Математик XII анги Нөхцөл b1 = k ⋅b2 байх k тоо a1 + t1b1 = a2 + t2 b2 a1 + t1b1 = a2 + t2 b2 байх олдоно. тэнцэтгэл биелнэ. t1, t2 -ийн утга олдохгүй. r r 2i j 5k i + j−k i j k ( )Жишээ 1 а. = − + + t1 . ба = (3 + t2 ) + (t2 −1) + (5 − t2 ) шулуунууд параллел эсэхийг тодорхойл. Бодолт. Шулуунуудын параллел эсэхийг тодорхойлохдоо тэдгээрийн чиглүүлэгч векторыг олох ( )хэрэгтэй. Энд эхний шулууны чиглүүлэгч вектор нь b1 = i + j − k байна. Гэвч дараагийн шулууны чиглүүлэгч векторыг шууд хэлэх боломжгүй байна. Иймд эхлээд хувиргалт ( ) ( )хrи=йв(3эл+ t2 ) + (t2 − 1) + (5 − t2 ) = + + t2 − + − = + t2 болох i j k 3i t2i j j 5k t2k 3i − j + 5k i + j−k ( )эндээс чиглүүлэгч вектор нь b2 = i + j − k байна. Хоёр шулууны чиглүүлэгч векторууд тэнцүү ( b1 = b2 ) тул шулуунууд параллел байна. Жишээ 1 а. ( x, y, z ) = (2, −1, 5) + t1 (1,1, −1) ба ( x, y, z ) = (3, −1, 5) + t2 (2, 2, −1) шулуунууд параллел эсэхийг тодорхойл. Бодолт. Хоёр шулууны чиглүүлэгч векторуудыг бичвэл b1 = (1,1, −1) ба b2 = (2, 2, −2) байна. Эдгээр векторууд нь (2, 2, −2) = 2 (1,1, −1) хамааралтай байна. Өөрөөр хэлбэл b2 = 2b1 байх k = 2 тоо олдож байгаа тул шулуунууд параллел байна. Жишээ 2. r1 = (4 − t1)i + (8 − 2t1 ) j + (3 − t1 ) k ба r2 = (7 + 6t2 ) i + (6 + 4t2 ) j + (5 + 5t2 ) k шулуунууд параллел, огтлолцсон эсвэл солбисон аль нь болохыг тодорхойл. ( ) ( )Бодолт. Шулуунуудын чиглүүлэгч векторуудыг олбол b1 = i + 2 j + k ба b2 = 6i + 4 j + 5k байна. b1 ≠ b2 =тул шулуунууд параллел биш. Параллел биш тул огтлолцсон эсвэл солбисон байна. Хэрэв хоёр шулуун огтлолцсон байвал ерөнхий цэг олдоно. Х(4эр−эt1в)iш+ул(8уу−н2уt1у)дjо+гт(л3о−лtц1 )соkн=б(а7й+ва6лt2 )r1i=+r(2 байх )цэj г+о(л5д+о5нtо2 .) Эндээс ба i,� j,�k векторуудыг 6 + 4t2 k болох координараат нь харгалзан тэнцүүлбэл 4 − t1 = 7 + 6t2 (I), 8 − 2t1 = 6 + 4t2 (II), 3 − t1 = 5 + 5t2 (III) болно. Улмаар (I) ба (II)-оос үүсэх 64tt22 + t1 = −3 тэгшитгэлийн системээс t1 ба t2 -ийг олбол t1 = 3, t2 = −1 гарч байна. + 2t1 = 2 Эдгээр утгуудыг (III)-д орлуулбал 3 − 3 = 0 ба 5 + 5×(−1) = 0 тэнцүү утгууд гарч байгаа тул r1 = r2 байна. Ө( 4ө−рө3ө)рi хэлбэл t1 = 3 , t2 = −1 үед r1 = r2 байна. радиус вектортой цэгээр огтлолцоно. (эхний j k =i + 2 j буюу i + 2 j +(8− 2 ×3) + (3−3) шулууны t1 = 3 үед) Жишээ 3. ( x, y, z ) = (1, 2, −1) + t1 (2, −3, 4) ба ( x, y, z ) = (4, −2, −5) + t2 (−1, 2,1) шулуунууд параллел, огтлолцсон эсвэл солбисон аль нь болохыг тодорхойл. Бодолт. Шулууны чиглүүлэгч векторууд b1 = (2, −3, 4) , b2 = (−1, 2,1) бөгөөд коллинеар биш нь илэрхий тул шулуунууд параллел биш байна. Параллел биш тул огтлолцсон эсвэл солбисон байна. Хэрэв хоёр шулуун огтлолцсон байвал ( x, y, z ) гэсэн ерөнхий цэг олдоно. Шулуунуудын параметрт тэгшитгэлийг бичвэл x = 1+ 2t1 ба y x=4 − t2 болно. y = 2 − 3t1 = −2 + 2t2 z = −1+ 4t1 z = −5 + t2 Хооронд нь тэнцүүлбэл 1+ 2t1 = 4 − t2 ба 2t1 + t2 =3 болно. 2 − 3t1 = −2 + 2t2 3t1 + 2t2 =4 −1+ 4t1 = −5 + t2 4t1 − t2 = −4 113
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном (I) ба (II) тэгшитгэлээс 32t1t1++2tt22 =3 тэгшитгэлийн систем үүсэх ба эндээс t1 = 2, t2 = −1 гарна. Хэрэв =4 эдгээр утгыг (III) тэгшитгэлд орлуулахад үнэн тоон тэнцэтгэл гарвал шулуунууд нэг цэгээр огтлолцоно. Өөрөөр хэлбэл энэ утгаа тэгшитгэл бүрд орлуулахад шулууны огтлолцлын цэгийн координат гарна. Харин худал тоон тэнцэтгэл гарч байвал шулуунууд солбисон байна. 4t1 − t2 = −4 тэгшитгэлд орлуулахад 4⋅ 2 − (−1) = 9 ≠ 4 гарч байгаа тул эдгээр шулуунууд огтлолцохгүй, харин солбисон байна. Жишээ 4. ( x, y, z ) = (3,1, −1) + t1 (2, −2, 3) ба ( x, y, z ) = (5, −1, 2) + t2 (1, −3, 5) шулуунуудын огтлолцлын цэгийн координатыг ол. x = 3 + 2t1 x = 5 + t2 Бодолт. Шулуунуудын параметрт тэгшитгэлийг бичвэл y = 1− 2t1 ба y = −1− 3t2 болно. z = −1+ 3t1 z = 2 + 5t2 Эдгээрийг хооронд нь тэнцүүлбэл 13−+2t21 t1==−51 + t2 болох бөгөөд системийн эхний хоёр − 3t2 −1+ 3t1 = 2 + 5t2 тэгшитгэлээс t1, t2 -ийг олбол =t1 1,=t2 0 гарна. Олсон утгыг системийн 3 дахь тэгшитгэлд орлуулахад 2 = 2 гэсэн үнэн тоон тэнцэтгэл гарч байгаа тул 2 шулуун огтлолцоно. Огтлолцлын цэгийн координатыг олбол (5, −1, 2) болно. Хоёр шулууны хоорондох өнцгийг олох XI ангийн сурах бичгийн VII бүлэгт огторгуй дахь хоёр векторын z B (b1,b2 ,b3 ) хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг судалсан. Огторгуй дахь хоёр векторын хоорондох өцгийн косинус нь хавтгайд тодорхойлсонтой ( OA ⋅ OB ) B ( 4, −3, 2) b a A(a1, a2 , a3 ) α адилаар cosα = OA OB байдаг. y O ( )Харин x Хэрэв 2 90A°(2=б,3а,й−1н)а. OA⋅OB = a1b1 + a2b2 + a3b3 байна. α өнцөг вектор перпендикуляр бол тэдгээрийн хоOо(р0,о0н,0д) ох ( )α = 90° гэдгээс cos 90° = 0 тул OA⋅OB = 0 байна. Үгээр илэрхийлбz эл тэгээс ялгаатай хоёр векторын хоорондох өнцөг 90° =бол векторуудын скаляр үржвэр нь тэг байна. B (b1,b2 ,b3 ) Урвуугаар тэгээс ялгаатай хоёр векторын скаляр үржвэр тэг бол тэдгээр векторууд перпендикуляр B(4,−3,2) ( )байна.1.aa⋅ b= (9, 2, −4) , = (−2, 3, −3) векторууд гэж харуOул. A(a1, a2 , a3 ) b Жишээ перпендbикуaляр y Бодолт. = 9⋅(−2) + 2⋅3 + (−4)⋅(−3) = −18 + 6 +12 = 0 буюу скаляр xүржвэр нь тэгтэй тэнцүαү тул A ( 2, 3, өгсөн векторууд перпендикуляр байна. гэж B A үүсэх O ( 0, 0, 0) Оглолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцөг тэдгээриαйн хооронд α хамар хос өнцгийн мохоо биш өнцгийг хэлнэ. Зурагт үзүүлсэн α өнцөг нь 180° − α l1′ l2 оХгэтрлэовлцшсоунлушуунлууууднуоугдтылонлхцооооргоүнйд,охсоөлнбциөсгобнолбнаоAй′.вал тэдгээрийн хоорондох l1 өнцгийг тодорхойлох боломжтой. Солбисон шулуунуудын хоорондох өнцөг гэж аль нэг шулууны нэг цэгийг дайрсан, нөгөө шулуунтай параллель α x шулууны уг шулуунтай үүсгэх өнцгийг хэлнэ. Зурагт үзүүлэв. Тэгвэл огторгуй дахь хоёр шулууны хоорондох өнцгийг олох нь тэдгээрийн чиглүүлэгч векторуудын хоорондох өнцгийг олохтой ижил юм. Жишээ 2. O,� A,� B цэгүүдийн координатууд харгалзан (0, 0, 0) , (2, 3, −1) , (4, −3, 2) бол ∠AOB -г ол. 114
Математик XII анги ( OA ⋅ OB ) B ( 4, −3, 2) Бодолт. OA,�OB� векторуудын хоорондөх өнцгийг α гэвэл cos α = OA OB байна. Энд OA = (2, 3, −1) ба OA = 22 + 32 + (−1)2 = 14 . B ( 4, −3, 2) OB = (4, −3, 2) ба OB = 42 + (−3)2 + 22 = 29 . α A(2,3,−1) ( )OA⋅OB = 2× 4 + 3⋅(−3) + (−1)⋅ 2 = 8 − 9 − 2 = −3 O ( 0, 0, 0) α A ( 2, 3, −1) z O ( 0, 0, 0) ( )OA⋅OB −3 = … болно. Энд α өнцгийн косинус сөрөг байгаа нь уг z B (b1,b2 , 14 29 cosα = OA OB = өнцөгb мaохоо O x гэдгийг харуулж байна. Анхаар. ∠AOB -г олохдоо OA , OB векторуудын скаляр үржвэрийг олсон. b a B A Хэрэв AO , OB векторуудын скаляр үржвэрийг авч үзвэл энэ нь ∠A′OB α AO x өнцгийг 3о.лнrо гэсэн үг. Иймд ∠A′OB =r18=0(02−, ∠AOB болно. Зураг хар. бүхий A′ Жишээ = (1, 0, 4) + t1 (2, −1, −1) , −1, 3) + t2 (3, 0,1) тэгшитгэл шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт. Эдгээр шулууны хоорондох өнцөг нь OA = (2, −1, −1) ба OB = (3, 0,1) чиглүүлэгч векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. ( OA ⋅ OB ) томьёо ашиглавал cosα = 2⋅3 + (−1)⋅0 + (−1)⋅1 = 5 учраас cosα = 22 + ( −1)2 + ( −1)2 ⋅ 32 + 02 +12 6 ⋅ 10 OA ⋅ OB α ≈ 49.8° байна. Жишээ 4. A (−6, −15, 7) , B (−7, −15, 8) , C (14, −10, 9) , D (14, −10, 7) цэгүүд өгсөн бол AB,�CD шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт. AB ба CD шулуунуудын чиглүүлэгч векторыг олбол AB = (1, 0,1) , CD = (0, 0, −2) болно. cos α = ( AB ⋅CD) = −2 = −2 = − 1 болох ба α өнцөг нь мохоо учраас хамар D AB . CD 8 2 2 2 A 135° 45° B өнцгийг нь авбал α = 45° байна. C ax + by + cz =�d эсвэл (r − a, n) = 0 хэлбэрээр илэрхийлэгдэх хавтгайн тэгшитгэлийн бүх тэмдэгтүүдийн утгыг ойлгох Огторгуй дахь аливаа хавтгайг түүн дээр орших нэг цэг болон уг z хавтгайд перпендикуляр тэгээс ялгаатай вуегкхтаовртогоарйдтопдеоррпхеонйдлижкублоялрноn. n A α хавтгай дээр орших A ( x0 , y0 , z0 ) цэг, хвеаквттогарйнөнгсоөрнмалбавйегк.тоХрагвэтнгэа.йЗдурпаегртпүезнүдүилксуэлнярn аливаа векторыг уг R вектор нь α хавтгайн нормал вектор байна. A цэгийн радиус вектор OA = a байг. Уг хавтгай O y x дээр A -аас ялгаатай, OR = r радиус αвекхтаовртгтаоййтадйурпыанралRл(еxл,бyө,гzө)өдцэnг авъя. Тэгвэл AR = OR − OA вектор нь ( )нормал векторт перпендикуляр тул rэд−гaээртувлект(о(рrы−нa )с⋅кnа)ля=р0 үржвэр тэг байна. Өөрөөр хэлбэл AR ⋅ n = 0 байна. Энд OR − OA = байна. Үүнийг хавтгайн вектор тnэг=ш(иaт, bгэ, лc гэж нэрлэдэг. радиус векторууд харгалзан OR = ( x, y, z), OA = ( x0 , y0 , z0 ) тул R , A цэгийн ) ба AR = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) байна. Эндээс ( x − x0 ) a + ( y − y0 ) b + ( z − z0 ) c = 0 болно. Улмаар ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0 болох ба ax0 + by0 + cz0 = d гэж тэмдэглэвэл ax + by + cz = d гэсэн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэл гарна. а. Хавтгай дээр орших нэг цэг болон хавтгайд перпендикуляр вектор (нормал вектор)-оор хавтгайг 115
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном тодорхойлж болно. цэгийг дайрсан, нормал вектор нь n = (4, 5, 6) байх хавтгайн тэгшитгэлийг бич. Жишээ 1. A (2,1, 3) Бодолт. A цэгийн радиус вектор OA = (2,1, 3) болох ба хавтгай дээрх дурын R ( x, y, z ) цэгийн радиус вектор OR = ( x, y, z ) бЭанйднаө.гХсөанвтnга=йн(4,т5э,г6ш) интогрэмлаилйгвебкитчоврэнль(хxа−вт2г)а4йн+ ( y −1) 5 + ( z − 3) 6 =0 буюу 4 x + 5y + y,� z 6z = 31 болно. тэгшитгэлийн x,� -Жийиншкэоээф2ф. ицAи(е2н, т−3б,о1л)охцыэггисйуграаггчудуаласраанж, иnгл=уу(л3а, −ар2а, й5.) нормал вектортой хавтгайн тэгшитгэлийг бичээрэй. Бодолт. Нормал векторын координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийн x,� y,� z -үүдийн өмнөх коэффициентүүд тул хавтгайн тэгшитгэл 3x − 2 y + 5z + d = 0 байна. d - тогтмол тоо. A (2, −3,1) цэг нь хавтгай дээр орших тул координатууд нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангаж байх ёстой. Эндээс уг цэгийн координатуудыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж тавихад d олдоно. Өөрөөр хэлбэл 3⋅ 2 − 2⋅(−3) + 5⋅1+ d = 0 ба d = −17 болно. Эцэст нь хавтгайн тэгшитгэлийг бичвэл 3x − 2 y + 5z −17 = 0 болно. Жишээ 3. A (3, −4, 5) ба B (2,1, 2) цэгүүд өгөв. AB шулуунд перпендикуляр бөгөөд A цэгийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт. Тэгшитгэлийг нь бичих хавтгай нь AB шулуунд перпендикуляр гэдгээс AB вектор нь хавтгайн нормал вектор болно. AB = (2 − 3,1− (−4) , 2 − 5) = (−1, 5, −3) болно. Хавтгай дээрх A -аас ( )ялгаатай дурын P ( x, y, z ) цэг авч үзвэл AP = ( x − 3, y + 4, z − 5) байна. AB ⋅ AP = 0 байх тул −1( x − 3) + 5 ( y + 4) − 3 ( z − 5) = 0 буюу x − 5y + 3z − 38 = 0 тэгшитгэл гарна. б. Коллинеар биш (нэг шулуун дээр үл орших) 3 цэгийг дайруулж цор ганц хавтгай татаж болдог. Иймд өгсөн 3 цэгээр нэг хавтгайг тодорхойлж болно. Шулууныг хавтгайд ч огторгуйд ч хоёр цэгээр тодорхойлж болдог. Харин огторгуйд хоёр цэгээр хавтгайг тодорхойлж болохгүй. Мөн нэг шулуун дээр орших 3 цэгээр ч хавтгайг тодорхойлж чадахгүй. Нэг шулуун дээр орших 3 цэгийг агуулсан төгсгөлгүй олон тооны шулууныг хавтгай агуулж байдаг. Харин нэг шулуун дээр үл орших 3 цэгээр хавтгайг тодорхойлж болдог. Энэ үед хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн бичихийг авч үзье. Үүний тулд эхлээд =өхг(осxоө,рнyо,хнzод)ёороввеекпкттаооррратллөпегелсрөпнебнидбшиакйуг.лbя=Өр ө(вaре,өкbтө,орcр)ых,�cгэлх=бэ(эрmлхэ, нna,оl⊥л)оbх,выегкaатво⊥чрc,үзьэгдеэ.гдэгээрэс векторт Тпеэргэпэесндияклуглааятрайa, скаляр үржвэрүүд нь тэгтэй тэнцүү байна. Скаляр үржвэрийг олбол (a, b, c)⋅( x, y, z) = 0 ба (m, n, l )⋅( x, y, z) = 0 байна. Эндээс ax + by + cz = 0 mx + ny + lz = 0 гурван хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн систем үүснэ. Эхний тэгшитгэлийг l -ээр, хоёр дахь тэгшитгэлийг c -ээр үржүүлж, хооронд нь хасвал alx − mcx + bly − ncy = 0 буюу (al − mc) x + (bl − nc) y = 0 болно. Гарсан хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл нь төгсгөлгүй олон шийдтэй. Эдгээрээс нэг шийд нь x = bl − nc y = mc н−ьalbб=ай(нaа, b. ,Эcд)г,э� �cэр=и(й,mг орлуулж z -ийг олбол z = na − mb болно. нь (bl − nc,�mc − al,�na − mb) Эцэст n, l ) векторуудад перпендикуляр вектор байна. Үүнийг сурагчид цээжлэхэд амаргүй байж болох юм. x (bl − nc) − y ( al − mc ) + z ( an − bm) = x b c − y a c +z a b = x y z n l m l m l a b c гэж 3×3 матрицын m n l тодорхойлогч хэлбэртэй бичиж болдог. Нэг шулуун дээр үл орших A,� B,�C цэгүүд өгсөн үед AB ба AC векторуудад перпендикуляр вектор нь бидний олох хавтгайн нормал вектор болно. Хавтгайн тэгшитгэлийг хэрхэн бичихийг дараах жишээгээр үзүүлэв. 116
