เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความนา่ จะเป็น
ความน่าจะเป็ น ทฤษฎีความน่าจะเป็น คือการศึกษาความน่าจะเป็นแบบคณิตศาสตร์ นกั คณิตศาสตร์จะมองความน่าจะเป็นวา่ เป็นตวั เลขระหวา่ งศูนยก์ บั หน่ึง ท่ีกาหนดใหก้ บั \"เหตุการณ์\" (ความ น่าจะเป็นที่เท่ากบั 0 กค็ ือไมม่ ีโอกาสที่เหตุการณ์น้นั จะเกิดข้ึน แต่ถา้ ความน่าจะเป็นเท่ากบั 1 แสดงวา่ เหตุการณ์เหลา่ น้นั เกิดข้ึนไดอ้ ยา่ งแน่นอน) ท่ีเกิดข้ึนแบบสุ่ม ความน่าจะเป็น P(E) ถูกกาหนดใหก้ บั เหตุการณ์ E ตามสจั พจนข์ องความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นท่ีเหตกุ ารณ์ E จะเกิดข้ึน เมื่อ กาหนด ใหอ้ ีกเหตุการณ์ F เกิดข้ึน เรียกวา่ ความน่าจะเป็นมี เง่ือนไข ของ E เม่ือให้ F โดยค่าความน่าจะเป็นคือ (เม่ือ P(F) ไม่เป็นศนู ย)์ ถา้ ความน่าจะเป็นมีเง่ือนไขของ E เม่ือให้ F มีคา่ เช่นเดียวกบั ความน่าจะเป็น (แบบไม่มีเงื่อนไข) ของ E เราจะกล่าววา่ เหตุการณ์ E และ F เป็นเหตกุ ารณ์ท่ีเป็นอิสระต่อกนั เชิงสถิติ เราจะสงั เกตไดว้ า่ ความสมั พนั ธ์น้ีเป็นความสมั พนั ธ์สมมาตร ท้งั น้ี เนื่องจากการเป็นอิสระต่อกนั น้ีเขียนแทนไดเ้ ป็น . แนวคดิ หลกั ของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือตวั แปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น โปรดดูบทความหลกั สาหรับขอ้ มูลเพิม่ เติม ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีหลายแนวคิด แนวคิดหน่ึงท่ีไดร้ ับความนิยมมากในสาขาปัญญาประดิษฐ์ และ เศรษฐศาสตร์คือ ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ ในทางคณติ ศาสตร์ เราหา \"ค่าของความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ซึ่ง ไม่ทราบแน่ว่าจะเกดิ หรือไม่\" ได้โดยพจิ ารณา \"น้าหนัก\" ทเ่ี หตุการณ์นั้นๆ จะเกดิ ถ้ากาหนดให้น้าหนักของเหตุการณ์ ทเี่ กดิ ข้ึนไม่ได้มคี ่าเป็ น 0น้าหนัก ของเหตุการณ์ทเ่ี กดิ ขน้ึ แน่มีค่าเป็ น 1 และน้าหนักของเหตุการณ์ใด ๆ ทอี่ าจ เกดิ ขึน้ มีค่าเป็ นจานวนเลขทอี่ ย่รู ะหว่าง 0 กบั 1 เราจะมีตัวเลข มากมายนับ ไม่ถ้วน แสดงค่าของน้าหนัก หรือโอกาสทเ่ี หตุการณ์ต่าง ๆ จะเกดิ ขึ้นได้ และเรียกค่าของ น้าหนักนี้ว่า \"ค่าของความน่าจะเป็ น\" พจิ ารณาการโยนเหรียญบาทหน่ึงเหรียญ ถ้าเหรียญ น้ันไม่ได้มกี ารถ่วง ให้หน้าใดง่ายง่ายกว่าหน้าอ่ืนกเ็ ชื่อ ว่า \"น้าหนัก\" ของการท่เี หรียญจะ หงายหน้าใดหน้า หน่ึงย่อมเท่ากนั ผลทเ่ี ป็ นไปได้ท้งั หมดมี 2 อย่าง คือเหรียญหงายหัวหรือเหรียญ หงายก้อยซึ่งอาจเกดิ อย่างใดอย่างหน่ึงได้ เท่าๆ กนั
โอกาสทเี่ หรียญจะหงายหัว=โอกาสท่เี หรียญจะหงายก้อย โอกาสทเ่ี หรียญจะหงายหัว = 1/2 โอกาสทเ่ี หรียญจะหงายก้อย = 1/2 เรากล่าวว่า ความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญหงายหัวมี ค่า 1/2 และความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญหงายก้อยมีค่า 1/2 ในการทอดลูกเต๋าลูกหน่ึง เมื่อลูกเต๋าน้ัน ๆ มีหน้าใหญ่เท่า ๆกนั และไม่มีการถ่วงให้หน้าใดหงายง่ายกว่าหน้า อ่ืน กเ็ ช่ือได้ว่า \"นา้ หนัก\" ของการทลี่ ูกเต๋าจะหงายหน้าใดหน้าหนึ่งย่อมเท่ากนั ผลทลี่ กู เต๋าจะขนึ้ หน้าต่าง ๆ ท้งั หมด มี 6 อย่าง คือ อาจขนึ้ หน้า หน่ึง สอง สาม สี่ ห้า หรือหก ด้วยความน่าจะเป็ นเท่า ๆ กนั คือ 1/6 พจิ ารณาการโยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญ และเหรียญห้าบาทหน่ึงเหรียญ พร้อม ๆ กนั เหรียญย่อมหงาย ได้ 4อย่าง ความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญใดจะหงายหัวหรือก้อยมีเท่า ๆ กนั คือ 1/2 สาหรับ แต่ละเหรียญ เราใช้ทฤษฎขี อง ความน่าจะเป็ นคานวณค่าของความน่าจะเป็ น ได้ดงั นี้ ความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญท้งั สองจะหงายหัว = 1/4 ความน่าจะเป็ นทเ่ี หรียญท้งั สองจะหงายก้อย = 1/4 ความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญหนึ่งหงายหัวกบั อกี เหรียญหน่ึงหงายก้อย = 1/2 ตามความจริงแล้วการเกดิ อย่างรูป ก หรือรูป ง อย่างใดอย่าง หนึ่ง ยากกว่าการเกดิ ตามรูป ข หรือรูป ค ฉะน้ันค่านา้ หนักของการเกดิ ในรูป ก จงึ น้อยกว่าค่านา้ หนักของการเกดิ ในรูป ข รวมกบั ค่านา้ หนักของ การเกดิ ในรูป ค เช่นเดยี วกนั ค่านา้ หนักของการเกดิ ในรูป ง กน็ ้อยกว่าค่า นา้ หนักของการเกดิ ในรูป ข รวม กบั ค่านา้ หนักของการเกดิ ในรูป ค
นอกจากเรื่องโยนลกู เต๋า โยนเหรียญ จบั สลาก แจกไพ่แล้ว ยงั มีเร่ืองอื่น ๆ อกี มาก ทม่ี ีผลการ เกดิ ซ่ึงบอกล่วงหน้าไม่ได้ว่าจะให้ผลอย่าง ไร ทางคณติ ศาสตร์จึงต้องใช้สัญลกั ษณ์มาช่วย จาลองเหตุการณ์ต่าง ๆ ทอ่ี าจ เกดิ ขึน้ เฉพาะเร่ือง และอาศัยกฎเกณฑ์ของคณติ ศาสตร์ในแขนงอ่ืน ๆ ทาให้ เกดิ ทฤษฎตี ่าง ๆ ท่สี ามารถนาไปหาค่าความน่าจะ เป็ นของเร่ืองทเี่ กย่ี วข้อง กบั ความไม่แน่นอนท้งั หลายได้ และสามารถใช้ค่าเหล่านีค้ านวณหาค่าอื่น ๆ ทจี่ ะ เป็ นประโยชน์ในการนาไปใช้ประกอบการตัดสินใจ เช่น ใช้ค่าของความน่าจะเป็ นทจ่ี ะมีลูกค้าเข้ามาซื้อของ ในร้าน เพื่อหาว่าโดยเฉลยี่ จะ มีลูกค้าเข้ามาซื้อของกคี่ น นักคณติ ศาสตร์ชาวฝร่ังเศส เป็ นผู้ให้กาเนิดเร่ืองของ ความน่าจะเป็ น เมื่อประมาณ 300 ปี มาแล้ว แต่เพง่ิ จะได้มกี ารศึกษาโดยละเอยี ดและนาไปใช้เม่ือประมาณ 40 ปี มานีเ้ อง ปัจจุบนั เร่ืองราวของความ น่าจะเป็ น มีความสาคญั อย่างมาก การค้นคว้า การวิจยั และการปฏบิ ัตงิ านใด ๆ ท่ี เกยี่ วข้องกบั การ คาดคะเน จะต้องอาศัยเรื่องของความน่าจะเป็ นท้งั สิ้น เช่น การเกษตร การแพทย์ เศรษฐศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ และเทคโน โลยที ุกสาขา ความน่าจะเป็ นบางเร่ืองใช้ คณติ ศาสตร์ช้ันสูงหลายวชิ ามาเกย่ี ว โยงกนั และยงั มี เรื่องต้องศึกษาค้นคว้าอกี มาก ผลทเี่ ป็ นไปได้ท้งั หมดมี 2 อย่าง คือเหรียญหงายหัวหรือเหรียญ หงายก้อยซ่ึงอาจเกดิ อย่างใดอย่างหน่ึงได้ เท่าๆ กนั โอกาสทเ่ี หรียญจะหงายหัว=โอกาสทเี่ หรียญจะหงายก้อย
โอกาสทเ่ี หรียญจะหงายหัว = 1/2 โอกาสทเ่ี หรียญจะหงายก้อย = 1/2 เรากล่าวว่า ความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญหงายหัวมี ค่า 1/2 และความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญหงายก้อยมีค่า 1/2 ในการทอดลูกเต๋าลกู หนึ่ง เม่ือลูกเต๋าน้ัน ๆ มหี น้าใหญ่เท่า ๆกนั และไม่มกี ารถ่วงให้หน้าใดหงายง่ายกว่าหน้า อื่น กเ็ ชื่อได้ว่า \"นา้ หนัก\" ของการทล่ี ูกเต๋าจะหงายหน้าใดหน้าหน่ึงย่อมเท่ากนั ผลทล่ี ูกเต๋าจะขนึ้ หน้าต่าง ๆ ท้งั หมด มี 6 อย่าง คือ อาจขนึ้ หน้า หน่ึง สอง สาม ส่ี ห้า หรือหก ด้วยความน่าจะเป็ นเท่า ๆ กนั คือ 1/6 พจิ ารณาการโยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญ และเหรียญห้าบาทหนึ่งเหรียญ พร้อม ๆ กนั เหรียญย่อมหงาย ได้ 4อย่าง ความน่าจะเป็ นทเ่ี หรียญใดจะหงายหัวหรือก้อยมีเท่า ๆ กนั คือ 1/2 สาหรับ แต่ละเหรียญ เราใช้ทฤษฎีของ ความน่าจะเป็ นคานวณค่าของความน่าจะเป็ น ได้ดังนี้ ความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญท้งั สองจะหงายหัว = 1/4 ความน่าจะเป็ นทเ่ี หรียญท้งั สองจะหงายก้อย = 1/4 ความน่าจะเป็ นทเี่ หรียญหน่ึงหงายหัวกบั อกี เหรียญหน่ึงหงายก้อย = 1/2 ตามความจริงแล้วการเกดิ อย่างรูป ก หรือรูป ง อย่างใดอย่าง หน่ึง ยากกว่าการเกดิ ตามรูป ข หรือรูป ค ฉะน้ันค่านา้ หนักของการเกดิ ในรูป ก จงึ น้อยกว่าค่านา้ หนักของการเกดิ ในรูป ข รวมกบั ค่านา้ หนักของ การเกดิ ในรูป ค เช่นเดียวกนั ค่านา้ หนักของการเกดิ ในรูป ง กน็ ้อยกว่าค่า นา้ หนักของการเกดิ ในรูป ข รวม กบั ค่านา้ หนักของการเกดิ ในรูป ค
นอกจากเรื่องโยนลกู เต๋า โยนเหรียญ จับสลาก แจกไพ่แล้ว ยงั มีเรื่องอ่ืน ๆ อกี มาก ที่มผี ลการ เกดิ ซ่ึงบอกล่วงหน้าไม่ได้ว่าจะให้ผลอย่าง ไร ทางคณติ ศาสตร์จึงต้องใช้สัญลกั ษณ์มาช่วย จาลองเหตุการณ์ต่าง ๆ ทอ่ี าจ เกดิ ขนึ้ เฉพาะเรื่อง และอาศัยกฎเกณฑ์ของคณติ ศาสตร์ในแขนงอื่น ๆ ทาให้ เกดิ ทฤษฎตี ่าง ๆ ทสี่ ามารถนาไปหาค่าความน่าจะ เป็ นของเร่ืองทเ่ี กย่ี วข้อง กบั ความไม่แน่นอนท้งั หลายได้ และสามารถใช้ค่าเหล่านีค้ านวณหาค่าอื่น ๆ ท่จี ะ เป็ นประโยชน์ในการนาไปใช้ประกอบการตัดสินใจ เช่น ใช้ค่าของความน่าจะเป็ นทจี่ ะมลี กู ค้าเข้ามาซื้อของ ในร้าน เพื่อหาว่าโดยเฉลยี่ จะ มีลกู ค้าเข้ามาซื้อของกค่ี น นักคณติ ศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็ นผู้ให้กาเนิดเร่ืองของ ความน่าจะเป็ น เมื่อประมาณ 300 ปี มาแล้ว แต่เพง่ิ จะได้มกี ารศึกษาโดยละเอยี ดและนาไปใช้เมื่อประมาณ 40 ปี มานีเ้ อง ปัจจุบนั เร่ืองราวของความ น่าจะเป็ น มีความสาคญั อย่างมาก การค้นคว้า การวิจยั และการปฏิบัติงานใด ๆ ที่ เกยี่ วข้องกบั การ คาดคะเน จะต้องอาศัยเรื่องของความน่าจะเป็ นท้งั สิ้น เช่น การเกษตร การแพทย์ เศรษฐศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ และเทคโน โลยที ุกสาขา ความน่าจะเป็ นบางเร่ืองใช้ คณติ ศาสตร์ช้ันสูงหลายวชิ ามาเกย่ี ว โยงกนั และยงั มี เรื่องต้องศึกษาค้นคว้าอกี มาก
Search
Read the Text Version
- 1 - 7
Pages: