ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ • สมการตรโี กณมติ ิ สมการทมี่ ีฟังก์ชันตรโี กณมติ ปิ รากฏอยู่ เรียกวา่ สมการตรีโกณมิติ

เอกลกั ษณแ์ ละสมการตรีโกณมิติ ตวั อยา่ งท่ี 16 แก้สมการ sin2 θ + 2 cos 2θ = 1 วิธีทา sin2 θ + 2 cos 2θ = 1 2 cos2 θ + 2 2 cos2 θ − 1 = 1 2 cos2 θ + 4 cos2 θ − 2 = 1 6 cos2 θ = 3 cos2 θ = 1 2 cos θ = 1 , − 1 2 2

เอกลกั ษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ ตัวอย่างท่ี 16 แก้สมการ sin2 θ + 2 cos 2θ = 1 วิธที า เน่ืองจาก ค่า θ เมื่อ 0 ≤ θ ≤ 2π ที่ทาให้ cos θ = 1 คอื π และ 7π4 11 24 cos θ = , − 22 คา่ θ เม่อื 0 ≤ θ ≤ 2π ท่ที าให้ cos θ = − 1 คอื 3π และ 5π 4 24 นั่นคอื คาตอบของสมการในช่วง 0, 2π คอื π , 3π , 5π และ 7π 44 4 4 ดังนน้ั ค่าทวั่ ไปของ θ ทท่ี าใหส้ มการเปน็ จริง คอื 2nπ + π , 2nπ + 3π , 2nπ + 5π และ2nπ + 7π เมอ่ื n ∈ I44 44

กฎของไซนแ์ ละโคไซน์ • กฎของไซน์ ในรูปสามเหลีย่ ม ABC ใด ๆ ถา้ a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ A, B และ C ตามลาดับ จะไดว้ า่ C a C E a b bE AD B 180° − A B DA c c รปู สามเหลีย่ มมุมแหลม รปู สามเหล่ยี มมมุ ป้าน sin A sin B sin C a=b=c

ตวั อย่างท่ี 17 กาหนดรูปสามเหลีย่ ม ABC เปน็ รูปสามเหล่ียมท่มี ีความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ A มมุ B และมุม C วธิ ที า เปน็ a, b และ c ตามลาดบั โดย A෡ = 30°, C෠ = 45° และ c = 8 หนว่ ย ให้หาความยาวของ a จากกฎของไซน์ จะได้ sin A sin C a=c sin 30° sin 45° a=8 a = 8 sin 30° sin 45° =8 1 2 2 2 = 81 2 ≈ 5.66 ดังน้นั a มคี วามยาวประมาณ 5.66 หนว่ ย

กฎของไซน์และโคไซน์ • กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ ถา้ a, b และ c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ A, B และ C ตามลาดบั จะได้วา่ C a C a b hb A x D c-x B 180° − A B c Dx A รปู สามเหลี่ยมมุมแหลม c รปู สามเหล่ยี มมมุ ปา้ น a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

ตัวอยา่ งที่ 18 กาหนดรปู สามเหล่ยี ม ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มทม่ี คี วามยาวด้านตรงขา้ มมุม A มมุ B และมุม C วิธีทา เปน็ a, b และ c ตามลาดับ โดย B෡ = 60°, a = 3 หนว่ ย และ c = 3 หน่วย ให้หาความยาวของ b เนื่องจาก b2 = a2 + c2 − 2ac cos B = 32 + 2 3 3 cos 60° 3 3 −2 3 1 = 9 + 27 − 18 3 2 ≈ 20.41 b ≈ 4.52 ดังน้ัน b มีความยาวประมาณ 4.52 หนว่ ย

จากคาถามตอนตน้ เราสามารถใช้ความรเู้ กย่ี วกับฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิในการหาระยะหา่ งระหวา่ ง ตวั รับสญั ญาณ GPS กับดาวเทียมได้ ดังนี้ S กาหนด d แทนระยะห่างระหว่างตวั รับสัญญาณ GPS d กับดาวเทียม RE แทนรศั มีของโลก E L RS แทนรศั มวี งโคจรของดาวเทยี ม R พจิ ารณา ∆SER โดยกฎของโคไซน์ จะได้ d2 = RE2 + RS2 + 2 RE RS cos L