Дифференциал тэгшитгэл

ЧЭНХБААТАР МАТЕМАТПК апФФЕРЕнипАЛ тэгшптгэл ^ + а(х)у = /(х ) \\Лу+ Р (х )у = (^ (х )у п Лх \\2 = у 1—п и ( ж ) = ехр(/а(х)с1х). Щ ^ + {1_п)Р{х)2={1_ пШх) ^и(х)/(х)Ох + сЩЛ У = ------------и-- (—х)------------■ +Л2х+ Р\\х ) г = Ч(х )- ^ = -0.07(3/ - 20) о1у_ Ьх у = У[ »—- 2 0 = у[ -0 070х (1х 1п(» - 20) = -0 .0 7 х + С у - 20 = е -°,07м<7 » - 20 = е“0 07* •ес » - 20 = е“0 071 •С Уо —20 = е •Со 100 - 20 = е \"0 070 •Со II = 80 У = (х - 2) / (у2 + 1) з1п(х - 2) + з1п(2у) ^ =д(х)Н(у) [ й у , \\д(х)йх+с Н у) Өвөрхангай 2019 он

Àãóóëãà 1 Õóâñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë³³ä 2 1.1 Îíîë õàíäëàãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Æèøýý áîäëîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë 13 2.1 Îíîë õàíäëàãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Æèøýý áîäëîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Áåðíóëëèéí òýãøèòãýë 19 3.1 Îíîë õàíäëàãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Æèøýý áîäëîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí áîäëîãóóä 26 4.1 Æèøýý áîäëîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1

2 1 Õóâñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë³³ä 1.1 Îíîë õàíäëàãà Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë y = f (x, y) f (x, y) = p(x)h(y) , p(x), h(y) ôóíêö³³ä îëíî. dy = p(x)h(y) ⇒ dy = p(x)dx h(y) = 0. dx h(y) q(y) = 1 ãýæ îðëóóëáàë òýãøèòãýë q(y)dy = p(x)dx h(y) áîëíî. Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäñàí òýãøèòãýëèéí õî¼ð òàëààñ èíòåãðàë àâáàë. q(y)dy = p(x)dx + C, C-òîãòìîë òîî Èíòåãðàëûã òîîöîîëáîë Q(y) = P (x) + C áîëíî. Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ äèôôåðåí- öèàë òýãøèòãýëèéí åð°íõèé øèéä áîëíî. 1.2 Æèøýý áîäëîãî Æèøýý 1. dy dx = y(y + 2) äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. Ýíý òîõèîëäîëä p(x) = 1, h(y) = y(y + 2). Òýãøèòãýëèéã h(y) õóâààæ dx-ýýð ³ðæ³³ëáýë

1.2 Æèøýý áîäëîãî 3 dy y(y + 2) = dx äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëýýñ èíòåãðàë àâáàë dy = dx + C. y(y + 2) 1 A B ,⇒ 1 A(y + 2) + By =+ = y(y + 2) y y + 2 y(y + 2) y(y + 2) , ⇒ 1 ≡ Ay + 2A + By, ⇒ 1 ≡ (A + B)y + 2A, ⇒ A+B =0 , ⇒ A = 1 . 2A = 1 2 1 B = − 2 1 1 1− 1 . = y (y + 2) 2 y y + 2 1 1 − 1 dy = dx + C, 2 y y+2 ⇒1 dy − dy = dx + C, 2y y+2 ⇒ 1 (ln |y| − ln |y + 2|) = x + C, ⇒ 1 ln y = x + C, 2 2 y+2 ⇒ ln y = 2x + 2C. y+2 2C = C1 òýãøèòãýëèéí øèéäèéã áè÷âýë y = 2x + C1 y = 0, y = −2. ln y+2

1.2 Æèøýý áîäëîãî 4 Æèøýý 2. x2 + 4 y = 2xy. äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. (x2 + 4)dy = 2xydx. (x2 + 4)y õóâààõàä dy 2xdx y = x2 + 4. x2 + 4 = 0 x ∈] − ∞; ∞[ ; y = 0 dy 2xdx ⇒ ln |y| = d x2 = (x2 + 4) + C, x2 + 4 + C. y d x2 = d x2 + 4 ln |y| = d x2 + 4 + C, ⇒ ln |y| = ln x2 + 4 + C. x2 + 4 C-òîî òîãòìîë C1 > 0. ln |y| = ln x2 + 4 + ln C1, ⇒ ln |y| = ln C1 x2 + 4 , ⇒ |y| = C1 x2 + 4 , ⇒ y = ±C1 x2 + 4 . Ýíäýýñ äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí øèéä y = ±C1(x2 + 4), y = 0, C1 > 0. Æèøýý 3. y = −xey äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. dy = −xey, ⇒ dy = −xdx, ⇒ e−ydy = −xdx. dx ey x2 e−ydy = (−x) dx + C, ⇒ −e−y = − + C 2

1.2 Æèøýý áîäëîãî 5 ⇒ e−y = x2 + C. 2 −y = ln x2 y = − ln x2 . C >0 +C +C 2 2 Æèøýý 4. x(y + 2)y = ln x + 1, y(1) = −1 äèôôåðåíöèàë òýãøèòãý- ëèéí òóõàéí øèéäèéã îë. dy ⇒ (y + 2) dy = (ln x + 1) dx x (y + 2) = ln x + 1, . dx x x = 0, x > 0. (y + 2) dy = (ln x + 1) dx + C. x (ln x + 1) dx = (ln x + 1) d (ln x) = x = (ln x + 1) d (ln x + 1) (ln x + 1)2 ⇒ 2y2 + 4y = (ln x + 1)2 + C1, =. 2 y2 + 2y = (ln x + 1)2 + C, 2 C1 = 2C y(1) = −1 àøèãëàâàë 2(−1)2 + 4 (−1) = (ln 1 + 1)2 + C1, ⇒ C1 = −3. Òóõàéí í°õö°ëèéã õàíãàõ øèéä

1.2 Æèøýý áîäëîãî 6 2y2 + 4y = (ln x + 1)2 − 3. Æèøýý 5. y ctg2x + tg y = 0 äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. dy ctg2x = − tg y, ⇒ ctg2xdy = − tg ydx. dx Òýãøèòãýëèéã tg y ctg2x õóâààâàë ct¨g¨2xdy = − tg¨¨ydx , ⇒ dy = − dx . tg y ctg2x ¨ ¨ tg y ct¨g¨2x tg¨¨y ctg2x ¨¨ tg y ctg2x = 0. 1) tg y = 0, ⇒ y = π + πn, n ∈ Z, dy = 0. 2 y = π + πn, n ∈ Z òýãøèòãýëèéí øèéä áîëíî. 2 2) ctg2x = 0. x = πn, n ∈ Z, dx = 0, òýãøèòãýëèéí í°õ- ö°ëèéã õàíãàõã³é dy = − dx ⇒ dy =− dx tg y ctg2x + C, cos2x + C, sin y sin2x cos y ⇒ cos ydy = − sin2xdx sin y cos2x + C, ⇒ d (sin y) = − 1 − cos2x sin y cos2x dx + C, ⇒ ln |sin y| = − 1 − 1 dx + C, cos2x ⇒ ln |sin y| = − (tg x − x) + C,

1.2 Æèøýý áîäëîãî 7 ⇒ ln |sin y| = − tg x + x + C. ln |sin y| + tg x − x = C, y = π + πn, n ∈ Z. 2 Æèøýý 6. (1 + ex) y = ex, y(0) = 0 äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí òó- õàéí øèéäèéã îë. (1 + ex) dy = exdx. Òýãøèòãýëèéã 1 + ex õóâààâàë ex 1 + ex > 0 dy = 1 + ex dx. dy = ex ⇒y= d (ex) 1 + ex dx + C, 1 + ex + C, ⇒y= d (ex + 1) ⇒ y = ln (ex + 1) + C. 1 + ex + C, y(0) = 0; àøèãëàâàë 0 = ln e0 + 1 + C, ⇒ 0 = ln 2 + C, ⇒ C = − ln 2. y = ln (ex + 1) − ln 2 = ln ex + 1 . 2

1.2 Æèøýý áîäëîãî 8 Æèøýý 7. y (1 + xy) dx = x (1 − xy) dy. òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. t xdt − tdx xy = t y = ; dy = x2 . x Òýãøèòãýëäýý îðëóóëæ áè÷âýë t (1 + t) dx = x (1 − t) xdt − tdx . x x2 t (1 + t) dx = (1 − t) (xdt − tdx) . x = 0 òýãøèòãýëèéí øèéä áîëíî. tdx + t2¨d¨x = xdt − tdx − xtdt + t2¨d¨x, ⇒ 2tdt = x (1 − t) dt. ¨¨ 2dx (1 − t) dt dx 1 − 1 dt. = 2= x t xt dx 1 − 1 dt + C, ⇒ 2 ln |x| = ln |t| − t + C, 2= t x ⇒ ln x2 = ln |t| − t + C. t = xy xy ⇒ ln x2 ln x2 = ln |xy| − xy + C, − xy + C = 0, ⇒ ln y − xy + C = 0. x òýãøèòãýëèéí øèéäèéã áè÷âýë ln y − xy + C = 0, x = 0. x

1.2 Æèøýý áîäëîãî 9 Æèøýý 8. (x + y + 1) dx + (4x + 4y + 10) dy = 0 òýãøèòãýëèéí åð°í- õèé øèéäèéã îë. x + y = u, ⇒ y = u − x, dy = du − dx. (u + 1) dx + (4u + 10) (du − dx) = 0. udx + dx + 4udu + 10du − 4udx − 10dx = 0, −3udx − 9dx + 4udu + 10du = 0, −3 (u + 3) dx + 2 (2u + 5) du = 0, 3dx 2u + 5 = du. 2 u+3 3 2u + 5 du + C, dx = 2 u+3 ⇒3 dx = 2u + 6 − 1 du + C, 2 u+3 ⇒ 3 dx = 2 − 1 du + C, 2 u+3 ⇒ 3 = 2u − ln |u + 3| + C. x 2 u=x+y 3 = 2 (x + y) − ln |x + y + 3| + C x 2 x + 2y − ln |x + y + 3| + C = 0. 2

1.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 10 1.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 1). y = x2 äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí åð°íõèé øèéäèéã îë. 2). (2x + 1)y = 4x + 2y äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã áîä. 3). yy = 3 äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí x0 = 6 ³åä y0 = 10 áàéõ øèéäèéã îë. 11y2 4). y = 1 − x2 , y(0) = 2 5). dy = 6y2x, y (1) = 1 dx 25 3x2 + 4x − 4 6). y = 2y − 4 , y (1) = 3 7). y = √ xy3 , y (0) = −1 1 + x2 8). y = e−y (2x − 4) , y (5) = 0 dr r2 9). = , r (1) = 2 dθ θ 10). dy = ey − t sec (y) 1 + t2 y (0) = 0 dt 11). cos (x) y + sin (x) y = 2cos3 (x) sin (x) − 1, √ y π =3 2, 0 ≤ x < π 4 2 áàéõ øèéäèéã îë. 12). t y + 2y = t2 − t + 1, y (1) = 1 2 13). ty − 2y = t5 sin (2t) − t3 + 4t4, y (π) = 3 π4 2 14).x2y + 2xy = ln x, y(1) = 2

1.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 11 15). t3 dy + 3t2y = cos t, y(π) = 0 dt 16). t du = t2 + 3u, t > 0, u(2) = 4 dt 17). 2xy + y = 6x, x > 0, y(4) = 20 18). xy = y + x2 sin x, y(π) = 0 19). (x2 + 1) dy + 3x(y − 1) = 0, y(0) = 2 dx 20). xy + y = y2, y(1) = 0.5 1 + y2 21). y = 1 + x2 , y(0) = 1 22). y − 2xy − y = 0 23). xydx + (x + 1)dy = 0 24). y2 + 1dx = xydy 25). ln cos ydx + x tg ydy = 0 26). (xy2 + x)dx + (y − yx2)dy = 0 27). y · sin x = y · ln y, π = e y( ) 2 π 28). sin y cos xdy = cos y sin xdx, y(0) = 4 29). (x2 − 1) · y + 2xy2 = 0, y(0) = 1 30). y = 3 3 y2, y(2) = 0 31). y · y + ey = 0, y(1) = 0 x 32). (1 + e2x)y2dy = exdx, y(0) = 0 33). y + cos(x + 2y) = cos(x − 2y), y(0) = π 4 34). y = 2x−y, y(√−3) = 5 y(− 15 ) = e 35). y ln3 y + y · x + 1 = 0, 16

1.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 12 y 36). y = ln y, y(2) = 1 dx dy 37). x(y − 1) + y(x + 2) = 0, y(1) = 1 38). dy = y(y + 2) òýãøèòãýëèéí x = 0, y = −1 áàéõ øèé- dx äèéã îë.

13 2 Øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë 2.1 Îíîë õàíäëàãà Øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí åð°íõèé õýëáýð y + a (x) y = f (x) , áîë u (x) = exp a (x) dx . y= u (x) f (x) dx + C ãàðíà C=òîãòìîë òîî , u (x) 2.2 Æèøýý áîäëîãî Æèøýý 9. y − y − xex = 0 òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. y − y = xex. u (x) = e (−1)dx = e− dx = e−x. y (x) = u (x) f (x) dx + C ¨e−¨¨xx&e&xdx + C = e−x u (x) = xdx + C = ex x2 e−x +C . 2

2.2 Æèøýý áîäëîãî 14 Æèøýý 10. xy = y + 2x3. òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. xy − y = 2x3. x2 õóâààõàä xy − y y x2 = 2x; = 2x x y 2x + C = x2 + C ⇒ y = x3 + Cx = 2 x2 y − 2y = x.òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. a(x) = −2 u (x) = exp a (x) dx = exp (−2) dx = e−2x. y= u (x) f (x) dx + C = e−2xxdx + C . u (x) e−2x  q pdx = qp − q pdx  e−2x x dx =  p = x, p = 1  qp q = e−2x, q = − 1 e−2x 2 = −xe−2x − 1 · −1e−2x dx = −xe−2x + 1 e−2xdx 2 2 22 = −xe−2x − 1e−2x = −1e−2x (1 + 2x) . 24 4 y = − 1 e−2x (1 + 2x) + C = −1 (1 + 2x) + Ce2x. 4 4 e−2x

2.2 Æèøýý áîäëîãî 15 Æèøýý 11. x2y + xy + 2 = 0. òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. y y = − 2 . + x2 x y ⇒ dy = − y , ⇒ dy = −dx, y + = 0, x dx x y x ⇒ dy = − dx , yx ⇒ ln |y| = − ln |x| + ln C1 (C1 > 0), ⇒ ln |y| = ln C1 , ⇒ y = C1 . |x| |x| C (x) C (x) · x − C (x) y= = x2 , x C (x) · x − C (x) C (x) 2 x2 + x2 = −x2 , ⇒ C (x) − C (x ) + C (x ) = − 2 , ⇒ C (x) = − 2 , x x2 x      x2  x2    2 ⇒ C (x) = − dx = −2 ln |x| + C. x y = C (x) = −2 ln |x| + C . x xx Æèøýý 12. y − y tg x = sin x, y(0) = 1 òýãøèòãýëèéí òóõàéí

2.2 Æèøýý áîäëîãî 16 øèéäèéã îë. u (x) = e (− tg x)dx = e− tg xdx. tg xdx = sin x dx = − d (cos x) = − ln |cos x| . cos x cos x u (x) = e− tg xdx = eln|cos x| = |cos x| . (y − y tg x) cos x = y cos x − y tg x cos x = y cos x − y sin x = (y cos x) = [y (x) u (x)] . y (x) = 1 · u (x) sin xdx + C u (x) = 1 · cos x sin xdx + C cos x 1 sin 2xdx + C = − cos 2x + C = cos x 4 cos x cos x 2 cos x = C (4 − cos 2x) , y(0) = 1 4 cos x y (0) = C (4 − cos 0) = C (4 − 1) = 3C = 1. 4 cos 0 4·1 4 4 C= . 3 y = 1 (4 − cos 2x) . 3 cos x Æèøýý 13. y 32 +y = x2 , y(1) = 2 òýãøèòãýëèéí òóõàéí øèéäèéã îë. x

2.2 Æèøýý áîäëîãî 17 u (x) = e 3 dx = e3 dx = e3 ln|x| = eln |x|3 = |x|3. x x 3 x3 = y x3 + 3 yx3 = y x3 + 3yx2 = yx3 . y+ y xx y= u (x) f (x) dx + C x3 · 2 dx + C = x2 u (x) x3 2xdx + C x2 + C 1 C = x3 = x3 = x + x3 . y(1) = 2 1C ⇒ C = 1. y (1) = 1 + 13 = 2, 11 y = x + x3 . Æèøýý 14. y = 2y4 + 2x y . Òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. y= 2y4 + 2x dy ⇒ ydx = 2y4dy + 2xdy, , dx ⇒ dx = 2y4 + 2x, ⇒ dx − 2 = 2y3. y x dy dy y u (y) = e (− 2 )dy = e−2 dy = e−2 ln|y| = eln 1 = eln 1 = 1 y y |y|2 y2 y2 . x (y) = u (y) f (y) dy + C 1 · 2y3dy + C = y2 u (y) 1 y2 = 2ydy +C = y2 y2 + C . 1 y2

2.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 18 2.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 1). x − y = xy √ 21). xy + (x + 1)y = 3x2e−x 2). y x + xy2 = 22). (x + y2)dy = ydx 3). y = 1 + 1 23). sin x dy + (cos x)y = sin x2 x y dx 4). y sin x = x2y − x 24). (sin2 y + x ctg y)y = 1 5). (2x + 1)y = 4x + 2y 25).(2x + y)dy = ydx + 4 ln ydy 6). y + y = 1 26). (1 + t) du + u = 1 + t, t > 0 dt 7). y − y = ex 27). (1 − 2xy)y = y(y − 1) 8). 4x3y + x4y = sin3 x 28). y + 2y = y2ex 9). y + y tg x = sec x 29). (x + 1)(y + y2) = −y √ 30). y = y4 cos x + y tg x 10). xy + y = x 11). y + y = sin(ex) 31). xy2y = x2 + y3 12). (2ey − x)y = 1 32). xydy = (y2 + x)dx 13). x dy − 4y = x4ex 33). xy + 2y + x5y3ex = 0 dx xy 14). y = y 34). 2y − x = x2−1 3x−y2 y 15). t ln t dr + r = tet 35). y x3 sin y = xy − 2y dt 16). (xy + ex)dx − xdy = 0 36). (2x2y ln y − x)y = y 17). x2y + xy + 1 = 0 37). (2x − y2)y = 2y y 18). y = x(y − cos x) 38). y = 2y ln y + y − x 19). 2x(x2 + y)dx = dy 20). (xy − 1) ln x = 2y

19 3 Áåðíóëëèéí òýãøèòãýë 3.1 Îíîë õàíäëàãà Áåðíóëëèéí òýãøèòãýë íü øóãàìàí áóñ äèôôåðåíöèàë òýã- øèòã³³äèéí íýã þì. Åð°íõèé õýëáýð íü y + a (x) y = b (x) ym, a(x), b(x) òàñðàëòã³é ôóíêö m = 0, øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë m = 1, õóâüñàã÷ ÿëãàãäàã òýãøèòãýë Åð°íõèéä°° m = 0, 1 ³åä Áåðíóëëèéí òýãøèòãýëèéí õóâü- ñàã÷èéã îðëóóëàí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëä õóâ- èðãàæ áîëíî. z = y1−m. z(x) ãýñýí øèíý äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë íü äàðààõü õýë- áýðòýé áàéíà. z + (1 − m) a (x) z = (1 − m) b (x) 3.2 Æèøýý áîäëîãî Æèøýý 15. y − y = y2ex òýãøèòãýëèéí åð°íõèé øèéäèéã îë. Áåðíóëëèéí òýãøèòãýëä m = 2-èéã îðëóóëàí áîäíî. z = y1−m = 1 . y z= 1 = − 1 y . y y2 Àíõíû òýãøèòãýëèéã y2 õóâààõàä

3.2 Æèøýý áîäëîãî 20 y − y = y2ex, ⇒ y − 1 = ex. y2 y −z − z = ex, ⇒ z + z = −ex. z(x) øóãàìàí òýãøèòãýëèéã áîäíî. u (x) = e 1dx = ex. u (x) f (x) dx + C z (x) = u (x) = ex (−ex) dx + C = −x + C = (C − x) e−x. ex ex 11 y = z = (C − x) e−x , Òýãøèòãýëèéã y2-ò õóâààõäàà y = 0 øèéäèéã îðõèñîí. Òèé- ìýýñ åð°íõèé øèéä íü y (C − x) = ex, y = 0 áîëíî. Æèøýý 16. y y = y2 òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. + x Áåðíóëëèéí òýãøèòãýëä m = 2 îðëóóëãûã õèéå. z = y1−m = 1 . y 1y z= = − . y y2 Àíõíû òýãøèòãýëèéã y2 õóâààõàä y1 y2 + yx = 1.

3.2 Æèøýý áîäëîãî 21 z(x)-èéí õóâüä äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéã äàðààõ áàéä- ëààð áè÷íý. −z + z = 1 z − z = −1. xx u (x) = e (− 1 )dx = e− dx = e− ln|x| = eln 1 = 1 x x |x| . |x| z · 1 − z · 1 =z · 1 − z = z· 1 . x x x x x2 x u (x) f (x) dx + C z= u (x) = 1 · (−1) dx + C = − ln |x| + C = x (C − ln |x|) . x 1 1 xx 11 y= , y= z x (C − ln |x|) Òýãøèòãýëèéí åð°íõèé øèéä íü yx (C − ln |x|) = 1, y = 0 Æèøýý 17. y + y ctg x = y4 sin x òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. m = 4, z = y1−m = y−3. z = y−3 = −3y−4y = − 3y . y4 Òýãøèòãýëèéã (−3) ³ðæ³³ëæ y4 õóâààõàä y + y ctg x = y4 sin x, ⇒ −3y − 3 ctg x = −3 sin x. y4 y3

3.2 Æèøýý áîäëîãî 22 z − 3 ctg x · z = −3 sin x. u (x) = e (−3) ctg xdx = e−3 ctg xdx cos xdx d(sin x) sin x sin x = e = e = e−3 −3 −3 ln|sin x| = eln 1 = 1 |sin x|3 |sin x|3 . 1 1 1 3z cos x 1 . z · sin3x − 3 ctg x · z · sin3z = z sin3z − sin4x = z sin3x z= u (x) f (x) dx + C 1 (−3 sin x) dx + C = sin3x u (x) 1 sin3x −3 dx +C = (3 ctg x + C) sin3x. = sin2x 1 sin3x 1 = (3 ctg x + C) sin3x, y = 0. y3 Æèøýý 18. 2y √ y + = 2x y òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îë. x Áåðíóëëèéí òýãøèòãýëä ïàðàìåòðèéí óòãà m = 1 2 z = y1−m = √ √y y, z = ( y) = √ . √ 2y Òýãøèòãýëèéã 2 y õóâààõàä √ 2y √ y 2y 2x y y + = 2x y, ⇒ √ + √ =√ , x 2 y 2x y 2 y

3.2 Æèøýý áîäëîãî 23 √ y y ⇒ 2√y + = x. x y îðîíä z îðëóóëáàë z u (x) = e 1 dx = eln|x| = |x| . z + = x. x x z · x + z · x = z x + z = (zx) . x u (x) f (x) dx + C x · xdx + C z= = x u (x) = x2dx + C = x3 +C 3 . xx √y = x3 +C x√y = x3 + C, y = 0. 3 3 x Æèøýý 19. 4xyy = y2 + x2, y(1) = 1 òýãøèòãýëèéí òóõàéí øèéäèéã îë. 4xyy = y2 + x2, ⇒ 4xyy − y2 = x2 ⇒y − y x , =. 4xy 4xy 4xy 4x 4y Áåðíóëëèéí òýãøèòãýëä ïàðàìåòðèéí óòãà m = −1 z = y1−m = y2, z = 2yy Òýãøèòãýëèéã 2y ³ðæ³³ëáýë 2yy − 2y2 = 2xy ⇒ 2yy − y2 = x , . 4x 4y 2x 2 y îðîíä z îðëóóëæ øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëä øèë- æ³³ëýõýä

3.2 Æèøýý áîäëîãî 24 z− z x =. 2x 2 u (x) = e (− 1 )dx = e− 1 dx = e− 1 ln|x| ln √1 = 1 2x 2 x 2 . = e |x| |x| z− z u (x) = z · √1 − z · √1 =z · √1 − z · 1 2x x 2x x x 2x 3 2 =z · √1 −z· x− 3 · √1 +z· x− 1 2 2 x2 =z x = z · √1 + z · √1 = z · √1 x xx u (x) f (x) dx + C √1 · x dx + C 1 √ = x 2 2 xdx + C z= = u (x) √1 √1 x x √ 1 2x 3 x2 √ 2 = x · + C = + C x. 23 3 z = y2, y = ± x2 √ + C x. 3 12 √ 12 y (1) = 1, y = + C 1 = +C =1 C = . 3 33 √ x2 2 x y= + . 33

3.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 25 3.3 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 1). xy + y = −xy2 y + 2 y3 2). y = x x2 3). y + 4 = x3y2 y(2) = −1, x > 0 y x 4). y = 5y + e−2xy−2 y(0) = 2 5). 6y − 2y = xy4 y(0) = −2 6). y + y − √ = 0 y(1) = 0 y x 7). dy + y = x2y2 14). dy − 1 = xy2 x y dx dx x 8). y2x dy = xy3 + 1 15). dy + y = y2 dx dx x 9). t2 dy + y2 = ty 16). dy + 1 = exy4 dt y dx 3 10). x2 dy − y2 = 2xy 17). dy + y = xy3 dx x dx 11). x2 dy − 2xy = y2 18). dy + 2 = −x2 cos x · y2 dx y dx x 12). dy − (1 + x)y = xy2 19). 2 dy + tg x · y = (4x+5)2 y 3 x dx cos x dx 20). x dy + y = y2x2 ln x 13). dy = y(xy3 − 1) dx dx 21). dy = y ctg x + y3 cosec x dx

26 4 Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí áîäëîãóóä 4.1 Æèøýý áîäëîãî Æèøýý 20. Òàõèàã 150◦õ³ðòýë õàëààãààä øàðàõ ø³³ãýýíýýñ ãàðãàâ. Ãàð- ãàñíààñ õîéø 3 ìèíóòûí äàðàà òåìïåðàòóð íü 90◦ áîëæ áóóð- ñàí áîë t õóãàöààíû äàðààõ òàõèàíû òåìïåðàòóð T (t) àëü íü âý? Òàñàëãààíû òåìïåðàòóðûã òîãòìîë áàéñàí ãýæ ³ç. Äóëààí àëäàëò íü áèåèéí òåìïåðàòóð áîëîí òàñàëãààíû òåì- ïåðàòóðûí ç°ð°°òýé øóóä ïðîïîðöèîíàë õàìààðàëòàé òóë dT = k(T − 20◦) áàéíà. dt dT (t) = k(T (t) − 20◦) ⇒ d(T (t) − 20◦) = kdt dt T (t) − 20◦ áîëíî. dT (t) = k(T (t) − 20◦) ⇒ d(T (t) − 20◦) = kdt dt T (t) − 20◦ Òýãøèòãýëèéí õî¼ð òàëûã èíòåãðàë÷èëæ áîäâîë ln |T (t) − 20◦| = kt + C T (t) > 20◦ òóë|T (t) − 20◦| = T (t) − 20◦ áàéíà. Èéìä T (t) = ek·t+C + 20◦ = µek·t + 20◦ T (0) = 150◦ ãýäãýýñ150◦ = µek·0 + 20◦ áóþóµ = 130◦ áîëíî.

4.1 Æèøýý áîäëîãî 27 Ò³³í÷ëýí T (3) = 90◦òóë 90◦ = 130◦ · e3k + 20◦ áóþó ek = 1 73 áàéíà. 13 7 t Èéìä T (t) = 130◦ × 13 3 + 20◦ áîëîâ. Æèøýý 21. Öàöðàã èäýâõèò áîäèñûí õýìæýý àíõ 800 ãð áàéâ. 2 æèëèéí äàðàà õýìæýý íü 200 ãð áîëñîí áîë 4 æèëèéí äàðàà ÿìàð õýìæýýòýé áàéõ âý? Öàöðàã èäýâõèò áîäèñ °°ðèéí õýìæýýòýéãýý ïðîïîðöèîíà- ëààð õîðîãääîã. t õóãàöààí äàõü öàöðàã èäýâõèä áîäèñûí ìàññûãM (t) M (0) = 800, M (2) = 200 áàéíà.Ò³³í÷ëýí dM (t) = kM (t) ⇔ dM (t) = kdt áîëíî. dt M (t) t õóâüñàã÷ààð èíòåãðàë÷èëáàë ln M (t) = kt + C ⇔ M (t) = µekt M (0) = µe0 = µ = 800 òóëM (t) = 800ekt, M (2) = 800 e2k = 200òóëek = 200 1 = áàéíà. 800 2 Èéìä M (t) = 800ekt = 800(ek)t = 800 áîëíî. 2t 800 Ýíäýýñ M (4) = 24 = 50 ãýæ ãàð÷ áàéíà.

4.1 Æèøýý áîäëîãî 28 Æèøýý 22. 1 ãð ìàññòàé ìàòåðèàë öýã øóëóóí çàìààð t = 0 ýãøíýýñ ýõýëæ õóãàöààòàé øóóä áà öýãèéí õ°ä°ëã°°íèé õóðäòàé óð- âóó ïðîïîðöèîíàë õàìààðàëòàé õ³÷íèé ³éë÷ëýëèéí äîð õ°ä- ë°â. Õóãàöààíû t = 10 ñåêóíäýä õóðä íü 0.5ì/ñ, õ³÷ íü 4 · 10−5-í áîëñîí ãýâýë 1 ìèíóòûí äàðàà áèåèéí õóðä ÿìàð áàéõ âý? Áîäîëò: m = 10− a kg òóë F (t) = 10− a kg × dv(t) = ct dt v(t) áîëíî.1N = 1kg × 1m/s2 òóë F (10) = c · 10s = 4 · 10−5kg · m/s2 ⇒c= b · 10− c kg · m2 0.5m/s s4 áîëíî.Ýíäýýñ 10− a kg × vdv = ctdt ⇒ vdv = b · 10− d m2/s4 × tdt áîëíî.Òýíöýòãýëèéí õî¼ð òàëûã èíòåãðàë÷èëáàë vdt = b · 10− d m2/s4 tdt áóþó v2 = c1t2 + C, c1 = b · 10− d m2/s4 áîëíî.t = 0 ³åä v = 0 òóë C = 0 áîëíî. Èéìä v2 = c1t2 áàéíà. t = 60s ³åä v2 = b · 10− d m2/s4 × (60s)2 = ef m2/s2 áóþó õóðä íü g v = √h m/s áàéíà. 5

4.1 Æèøýý áîäëîãî 29 Áîäîëò: a = 3, bc = 26, d = 3, ef g = 365, h = 6 m = 0.001kg òóë F (t) = 0.001kg × dv(t) = ct áîëíî. dt v(t) 1N = 1kg × 1m/s2 òóë F (10) = c · 10s = 4 · 10−5kg · m/s2 ⇒ c = 2 · 10−6kg · m2/s4 0.5m/s áîëíî. Ýíäýýñ 0.001kg × vdv = ctdt ⇒ vdv = 2 · 10−3m2/s4 × tdt áîëíî. Òýíöýòãýëèéí õî¼ð òàëûã èíòåãðàë÷èëáàë vdt = 2 · 10−3m2/s4 tdt áóþó v2 = c1t2 + C, c1 = 2 · 10−3m2/s4 áîëíî. t = 0 ³åä v = 0 òóë C = 0 áîëíî. Èéìä v2 = c1t2 áàéíà. t = 60s ³åä v2 = 2 · 10−3m2/s4 × (60s)2 = 36m2/s2 5 áóþó õóðä íü v = √6 m/s áàéíà. 5

4.2 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 30 4.2 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 1). Õ³í àìûí °ñ°ëòèéã òîîöîõ çàãâàð. Íýã óëñûí õ³í àì æèëèéí ýõýíä (1 ñàðûí 1-íä) 100 ñàÿ áàéñàí áà æèëèéí äóíäàæ °ñ°ëò íü 1.4 õóâü áîë 5 æèëèéí äàðàà õýä õ³ðýõ âý? 2).110◦õàëñàí áèåèéã 10◦ òåìïåðàòóðòàé òàñàëãààíä ³ëäýýõýä íýã öàãèéí äàðàà 60◦õ³ðòýë õ°ð÷ýý. Äàõèàä õýäèé õóãàöààíû äàðàà óã áèå 30◦ õ³ðòýë õ°ðñ°í áàéõ âý? 3). Çóóõíààñ ãàðãàñàí òàëõíû òåìïåðàòóð 20 ìèíóòûí õóãàöààíä 100◦-ààñ 60◦ áîëîí áóóð÷ýý. Îð÷íû òåìïåðàòóð 25◦ áàéâ. Çóóõíààñ ãàðãàñíààñ õîéø ÿìàð õóãàöààíä òàëõíû òåìïåðàòóð 30◦ áîëîí áóóðàõ âý? 4). Çóóõíààñ ãàðãàñàí áÿëóóíû òåìïåðàòóð 3 ìèíóòûí õó- ãàöààíä 300◦F -ýýñ 200◦F áîëîí áóóð÷ýý. Îð÷íû òåìïåðàòóð 70◦F áàéâ. Çóóõíààñ ãàðãàñíààñ õîéø ÿìàð õóãàöààíä áÿ- ëóóíû òåìïåðàòóð 75◦F áîëîí áóóðàõ âý? 5). Ñàâòàé óñûã õ°ðã°ã÷èíä õèéõ ³åä 25◦C òåìïåðàòóðòàé áàéâ. Õ°ðã°ã÷íèé òåìïåðàòóð òîãòìîë 5◦Cáàéâ. 10 ìèíóòûí äàðàà ñàâòàé óñíû òåìïåðàòóð 20◦C áîëñîí áàéâ. Õ°ðã°ã÷èíä õèéñíýýñ õîéø öàãèéí äàðààõ ñàâòàé óñíû òåì- ïåðàòóðûã îë. 6). Óëñûí õ³í àì 50 æèëèéí õóãàöààíä 2 äàõèí °ññ°í áà îäîî 20 ñàÿ õ³íòýé. Õýäèéä õ³í àìûí òîî 30 ñàÿ áîëîõ áà 10 æèëèéí äàðàà õýä áîëîõ âý? Õ³í àìûí °ñ°ëòèéí õóðä òóõàéí àãøèí äàõü õ³í àìûí òîîíä ïðîïîðöèîíàë.

4.2 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 31 7). Õýðýâ ôåðìåíòèéí àíõíû õýìæýý 1ã áàéñíàà íýã öàãèéí äàðàà 1.2ã áîëñîí áîë èñýëäýæ ýõýëñíýýñ õîéø 5 öàãèéí äà- ðàà ò³³íèé õýìæýý ÿìàð áîëîõ âý? Ôåðìåíòèéí °ñ°ëòèéí õóðä ò³³íèé òóõàéí àãøèí äàõü õýìæýýíä ïðîïîðöèîíàë. 8). Æèëèéí 4 õóâèéí õ³³òýé 10000ò°ãð°ã õàäãàëóóëàõàä õý- äýí æèëèéí äàðàà 20000 ò°ãð°ã áîëîõ âý? 9). Òàðãàí õ³í òóðàõ çîðèëãîîð ñàðûí òóðø ýð÷èìòýé äàñãàë õèéõýä 156 êã-ààñ 144 êã áîëæ áàãàñàâ. ä°ð á³ðèéí æèíãèéí àëäàãäàë íü áàéãàà æèíäýý ïðîïîðöèîíàë ãýæ òîî- öîîä òýãøèòãýë çîõèî. 100 êã õ³ðòýë òóðàõàä õý÷íýýí õóãà- öàà øààðäàãäàõ âý? 10). Ìóðóéí òóõàéí öýãò òàòñàí ø³ðãýã÷ øóëóóí, óã öýãèéí îðäèíàò áà Ox òýíõëýãýýð áàéãóóëàãäñàí ãóðâàëæíû òàëáàé òîãòìîë a2 áîë óã ìóðóéã îë. 11). Áèå 10 ìèíóòûí äîòîð 100◦-ààñ 60◦ áîëæ õ°ð°â. Ýíý ³åä îð÷íû òåìïåðàòóð 20◦ áàéñàí ãýâýë ÿìàð õóãàöààíû äàðàà áèåèéí òåìïåðàòóð 25◦ áîëîõ âý? 12). œðîîëäîî í³õòýé öèëèíäð ñàâ áîñîî áàéðëàëòàé áàéâ. Ñàâàíä áàéñàí óñíû òàë íü 5 ìèíóòàíä ãîîæñîí ãýâýë óã ñàâíû óñ ÿìàð õóãàöààíä ãîîæèæ äóóñàõ âý? 13). 1ãð ìàññòàé ìàòåðèàëëàã öýã øóëóóí çàìààð t = 0 ýãø- íýýñ ýõýëæ õóãàöààòàé øóóä áà öýãèéí õ°ä°ëã°°íèé õóðäòàé óðâóó ïðîïîðöèîíàë õàìààðàëòàé õ³÷íèé ³éë÷ëýëèéí äîð õ°äë°â. Õóãàöààíû t = 10 ñåêóíäýä õóðä íü 0.5ì/ñ, õ³÷ íü

4.2 Áèå äààæ áîäîõ áîäëîãî 32 4 · 10−5-í áîëñîí ãýâýë 1 ìèíóòûí äàðàà áèåèéí õóðä ÿìàð áàéõ âý? 14). 0.4 êã æèíòýé õ°ë á°ìá°ãèéã äýýø íü 20ì/ñ õóðäòàé øè- äýâ. Àãààðûí ýñýðã³³öýë õóðäíû êâàäðàòòàé ïðîïîðöèîíàë áà 1ì/ñ õóðäòàé ³åä ýñýðã³³öýë 0.48ãð áîëíî. Á°ìá°ãíèé °íä°ðò ãàðàõ õóãàöàà áà õàìãèéí èõ °íäðèéã îë. 15). 2R = 1.8ì äèàìåòðòýé, H =2.45ì °íä°ð á³õèé öèëèíäð ñàâàíä áàéãàà óñ ¼ðîîëä íü áóé 2r=6ñì äèàìåòðòýé í³õýýð ÿìàð õóãàöààíä óðñàí ãàðàõ âý?(³³íä öèëèíäðèéí òýíõëýã õàâòãàéä ïåðïåíäèêóëÿð)