Математик XII анги Жишээ 4. A (−3, −1, −2) , B (4, 6, 2) , C (5, −4,1) цэгүүдийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт A. AB,� AвеCктвоерктноьруnуд=ы(г7 олбол AB = (7, 7, 4) ба ( AC = (8, −3, 3) болно. Эдгээр векторуудад перпендикуляр 7⋅ (33,11, −77 ⋅3 − (−3)⋅ 4, 8⋅ 4 − 7 ⋅3, −3) −8⋅7) = ) болох бөгөөд энэ нь бидний олох хавтгайн нормал вектор юм. (33,11, −77) = 11(3,1, −7) гэж бичиж болно. Хавтгайн тэгшитгэлээ бичвэл 3x + y − 7z + d = 0 болох ба A (−3, −1, −2) цэг хавтгай дээр орших тул координат нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангах ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулбал 3⋅(−3) + (−1) − 7 ⋅(−2) + d = 0 буюу d = −4 болж хавтгайн тэгшитгэл 3x + y − 7z − 4 = 0 болно. Бодолт Б. ax + by + cz = d хавтгайн тэгшитгэлд A,� B,�C цэгүүдийн координатуудыг орлуулбал −3a − b − 2c = d ( I ) 4a + 6b + 2c = d ( II ) тэгшитгэлийн систем үүснэ. (I) дээр (II)-ыг нэмбэл a + 5b = 2d (IV), (III)-ыг 5a − 4b + c = d ( III ) 2-оор үржүүлж (I) дээр нэмбэл 7a − 9b = 3d (V) гарна. (IV) ба (V)-аас a = 3 d , b = 1 d гарна. Эдгээр 4 4 утгыг (I), (II), (III)-ын аль нэгэнд орлуулж c -г олбол c = − 7 d гарна. Өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн 4 a,�b,�c коэффициентүүдийг d -ээс хамааруулж олоход a = 3 d, b = 1 d, c = − 7 d байна. Эдгээр 44 4 утгуудыг хавтгайн тэгшитгэлдээ орлуулбал 3 dx + 1 dy − 7 dz = d буюу 3dx + dy − 7dz = 4d болно. 4 4 4 Хэрэв d = 0 бол a= b= c = 0 болно. Энэ нь боломжгүй. Хэрэв d ≠ 0 = гэж үзээд тэгшитгэлийн тэнцүүгийн тэмдгийн хоёр талыг d -д хуваавал 3x + y − 7z − 4 = 0 хавтгайн тэгшитгэл гарч байгаа нь өмнөх бодлогын хариутай тохирч байна. в. Огтлолцсон 2 шулууныг агуулсан цор ганц хавтгай татаж болно. Иймд огтлолцсон 2 шулуунаар нэг хавтгайг тодорхойлж болно. Хэрхэн олохыг дараах жишээгээр үзүүлэв. Жишээ 5. l1 : r = 3i + 4 j + k + t (2i − 5 j + k ) ба l2 : r = i + 9 j + t (−3i + 2 j + 4k ) шулуунуудыг агуулсан хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт. Хоёр шулууныг агуулсан хавтгай оршин байхын тулд тэр хоёр шулуун параллел эсвэл огтлолцсон байна. Иймд эхлээд өгсөн хоёр шулуун параллел эсвэл огтлолцсон эсэхийг мэдэх хэрэгтэй. Үүний тулд шулуунуудын чиглүүлэгч векторуудыг авч үзье. l1 шулууны чиглүүлэгч вектор m1 = (2, −5,1) ба l2 шулууны чиглүүлэгч вектор m2 = (−3, 2, 4) . Эндээс m1 ≠ m2 =тул хоёр шулуун параллел биш. Тэгвэл шулуунууд огтлолцсон гэдгийг харъя. x = 3 + 2t x = 1− 3s Шулуунуудын параметрт тэгшитгэлийг бичвэл y = 4 − 5t ба y = 9 + 2s болно. Эндээс t = −1 , s=0 z = 1+ t z = 4s гарна. Олсон утгуудыг хоёр параметрт тэгшитгэлүүдийн эхнийхэд орлуулахад x = 3 + 2⋅(−1) = 1 , x = 1− 3⋅0 = 1 буюу 1 = 1 үнэн тоон тэнцэтгэл гарч байгаа тул шулуунууд огтлолцсон байна. x = 3 + 2⋅(−1) = 1 Огтлолцлын цэгийн координатыг олбол y = 4 − 5 (−1) = 9 болно. Өөрөөр хэлбэл хоёр шулуун (1, 9, 0) z = 1+ (−1) = 0 цэгээр огтлолцоно. Одоо эдгээр шулууныг агуулсан хавтгайн тэгшитгэл бичье. шШЭnnцу==уэллс((уут2−уу,2нн1н2уь,у1,уу−)nдд1ыб=ы1но,н(л−2чн1,ич1о1иг,.)л1гүл)бүүунлүюоэлргэучмгча(вл−евь2кет2вко,ет−ркоу1труо1д,рн−атьд1о1йпт),еэ=р(д1пг−,эе91эн,1рд0(ии)2йк,цг1уэ,л1гая)игруйгугnэлждсвааейбнкритсчхоаиарнжвытхггбааовойтллнгъоаёхйн. нотуртлмэгахшлавивттеггакэйтлоннрнь обромлнаол. Иймд вектор 2 ( x −1) +1( y − 9) +1( z − 0) = 0 буюу 2x + y + z −11 = 0 болно. 117
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Зай, өнцөг, огтлолцолтой холбоотой асуудал шийдвэрлэхэд хавтгай, шулууны тэгшитгэлийг ашиглах 1. Хангалттай мэдээлэл өгсөн тохиолдолд шулуун ба хавтгайн тэгшитгэлийг олох Жишээ 1. Координатын эх O цэг болон A,� B,�C цэгүүдийн радиус векторууд харгалзан OA = j − 2k, OB = 4i + 3 j − 4k, OC = 4i − 3 j + 2k гэж өгсөн байг. M нь AB -ийн дундаж цэг. N нь AC хэрчим дээр орших бөгөөд AN = 3NC байг. а. MN шулууны вектор тэгшитгэлийг бич. б. MN BC = P бол P цэгийн радиус векторыг ол. Бодолт. а. A,� B,�C цэгүүдийн координатуудыг бичвэл харгалзан (0,1, −2) , (4, 3, −4) , (4, −3, 2) байна. M нь AB -ийн дундаж цэг тул координат нь (2, 2, −3) байна. AN = 3NC гэдгээс N цэг нь AC хэрчмийг 4 хуваасны нэг дээр оршино гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл AC -ийн дундажын дундаж цэг дээр оршино. AC -ийн дундаж цэгийг D гэвэл координат нь (2, −1, 0) байна. Харин DC -ийн дундаж цэг N тул координат нь (3, −2,1) болно. Одоо M ,� N цэгүүдийг дайрсан шулууны вектор тэгшитгэлийг бичье. Эдгээр цэгүүдийн радиус векторууд OM = (2, 2, −3) ,ON = (3, −2,1) байх ба шулууны чиглүүлэгч векторыг олбол OM − ON = (−1, 4, −4) болно. Энэ чиглүүлэгч вектортой параллел, M цэгийг дайрсан шулууны вектор тэгшитгэл бичвэл ( x, y, z ) = (2, 2, −3) + t1 (−1, 4, −4) болно. б. BC шулууны вектор тэгшитгэлийг бичвэл ( x, y, z ) = (4, 3, −4) + t2 (0, 6, −6) болно. Одоо MN ба BC шулуунуудын огтлолцлын цэгийг олъё. Параметрт тэгшитгэлүүдийг бичиж, тэнцүүлбэл x = 2 − t1 , x=4 бөгөөд 2 − t1 = 4 y = 2 + 4t1 y = 3 + 6t2 2 + 4t1 = 3 + 6t2 z = −3 − 4t1 z = −4 − 6t2 −3 − 4t1 = −4 − 6t2 болно. Эндээс t1 = −2, t2 = − 3 болно. Эндээс огтлолцлын цэг нь P (4, −6, 5) болох ба улмаар радиус вектор 2 нь OP = 4i − 6 j + 5k байна. Жишээ 2. A,� B цэгүүдийн радиус векторууд харгалзан OA = 7i + tj − 5k , OB = −5i + j + k байг. P нь AB -ийн дундаж цэг. AB шулуунд перпендикуляр, P цэгийг дайрсан хавтгайн тэгшитгэл бич. нБьодхоалвтт.гаPйнцнэогримйналквоеокртдоирнабтоылнг оо.лӨбоөлрө(ө1р, 4х,э−л2б)элбаPй(н1а,.4,A−B2)шцуэлгуиуйнгыдачйиргслаүнү,лэnг=ч вектор (12, 6, −6) (12, 6, −6) нормал вектортой хавтгайн тэгшитгэл бичвэл ( x, y, z )⋅(12, 6, −6) = (1, 4, −2)⋅(12, 6, −6) буюу 12x + 6 y − 6z = 48 болно. 2. Шулуун ба хавтгайн харилцан байршлыг тодорхойлох (шулуун нь хавтгай дээр орших, шулуун нь хавтгайтай параллел байх, шулуун нь хавтгайтай огтлолцсон байх, хэрэв огтлолцсон бол огтлолцлын цэгийн координатыг олох) Сурагчдаар харандаа, цаас ашиглан огторгуй дахь шулуун ба хавтгайн харилцан байршлыг дүрслэх дадлага хийлгээрэй. Мөн зурагт үзүүлсэн гурвалжин призмийн ABC талсыг агуулсан хавтгай C1 дээр орших, уг хавтгайтай перпендикуляраар огтлолцсон, параллел шулуунуудыг тодорхойлох даалгавар өгч, өмнөх ангид үзсэнийг сэргээн A1 B1 сануулаарай. : r = a + вектор тэгшитгэл бүхий шулуун, α : ax + by + cz = d C Огторгуйд l tb вектор тэгшитгэл бүхий хавтгай хоёрыг авч үзье. Шулуун ба хавтгайн харилцан байршлыг дараах хүснэгтэд үзүүлэв. AB Параллел Агуулагдсан Огтлолцсон z n AR 118 O y x
Математик XII анги Тодорхойлолт Хэрэв шулуун хавтгай Хэрэв шулууны бүх Шулуун хавтгайтай Дүрслэл хоёр ернхий цэггүй бол цэгүүд хавтгай дээр параллел биш байвал тэдгээр нь параллел оршиж шулуун хавтгайд тэдгээр нь огтлолцсон Нөхцөл байна. агуулагдсан байна. байна. zl z zl l1 l O α O α α x y x y yO x l шулууны чиглүүлэгч Хэрэв l шулуун дээрх Шулууны чиглүүлэгч вектор, хавтгайн нормал вектор bвенктьохравnтг-таэййн дурын хоёр цэг нь α нормал вектор хоёрын скаляр хавтгай дээр оршиж үржвэр тэгээс ялгаатай перпендикуляр буюу байвал уг шулуун α хавтгайд агуулагдаж байна буюу (b ⋅ n) ≠ 0 байвал (b ⋅ n) = 0 байвал шулуун шулуун, хавтгай хоёр гэнэ. хавтгай хоёр параллель огтлолцсон байна. байна. Жишээ 1. r = (4, −7,1) + t (6, 2, 3в)екштуолрууaн=н(ь6,x2+, 33)y − 4z = 10 хавтгайтай параллел гэж харуул. Шn у=л(у1у, 3н,ы−4ч)иглбүаүйлнэгач. ба хавтгайн нормал n = (1,3,−4) Бодолт. l вектор Хэрэв эдгээр векторуудын скаляр ү(рaж⋅ nвэ)р=и6й⋅г1о+л2б⋅о3л+ 3⋅(−4) = 12 −12 = 0 байна. Иймд шулуун хавтгай хоёр параллель байна. Харин шулуун хавтгай дээр орших эсэхийг шалгахын тулд шулуун дээр орших дурын цэгийг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж үзэх хэрэгтэй. t = 0 гэж үзвэл шулуун дээр орших цэгийн координат (4, −7,1) гэж α олдоно. Энэ координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулбал 4 + 3⋅(−7) −r4=⋅1( =4 − 21 − 4 = −21 болох ба −21 ≠ 10 тул шулуун хавтгай дээр оршихгүй. z l −2, + − y +11z = −1 хавтгайд агуулагдана гэдгийг α Жишээ 2. 4,1) t (3,1, −1) шулуун 4x харуул. Бодолт. Үүнийг харуулахын тулд шулуун, хавтгай хоёр параллел бөгөөд шулуун дээрх дурын цэгийн координат нь хавтгайн тэгшитгэлийг хангана гэж харуулах хэрэгтэй. x = −2 + 3t O y Шулууны параметрт тэгшитгэлийг бичвэл y =4+t байна. Үүнийг хавтгайн тэгшxитгэлд z = 1− t орлуулбал 4 (−2 + 3t ) − (4 + t ) +11(1− t ) = −1 болох ба эндээс 0⋅t = 0 болно. t -ийн ямар ч утгад үнэн тоон тэнцэтгэл гарна. Иймд шулуун, хавтгай хоёр параллел байна. t = 2 үед шулуун дээр орших M цэгийн координатыг олбол M (4, 6, −1) байна. M цэгийн координат нь 4x − y +11z = −1 хавтгайн тэгшитгэлийг хангах эсэхийг шалгая. 4⋅ 4 − 6 +11⋅(−1) = −1 ба 1 = 1 үнэн тоон тэнцэтгэл гарч байгаа тул (4, 6, −1) цэг нь шулуун ба хавтгайд зэрэг харьяалагдана. Иймд шулуун хавтгайд агуулагдана. Энд өгсөн шулуун нь 4x − y +11z = d тэгшитгэл бүхий бүх хавтгайтай параллел, харин d = −1 үед уЖгишшулээуун3х. автrг=ай(д1,1а,г−уу2л)а+гtд(а1н,а−.1,d1)-ийншбуулсуаудн утгад шулуун хавтгай хоёр огтлолцохгүй. цэгийн ба x+2y−z = 2 хавтгайн огтлолцлын координатыг ол. x =1+t Бодолт. Шулууны параметрт тэгшитгэлийг бичвэл y =1−t байна. Үүнийг хавтгайн тэгшитгэлд z = −2 + t орлуулбал (1+ t ) + 2 (1− t ) − (−2 + t ) = 2 болох ба t = 1.5 байна. 119
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Энэ утгыг шулууны тэгшитгэлдээ орлуулж хавтгай шулууны огтлолцлын цэгийг координатыг олно. Огтлолцлын цэгийг M гэвэл координат нь 5 , − 1 , − 1 байна. Цэгийн координатыг хавтгайн 2 2 2 тэгшитгэлдээ орлуулж шалгавал 5 + 2 − 1 − − 1 = 5 −1+ 1 = 3 −1 = 2 гэсэн үнэн тоон тэнцэтгэл 2 2 2 2 2 гарч байгаа тул M цэг хавтгайд ч, шулуунд ч харьяалагдах ерөнхий цэг болж байна. 3. Параллел биш хоёр хавтгайн огтлолцлын шулууныг олох BC Огторгуй дахь хоёр хавтгайн харилцан байршил (хоёр хавтгайн огтлолцлын шулууныг олох) AD Сурагчдаар хавтгайг цаасаар төлөөлүүлэн огторгуй дахь хоёр хавтгайн B1 C1 харилцан байршлыг дүрслэх дадлага хийлгээрэй. Мөн зурагт үзүүлсэн кубыг хоёр гурвалжин призм болгон хуваав. а. ABD хавтгайтай параллель хавтгайг A1 D1 тодорхойл. Б. AA1B1B хавтгайтай перпендикуляр хавтгайг тодорхойлох даалгавр өгч, өмнөх ангид үзсэнийг сэргээн сануулаарай. Огторгуйд α : a1x + b1 y + c1z = d1 , α : a2 x + b2 y + c2 z = d2 тэгшитгэл бүхий хоёр хавтгай авч үзье. Хоёр 1 2 хүснэгтэд үзүүлэв. z l хавтгайн харилцан байршлыг дараах Параллел Давхацсан Огтлолцсон Тодорхойлолт Үл огтлолцох хоёр хавтгайг Хоёр хавтгайн бүх цэг хПоаёрралхлаветлгбаийшш,удαлаувухнцааааргүй параллел хавтгайнууд гэнэ. ерөнхий огтлоOлцоно y Дүрслэл z z xz α1 α = α1 α y O α y O α1 x x yO x Нөхцөл Хоёр хавтгайн нормал a=1 b=1 c1 = d1 Ерөнхий тэгшитгэлүүд нь векторууд параллел бол a2 b2 c2 d2 тогтмол тоогоороо ялгаатай уг хавтгайнууд хоорондоо биш бөгөөд нормаль параллел байна. векторууд нь параллел биш a=1 b=1 c1 a2 b2 c2 Жишээ 1. α : 2x −6y + 4z = 7, α : 3x −9y + 6z − 2 = 0 тэгшитгэл бүхий хавтгайнуудын харилцан 1 2 байршлыг тодорхойл. Бодолт. Хавтгайнуудын нормал векторыг бичвэл n1 = (2, −6, 4) ба n2 = (3, −9, 6) болно. Эндээс n2 = 1.5n1 буюу нормал векторууд параллел байна. Иймд хавтгайнууд параллел эсвэл давхацсан байна. 2x −6y + 4z −7 = 0 тэгшитгэлийн системийн I-ийг 3-аар, II-ийг 2-оор тус тус үржүүлж, хасвал 3x − 9 y + 6z − 2 = 0 6x −18y +12z − 21 = 0 болох ба −17 = 0 гэсэн худал тэнцэтгэл гарч байна. Тэгэхээр энэ 6 x −18 y +12 z − 4 = 0 тэгшитгэлийн систем шийдгүй. Өөрөөр хэлбэл эхний тэгшитгэлийг ямар ч тоогоор үржүүлэхэд хоёр дахь тэгшитгэл гарахгүй тул хавтгайнууд параллел байна. Жишээ 2. α1 : 2x − y + z = 4 , α2 : x + y + z − 4 = 0 тэгшитгэл бүхий хавтгайнуудын огтлолцлын шулууныг агуулсан (1, 2, 3) цэгийг дайрах хавтгайн тэгшитгэл бич. Бодолт. Огтлолцлын шулуун дээр орших дурын цэгийн (a,�b,�c) координат нь өгсөн хоёр хавтгайн 120
Математик XII анги тэгшитгэлийг хангана гэсэн нөхцөлөөс 2a − b + c = 4, 2a + b + c = 4 болох ба энэ хоёр тэгшитгэлийг нэмбэл 3a + 2c = 8 гарна. Энд a = 2 гэвэл 3⋅ 2 + 2c = 8 учир c = 1 болох ба 2 + b +1 = 4 тул b = 1 гарна. Өөрөөр хэлбэл A (2,1,1) координаттай цэг огтлолцлын шулуун дээр орших цэг байна. Энэ шулуун дээр орших өөр нэг цэгийн координатыг олъё. Үүний тулд a = 4 гэвэл 3⋅ 4 + 2c = 8 болох ба c = −2 учир 4 + b − 2 = 4 болж b = 2 гарна. B (4, 2, −2) цэг хоёр хавтгайн огтлолцлын шулуун дээр орших цэг байна. A (2,1,1) , B (4, 2, −2) цэгүүд нь хоёр хавтгайн огтлолцлын шулуун дээр оршино. Тэгвэл шулууны чиглүүлэгч вектор AB = (2,1, −3) тул тэгшитгэл нь ( x, y, z ) = (1, 2, 3) + t (2,1, −3) болно. 4. Цэгээс шулуун хүртэлх зай, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох а. Цэгээс шулуун хүртэлх зай Цэгээс шулуун хүртэлх зайн тухай ухагдахууныг IX ангид судалсан. Зурагт A үзүүлсэн A цэгээс l шулуунд буулгасан перпендикулярын уртыг A цэгээс l шулуун хүртэлх зай гэж тодорхойлсон. Скаляр үржвэр ашиглан өгсөн цэгээс l өrг=сөaн+шtbултуэугншдибтугуэслабнүпхеирйпеlншдиуклуулуянрдыэнэрурaтыргадхиэрухсэвнеоктлоорхтыогйсуAдацлэъгяө. гсөн байг. H z A цэгээс l шулуунд буусан перпендикулярын уртыг олохын тулд эхлээд AH нь O lr шулуунтай перпендикуляр байх H цэгийг олох хэрэгтэй. = OH − OA = r −a a α нь шулуун дээрх дурын цэгийн радиус вектор тул AH A r α байна. AH вектор нь l шулуунд перпендикуляр тул уг шулууны чиглүүлэгч O α1 H −үрaж⋅ bвэр= тэг байна. Өөрөөр хэлбэл l y ( )швеуклтуоурныболчоинглүAүHлэгчвевкеткотрорхыоёгрыb нгэсвкэаллярr 0 байх бөгөөд эндээс t -ийн x l y утгыг олж болно. Олсон t -ийн утгыг ашиглан AH векторын уртыг олбол энэ нь Az цэгээс l шулуун хүртэлх зай байна. r = (1, 2, 5) + t (1, 3, −4) тэгшитгэл бүхий l шулуун хүртэлх зайг ол. Жишээ 1. A (−7, −2,13) цэгээс Бодолт. Эхлээд AH нь l шулуунд перпендикуляр бөгөөд уг шулуун дээр орших H цэгийг олох хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл l шулууны чиглүүлэгч b = (1, 3, −4) ба AH векторуудын скалOяр αү1ржвэр тэг байх t -ийн утгыг олно. x OH = (1, 2, 5) + t (1, 3, −4) = (1+ t, 2 + 3t, 5 − 4t ) бөгөөд OA = (−7, −2,13) тул AH = OH − OA гэдгээс AH = (1+ t, 2 + 3t, 5 − 4t ) − (−7, −2,13) = (8 + t, 4 + 3t, −8 − 4t ) байна. ( )AH ⋅b = 0 гэдгээс 1⋅(8 + t ) + 3⋅(4 + 3t ) + (−4)⋅(−8 − 4t ) = 0 болох ба 52 + 26t = 0 буюу t = −2 гарна. Улмаар AH = (6, −2, 0) болно. Иймд AH = 62 + (−2)2 + 0 = 40 = 2 10 нэгж. б. Цэгээс хавтгай хүртэлх зай. Хэрэв шулуун ба хавтгай нь параллел, огтлолцохгүй бол тэдгээр нь бие биеэсээ хэр хол зайтай байна гэдэг асуулт гарч болох юм. Хамгийн богино зай нь шулуунаас хавтгайд буулгасан перпендикулярын урт юм. Өөрөөр хэлбэл шулуун дээрх ямар нэгэн цэгээс хавтгайд буулгасан перпендикулярын урт нь шулуун ба хавтгайн хоорондох зайг илэрхийлнэ. Цэгээс хавтгай хүртэлх зайн тухай ухагдахууныг IX ангид судалсан. A Зурагт үзүүлсэн A цэгээс α хавтгайд буулгасан перпендикулярын уртыг A цэгээс α пхххаеааврввтпттгегганаайййдтхихаүкүйруртлотэяэглрлтхлхозшазлайуцйлсггуоэужнонлтыоHохддотоцрэоэгхгшоэихййиллнтэсгэоэкднло.оAрбдицичэннгаиэт.йыAггУaдолалмйrнарOоас.ранХ,оэнёαрэ H A цэгээс α хавтгайтай α шулууны α цэгийн хоорондох зайг олох томьёогоор AH -ийн уртыг олно. l Жишээ 1. A (3,1, −2) цэгээс 2x + y − 2z = 8 тэгшитгэл бүхий хаHвтгай хүртэлх зайг ол. Бодолт. Эхлээд A цэгийг дайрсан, өгсөн хавтгайд перпеz ндикуляр шулууны тэгшитгэл бичье. Хавтгайн нормал вектор (2,1, −2) байна. Энэ вектор нь A цэгийг дайрсан, хавтгайд перпендикуляр шулууны чиглүүлэгч вектор болно. Иймд (2,1, −2) чиглүүлэгч векторαтой параллел, A (3,1, −2) 121 O α1 y x
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэлийг бичвэл ( x, y, z ) = (3,1, −2) + t (2,1, −2) болно. Шулууны x = 3 + 2t параметрт тэгшитгэл нь y =1+t бөгөөд эдгээрийг хавтгайн тэгшитгэлийн x, y, z -ийн оронд z = −2 − 2t орлуулбал 2 (3 + 2t ) + (1+ t ) + 2 (2 + 2t ) = 8 байна. Эндээс 1 болно. t -ийн утгыг шулууны t=− 3 параметрт тэгшитгэлд орлуулж, хавтгайтай огтлолцох H цэгийн координатыг олбол x = 1 , y = 2 , z = − 4 болно. Өөрөөр хэлбэл A цэгээс буусан перпендикуляр нь H 1 , 2 , − 4 цэгээр 3 3 3 3 3 3 хавтгайтай огтлолцоно. A (3,1, −2) цэгээс огтлолцлын H цэг хүртэлх зайг хоёр цэгийн хоорондох зайн томьёогоор олбол A=H =69 69 болно. 9 3 Жишээ 2. α хавтгайн тэгшитгэл 2x − 3y + 6z = 16 . Харин β хавтгай нь түүнтэй параллел бөгөөд i + 4 j + 2k радиус вектортой цэгийг агуулна. а. β хавтгайн тэгшитгэл бич. б. Хоёр хавтгайн хоорондох перпендикулярын уртыг ол. n = (2, −3, 6) байна. Бодолт.а. βцэхгиавйтггайднайнросрамналnв=ек(т2о,р−3н,ь6)α хавтгайн нормал вектор болох тул тэгшитгэл бичвэл нормал вектортой β хавтгайн B (1, 4, 2) ( x, y, z )⋅(2, −3, 6) = (1, 4, 2)⋅(2, −3, 6) буюу 2x − 3y + 6z = 2 болно. б. B (1, 4, 2) цэгийг дайрсан β хавтгайд перпендикуляр шулууны тэгшитгэл бичвэл x = 1+ 2t ( x, y, z ) = (1, 4, 2) + t (2, −3, 6) болно. Шулууны параметрт тэгшитгэл нь y = 4 − 3t бөгөөд α z = 2 + 6t хавтгайн тэгшитгэлд орлуулбал 2 (1+ 2t ) − 3 (4 − 3t ) + 6 (2 + 6t ) = 16 бөгөөд эндээс t = 2 гэж олдоно. Шулууны параметрт 7 тэгшитгэлдээ орлуулж x,� y,� z -ийн утгыг олбол α хавтгайтай огтлолцох A цэгийн координат олдоно. Өөрөөр хэлбэл β хавтгайн B (1, 4, 2) цэгээс α хавтгайд буулгасан перпендикуляр нь түүнтэй A 11 , 22 , 26 цэгээр огтлолцоно. AB -ийн уртыг хоёр цэгийн хоорондох зайг олох 7 7 7 11 222 7 −1 22 26 томьёогоор олбол AB = + 7 − 4 + 7 − 2 = 4 = 2 нэгж байна. 5. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг, шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг олох а. Шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцөг Хавтгай ба шулууны хоорондох өнцгийг олохын тулд эхлээд шулууны l α чиглүүлэгч вектор ба хавтгайн нормал вектор хоёрын хоорондох өнцгийг n b олох хэрэгтэй. Хавтгайн нормал вектор нь хавтгай дээр орших шулуунд перпендикуляр байна. ТвЗеуэкргтваоэгрлтыхүгазвnүтүгглаэсйеэ.нболшоунлуnунныорчмиагллүвүелкэтгочрывнекхтоооррыогндbох ба хавтгайн нормал 90° − α өнцөг 90° =байна. α өнцөг нь шулуун болон нормал векторын хоорондох өнцөг тул хавтгай болон шулууны хоорондох өнцөг нь 90° −α байна. x=t Жишээ 14. x+2y−z =8 хавтгай, y =1−t шулуун хоёрын хоорондох өнцгийг ол. Хавтгайн нормал вектор n = (1, z=3 + 2t чиглүүлэгч вектор тул хоорондох 2, шулууны −1) , b = (1, −1, 2) x 122
l Математик XII анги өнцгийг олбол cos α = 1⋅1+ 2⋅(−1) + (−1)⋅ 2 = −3 = − 1 болох ба α = 120° байна. Харин 12 + (2)2 + (−1)2 ⋅ 12 + (−1)2 + 22 6 2 хавтгай шулууны хоорондох өнцөг нь ... n2 π −α а. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг n1 α Огтлолцсон хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн нормал векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Зурагт үзүүлсэн хавтгайнуудын нормал векторуудыг харгалзан n1 ба n2 гэвэл эдгээрийн хоорондох өнцөг α нь өгсөн хавтгайнуудын хоорондох өнцөг байна. Хоёр хавтгайн хооронд хамар өнцөг үүсэх учир нөгөө нь π −α байна. Жишээ 1. 2x − 2 y − 3z +11 = 0 ба x + 4 y − 2z + 5 = 0 хавтгайнуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт. Хоёр хавтгайн нормал векторууд харгалзан n1 = (2, −2, −3) , n2 = (1, 4, −2) тул нормал векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь cos α = 2⋅1+ (−2)⋅ 4 + (−3)⋅(−2) = 0 = 0 буюу α = 90° болно. Эндээс хоёр 22 + (−2)2 + (−3)2 ⋅ 12 + 42 + (−2)2 17 ⋅ 21 хавтгай харилцан перпендикуляр байна. Хэрэв хоёр хавтгай хоорондоо перпендикуляр бол cosα = 0 тул хавтгайн нормал векторуудын скаляр үржвэр тэг байна. Өөрөөр хэлбэл A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 байна. Жишээ 2. x − y + z = 4 ба 2x + y + z = 10 хавтгайнууд параллель, перпендикуляр, эсвэл аль нь биш болохыг үзүүл. Бодолт. Хоёр хавтгайн нормал векторууд харгалзан n1 = (1, −1,1) , n2 = (2,1,1) байна. Хэрэв хоёр хавтгай параллел бол n1 = λn2 байх λ тоо олдоно. Энэ тохиодолд тийм λ тоо олдохгүй нь илэрхий тул хоёр хавтгай параллел биш, огтлолцсон байна. Хэрэв хоёр хавтгай перпендикуляр бол нормал векторуудын скаляр үржвэр тэг байна. ( )n1 ⋅ n2 = 1⋅ 2 + (−1)⋅1+1⋅1 = 2 −1+1 = 2 гарах ба 2 ≠ 0 =тул хоёр хавтгай перпендикуляр биш байна. Тэгвэл хоорондох өнцгийг олбол cosα = 2 гарах ба α= ... гарна. Өөрөөр хэлбэл хоёр хавтгайн 3 огтлолцолд ...-ын өнцөг үүснэ. КОМБИНАТОРИК Тодорхой зааглал өгсөн үед боломж тоолох Комбинаторикийн ихэнхи бодлогуудад тодорхой зааглал буюу нөхцөл тогтоогдсон байдаг. Жишээлбэл, МАГАДЛАЛ гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сэлгэж гурван ААА үсэг зэрэгцсэн, эсвэл аль ч хоёр А үг зэрэгцээгүй хэчнээн ялгаатай үг бүтээж болох вэ? гэх мэтийн бодлого байж болно. Эхний бодлогыг бодохын тулд гурван ААА үсгийг нэг үсэг мэтээр сэтгэх хэрэгтэй. Тэгвэл М, ААА, Г, Д, Л, Л гэсэн зургаан үсэг ашиглан 6 үсэгтэй үг хэчнээнийг бүтээж болох вэ гэсэн бодлогод шилжиж байна. Энэ нь (1,1,1,1, 2) бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоотой тэнцүү байхыг бид өмнөх ангид үзсэн билээ. Иймээс МАГАДЛАЛ гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сэлгэж гурван ААА үсэг зэрэгцсэн үг бүтээх боломжийн тоо нь 6! = 7=20 360 байна. 1!1!1!1! 2 ! 2 Жишээ 1: Адьяа, Сумьяа, Бямба, Наран, Саран гэсэн таван сурагч нэг цуваанд жагсжээ. Хэрэв Наран, Саран хоёр ямагт дараалж зогсдог бол тэднийг хэдэн янзаар цувруулан жагсааж болох вэ? Бодолт. Наран, Саран хоёрыг нэг хүн мэтээр сэтгэвэл 4 сурагчийг жагсаах бодлого руу шилжинэ. Иймээс 4! ширхэг ялгаатай арга байна. Гэтэл энд Нарангийн ард Саран эсвэл Сарангийн ард Наран гэсэн дарааллаар зогсож болох учраас 4! ширхэг арга тус бүр 2 удаа тоологдох ёстойг тооцвол 123
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном 4!⋅ 2 = 24⋅ 2 = 48 ялгаатай арга гарч байна. Өмнөх ангиудад A, B олонлогуудын хувьд A ∪ B = A + B − A ∩ B байдгийг бид судалсан. Тухайн тохиолдолд, A B = ∅ бол A B = A + B � болно. Эдгээр томьёог хамтад нь комбинаторикийн нийлбэрийн зарчим гэдэг. Мөн эндээс A ∪ B = Ω, A ∩ B = ∅� бол A + B = Ω гэсэн томьёо мөрдөж гарч байна. Энд Ω =нь бүх боломжийн олонлог буюу универсаль олонлог. Энэ томьёог ашиглан зарим бодлогыг хялбархан бодож болдог. Жишээ 2: Дээрх бодлогын нөхцөлд заасан 5 сурагчийг цуваанд жагсаахад Наран, Саран хоёр хэзээ ч дараалж зогсдоггүй гэвэл эдгээр 5 сурагчийг хэдэн янзаар цувруулан жагсааж болох вэ? Бодолт. Бүх 5 сурагчийг цувруулан жагсаах аргын тоо 5!=120 байна. Энэ нь нийлбэрийн зарчмаар Наран, Саран хоёр дараалж зогссон боломжийн тоо ба Наран, Саран хоёр дараалж зогсоогүй боломжийн тооны нийлбэртэй тэнцүү. Иймээс жишээ 1-ийн хариунаас 120-48=72 янзаар жагсааж болох ажээ. Жишээ 3: 1000-аас бага натурал тоонууд дотор 0 гэсэн цифрийг агуулсан тоонууд ба агуулаагүй тоонуудын аль нь олон бэ? Бодолт. 1000-аас бага бүх тоо 999 ширхэг байх ба эдгээрт нэг оронтой 9 тоо, хоёр оронтой 90 тоо, гурван оронтой 900 тоо багтана. 0 гэсэн цифр агуулаагүй нэг оронтой тоо 9, хоёр оронтой тоо үржвэрийн зарчмаар 9⋅9 = 81 , гурван оронтой тоо мөн үржвэрийн зарчмаар 9⋅9⋅9 = 729 байх учраас нийт 729 + 81 + 9 = 819 ширхэг тоонд 0 гэсэн цифр оролцохгүй. Иймээс 999-819=190 ширхэг тоо 0 гэсэн цифр агуулна гэж гарч байна. 819 >190 учраас 0 гэсэн цифрийг агуулаагүй нь олон ажээ. Ингээд янз бүрийн нэмэлт нөхцөл бүхий дасгал бодлогууд бодно. Жишээлбэл, 1. Цифрүүдийн нийлбэр 3-тай тэнцүү байх 8 оронтой тоо хэчнээн байх вэ? 2. 4-д хуваагддаг 0 цифр агуулаагүй 5 оронтой тоо хэд байх вэ? 3. Яг гурван цифр нь ижил дөрвөн оронтой тоо хэд байх вэ? 4. Ядаж хоёр цифр нь ижил гурван оронтой тоо хэд байх вэ? 5. 4 хүү, 3 охиныг а. охид зэрэгцэж зогссон байхаар; б. аль ч хоёр охин зэрэгцээгүй байхаар хэдэн янзаар нэг эгнээнд жагсааж болох вэ? 6. {1, 2, 3, 4, 5, 6} олонлогийн элементүүдийг ашиглан ядаж хоёр тэгш цифр дараалсан, бүх цифр нь ялгаатай хэчнээн 6 оронтой тоо бичиж болох вэ? 7. Шатрын хөлөг дээр бие бие идэхгүй байхаар а. хоёр тэргийг, б. хоёр бэрсийг, в. хоёр ноёнг хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ? 8. 10 эрэгтэй, 5 эмэгтэй хүнээс 3 хүнтэй комиссийг а. эмэгтэй хүн заавал оролцсон байхаар, б. эрэгтэй болон эмэгтэй хүн заавал орсон байхаар хэдэн янзаар сонгож болох болох вэ? Давталттай хэсэглэлийг ойлгох, тооцоолох Хэдэн төрлийн зүйл өгөгдсөн бөгөөд төрөл тус бүрээс хангалттай олныг сонгож болдог гэж үзье. Тэгвэл эдгээрээс яг k ширхэгийг сонгох боломжийн тоо ямар байх вэ гэсэн асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгтэй болдог. Жишээлбэл дэлгүүр зарагдаж буй 10 төрлийн цэцгээс 6-г сонгох, таван хошуу малаас 7-г сонгох гэх мэт бодлогууд байж болно. Жишээ 1: Улаан ба хөх өнгийн харандаанаас 3, 4, 5 ширхэгийг сонгох ялгаатай боломж хэд байж тухай бодлогыг авч үзье. 3 харандаа сонгох УУУ, УУХ, УХХ, ХХХ гэсэн 4 боломж байна. 4 харандаа сонгох УУУУ, УУУХ, УУХХ, УХХХ, ХХХХ гэсэн 5 боломж, 5 харандаа сонгох УУУУУ, УУУУХ, УУУХХ, УУХХХ, УХХХХ гэсэн 6 боломж тус тус байна. Жишээ 2: Улаан, хөх, ногоон өнгийн харандаанаас 2 (3, 4) ширхэгийг сонгох ялгаатай боломж 124
Математик XII анги ямар байж тухай бодлогыг авч үзье. Хоёр ширхэг харандаа сонгох УУ, УХ, УН, ХН, ХХ, НН гэсэн 6 боломж байна. Үүнтэй адилаар гурван ширхэг харандаа сонгох боломж нь УУУ, ХХХ, ННН, УХХ, НХХ, ХУУ, НУУ, УНН, ХНН, УХН гэсэн 10 ширхэг байна. Харин 4 буюу түүнээс олон харандаа сонгох боломжийг ингэж тоолох нь хүндрэлтэй юм. Иймээс өөр аргаар тоолъё. Одоо ялгаатай хоёр төрлийг заагласан зураасууд ба харандааг төлөөлүүлсэн 0-үүдээс тогтох дарааллыг авч үзье. Өөрөөр хэлбэл 0|00|0 гэсэн дараалалд УХХН гэсэн сонголтыг, 0|000| гэсэн дараалалд УХХХ сонголтыг, |0000| гэсэн дараалалд ХХХХ гэсэн сонголтыг харгалзуулна. Ингээд зураас ба 0-ийн дарааллын олонлог ба харандааны сонголтын олонлогийн хооронд харилцан нэг утгатай харгалзаа тогтоож болж байна. Одоо зураасыг 1-ээр сольё. Тэгвэл улаан, хөх, ногоон өнгийн харандаануудаас 4 ширхэгийг сонгох боломжийн тоо нь хоёр ширхэг 1, дөрвөн ширхэг 0 ашиглан бичиж болох бүх боломжит дарааллын тоо буюу (2, 4) бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоотой тэнцүү болох нь тодорхой боллоо. Иймээс улаан, хөх, ногоон өнгийн харандаанаас 4 ширхэгийг сонгох ялгаатай боломжийн тоо нь 6! байх ажээ. 2!4! Ерөнхий тохиолдолд, n төрлийн харандаанаас k ширхэгийг сонгох боломжийн тоо нь (n −1, k ) (n + k −1)! бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоо буюу (n −1)!k ! -тэй тэнцүү байна. 00....0100...00100...00100… Энд n төрлийг зааглах n-1 ширхэг 1 ба к ширхэг харандааг төлөөлөх k ширхэг 0-ээс бүрдсэн дараалал байна. Ийм нэг дараалалд к ширхэг харандааг сонгох яг нэг сонголт харгалзана. Бодлого: n төрлийн харандаанаас k ширхэгийг сонгох боломжийн тоо нь Cnk+k−1 = Cnn+−k1−1 -тай тэнцүү болохыг алгебрийн болон комбинаторикийн аргуудаар тайлбарла. Ингээд давталттай хэсэглэлийн тооны томьёог хэрэглэх дасгал бодлогууд бодно. Жишээлбэл, 1. Дэлгүүрт 10 төрлийн цэцэг байв. 4 цэцэгтэй баглааг хэчнээн янзаар бэлтгэж болох вэ? 2. Итгэлтэд өмч хувьчлалаар 10 мал авахыг зөвшөөрчээ. Тэрээр хэчнээн ялгаатай сонголт хийж болох вэ? 3. Уутанд тус бүр нь улаан, хөх, ногоон, шар өнгийн харандаа нийт 10 ширхэг байв. Таамгаар 5 харандаа сонгоход а. улаан харандаа гарч ирээгүй байх үзэгдлийн магадлалыг, б. зөвхөн улаан, хөх өнгийн харандаанууд гарч ирэх үзэгдлийн магадлалыг ол. 4. Хайрцагт хоёр төрлийн үзэг хангалттай олон байв. Таамгаар 2n үзэг сонгоход хоёр төрлийн үзэг тэнцүү тоотой сонгогдох магадлалыг ол. МАГАДЛАЛ Модны схемээр бүтэн магадлал болон нөхцөлт магадлалыг тооцоолох Хүрэх үр дүн: Модны схемээр бүтэн магадлалыг тооцоолох, модны схем хэрэглэн нөхцөлт магадлалыг тооцоолох чадвартай болно. Ямар нэгэн A үзэгдэл нь H1, H2 , H3, …, Hk гэсэн k ширхэг нөхцөлийн бүрэн системд илэрдэг гэж үзье. Тэгвэл уг үзэгдлийн магадлалыг P ( A) = P ( H1 ) P ( A / H1 ) + P ( H2 ) P ( A / H2 ) ++ P ( Hk ) P ( A / Hk ) гэсэн томьёогоор олно. Бүрэн систем гэдэг нь H1, H2 , H3, …, Hk -аас өөр нөхцөл илрэх боломжгүй буюу өөр ямар ч тохиолдол байхгүй гэсэн үг. Өөрөөр хэлбэл, H1 H2 … Hk = Ω байна. Жишээ 1: Цаг уурчид сурагчдын хөлбөмбөгийн аварга шалгаруулах тэмцээний үеэр бороотой байх магадлал 0.3 байдгийг тогтоожээ. “Нархан” багийнхны бороо ороогүй үед хожих магадлал 3 , 8 бороотой үед хожих магадлал 3 байдаг. Тэд ирэх Ням гарагт тоглолттой бол 11 125
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном а. Нархан” багийн ирэх Ням гарагт хожих магадлалыг олоорой. б. Хэдэн сарын өмнө тэд нэгэн Ням гарагийн тоглолтондоо хожсон бол тэр өдөр нь бороо ороогүй байх магадлалыг олоорой. Бодолт. а. “Нархан” багийн хожих үзэгдлийг W, 3 W|A 3 ⋅ 3 = 9 Ням гарагт бороо орохгүй байх үзэгдлийг A гэж 8 10 8 80 тэмдэглэвэл 3A 3 5 15 10 8 80 P(W ) = 9 + 21 = 267 болох ба энэ нь уг чанартаа 10 5 W|A ⋅ = 80 880 7 83 W|A 110 7 3 21 11 10 11 110 P (W ) = P ( A) P (W / A) + P ( A) P (W / A) гэсэн ⋅ = томьёог хэрэглэж байна гэсэн үг юм. Энд 10 A A A = Ω буюу A, A үзэгдлүүд бүрэн систем үүсгэж байгаа нь хамгийн чухал нөхцөл болж 8 W|A 7 ⋅ 8 = 56 11 10 11 110 байна. б. Одоо P ( A /W ) магадлалыг олох хэрэгтэй. 9 99 P (A/W ) = P ( AW ) = P( A) P (W / A) = 80 = 880 = 99 = 33 болов. P (W ) P (W ) 267 267 267 89 880 880 Энд бид магадлалын үржвэрийн дүрэм, нийлбэрийн дүрэм, нөхцөлт магадлалын томьёо хэрэглэв. Жишээ 2: Гаалийн хэсэг гурван шалган нэвтрүүлэх цэгтэй ба нийт ачааны 50% нь I, 30% нь II, 20% нь III цэгээр шалгагддаг. Шалган нэвтрүүлэх цэгүүдийн зөрчил илрүүлэх магадлал харгалзан 2 , 1 , 2 байв. Шалгалтын эцэст нэг ачаа зөрчилтэй гарсан бол II шалган нэвтрүүлэх цэг илрүүлсэн 323 2 байх магадлалыг олоорой. 3 зөрчилтэй 0.5 ⋅ 2 / 3 = 1 / 3 Туршилтын модны схемийг байгуулъя. 0.5 I 1 зөрчилгүй 0.5 ⋅1 / 3 = 1 / 6 Энэ бодлогын хувьд модны схемийг бүрэн 0.3 31 зөрчилтэй 0.3⋅ 0.5 = 0.15 хэмжээгээр байгуулах шаардлагагүй боловч 2 сурагчид аль болох бүтнээр нь байгуулж II бодлогын асуудлыг өргөнөөр харах боломж олгож байх хэрэгтэй. 1 зөрчилгүй 0.3⋅ 0.5 = 0.15 22 0.2 ⋅ 2 / 3 = 2 / 15 0.2 III 3 зөрчилтэй 0.2 ⋅1 / 3 = 1 / 15 1 зөрчилгүй 3 Энэ бол 9 ба 10 дугаар ангийнханд тохируулан байгуулсан хялбарчилсан модны схем гэж хэлж болно. Харин 11-12 дугаар ангид нөхцөлт магадлал үзсэний дараа модны схемэнд хэрэглэх тэмдэглэгээг арай өөрөөр зохион байгуулах шаардлага гардаг. Иймд модны схемээ дахин байгуулъя. Ачаа зөрчилтэй гарах үзэгдлийг A , ачаа I шалгах цэгт ирэх H1 A | H1 үзэгдлийг H1 , ачаа II шалгах цэгт ирэх үзэгдлийг H2 , III шалгах A | H1 цэгт ирэх үзэгдлийг H3 гэе. A | H2 Энэ модны схемэнд өмнөхөөс зөвхөн тэмдэглэгээ нь ялгаатай H2 A | H2 байгааг анхааалдаа аваарай. Мөн энд A гэсэн тэмдэглэгээ нь ачаа H3 A | H3 зөрчилгүй гарах үзэгдлийг тэмдэглэж байна. A | H3 Тэгвэл P ( A) = 1 + 3+2 = 37 болох ба энэ нь уг чанартаа 3 20 15 60 P ( A) = P ( H1 ) P ( A / H1 ) + P ( H2 ) P ( A / H2 ) + P ( H3 ) P ( A / H3 ) гэсэн томьёог хэрэглэж байна гэсэн үг юм. Энд H1 H2 H3 = Ω буюу H1, H2 , H3 үзэгдлүүд бүрэн систем үүсгэж байгаа нь хамгийн чухал нөхцөл болж байна. Одоо P ( H2 / A) магадлалыг олох хэрэгтэй. 39 P (H2 / A) = P (H2A) = P (H2 ) P ( A/ H2 ) = 20 = 60 9 болов. P ( A) P ( A) 37 37 = 37 60 60 126
Математик XII анги Энд бид магадлалын үржвэрийн дүрэм, нийлбэрийн дүрэм, нөхцөлт магадлалын томьёо хэрэглэв. 1. Сурагчдын 10% нь A, 20% нь B, 30% нь C, 30% нь D, 10% нь F сурдаг байв. Сурагчид спортоор хичээллэх магадлал A сурдаг бол 1 , B сурдаг бол 1 , C сурдаг бол 1 , D сурдаг бол 1 , F сурдаг 10 8 4 2 бол 1 байв. Санамсаргүйгээр сонгосон нэг сурагч спортоор хичээллэдэг бол тэр нь B сурдаг 2 байх магадлалыг ол. 2. Хоёр үйлдвэр ижил төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг байв. I үйлдвэр II үйлдвэрээс k дахин олон бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг. I үйлдвэрээс гологдол гарах магадлал p,� II үйлдвэрээс гологдол гарах магадлал q� � байв. Таамгаар сонгосон бүтээгдэхүүн гологдол байсан бол тэр нь I үйлдвэрийн бүтээгдэхүүн байх магадлалыг ол. Геометр магадлалын тухай ойлголттой болох, хялбар асуудлыг шийдвэрлэх Хүрэх үр дүн: Эгэл үзэгдлүүдийг тоолох боломжгүй зарим тохиолдолд үзэгдлийн магадлалыг тооцоолох тухай ойлголттой болох, геометр магадлалыг хялбар тохиолдолд тооцоолох чадвартай болно. Бид өмнө нь үзэгдлийг бүрдүүлэгч эгэл үзэгдлүүдийн илрэх боломж ижил бөгөөд бүх боломжит эгэл үзэгдлийн тоо тодорхой үед уг үзэгдлийн магадлалыг P ( A) = A томьёогоор тооцоолж сурсан Ω билээ. Энд A нь тухайн үзэгдэлд харьяалагдаж буй эгэл үзэгдлийн тоо, Ω =нь бүх боломжит эгэл үзэгдлийн тоо юм. Үүнийг магадлалын сонгодог тодорхойлолт гэдэг. Энэ томьёо нь бүх эгэл үзэгдлүүд ижил боломжтой үед биелэх ба харин эгэл үзэгдлүүдийн илрэх боломж ялгаатай үед биелэхгүй. Харин одоо эгэл үзэгдлүүдийг тоолох боломжгүй боловч бүх эгэл үзэгдлүүдийн илрэх боломж ижил байх үед үзэгдлийн магадлалыг тооцоолох тухай авч үзье. Өгсөн хэрчмээс цэг таамгаар сонгох туршилтад хэрчмийн бүх цэгийг тоолох боломжгүй. Ийм үед бүх эгэл үзэгдлийн олонлогийн чадлаар тухайн хэрчмийн уртыг авдаг. Үүнтэй төстэйгээр хавтгайн зааглагдсан дүрсээс цэг таамгаар сонгох туршилтад бүх эгэл үзэгдлийн олонлогийн чадлаар тухайн дүрсийн талбайг авна. боломж ижил бол эдгээр тохиолдлуудад P ( A) = A томьёо хүчинтэй Ингэснээр аль ч цэг сонгогдох Ω хэвээр байна. Жишээ 1: Тоон шулууны [0,10] хэрчмээс таамгаар нэг цэг сонгов. Аль ч цэгийг сонгох магадлал тэнцүү бол 7-оос бага тоо сонгогдох магадлалыг ол. 7-оос бага тоо сонгогдох үзэгдлийг C гэж тэмдэглэе. Бүх эгэл үзэгдлийн олонлогийг Ω =гэвэл Ω = 10 болох ба C = 7 болно. Иймээс 7-оос бага тоо сонгогдох магадлал P (C) = C 7 = 0.7 болно. Ω = 10 Жишээ 2: Квадратыг 4 тэнцүү хэсэгт хувааж хоёр хэсгийг нь сөөлжлүүлэн буджээ. Квадратаас санамсаргүйгээр нэг цэг сонгоход будагдсан хэсгээс сонгогдсон байх үзэгдлийн магадлалыг ол. Квадратын цэг бүрийн сонгогдох магадлал ижил гэж үзнэ. Квадратын талыг a гэвэл бүх эгэл үзэгдлийн олонлогийн чадал Ω = a2 болох ба будагдсан хэсгээс цэг сонгогдох үзэгдлийг B гэвэл B = a2 2 B болно. Иймээс B үзэгдлийн магадлал P(B) = Ω = a2 = 0.5 болно. 2a2 Дүгнэлт: Геометр магадлал шулуун дээр хэрчмийн уртын тусламжтайгаар, хавтгайд талбайн тусламжтайгаар бодогдож байна. Жишээ 3: Дугуй ээрүүлийн наймны таван хэсэг нь улаан өнгөтэй, үлдсэн хэсэг нь хөх өнгөтэй 127
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном байв. Ээрүүлийг эргүүлэхэд хэсэг хугацааны дараа аль нэг талаараа унана. Улаан болон хөх өнгөтэй талаараа унах үзэгдлийн магадлалыг олъё. Ээрүүлийн тойргийн уртыг 1 гэвэл аль цэгээрээ унах нь хэрчим дээр харгалзах 5 цэгийг таамгаар сонгосонтой адил. 83 Өөрөөр хэлбэл ээрүүл улаан талаараа унах 83 5 8 5 3 8 8 8 магадлал , хөх талаараа унах магадлал гэсэн үг. Дасгал 1. 15 см урттай хэрчмийн 9 см нь улаан, үлдсэн хэсэг нь ногооноор будагдсан байв. Уул хэрчмээс санамсаргүй нэг цэг сонгож авахад ногоон өнгөтэй байх магадлалыг олоорой. 2. Координатын эх дээр оройтой, талууд нь тэнхлэгүүдийн дагуу байрлах квадратын абсциссийн дагуух талын наймны 3, ординатын дагуух талын арван хоёрны 5 нь хөх, бусад нь улаан өнгөтэй байв. Квадрат дотор орших цэгүүдээс санамсаргүй нэг цэг сонгоход а. Хоёр координат нь улаан байх, б. Хоёр координат нь хөх байх в. Абсцисс нь улаан, ординат нь хөх өнгөтэй байх г. Абсцисс нь хөх, ординат нь улаан өнгөтэй байх д. Координатууд ижил өнгөтэй байх үзэгдлүүдийн магадлалыг тус тус ол. 3. 5×5 хэмжээтэй алаг шалан дээр борооны нэг дусал унажээ. Шар болон цэнхэр өнгөтэй хэсэг дээр тусах үзэгдлүүдийн магадлалыг тус тус ол. 4. Ээрүүл улаанаар буух үзэгдлийн магадлал 6 , ногоон талаараа буух 11 3 үзэгдлийн магадлал бол 11 а. Улаанаас өөр өнгөөр буух магадлалыг, б. Улаан буюу ногооноор буух магадлалыг, г. Улаан ч биш, ногоон ч биш өөр өнгөөр буух магадлалыг тус тус олоорой. 5. Аав, ээж, хүү, охин дөрөв хэн нь дэлгүүр яваад ирэхээ дараах тэгш өнцөгт дээр шоо хаяж шодохоор болжээ. Шоо аль ч цэг дээр тусах боломж адил гэж үзнэ. Улаан дээр тусвал аав, хөх дээр тусвал ээж, шар дээр тусвал хүү, ногоон дээр тусвал охин дэлгүүр явна. Зохих хэмжилт хийх замаар дараах магадлалуудыг олоорой. а. Аав таарах, б. Ээж таарах, в. Хүүхдүүдийн нэг нь таарах, г. Эрэгтэй хүн таарах. д. Бодлогыг геометр магадлалын үүднээс тайлбарлаарай www.mathgoodies.com/lessons/vol6/conditional.html www.mathsisfun.com/data/probability-events-conditional.html дискрет санамсаргүй хувьсагч X - дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хүснэгтийг байгуулах, математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох Туршилтын үр дүнд илрэх үзэгдлүүдэд тоон утгууд харгалзуулж болно. Харгалзуулсан тоон утгуудын олонлогийн дурын элементийг төлөөлж буй хувьсагчийг санамсаргүй хувьсагч гэнэ. Хэрэв хувьсагчийн утга нь санамсаргүй туршилтын үр дүнгээс гарах тоо бол түүнийг санамсаргүй 128
Математик XII анги хувьсагч1 гэнэ. Тэмдэглэгээ Санамсаргүй хувьсагчийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл: X , Y , ... Хувьсагчийн утгуудыг латин жижиг үсгээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл: a, b, ... Жишээлбэл: Нэг зоосыг таван удаа орхих туршилт хийж, хэдэн удаа сүлд буусныг X гэе. Тэгвэл X нь 0, 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн утга авч болно. Туршилтад зоос нь сүлдээр буух, тоогоор буух үзэгдэл санамсаргүй илрэх тул X хувьсагч ямар утга авах нь санамсаргүй байна. Иймд X нь санамсаргүй хувьсагч болно. Жишээлбэл: Талууд нь нэгээс зургаа хүртэл дугаарлагдсан шоог орхиход буух үзэгдлүүд нь 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн санамсаргүй утгууд байна. Санамсаргүй хувьсагчийн авах тоон утгууд нь бүхэл тоо байвал дискрет санамсаргүй хувьсагч гэнэ. Жишээлбэл: Хоёр зоос орхиход хэдэн ширхэг сүлд буух үзэгдлийн тоо нь санамсаргүй хувьсагч бөгөөд 0, 1, 2 гэсэн тоон утгыг авна. X = 0 гэдэг нь сүлд буухгүй байх үзэгдэл X = 1 гэдэг нь нэг зоос сүлд буух үзэгдэл X = 2 гэдэг нь хоёр зоос хоёулаа сүлд буух үзэгдэл Өмнө үзсэн жишээнүүд дискрет санамсаргүй хувьсагчийн жишээ болно. Дискрет санамсаргүй хувьсагч тодорхой утга авах нь санамсаргүй үзэгдэл тул харгалзах магадлалтай байна. X санамсаргүй хувьсагчийн харгалзах магадлалыг P ( X = a) гэж тэмдэглэнэ. Жишээлбэл: Шоог нэг удаа орхиход 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн утгуудын аль нэг нь буух ба 4 буух магадлалыг P ( X = 4) гэж бичнэ. X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн бүх боломжит утгад магадлалыг нь харгалзуулсныг X санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хууль гэнэ. Тархалтын хуулийг хүснэгтээр болон диаграммаар дүрсэлж болно. Жишээлбэл: Шоог нэг удаа орхих туршилтын санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хуулийг хүснэгт болон баганан диаграммаар дүрслэн үзүүлэв. a 123456 P(X = a) 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн магадлалын тархалтыг ихэнх тохиолдолд хүснэгтээр илэрхийлдэг. a a1 a2 a3 ... an P ( X = a ) p1 p2 p3 ... pn Санамсаргүй хувьсагчийн бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр 1 байна. Эндээс P ( X = a1 ) + P ( X = a2 ) + P ( X = a3 ) +…+ P ( X = an ) = 1 Жишээ 3. Бат таван тал дээрээ харгалзан 1, 2, 3, 4, 5 гэсэн оноотой хүрд эргүүлэв. Тэр хүрд эргүүлээд авах оноог X санамсаргүй хувьсагчийн утгын хүснэгтийг байгуулжээ. a 12345 P ( X = a) 0.15 0.24 b 0.25 0.19 а. b -ийн утгыг ол. б. Оноо нь 4 ба түүнээс их байх магадлалыг ол. в. Оноо нь 5 -аас бага байх магадлалыг ол. г. P(2 < X ≤ 4) -ийг ол. Бодолт. 1 Магадлалын онолд санамсаргүй хувьсагчийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг. 129
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном а. P ( X = a1 ) + P ( X = a2 ) + P ( X = a3 ) +…+ P ( X = an ) = 1 гэдгээс 0.15 + 0.24 + b + 0.25 + 0.19 = 1 b + 0.83 = 1 b = 0.17 б. Оноо нь 4 ба түүнээс их байх магадлал P ( X ≥ 4) = P ( X = 4) + P ( X = 5) = 0.25 + 0.19 = 0.44 в. Оноо нь 5-аас бага байх магадлал P ( X < 5) = P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) = 0.15 + 0.24 + 0.17 + 0.25 = 0.81 Эсвэл P ( X < 5) = 1− P ( X = 5) = 1− 0.19 = 0.81 г. P (2 < X ≤ 4) = P ( X = 3) + P ( X = 4) = 0.17 + 0.25 = 0.42 Дасгал 5. X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хууль хүснэгтээр өгчээ. b 123 45 a 0.05 P ( X = b) 0.2 0.25a 0.4 а. a -ийн утгыг ол. б. Энэ тархалтын хуулийг баганан диаграмаар дүрсэл. в. Тооцоол P (1 ≤ X ≤ 3) = ? X � санамсаргүй хувьсагчийн утга 3 байхад магадлалыг ол. P (2 < X < 5) = ? 6. Y дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хууль хүснэгтээр өгчээ. b 2468 10 1 P (Y = b) 2a 4a 7 1 32 16 32 а. a -ийн утгыг ол. б. P(Y < 9) -ийг ол. 7. X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын функц өгчээ. 0.1; b = 0, 2, 5 P (X = b) = a; b = 1, 3 0.3; b = 4 а. Тархалтын хуулийг хүснэгтийг байгуул. б. a -ийн утгыг ол в. P ( X ≥ 3) = ? X - дискрет санамсаргүй хувьсагчийн математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцоолох X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хууль хүснэгт дараах байдлаар өгөгдвөл a a1 a2 a3 ... an ... pn P(X = a) p1 p2 p3 Математик дундаж буюу µ = E ( X ) -ийг тооцоолохдоо ai � утгуудыг харгалзах pi � магадлалаар үржүүлнэ. 130
Математик XII анги Гарсан үржвэрүүдийг хооронд нь нэмнэ. X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн математик дундаж n ∑µ = E ( X ) = a1 ⋅ p1 + a2 ⋅ p2 + a3 ⋅ p3 +…+ an ⋅ pn = ai ⋅ pi i=1 n Өөрөөр хэлбэл µ = E ( X ) = ∑ai ⋅ P ( X = ai ) i=1 n ∑Дисперс D ( X ) = ai2 ⋅ pi − µ2 болно. i=1 Жишээ. X дискрет санамсаргүй хувьсагчийн тархалтын хууль хүснэгтээр өгөгджээ. a 1234 P ( X = a) 0.1 0.25 0.4 0.15 а. E ( X ) -ийг ол. б. D ( X ) -ийг ол. в. X -ийн стандарт хазайлтыг ол. Бодолт: а. Математик дунджийг олъё. µ = E ( X ) = 1⋅0.1+ 2⋅0.25 + 3⋅0.4 + 4⋅0.15 = 2.4 n ∑б. Дисперсийг олъё. D ( X ) = ( )ai2 ⋅ pi − µ2 = 12 ⋅0.1+ 22 ⋅0.24 + 32 ⋅0.4 + 42 ⋅0.15 − 2.42 = 1.34 i=1 в. Стандарт хазайлтыг олъё σ = D ( X ) = 1.34 = 1.16 Бином тархалтыг практик нөхцөлд таних, түүний томьёог хэрэглэх, B (n, p) тэмдэглээг мэдэх А үзэгдэл илрэх туршилтыг хооронд нь хамааралгүйгээр n удаа давтан хийе. Тэдгээрээс “Амжилттай” болсон туршилтын тоог X гэвэл X санамсаргүй хувьсагч болно. Эндээс үзэхэд Х санамсаргүй хувьсагч нь “Амжилттай эсвэл Амжилтгүй” гэсэн 2 утгатай болно. Энэ Х санамсаргүй хувьсагчийн тархалтыг бином тархалт гэнэ. Эхлээд бином тархалтын тухай төсөөлөл олгох зорилго бүхий жишээ авч үзнэ. Жишээ. Зоос орхиход тоогоороо буух үзэгдлийн магадлал 0.6. Тэгвэл дараах тохиолдлуудад 2 удаа тоогоороо буусан байх магадлалыг ол. а. 3 удаа орхиход б. 7 удаа орхиход Бодолт: а. 3 удаа орхиход 2 удаа тоогоороо буух үзэгдлийн магадлалыг олохдоо дараах алхамуудыг хийе Модны схемийг байгуулах Модны схемээс зөвхөн 2 удаа тоо буусан тохиолдлуудын магадлалыг олох Олсон магадлалуудын нийлбэрийг олох Модны схемээс 131
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном P( 3 удаа орхиход яг 2 удаа тоо буух) = P ( X = 2) = P (TTC ) + P (TCT ) + P (CTT ) = 3⋅0.62 ⋅0.4 = 0.432 б. Одоо зоосыг 7 удаа орхиход яг 2 удаа тоогоороо буух магадлалыг олъё. Энэ тохиолдолд модны диаграм ашиглахад тохиромжгүй. Иймд дээрх (i)-д бодсон тохиолдлоос харвал P (TTC ) = P (TCT ) = P (CTT ) = 0.62 ⋅0.4 байсан. Учир нь үржигдэхүүний байрыг солиход үржвэр өөрчлөгдөхгүй. Эндээс P (TTCCCCC ) = P (CTCTCCC ) = … = 0.6⋅0.6⋅0.4⋅0.4⋅0.4⋅0.4⋅0.4 бүгд 0.62 ⋅0.45 магадлалтай. Энд хэдэн ийм сэлгэмэл байгааг ольё. 2 тоо, 5 сүлдийн сэлгэмлийг олохдоо 7–н хоосон зайнаас 2 хоосон зай сонгож аваад Т-ээр, үлдсэн хоосон зайг С –ээр дүргэнэ гэсэн үг. Иймд 7 –гоос 2 –ийг эрэмбэлэхгүй сонгон авах буюу хэсэглэл болно. Өөрөөр хэлбэл C72 = 7! сэлгэмэл байна. Эндээс P(X = 2) = C72 ⋅ 0.62 ⋅ 0.45 = 21⋅ 0.62 ⋅ 0.45 = 0.0774 боллоо. 2!⋅5! = 21 Дээрх жишээнээс төгсгөлөг тооны туршилтын үр дүнд хэдэн удаа тоо буух магадлалыг олох боломжтой боллоо. Жишээлбэл: 20 удаа зоос орхиход 12 удаа тоо буусан байх магадлалыг ольё. P(X )= 12 = C12 ⋅ 0.612 ⋅ 0.48 = 125970 ⋅0.612 ⋅ 0.48 = 0.1797 болно. 20 X � � дискрет санамсаргүй хувьсагч нь дараах нөхцлийг хангаж байвал бином тархалт гэнэ. Туршилтыг тодорхой тоогоор давтана. Туршилтууд үл хамаарах байна. Туршилт бүрийн үр дүнд яг хоёр үзэгдэл илэрч байна. Жишээлбэл: Шоог орхиход тэгш тоо буух эсвэл 3-т хуваагдах нүдээрээ буух, зоосыг орхиход сүлдээрээ буух гэх мэт туршилтуудыг хооронд нь хамааралгүйгээр n удаа хийвэл үр дүн нь Амжилттай эсвэл Амжилтгүй, Тоо эсвэл Сүлд гэсэн яг хоёр үр дүн гарна. Туршилт бүрийн хувьд амжилттай явагдах магадлал нь тогтмол p байна. (амжилтгүй байх магадлал q = 1− p байна.) Туршилтыг хамааралгүйгээр n удаа давтахад амжилттай үр дүнгийн тоогоор X санамсаргүй хувьсагчийг тодорхойлох ба X санамсаргүй хувсагчийн тархалтыг бином тархалт гээд X ~ B (n, p) гэж тэмдэглэнэ. Уншихдаа X бином тархалт нь туршилтыг хамааралгүйгээр n удаа хийхэд туршилт бүрийн амжилттай явагдах магадлал нь p гэнэ. Бином тархалтын магадлалыг тооцоолох туршилтыг хооронд нь хамааралгүйгээр n� удаагийн туршилт хийхэд r удаа амжилттай явагдах магадал нь P ( X = r ) = Cnr ⋅ pr ⋅ qn−r байна. Энд q = 1− p байна. Жишээ: НОМИН супермакертийн үйлчлүүлэгчдийн 70% нь номин карттай санамсаргүйгээр 15 үйлчлүүлэгч сонгон авахад а. Яг 9 нь номин карттай байх магадлалыг ол. б. 4-өөс багагүй, 7-гоос ихгүй номин карттай байх магадлалыг ол. Бодолт: X � дискрет санамсаргүй хувьсагчийн утгыг санамсаргүй сонгоход номин карттай байсан хүний тоогоор тодорхойлъё. X -ийг бином тархалт гэж харуулъя. Туршилтын тоо гэдэг нь хүний тоо Үл хамаарах хүн бүрийн карт хамааралгүй. Өөрөөр хэлбэл: эзэмшигч нь цор ганц. Карттай байх хүн бүрийн магадлал нь 0.7 Хүн бүр эсвэл карттай, эсвэл картгүй гэсэн 2 үр дүнг өгнө. Эндээс бином тархалт болсон учраас томьёог ашиглаж болно. Иймд X ~ B (15, 0.7) гэж бичнэ. а. Яг 9 хүн номин карттай байх магадлалыг олъё. P(X = 9 ) = C9 ⋅ 0.79 ⋅ 0.36 = 5005⋅0.79 ⋅ 0.36 = 0.1572 15 б. Санамсаргүй сонгон авсан хүмүүсийн дотор 4-өөс багагүй, 7-гоос ихгүй нь НОМИН карттай байх магадлалыг тооцоольё. 132
Математик XII анги Иймд P (4 ≤ X ≤ 7) = P ( X = 4)+ P ( X = 5)+ P ( X = 6)+ P ( X = 7) = C4 ⋅ 0.74 ⋅ 0.311 + C5 ⋅ 0.75 ⋅ 0.310 + C6 ⋅ 0.76 ⋅ 0.39 + C7 ⋅ 0.77 ⋅ 0.38 = 0.0499 болно. 15 15 15 15 Дасгал 2. X ~ B (12, 0.4) бол дараах магадлалуудыг ол. а. P ( X = 2) б. P ( X = 12) в. P ( X = 6) г. P ( X = 0) 3. X ~ B (11, 0.25) бол дараах магадлалуудыг ол. а. P ( X = 5) б. P ( X = 2) в. P( X < 6) г. P(3 < X ≤ 6) Бином тархалтын математик дундаж, дисперс,стандарт хазайлтын томьёог хэрэглэх Хэрэв X ~ B (n, p) бол Математик дундаж нь E ( X ) = µ = np байна. Дундаж хазайлт нь D ( X ) = σ 2 = npq байна. Энд q = 1− p байна. Жишээ: X ~ B (5, 0.6) бол а. Дараах хүснэгтийг гүйцээж бөглө. a 01234 P ( X = a) 0.01024 0.2304 б. Хүснэгтэн дэх утгуудыг ашиглан математик дундаж болон дисперсыг тооцоол. в. E ( X ) = µ = np болон D ( X ) = σ 2 = npq томьёог ашиглан математик дундаж болон дисперсыг тооцоол. г. X -ийн стандарт хазайлтыг тооцоол. Бодолт: а. X ~ B (5,0.6) гэдгээс n = 5, p = 0.6, q = 1− 0.6 = 0.4 болно. Иймд P ( X = 1) = C51 ⋅0.61 ⋅0.44 = 0.0768 P ( X = 3) = C53 ⋅0.63 ⋅0.42 = 0.3456 P(X = 4) = C4 ⋅ 0.64 ⋅ 0.41 = 0.2592 5 P ( X = 5) = C55 ⋅0.65 ⋅0.40 = 0.07776 Эндээс бином тархалтын хүснэгт a 012345 P ( X = a) 0.01024 0.0768 0.2304 0.3456 0.2592 0.07776 б. Математик дундажийг тооцоольё. 5 E ( X ) = ∑ai ⋅ pi i=0 = 0⋅0.01024 +1⋅0.0768 + 2⋅0.2304 + 3⋅0.3456 + 4⋅0.2592 + 5⋅0.07776 = 3 Дисперсыг тооцоолъё. 5 ∑D ( X ) = ai2 ⋅ pi − µ 2 i=0 = 02 ⋅0.01024 +12 ⋅0.0768 + 22 ⋅0.2304 + 32 ⋅0.3456 + 42 ⋅0.2592 + 52 ⋅0.07776 − 32 = 1.2 в. E ( X ) = µ = np = 5⋅0.6 = 3 , D ( X ) = σ 2 = npq = 5⋅0.6⋅0.4 = 1.2 г. Стандарт хаза=йлт =npq 1.2 = 1.095 Дасгал 3. X ~ B (13, 0.48) бол 133
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном а. Математик дунджийг ол. б. Дисперсыг ол. в. Стандарт хазайлтыг ол. 4. Y санамсаргүй хувьсагчийн тархалт нь B (20, 0.4) . Санамсаргүй хувьсагчийн утга нь E (Y ) -тэй тэнцүү байх утгын магадлалыг ол. 5. Y ~ B (n, 0.3) ба E (Y ) = 2.4 бол а. n -ийг ол. б. P (Y = 3) -ийг ол. в. Стандарт хазайлтыг ол. Дискрет санамсаргүй хувьсагч сэдвийн үнэлгээ 6. Хайрцагт 10 улаан, 2 цэнхэр ижил хэмжээтэй бөмбөг байжээ. Түүнээс санамсаргүйгээр 2 бөмбөг авахад улаан өнгөтэй байх магадлалын тархалтын хүснэгтийг байгуул. 7. X дискрет санамсаргүй хувьсагчын магадлалын тархалтын хүснэгт өгөгджээ. r 1357 P ( X = r ) 0.3 a b 0.25 а. a� � ба b -г ашиглан үнэн илэрхийлэл зохио. б. E ( X ) = 4� байхад a� � ба b -г ол. 8. X ~ B 8, 1 бол а. P(X ≥ 3) -г ол. б. P(X ≤ 7) -г ол. 7 Хэвийн тархалт Хэвийн тархалтын хэрэглээг ойлгох, хэвийн тархалтын хүснэгтийг хэрэглэх N (µ,σ 2 ) тэмдэглэгээг мэдэх 10 болон 11-р ангид үзсэн дискрет өгөгдлийг тасралтгүй өгөгдөл болгож гистограмм байгуулах аргыг авч үзье. Жишээлбэл, энд 50 ширхэг цагаан уул цэцгийн ишний уртыг хэмжиж, миллиметрээр өгсөн байг. 60 31 72 57 99 46 68 47 54 57 42 48 39 40 67 89 70 68 42 54 52 50 85 56 50 53 57 83 79 63 63 72 57 53 90 52 58 47 34 102 70 60 94 43 85 67 78 66 57 44 Эдгээр өгөгдлийг тэнцүү завсартай хуваан бүлэглэж, бүлэглэсэн өгөгдлийн давтамжийн хүснэгтийг байгууллав. Ишний урт Давтамж Харцангуй Завсар Завсарын урт Харцангуй давтамж давтамжийн нягт 30-39 3 0.03 29.5-39.5 10 0.006 40-49 9 0.18 39.5-49.5 10 0.018 50-59 15 0.3 49.5-59.5 10 0.03 60-69 9 0.18 59.5-69.5 10 0.018 70-79 6 0.12 69.5-79.5 10 0.012 80-89 4 0.08 79.5-89.5 10 0.008 90-99 3 0.06 89.5-99.5 10 0.006 100-109 1 0.02 99.5-109.5 10 0.002 Энэ хүснэгтийн 3 -р багана дах харцангуй давтамжийг олохдоо өмнөх нүдэнд байгаа давтамжийг 50 -д хувааж гаргасан. Өөрөөр хэлбэл, өгсөн завсар дах цагаан уул цэцгийн ишний туршилтийн магадлал болно. Сүүлийн багана дах утгууд нь 3-р багананы утгыг харгалзах завсарын уртад харьцуулж гарсан утга. Эндээс гистограммыг байгууллав. 134
Математик XII анги Харьцангуй давтамжийн нягт 0.03 0.02 0.01 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Ишний урт (мм) Энэ гистограммын багануудын талбайн нийлбэр 1 тэй тэнцүү байна. Учир нь гистограммын баганы талбай харгалзах завсар дах цагаан уул цэцгийнхээ туршилтийн магадлалыг илэрхийлнэ. Жишээлбэл, санамсаргүйгээр сонгон авсан цэцэг 54.5 < l < 71.5 засварт байх магадлал нь уг завсарт харгалзах баганы талбайтай тэнцүү байна. Харьцангуй давтамжийн нягт 0.03 0.02 0.01 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Ишний урт (мм) Өөрөөр хэлбэл, магадлал нь 5⋅0.03 +10⋅0.018 + 2⋅0.012 = 0.354 байна. Эндээс харахад яг 51.2 мм урттай байх магадлал нь бараг 0 байна. Яагаад гэвэл харгалзах магадлал баганы талбай гарах ёстой. Үүний адилаар 100 ширхэг цагаан уул цэцэгний ишний уртаар бүлэглэдсэн өгөгдлийн давтамжийн хүснэгт байгуулж, гистограммыг байгуулав. Ишний урт Давтамж Харцангуй Завсар Завсарын урт Харцангуй давтамжийн давтамж нягт 30-34 2 0.02 29.5-34.5 5 0.004 35-39 4 0.04 34.5-39.5 5 0.008 40-44 7 0.07 39.5-44.5 5 0.014 45-49 10 0.1 44.5-49.5 5 0.02 50-54 14 0.14 49.5-54.5 5 0.028 55-59 15 0.15 54.5-59.5 5 0.03 60-64 13 0.13 59.5-64.5 5 0.026 65-69 9 0.09 64.5-69.5 5 0.018 70-74 8 0.08 69.5-74.5 5 0.016 75-79 7 0.07 74.5-79.5 5 0.014 80-84 4 0.04 79.5-84.5 5 0.008 85-89 3 0.03 84.5-89.5 5 0.006 90-94 2 0.02 89.5-94.5 5 0.004 95-99 1 0.01 94.5-99.5 5 0.002 100-104 1 0.01 99.5-104.5 5 0.002 135
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Харьцангуй давтамжийн нягт 0.03 0.02 0.01 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Ишний урт (мм) Мөн үүнтэй адилаар өгөдлийн тоог олон болгож, завсарыг илүү нарийвчлах тусам өгөгдлийн гистограмм хонх хэлбэрийн тархалтыг харуулна. Энэ тархалтыг хэвийн тархалт гэнэ. Харьцангуй давтамжийн нягт 0.03 0.02 0.01 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Ишний урт (мм) Бидний амьдрал олон төрлийн тархалтууд байдаг. Эдгээр бидний амьдралд элбэг тохиолдох тархалтуудыг хэвийн тархалт руу загварчилж дүгнэлт гарахад хялбар байдаг. ( )Хэвийн тархалтыг X ~ N µ,σ 2 гэж тэмдэглээд x ∈ R байх 1 e− ( x−µ )2 ( )f x = 2σ 2 σ 2π нягтын функцээр тодорхойлогдоно. Хэвийн тархалтын муруйг Гауссын муруй гэдэг. Энд хэвийн тархалтыг илэрхийлэх гол хоёр үзүүлэлт нь Математик дундаж � � � E ( X ) = ∑xp ( x) ( )Дисперс D ( X ) = E X 2 − E2 ( X ) юм. Гауссын муруй нь x=a шулууны хувьд тэгш хэмтэй, x=a цэг дээр максимум утгаа авна. Хэвийн тархалтыг ашиглаж магадлал олохдоо нягтын функцээс интеграл авах замаар олно. Үүнийг Лапласын функц гээд 1 x − ( x−µ )2 ( ) ∫Φ x = e 2σ 2 dx σ 2π 0 гэж тэмдэглэдэг. Эсвэл хэвийн тархалтын хүснэгтийг ашиглан олж болдог. Энэ аргын талаар энэ бүлэгт авч үзнэ. Хэвийн тархалтын хүснэгтийг ашиглахдаа эхлээд стандарт хэвийн тархалтыг олно. X санамсаргүй хувьсагчын бүх утгуудын Z = X − µ томьёогоор стандарчилагдсан хувьсагч болгож σ ( )болно. ба Z = X − µ σ бол Z ~ N (0,1) гээд стандарт хэвийн тархалт гэнэ. Хэрэв X ~ N µ,σ 2 Жишээлбэл, Монгол улсын сагсан бөмбөгийн SBL хасын хүлэгүүд багийн тоглогч Тунгалагийн 136
Математик XII анги Санчир 1м 93 см өндөртэй. Эндээс Санчир их өндөр болж байна. Гэхдээ тэр 100, 1000, 1 000 000 –д нэг тохиолдох хүн үү. Энэ асуултанд хариулахын тулд Монгол улсын насан хүрсэн эрэгтэй хүмүүсийн өндрийн тархалтыг мэдэх хэрэгтэй. 1 дүгээрт өндөр бол дискрет биш тасралтгүй хувьсагч гэдгийг мэдэх хэрэгтэй. Яг зөв хэмжсэн бол ямар ч хэмжээ гарч болно. Тиймээс хэсэг бүлэг хүмүүсээс нэгийг сонгоход яг Санчир шиг өндөртэй байх магадлал хэд вэ гэж асуух боломжгүй. Харин оронд нь сонгогдсон хүний өндөр 192.5 см-аас 193.5 см хооронд байх магадлал хэд вэ? Гэж асууж болно. Хэрвээ тасралтгүй хувьсагч байвал ганц хариу биш олон төрлийн хариу гарна. Бусад хэвийн тархалтын адил насанд хүрсэн эрэгтэйчүүдийн өндрийг дараа хэвийн тархалт шиг илэрхийлж болно. Зураг 1-ээс хонх хэлбэртэй муруй ба дундажынхаа хувьд тэгш хэмтэй харагдаж байна. Энд муруй болон хэвтээ тэнхлэгээр хашигдсан хэсгийн талбайн магадлалыг илэрхийлнэ. Тэгэхээр баруун хэсэгт байгаа будагдсан талбай буюу дурын нэг сонгогдсон насанд хүрсэн эрэгтэй хүн 180см-ээс өндөр байх магадлал болно. Энэ талбайг олохоос өмнө дундаж болон стандарт хазайлтыг мэдэх 140 145 150 155 160 165 175 180 185 190 195 200 ёстой. Энд дундаж нь 169.1 см ба стандарт хазайлт нь 7 см. 169.1см(өндөр) Зураг 1 Одоо z утгыг олъё. z = x− µ гэдгээс z = 180 −169.1 = 1.557 энэ утгыг дунджаас хазайх утга буюу σ 7 стандарт хазайлт гэнэ. Φ(z) Талбай (магадлал)-ыг олохдоо � z утгыг ашиглан хэвийн тархалтын хүснэгтээс утгыг олно. 140 145 150 155 160 165 175 180 185 190 195 200 Жишээлбэл φ ( z ) гэдэг бол зураг 2-т будагдсан 169.1см(өндөр) хэсгийн талбай болно. Энд нийт талбай бол 1. Одоо дурын нэг сонгогдсон насанд хүрсэн эрэгтэй хүн 180см-ээс өндөр байх магадлалыг олъё. Энд зураг 1 – ийн будагдсан талбайг олно. P ( X > 180) = 1−φ (1.557) болно. Зураг 2 φ (1.557) = 0.9394 + 0.0008 = 0.9402 буюу дурын нэг сонгогдсон насанд хүрсэн эрэгтэй хүн 180см –ээс өндөр байх магадлал нь P ( X > 180) = 1− 0.9402 = 0.0598 болно. Хэвийн тархалтын дараах бодлого бодох: - P( X > a) утгыг олох эсвэл a, µ,σ 2 - өгснөөр холбогдох магадлалыг олох - P( X > a) утга эсвэл холбогдох магадлал өгсөн үед a, µ,σ 2 хоорондын хамаарлыг олох Хэвийн муруйн тухай, мөн тэгш хэмийн чанарын тухай ярилцана. Янз бүрийн тохиолдолд магадлал 137
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном олох бодлого бодуулах ба хэвийн муруй тэгш хэмтэй гэх чанараас P ( Z < −a) = P ( Z > a) ба P ( Z > −a) = P(Z < a) томьёоллуудыг сурагчдаар гаргуулж дүгнэлт хийлгэнэ. 4 чухал үр дүн болох P (a < Z < b) = Φ (b) − Φ (a) , P (−b < Z < −a) = Φ (b) − Φ (a) , P (−a < Z < b) = Φ (b) − (1− Φ (a)) , P (−a < Z < a) = 2$ (a) −1 -ийг бодлого бодуулж өөрсдөөр нь үр дүнг гаргуулах нь зохимжтой. Үр дүн Үр дүн 1. P(a < Z < b) = P(Z < b) − P(Z < a) = Φ (b) − Φ (a) Тиймээс P(a < Z < b) = Φ (b) − Φ (a) Үр дүн 2. P(−b < Z < a) = P(Z < −a) − P(Z < −b) = Φ (−a) − Φ (−b) = 1− Φ (a) − (1− Φ (b)) =1−Φ (a)−1+ Φ (b) = Φ (b)−Φ (a) Үр дүн 3. P(−a < Z < b) = P(Z < b) − P(z < −a) = Φ (b) − Φ (−a) = Φ (b) − (1− Φ (a)) Тиймээс P(−a < Z < b) = Φ (b) − (1− Φ (a)) Үр дүн 4. P(−a < Z < a) = Φ (a) − (1− Φ (a)) = Φ (a) + Φ (a) −1 = 2Φ (a) −1 Тиймээс P(−a < Z < a) = 2Φ (a) −1 P (−a < Z < a) байвал P( Z < a) гэж бичиж болох юм Хэвийн тархалт ба стандарт хэвийн тархалтын бичиглэлийн ялгааг сануулах. X ~ N ( µ,σ 2 ) -ийг стандартчилах алхмуудтай танилцуулж, алхам бүрт харгалзах графикуудыг зурж үзүүлнэ. µ =математик дундажтай σ 2 дисперстэй X ~ N ( µ,σ 2 ) нормаль хувьсагчийн хувьд хүснэгтийг ашиглахдаа Z ~ N (0,1) -ээр стандартчилдаг. Дараах алхамуудыг сурагчидтай хамт хийгээрэй. Алхам 1. X ~ N ( µ,σ 2 ) байхад Y = f ( x) график дараах хэлбэртэй байна. Алхам2. Математик дунджийг 0 болгохын тулд µ -=г бүх утгуудаас хасна. Иймд X − µ ~ N (0,σ 2 ) болж график нь дараах хэлбэртэй болно. 138
Математик XII анги Алхам 3. Стандарт хазайлт σ -д хувааж Z = X −µ ~ N (0,1) гээд стандарчилагсан хэвийн тархалтын графикийг байгуулж болно. σ f (z) X− µ ~ N (0,1) σ Дотогшоо хумигдсан Хэвийн тархалтыг стандарт хэвийн тархалтруу шилжүүлснээр P ( Z ≥ z ) харгалзах магадлал Φ ( z ) -ийг олохдоо утгын хүснэгтийг ашиглан хялбар олж болно. Нормаль хувьсагч X ~ N ( µ,σ 2 ) -ийг стандартчилахдаа: µ -=ийн утгыг хасна. σ −-д4х� EуCв2а0а0хEа0д� 4 Z = X− µ ~ N (0,1) гарна. дараа40н@ь0с0т�а=� нLдAаBр0т=х4а0з@аBйл� Eт07б0у9ю;у�B σ Хэвийн хувьсагч X -ийг стандартчилах жишээ бодлогууд бодуулах ба харгалзах графикийг зуруулна. Стандартчилагдсан хэвийн тархалтын графикийг зурах мэдлэгээ бататгаж, түүнийг хэвийн тархалтын графиктай харьцуулуулж харуулна. Сурагчдын төсөөллийг бий болгохын тулд “Geogebra” програмыг ашиглана. Дасгал, жишээ бодлого ажиллуулж сурагчдын мэдлэгийг бататгана. X ~ N ( µ,σ 2 ) тархалтын хувьд магадлал мэдэгдэж байх үед x-ийн утгыг яаж олох талаар сурагчдаар таамаглуулах ба өгсөн жишээний зургийг сурагчдад сайтар ойлгуулах сурагчдын алдааг залруулах. µ =эсвэл σ мэдэгдэхгүй үед тэдгээрийг жишээ бодлого бодуулах ба бодлогын бодолтонд дүгнэлт анализ хийлгэнэ. P( X > a) утга эсвэл холбогдох магадлал өгсөн үед x1,µ,σ 2 хоорондын хамаарлыг олох төрөл бүрийн бодлогуудыг графикийг зурах 15.в Бином тархалтын ойролцоо утгыг олохдоо хэвийн тархалтыг ашиглаж болох нөхцлийг мэдэх ( n - хангалттай их, np > 5 ба nq > 5 ), түүнийг бодлого бодоход хэрэглэх Дараах хүснэгт болон диаграммыг Microsoft EXCEL программ ашиглан хялбархан байгуулж болно. Хүснэгтийг байгуулахад BINOMDIST(num_successes, num_trials, prob_success, cumulative) гэсэн томьёог ашиглана. Энд num_successes - хэдэн удаа амжилттай явагдсан тоо num_trials - хэдэн удаа туршилт хийсэн тоо prob_success - амжилттай явагдах магадлал cumulative - хурамтлагдсан магадлал Жишээлбэл: X ~ B (10, 0.7) хувьд P ( X = 3) буюу 10 удаа туршилт хийхэд 3 удаа амжилттай явагдах мадаглалыг олъё. Иймд дээрх томьёо ёсоор BINOMDIST(3, 10, 0.7, false) гэж комманд өгөхөд хариуд нь 0.009002 гэж тоон утга өгнө. Одоо X ~ B (n, p) хувьд дараах тохиолдолуудад бином тархалтын хүснэгтүүдийг байгуулъя. =n 1=0, p 0.7 байхад a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 139
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном P ( X = a) 0.000006 0.000138 0.001447 0.009002 0.037 0.103 0.200 0.267 0.233 0.121 0.028 =n 1=0, p 0.5 байхад 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a 01 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 0.2051 0.1172 0.0439 0.0098 0.0010 P ( X = a) 0.0010 0.0098 =n 1=0, p 0.2 байхад a 0123 4 5 6 7 8 9 10 P ( X = a) 0.107 0.268 0.302 0.201 0.0881 0.0264 0.00551 0.000786 0.0000737 0.0000041 0.0000001 Дээрх бином тархалтын харгалзах баганан диаграммыг байгуулъя. Хэрвээ туршилтын тоог ихэсгээд байвал бином тархалтын баганан диаграммуудын оройн цэгүүд хонх хэлбэртэй муруй үүсгэнэ. Ийм хэлбэрийн муруйг хэвийн тархалтын муруй гэнэ. Иймд бином тархалттай хувьсагчын тодорхой завсарт харьяалагдах магадлалуудыг Хэвийн тархалтын муруйн тусламжтай ойролцоогоор олж болдог. Бином тархалтын бодлого бодуулж, түүний тэмдэглэгээ графикийг сэргээн сануулах, жишээ бодлого бодуулна. Графикийг тухайн тохиолдлуудад програм дээр дүрсэлж үзүүлнэ. Эндээс p -ийн утга өөрчлөгдөхөд график яаж өөрчлөгдөж байгааг ажиглуулж дүгнэлт хийлгэнэ. Бином тархалтын математик дундаж болон дисперсийг таниулж, бином тархалтанд ойролцоолж болох хэвийн тархалтын нөхцлийг гаргуулна. X ~ B (12, 0.5) -д диаграм доорх тархалтын магадлалыг харуулж байна. Тасралтгүй тархалтыг дискрет тархалтанд хэрэглэхдээ босоо шугамнуудыг тэгш өнцөгт хэлбэртэйбайрлуулсан байна. Шаардагдсан бином магадлал нь тэгш өнцөгт дүрсийн талбайн нийлбэрээр дүрслэгдсэн. Дараах нөхцлийг шалгаж X ~ B (12, 0.5) -г хэвийн тархалтаар ойролцоолж тооцоолъё. np = 12⋅0.5 = 6 тэгэхээр np > 5 nq = 12⋅0.5 = 6 тэгэхээр nq > 5 нөхцөл тохирсон үед нормаль тархалтыг хэрэглэхдээ X ~X N~ (Nnp(,nnpp, qnp)q, )n,pn=p6=б6nаpqnp=q1=21⋅02.⋅50⋅.05.⋅50=.53= 3 Тиймээс X ~ N (6, 3) µ =µ6=б6σа =σ =3 3 болж уг хэвийн тархалтыг ашиглан 4, 5, 6, ба 7 удаа сүлдээрээ буух магадлалыг олохдоо дараах хонхон графикаас x = 3.5 болон x = 7.5 хоорондох талбайг авч үзнэ. P (4 ≤ X ≤ 7) -ийг P (3.5 < X < 7.5) гэсэн тасралтгүй завсар руу шилжүүлнэ. 140
Математик XII анги Шилжүүлэх гэдэг үгийг → гэж тэмдэглэнэ. Өөрөөр хэлбэл P (4 ≤ X ≤ 7) → P (3.5 < X < 7.5) болно. = P 3.5 − 6 < Z < 7.5 − 6 = P ( −1.443 < Z < 0.866 ) = Φ ( 0.866) − (1− Φ (1.443)) 3 3 = 0.8067 − (1− 0.9255) = 0.732 Тасралтгүйн засвар нь заримдаа хэцүү зүйлүүдээс шалтгаалдаг, зоосыг 12 удаа шидэхэд сүлдээр буух тооны тархалтанд диаграмыг нарийн хэрэглэх шаардлагатай болдог. Дараах жишээнүүдийг сурагчидтай хамт ажиллаарай. P (5 ≤ X ≤ 8) → P(4.5 < X < 8.5) буюу 5,6,7,8 удаа сүлд буух магадлал P(5 < X ≤ 8) → P (5.5 < X < 8.5) буюу 6,7,8 удаа сүлд буух магадлал P(5 ≤ X < 8) → P(4.5 < X < 7.5) буюу 5,6,7 удаа сүлд буух магадлал P(5 < X ≤ 8) → P(5.5 < X < 7.5) буюу 6,7 удаа сүлд буух магадлал ДАСГАЛ 1. Жүржийн хайрцагны масс нь тэдний 30% нь 4.00 кг-аас их масстай ба 20% нь 4.53кг-аас масстайгаар нормаль тархсан. Массын математик дундаж ба стандарт хазайлтыг ол 2. Холигдсон тарианы үрний уутанд хөх тарианы үр байх магадлал 0.35. уутнаас 400 үрийг таамгаар авахад: а. Хөх тарианы үр 120-оос бага байх магадлал б. Хамгийн багадаа 125 боловч хамгийн ихдээ 132 хөх тарианы үр байх магадлал в. 160-аас их хөх тарианы үр байх магадлалыг тус тус ол. Хэвийн тархалтын хүснэгт Хэрвээ Z нь 0 математик дундажтай, 1 дисперстэй нормаль тархалттай бол Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P(Z < z) байхад Φ ( z ) -ийн утгыг хүснэгтээс олохдоо z-ийн утгыг хүснэгтээс хардаг. Φ(z) 0z 141
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном 1. P(z < 0.16) = Φ (0.16) = 0.5636 хүснэгтэн дэх 0.1 гэсэн мөрийг олно. 6 дахь багана дээр очно. Энэ нь 0.5636 гэсэн утгыг өгнө. 2. P(Z < 0.345) = Φ (0.345) = 0.6350 0.3 гэсэн мөрийг олоод 4-р багана дээр очно. Баруун талд нь байгаа 5-р баганыг үргэлжлүүлэн харна. Энэ нь 19 гэсэн утгатай байгаа. 0.6331 гэсэн утган дээр 19-ийг нэмээд 0.6350 гэж гарна. Тайлбар Хэрвээ z -ийн утгыг таслалаас хойш 3 орноос олон оронтой байвал түүнийг 3 орны нарийвчлалтайгаар тоймлох хэрэгтэй. Жишээ нь: z = 1.3469 байвал 1.347 гэж тоймлох ба Φ (1.347) -г олно. 142
арга зүй 3. Арга зүй 3.1. Бодит асуудалд суурилсан суралцахуй Сурагчдын сурах үйл ажиллагааг удирдан явуулах олон аргууд байдаг. Тухайлбал, багшийн үйл ажиллагаа эсвэл суралцагчийн үйл ажиллагаа зонхилж байгаа эсэхээс нь хамааруулан багш төвтэй/суралцагч төвтэй суралцахуй гэж ангилдаг. Арга зүйн олон хэлбэр, техникүүдийг хослуулан хэрэглэх нь зохимжтой юм. Энд бид суралцагч төвтэй суралцахуйн нэг жишээ болох бодит асуудалд суурилсан суралцахуйн тухай товч авч үзнэ. Суралцагч төвтэй суралцахуй гэдэг нь суралцагчийн хувь хүний хэрэгцээ, сонирхол, суурь мэдлэг, чадварт анхаардаг багшлахуйн арга юм. Суралцагч төвтэй суралцахуй бол суралцагчдад суралцах үйл ажиллагаагаа өөрөө хөтөлж явуулах, хэлэлцүүлэгт илүү идэвхтэй оролцох, өөрийн суралцахуйн төслийг боловсруулах, сонирхсон сэдвийнхээ талаар шинжлэн судлах боломжийг олгодог. Бодит асуудалд суурилсан суралцахуй Бодит асуудалд суурилсан суралцахуй нь суралцагчид хичээл дээрээ бодит амьдралын асуудал, бэрхшээлтэй асуудал, хэрэглээний талаар анхаарал хандуулдаг сургалтын олон төрлийн техникийг багтаадаг. Бодит асуудалд суурилсан суралцахуйн жишээг тоочвол, сурагчид бие даан гүйцэтгэх туршилт, бие даасан судалгааны төсөл, төсөлт ажил төлөвлөлт, эрэл хайгуулд суурилсан суралцахуй, төсөлд суурилсан суралцахуй, туршилтад суурилсан суралцахуй зэрэг болно. Шинжлэх ухаанч арга барилд сургах “бодит асуудалд суурилсан” аргын жишээг авч үзье. Суралцагчдад амьдарч буй газрынхаа байгаль орчны талаар анхан шатны ажиглалтад тулгуурлан экосистем хэрхэн ажилладаг талаар таамаглал дэвшүүлэх даалгавар өгч, дараа нь тэднээр тухайн таамаглалыг батлах эсвэл үл батлах туршилт төлөвлүүлж, гүйцэтгүүлнэ. Туршилт дууссаны дараа суралцагчид хийсэн судалгааныхаа талаар бичиж, эрдэмтэн судлаачдад танилцуулж, хамгаална. “Бодит асуудалд суурилсан суралцахуй” арга зүйг ашиглах явцад суралцагчид олон чадваруудыг эзэмшдэг. Жишээлбэл, бүтээлч сэтгэхүй, асуудал шийдвэрлэх, шинжлэх ухааны цэгцтэй, дэс дараалал бүхий ажиглалт хийх, тэмдэглэл хөтлөх, судалгааны арга зүй эзэмших, бичих, танилцуулах техникуудыг эзэмших, үзэл бодлоо цэцтэй, шинжлэх ухааны үндэстэй илэрхийлэх зэрэг юм. Бодит асуудалд суурилсан суралцахуйд зөв, буруу нь тодорхойгүй нээлттэй хариулт бүхий асуултууд, эсвэл сургалтын олон янзын арга зүй ашиглан нарийн ээдрээтэй асуудлуудыг шийдвэрлэх боломжтой олон арга замын хамт шинжлэн судлах даалгаврыг багш төлөвлөдөг. Бодит асуудалд суурилсан суралцахуй нь “шинжлэх ухааны хэд хэдэн салбарыг хамарсан”, суралцагчдыг илүү гүнзгий бодож, хүнд асуултууд дэвшүүлэн тавих, баримт нотолгооны олон янзын хэлбэрийг авч үзэх, нарийн ялгаа өнгө аясыг ялгаж таних, бусдын санааг үнэлж дүгнэх, зөрчилтэй асуудлыг шинжлэн судлах, хүнд асуудал, нөхцөл байдлыг шийдвэрлэх арга замыг олоход нь суралцагчдад урам зориг өгч дэмжих хандлагатай байдаг. “Бодит асуудалд суурилсан суралцахуй” арга зүйг ашиглах хичээлийн төлөвлөлтийн жишээг авч үзье. Жишээ. Статистик, магадлал (10 дугаар анги) 1. Суралцахуйн зорилт: Цэгэн диаграммм, түүний хандлагын шулууныг тоймлон зурах, корреляцийг ойлгох (13-в,г) 2. Багийн зохион байгуулалт: Ойролцоо өндөртэй сурагчдыг нэг багт орсон байхаар дараах байдлаар 4 багт хуваана. Охид бөвгүүдийг тус тусд нь өндөр намаар нь эрэмбэлж хамгийн өндөр охид ба хөвгүүдийг нэг баг болгох. 3. Бэлтгэл ажил. а. Өмнөх хичээл дээр сурагч бүрийг хөлийн улаа тойруулан цаасан дээр зурж ирэх мөн өөрсдийн өндрийг хэмжиж ирэх даалгавар өгнө. б. Цэгэн диаграм байгуулахад зориулсан гэрэлтдэг слайд в. Хичээлийн төлөвлөлтийн дагуу ажлын хуудас бэлдэх 143
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном 4. Хичээлийн төлөвлөлт Багшийн үйл ажиллагаа Сурагчийн үйл ажиллагаа Бэлтгэл үе Үйл ажиллагаа 1. Сэдэлжүүлэх Хүлээгдэж байгаа үр дүн Хичээлийн Багш өмнөх мэдлэгийг сэргээх, Багийн гишүүдийн өндрөөр тохирох диаграм өрнөл хэсэг сэдэлжүүлэхийн тулд дараах даалгавруудыг байгуулна. өгнө. 1.Баг бүр гишүүдийн өндрийг тохирох диаграм ашиглан дүрсэл. 2.Баг бүр гишүүдийн хөлийн улны хэмжээг Хүлээгдэж байгаа үр дүн тохирох диаграм ашиглан дүрсэл. Багийн гишүүдийн хөлийн улны хэмжээгээр тохирох диаграм байгуулна. 3. Диаграм тус бүрийг ажиглан дүгнэлт Хүлээгдэж байгаа үр дүн хий. Багийн хамгийн өндөр, хамгийн нам, хөлийн улны хэмжээ нь хамгийн урт, хамгийн богино гэх мэт дүгнэлтүүд Үйл ажиллагаа 1. Бодлого дэвшүүлнэ. Өмнөх 2 диаграмаас дүгнэлт хийх гэж оролдоно. Хүний өндөр ба хөлийн улны хэмжээ хамааралтай юу? Үйл ажиллагаа 2. Таамаглал дэвшүүлнэ. 2 өгөгдөл хамааралтай эсэхийг мэдэхийн тулд Бэлтгэл хэсэгт хийсэн байгуулалт дээр хэрхэн дүрслэх талаар ярилцана. тулгуурлан ямар нэг дүгнэлт хийж болох Хүлээгдэж буй хариулт уу? -Хамааралтай /хамааралгүй -Хамтад нь дүрсэлнэ Таамаглалаа хэрхэн батлах вэ? -Нэг тэнхлэг дээр өндрийг, нөгөө тэнхлэг дээр хөлийн улны хэмжээг авна Сурагчдын хариулт дээр тулгуурлан -Нэг хүүхдийн өндөр ба хөлийн улны хэмжээнд үнэлгээ хийж чиглүүлнэ. харгалзах цэгийг байгуулна гэх мэт Үйл ажиллагаа 3. Туршилт хийнэ. Өмнөх дүгнэлт дээр тулгуурлан баг бүр Туcгайлан бэлтгэсэн гэрэлтдэг слайдыг байгуулалтаа хийнэ. баг бүрт тараан өгч байгуулалтаа хийхийг санал болгоно. Дүгнэлт хэсэг Үйл ажиллагаа 1. Дүгнэлт хийнэ. Баг бүр өөрсдийн байгуулалт дээр тулгуурлан Багуудийн байгуулсан диаграммыг дүгнэлт хийнэ. самбарт давхарлан байрлуулах ба дүгнэлт хийхэд чиглүүлж асуулт асууна. Багууд самбарт байрлуулсан нэгдсэн Ямар зүй тогтол харагдаж байна вэ? диаграммаас ажиглалт хийн дүгнэлт гаргана. Анхны таамаглал батлагдаж байна уу? Хамаарлыг илүү тодорхой харахын тулд Сурагч бүр ажлын хуудсан дээр бичиж юу хийх ёстой вэ? тэмдэглэх, хандлагын шулууныг зурах, дүгнэлт хийх Багш хандлагын шулуун татаж, хандлагын Хамаарлыг үнэлэх - Эерэг хамааралтай / сөрөг хамааралтай шулууныг тайлбарлах Хандлагын шулууныг ажиглаад ямар - Хүчтэй хамааралтай / сул хамааралтай дүгнэлт хийж болох вэ? “Суралцагч төвтэй суралцахуй” арга зүйгээр зарим хичээлийг заахад ашиглаж болох бодлогын жишээг доор орууллаа. 144
арга зүй Жишээ 1. Хоёр болон түүнээс олон Пуасоны тархалтын нийлбэр Бидний сургуулийн ойролцоох гарцууд аюулгүй юу? Сургуулийн гаднах төв замаар явах машины тоо өссөнөөс болж сурагчид зам гарахад аюултай болж эхэлж байгааг замын хөдөлгөөний сүүлийн үеийн судалгаагаар тогтоосон. Хэсэг сурагчдаас авсан судалгаанаас харахад замын хөдөлгөөн маш ихсэж байгаагаас сурагчид зам гарахад аюултай байгааг харуулж байна. Өдрийн нам гүм үе буюу 3 цагт сургуулийн хажуугаар хот руу ирэх тээврийн хэрэгслийн дундаж тоо нь минут тутамд 3.5, хотоос гарч байгаа тээврийн хэрэгслийн дундаж тоо минут тутамд 5.7 байна. Аюулгүй гарц заавал байх ёстой гэж сургуулийн зүгээс үзэж байна. Харин хотын захиргаанаас сурагчдад хэлэхдээ, хэрэв минут тутамд 10-аас олон тээврийн хэрэгсэл өнгөрөх боломж 4-ний 1-ээс их байна гэдгийг харуулж чадвал сургуулийн гаднах замд аюулгүйн гарцтай болох боломжтой гэжээ. Асуулт. Аюулгүйн гарц хийх шаардлагатай юу? Жишээ 2. Пуасоны тархалтаар Бином тархалт руу дөхөх Ховор өвчний тархалтанд хотын химийн үйлдвэрийг буруутгаж байна Avonford-ын оршин суугчдад ховор өвчин их илэрч байна. Өнгөрсөн жил 5 хүний 1 нь оношлогдон үүнээс болж шаналж байна. Энэ нь улсын дунджаас 3 дахин их үзүүлэлт юм. Уг ховор өвчний улмаас (Палфригийн нөхцөл гэж нэрлэдэг) дотор муухайрч, ядардаг. Харпер Лейнийн ажилчин Жэймс Лүдт (32) сүүлийн 6 сарын турш Орон нутгийн химийн үйлдвэр ажил хийх боломжгүй байна. Түүний эхнэр Мюрил (29) “Жеймс нь түүний гэр бүлийн амьдралыг ажлын байраа алдаж байгаад би санаа зовж байна, бас хүүхдүүдэд сүйтгэж байгаа гэдэгт Мюрил халдварлах вий гэж айж байна (Марк, 4, Саманта, 2) “ гэж хэлжээ. Хатагтай Лүдт энэ өвчинд аж үйлдвэрийн эзэмшил дэх химийн Лүдт итгэж байна. цогцолборыг буруутгаж байна. “Avonford Chemicals нүүж ирэхийн өмнө энд нэг ч тохиолдол гарч байгаагүй” гэжээ. Орон нутгийн байгаль орчны компанит ажилд оролцогч Рой Жэймс хатагтай Лүдтийг дэмжиж байна. “Зөвшөөрөл авахаар төлөвлөж байх үед орон нутгийн удирдлагад энэ төрлийн өвчлөл ихсэж болзошгүйг би анхааруулж байсан. 1 жилд 40000 хүн тутамд 1 тохиолдол илрэх нь хэвийн байдаг” гэжээ. “Avonford Chemicals”-ийн хэвлэлийн төлөөлөгч Жулия Миллвард хэлэхдээ “ Энэ өвчлөлийн шалтгаан нь манай химийн үйлдвэр болж байна гэдгийг бид үгүйсгэж байна. Аюулгүй ажиллагааны тэмдэглэл маань маш сайн. Манай ажилтнуудаас уг өвчин илэрсэн тохиолдол байхгүй. Аль ч тохиолдолд 60 000 хүн амд 5 тохиолдол гарч байгаа нь асуудал юм” гэсэн байна. Асуулт. Та химийн үйлдвэрийг буруутай гэж үзэж байна уу? 5 нь үнэхээр олон тохиолдол уу? 3.2. Зарим сэдвийн нэгж ба ээлжит хичээлийн төлөвлөлт хийх жишээ X анги Нэгж хичээлийн хөтөлбөр Сэдэв: Геометр хувиргалт Хамрах хүрээ: 10-р ангийн сурагчид Зорилго: Координатын хавтгайд тэгш хэм, эргүүлэл, параллель зөөлт, гомотет хувиргалтыг хийх, эдгээр хувиргалтын матрицыг зохиох. Координатын хавтгайд өгсөн дүрсийг хувиргалтын матриц хэрэглэн хувиргах, дараалсан хувиргалтын матрицыг зохиох, өгсөн хоёр дүрсийн хувьд аль нэг нь нөгөөгийн дүр байх хувиргалтыг таних, тодорхойлох чадвартай болох Агуулгын залгамж холбоо: 145
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Тухайн сэдэвтэй Одоо судлах сэдвийн мэдлэг, чадвар Цаашид энэ холбоотой мэдлэг, чадвар сэдэвтэй холбоотой мэдлэг, чадвар - Матрицын нэмэх, - Хувиргалтын томъёо болон матрицыг мэдэх - үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх - Дараах хувиргалтуудын хувиргалтын томъёог зохиох - Матрицыг тоогоор а) Параллель зөөлт, үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэх б) Өгсөн цэгийн хувь дахь тэгш хэм, - Өгсөн вектороор дүрсийг в) y = a,� x = a,� y = x,� � y = −x шулууны хувь дахь тэгш хэм, параллель зөөж зурах г) O (0, 0) цэгт төвтэй 90°,180°, −90° өнцгөөр - Өгсөн шулууны хувь дахь тэгш хэмээр дүрсийг эргүүлэх эргүүлэлт, хувиргаж зурах д) Өгсөн цэгт төвтэй бодит тоон k коэффициент- - Өгсөн цэгт төвтэй 30°, 45°, 60°,= тэй гомотет. 90°,180°, 270° =өнцгөөр - Дараах хувиргалтуудын хувиргатлтын матрицыг зохиох эргүүлэх эргүүлэлтээр дүрсийг хувиргаж зурах а) O (0, 0) цэгийн хувь дахь тэгш хэм, - Өгсөн цэгт төвтэй эерэг бодит тоон б) y = 0, x = 0, y = x, y = −x шулууны хувь коэффициенттэй гомотетоор дүрсийг дахь тэгш хэм, хувиргаж зурах в) O (0, 0) цэгт төвтэй 90°,180°, −90° өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт, г) O (0, 0) цэгт төвтэй бодит тоон k коэффициент- тэй гомотет. - Координатын хувиргалтын томъёо болон хувиргалтын матриц хэрэглэн өгсөн дүрсийн дүрийг олох - Дараалсан хувиргалтын матрицыг зохиох - Ямар нэг хувиргалтаарх дүрс болон түүний дүрийг өгсөн үед уг хувиргалтыг тодорхойлох Цагийн төлөвлөлт: Цаг Эзэмших чадвар 5 цаг Ээлжит хичээл - Хувиргалтын томъёог болон хувиргалтын матриц мэдэх Координатын хавтгай - Хувиргалтын матрицыг зохиох дахь хувиргалтын - Дараах хувиргалтуудын координатын хувиргалтын томъёо болон томъёо ба хувиргалтын матриц, хувиргалтын матрицыг хэрэглэн өгсөн дүрсийн дүрийг олох түүнийг хэрэглэх а) Өгсөн цэгийн хувь дахь тэгш хэм, б) Параллель зөөлт, в) y = 0, x = 0, y = x, y = −x шулууны хувь дахь тэгш хэм, г) O (0, 0) цэгт төвтэй 90°,180°, −90° өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт д) O (0, 0) цэгт төвтэй эерэг бодит тоон k коэффициенттэй гомотет. Сөрөг бодит тоон 1 цаг - O (0, 0) цэгт төвтэй сөрөг бодит тоон k коэффициенттэй гомотетоор коэффициенттэй гомотет өгсөн дүрсийг хувиргаж зурах 146
арга зүй Дараалсан 2 цаг - Дараах хувиргалтуудаас ямар ч хоёрыг нь дарааллан хэрэглэж өгсөн хувиргалтыг дүрсийг хувиргах матрицаар а) Өгсөн цэгийн хувь дахь тэгш хэм, илэрхийлэх б) Параллель зөөлт, в) y = 0, x = 0, y = x, y = −x шулууны хувь дахь тэгш хэм, г) O (0, 0) цэгт төвтэй 90°,180°, −90° өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт д) O (0, 0) цэгт төвтэй эерэг бодит тоон k коэффициенттэй гомотет. - Дараах хувиргалтуудаас ямар ч хоёрыг нь дарааллан хэрэглэх нийлмэл хувиргалтын матрицыг зохиох а) O (0, 0) цэгийн хувь дахь тэгш хэм, б) y = 0, x = 0, y = x, y = −x шулууны хувь дахь тэгш хэм, в) O (0, 0) цэгт төвтэй 900 ,1800 , −900 өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт г) O (0, 0) цэгт төвтэй бодит тоон k коэффициенттэй гомотет. Хувиргалтыг таних, 2 цаг - Өгсөн хоёр дүрсийн хувьд аль нэг нь нөгөөгийн дүр байх хувиргалтыг тодорхойлох таних, тодорхойлох Нийт 10 цаг Анхаарах зүйл: Зөвхөн дараах хувиргалтуудын матрицыг зохиох, хэрэглэх болно. - O (0, 0) цэгийн хувь дахь тэгш хэм - y = 0, x = 0, y = x, y = −x шулууны хувь дахь тэгш хэм - O (0, 0) цэгт төвтэй 90°,180°, −90° өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт - O (0, 0) цэгт төвтэй өгсөн коэффициенттэй гомотет Багшлахуй: Хялбар бодлого жишээгээр эхлүүлэх, сурагчдын сонирхлыг татахуйц жишээ сонгох, сурагчдын ойлголтыг зөв илрүүлэх оновчтой аргыг хэрэглэх, математикийн болон ахуй амьдралын төрөл бүрийн асуудал шийдвэрлэх арга барилыг хөгжүүлэх, сурагчдаар мэдлэг бүтээлгэхэд чиглэсэн идэвхтэй үйл ажиллагааг хичээл бүрээр зохион байгуулна. Явцын үнэлгээний арга хэрэгслийг ээлжит хичээл бүрт оновчтой сонгож хэрэглэх, суралцагчийн ахиц амжилтыг үнэлэх, урамшуулан дэмжих, ялгаатай байдлыг харгалзсан олон хувилбарт даалгаврыг бүтээлчээр боловсруулан хэрэглэнэ. Үнэлгээ: Код Үнэлгээний Үнэлгээний шалгуур зорилт - Тэгш хэмээр дүрсийн дүрийг мэдэж буй байдал М1 Математикийн - Эргүүлэлтээр дүрсийн дүрийг мэдэж буй байдал мэдлэг, ойлголт - Параллель зөөлтөөр дүрсийн дүрийг мэдэж буй байдал - Гомотетоор дүрсийн дүрийг мэдэж буй байдал - Координатын хувиргалтын томъёог мэдэж, ойлгож буй байдал - Хувиргалтын матрицыг мэдэж, ойлгож буй байдал 147
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Математикийн - Өгсөн дүрсийн дүрийг олохдоо хувиргалтыг зөв хэрэглэж буй байдал мэдлэг, ойлголтын - Хувиргалтын матриц ба координатын хувиргалтын томъёоны хоорон- дын М2 хэрэглээ асуудал шийдвэрлэх арга хобоог мэдэж, нэгээс нь нөгөөгийг нь гарган авч буй байдал барилын хөгжил - Хувиргалтын матрицыг зохиохдоо тодорхойлолт, чанар, математик аргыг зөв Өөрийгөө хэрэглэж буй байдал М3 илэрхийлэх, сэтгэн - Координатын хувиргалтын томъёог зохиохдоо тодорхойлолт, чанар, теорем, бодох чадвар математик аргыг зөв сонгож хэрэглэж буй байдал - Өгсөн дүрсийн дүрийг олохдоо хувиргалтын матриц болон хувиргал-тын М4 Идэвх оролцоо, сонирхол, хандлага томъёог хэрэглэж буй байдал - Төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэхдээ математик аргаа хэрэглэж буй байдал - Дүгнэлт гарган, үр дүнг үндэслэлтэй тайлбарлаж буй байдал - Математик хэллэг, бичиглэл, тэмдэглэгээ ашиглаж буй байдал - Юмс, үзэгдлийн математик зүй тогтол, харилцан хамаарлыг илрүүлж буй байдал - Математик хэллэг, бичиглэл, тэмдэглэгээ ашиглан өөрийн санаа бодлоо илэрхийлж буй байдал - Эрэл хайгуул хийх, зүй тогтлыг илрүүлэх, аливаа зүйлийг өөр өнцгөөс харах, олон аргаар шийдвэрлэж буй байдал - Санал бодлоо чөлөөтэй илэрхийлж буй байдал - Дүгнэлт гарган, үр дүнг үндэслэлтэй тайлбарлаж буй байдал - Хичээлд оролцож буй байдал (Багаар болон бие даан ажиллах чадвар) - Юмс үзэгдлийг мөн чанарыг ойлгон сонирхон судалж буй байдал Эхлээд үнэлгээний шалгуураа боловсруулаад шалгуурт тохирсон үнэлгээний даалгавараа боловсруулвал зохимжтой. Ээлжит хичээлээр хийх зарим үйл ажиллагаа. Ээлжит хичээлийн сэдэв: Дараалсан хувиргалтыг матрицаар илэрхийлэх Зорилго. Дараалсан хувиргалтаар өгсөн дүрсийн дүрийг олох, дараах хувиргалтуудаас ямар ч хоёрыг нь дарааллан хэрэглэх нийлмэл хувиргалтын матрицыг зохиох а) O (0, 0) цэгийн хувь дахь тэгш хэм, б) y = 0, x = 0, y = x, y = −x шулууны хувь дахь тэгш хэм, в) O (0, 0) цэгт төвтэй 90°,180°, −90° өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт, г) O (0, 0) цэгт төвтэй бодит тоон k коэффициенттэй гомотет. E , F нь хувиргалт байг. Өгсөн дүрсийг эхлээд E -ээр хувиргаж гарсан дүрийг F -ээр хувиргадаг хувиргалтыг E ба F дараалсан хувиргалт гэнэ. Эхлээд дараах бодлогыг авч үзснээр дараалсан хувиргалтын матриц нь хоёрдах хувиргалтын матрицыг эхний хувиргалтын матрицаар үржүүлсэнтэй тэнцүү болохыг гаргах юм. Бодлого 1. E нь y = 0 шулууны хувь дахь тэгш хэм, F нь y = x шулууны хувь дахь тэгш хэм гэсэн хувиргалтууд байг. Хэрэв зурагт өгсөн A дүрсийг E хувиргалтаар хувиргавал гарах дүрийг A1 гэе, A1 -г F хувиргалтаар хувиргавал гарах дүрийг A2 гэе. а. E ба F -ийн хувиргалтын матрицыг тус тус зохио. б. E ба F дараалсан хувиргалтын матрицыг зохио. в. Координатын хавтгайд A ба A2 дүрсийг зур. Бодолт. Сурагчид хоосон дөрвөлжин нүднүүдийг нөхөж бичих замаар даалгаварыг гүйцэтгэх болно. а. E хувиргалтын матриц , F хувиргалтын матриц байна. б. E хувиргалтаар ( x, y) координаттай цэгийн дүр ( x1, y1 ) гэвэл x1 = � биелнэ. y1 148
арга зүй F хувиргалтаар ( x1, y1 ) координаттай цэгийн дүр ( x2 , y2 ) гэвэл x2 = биелнэ. y2 Иймд E ба F дараалсан хувиргалтаар ( x, y ) координаттай цэгийн дүр ( x2 , y2 ) байх x2 = x гэсэн хамаарал гарна. Эндээс E ба F дараалсан хувиргалтын матрицыг y2 y зохио. в. Сурагчид энэ даалгаварыг олон аргаар гүйцэтгэж болно. 1. A дүрсийг E хувиргалтаар хувиргаж A1 -г зураад, A1 -г F хувиргалтаар хувиргаж A2 дүрсийг зурна. 2. E ба F дараалсан хувиргалтын матрицыг хэрэглэн A дүрсийн дүр A2 -г олж, координатын хавтгайд зурна. 3. E хувиргалтын матрицыг хэрэглэн A1 -г олж, дараа нь F -ийн хувиргалтын матрицыг хэрэглэн A2 -г олж, координатын хавтгайд зурна. Дүгнэлт. Дараалсан хувиргалтын матрицыг олж дэвтэртээ хүснэгтийг нүдийг нөхөж бич. Хувиргалт Хувиргалтын матриц E ба F дараалсан хувиргалт F ба E дараалсан хувиргалт Бодлого 2. E нь O (0, 0) цэгт төвтэй 90° =өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлт, F нь 2 вектороор −1 параллель зөөх гэсэн хувиргалтууд байг. а. E ба F дараалсан хувиргалтын томьёог матрицан хэлбэрээр зохио. б. E ба F дараалсан хувиргалтаарх өмнөх бодогод өгсөн A -н дүрийг олж, координатын хавтгайд зур. Бодолт. а. E -н хувиргалтын матриц буюу хувиргалтын томъёо нь x1 = � x байна. y1 y F хувиргалтаар ( x1, y1 ) координаттай цэгийн дүр ( x2 , y2 ) гэвэл хувиргалтын томъёо x2 = байна. Эндээс E ба F дараалсан хувиргалтын томьёог матрицан хэлбэрээр y2 зохионо. б. Өмнөх бодлого шиг олон аргаар бодож болно. 1. A дүрсийг O (0, 0) цэгт төвтэй 900 өнцгөөр эргүүлэх эргүүлэлтээр хувиргаж, гарах дүрийг 2 −1 вектороор параллель зөөж зурна. 2. E ба F дараалсан хувиргалтын томьёог ашиглан A дүрсийн дүрийг олж, координатын хавтгайд зурна. Дүгнэлт. Дараалсан хувиргалтын томъёог олж дэвтэртээ хүснэгтийг нүдийг нөхөж бич. E нь a b гэсэн хувиргалтын матрицтай хувиргалт ба F нь e вектороор параллель зөөлт байг. b d f Хувиргалт Хувиргалтын томъёог матрицан хэлбэрээр бич E ба F дараалсан хувиргалт F ба E дараалсан хувиргалт 149
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном XI анги Нэгж хичээлийн хөтөлбөр Сэдэв: Радиан Хамрах хүрээ: 11-р ангийн сурагчид Зорилго: Өнцгийн радиан хэмжээг мэдэх, өнцгийг радианаар хэмжсэн үед градуст, градусаар хэмжсэн үед радианд шилжүүлэх, нумын урт, секторын талбайтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд l = rθ , S = 1 r2θ томьёог хэрэглэж чаддаг болох. 2 Агуулгын залгамж холбоо: Тухайн сэдэвтэй холбоотой Одоо судлах сэдвийн Цаашид энэ сэдэвтэй холбоотой мэдлэг, чадвар мэдлэг, чадвар мэдлэг, чадвар - Хурц өнцгийн тригонометр - Өнцгийн радиан - Нэгж радиустай тойрог ашиглан харьцааг хэрэглэх (Өнцгийг хэмжээг ойлгох, радиан тригонометрийн функцийн утгыг олох градусаар, харьцааг тохирох ба градусан хэмжээсийн - 30°, 45°, 60°-ын өнцгийн синус, косинус, нарийвчлалтай тоймлох) хоорондын холбоог тангенсын утгыг ашиглан зарим утгуудыг олох - 0 −180° өнцгийн косинус, мэдэх - tg α = sin α ба sin2 α + cos2 α =1 адилтгалуудыг синусыг тооцоолох - Тойргийн нумын урт ба cos α - Гурвалжны талбайг олоход дугуйн секторын хэрэглэх 1 a ⋅b ⋅ sin α томьёог хэрэглэх талбайтай холбоотой - Синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс, 2 асуудлыг шийдвэрлэхэд котангенс функцийн графикийг тоймлон зурах, - Аливаа гурвалжны хувьд l = rθ , S = 1 r2θ томьёог хэрэглэх косинус, синусын теоремыг 2 - Тригонометрийн урвуу функцийн утгыг мэдэх мэдэх, хэрэглэх хэрэглэх sin−1, arcsin, cos−1, arccos, tg−1, arctg тэмдэглэгээ - Тригонометр харьцааг хэрэглэх хэрэглэх (огторгуйн биет) - Тригонометрийн тэгшитгэлийн бүх шийдийг - Тойргийн нумын урт болон өгсөн завсарт олох дугуйн сектор, сегментийн - sec2θ = 1 + tg2θ, cosec2θ = 1 +ctg2θ талбайг олох - Синус, косинус, тангенсын нийлбэр, ялгаврын - Биетийн гадаргуун талбай, томьёо эзлэхүүн - Синус, косинус, тангенсын давхар өнцгийн томьёо - Туслах өнцгийн томьёоны гаргалгааг хийх - Тригонометрийн томьёо ашиглан, илэрхийллийг хялбарчлах , илэрхийллийн утгыг олох, адилтгал батлах Цагийн төлөвлөлт: Цаг Эзэмших чадвар 2 цаг - Өнцгийн радиан хэмжээг мэдэх Ээлжит хичээл - Радиан ба градусан хэмжээсийн хоорондын холбоог Өнцгийн радиан хэмжээ, радиан ба 2 цаг градусан хэмжээсийн хоорондын мэдэх, бие биед нь шилжүүлэх холбоо Тойргийн нумын урт ба дугуйн - Өнцгийг радианаар хэмжсэн тохиолдолд нумын уртыг секторын талбайтай холбоотой l = rθ томьёогоор олдог болохыг мэдэх асуудлыг шийдвэрлэхэд - Өнцгийг радианаар хэмжсэн тохиолдолд секторын l = rθ , S = 1 r2θ томьёог хэрэглэх 2 талбайг S = 1 r2θ томьёогоор олдог болохыг мэдэх, 2 хэрэглэх Агуулга сонгосон онцлог, анхаарах зүйл: Өмнө нь өнцгийг зөвхөн градуссаар хэмжиж байсан. Одоо градусаас гадна радиан гэдэг нэгжээр хэмждэг. Энэ хоёр нь ижил нэгж биш гэдгийг ойлгуулах. 150
арга зүй Сурагчийн гаргадаг алдаа, түүний шалтгаан: Чадварууд Сурагчийн гаргадаг алдаа Алдаа гаргадаг шалтгаан - Өнцгийн радиан хэмжээг ойлгох, - 30 радиан гэж өгөгдсөн - Өнцгийг зөвхөн градус гэдэг нэг радиан ба градусан хэмжээсийн тохиолдолд шууд 30° =гэж л нэгжээр хэмждэг гэж ойлгодог хоорондын холбоог мэдэх ойлгодог. - Өгүүлбэрээ бүрэн гүйцэд - Тойргийн нумын урт ба дугуйн - Нэгжийг бие биед нь уншдаггүй, хайхрамжгүй секторын талбайтай холбоотой шилжүүлэхдээ голдуу порпорц ханддаг. асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг бөгөөд нэгжийг l = rθ , S = 1 r2θ томьёог хэрэглэх солбиж тавих тохиолдол их - Нумын урт нь тойргийн уртын 2 гаргадаг. хэсэг болохыг мэддэггүй, өөр өөр зүйл л гэж ойлгодог. Багшлахуй: Өмнөх ангиудад судалсан ойлголтуудыг сэргээн бататгах,хялбар бодлого жишээгээр эхлүүлэх, сурагчдын сонирхлыг татахуйц жишээ сонгох, сурагчдын ойлголтыг зөв илрүүлэх оновчтой аргыг хэрэглэх, математикийн болон ахуй амьдралын төрөл бүрийн асуудал шийдвэрлэх арга барилыг хөгжүүлэх, сурагчдаар мэдлэг бүтээлгэхэд чиглэсэн идэвхтэй үйл ажиллагааг хичээл бүрээр зохион байгуулна.Явцын үнэлгээний арга хэрэгслийг ээлжит хичээл бүрт оновчтой сонгож хэрэглэх, суралцагчийн ахиц амжилтыг үнэлэх, урамшуулан дэмжих, ялгаатай байдлыг харгалзсан олон хувилбарт даалгаврыг бүтээлчээр боловсруулан хэрэглэнэ. Үнэлгээ: Код Үнэлгээний Үнэлгээний шалгуур зорилт - Өнцгийг радиан хэмжээг мэдэж, ойлгож буй байдал - Радиан ба градусан хэмжээсийн хоорондын холбоог мэдэж буй байдал М1 Математикийн - l = πr ⋅1θ° , l = rθ томьёог мэдэж, ойлгож буй байдал мэдлэг, ойлголт 180 - S = π r2 ⋅1θ° , S = 1 r2θ томьёог мэдэж, ойлгож буй байдал 360 2 - Радиан ба градусан хэмжээсийн хоорондын холбоог мэдэж, бие биед нь шилжүүлж буй байдал Математикийн - Нумын уртыг олохдоо l = πr ⋅1θ° , l = rθ томьёонуудыг зөв сонгож буй байдал 180 М2 мэдлэг, ойлголтын - Секторын талбайг олохдоо S = π r2 ⋅1θ° , S = 1 r2θ томьёонуудыг зөв сонгож хэрэглээ асуудал 360 2 шийдвэрлэх арга буй байдал барилын хөгжил - Төлөвлөгөөг хэрэгжүүлэхдээ математик аргаа хэрэглэж буй байдал - Дүгнэлт гарган, үр дүнг үндэслэлтэй тайлбарлаж буй байдал - Математик хэллэг, бичиглэл, тэмдэглэгээ ашиглаж буй байдал - Юмс, үзэгдлийн математик зүй тогтол, харилцан хамаарлыг илрүүлж буй байдал М3 Өөрийгөө - Математик хэллэг, бичиглэл, тэмдэглэгээ ашиглан өөрийн санаа бодлоо илэрхийлэх, сэтгэн илэрхийлж буй байдал бодох чадвар - Эрэл хайгуул хийх, зүй тогтлыг илрүүлэх, аливаа зүйлийг өөр өнцгөөс харах, олон аргаар шийдвэрлэж буй байдал - Санал бодлоо чөлөөтэй илэрхийлж буй байдал - Дүгнэлт гарган, үр дүнг үндэслэлтэй тайлбарлаж буй байдал М4 Идэвх оролцоо, - Хичээлд оролцож буй байдал (Багаар болон бие даан ажиллах чадвар) сонирхол, хандлага - Юмс үзэгдлийг мөн чанарыг ойлгон сонирхон судалж буй байдал Эхлээд үнэлгээний шалгуураа боловсруулаад шалгуурт тохирсон үнэлгээний даалгавараа боловсруулвал зүгээр. Ээлжит хичээлээр хийх зарим үйл ажиллагаа: Ээлжит хичээлийн сэдэв: Өнцгийг радианаар хэмжих Ашиглах материал: Харандаа, гортиг, транспортир 151
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Үйл ажиллагаа 1: Сурагчдаар дараах дадлага ажлыг хийлгүүлж болох юм. Зорилго: Дадлага ажил хийснээр өнцөг хэмжих градус ба радиан хоёрын хоорондын холбоо хамаарлыг тогтооно. Мөн дурын өнцөгт харгалзах нумын урт олох томьёог гаргана. а. Нэг радиан өнцгийн тодорхойлолтыг өгнө. б. Хагас тойрогт харгалзах төв өнцгийн хэмжээг олно. в. Хагас тойргийн нумын уртыг олно. г. Хагас тойргийн төв өнцөг 1800 –ын радиан хэмжигдэхүүнийг олно. д. 10 -ын өнцөгт харгалзах радиан хэмжээг олно. е. x0 -ын өнцөгт харгалзах радиан хэмжээг олно. ё. Нэг радиан өнцөгт харгалзах градусан хэмжээг олно. ж. Нэг радиан өнцөгт харгалзах нумын уртыг олно. з. x радиан өнцөгт харгалзах нумын уртыг олно. 152
Үнэлгээний даалгавар боловсруулах арга зүй 4. Үнэлгээний даалгавар боловсруулах арга зүй Үнэлгээ нь багшлахуй, суралцахуйн салшгүй нэг хэсэг юм. Явцын үнэлгээ нь сурагчдын суралцах үйл явцыг тайлбарлах, суралцах явцад учирч буй хүндрэл бэрхшээлийг оношлох, багш, сурагчдын сургах/суралцах үйлийг тодорхойлоход чиглэдэг. Үнэлгээ хийхэд хамгийн чухал нь үнэлгээний инструмент (асуулга, даалгавар гэх мэт) юм. Энд бид математикийн хичээлийн үнэлгээний даалгавар боловсруулахад өргөн хүрээтэй ашигладаг пирамид загварыг авч үзэх ба энэ загвар дээр тулгуурлан зарим сэдвийн үнэлгээний даалгаврыг 3 түвшинтэйгээр боловсруулсан жишээ оруулна. Пирамид загвар нь үнэлгээний даалгавар боловсруулах болон сурагчдын амжилт, сурах үйл явцыг баримтжуулахад чухал ач холбогдолтой. Уг загварт дараах параметрүүдийг багтаадаг. Үүнд: (1) Mатематикийн агуулгын хүрээ (геометр, алгебр, статистик ба магадлал, анализын эхлэл) (2) Математикийн сэтгэлгээ, ойлголтыг гурван түвшин (дахин бүтээх, холбох, задлан шинжлэх) (3) Даалгаврын хүндрэл Пирамид загварыг доор харууллаа. Үнэлгээний Танин мэдэхүйн түвшин Түвшин 3 Пирамид Түвшин 2 Түвшин 1 Алгебр Хүнд МатематикийнГаегоумулегтыр н Анализ Даалгаврын хүндрэл Магадлал, Хялбар статистик хүрээ Танин мэдэхүйн гурван түвшинг товч тайлбарлая. Түвшин 1:Процедур, ухагдахуун, тодорхойлолт Энэ түвшинд сурагчид математикийн объект, шинж чанаруудыг эргэн санах, баримтыг мэдэх, илэрхийлэх, дүрслэх, үндсэн процедурыг гүйцэтгэх, стандарт аргууд болон стандарт алгоритмуудыг хэрэглэх зэрэг чадвартай байна. Түвшин 2: Холбох болон нэгтгэх замаар асуудал шийдвэрлэх Энэ түвшинд сурагчид математикийн агуулга, ухагдахуун хоорондын холбоо хамаарлыг олж харах тогтоох, хийсвэрлэлийн нэг хэлбэрээс нөгөө хэлбэр рүү шилжүүлэх, энгийн асуудлыг шийдэхэд мэдээллийг нэгтгэх, янз бүрийн мэдээллийг (жишээ нь, тодорхойлолт, жишээ, нотолгоо) ялгах, холбох, бодлого бодох стратегийг сонгох зэрэг чадвартай байна. Түвшин 3: Математик сэтгэлгээ ба ерөнхийлөх Сурагчид энэ түвшинд математик аргаар асуудлыг шийдвэрлэх чадвартай байна. Тухайлбал, нөхцөл байдлыг математикаар загварчлах, асуудлыг шийдэхэд ашиглах; дүн шинжилгээ хийх; тайлбарлах, математик нотолгоо хийх, ерөнхий дүрмийг гаргах гэх зэрэг чадваруудыг багтаана. 153
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Үнэлгээний даалгаварын жишиг Сэдэв: Матриц Анги: 10 Түвшин 1 1. Матрицын нийлбэр, ялгавар, үржвэрийг олох гэх мэт үйлдэл шууд гүйцэтгэх бодлогууд байж болно. Тухайлбал, 1 −1 5 + 0 2 −4 нийлбэр матрицыг ол. 2 1 3 1 3 2 Түвшин 2 α −6 5−β −6 β α αβ β αβ α β 1. = 5 нөхцөл биелж байх α,β бодит тоонуудын хувьд + нийлбэрийг ол. α 2. X = {0,1, 2} олонлог ба fi : X → X байх f1 ( x) = 1 , f2 ( x) = 0 , f3 ( x) = 1− x f1 , f2 , f3 функцүүд өгөв. Хоёрдугаар эрэмбийн квадрат матриц A -ийн элементүүдийг aij = fi ( fi+1 (i)) , (i = j) гэж тодорхойлбол A2 матрицын элементүүдийн нийлбэрийг ол. fi+1 ( fi ( j )) , (i ≠ j) 3. x, y бодит тоонуудын хувьд тодорхойлогдсон x −1 1 матрицын урвуу нь оршин байдаггүй y x + 3 бол P ( x,� y ) цэгүүд ямар дүрс зурах вэ? Түвшин 3 1. Нэгэн үйлдвэрт гурил ба цардуулыг 1 кг болон 500 гр-аар савладаг. Тус үйлдвэрийн A, B цехэд нэг өдөрт хэдэн уут гурил ба цардуул савладгийг дараах хүснэгтэд харуулав. А цех B цех 1 кг Гурил Цардуул 1 кг Гурил Цардуул 500 гр 72 40 500 гр 60 34 58 25 72 52 Өнгөрсөн долоо хоногт A, B цехүүд нийт 1 кг-ийн гурил 588 уут, 500 гр-ийн цардуул 360 уутыг савлав. Тэгвэл 1 кг-ийн цардуул хэдэн уутыг савлах вэ? Сэдэв: Тодорхой биш интеграл Анги: 12 Нэгдүгээр түвшний даалгавар Дараах интегралуудыг тохирох арга хэрэглэн бод. 1. ∫ 5 dx = ∫7. ex+2dx 13. ∫ 3 − xdx x 14. ∫ cos (3x − 5) dx ∫15. e−3x+4dx 2. ∫ 1 dx = 8. ∫ xex + 4 dx 16. ∫ sin3 x cos xdx = x2 x ∫17. 2x�ex2 dx = 3. ∫ (2 sin x + 4 cos x) dx ∫9. ex+2dx 4. ∫ (cos x + tan x) sec xdx 10. ∫ xex + 4 dx x ∫5. 2 − cos2 x dx 11. ∫ (4x + 2)2 dx cos2 x ln ( x +1) 18. ∫ dx 6. ∫ (3ex + 3x) dx 1 x +1 12. ∫ (5x −1)2 dx 154
Үнэлгээний даалгавар боловсруулах арга зүй 19. ∫ x2 x 4 dx 23. ∫ x2 +4 dx 27. ∫ ln xdx = + x −1 20. ∫ 2x −1 dx 1 28. ∫ sin x (sin x −1) dx x2 − x + + x 2 24. ∫ x2 2x dx cos2 21. ∫ tan xdx = ∫25. xe−xdx ∫29. 1− e2x dx 26. ∫x cos 2xdx = 1+ ex ∫22. ex 1 dx 30. ∫ cos2 x dx = ex − 2 Хоёрдугаар түвшний даалгавар 31. ∫ (3x +1) (9x − 3x +1) dx интегралыг бод. 32. f ( x)� дифференциалчлагддаг функцийн эх функц нь F ( x) -ийн хувьд F ( x) = xf ( x) − x − ln x ба f (1) = −1 нөхцөл биелдэг бол f (e2 ) -ийг ол. 33. f (x) = ∫ 1 − x2 dx функцийн хувьд f (e) = − 1 e2 нөхцөл биелдэг бол f (1) -ийг ол. x 2 34. f ( x) функцийн хувьд f ′(x) = x −1 ба f (1) = 2 бол f (4) -ийг ол. x +1 3 35. f (x) = ∫ cos2 x dx функцийн хувьд f (0) = 1 бол f (π ) -ийг ол. 1− sin x 36. f ( x)� дифференциалчлагддаг функцийн хувьд f ( x + ∆x) − f ( x) = cos x ⋅ ∆x + (∆x)2 нөхцөл биелэх ба f (0) = 0 бол f π -ийг ол. 2 37. f (x) функцийн хувьд f ′ ( x ) = sin x + cos x 2 ба f (0) = −2 бол f (π ) -ийг ол. 2 2 38. f (x) функцийн хувьд f ′ ( x ) = sin x + cos x 2 ба f (0) = −2 бол f (π ) -ийг ол. 2 2 39. f ( x) = ∫ (e2x − 2ex ) dx функц нь бүх бодит x -ийн хувьд f ( x) > 0 бол дараах тоонуудаас аль нь ∫ f ( x) dx интегралын тогтмол болохгүй вэ? А. 2 Б. 3 В. 4 Г. 5 Д. 6 40. f ( x) = ln x +1 функцийн урвууг g ( x) гэвэл ∫g ( x) dx интегралыг бод. 41. f ( x) функцийн дүр нь эерэг бодит тоон олонлог ба f ′ ( x) = 2 f ( x) , f ′ (0) = 2 бол f (1) -ийг ол. ( )∫42. f ( x) = 6xex2 dx функцийн график дээр (0, 2) цэг оршдог бол f ln 2 -ийг ол. 43. y = f ( x) функцийн график дээр (0,2) цэг оршдог ба уг муруйн аливаа цэг M ( x,� y ) -ийг дайрсан шүргэгч шулууны налалт нь 2ex sin x + 3 π бол f (π ) -ийг ол. 4 44. Тодорхойлогдох муж нь 0 < x < 3π байх f ( x) = ∫ex sin 2xdx функцийн максимум болон 2 минимум утгыг харгалзан M ,�m гэвэл M − m утгыг ол. 45. Тодорхойлогдох муж нь 0 ″ x″ 4 3 байх f ( x) = ∫x x2 +1dx функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг харгалзан M ,�m гэвэл M − m утгыг ол. 46. f ( x) функцийн тодорхойлогдох муж нь эерэг бодит тоон олонлог бөгөөд дифференциалчлагддаг байг. a,�b эерэг тоонуудын хувьд f a = f (a)− f (b) нөхцөл биелдэг b 155
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном ба f ′ (1) = 1 бол f (e2 ) -ийг ол 47. Тодорхойлогдох муж нь 0 < x < π ба дифференциалчлагддаг f (x) функцийн хувьд 2 f ′ ( x) = cos2 f (x) нөхцөл биелнэ. f (1) = π ба f ( x) -ийн урвууг g ( x) гэвэл g π ⋅ g′ π -ийг ол. 4 3 3 48. Бүх бодит x -ийн хувьд f ( x) + g ( x) > 0 байх f ( x) ,� g ( x) функцүүдийн хувьд f (0) = 0, g (0) = e, f ′ ( x) − 3 f ( x) = 0, g′ ( x) − 3g ( x) = 0 нөхцлүүд биелдэг бол f ( x) + g ( x) = 1 тэгшитгэлийг хангах x бодит тоог ол. ∞ π π 2 3 f ( x) = (− cos )x n−1 (0 < x < π ) функцийн эх функц ба n=1 ∑49. F ( x) нь F = 1+ 3 бол F -ийг ол. Гуравдугаар түвшний даалгавар ∫50. Натурал тоо n -ийн хувьд Fn = xne2xdx гэвэл 2Fn+1 + (n +1) Fn -ийг ол. 51. Усны савнаас ус гоожих хурд буюу t секундэд харгалзах усны түвшин h -ийн хувьд dh = − 1 eh нөхцөл биелдэг. Саван дахь усны түвшин нь анх ln 100 см байсан. Усыг гоожуулж dt 10 эхэлснээс хойш a секундын дараа саван дахь бүх ус юүлэгдэнэ гэвэл a -г ол. Сэдэв: Тодорхой интеграл Анги: 12 Нэгдүгээр түвшний даалгавар [1-4] Бүх бодит x -ийн хувьд дараах адилтгал биелдэг бол f ( x) -ийг ол. x ln 2 2 1. ∫ f (t ) dt = 2x2 − 3x +1 ∫6. e3xdx = 11. ∫xexdx = 1 00 x π π 2 2. ∫ f (t ) dt = cos x + 5 12. ∫x cos xdx 1 7. ∫ sin3 x cos xdx 0 0 x π π 2 3. ∫ f (t ) dt = e2x − x −1 ∫8. 2 cos x x dx 0 0 2 + sin 13. ∫2x sin x cos xdx 0 x2 e 4. ∫ f (t ) dt = ln x + 2x − 2 (x > 0) ∫9. xex2dx = 14. ∫x ln xdx = 10 0 π e ln 3x 2 sin x x 0 1+ cos2 тодорхой ∫[5-15] Дараах 10. dx = ∫15. x dx интегралуудыг бод. 1 π 2 5. ∫ (cos 5x + sin 2x) dx 0 [16-20] Дараах муруйнуудаар хүрээлэгдсэн мужийн талбайг ол. 16. y = ex , y -тэнхлэг, y = e шулуун 17. y = ln ( x −1) , y -тэнхлэг, y = −1 , y = 1 шулуун 18. y = ex −1 , x -тэнхлэг, x = −2 шулуун 19. y = ex ба y = e−x муруйнууд болон y = 2 шулуун 20. y = ln ( x) , x -тэнхлэг, y = x , y = 1 шулуун 21. y = x −1 муруй ба координатын тэнхлэгүүдээр хүрээлэгдсэн мужийг x -тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол. 22. y = ln x муруй ба координатын тэнхлэгүүд, y = 3 шулуунаар хүрээлэгдсэн мужийг y 156
Үнэлгээний даалгавар боловсруулах арга зүй -тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол. 23. 0 ≤ x ≤ π завса=рт y s=in x, y cos x муруйнууд болон y -тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн мужийг x 4 -тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол. Хоёрдугаар түвшний даалгавар [24-26] Дараах тодорхой интегралуудыг бод. 3 3 x2 −1 1 24. ∫ x2 − 2x dx 27. ∫ x +1 dx 29. ∫ (2x −1) (4x + 2x +1) dx 0 0 0 π 0 22 25. ∫ cos x dx ∫28. e2x + 4ex + 4dx 30. ∫ (sin2 x + x) dx + ∫ (cos2 t − 3) dt 0 −1 11 1 ∫ ∫ln 3 1 1 dx + 0 e2t dt ex + ln 3 et +1 26. ∫ ex −1 dx 31. −1 0 2 y 32. � y = f ( x) функцийн график зурагт өгчээ. Тэгвэл ∫xf ( x) dx интегралыг 6 −2 y = f (x) бод. 33. 1f ( x) олон гишү1үнт байг. Бүх бодит x -ийн хувьд f (−x) = f ( x) ба ∫ f ( x) dx = 5 бол ∫ (2x3 − x −1) f ( x) dx интегралыг бод. 0 −1 34. 3f ( x) олон гишүү2нт байг. Бүх б3одит x -ийн хувьд f ( x) = − f (−x) ба ∫ f ( x) dx = 3k −1, ∫ f ( x) dx = −5 , ∫ f ( x) dx = k бол k тогтмол тоог ол. −2 O 2x −2 0 0 4 35. f ( x) тасралтгүй функц байг. Бүх бодит x -ийн хувьд f ( x + 3) = f ( x) ба ∫ f ( x) dx = 2 бол 13 1 ∫ f ( x) dx -ийг ол. 1x 36. f ( x) функц нь бүх бодит ∫x -ийн хувьд f (t ) dt = e3x + kex нөхцлийг хангадаг. Тэгвэл f (ln 2) − 0 ийг ол ( k нь тогтмол тоо). x 37. f ( x) дифференциалчлагдах функц нь xf ( x) = 2x + ∫ f (t ) dt нөхцлийг хангадаг бол f (e) − ийг 1 ол. x 38. f ( x) функц нь бүх бодит x -ийн хувьд ∫ ( x + t ) f (t ) dt = e2x + x − e2 −1 нөхцлийг хангадаг бол 1 f (1) − ийг ол. x 39. 0 < x < π завсарт тодорхойлогдсон f ( x) = ∫ (1+ 2 sin t ) cos t dt функцийн максимум утгыг ол. 0 (x) = x+1 2 ∫40. x > 0 үед f x t + t dt функцийн хамгийн бага утгыг ол. y 41. f ( x) тасралтгүй функцийн хувьд f (x)+ f (−x) = cos x нөхцөл 2 π өгөв. x+2 y = f (x) биелдэг бол ∫ f ( x) dx интегралыг бод. g ( x) = ∫ f (t ) dt 25 −π x 42. � y = f ( x) функцийн график зурагт функцийн хамгийн бага утгыг ол. O x 157
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном k ln x dx гэвэл f (k36 ) -ийг f (k ) -аар илэрхийл. x 43. f (k ) = ∫ y 1 2 44. (20 ≤ x ≤ 3) = завсарт тодорхойлогдсон y = f ( x) функцийн график зурагт өгөв. y = f (x) ∫ex ( x +1) dx интегралыг бод. O 2x 0 45. Зурагт ABCD тэгш өнцөгт ба параболыг харуулав. Парабол ба AB хэрчмээр хашигдсан хэсгийн талбайг S1 , тэгш өнцөгтийн талбайг S2 гэвэл S1 -ыг ол. S2 46. y = −x2 +1 парабол ба y = ax шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайн хамгийн бага утгыг ол. 47. f ( x) = 3x − 2 функц өгөв. y = f ( x) ба түүний урвуу y = g ( x) функцүүдийн графикаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол. y 48. Зурагт � y = f ( x) ба түүний урвуу y = g ( x) функцүүдийн график өгөв. 5 Эдгээр муруйнууд (1, 1), (5, 5) цэгт огтлолцдог ба ∫ f ( x) dx = 9 бол 1 y = f ( x) ба y = g ( x) функцүүдийн графикаар хүрээлэгдсэн дүрсийн O1 5x талбайг ол. Гуравдугаар түвшний даалгавар 49. Хоёр өөр байршилд бороо ширүүсч эхэлсэнээс хойш борооны эрчим нь (инч/цаг нэгжээр хэмжигдэнэ) харгалзан f (t ) = 0.73t3 − 2t2 + t + 0.6 ба g (t ) = 0.17t2 − 0.5t +1.1 гэж өгөгдөв. Эдгээр муруйгаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг 0 ″ t ″ 2 үед тооцоолж үр дүнг тайлбарла. 50. Хүн амын төрөлтийн дундаж хурдыг f (t ) = 2200e0.024t , нас барах дундаж хурдыг d (t ) = 1400e0.018t гэж загварчлав. Эдгээр муруйгаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг олж, утгыг тайлбарла. 51. f ( x) = e−x ба натурал тоо n -ийн хувьд Pn , Qn цэгүүдийг харгалзан Pn (n,� f (n)) , Qn (n +1, f (n)) гэж тодорхойлъё. Pn Pn+1 �Qn гурвалжны талбайг An , Pn Pn+1 хэрчи ба y=f(x) муруйгаар f (x) = e−x хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг Bn гэвэл дараах мэдээллүүдээс аль нь үнэн бэ? Pn Qn n+1 Pn+1 1. ∫ f ( x) dx = f (n) − ( An + Bn ) n n+1 n ∑2.∞ = 1 2e An n=1 ∑3.∞ An = 3−e n=1 2e (e −1) А. 1 Б. 1, 2 В. 2, 3 Г. 1, 3 Д. 1, 2, 3 158
Search
