Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore คณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์

Published by test test, 2020-03-01 01:30:38

Description: คณิตศาสตร์

Search

Read the Text Version

คานา หนงั สอื อเิ ลก็ เทรอนิกสน์ ้เี ป็นส่วนหน่งึ ของวชิ า คณิตศาสตร์ โดยภายในหนงั สอื อเิ ลก็ เทรอนกิ สเ์ ลม่ น้ี ประกอบดว้ ยเน้อื หาเก่ยี วกบั ความสมั พนั ธ์ ฟงั กช์ นั และการใช้ ฟงั กใ์ นชวี จิ รงิ ผูจ้ ดั ทาหวงั วา่ หนงั สอื อเิ ลก็ เทรอนกิ สเ์ ลม่ น้จี ะใหค้ วามรูแ้ ละเป็น ประโยชนแ์ ก่ผูอ้ า่ นทกุ ๆทา่ น ทางผูจ้ ดั ทาหวงั เป็นอย่างยง่ิ วา่ หนงั สอื อเิ ลก็ เทรอนิกส์ เลม่ น้จี ะเป็นประโยชนต์ ่อการเรยี นรู ้ และมปี ระโยชนต์ ่อผูศ้ ึกษา ไมม่ ากก็นอ้ ยหากมขี อ้ บกพร่องประการใด คณะผูจ้ ดั ทาขออภยั มา ณ ทน่ี ้ี คณะผูจดั ทา นกั เรยี นโรงเรยี นหนองพระพทิ ยา

สารบญั บทที่ 1 หน้า บทท่ี เนือ้ หา 1 บทท่ี 1ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั 2 ความสมั พนั ธ์ 1.1 ความสมั พนั ธ์ 3 และฟังก์ชนั 1.2 ฟังกช์ นั 9 1.3 การใชฟ้ ังกช์ นั ในชีวติ จริง 15 แบบฝึกหดั พร้อมเฉลย 22

1 บทที่ 1 I ความสมั พนั ธ์ และฟังก์ชนั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 1บทท่ี | ความสมั พนั ธแ์ ละฟังกช์ นั 1.1 ความสัมพนั ธ์และฟังกช์ นั 1.2 ฟังกช์ นั 1.3 การใชฟ้ ังกช์ นั ในชีวิตจริง แบบฝึดหดั พร้อมเฉย จุดมงุ่ หมาย 1. หาโดเมน เรนจ์ และตวั ผกผนั และเขียนกราฟของ ความสมั พนั ธ์ 2. จาแนกความสัมพนั ธท์ ่ีเป็นฟังกช์ นั และไม่เป็นฟังกช์ นั 3. หาโดเมนและเรนจ์ และเขียนกราฟของฟังกช์ นั 4. ตรวจสอบฟังกช์ นั หน่ึงตอ่ หน่ึง ฟังกช์ นั ทวั่ ถึง ฟังกช์ นั เพิม่ และฟังกช์ นั ลด

บทที่ 1 | ควาทสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 2 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 1.ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั ความหมายของความสัมพนั ธ์ ในทางคณิตศาสตร์ คู่อนั ดบั จะประกอบดว้ ย สมาชิกตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั เช่น คูอ่ นั ดบั (a,b) มี a เป็นสมาชิกตวั หนา้ และ b เป็นสมาชิกตวั หลงั คู่ อนั ดบั สองคู่ จะเท่ากนั กต็ อ่ เม่ือสมาชิกตวั หนา้ และตวั หลงั เท่ากนั น้นั คือ (a,b)=(c,d) กต็ อ่ เมื่อ a=c และ b=d

3 |บทท่ี 1 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั หนงั สือรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 1.1ความสมั พนั ธ์ *บทนิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อนั ดบั (a,b) ท้งั หมดโดยที่aเป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ย A×B (อ่าน วา่ เอ คูณ บี) เขียน A×B ในรูปแบบเซตแบบบอกเงื่อนไขไดด้ งั น้ี A×B = {(a,b) l a ∈ A และ b ∈ B } ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A = {1,2,3} และ B = {a,b} จงหา A×B และ B×A วธิ ีทา A× B = {(1,a),(1,b),(3,a),(5,a),(5,b)} B×A = {(a,1),(a,3),(a,5),(b,1),(b,3),(b,5)} จากตวั อยา่ งน้ีขา้ งตน้ จะเห็นวา่ A×B ≠ B×A

บทท่ี 1 I ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 4 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยาศึกษาปี ที่ 4 ความสมั พนั ธ์ เป็นสบั เซตของผลคูณคาร์ทีเซียนระหวา่ งเซตสองเซต ส่ิงท่ีควรทราบ 1. r เป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B กอ็ เมื่อ r เป็นสบั เซตของ A×B 2. ถา้ r แทนความสมั พนั ธ์ที่ r ⸦ A×B แลว้ r ถกู เรียกวา่ ”ความสมั พนั ธ์จาก A ไป B” 3. ถา้ r แทนความสมั พนั ธ์ท่ี r ⸦ A×B แลว้ r ถูกเรียกวา่ ”ความสมั พนั ธ์ใน A”หรือ”ความสมั พนั ธ์บนเซต A” 4. เน่ืองจาก ∅ เป็นสบั เซตของทุกเซตจะได้ ∅ ⸦ A×B แสดงวา่ ∅ เป็น ความสมั พนั ธ์จาก A ไป B 5. เนื่องจาก A×B ⸦ A×B แสดงวา่ A×B กเ็ ป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B ดว้ ยเช่นกนั ตวั อยา่ ง จะได้ว่า ������1 = ∅ กาหนดให้ A = {1,2} และ B = {3} ������2 = {(1,3)} จงแสดงความสมั พนั ธ์ตา่ งๆท่ีไดจ้ าก A×B ������3 = {(2,3)} วธิ ีทา A×B = {(1,3),(2,3)} ������4 = {(1,3),(2,3)}

5 |บทที่ 1 ความสมั พนั ธ์แลฟังกช์ นั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี่ ท่ี 4 กราฟของความสมั พนั ธ์ *บทนิยาม ให้ r เป็นสบั เซต R×R กราฟของความสมั พนั ธ์ r คือ เซตของจุดใน ระนาบท่ีแสดงคูอ่ นั ดบั ที่เป็นสมาชิกของความสมั พนั ธ์ r จากบทนิยามของกราฟของความสมั พนั ธ์ เมื่อทราบความสมั พนั ธ์ แลว้ จะเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ตา่ งๆไดด้ งั ตวั อยา่ ง ตวั อยา่ ง จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ r = {(x,y) ∈ A×A | x+y = 5} เมื่อกาหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} วธิ ีทา r= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

|บทท่ี 1 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 6 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี่ ท่ี 4 โดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ *บทนิยาม กาหนดให้ ������ เป็นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B -โดเมนของ ������ คือเซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคูอ่ นั ดบั ใน ������ เขียนแทนดว้ ย ������������ ������������ = {������ ∈ ������ ������ มี y ∈ ������ ซ่ึง (x, ������) ∈ ������} -เรนจข์ อง ������ คือเซตของสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ใน ������ เขียนแทนดว้ ย ������������ ������������ = {y ∈ B ������ มี x ∈ A ซ่ึง (������, ������) ∈ ������} หลกั การ การหาโดเมน 1.พิจารณาสมาชิกตวั หนา้ ของคูอ่ นั ดบั ทุกของความสมั พนั ธ์ 2.โดเมน คือเซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคูอ่ นั ดบั ทุกความสมั พนั ธ์ การหาเรนจ์ 1.พิจารณาสมาชิกตวั หลงั ของคูอ่ นั ดบั ทุกคู่อนั ดบั ของความสมั พนั ธ์ 2.เรนจ์ คือ เซตของสมาชิกตวั หลงั ของคูอ่ นั ดบั ทุกคู่ของความสมั พนั ธ์

7 |บทท่ี 1 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 ตวั อยา่ ง ให้ A = {-3,-2,-1,0,1,2,3} และกาหนดใหค้ วามสมั พนั ธ์ r บนเซต A คือ {(������, ������) ∈ A×A ������ y = ������2} จงหาโดเมนและเรนจข์ อง ความสมั พนั ธ์น้ี A×A = {(-3,-3), (-3,-2), (-3,-1), (-3,0), (-3,1), (- 3,2), (-3,3), (-2,-3), (-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-2,3), (-1,-3), (-1,-2), (-1,-1), (-1,0), (- 1,1), (-1,2), (-1,3), (0,-3), (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,-3), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,-3), (2,-2), (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (3,-3), (3,-2), (3,-1), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3)} วิธีทา ������ เป็นความสมั พนั ธ์บนเซต A หมายถึง r ⸦ A× A จะได้ ������ = {(-1,1), (0,0), (1,1)} ดงั น้นั ������������ = {-1,0,1} ������������ = {0,1}

|บทท่ี 1 ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 8 หนงั สือรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 ตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ *บทนิยาม ตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ r คือความสมั พนั ธ์ซ่ึงเกิดจากการ สลบั ที่ของสมาชิกตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั ในแตล่ ะค่อู นั ดบั ที่เป็น สมาชิกของ r ตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ r เขียนแทนด้วย ������−1 เขียน ������−1 ในรูปเซตแบบบอกเง่ือนไขไดด้ งั น้ี ������−1 = {(������, ������) ∈ B×A l (������, ������) ∈ ������} จากบทนิยาม ถา้ ������ เป็ นความสมั พนั ธ์จาก A ไป B แล้ว ������−1 จะเป็ น ความสมั พนั ธ์จาก B ไป A ตวั อยา่ ง จงหาตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ ������ พร้อมท้งั หาโดเมนและเรนจ์ เมื่อกาหนดให้ ������ = {(1,1),(3,2),(1,3),(4,1),(0,-1)} วธิ ีทา ������−1= {(1,1),(2,3),(3,1),(1,4),(-1,0)} ������������−1 = {-1,1,2,3} ������������−1 = {0,1,3,4}

9 |บทที่ 1 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 1.2ฟังก์ชนั *บทนิยาม ฟังกช์ นั คือ ความสมั พนั ธ์ซ่ึงคู่อนั ดบั สองคูอ่ นั ดบั ใดๆ ของ ความสมั พนั ธ์น้นั ถา้ มีสมาชิกตวั หนา้ เหมือนกนั แลว้ สมาชิกตวั หลงั ตอ้ งเหมือนกนั จากบทนิยาม ความสมั พนั ธ์ r จะเป็นฟังก์ชนั f ก็ตอ่ เม่ือ ถา้ (x,y) ∈ r และ (x,z) ∈ r แลว้ y = z ตวั อยา่ ง แผนภาพ ������1 และ ������2 ต่อไปน้ีเป็นฟังก์ชนั หรือไม่ ความสมั พนั ธ์ ������1 ไม่เป็นฟังก์ชนั เพราะสมาชิกตวั หนา้ ซ้ากนั แต่สมาชิก ตวั หลงั ตา่ งกนั ความสมั พนั ธ์ ������2 เป็นฟังกช์ นั เพระสมาชิกตวั หนา้ ไม่ซ้ากนั

|บทที่ 1 ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 10 หนงั สือเรีย รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาป่ี ที่ 4 การพิจารณาวา่ ความสมั พนั ธ์บนเซตของจานวนจริงเป็นฟังกช์ นั หรือไม่ อาจพิจารณาไดจ้ ากกราฟของความสมั พนั ธ์ โดยลากเสน้ ขนานกบั แกน Y ถา้ ไมม่ ีเส้น ขนานกบั แกน Y เส้นใดตดั กราฟของความสมั พนั ธ์ที่กาหนดให้ มากกวา่ 1 จุด ความสมั พนั ธ์น้นั จะเป็นฟังก์ชนั แต่ถา้ มีเส้นขนาน กบั แกน Y แมเ้ พียงเสน้ เดียวตดั กราฟมากกวา่ 1 จุดแลว้ ความสมั พนั ธ์น้นั จะไมเ่ ป็นฟังกช์ นั ตวั อยา่ ง กาหนดใหค้ วามสมั พนั ธ์มีกราฟดงั ตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใดเป็นฟังก์ชนั ไม่เป็ นฟังก์ชนั เป็นฟังกช์ นั

11 |บทท่ี 1 ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 ฟังก์ชนั จาก A ไป B (function from A into B) *บทนิยาม f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B กต็ ่อเมื่อ f เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็น A และเรนจเ์ ป็นสบั เซตของ B ฟังกช์ นั จาก A ไปทว่ั ถึง B ( function from A onto B) *บทนิยาม f เป็นฟังกช์ นั จาก Aไปทวั่ ถึง B ก็ตอ่ เมื่อ f เป็นฟังกช์ นั ท่ีมี โดเมนเป็น A และเรนจเ์ ป็น B ฟังก์ชันหนึง่ ต่อหน่งึ ( one-to-one function) *บทนยิ าม ������ เป็นฟังก์ชนั หนงึ่ ตอ่ หนงึ่ จาก A ไป B ก็ตอ่ เม่อื ������ เป็น ฟังก์ชนั จาก A ไป B ซงึ่ สาหรับ ������1 และ ������2 ใดๆ ใน A ถ้า ������ ( ������1) = ������(������2) แลว้ ������1=������2

|บทท่ี 1 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 12 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A = * a, b, c + และ ������ = *������, ������, ������+ f1 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������2 = ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ ������3 = ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ ������4 = * ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ + ������5 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������6 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������7 = * ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ + พิจารณาฟังก์ชนั ท่ีกาหนดวา่ มีฟังกช์ นั ใดบา้ งที่เป็น

13 |บทที่ 1 ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 ฟังกช์ นั เพิ่มและฟังกช์ นั ลด *บทนิยาม ให้ fเป็นฟังกช์ นั ซ่ึงมีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจริง และ A เป็นสบั เซตของโดเมน 1. ������ เป็ น ฟังกช์ นั เพมิ่ ( increasing function) บน เซต A ก็ตอ่ เมอื่ สาหรับ ������1 และ ������2 ใดๆใน A ถ้า ������1 < ������2 แลว้ ������(������1) < ������(������2) 2. ������ เป็ น ฟังกช์ นั ลด (decreasing function) บนเซต A ก็ตอ่ เมอื่ สาหรับ ������1 และ ������2 ใดๆ ใน A ถ้า ������1 < ������2 แล้ว ������ (������1) > ������(������2)

|บทท่ี 1 ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 14 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 ตวั อยา่ ง กาหนดฟังก์ชนั f(x)=2x3−3x2−12x+4f(x)=2×3−3×2−12x+4 จงตรวจสอบวา่ ff เป็นฟังกช์ นั เพ่ิมและฟังก์ชนั ลดบนช่วงใด จาก f(x)=2x3−3x2−12x+4f(x)=2×3−3×2−12x+4 จะไดf้ ′(x)=6x2−6x−12f′(x)=6×2−6x−12 ตรวจสอบช่วงที่เป็นฟังกช์ นั เพิ่ม ให้ f′(x)>0f′(x)>0 จะได้ 6x2−6x−12x2−x−2(x+1)(x−2)>>>0006×2−6x−1 2> 0x2−x−2>0(x+1)(x−2)>0 จะไดว้ า่ f′(x)>0f′(x)>0 บนช่วง (−∞,−1)(−∞,−1) และ (2,∞)(2,∞)และ f′(x)<0f′(x)<0 บนช่วง (−1,2)(−1,2) ตอบ ff เป็นฟังกช์ นั เพ่ิมบนช่วง (−∞,−1)(−∞,−1) และ (2,∞)(2,∞) และเป็นฟังก์ชนั ลดบนช่วง (−1,2)

15 |บทที่ 1 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 1.3การใชฟ้ ังกช์ นั ในชีวิตจริง ฟังกช์ นั เชิงเส้น ฟังกช์ นั เชิงเส้น ( linear function ) คือ ฟังก์ชนั ท่ีอยใู่ นรูป f(x)=ax+ b เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริง กราฟของฟังก์ชนั เชิงเสน้ จะเป็นเสน้ ตรงในระบบพิกดั ฉาก ฟังกช์ นั f(x)=ax+ b เมื่อ a =0 จะไดฟ้ ังก์ชนั ที่อยใู่ นรุป f (x) =b มีช่ือเรียกวา่ ฟันก์ชนั คงตวั ( comstant functiion)

|บทท่ี 1 ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั 16 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 ตวั อยา่ ง พ่อคา้ เปิ ดร้านขายอาหารกล่องเพ่ือสุขภาพ มีตน้ ทุนสองส่วน ส่วน แรกคือค่าเชา้ ร้านเดือนละ 4,000บาท ส่วนท่ีสองคือตน้ ทุนวตั ถดุ ิบ กลอ่ งละ 15 บาท พอ่ ต้งั ราคาขายไวท้ ี่กล่องละ40บาทจงหา 1)ฟังก์ชนั ตน้ ทุนในการผลิตอาหารกลอ่ ง x กลอ่ ง ในระยะเวลา 1 เดือน 2) ฟังก์ชนั รายไดจ้ ากการขายอาหารเพื่อสุขภาพ x กลอ่ ง ใน ระยะเวลา 1 เดือน 3) พ่อคา้ จะตอ้ งขายอาหารกล่องเดือนล่ะก่ีกล่อง จึงจะคุม้ ทุน วธิ ีทา 1) ให้ c แทนฟังกช์ นั ตน้ ทุนในการผลิตอาหารกล่อง x กล่องระยะเวลา 1 เดือน เน่ืองจากตน้ ทุนประกอบดว้ ยสองส่วนคือ คา่ เช่าร้านเดือนล่ะ 4000 บาท และตน้ ทนุ วตั ถุดิบ 15 บาทต่อกล่อง ดงั น้นั C(x) =15x+4000 2) ให้ R แทนฟังกช์ นั รายไดจ้ ากการขายอาหารกล่อง x กล่อง ในระยะเวลา 1 เดือน เน่ืองจากราคาขายอยทู่ ่ี 40 บาทตอ่ กล่อง ดงั น้นั R(x) =40x 3)จดุ คุม้ ทุนคือจดุ ที่รายไดเ้ ท่ากบั ตน้ ทุน น้นั คือ R(x)=C(x) 40x =15x+4000 25x=4000 x = 160 ดงั น้นั พอ่ คา้ จะตอ้ งขายอาหารกล่องเดือนละ 160 กล่อง จึงจะคุม้ ทุน

17 บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 ฟังก์ชนั กาลงั สอง ฟังกช์ นั กาลงั สอง ( quadratic functi0n) คือ ฟังก์ชนั ท่ีอยู่ ในรูป y = 〖ax〗^(2 )+ by +c เมื่อ a,b,c เป็น จานวนจริง ใดๆ และ a ≠0 ลกั ษณะของกราฟของฟังกช์ นั ข้ึนอยกู่ บั a,b และ c เม่ือ a เป็นจานวนบวกหรือจานวนลบ จะทาใหไ้ ดก้ ราฟ เป็นเสน้ โคง้ หงายข้ึนหรือควา่ ลง ตามลาดบั ดงั รูป กราฟของฟังกช์ นั กาลงั สองมีชื่อเรียกวา่ พาราโบล่า จุดวงกลบั คือ จุดยอดของพาราโบลา่

บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 18 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 ในกรณีที่ฟังก์ชนั กาลงั สองเขียนอยใู่ นรูปของ y = 〖ax〗^(2 )+ bx + c เมื่อ a≠0 การหาจุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดของกราฟทาได้ โดยจดั รูปสมการใหอ้ ยใู่ นรูปของกราฟทาไดโ้ ดยจดั รูปสมการใหอ้ ยู่ ในรูปของ y=〖a(x-h)〗^2+ k โดยอาศยั การจดั บางส่วนของ สมการใหอ้ ยใู่ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์ เพื่อใหห้ าจุดวงกลบั ของกราฟ หรือจุด (h,k) ไดง้ ่ายข้ึนดงั น้ี จาก ������ = ������������2 + ������������ + ������ เมอื่ ������ ≠ 0 จะได ้ ������ = ������2 + ������ ������ + ������ ������ ������ ������ ������ − ������ = ������2 + ������x ������ ������ ������ ������ − ������ + ������2 = ������2 + ������ ������ + ������2 ������ ������ 4������2 ������ 4������2 ������ + ������2−4������������ = ������ + ������2 ������ 4������2 2������ ������ = ������ + ������ 2 − ������2−4������������ 4������2 ������ 2������ ������ = ������ ������ + ������2 − ������2−4������������ 2������ 4������ ������ = ������ ������ − − ������2 2������

19 บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 ให้ℎ = ������ และ������ = 4������������−������2จะได้ ������ = ������ ������ − ℎ2 + ������ 2������ 4������ กราฟของ������ = ������������2 + ������������ + ������เม่ือ������ ≠ 0จะมีจดุ วกกลบั ที่จุด − ������ , 4������������−������2 ให้������ = ������ ������ จะได้ 2������ 4������ ������ ℎ = ������ดงั น้นั จึงอาจเขียนจุดวกกลบั ของ������ในรูป ������ ������ − 2������ , ������ − 2������ ไดเ้ ช่นกนั ตวั อยา่ ง จงเขียนกราฟของ������ ������ = ������2 − 2������ − 3 พร้อมท้งั หา 1)โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนั ������ 2)จดุ วงกลบั ของกราฟ 3)จดุ วงกลบั ของกราฟเป็นจดุ ท่ีฟังก์ชนั มคี า่ สงู สดุ หรือคา่ ตา่ สดุ และมีคา่ เทา่ ใด 4)จดุ ที่กราฟตดั แกน X

บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 20 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 วธิ ีทา จาก ������ ������ = ������2 − 2������ − 3 ������ ������ = ������2 − 2������ + 1 − 1 − 3 = ������ − 1 2 − 4 จะได้ a = 1, ℎ = 1 และ ������ = −4 เนื่องจาก a> 0 ดงั น้นั กราฟของ ������ จะหงายข้ึนและมีจุดวงกลบั ที่จุด 1, −4 เขียนกราฟของ ������ ������ = ������2 − 2������ − 3 ไดด้ งั น้ี

21 บทท่ี 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 1) จากกราฟ พบวา่ ������������ = ������ และ ������������ = ������������������ ≥ −4 2) กราฟมีจุดวงกลบั ท่ีจุด(1,-4) 3) จุดวงกลบั ของกราฟเป็นจุดท่ี ������ มีคา่ ต่าสุด และค่าต่าสุดคือ − 4 4) จากกราฟ พบวา่ กราฟตดั แกน x สองจุด หาจุดที่กราฟตดั แกน X โดยกาหนดให้ y= 0 น้นั คือ ������2 − 2������ − 3 = 0 (x-3)(x+1) = 0 X= 3 หรือ ������ = −1 ดงั น้นั กราฟตดั แกน X ท่ีจุด (3,0) และ (-1,0)

บทท่ี 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 22 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 แบบฝึ กหดั 1.จงหา A×B และ B×A กาหนด A และ B ดงั ต่อไปน้ี A={1,2}และ{3,6,7} วธิ ีทา A×B={(1,3),(1,6),(1,7),(2,3),(2,6),(2,7)} B×A={(3,1),(3,2),(6,1),(6,2),(7,1),(7,2)} จะไดว้ า่ A×B≠B×A 2.ถา้ E={1,2,3} และ r={(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(3,3),(2,1)} แลว้ จงพิจารณาวา่ r เป็นความสมั พนั ธ์บนเซต E หรือไม่ วธิ ีทา E×E={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1)(2,2),(2,3), (3,3),(3,3)} ตอบ r เป็นความสมั พนั ธ์บนเซต E r ∁ E×E 3.จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปน้ี r={(-3,9),(-2,4),(-1,1),(2,4),(3,9)} ������������ = −3, −2, −1,0,1,2,3 ������������ = *0,1,4,9+

23 บทท่ี 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังกช์ นั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 4. จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปน้ี ������ = ������, ������ ∈ ������ × ������������������ = ������ − 2 วิธทา������������ ������ = ������ − 2 ������������ ������ = ������ − 2 ∴ ������������ = ������ ������ = ������ + 2 ∴ ������������ = z 5.จงหาตวั ผกผนั ของความสมั ผนั พร้อมท้งั หาโดเมนและเรนจ์ ของตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์ดงั ต่อไป ������ = 1,2 , 4,3 , 2,2 , 2,1 , 3,1 ������−1= 2,1 , 3,4 , 2,2 , 1,2 , 1,3 ������−1 1,2,3 ������−1 1,2,3,4 6. ������ = ������, ������ ������������ = 2 − 3������ ������−1 ������, ������ ������������ = 2 − 3������ ������������−1 = ������ ������−1 = ������

บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 24 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 7.กาหนดใหA้ = *a, b, c+ และ B = *b, c, d+ ������1 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������2 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������3 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������4 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������5 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������6 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ ������7 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ พิจารณาฟังก์ชนั ท่ีกาหนดใหว้ า่ มีฟังชนั ใดบา้ งท่ีเป็น 1).ฟังกช์ นั จากAไปB ตอบ ������1= *(������,������),(������,������),(������,������)+ ������6 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+

25 บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 2).ฟังก์ชนั จากAไปทวั่ B ตอบ ������= *(������,������),(������,������),(������,������)+2 ������5 = *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ 3).ฟังกช์ นั จากBไปA ตอบ ������3= *(������,������),(������,������),(������,������)+ 4).ฟังกช์ นั จากBไปทวั่ ถงึ B ตอบ ไมม่ ี 5).ฟังกช์ นั จากAไปA ตอบ ������4= *(������,������),(������,������),(������,������)+ ������6= *(������,������),(������,������),(������,������)+ 6).ฟังกช์ นั 1-1จากAไปB ตอบ ������2= * (������,������),(������,������),(������,������) + ������5= *(������, ������), (������, ������), (������, ������)+ 7).ฟังกช์ นั Bไปทวั่ ถงึ A ตอบ ������7= *(������,������),(������,������),(������,������)+

บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 26 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 8.ให้ ������ เป็นฟังก์ชนั ที่มีกราฟดงั รูป จงระบุช่วงท่ี ������ เป็นฟังก์ชนั เพ่มิ และช่วงที่������เป็นฟังก์ชนั ลด วธิ ที า ฟังกช์ นั ������ เป็ นฟังกช์ นั เพม่ิ บน ชว่ ง −∞, −4 และบนชว่ ง 0,7 ฟังกช์ นั ������ เป็ นฟังกช์ นั ลดบน ชว่ ง −4,0 และบนชว่ ง ,7, ∞)

27 บทท่ี 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ที่ 4 9.ฟังกช์ นั แสดงราคารถยนตย์ ห่ี อ้ หน่ึงเมื่อเวลาผา่ นไปเป็นฟังกช์ นั เชิง เส้น ถา้ ปัจจุบนั รถยนตม์ ีราคา 500,000 บาท และในอีก 5 ปี ขา้ งหนา้ รถยนตจ์ ะมีราคา 350,000 บาท จงหา 1)ฟังกช์ นั แสดงราคาของรถยนตเ์ มื่อเวลาผา่ นไป ������ 2)เม่ือเวลาผา่ นไปสองปี รถยนตย์ ห่ี อ้ น้ีจะมีราคาลดลงเหลือเท่าใด วธี ที า 1) ให้ ������(������) = ������������ + ������ เป็น ฟังก์ชนั แสดงราคาของรถยนต์เมื่อเวลาผ่านไป ������ ปี โดย ������ และ ������ เป็ นคา่ คงตัว จากโจทย์ ������ 0 = 500,000 และ ������ 5 = 350,000 จะได ้ ������ = 500,000 และ 350,000 = 5������ + 500,000 ������ = 350,000−500,000 5 = −30,000 ดงั นัน้ ������ ������ = 500,000 − 30,000������

บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั 28 หนงั สือเรียน รายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 2) เม่ือ ������ = 2จะได้ ������ 2 = 500,000 − (30,000 × 2) = 440,000 ดงั น้นั เม่ือเวลาผา่ นไปสองปี รถยนตืย่ีหอ้ น้ีจะมีราคาลดลงเหลือ 440,000 บาท 10.ชายคนน่ึงโยนลูกบอลข้ึนไปในอากาศในแนวด่ิง ถา้ ความสูงจาก พ้ืนดินของลกู บอลมีหน่วยเป็นฟตุ ซ่ึงหาไดจ้ าก ������ ������ = −������2 + 2������ + 3เมื่อ������แทนระยะเวลาต้งั แต่เร่ิมโยนลกู บอลมีหน่วยเป็นวนิ าที จงหาวา่ 1)เม่ือเวลาผา่ นไปนานเท่าใด ลูกบอลจะอยสู่ ูงที่สุดจากพ้ืนดิน และลูก บอลจะอยสู่ ูงจากพ้ืนดินเท่าใด 2)เม่ือเวลาผา่ นไปนานเท่าใด ลกู บอลจึงตกถึงพ้ืนดิน

29 บทที่ 1 | ความสมั พนั ธ์และฟังก์ชนั หนงั สือเรียน รายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ มธั ยมศึกษาปี ท่ี 4 วธิ ีทา 1) กราฟของ ������ = ������������2 + ������������ + ������ เมื่อ ������ ≠ 0 จะมีจุดวกกลบั คือ − ������ , ������ − ������ จาก ������(������) = −������2 + 2������ + 3 2������ 2������ จะไดจ้ ุดวกกลบั เมื่อ ������ = − 2 = 1 2(−1) และ ������ 1 = − 12 + 2 1 + 3 = 1 นน่ั คือ เมื่อเวลาผา่ นไป 1 วินาที ลูกบอลจะอยสู่ ูงท่ีสุดและอยสู่ ูงจาก พ้นื ดิน 4 ฟตุ 2) เมอ่ื ลกู บอลตกถงึ พนื ้ ดิน นนั่ คอื ������(������) เทา่ กบั ศนู ย์ จะได้ – ������2 + 2������ + 3 = 0 ������2 − 2������ − 3 = 0 ������ − 3 ������ + 1 = 0 ดงั นนั้ ������ = 3 หรือ ������ = −1 เน่ืองจากระยะเวลาท่โี ยนลกู บอลขนึ ้ ไปจนกระทง่ั ลกู บอลตกถึงพนื ้ ดนิ จะต้อง มากกวา่ ศนู ย์ ดงั นนั้ ลกุ บอลจะตกถึงพนื ้ ดนิ เมอื่ โยนลกู บอลขนึ ้ ไปนาน 3 นาที

จดั ทาโดย นายธเนศ ต่างจรูญ เลขที่ 1 นายอดิศา คะเลรัมย์ เลขท่ี 2 นางสาวณฐั นิชา อน้ ภู้ เลขท่ี4 นางสาวสายสมร ประชาพนั ธ์ เลขที่ 8 นางสาวสิริธญั ญ์ สุวรรณ์ดวง เลขท่ี 9 นางสาววชิรญาณ์ คาปลิว เลขท่ี 11 นางสาวศรัญยา สุดงาม เลขที่ 14


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook