Математик XI анги Бодолт. 2θ = x гэвэл cos x = 1 болно. θ = x болох учраас интервал −π ≤ x ≤ π буюу −2π ≤ x ≤ 2π � 2 2 2 болж cos x = 1 тэгшитгэлийг бодоход хүрнэ. Үүний тулд=y 12=, y cos x функцийн графикийг 2 байгуулна. y 1 0.5 −π 0 π 2π x − 0.5 −1 Графикаас харахад −2π ≤ x ≤ 2π завсарт cos x = 1 байх x -ийн утгууд ±π , ± 5π болно. Иймд 2 3 3 тэгшитгэлийн шийд x = 2θ тул 2θ = ± π , 2θ = ± 5π тул θ = ± π , θ = ± 5π байна. 33 66 Жишээ 2. tg θ − 90° = 1 тэгшитгэлийн шийдийг 0≤θ ≤ 540° завсарт ол. 3 Бодолт. θ − 90° = x гэвэл tg θ − 90° = tg x болно. θ -ийг 0 ≤ θ ≤ 540° завсарт олох учраас 3 3 θ − 90° = x орлуулгаас θ -ийг олж орлуулья. 0 ≤ 3x + 270° ≤ 540°, 0 − 270° ≤ 3x ≤ 540° − 270° , 3 −270° ≤ 3x ≤ 270° , −90° ≤ x ≤ 90° Тэгвэл tg x = 1 тэгшитгэлийн шийдийг −90° ≤ x ≤ 90° завсарт ол гэсэн бодлогод шилжих бөгөөд x = 45° болно. θ − 90° = 45° θ = 135° θ = 405° байна. 3 3 ВЕКТОР Өгсөн векторын координатын тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцөг Өгсөн векторын Ox,�Oy,�Oz тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгийг олохын тулд уг векторын тѳгсгѳлийн цэгээс тэнхлэгүүд рүү перпендикуляр буулгаж тэгш ѳнцѳгт гурвалжны тригонометрийн харьцааг ашиглана. z Жишээлбэл зурагт өгөгдсөн OD векторын координатын тэнхлэгүүдтэй C үүсгэх өнцгийг олъё. D Үүний тулд D цэгээс координатын Ox,�Oy,�Oz тэнхлэүүд рүү буулгасан γ B перпендикуляруудын сууриудыг харгалзан A,� B,�C гэвэл ∆DOA,=�∆DOB,= αβ y ∆DOC =гэсэн тэгш өнцөгт гурвалжнууд үүснэ. Эдгээр гурвалжнуудад тригонометрийн харьцаа бичиж өнцгүүдийн косинусыг олбол O A x cos α = OA = 5 = 2 , cos β = OB = 4 = 22 , cos γ = OC = 3 = 32 болно. OD 52 2 OD 52 5 OD 52 10 Санамж Өнцгийн хэмжээ, утгыг олоход тооны машин, утгын хүснэгт ашиглаж болно. Хоёр векторын хоорондох өнцгийг скаляр үржвэр ашиглан олох, векторын ортогонал чанартай холбоотой бодлогыг скаляр үржвэр ашиглан бодох вВcеoекsкттγоор=рыуaнуaдс⋅⋅bкbaа=лбяxор1iлү�+нроyж1. jвЭ+энрzди1kйaнб⋅bаa � + y2 j + z2 k гэж өгсөн байг. Тэгвэл уг хоёр ⋅bb==xa2i ⋅ b cos γ томьёоноос косинусыг олбол = x1x2 + y1 y2 + z1z2 , a = x12 + y12 + z12 , b = x22 + y22 + z22 γ a b + y12 + z12 , b = x22 + y22 + z22 байхыг тооцвол cos γ = x1x2 + y1 y2 + z1z2 гэж гарна. x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 49
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Энэ томьёоноос γ −ө3н, ц4г)и,йbг тооны машин болон утгын хүснэгт ашиглаж олно. Жишээ 1. a = (0, = (−1, 2, 2) бол хоорондох өнцгийн косинусыг ол. Бодолт. Дээрх томьёоноос cos γ = 0⋅(−1) + (−3)⋅ 2 + 4⋅ 2 2 = болно. 0 + (−3)2 + 42 (−1)2 + 22 + 22 15 Жишээ 2. A (2, −1, 4) , B (−1, 6, 2) , C (3, − 2, 5) цэгүүд өгөгдөв. AB,� AC векторуудын хоорондох өнцгийг ол. Бодолт. Өгсөн нөхцлөөс AB = (−1− 2, 6 − (−1) , 2 − 4) = (−3, 7, − 2) , AC = (3 − 2, − 2 − (−1) , 5 − 4) = (1, −1, 1) болох ба уртуудыг нь олбол AB = (−3)2 + 72 + (−2)2 = 62 AC = 12 + (−1)2 +12 = 3 болно. Эндээс дээрх томьёогоор cosγ = AB ⋅ AC = −3⋅1+ 7 ⋅(−1) + (−2)⋅1 = −12 ≈ 0.88 AB ⋅ AC 62 ⋅ 3 186 болох ба эндээс утгын хүснэгт ашиглан гамма өнцгийг олбол γ = 28.36° болно. Хоёр вектор ортогонал байна гэдэг нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийн хэмжээ 90° =байхыг хэлдэг. Иймд cos 90° = 0 гэдгээс хоёр вектор ортогонал байх нөхцөл нь x1x2 + y1 y2 + z1z2 = 0 буюу уг хоёр векторын скаляр үржвэр тэг гэж гарна. Жишээ 3. a = (1, 2, −3) , b = (1,1,1) векторууд ортогонал эсэхийг шалга. Бодолт. a ⋅b = 1⋅1+ 2⋅1+ (−3)⋅1 = 1+ 2 − 3 = 0 буюу энэ 2 вектор ортогонал байна. Уламжлал II эрэмбийн уламжлал, тэмдэглэгээ Функцийн уламжлал нь функцийн төлөвийг харуулсан функц байдаг. Харин уламжлалаас дахин уламжлал авахад функцийн төлөвийг улам нарийвчлан заасан бас нэг функц үүснэ. Түүнийг анхны функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал гэж нэрлэдэг. y = f (x) функцийн II эрэмбийн уламжлалыг f ′′(x) , dd=x2 y2 , ddx2 y2 dd=x ddx f (x) d f ′( x) = d2 f (x) гэх мэтээр тэмдэглэдэг. dx dx2 Олон гишүүнт хэлбэрийн 2-4 гишүүнтэй функцийн уламжлал, II эрэмбийн уламжлал олох дасгал ажиллуулж дадлагажуулна. Дасгал. а. f ( x) = x5 − x4 бол d2 f = 0 тэгшитгэлийг бод. б. y = 4x5 − 3x4 функц өгөгдсөн бол y′′-ийг ол. dx2 в. f ( x) = 4x5 − 5x4 бол d2 f ( x) = 0 ба d f (x) > 0 нөхцөлүүдийг зэрэг хангах цэгүүдийг ол. dx2 dx II эрэмбийн уламжлал ашиглах а. Максимум, минимум цэгийг тодорхойлох б. Функцийн хотгор, гүдгэр завсар олох в. Нугаралтын цэг олох График нь хэлбэрийн муруй гарах функцийг хотгор функц гэж нэрлэе. Тодорхойлолтыг функц сэдвээс харна уу. Функцийн график хотгор байх завсарт аргументийн өсөхөд налалт нь ихэснэ. Иймээс I эрэмбийн уламжлал өсөх функц байна гэсэн үг. Гэтэл II эрэмбийн уламжлал бол I эрэмбийн уламжлалын уламжлал, өөрөөр хэлбэл өсөх функцийн уламжлал болохоор эерэг байна. Харин график нь хэлбэрийн муруй гарах функцийг гүдгэр функц гэж нэрлэе. Функцийн график гүдгэр байх завсарт аргументийн өсөхөд налалт нь багасна. Иймээс I эрэмбийн уламжлал нь буурах функц байна. Буурах функцийн уламжлал сөрөг болохоор I эрэмбийн уламжлалын уламжлал II эрэмбийн уламжлал сөрөг байна. Функцийн график гүдгэр байснаа хотгор , хотгор байснаа гүдгэр болж өөрчлөгдөх тохиолдлууд байдаг. 50
Математик XI анги Функцийн гүдгэр, хотгор солигдох цэгийг нугаралтын цэг гэнэ. Нугаралтын цэг дээр функцийн II эрэмбийн уламжлал 0-тэй тэнцүү байна. f ( x) функцийн тодорхойлогдох мужийн ямар нэг x0 цэгийн баруун, зүүн талд функцийн II эрэмбийн уламжлал тэмдгээ сольж байвал ( x0 , f ( x0 )) цэг нь f ( x) функцийн нугаралтын цэг болно. I эрэмбийн уламжлал 0-тэй тэнцүү байх цэг дээр II эрэмбийн уламжлал 0-ээс их байвал функц минимум утгаа авна. Яагаад? I эрэмбийн уламжлал 0-тэй тэнцүү байх цэг дээр II эрэмбийн уламжлал 0-ээс бага байвал функц максимум утгаа авна. f ′′ ( x0 ) < 0 f ′′ ( x0 ) = 0 f ′′ ( x0 ) > 0 f ′ ( x0 ) < 0 Гүдгэр, буурна Нугаралтын цэг, буурна Хотгор, буурна f ′ ( x0 ) = 0 Гүдгэр, максимум Нугаралтын цэг, тогтворжино Хотгор, минимум f ′ ( x0 ) > 0 Гүдгэр, өснө Нугаралтын цэг, өснө Хотгор, өснө y = f ( x) функцийн max, min цэгийг дараах алгоритмын дагуу олно: 1. Уламжлал f ′ ( x) -ийг олно. 2. f ′ ( x) –ийг 0 –тэй тэнцүү байлгах x –ийг олно. Шийдтэй бол 3. f ′′ ( x) –ийг олно. 4. 2 дахь алхамд олдсон утгуудыг f ′′ ( x) –д орлуулж, эерэг гарвал max, сөрөг тоо гарвал min утга олдоно гэдгийг тогтооно. 5. Мөн 2 дахь алхамд олдсон утгуудыг f ( x) –д орлуулж, максимум, минимумын цэгүүдийг олно. Жишээ: f ( x) = 1 x3 − 1 x2 − 6x функцийн максимум, минимумын цэгүүдийг ол. 32 Бодолт: 1. Уламжлалыг олъё. f ′ ( x) = x2 − x − 6 2. Уламжлалыг 0 болгох аргументийг олъё. f ' ( x) = x2 − x − 6 =0 тэгшитгэлийг бодвол x1 = −2, x2 = 3 болно. 3. Хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг олъё. f ′′ ( x) = 2x −1 4. Энэ тэгшитгэлд x1=-2, x2=3 тоонуудаа орлуулъя. x1 = −2 үед f '' (−2) = 2(−2) −1 = −5 сөрөг тоо учир f ( x) = 1 x3 − 1 x2 + 6x функц ийм 32 координаттай цэг дээр максимум утга авна. Тэр цэг нь f (−2) = 1 (−2)3 − 1 (−2)2 − 6 (−2) = 32 −8 − 4 +12 = 7 1 Эндээс максимумын цэг −2, 7 1 болно. 32 3 3 x2 = 3 үед f '' (3) = 2⋅3 −1 = 5 эерэг тоо учир f ( x) = 1 x3 − 1 x2 + 6x функц ийм координаттай цэг 32 дээр минимум утга авна. Тэр цэг нь f (3) = 1 (3)3 − 1 (3)2 − 6 (3) = 9 − 4.5 −18 = −13.5 Эндээс 32 минимумын цэг (3, −13.5) болно. Жишээ: f ( x) = 1 x4 − 5 x3 + 2x2 − 2x − 1 функцийн нугаралтын цэгүүд ба хотгор, гүдгэр байх 12 6 4 завсрыг ол. Бодолт. Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг олно: f ′ ( x) = 1 x3 − 5 x2 + 4x − 2 ⇒ 32 f ′′ ( x) = x2 − 5x + 4 Нугаралтын цэгийн абсцисс нь x2 − 5x + 4 = 0 тэгшитгэлийн язгуур, хотгор байх завсар нь x2 − 5x + 4 > 0 , гүдгэр байх завсар нь x2 − 5x + 4 < 0 тэнцэтгэл бишийн шийд болно. Тус бүрийг бодоход: Нугаралтын цэгүүд нь (1, −1) ба (4, − 8.25) Хотгор байх завсар ]−∞, 1[ ]4, +∞[ 51
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном Гүдгэр байх завсар ]1, 4[ гэж олдоно. Дасгал. Дараах (хэлбэрийн) функцуудын гүдгэр, хотгор байх завсар, max, min, нугаралтын цэгүүдийг ол. а. y = 3x5 − 5x3 б .y = x4/3 в. y = x2 − 4 г. y = 2x4 − 4x2 x2 Функцийн графикийг тоймлон зурахад II эрэмбийн уламжлал ашиглах Функцийг уламжлалаар шинжилж, графикийг байгуулахдаа дараах алхмуудыг баримтална. дд Алхмууд Гүйцэтгэл 1 Функцийн тодорхойлогдох Функцийн тодорхойлогдох ба утгын мужийг олох, тэгш, сондгойг тогтоох, мужийг олох үеийг олох (Тайлбар: Энэ ангид үет функц үзэхгүй учир үеийг орхиж болно.) 2 Сэжигтэй цэгүүдийг олно. Уламжлал нь оршин байхгүй болон f ′ ( x) = 0 тэгшитгэлийн язгуурууд сэжигтэй цэгийн абсцисс, түүнийгээ f ( x) -ийн томьёонд орлуулахад гарах тоо нь ординат нь болно. 3 Функцийн өсөх, буурах, f ′ ( x) > 0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь функцийн өсөх завсар, завсруудыг тогтооно. f ′ ( x) < 0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь функцийн буурах завсар болно. 4 Функцийн нугаралтын Нугаралтын цэг болгож f ′′ ( x) = 0 тэгшитгэлийн язгууртай тэнцүү цэгүүд, гүдгэр ба хотгор абсцисстай цэгийг ялгаж тэмдэглэнэ. байх завсруудыг тогтооно. f ′′ ( x) > 0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь функцийн хотгор байх завсар, f ′′ ( x) < 0 тэнцэтгэл бишийн шийд нь функцийн гүдгэр байх завсар болно. 5 Сэжигтэй цэгүүд функцийн f ′ ( x) = 0 тэгшитгэлийн язгууруудыг f ′′ ( x) -д орлуулж бодоход сөрөг тоо максимум, минимум цэгийн гарвал максимумын, эерэг тоо гарвал минимумын цэг болно. аль нь болохыг тогтооно. 6 Хүснэгтэд тэмдэглэх Дээрх дүгнэлтүүдийг цэгцтэй болгохын тулд хүснэгтэлнэ. Ойлгомжтой байвал энэ алхмыг заавал гүйцэтгэх албагүй. 7 Графикийг тоймлон зурна. Сэжигтэй цэгүүдийг тэмдэглэхээс эхэлнэ. Дараа нь өсөх, буурах завсар, гүдгэр, хотгор байх завсруудаа тооцож графикийн тойм зургийг гаргана. Жишээ. y = 3x5 − 5x3 функцийг уламжлалаар шинжилж, максимум, минимум, нугаралтын цэг, өсөх, буурах завсрыг ол. Графикийг тоймлон зур. Бодолт. 1. Тодорхойлогдох муж: ] − ∞, + ∞[ тоон шулуун болно. Харин 3⋅(−x)5 − 5⋅(−x)3 = − (3⋅ x5 − 5⋅ x3 ) учир сондгой функц байна. Иймээс графикийг тодорхойлогдох мужийн ]0, + ∞[ завсарт эхлээд байгуулъя. 2. Сэжигтэй цэгүүдийг олохын тулд уламжлалыг олъё: y′ = 15x4 −15x2 = 15 ( x4 − x2 ) = 15x2 ( x2 −1) Санамж Энд 15 ( x4 − x2 ) нь II эрэмбийн уламжлал авахад тохиромжтой хэлбэр, 15x2 ( x2 −1) нь y′ = 0 тэгшитгэл бодоход тохиромжтой хэлбэр юм. y′ = 0 тэгшитгэлийн сөрөг биш шийдийг олъё. 15x2 ( x2 −1) = 0 тэгшитгэлийн шийд =x1 0=, x2 1 болно. 3. Өсөх, буурах завсар. y′ > 0 тэнцэтгэл бишийг ]0, + ∞[ завсарт бодъё. 15x2 ( x2 −1) > 0 тэнцэтгэл бишийн сөрөг биш шийд ]1, + ∞[. Энэ завсрын [0, + ∞[ хүртэлх гүйцээлт [0, 1[ нь y′ < 0 тэнцэтгэл бишийн шийд болно. Иймээс функц ]1, + ∞[. [0, 1[ завсарт буурч, ]1, + ∞[ завсарт өснө. 4. Хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг олъё: y′′ = 15 (4x3 − 2x) = 30x (2x2 − 1) x = 0 үед y′′ = 30x (2x2 − 1) = − 0 (0 −1) = 0 = 0 ⇒ y = 3x5 − 5x3 = − 0 + 0 = 0 x = 1 үед y′′ = 30x (2x2 − 1) = 30 (2 −1) = 30 > 0 ⇒ y = 3x5 − 5x3 = 3 − 5 = − 2 y′′ = 0 буюу 30x (2x2 − 1) = 0 тэгшитгэлийн сөрөг биш шийд=x1 0=, x2 1 = 0.71 тул ийм 2 абсцисстэй (0, 0) , (0.71,1.24) цэгүүд функцийн нугаралтын цэг болно. y′′ > 0 тэнцэтгэл бишийг бодъё. 30x (2x2 − 1) >0 тэнцэтгэл биш x x − 1 x + 1 > 0 2 2 52
Математик XI анги болох ба x>0 тул x+ 1 >0 болно. Иймээс тэнцэтгэл бишийн сөрөг биш шийд x − 1 > 0 2 2 тэнцэтгэл бишийн шийд буюу x> 1 болох тул 1 , +∞ , завсарт функц хотгор байна. 2 2 y’’ < 0 тэнцэтгэл бишийн шийд бол дээрх завсрын ]0, + ∞[ хүртэлх гүйцээлт байна. Иймээс функц ]0, 1 [ завсарт гүдгэр байна. 2 5. x = 1 үед y = 3x5 − 5x3 = 3 − 5 = −2 болох ба (1, −2) цэг нь минимумын цэг болно. 6. Дээрх үр дүнгүүдийг нэгтгэж, хүснэгтээр үзүүлье. Байгуулахад 1 хялбарыг бодож ⊕0.71 гэж авна. Харин хүснэгтийн шугамыг 2 татахгүй бол ойлгомжтой төдийгүй, ажиллагаа багатай байдаг. x 0 0.71 1 f ′ ( x) 0 – – – 0 + f ′′ ( x) 0 – 0 + + + f ( x) 0 буурна 1.24 буурна –2 өснө минимум нугаралт гүдгэр нугаралт хотгор хотгор хотгор Энэ үр дүнгээр графикийн нэг салааг зурж, түүнийгээ координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэйгээр хувиргавал байгуулбал зохих график гарна. Графикийг зурагт харуулав. Дасгал 1. Дараах функцуудын графикийг байгуул. а. y = x4 − 2x2 б. y = 5x3 − 3x5 в. y = − 1 x4 + 2x2 г. y = x6 − 3x4 + 3x2 4 д. y = x3 − x , y = x3 − 3x ж. y = 1 x5 − 5 x4 + 5 x3 дутуу л байна. 443 Уламжлалыг хэрэглэх (их, бага утгыг олох бодлого) Уламжлал өргөн хэрэглээтэй. Математик, физик, бусад салбарын хэрэглээний хялбар бодлого бодуулна. Жишээ 1. Урт нь өргөнөөсөө 4-өөр их, нэг оройгоос гарсан гурван ирмэгийн нийлбэр 11 байх тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүний хамгийн их утгыг ол. Бодолт. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн өргөнийг x гэж тэмдэглэе. Тэгвэл урт нь x + 4 , өндөр нь 11− x − 4 − x = 7 − 2x байх ба Эзлэхүүн V ( x) = x ( x + 4) (7 − 2x) = − 2x3 − x2 + 28x болно. V ( x) функцийг уламжлалаар шинжилье. V '(x) = − 6x2 − 2x + 28 = 0 тэгшитгэл бодвол 1 x>0 гэдгийг x1 = −2 3 , x2 = 2 гэсэн хоёр шийдтэй ба тооцвол функцийн сэжигтэй цэг x = 2 үед V (2) = 36 байна. Функцийн хоёрдугаар эрэмбийн уламжлал V ′′ ( x) = −12x − 2 -д x = 2 -ыг орлуулбал V ′′ (2) = −12⋅ 2 − 2 < 0 учир (2, 36) цэг дээр функц гүдгэр байна. Иймээс максимумын цэг нь болно. Ийнхүү тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзлэхүүний хамгийн их утга 36 болов. Энэ үед өргөн x = 2, урт x + 4 = 6 , өндөр 7 − 2x = 3 байх юм. Дасгал. Сурах бичгийн бодлогуудыг бодох Функцийн хоёр дугаар эрэмбийн уламжлал, түүний хэрэглээ сэдвийн үнэлгээний даалгавар 1. f ( x) = − x3 + 3x2 функцийг уламжлалаар шинжилж график байгуул. 53
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном 2. ABC гурвалжны суурь AC = 9 , өндөр BH = 7 байв. BC тал дээр M цэг авч, AB-тэй параллель MN (N ∈ AC) хэрчим татав. ∆AMN –ны талбайн хамгийн их утгыг ол. Хариу: 63/8 (M нь BC –ийн дундаж) ИНТЕГРАЛ Хуваалт ашиглан муруй шугаман трапецын талбайг ойролцоогоор тооцоолох Өмнө тодорхой интегралын хэрэглээ суралцахуйн зорилтын хүрээнд дүрсийн талбай олохыг судалсан. Жишээ 1. y = e−x2 функцийн график, Ox тэнхлэг, x = −1, x = 1шулуунаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ол. y Бодолт. y = e−x2 функцийн график, y = 0 , x = −1, x = 1 1 шулуунаар хязгаарлагдсан дүрсийг зурагт үзүүлэв. y = e−x2 тэгш функц тул график нь Oy тэнхлэгийн хувьд тэгш 1 ∫хэмтэй. Иймд энэ дүрсийн талбайг S = 2 e−x2 dx гэж олно. e−x2 0 –1 O 1131 x функцийн эх функц нь элементар биш учраас энэ интегралыг 424 шууд бодох боломжгүй. Тэгвэл энэ дүрсийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж олъё. [0,1] хэрчмийг 4 тэнцүү завсарт хуваавал өгсөн дүрс 4 жижиг дүрсэд хуваагдана. Завсар бүрийн дундаж цэгүүд нь 1,3,5,7 байх ба эдгээрт 8888 харгалзах функцийн утгууд нь f 1 = e− 1 ≈ 0.99, f 3 = e− 9 ≈ 0.87, f 5 = e− 25 ≈ 0.68, f 7 = e− 49 ≈ 0.47 гэж гарна. 8 64 8 64 8 64 8 64 Завсар бүрд харгалзах дүрсийн талбайг урт нь 0.25, өргөн нь 0.99, 0.87, 0.68, 0.47 байх тэгш өнцөгтүүдийн талбайгаар сольё. Тэгвэл дүрсийн талбай нь ойролцоогоор S ≈ 2(S1 + S2 + S3 + S4 ) = 2 (0.25 ⋅ 0.99 + 0.25 ⋅ 0.87 + 0.25 ⋅ 0.68 + 0.25⋅ , 0.47) ≈ 1.5 (нэгж кв) Энэ бодлогыг бодоход тооцоолол ихтэй тул тооны машин, компьютер зэргийг ашиглах хэрэгтэй. Энэ аргаар бодох хялбар жишээ авч үзье. Жишээ 2. � y = x функцийн график, Ox тэнхлэг, =x 1,=x 4 шулуунаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ойролцоогоор тооцоол. y = x� функцийн график,=y 0=, x 1, x = 4 шулуунаар хязгаарлагдсан y дүрсийг зурагт үзүүлэв. Ийм дүрсийг муруй шугаман трапец гэдэг. Дүрсийн талбайг 2 1 ойролцоогоор тооцоолохын тулд [1, 4] хэрчмийг 3 тэнцүү завсарт хуваавал өгсөн муруй шугаман трапец 3 жижиг муруй шугам–1ан –2 –1 O 1234 x трапецад хуваагдана. Завсар бүрийн дундаж цэгүүд нь 1.5, 2.5, 3.5 байх ба эдгээрт харгалзах функцийн утгууд нь –1 f (1.5) = 1.5 ≈ 1.22, f (2.5) = 2.5 ≈ 1.58, f (3.5) = 3.5 ≈ 1.87 гэж гарна. Завсар бүрд харгалзах муруй шугаман трапецуудын талбайг урт нь 1, өргөн нь 1.22, 1.58, 1.87 байх 54
Математик XI анги тэгш өнцөгтүүдийн талбайгаар сольё. Тэгвэл муруй шугаман трапецын талбай нь ойролцоогоор S ≈ S1 + S2 + S3 = 1⋅1.22 +1⋅1.58 +1⋅1.87 ≈ 4.67 (нэгж кв) байна. Мөн дүрсийн талбайг тодорхой интеграл ашиглан олдог. ∫4 x dx = 2 3 = 2 3 3 = 2⋅7 = 4 2 ≈ 4.67 S= x2 (42 −12 ) 33 33 1 Хэдийд дүрсийн талбайг ойролцоогоор бодох талаар сурагчидтай ярилцаарай. Дасгал 1. y = x муруй, Оx тэнхлэг=x 4=, x 9 шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж ол. yy 12 2 1 –1 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x –1 –2 –1 O 2 4x 5 6 7 8 9 –1 –1 2. y = x2 + x муруй, Оx тэнхлэг x = 3 шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг ойролцоогоор бодож ол. 3. Өгөгдсөн дүрсийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж ол. yy 60 4 50 y = 4 − x2 2 40 30 y = x3 20 10 2 4x –1 O 2 4 x –4 –2 O –2 Тодорхой интеграл ашиглан муруйг аль нэг тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүссэн эргэлтийн биетийн эзлэхүүнийг олох Ямар нэгэн дүрсийг өгсөн шулууныг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийг эргэлтийн биет гэнэ. Цилиндр, конус, бөмбөрцөг зэрэг нь эргэлтийн биет болохыг ярилцаарай. Зураг 1 y = f ( x) муруй болон=x a=, x b, y = 0 шулуунуудаар y y хүрээлэгдсэн дүрсийг Ox тэнхлэгийг тойрон эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг олъё. y = f (x) O x Зурагт үзүүлсэн дүрс нь y = f ( x) муруй, =x a=, x b, y = 0 шулуунуудаар хязгаарлагдсан байг. / x зураг 2/ Зураг 2 Зураг 3 Энэ дүрсийг Ox тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх эргэлтийн биетийг зураг 3-д харуулав. Энэ биетийн эзлэхүүнийг олохын тулд Ox тэнхлэгт перпендукляр хавтгайнууд татаж, хэд хэдэн эргэлтийн биетэд хуваая. Хуваагдсан биетүүдийн эзэлхүүний нийлбэр нь уг биетийн эзлэхүүнтэй ойролцоогоор тэнцүү байна. /Зураг 4/ Хуваалтын тоог ихэсгэх тусам үүсэж байгаа биет нь y y P бараг цилиндр байна. Эдгээр биетээс нэгийг нь P ( x, y) сонгон авч зураг 5-д үзүүлснээр түүний гадаргуу O xO y y x δx дээр P ( x, y ) цэг тэмдэглэе. Хуваагдсан биетийн δx өндрийг ∆ x = гэж тэмдэглэвэл эзлэхүүн ∆V =нь ойролцоогоор суурийн талбайг өндрөөр Зураг 4 Зураг 5 үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Суурь дугуй дүрсийн талбай нь S = π y2 болох ба ѳндөр нь ∆x =тул ∆V ≈ π y2 ⋅ ∆x болох ба 55
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном эндээс ∆V ≈ π y2 болно. Иймд ∆x =нь тэг рүү ойртох тусам ∆V =нь V -ийн уламжлал руу ойртож ∆x ∆x dV =π y2 болно. Эндээс тодорхой интегралын дүрэм ёсоор b болно. Иймд dx V = ∫π y2dx bb a V = ∫π y2dx = π ∫ ( f ( x))2 dx гэж гарна. aa Үүнтэй адилаар өгсөн дүрсийг Oy тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг олох томьёог гаргуулаарай. Жишээ 1. y = x2 парабол ба x = 2 шулуунаар хязгаарлагдсан дүрсийг Ox тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол. ∫ ∫ ( )2 2 1 2 ⋅ Бодолт. V = π y2dx = π x2 2 dx = π 5 x5 ≈ 20.1 болно. 00 0 Жишээ 2. y ≥ x2 +1, x ≥ 0, y ≤ 2 дүрсийг Oy тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол. 2 Зураг 6-д үзүүлснээр Oy тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүссэн биет тул V = π ∫x2dy томьёогоор 1 2 2 2 y2 ( 1 −1 π =π =π 1 ( −1) π 2 π 2) 2 2 x 2 dy 1 ∫ ∫олно. Иймд V y dy = − y = 2 − − = болж эргэлтийн 1 биетийн эзлэхүүн нь π =(нэгж куб) болно. yy 2 Жишээ 3. y2 = x функцийн график, y = x шулуунаар 2 2 хязгаарлагдсан дүрсийг Ox тэнхлэгийг тойруулан y = x2 +1 1 эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол. 1 Бодолт. y2 = x функцийн график, y = x шулууны O xO x Зураг 6 огтлолцлын цэгийг y2 = x тэгшитгэлийн системийг бодож олно. Иймд (0, 0) , y y = x (1,1) (1,1) координаттай хоёр цэгээр огтлолцоно. /Зураг 7/ y2 = x Энэ дүрсийг Ox тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүссэн биетийг зураг 8-д харуулав. O y=x x Өмнө бодсон аргаар Ox тэнхлэгт перпендукляр хавтгайнууд татаж хуваахад гарах биет нь цагираг хэлбэрийн биет байх бөгөөд эзлэхүүнийг нь ойролцоогоор бодъё. Зураг 7 Энэ хуваагдсан биетийн суурь нь 2 дугуйн талбайн ялгавраар тодорхойлогдоно. Өөрөөр хэлбэл S = π y12 −π y22 болно. Иймд эзлэхүүн нь ойролцоогоор ( )dV ≈ π y12 − y22 ∆x болох ба эндээс ( )dV = π y12 − y22 dx болно. Энэ биетийн хувьд x аргумент нь 0-ээс 1-ийн хооронд хувьсах учир 1 y ∫эзлэхүүн нь V = ( )π y12 − y22 dx гэсэн интегралтай тэнцүү 0 y2 y1 байна. Өгсөн нөхцөлө=өс y1 =x, y2 x тул O x δx ∫ ( ) ∫ ( )1 1 V= π 0 y12 − y22 1 x − x2 dx = π x2 − x3 = π болно. Зураг 8 2 3 6 dx = π 0 0 Дасгал 1. Өгөгдсөн дүрсүүдийг Ox тэнхлэгийг тойруулан эргүүлэхэд үүсэх биетийн эзлэхүүнийг ол. yyy 44 y = x(4− x) 2 y=1 y = x2 x 2 2 O 24x O 12 x −2 O 2 56
Математик XI анги Хялбар өргөтгөсөн интеграл бодох b Өмнө ∫ f ( x) dx тодорхой интегралыг бодохдоо f ( x) функцийг төгсгөлөг [a, b] завсар дээр a тодорхойлогдсон, төгсгөлгүй тасралтгүй гэж авсан. Энэ суралцахуйн зорилтод тодорхой интегралын ойлголтыг төгсгөлгүй завсарт авах болон f ( x) функц нь [a, b] завсарт төгсгөлгүй тасралттай тохиолдлуудад өргөтгөн авч үзнэ. Энэ хоёр тохиолдлыг өргөтгөсөн интеграл гэж нэрлэнэ. ∫Жишээ 1. +∞ 1 dx интегралыг бод. 1 x2 Энэ интегралыг бодохын тулд тодорхой интегралын геометр утгын тухай сурагчидтай ярилцах хэрэгтэй. b Зураг 1 Тухайлбал ∫ f ( x)dx тодорхой интегралын геометр утга нь a y = f ( x) муруй,=x a=, x b ба y = 0 шугамуудаар хүрээлэгдсэн муруй шугамын трапецийн талбай юм. Тэгвэл дээрх интегралын геометр утгыг зураг 1-д дүрсэлж харуулъя. f (x) = 1 функцийн графикаас доош, x тэнхлэгээс дээш , x = 1 шулууны баруун гар талд байх x2 төгсгөлгүй S мужийг авч үзье. Хэдийгээр энэ дүрсийн талбай төгсгөлгүй мэт боловч бид төгсгөлөг талбай болгох зорилгоор x = b гэж авч үзье. Тэгвэл f (x) = 1 функцийн график,=x 1,=x b ба y = 0 x2 шугамуудаар хүрээлэгдсэн муруй шугаман трапецийн талбайг олох бодлого болно/Зураг 2/. Иймд энэ талбайг S (b) гэж тэмдэглээд S (b) = b 1 b 1 b 1 1 ∫ ∫ |олбол 1 x2 1 x 1 b b dx = x −2 dx = − = − −1 = 1 − байна. Энд b тоог Зураг 2 хичнээн ихээр авсан ч S (b) < 1байна гэдгийг анхаараарай. Өөрөөр хэлбэл будсан мужийн талбай b → ∞ үед 1 рүү дөхнө. Иймээс төгсгөлгүй S мужийн талбай ∫ ∫ |+∞1dx = b x−2 dx = − 1 b =1− 1 =1 болно. Зураг 5 /Энд b → ∞ байх үед 1 →0 дөхөж байна гэнэ./ x2 1 x 1b b 1 Тухайн тохиолдолд b=5, b=3 үед дүрсийн талбайг зураг 3, 4-т үзүүлэв. Зураг 3 Зураг 4 Зураг 5 Иймд энэ өргөтгөсөн интегралын утга нь геометр утгаараа зураг 5-д үзүүлсэн төгсгөлгүй мужийн талбайг илэрхийлнэ. Өөрөөр хэлбэл энэ төгсгөлгүй мужийн талбай тоон утгаараа нэгтэй тэнцүү болно. Үүнтэй адилаар хялбар бодлогууд өгч сурагчдаар бие даалган хийлгэх замаар өргөтгөсөн интеграл сэдвийн агуулгыг эзэмшүүлэх нь зүйтэй. Дасгал 1. Өргөтгөсөн интегралыг бод. ∫ ∫ ∫∞ 6 ∫ ∫ ∫∞ а. 2 x4 dx е. б. +∞ dx в. +∞ dx ∫ ∫г. +∞ dx +∞ 6 dx ∞ ∞ 1 dx 0 1+ x2 1 x4 1 x3 д. e−xdx 2x x ё. x dx−1.01 ж. 2x 0 1 57
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном n төрлийн элементээс k ширхэгийг сонгож нэг эгнээнд байрлуулах ялгаатай аргын тоог тооцоолох а. Сонгосон элементүүд ижил байж болох Жишээ 1: Морзын цагаан толгой цэг ба зураас гэсэн хоёр үсэгтэй. Хэрэв зураасыг 1, цэгийг 0-ээр төлөөлүүлбэл бүх үгийг 1 ба 0-ээр тэмдэглэж болно. Тэгвэл Морзын цагаан толгойн 5 урттай үгийн тоо хэд байх вэ? Бодолт: Үсэг бүр 1 эсвэл 0 гэсэн 2 боломжтой байна. Иймд үржвэрийн зарчмаар 5 урттай үгийн тоо 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2 = 25 = 32 байна. Үүнтэй адилаар 3 ба 4 урттай ялгаатай үгийн тоо үржвэрийн зарчмаар харгалзан 23 = 8 ба 24 = 16 байна. Иймээс Морзын цагаан толгойн k урттай ялгаатай үгийн тоо 2k болно. Ерөнхий тохиолдолд хэрэв цагаан толгой n үсэгтэй бол энэ цагаан толгойн k урттай үгийн тоо үржвэрийн зарчмаар n ⋅ n ⋅…⋅ n = nk байна. k б. Сонгосон элементүүд ялгаатай байх Жишээ 2: 30 сурагчтай ангиас 4 сурагчийг сонгож эгнүүлэн жагсаах боломжийн тоог олъё. Эхний сурагчийг 30 сурагчаас сонгож зогсоох тул 30 боломжтой. Хоёр дахь сурагчийг үлдсэн 29 сурагчаас сонгож зогсоох тул 29 боломжтой, гурав дахь сурагчийг үлдсэн 28 сурагчаас сонгож зогсоох тул 28 боломжтой, дѳрѳв дэх сурагчийг үлдсэн 27 сурагчаас сонгож зогсоох тул 27 боломжтой. Иймд нийт боломжийн тоо үржвэрийн зарчмаар 30⋅ 29⋅ 28⋅ 27 болно. Үүнийг факториалын тэмдэглэгээ ашиглан товчилж бичвэл 30 ! болно. Энэ бол 10-р ангид үзсэн 30-аас 4-ѳѳр авсан сэлгэмлийн (30 − 4)! тоо A4 юм. 30 Эндээс ерѳнхий тохиолдолд буюу n ялгаатай элементээс k -г ( n ≥ k ) сонгож нэг эгнээнд жагсаах боломжийн тоо Ank = ( n n! ) ! байна. −k Жишээ 3: n� элементтэй A гэсэн тоон олонлог, �m элементтэй B гэсэн тоон олонлог өгөгджээ. A -аас s элемент авч өсөх дарааллаар эрэмбэлэн жагсааж, түүний ард B олонлогоос k � элемент авч дурын дарааллаар жагсаав. Хэдэн янзаар ингэж жагсааж болох вэ? Бодолт. A олонлогоос s элемент авч өсөх дарааллаар эрэмбэлэн жагсаах аргын тоо CS ба B n олонлогоос k элемент авч дурын дарааллаар жагсаах аргын тоо Amk -тай тэнцүү байна. Иймээс нийт аргын тоо үржвэрийн зарчмаар Cns ⋅ Amk -тай тэнцүү байна. Жишээ 4: 4 шагайг орхиход ядаж 2 морь буух боломжийн тоо хэдтэй тэнцүү байх вэ? Бодолт. Ядаж 2 морь буух боломжийн тоог олохын тулд 2, 3, 4 морь буух боломжийн тоонуудыг тус тусад нь олоод нэмэх хэрэгтэй. Яг 2 морь буух боломжийн тоо C42 ⋅32 , яг 3 морь буух боломжийн тоо C43 ⋅3 , яг 4 морь буух боломжийн тоо C44 ⋅30 болно. Энд тус бүрд нь үржвэрийн зарчим хэрэглэв. Эцэст нь нийлбэрийн зарчмаар C42 ⋅32 + C43 ⋅3 + C44 ⋅30 = 54 +12 +1 = 67 болно. Ингээд нийлбэрийн зарчим, үржвэрийн зарчим, сэлгэмлийн томьёог дангаар нь буюу хослуулан хэрэглэх, олонлогийн элементүүдийг янз бүрийн тохиолдолд нэг эгнээнд байрлуулах аргын тоог олох жишээ бодлогууд бодно. Тухайлбал: 6. {1, 2,…., 9} олонлогийн хувьд а) 2 ширхэг тэгш, 3 ширхэг сондгой элемент агуулсан дэд олонлог хэд байх вэ? б) Энэ олонлогийн элементүүдээр цифр давтагдахгүй 5 оронтой тоо хэдийг бичиж болох вэ? в) Энэ олонлогийн элементүүдээр цифр давтагдаж болох 5 оронтой тоо хэдийг бичиж болох вэ? 7. 4 шагай ба 3 зоосыг зэрэг орхих туршилт хийв. Нийт хэдэн эгэл үзэгдэл илрэх вэ? 8. Сагсанд 9 одон бөмбөг байв. Нэг удаагийн бэлтгэл дээр 3 бөмбөг гаргаж хэрэглээд буцааж сагсанд хийдэг байв. Анх бүх бөмбөг шинэ байсан бол 3 удаагийн бэлтгэлийн дараа шинэ бөмбөг үлдээгүй байх боломжийн тоог ол. 58
Математик XI анги 9. 4 шагай орхиход а) дөрвөн бэрх буух боломжийн тоо, б) ядаж нэг морь буух боломжийн тоог тус тус ол. 10. 6 эрэгтэй, 4 эмэгтэй хүн байв. Тэдгээрээс 5 хүний бүрэлдэхүүнтэй комисс сонгох шаардлагатай болжээ. Хэрэв комиссын бүрэлдэхүүнд а) 3 эрэгтэй, 2 эмэгтэй хүн заавал орсон байх, б) эрэгтэй ба эмэгтэй хүмүүс заавал орсон байх шаардлага тавигдсан тохиолдол тус бүрд комиссыг аргаар сонгож болох вэ? в) Бодлогын нөхцөлд n эрэгтэй, m эмэгтэй гэж өгсөн тохиолдолд б), в)-г бод. 11. 4 шагайг 2 удаа орхив. а) Яг хоёр удаа морь буух боломжийн тоог ол. б) Ядаж хоёр удаа морь буух боломжийн тоог ол. 12. X, Y, Z үсгүүдээр а. 3, 4, 5 урттай ялгаатай үг тус бүр хэдийг бичиж болох вэ? б. 5-аас ихгүй урттай үг хэдийг бичиж болох вэ? Өгөгдсөн бүтэц бүхий давталлтай сэлгэмлийн тоог тооцоолох Жишээ 5: Морзын цагаан толгойн гурван ширхэг 0 ба хоёр ширхэг 1-ээр бичигдэх 5 урттай хэчнээн ялгаатай үг бичиж болох вэ? Бодолт. Хэрэв бүх 5 үсэг ялгаатай гэж үзвэл энэ нь 5-аас 5-аар авсан сэлгэмлийн тоо буюу нийт 5! = 120 ширхэг ялгаатай үг бичиж болох байлаа. Гэтэл энд 0-үүд хоорондоо ялгаагүй ба 1-үүд хоорондоо ялгаагүй тул үг бүр 2!⋅3! = 12 удаа давхардаж орсон байна. Иймээс бүх ялгаатай үгийн 5! 120 тоо 2!⋅3! = 12 = 10 байх ажээ. Эдгээр нь 00011, 00101, 00110, 01001, 01100, 01010, 10001, 11000, 10100, 10010 байна. Үүнийг (3, 2) бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоо гээд P (3, 2) гэж тэмдэглэдэг. Эндээс m ширхэг 0 ба k ширхэг 1-ээр бичигдэх (m + k ) урттай үгийн тоо нь (m,�k ) бүтэц бүхий (m + k )! давталттай сэлгэмлийн тоо буюу P (m, k ) = байна гэж дүгнэж болно. m!⋅k ! Ерѳнхий тохиолдолд 1 дүгээр төрлийн элемент p1 ширхэг, 2 дугаар төрлийн элемент p2 ширхэг гэх мэтээр s дүгээр төрлийн элемент ps ширхэг байх нийт p1 + p2 +…+ ps ширхэг элементийг нэг эгнээнд жагсаах боломжийн тоог ( p1, p2 , ... , ps ) бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоо гээд ( ) P( p1, p2 , ... , ps ) гэж тэмдэглэдэг. Энэ тоо нь P( p1, p2 ,…, ps ) = p1 + p2 +…+ ps ! –той тэнцүү байна. p1 ! p2 !… ps !) Жишээ 6: ОЛОНЛОГ гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сэлгэж хэчнээн ялгаатай үг үүсгэж болох вэ? Бодолт. Бүх 7 үсэг ялгаатай байсан бол нийт 7! ширхэг үг үүсэх байв. Гэтэл энд 3 О үсэг, 2 Л үсэг орох учраас үг бүр 3!2! удаа давхардаж орно. Иймээс бүх ялгаатай үгийн тоо (3, 2,1,1) гэсэн бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн тоотой тэнцүү буюу P (3, 2,1,1) = 7! = 7 ⋅6⋅5⋅ 4 = 420 байна. 3!2!1!1! 2 Энд ямар учраас үгийн бүтцийг (3, 2,1,1) гэж бичсэн бэ? (3, 2) гэж бичвэл ямар алдаа гарч болох байсан бэ? Ингээд сэлгэмэл ба өгөгдсөн бүтэц бүхий давталттай сэлгэмлийн ялгааг таних чадварыг бататгах жишээ дасгалууд дээр ажиллана. Жишээлбэл, 4. Сэлгэмэл ба өгөгдсөн бүтэц бүхий давталттай сэлгэмэл хоорондоо ямар ялгаатай вэ? 5. A, M, S үсгүүдээр A үсэг n� удаа, M үсэг үсэг �m удаа, S үсэг үсэг k удаа орсон ялгаатай үг хэчнээнийг бичиж болох вэ? 6. ТӨӨРӨГДӨЛ гэсэн үгийн бүх үсгийг нэг нэг удаа ашиглаж 2 Ө үсэг зэрэгцэж ороогүй хэчнээн ялгаатай үг бичиж болох вэ? 7. Ижил хэмжээтэй 3 шар, 2 улаан, 4 ногоон шоог давхарлан орж ѳнгѳѳрѳѳ ялгагдах цамхаг хэчнээнийг бүтээж болох вэ? 59
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном 8. Бат долоо хоногийн 2 ѳдѳр монгол хэл, 2 ѳдѳр математик, 2 ѳдѳр нийгмийн ухаан, 1 ѳдѳр англи хэлний шалгалтанд бэлтгэх тѳлѳвлѳгѳѳ зохиож байна. Тэрээр хэдэн ялгаатай тѳлѳвлѳгѳѳ зохиож чадах вэ? Үзэгдлийн магадлалыг тооцоолохдоо сэлгэмэл, хэсэглэлийн томьёо хэрэглэх Нийт илрэх эгэл үзэгдлийн тоо болон тухайн үзэгдэлд харьяалагдах эгэл үзэгдлийн тоог олохын тулд комбинаторикийн аргуудыг хэрэглэдэг. Жишээ 1: 5 охин, 7 хөвгүүнээс 2-ыг таамгаар сонгоход охин, хөвгүүн таарах магадлалыг олоорой. Бодолт. Нэг охин, нэг хѳвгүүн таарах үзэгдлийг А гэж тэмдэглэе. Энэ туршилтад илрэх нийт эгэл үзэгдлийн тоо нь 5 + 7 = 12 хүүхдээс 2 хүүхэд сонгох боломжийн тоо буюу C2 = 66 болно. Нэг охин 12 ба нэг хөвгүүн сонгогдох боломжийн тоог үржвэрийн зарчмаар олбол C51 ⋅C71 = 35 болох учраас олох ёстой магадлал ( )PA = C51 ⋅ C71 = 35 болно. C2 66 12 Жишээ 2: 1, 2, 3, 4, 5 цифрүүдээр цифр давтагдаж болох 3 оронтой тоо бичив. Тэгш тоо бичигдэх магадлалыг олоорой. Бодолт. Энэ туршилтад илрэх нийт эгэл үзэгдлийн тоо нь 5 үсэг ашиглан элемент давтагдаж болох 3 урттай үгийг бичих боломжийн тоо буюу 53 = 125 байна. Бичсэн тоо тэгш байх боломжийн тоо 50 үржвэрийн зарчмаар 5⋅5⋅ 2 = 50 болох учир олох ёстой магадлал = 0.4 болно. 125 Дасгал 1. МАГАДЛАЛ гэсэн үгийн үсгүүдийн байрыг сольж санамсаргүй үг үүсгэхэд гурван ААА үсэг зэрэгцэх магадлалыг олоорой. 2. Морзын цагаан толгойн 4 үсэгтэй үг бичихэд яг 2 зураастай үг бичигдэх магадлалыг олоорой. 3. Батын цүнхэнд n улаан, m хөх, k шар харандаа байв. Тэрээр цүнхнээсээ нэг харандаа таамгаар авч буцааж хийгээд дахин нэг харандаа гаргаж ирэх үйлдлийг 3 удаа хийв. а) Гурван улаан харандаа гарч ирэх магадлалыг, б) ядаж нэг улаан харандаа гарч ирэх магадлалыг, в) гурван өөр өнгөтэй харандаа гарч ирэх магадлалыг тус тус олоорой Үл хамаарах ба хамаарах үзэгдлүүдийн ялгааг таних Бид ѳмнѳх ангиудад үзэгдэл бол эгэл үзэгдлүүдийн олонлог болох талаар үзсэн. А болон B үзэгдлүүдийн огтлолцол үзэгдэл гэдэг нь эдгээр үзэгдлүүдэд нэгэн зэрэг харьяалагдах эгэл үзэгдлүүдийн олонлогийг хэлнэ. Жишээ 3: 52 модтой хѳзрѳѳс нэгийг таамгаар сугалахад боол хөзөр таарах үзэгдлийг А, гил хөзөр таарах үзэгдлийг В гэе. Тэгвэл А ба B үзэгдлүүдийн огтлолцол үзэгдэл гэдэг нь сугалсан хѳзѳр гилийн боол байх үзэгдэл болно. Иймээс P ( A) = 4 , P ( B) = 13 болох ба огтлолцол үзэгдлийн 52 52 магадлал нь P(AB) = 1 байна. Эндээс P ( A B) = P ( A) P (B) томьёо биелнэ гэсэн дүгнэлтэнд 52 хүрч байна. Хэрэв A ба B үзэгдлүүдийн хувьд P ( A B) = P ( A) P ( B) томьёо биелж байвал A , B үзэгдлүүдийг үл хамаарах үзэгдлүүд гэнэ. Энэ тодорхойлолтыг ѳмнѳх ангиудад үзсэн үл хамаарах үзэгдлийн тодорхойлолттой харьцуулж дүгнэлт хийгээрэй. Иймээс жишээ 3-ын 52 модтой багц хөзрөөс нэгийг таамгаар сугалахад боол хөзөр гарч ирэх болон гил хөзөр гарч ирэх үзэгдлүүд нь үл хамаарах үзэгдлүүд байжээ. Хэрэв A ба B үзэгдлүүдийн хувьд P ( A B) ≠ P ( A) P ( B) байвал A , B үзэгдлүүдийг хамаарах үзэгдлүүд гэнэ. Жишээ 4: Ангийн 30 хүүхдийн 17 нь охин, 13 нь хүү байжээ. Охидын 5, хѳвгүүдийн 6 нь нүдний шил зүүдэг байв. Таамгаар сонгосон хүүхэд охин байх үзэгдлийг A , нүдний шил зүүдэг байх 60
Математик XI анги үзэгдлийг B гэж тэмдэглэе. Тэгвэл P ( A) = 17 , P ( B ) = 11 болох ба сонгосон хүүхэд нүдний шилтэй 30 30 охин байх магадлал нь P(AB) = 5 1 болно. Эндээс P ( A B) ≠ P ( A) P (B) байгаа тул A , B = 30 6 үзэгдлүүд хамаарах байжээ гэсэн дүгнэлт гарч байна. Санамж Хамаарах болон үл хамаарах үзэгдлүүдийн жишээ хэд хэдийг гаргаж ярилцах хэрэгтэй. Нөхцөлт магадлалыг таних, магадлалын үржвэрийн дүрэм Жишээ 5: Ангийн 30 хүүхдийн 17 нь охин, 13 нь хүү байжээ. Охидын 5, хѳвгүүдийн 6 нь нүдний шил зүүдэг байв. Таамгаар сонгосон хүүхэд охин байх үзэгдлийг A , нүдний шил зүүдэг байх үзэгдлийг B гэж тэмдэглэе. Таамгаар сонгосон хүүхэд охин байх үед тэр нь нүдний шил зүүдэг байх үзэгдлийн магадлал нь 5 байна. Энэ магадлалыг A үзэгдэл илэрсэн нѳхцѳл дэх B үзэгдлийн 17 магадлал гээд P(B | A) гэж тэмдэглэнэ. Бид ѳмнѳ сонгосон хүүхэд нүдний шилтэй охин байх магадлал P(AB)= 5 = 1 гэж олсон билээ. Эндээс бид P ( B|A) = 5 = 5 болохыг харж болно. 17 30 30 6 17 30 Энэ сүүлд бичсэн бутархайн хуваарь нь сонгосон хүүхэд охин байх магадлал бѳгѳѳд хүртвэр нь ( A B сонгосон хүүхэд нүдний шилтэй охин байх магадлал байна. Эндээс P ( B|A) = P P ( A) ) гэж гарах бѳгѳѳд үүнийг нѳхцѳлт магадлалын томьёо гэдэг. Энэ томьёоноос P ( A B) = P ( A) P(B | A) гэж гаргаж болох бѳгѳѳд хэрэв A, B үзэгдлүүд үл хамаарах бол P(B | A) = P ( B) болно. A, B үзэгдлүүд үл хамаарах бол P( A B) = P( A)P(B) A, B үзэгдлүүд хамаарах бол P ( A B) = P ( A) P(B | A) томьёонууд тус тус биелнэ. Эдгээр томьёог хамтад нь магадлалын үржвэрийн дүрэм гэж нэрлэдэг. Жишээ 6: 52 модтой хөзрөөс нэгийг таамгаар сугалахад ноён хөзөр таарсан бол тэр нь гил байх магадлал ба гил хөзөр таарсан бол тэр нь ноён байх магадлалын аль нь их байх вэ? Бодолт. Гил хөзөр таарах үзэгдлийг A, ноён хөзөр таарах үзэгдлийг B гэж тэмдэглэе. 52 модноос гилийн ноён гарч ирэх магадлал P ( A B ) = 1 байх ба P ( A) = 1 байна. Эндээс сугалсан хѳзѳр гил 52 4 бѳгѳѳд тэр нь ноён байх магадлал нь P ( B|A) = P ( A B) = 1 = 1 байна. Ноён хѳзѳр таарах P ( A) 52 13 1 1 4 13 магадлал P ( B ) = бөгөөд сугалсан хѳзѳр ноён бѳгѳѳд тэр нь гил байх магадлал P ( A|B ) = P (A B ) = 1 = 1 учраас ноён хөзөр таарсан бол тэр нь гил байх үзэгдлийн магадлал их P( B 52 4 ) 1 13 байна. Цааш нь үзэгдлүүд хамаарах эсэхийг тогтоох, нөхцөлт магадлалын томьёог хэрэглэх бодлого бодно. Дасгал 1. A,� B үзэгдлүүдийн хувьд P ( A) = 0.4, P ( B) = 0.6, P ( A|B) = 0.8 гэж өгөгдсөн бол P ( A B) , P ( A B) , P(B | A) магадлалуудыг олоорой. 2. P ( A) = 0.4, P ( B) = 0.6, P ( A B) = 0.3 бол A,� B үзэгдлүүд үл хамаарах байж чадах уу? 3. Улаанбаатар хотын гудамжинд явж байсан хүмүүсээс таамгаар нэгийг сонгоход уг хүн монгол хэлээр ярьдаг бөгөөд гадаадын хүн байх үзэгдлийн магадлал ба уг хүн гадаадын хүн бөгөөд 61
МАТЕМАТИК X-XII Багшийн ном монгол хэлээр ярьдаг байх үзэгдлийн магадлалын аль нь их байх тухай ярилцаарай. 4. Шагайг нэг удаа орхих туршилт хийв. Хэрэв шагай бод буусан бол морь байх магадлал ба тэмээ байх үзэгдлүүдийн магадлалын нийлбэр ямар байх вэ? Үл хамаарах үзэгдлүүдийн хувьд биелэх P ( A B) = P ( A) P ( B) томьёо нь магадлалын үржвэрийн дүрмийн тухайн тохиолдол болохыг ойлгох Жишээ 7: Нэгэн арлын оршин суугчдын 30 хувь нь чихэрт дуртай, нѳгѳѳ арлын оршин суугчдын 65 хувь нь чихэрт дургүй байв. Эдгээр арал дээр харгалзан 1 сая, 2 сая хүн оршин суудаг. Хоёр улсын оршин суугчдаас таамгаар нэгийг сонгож авахад тэр нь а) чихэрт дуртай байх; б) чихэрт дургүй байх; в) чихэрт дуртай хүн таарсан бол тэр нь эхний арлын оршин суугч байх магадлалыг тус тус олоорой. Бодолт. Сонгож авсан хүн эхний арлынх байх үзэгдлийг A , хоёр дахь арлынх байх үзэгдлийг B , чихэрт дуртай байх үзэгдлийг C гэж тэмдэглэе. Тэгвэл сонгосон хүн чихэрт дуртай байх магадлал P (C ) = 300000 + 700000 = 1 , харин чихэрт дургүй байх магадлал нь 1− P (C ) = 1− 1 = 2 байна. Мѳн 3000000 3 33 сонгож авсан хүн нь чихэрт дуртай эхний арлын хүн байх магадлал P ( AC) = 300000 = 0.1 байх 3000000 бѳгѳѳд харин чихэрт дуртай хүн таарсан бол тэр нь эхний арлын оршин суугч байх магадлал нь (A P ( A|C ) = P P (C C ) = 0.1 = 3 болно. Мѳн сонгосон хүн эхний арлынх байх магадлал 1 10 ) 3 P ( A) = 1000000 = 1 байна. Эндээс P ( AC) ≠ P (C)⋅P ( A) учир сонгосон хүн чихэрт дуртай байх 3000000 3 үзэгдэл ба тэр хүн эхний арлынх байх үзэгдэл хоёр нь хамаарах үзэгдлүүд байна. Хэрэв хоёр дахь арлын чихэрт дуртай хүний хувь 30 байсан бол P (C ) = 300000 + 600000 = 3 = 0.3 3000000 10 болно. Эндээс P (C ) ( A) = 3 ⋅ 1 = 0.1 учир P ( AC) = P (C)( A) болж сонгосон хүн чихэрт дуртай 10 3 байх үзэгдэл, тэр хүн эхний арлынх байх үзэгдлүүд үл хамаарах байна. Мѳн чихэрт дуртай хүн P(AC) таарсан бол тэр нь эхний арлын оршин суугч байх магадлал нь P ( A|C ) = P (C) = 0.1 = 1 = P ( A) 0.3 3 болох учир P ( A C ) = P (C )⋅ P ( A|C ) = P (C )⋅ P ( A) болж магадлалуудын үржвэрийн дүрэм нь үл хамаарах үзэгдлүүдийн хувьд биелэх P ( A B) = P ( A) P ( B) томьёоны ерѳнхий тохиолдол нь болох нь харагдаж байна. Нийлмэл үзэгдлийн магадлалыг модны схемээр тооцоолохдоо нөхцөлт магадлалыг тооцох Жишээ 8: Уутанд 5 улаан, 7 хөх бөмбөг байв. Таамгаар нэг бөмбөг сонгож аваад буцааж хийхгүйгээр дахин нэг бөмбөг таамгаар авах туршилт хийв. a) Эхлээд улаан бөмбөг, дараа нь хөх бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийн магадлалыг, б) эхлээд хөх бөмбөг дараа нь улаан бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийн магадлалыг, в) хоёр хөх бөмбөг дараалан гарч ирэх үзэгдлийн магадлалыг, г) хоёр улаан бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол. Уг туршилтын модны схемийг байгуулъя. 62
Математик XI анги Энд эхлээд улаан бөмбөг гарч ирэх үзэгдэл A , хоёр дахь удаад улаан бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийг C , эхлээд хөх бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийг B , хоёр дахь удаад хөх бөмбөг гарч ирэх үзэгдлийг D гэж тэмдэглэе. Тэгвэл а) P ( A C ) = P ( A) P (C|A) = 5 ⋅ 4 = 20 б) P(AD) = P ( A) P ( D|A) = 5 ⋅7 = 35 12 11 132 12 11 132 в) P (BC) = P ( B ) P ( C|B ) = 7 ⋅5 = 35 г) P ( B D ) = P ( B ) P ( D|B ) = 7 ⋅6 = 42 болно. 12 11 132 12 11 132 Жишээ 9: P ( A) = 0.45, P ( B) = 0.35, P ( A B) = 0.7 бол а) P ( A B) -г ол. б) P ( A|B) , P(B | A) -г ол. в) A,� B үзэгдлүүд хамаарах гэж харуулаарай. Бодолт: а) P ( A ∩ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∪ B) = 0.45 + 0.35 − 0.7 = 0.1 б) P ( A|B) = 0.1 = 2 , P ( B|A) = 0.1 = 2 0.35 7 0.45 9 в) A,� B үзэгдлүүд хамаарах гэж харуулахын тулд P ( A B) = P ( A) P(B | A) томьёог шалгаж болохоос гадна P ( A B) = P ( A) P ( B) томьёо биелэхгүй байгааг харуулахад хангалттай. Нийлбэрийн дүрэм ба үржвэрийн дүрэм, нөхцөлт магадлалын томьёо шаардагдах олон асуулттай жишээ дасгалууд бодно. Дасгал Хэрэглэгдэхүүн: Магадлалын үржвэрийн дүрэм болон модны схем хэрэглэн үзэгдлийн магадлалыг олох төрөл бүрийн бодлогууд бүхий тараах материал байж болно. 63
Search
