������ เปลย่ี น ดงั นนั้ ข้อมลู หลงั แปลง จะมี ������ใหม่ = ������เดิม × 5 = 2.8 × 5 = 1.56 # 9 9แบบฝึกหดั1. ช่วงก่อนสอบ นา้ หนกั ของนกั เรียน ม. 5/1 จานวน 40 คน มสี ว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 4 กก. เมอ่ื สอบเสร็จพบวา่ นกั เรียนทกุ คนนา้ หนกั เพิม่ ขนึ ้ คนละ 2 กก. จงหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของนา้ หนกั นกั เรียน ม. 5/1 หลงั สอบเสร็จ2. นกั เรียนกลมุ่ หนง่ึ ประกอบด้วยผ้ชู าย 3 คน และผ้หู ญิง 2 คน โดยกลมุ่ ผ้ชู ายมคี วามแปรปรวนเทา่ กบั 0 และมีอายุ เฉลยี่ 25 ปี ถ้าผ้หู ญิงทงั้ สองคน มอี ายุ 15 และ 20 ปี ตามลาดบั แล้ว ความแปรปรวนของอายนุ กั เรียนกลมุ่ นี ้ เทา่ กบั เทา่ ใด3. พนกั งานบริษัทจานวน 800 คน มเี งินเดอื นเฉลยี่ 10,000 บาท สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1,500 บาท ถ้าเงินเดอื น พนกั งานกลมุ่ นี ้มีการกระจายแบบปกติแล้ว มีพนกั งานประมาณกี่คน ท่ไี ด้เงินเดือนน้อยกวา่ 7,000 บาท

สถิติ 754. ข้อมลู ชดุ ท่หี นง่ึ มี 10 จานวน คือ ������1, ������2, ������3, … , ������10 ซงึ่ ข้อมลู ชดุ นมี ้ สี ว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 2.3 ถ้าข้อมลู ชดุ ท่ีสองมี 10 จานวน คือ 3������1 + 174 , 3������2 + 174 , 3������3 + 174 , … , 3������10 + 174 แล้วสว่ นเบีย่ งเบน มาตรฐานของข้อมลู ชดุ ทีส่ องนจี ้ ะเทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 57/39]5. เม่ือสองปีกอ่ น นกั เรียนห้องหนง่ึ มี 30 คน แบง่ ออกได้เป็นสองกลมุ่ กลมุ่ ท่ีหนงึ่ มี 10 คน ทกุ คนมีอายุ 10 ปี และ กลมุ่ ทส่ี องมี 20 คน มีอายเุ ฉลย่ี 8.5 ปี ถ้าความแปรปรวนของอายนุ กั เรียนกลมุ่ ทสี่ อง เทา่ กบั 0 แล้ว ในปัจจบุ นั ความแปรปรวนของอายนุ กั เรียนห้องนี ้เทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 50/39]6. พนกั งานโรงงานแหง่ หนงึ่ จานวน 1,000 คน ได้รับเงินเดือนเฉลย่ี คนละ 8,000 บาท มสี ว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน 1,000 บาท ถ้าการกระจายของเงินเดือนพนกั งานโรงงานแหง่ นเี ้ป็นแบบปกติแล้ว ข้อสรุปในข้อใดตอ่ ไปนีผ้ ดิ [O-NET 51/40] 1. พนกั งานจานวนน้อยกวา่ 100 คน ได้รับเงินเดือนน้อยกวา่ 6,000 บาท 2. พนกั งานอยา่ งมาก 930 คน ได้รับเงินเดอื นมากกวา่ หรือเทา่ กบั 6,000 บาท 3. พนกั งานที่ได้รับเงินเดือนมากกวา่ 10,000 บาท มีจานวนน้อยกวา่ 70 คน 4. ถ้าในปีตอ่ ไปพนกั งานได้รับเงินเดือนเพ่ิมขนึ ้ คนละ 400 บาทแล้ว สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของเงนิ เดอื นพนกั งาน โรงงานนยี ้ งั คงเดมิ

76 สถิติ แผนภาพกลอ่ ง แผนภาพกลอ่ ง เป็นแผนภมู ิรูปภาพเพ่อื บอก คา่ น้อยสดุ , Q1 , Q2 , Q3 และ คา่ มากสดุ ดงั รูปคา่ น้อยสดุ Q1 Q2 Q3 คา่ มากสดุ0 20 40 60 80 100 120 140จากแผนภาพกลอ่ ง เราจะสามารถคานวณ พสิ ยั (= คา่ มากสดุ − คา่ น้อยสดุ ) สว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์ (= Q3−Q1) 2 สมั ประสทิ ธิ์ของสว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์ (= Q3−Q1) ได้ Q3+Q1ซงึ่ คา่ เหลา่ นี ้ใช้บอกการกระจายของข้อมลู ได้นน่ั คือ ถ้าคา่ มากสดุ กบั คา่ น้อยสดุ อยหู่ า่ งกนั มาก แปลวา่ ข้อมลู มกี ารกระจายมากและเนื่องจาก ควอไทล์ เป็นจดุ ทแี่ บง่ ข้อมลู ออกเป็น 4 สว่ นเทา่ ๆกนัสง่ิ ท่ตี ้องเข้าใจให้แมน่ คือ “แตล่ ะสว่ น มีข้อมลู 25% เทา่ กนั หมด” ไมข่ นึ ้ กบั วา่ สว่ นไหนยาว สว่ นไหนสนั้ความยาว ความสนั้ จะมีผลกบั “ความแออดั ” ของข้อมลูเนื่องจาก แตล่ ะสว่ น มขี ้อมลู 25% เทา่ กนั ดงั นนั้ “สว่ นที่สนั้ จะแออดั กวา่ สว่ นท่ยี าว”ดงั นนั้ เราจะบอกลกั ษณะ “การเบ้” ได้ด้วย โดยดวู า่ “สว่ นสนั้ อยทู่ างซ้ายหรือทางขวา” ถ้า สว่ นสนั้ อยทู่ างซ้าย แปลวา่ ทางซ้ายแออดั แปลวา่ โค้งโดง่ ซ้าย แปลวา่ ข้อมลู เบ้ขวา ถ้า สว่ นสนั้ อยทู่ างขวา แปลวา่ ทางขวาแออดั แปลวา่ โค้งโดง่ ขวา แปลวา่ ข้อมลู เบ้ซ้ายตวั อยา่ ง จากแผนภาพกลอ่ งแสดงคะแนนสอบของนกั เรียน จานวน 60 คน ตอ่ ไปนี ้20 40 60 80 100 120จงพิจารณาวา่ ข้อใดผดิ1. พิสยั ของคะแนนสอบ คือ 90 คะแนน2. ข้อมลู มลี กั ษณะการกระจายแบบเบ้ขวา3. นกั เรียนที่ได้คะแนนในชว่ ง 60 - 80 มีน้อยกวา่ 15 คน4. นกั เรียนท่ไี ด้คะแนนมากกวา่ 60 มีจานวนมากกวา่ นกั เรียนที่ได้คะแนนน้อยกวา่ 60วิธีทา จากแผนภาพ จะได้ ข้อมลู น้อยสดุ = 25 , Q1 = 40 , Q2 = 60 , Q3 = 90 , ข้อมลู มากสดุ = 115 1. พิสยั = ข้อมลู มากสดุ − ข้อมลู น้อยสดุ = 115 − 25 = 90 ดงั นนั้ ข้อ 1 ถกู ต้อง2. จะเห็นวา่ สว่ นสนั้ อยทู่ างซ้าย ดงั นนั้ ทางซ้ายแออดั แปลวา่ โค้งโดง่ ซ้ายดงั นนั้ ข้อมลู นเี ้ป็นแบบเบ้ขวา ดงั นนั้ ข้อ 2 ก็ถกู อกี

สถิติ 773. เน่ืองจากมีนกั เรียน 60 คน แบง่ เป็น 4 สว่ น สว่ นละเทา่ ๆกนั จะได้แตล่ ะสว่ นจะมนี กั เรียน 15 คน15 คน 15 คน 15 คน 15 คน 20 40 60 80 100 120จากภาพ จะได้วา่ ชว่ ง 60 - 90 มีนกั เรียน 15 คนดงั นนั้ ข้อ 3 ถกู เพราะ ชว่ ง 60 - 80 เลก็ กวา่ 60 - 90 จงึ นา่ จะมีนกั เรียนน้อยกวา่ 15 คน4. นกั เรียนทไ่ี ด้น้อยกวา่ 60 คะแนน จะมี 2 สว่ น (25 - 40 และ 40 - 60) → มี 15 + 15 = 30 คนนกั เรียนทไ่ี ด้มากกวา่ 60 คะแนน ก็มี 2 สว่ น (60 - 90 และ 90 - 115) → มี 15 + 15 = 30 คนดงั นนั้ ข้อ 4 ผดิ #ตวั อยา่ ง จากแผนภาพกลอ่ งแสดงข้อมลู คะแนนสอบ วชิ าคณิตศาสตร์ และ ภาษาองั กฤษ ของนกั เรียนห้องหนง่ึ คณิตศาสตร์ ภาษาองั กฤษ 0 20 40 60 80 100 # จงพจิ ารณาวา่ ข้อใดถกู 1. คะแนนวิชาภาษาองั กฤษ มกี ารกระจายน้อยกวา่ 2. คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของคะแนนสอบทงั้ สองวชิ า เทา่ กนั 3. จานวนนกั เรียนทไี่ ด้คณิตศาสตร์ น้อยกวา่ 65 คะแนน มนี ้อยกวา่ จานวนนกั เรียนทีไ่ ด้ภาษาองั กฤษ น้อยกวา่ 65 คะแนน 4. คะแนนสงู สดุ ที่อยใู่ นกลมุ่ 25 % ต่าสดุ ของวชิ าคณิตศาสตร์ มากกวา่ คะแนนสงู สดุ ทอ่ี ยใู่ นกลมุ่ 25 % ต่าสดุ ของวิชาภาษาองั กฤษวิธีทา 1. ภาษาองั กฤษ มชี ว่ งคะแนน มากสดุ - น้อยสดุ กว้างกวา่ ดงั นนั้ ภาษาองั กฤษมกี ารกระจายมากกวา่ ข้อ 1 จึงผดิ 2. เนื่องจากแผนภาพกลอ่ ง บอกแตค่ วอไทล์ ข้อมลู ท่ีโจทย์ให้ ไมส่ ามารถนาไปสรุปเกี่ยวกบั คา่ เฉลย่ี ได้ ดงั นนั้ ข้อ 2 จะจริงหรือเปลา่ ก็ไมร่ ู้ 3. นกั เรียนทีไ่ ด้คณติ ศาสตร์ น้อยกวา่ 65 คะแนน จะมี 3 สว่ น แตน่ กั เรียนท่ไี ด้องั กฤษ น้อยกวา่ 65 คะแนน จะมแี ค่ 2 สว่ นกวา่ ๆ ดงั นนั้ ข้อ 3 ผิด 4. “คะแนนสงู สดุ ทีอ่ ยใู่ นกลมุ่ 25 % ตา่ สดุ ” หมายถงึ Q1 นนั่ เอง จะเห็นวา่ วิชาคณิตศาสตร์ มี Q1 = 20 วิชาภาษาองั กฤษ มี Q1 = 15 ดงั นนั้ ข้อ 4 ถกู ต้อง

78 สถิติ แบบฝึกหดั 1. จากแผนภาพกลอ่ งแสดงคะแนนสอบ 2 วิชา ของนกั เรียนห้อง ม. 5/1 ตอ่ ไปนี ้จงพจิ ารณาวา่ ข้อใดถกู ต้องบ้าง วิชาท่ี 1 วิชาที่ 2 0 20 40 60 80 100 1. Q1 ของวิชาที่ 1 มากกวา่ Q1 ของวชิ าท่ี 2 2. Q2 ของวิชาท่ี 1 มากกวา่ Q2 ของวชิ าท่ี 2 3. Q3 ของวชิ าที่ 1 มากกวา่ Q3 ของวชิ าท่ี 2 4. คะแนนเฉลย่ี ของวชิ าที่ 1 มากกวา่ คะแนนเฉลย่ี ของวชิ าที่ 2 5. คะแนนต่าสดุ ในกลมุ่ 25% สงู สดุ ในวชิ าที่ 1 มากกวา่ วชิ าที่ 2 6. มีนกั เรียนทสี่ อบได้คะแนน 30 - 40 คะแนน ในวชิ าที่ 1 มากกวา่ วิชาท่ี 2 7. มนี กั เรียนทีส่ อบได้คะแนน 50 - 70 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วชิ าที่ 2 8. มีนกั เรียนที่สอบได้คะแนนน้อยกวา่ 40 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วชิ าที่ 2 9. มนี กั เรียนท่สี อบได้คะแนนน้อยกวา่ 50 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 2 10. มีนกั เรียนที่สอบได้คะแนนน้อยกวา่ 70 คะแนน ในวชิ าท่ี 1 มากกวา่ วชิ าท่ี 22. คะแนนสอบความรู้ทว่ั ไปของนกั เรียน 200 คนนาเสนอโดยใช้แผนภาพกลอ่ งดงั นี ้10 12 16 18 24ข้อใดเป็นเทจ็ [O-NET 53/32]1. จานวนนกั เรียนทที่ าได้ 12 ถงึ 16 คะแนน มเี ทา่ กบั จานวนนกั เรียนท่ที าได้ 16 ถึง 18 คะแนน2. จานวนนกั เรียนทท่ี าได้ 12 ถงึ 18 คะแนน มีเทา่ กบั จานวนนกั เรียนท่ที าได้ 18 ถึง 24 คะแนน3. จานวนนกั เรียนทที่ าได้ 10 ถงึ 12 คะแนน มีเทา่ กบั จานวนนกั เรียนที่ทาได้ 18 ถึง 24 คะแนน4. จานวนนกั เรียนทท่ี าได้ 10 ถงึ 16 คะแนน มเี ทา่ กบั จานวนนกั เรียนทีท่ าได้ 16 ถึง 24 คะแนน

สถิติ 793. จากการทดสอบนกั เรียนจานวน 100 คนใน 2 รายวชิ า แตล่ ะรายวชิ ามีคะแนนเต็ม 150 คะแนน ถ้าผลการทดสอบ ทงั้ สองรายวชิ า เขยี นเป็นแผนภาพกลอ่ งได้ดงั นี ้ [O-NET 50/40] คะแนนสอบรายวชิ าที่ 1 คะแนนสอบรายวิชาที่ 2 0 20 40 60 80 100 120 140 แล้ว ข้อสรุปในข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู 1. คะแนนสอบทงั้ สองรายวชิ ามกี ารแจกแจงแบบปกติ 2. จานวนนกั เรียนที่ได้คะแนนไมเ่ กนิ 80 คะแนน ในรายวิชาท่ี 1 มากกวา่ จานวนนกั เรียนที่ได้คะแนนไมเ่ กนิ 80 คะแนน ในรายวิชาที่ 2 3. คะแนนสงู สดุ ทอี่ ยใู่ นกลมุ่ 25 % ตา่ สดุ ของผลการสอบรายวชิ าที่ 1 น้อยกวา่ คะแนนสงู สดุ ทอี่ ยใู่ นกลมุ่ 25 % ตา่ สดุ ของผลการสอบรายวชิ าท่ี 2 4. จานวนนกั เรียนที่ได้คะแนนระหวา่ ง 60 - 80 คะแนน ในการสอบรายวชิ าที่ 2 น้อยกวา่ จานวนนกั เรียนทีไ่ ด้คะแนนในชว่ งเดยี วกนั ในการสอบรายวชิ าท่ี 14. จากแผนภาพกลอ่ งของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนจาแนกตามเพศเป็นดงั นี ้ คะแนนสอบของนกั เรียนหญิง คะแนนสอบของนกั เรียนชาย 0 คะแนนสอบ 100ข้อสรุปในข้อใดตอ่ ไปนถี ้ กู ต้อง [O-NET 49/1-32]1. คะแนนสอบเฉลยี่ วิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรียนชายสงู กวา่ คะแนนสอบเฉลยี่ วิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรียนหญิง2. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชายมีการกระจายเบ้ขวา3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรียนหญิงมีการกระจายมากกวา่ คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนชาย4. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนหญิงมกี ารกระจายเบ้ขวา

80 สถิติสถิติภาคบรรยาย1. 6 2. 4 3. 2 4. 55. 2 6. 4 7. 3การแจกแจงความถ่ี1. 1. ความถี่ ความถ่ี ความถ่ีสะสม ร้ อยละของ ร้ อยละของ สะสม สมั พทั ธ์ สมั พทั ธ์ ความถี่ ความถ่ีสะสม คา่ ข้อมลู ความถ่ี สมั พทั ธ์ 7 0.35 0.35 สมั พทั ธ์ 1 - 10 7 16 0.45 0.80 35 11 - 20 9 20 0.20 1.00 45 35 21 - 30 4 1.00 20 80 20 100 100 2. คา่ ข้อมลู ความถี่ ความถ่ีสะสม จดุ ก่ึงกลางชนั้ ความกว้างชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน 1 - 10 5 5 5.5 10 0.5 10.5 11 - 20 11 16 15.5 10 10.5 20.5 21 - 30 2 18 25.5 10 20.5 30.5 31 - 40 2 20 35.5 10 30.5 40.5 20 3. คา่ ข้อมลู ความถี่ ความถ่ีสะสม จดุ กง่ึ กลางชนั้ ความกว้างชนั้ ขอบลา่ ง ขอบบน 3- 8 2 2 5.5 6 2.5 8.5 9 - 14 3 5 11.5 6 8.5 14.5 15 - 20 11 16 17.5 6 14.5 20.5 21 - 26 4 20 23.5 6 20.5 26.5 20 4. คา่ ข้อมลู ความถ่ี ความถ่ีสะสม จดุ กงึ่ กลางชนั้ ความกว้างชนั ้ ขอบลา่ ง ขอบบน 1- 4 55 2.5 4 0.5 4.5 5- 8 7 12 6.5 4 4.5 8.5 9 - 12 13 25 10.5 4 8.5 12.5 13 - 16 5 30 14.5 4 12.5 16.5 302. 0.25 4. 4 5. 36. 2 3. 2 - 6กราฟแจกแจงความถี่1. 1. คา่ ข้อมลู ความถี่ 2. นา้ หนกั จานวนคน 4- 9 5 2- 6 5 10 - 15 15 7 - 11 5 16 - 21 20 12 - 16 10 22 - 27 10 17 - 21 5

สถิติ 81แผนภาพต้น - ใบ 4. 7.2 8. 22361. คา่ ข้อมลู ความถ่ี 2. 4 12. 134 80 - 88 4 3. 7.9 4. 21 89 - 97 4 7. 22 4. 63.33 98 - 106 3 11. 21.9 107 - 115 3 4. 61.3 3. 2.70คา่ เฉลยี่ 3. 10 4. 34 4. 91. 10.6 2. 9.5 3. 161.75 8. 535. 2 : 19. 3 : 2 6. 56 3. 2613. 96 3. 18.5 10. 49 2 7. 16 3 4. 5คา่ เฉลย่ี ถว่ งนา้ หนกั1. 3 2. 1คา่ เฉลย่ี (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)1. 21.5 2. 65. 55.5การหาคา่ เฉลยี่ โดยการลดทอนข้อมลู1. 20 2. 185. 53.1 6. 40สมบตั ิของคา่ เฉลยี่1. 1. 26 2. 26มธั ยฐาน1. 1. 13.5 2. 8 5. 3 6. 22.5 3. 32. 17, 16

82 สถิติมธั ยฐาน (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)1. 1. 18 2. 11.7 3. 30.5สมบตั ขิ องมธั ยฐาน1. 1. 7 2. 13 3. 7 4. 14ฐานนิยม1. 1. 12 2. ไมม่ ี 3. 7 4. 9 5. 24, 25 3. 2 4. 4 5. 42. 1 7. 4 8. 1 9. 16. 210. 1 3ฐานนยิ ม (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง)1. 1. 28 2. 10 3. 13.75 4. 21.3 5. 33 6. 14.25สมบตั ิของฐานนิยม1. 2 2. 3 3. 2 4. 25. 1 6. 5คา่ เฉลยี่ - มธั ยฐาน - ฐานนิยม1. 1. เบ้ซ้าย 2. เบ้ขวา2. 1. Med = 7 , เบ้ซ้าย 2. Mode = 5 , เบ้ขวา 3. ������̅ = 15 , เบ้ขวา3. 2400 4. 1การวดั ตาแหนง่ ข้อมลู1. 1. 29 2. 38 3. 24 4. 13.22. 19 3. 55 4. 52.4 5. 36. 67.15 7. 87.7 8. 24 9. 310. 5 11. 23.4 12. 71 13. 6614. 1 15. 60 16. 21

สถิติ 83การวดั ตาแหนง่ ข้อมลู (อนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง) 4. 34.25 4. 16.71. 1. 24 2. 30.25 3. 26.5 4. P72.52. 1. 10.5 2. 13.83 3. 33. 1. P85 2. P12 3. P42.5 5. 4 พิสยั 4. 84.25 5. 18.67 8. 4 9. 31. 1. 29 2. 33 4. 6.92. 11, 12, 19 3. 45 4. 6.46. 4 7. 48 8. 3 4. 2สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3. 201. 1. √2 , 2 2. √30 , 30 3. 32. 4 246. 1 3. 80 7. 12สมบตั ิของสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน1. 4 2. 165. 1 6. 2 2 2. 2 แผนภาพกลอ่ ง1. 2, 7เครดติขอบคณุ คณุ ครูเบิร์ด จาก กวดวชิ าคณิตศาสตร์ครูเบิร์ด ยา่ นบางแค 081-8285490และ คณุ Orn Wattanaplaengท่ีชว่ ยตรวจสอบความถกู ต้องของเอกสารด้วยครับ