Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΧΑΛΟΥΔΗΣ

37 – ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ37 Ροπή αδράνειας Θεώρημα SteinerΔιδακτικοί Στόχοι Μετά την ολοκλήρωση του μαθήματος οι μαθητές και οι μαθήτριες θα πρέπει να: Υπολογίζουν τη ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής του Εφαρμόζουν το θεώρημα Steiner για παράλληλους άξονες περιστροφής ΘΕΩΡΙΑΡοπή αδράνειας υλικού σημείου Ροπή αδράνειας Ι ενός υλικού σημείου που εκτελεί κυκλική κίνησηακτίνας r ονομάζεται το γινόμενο της μάζας αδράνειας m του υλικούσημείου επί το τετράγωνο της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς του. Ομαθηματικός τύπος είναι: I  mr2Μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο S.I. είναι το 1 kg  m2 .Ροπή αδράνειας στερεού σώματος Ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα ονομάζουμε το άθροισμα των γινομένωντων στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα τετράγωνα των αποστάσεώντους από τον άξονα περιστροφής: n I  m1  r12  m2  r22  ...  mn  rn2 i 1Τι εκφράζει η ροπή αδράνειας; Η ροπή αδράνειας είναι το μονόμετρο μέγεθος που εκφράζει στην περιστροφή ό,τι και η μάζαστη μεταφορική κίνηση, δηλαδή την αδράνεια του σώματος στη στροφική κίνηση. Ενώ όμως ημάζα αδράνειας παραμένει σταθερή, η ροπή αδράνειας εξαρτάται και από τη θέση του άξοναπεριστροφής. Επομένως ένα στερεό σώμα που έχει σταθερή μάζα, μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τιμέςτης ροπής αδράνειας, ανάλογα με τη θέση του άξονα περιστροφής.Πως υπολογίζεται η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος; Ο παραπάνω τύπος που υπολογίζει τη ροπή αδράνειας υλικού σημείου ισχύει και για στερεόπου κάνει κυκλική κίνηση γύρω από άξονα που δεν περνάει από μέσα του (π.χ. κίνηση Γης γύρωαπό τον Ήλιο), θεωρώντας για ακτίνα r την απόσταση του άξονα περιστροφής από το κέντρο τουστερεού σώματος. Για στροφική κίνηση πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα των ροπώναδράνειας των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το στερεό. Για διάφοραχαρακτηριστικά ομογενή στερεά σώματα, η ροπή αδράνειάς τους ως προς άξονα που διέρχεταιαπό το κέντρο μάζας τους παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα.514 Απόστολος Μιχαλούδης

37 – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ STEINER Ροπή Αδράνειας χαρακτηριστικών στερεών σωμάτων ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας Λεπτή ράβδος μήκους L : I cm  1 M  L2Ορθογώνια πλάκα ( a , b ) : 12 : Συμπαγής κύλινδρος : Icm  1 M  (a2  b2 ) Δίσκος : 12 : Σφαιρικός φλοιός : I cm  1 M  R2 Συμπαγής σφαίρα 2 Δακτύλιος I cm  1 M  R2 2 Icm  2 M  R2 3 Icm  2M  R2 5 Icm  M  R2ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν είναι απαραίτητο να αποστηθίσουμε τις ροπές αδράνειας των στερεών σωμάτων, θα μας δίνονται όπου χρειάζονται. Οι παραπάνω τύποι ισχύουν γιαομογενή στερεά σώματα. δηλαδή σώματα που είναι κατασκευασμένα έτσι ώστε να έχουν την ίδιαπυκνότητα σε όλη τους την έκταση.Θεώρημα Steiner Το θεώρημα Steiner υπολογίζει τη ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς άξοναπαράλληλο με τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Η μαθηματικήσχέση του θεωρήματος Steiner είναι: I p  Icm  M  d 2όπου I p η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τυχαίο άξοναIcm η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του στερεούM η ολική μάζα του στερεού σώματοςd η απόσταση των δύο αξόνων ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝΡοπή αδράνειας στερεού – Θεώρημα Steiner Στην περίπτωση που έχουμε ένα στερεό σώμα το οποίο στρέφεται ως προς άξονα που δεδιέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα Steiner για να υπολογίσουμετη ροπή αδράνειας. Θα πρέπει να μας δίνεται η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς άξονα πουwww.simulations.gr 515

37 – ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥδιέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι παράλληλος στον άξονα που μας ενδιαφέρει(εξαίρεση αποτελεί ο δακτύλιος που θα πρέπει να αποδείξουμε μόνοι μας ότι Icm  M  R 2 ).ΠαράδειγμαΛεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας Μ καιμήκους , μπορεί να περιστρέφεται γύρω απόάξονα που είναι κάθετος σε αυτή. Αν η ροπήαδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από τοκέντρο Κ της ράβδου είναι I cm  1 M  2, 12να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας ως προς άξονα που είναι παράλληλος στον προηγούμενο καιδιέρχεται:α) Από το άκρο Β.β) Από το σημείο Γ που απέχει d  από το κέντρο της ράβδου. 4γ) Από τυχαίο σημείο Δ που απέχει απόσταση x από το κέντρο της ράβδου.Λύσηα) Εφαρμόζουμε θεώρημα Steiner: IB  Icm  M d 2  1 M  2  M   2  12  2  1 M  2 M  2  1 M  2  3 M  2  4 M  2  1M  212 4 12 12 12 3β) Εφαρμόζουμε θεώρημα Steiner: I  Icm  M d 2  1 M  2  M   2  12  4  1 M  2 M  2  4 M  2  3 M  2  7 M  2 12 16 48 48 48γ) Εφαρμόζουμε θεώρημα Steiner: I  I cm M d 2  1 M  2 M x2  12  1  M  2  12  M  x 2  1  M  2 12  x 212 12 12Ροπή αδράνειας συστήματος σωμάτων Στην περίπτωση που έχουμε ένα σύστημα σωμάτων, τότε η συνολική ροπή αδράνειας θα είναιτο άθροισμα των ροπών αδράνειας όλων των σωμάτων ως προς τον άξονα περιστροφής. Τη ροπήαδράνειας του κάθε σώματος μπορούμε να την υπολογίσουμε ξεχωριστά και στο τέλος να τιςαθροίσουμε όλες.ΠαράδειγμαΗ ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματοςέχει μήκος L  2 m και μάζα M  3 kg . Στοάκρο Β της ράβδου είναι κολλημένη σημειακήμάζα m  2 kg . Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα που είναικάθετος στη ράβδο και περνά από το άκρο της Α.ΛύσηΥπολογίζουμε αρχικά τη ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς το άκρο Α, με το θεώρημα Steiner:516 Απόστολος Μιχαλούδης

37 – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ STEINERI ά  Icm M   L 2  1 M  L2 M  L2  1M  L2  1 3 22  4 kg  m2  2  12 4 3 3Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας της σημειακής μάζας m : Iά  m  L2  2  22  8 kg  m2Η συνολική ροπή αδράνειας του συστήματος είναι: I  Iά  Iά  4  8  12 kg  m2 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣΡοπή αδράνειας δίσκου Ο δίσκος του διπλανού σχήματος έχει μάζα M  4 kg και ακτίναR  1 m . Να υπολογίσετε:α) Τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το κέντρο του.β) Τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το σημείο Α.γ) Τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το σημείο Β, που βρίσκεται στο μέσο της ακτίνας του.Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το κέντρο του I cm  1 M  R2 . 2Λύσηα) Ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου ισχύει:I cm  1 M  R2  1  4 12  1  41  4  2 kg  m2 2 2 2 2β) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Steiner:IA  Icm  M  R2  1M  R2  M  R2  3M  R2  6 kg  m2 2 2γ) Αντίστοιχα έχουμε: IB  Icm  M   R 2  1 M  R2  M  R2  3 M  R2  3 kg  m2 2  2 4 4Ροπή αδράνειας συστήματος σωμάτων Η ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματοςέχει μάζα M  3 kg και μήκος L  2 m . Στο άκροΒ της ράβδου υπάρχει στερεωμένη σημειακήμάζα m1  1 kg , ενώ σε απόσταση dL από το άκρο Α υπάρχει σημειακή μάζα m2  2 kg . Να 4βρείτε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται:α) Από το κέντρο μάζας της.β) Από το άκρο της Α.γ) Από το άκρο της Β.Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της: I cm  1 M  L2 . 12Λύσηα) Η ροπή αδράνειας της ράβδου είναι:I  I cm  1 M  L2  1 322  1 34  1 kg  m 2 12 12 12Η ροπή αδράνειας της σημειακής μάζας m1 είναι:www.simulations.gr 517

37 – ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥI1  m1   L2  112 1 kg  m 2  2 Η ροπή αδράνειας της σημειακής μάζας m 2 είναι:I2  m2   L2  2   22  2   12  2 1  0, 5 kg  m 2  4   4   2  4Η συνολική ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο της ράβδου είναι:I  I  I 1  I 2  11 0,5  2,5 kg  m 2  L  2  1 M 1M  2  12 4β) Η ροπή αδράνειας της ράβδου είναι: I  Icm M   L2   L2  1  M  L2  3  M  L2  4  M  L2  1  3 2 2  4 kg  m 2 12 12 12 3Η ροπή αδράνειας της σημειακής μάζας m1 είναι:I 1  m1  L 2  1 2 2  4 kg  m 2Η ροπή αδράνειας της σημειακής μάζας m 2 είναι:I2  m2   L2  2   22  2   12  2 1  2  0, 5 kg  m 2  4   4   2  4 4Η συνολική ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο της ράβδου είναι:I  I  I 1  I 2  4  4  0, 5  8, 5 kg  m 2γ) Η ροπή αδράνειας της ράβδου είναι ίδια με αυτή από το άκρο Α, καθώς έχουμε την ίδιααπόσταση από το κέντρο μάζας: I  Icm M   L2  ...  4 kg  m 2  2 Η ροπή αδράνειας της σημειακής μάζας m1 είναι:I 1  m1  0 2  0 (βρίσκεται πάνω στον άξονα περιστροφής)Η ροπή αδράνειας της σημειακής μάζας m 2 είναι:I 2  m2   3 L 2  2   32 2  2   32  2 9  4, 5 kg m2  4   4   2  4Η συνολική ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο της ράβδου είναι:I  I  I 1  I 2  4  0  4, 5  8, 5 kg  m 2Ροπή αδράνειας συστήματος στερεών σωμάτωνΤρεις ομογενείς ράβδοι ενώνονται μεταξύ τους όπωςφαίνεται στο σχήμα. Η πρώτη ράβδος έχει μάζαm1  m και μήκος 1  2 , η δεύτερη ράβδος έχειμάζα m2  m και μήκος 2  2 και η τρίτη ράβδοςέχει μάζα m3  m και μήκος 3 6 . 3Το σύστημα μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα πουδιέρχεται από το σημείο Ο. Η ροπή αδράνειας κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από τοκέντρο μάζας της είναι I cm  1  mi  i 2 , όπου i ο αντίστοιχος αριθμός 1,2,3. Η ροπή αδράνειας 12του συστήματος των τριών ράβδων ως προς τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο είναι:518 Απόστολος Μιχαλούδης

37 – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ STEINERα. IO  10  m  2 β. IO  20  m  2 γ. IO  30  m  2ΛύσηΣωστή απάντηση η β. Η συνολική ροπή αδράνειας είναι το άθροισμα των ροπών αδράνειας τωντριών ράβδων ως προς το σημείο Ο:  I 1  I 2  I 3 (1) 1   2  1 m2  2 2  4 m 2  4m 12    2  12 3I1   m1  2  m1  1 12  2  m  2 m 2 1 2I  1 m2  2  m2   1 2 2  1 m2  2  m   2  2 2  12 2   12  2  2 2  4  m 2  m3  2  1  m 2  m 9 2  28  m 2 12 3 3I3  1  m3  2  m3 d 2  1  m 6 2  md 2  m 2  md 2 (2) 12 3 3 12 3 3Υπολογίζουμε την απόσταση d 2 από το Πυθαγόρειο Θεώρημα:d2  1 2   3 2  4  2  3  2  16 2 9 2  25 2 (3)   2 2Αντικαθιστούμε τη σχέση (3) στην (2):I3  m 2  md 2  m 2  m  25 2  28  m 2 3 3 3Η συνολική ροπή αδράνειας προκύπτει αντικαθιστώντας τις ροπές αδράνειας που υπολογίσαμε,στη σχέση (1):  I1  I  I3  4 m 2  28  m 2  28  m 2  60  m 2  20 m 2 3 3 3 3 2Ροπή αδράνειας κοίλου δίσκου Ο διπλανός δίσκος, ακτίνας R  2 m , είναι ομογενής και μπορεί ναπεριστρέφεται από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναικάθετος στο επίπεδό του. Από το δίσκο έχει αφαιρεθεί το εσωτερικό μέρος του,μάζας m1 και ακτίνας ίσης με το μισό της ακτίνας του δίσκου. Η μάζα τουεναπομείναντος στερεού είναι m2  30 kg . Αν η ροπή αδράνειας ομογενούςκυκλικού δίσκου είναι I  1  M  R2 , να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του κοίλου σώματος. 2Θεωρήστε ότι ο δίσκος έχει πάχος h. Ο όγκος του δίσκου υπολογίζεται από τον τύπο V    R2  h.ΛύσηΗ ροπή αδράνειας του σώματος θα είναι ίση με τη ροπή αδράνειας I 2 δίσκου ακτίνας R, μείον τηροπή αδράνειας I1 δίσκου ακτίνας R . Θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τη μάζα m1 που 2αφαιρέθηκε. Θα ισχύει: m1  m2  MΕπειδή ο δίσκος είναι ομογενής, η πυκνότητα  1 της μάζας που αφαιρέθηκε θα είναι ίση με τηνπυκνότητα  του αρχικού σώματος:www.simulations.gr 519

37 – ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ1    m1  M  m1  M  m1  M  m1  M V1 V R 2   R2  h R2 R2 4    2   h 4 Η εναπομένουσα μάζα m2 θα ισούται με τα υπόλοιπα 3 της ολικής μάζας M : 4m2  3M  M  4m  M  4 30  M  40 kg 4 3 3Επομένως η μάζα m1 που αφαιρέθηκε είναι: m1  M  m2  m1  40  30  m1  10 kgΈχουμε: I1  1  m1   R 2  1 10   2 2  1 10 1  5 kg  m2 2  2  2  2  2και I2  1 M  R2  1  40  22  1  40  4  80 kg  m2 2 2 2Η ροπή αδράνειας του στερεού είναι τελικά: I  I 2  I1  80  5  75 kg  m2Ροπή αδράνειας κοίλης σφαίρας Ομογενής σφαίρα, μάζας M  40 kg και ακτίνας R  2 m έχει ροπή αδράνειας, ως προς τοκέντρο μάζας της, που υπολογίζεται από τον τύπο I cm  2  M  R2 . Αφαιρούμε μέσα από το στερεό 5ομόκεντρη σφαίρα, ακτίνας r1  1 m . Αν γνωρίζετε ότι ο όγκος της σφαίρας υπολογίζεται απότη σχέση V  4   R3 , να υπολογίσετε: 3α) Τη μάζα m1 που αφαιρέθηκε από τη σφαίρα.β) Τη ροπή αδράνειας της κοίλης σφαίρας.γ) Στο εσωτερικό της σφαίρας κολλάμε μία μικρότερη σφαίρα, από το ίδιο υλικό, με μάζα m2 και ακτίνα r2  0,5 m , όπως φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε τη συνολική ροπή αδράνειας ως προς τον ίδιο άξονα περιστροφής.Λύσηα) Επειδή η πυκνότητα της συμπαγούς σφαίρας και του κομματιού που αφαιρέθηκε είναι ίσες, θα M m1  M  V1 4   r13 V V1 V 3ισχύει:   1    m1  m1 M  4   R3 3m1  M  r13  m1  13  m1  40  1  m1 5 kg R3 40  8 23β) Η ροπή της αδράνειας θα υπολογιστεί αφαιρώντας από τη ροπή αδράνειας της συμπαγούςσφαίρας τη ροπή αδράνειας της σφαίρας που αφαιρέθηκε: Ik  I  I 1 Ik  2  R2  2  m1  r12  Ik  2  40  22  2  5 12  Ik  64  2  Ik  62 kg  m2 M 5 5 5 5γ) Η συνολική ροπή αδράνειας, Io , θα είναι: Io  Ik  I2 (1)520 Απόστολος Μιχαλούδης

37 – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ STEINERόπου I 2 η ροπή αδράνειας της μικρής σφαίρας ως προς το άκρο της, που υπολογίζεται μεθεώρημα Steiner: I2  Icm  m2  r22  2  m 2  r22  m2  r22  7  m 2  r22 (2) 5 5Βρίσκουμε, με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν, τη μάζα της μικρής σφαίρας: M  m2  m2  M V2  m2 M 4   r23  m2  M  r23  m2  1 3  2 V V2 V 3  R3 R3  40   2  4  23 3 1m2  40  64  m2  0, 625 kg (3)Αντικαθιστούμε τη σχέση (3) στη σχέση (2) και προκύπτει:I2  7  m2  r22  7  0, 625   1 2  0, 21875 kg  m2 (4) 5 5  2 Αντικαθιστούμε τη σχέση (4) στη σχέση (1) και προκύπτει:Io  Ik  I2  62  0, 21875  62, 21875 kg  m2Παρατηρούμε ότι μεγαλύτερη ροπή αδράνειας προκύπτει για μάζα που βρίσκεται πιο μακριά ωςπρος τον άξονα περιστροφής, όπως άλλωστε ήταν αναμενόμενο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗΑ1. Να χαρακτηρίσετε κάθε παρακάτω πρόταση ως σωστή (Σ) ή ως λάθος (Λ) : 1. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού είναι μονόμετρο μέγεθος. 2. Μονάδα μέτρησης της ροπής στο S.I. είναι το 1 N  m . 3. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού εξαρτάται και από τη θέση του άξονα περιστροφής. 4. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού εκφράζει για τη στροφική κίνηση ό,τι και η μάζα αδράνειας για τη μεταφορική. 5. Το θεώρημα Steiner υπολογίζει τη ροπή αδράνειας ως προς άξονα που είναι κάθετος στον άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο μάζας του στερεού. 6. Η μέγιστη δυνατή τιμή της ροπής αδράνειας ενός ομογενούς στερεού είναι αυτή ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του στερεού. 7. Μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας στο S.I. είναι το 1 kg  m .Α2. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος:α. Έχει τη διεύθυνση της συνισταμένης ροπής.β. Εκφράζει την αδράνεια του στερεού κατά τη μεταφορική κίνηση.γ. Έχει την ίδια τιμή για 2 άξονες περιστροφής που είναι παράλληλοι.δ. Έχει τη μικρότερη τιμή της για ένα σώμα, όταν ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το κέντρο μάζας του.Α3. Ομογενής δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναικάθετος στο επίπεδό του. Αν τοποθετήσουμε πάνω στο δίσκο άλλον έναν, ίδιας μάζας και ακτίνας,τότε η ροπή αδράνειας του συστήματος, σε σχέση με τη ροπή αδράνειας μόνο του πρώτου δίσκου:α. Θα είναι ίδια. β. Θα διπλασιαστεί.γ. Θα υποδιπλασιαστεί. δ. Θα τετραπλασιαστεί.www.simulations.gr 521

37 – ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥΑ4. Ομογενής δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναικάθετος στο επίπεδό του. Αν τοποθετήσουμε πάνω στο κέντρο του δίσκου μία σημειακή μάζα,ίσης μάζας με το δίσκο, τότε η ροπή αδράνειας του συστήματος, σε σχέση με τη ροπή αδράνειαςμόνο του δίσκου θα:α. Είναι ίδια. β. Διπλασιαστεί.γ. Υποδιπλασιαστεί. δ. Τετραπλασιαστεί.Β1. Μία ομογενής ράβδος, μάζας M  6 kg και μήκους  0,5 m έχει ροπή αδράνειας ωςπρος άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή, που δίνεται από τοντύπο I cm  1 M  2 . Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το άκρο της 12και είναι παράλληλος στον προηγούμενο άξονα είναι:α. 0,5 kg  m2 β. 0, 75 kg  m2 γ. 1 kg  m2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β2. Η ομογενής ράβδος ΑΒ μάζας M  3 kg καιμήκους  2 m μπορεί να περιστρέφεται γύρω απόάξονα κάθετο σε αυτήν που περνά από το άκρο της Α. Στο άκρο Β υπάρχει σημειακή μάζαm  1 kg . Αν η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της είναι I cm  1 M  2, 12τότε η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι:α. 1 kg  m2 β. 2 kg  m2 γ. 8 kg  m2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β3. Ο τροχός του σχήματος αποτελείται από κυκλικό δακτύλιο, μάζαςM1  0, 6 kg και ακτίνας R  1 m , καθώς και από 4 ομογενείς ράβδους, μάζαςM2  0,3kg και μήκους L  1 m η καθεμία. Η ροπή αδράνειας του δακτυλίουως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι I1  M1  R2 , ενώ ηροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της είναι I2 1  L2 . Η ροπή  12  M 2αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι.α. 1 kg  m2 β. 2 kg  m2 γ. 8 kg  m2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β4. Ομογενής δακτύλιος μάζας Μ και ακτίνας R μπορεί ναπεριστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδό του, που διέρχεται απόένα σημείο Α της περιφέρειάς του. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προςτον άξονα περιστροφής του είναι:α. M  R 2 β. 1  M  R 2 γ. 2 M  R 2 2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.522 Απόστολος Μιχαλούδης

37 – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ STEINERΒ5. Ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μάζα Μ και μήκος L. Η ροπή αδράνειάς της ως προς το κέντρομάζας της είναι I cm  1 M  L2 . Η ροπή αδράνειας ως προς παράλληλο με αυτόν άξονα που 12περνά από το άκρο της Β είναι:α. IB  1 M  L2 β. IB  1M  L2 γ. IB  1 M  L2 δ. IB  1M  L2 2 3 4 6Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β6. Ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μάζα Μ και μήκος . Η ροπή αδράνειάς της ως προς το κέντρομάζας της είναι I cm  1 M  2. Η ροπή αδράνειας ως προς παράλληλο με αυτόν άξονα που 12περνά από ένα σημείο της Δ που βρίσκεται σε απόσταση d  από το άκρο Α είναι: 4α.  1 2 β.  4 2 γ.  5 2 δ.  7 2 I M  I M  I M  I M  2 3 16 48Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β7. Δύο ίδιες ομογενείς ράβδοι μάζας M  1,5 kg και μήκους L  1 mείναι κολλημένοι από το ένα άκρο τους έτσι ώστε να σχηματίζουν ορθήγωνία. Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς το κέντρομάζας της: I cm  1 M  L2 . Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς 12άξονα που διέρχεται από το σημείο ένωσής τους και είναι κάθετος σε αυτές είναι:α. 1 kg  m2 β. 2 kg  m2 γ. 8 kg  m2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β8. Το ανομοιογενές στερεό του διπλανού σχήματος έχει μάζαM  20 kg και μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρωαπό κατακόρυφο άξονα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η ροπήαδράνειας του στερεού ως προς άξονα παράλληλο στον προηγούμενο,που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι Icm  25 kg  m2 . Οι δύοάξονες απέχουν μεταξύ τους απόσταση d  50 cm . Πάνω στοστερεό στερεώνουμε δύο σημειακές μάζες, την m1  2 kg , σεαπόσταση r1 =1 m από τον άξονα περιστροφής και την m2  8 kg , σεαπόσταση r2  1, 5 m αντίστοιχα. Η ολική ροπήαδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι:α. 25 kg  m2 β. 50 kg  m2 γ. 100 kg  m2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.www.simulations.gr 523

37 – ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥΒ9. Ομογενής δίσκος έχει μάζα Μ και ακτίνα R. Από το κέντρο του δίσκουαφαιρούμε ποσότητα μάζας m1  M όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνεται η 4ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου γύρω από άξονα που διέρχεται από τοκέντρο του και είναι κάθετος σε αυτόν, I cm  1M R2. Η ροπή αδράνειας 2I 2 του στερεού που προκύπτει μετά την αφαίρεση της μάζας m1 προς τη ροπή αδράνειας I 1 τηςμάζας που αφαιρέθηκε είναι:α. 16 β. 15 γ. 1Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β10. Έστω ομογενής σφαίρα ακτίνας R και μάζας Μ. Από το εσωτερικότης αφαιρούμε σφαίρα ακτίνας r  R , όπως φαίνεται στο διπλανό 2σχήμα. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας Ik του κοίλου στερεού ωςπρος άξονα που διέρχεται από το κέντρο της μεγάλης σφαίρας. Δίνεται ηροπή αδράνειας ομογενούς σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από τοκέντρο της: Icm  2M  R2 . Ο όγκος σφαίρας υπολογίζεται από τον τύπο: V  4   R3 . 5 3 [ Ik  57  M  R2 ] 160Β11. Ομογενής ράβδος, μάζας m1  m και μήκους 1  3 , μπορεί να περιστρέφεται σεκατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται απότο ένα άκρο του Ο. Στο άλλο άκρο κολλάμε μία δεύτερη ομογενήράβδο, μάζας m2  3m και μήκους 2  8 , έτσι ώστε αυτές νασχηματίζουν ορθή γωνία. Η ροπή αδράνειας κάθε ράβδου, ως προςάξονα που διέρχεται από το κέντρο της, υπολογίζεται από τον τύποcm  1  mi  2 . Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: 12 iα. 19 m 2 β. 46 m 2 γ. 94 m 2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β12. Ομογενής ράβδος μάζας m1  m και μήκους  3R μπορεί να περιστρέφεται γύρω απόάξονα κάθετο σ’ αυτήν, που διέρχεται από το άκρο της Α. Στο άλλο άκρο της ράβδου είναικολλημένη ομογενής σφαίρα, μάζας m2  5m και ακτίνας R . Η ροπή αδράνειας της ράβδου ωςπρος άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι   1  m1  2 και της σφαίρας ως προς το 12 1κέντρο της είναι   2  m  R 2 . Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς το άκρο Α είναι: 5 2α. 11  m  R 2 β. 45 m R 2 γ. 85 m R 2 4Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε. Απόστολος Μιχαλούδης524

37 – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ STEINERΒ13. Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα m, ακτίνα R και ύψος h. Οκύλινδρος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από τοκέντρο του και εκτείνεται κατά μήκος του κυλίνδρου. Από τον κύλινδροαφαιρούμε έναν ομοαξονικό κύλινδρο, ακτίνας r . Η ροπή αδράνειας τουσυμπαγούς κυλίνδρου δίνεται από τον τύπο   1  m  R 2 , ενώ ο όγκος του από 2τον τύπο V    R 2  h . Η ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου που απομένειείναι:α. 1  m R 2  1  r  β. 1  m R 2  r2  γ. 1  m R 2  r4  2 R  2  1  R2  2  1  R4     Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Β14. Το fidget spinner του σχήματος αποτελείται απόέναν μεγάλο κεντρικό δίσκο, μάζας M  3m και ακτίναςR  2r , καθώς και άλλους τρεις μικρότερους δίσκους,μάζας m και ακτίνας r ο καθένας. Όλοι οι δίσκοι είναιομογενείς. Το στερεό μπορεί να στρέφεται γύρω απόάξονα που είναι κάθετος στο επίπεδο των δίσκων καιδιέρχεται από το κέντρο Κ του μεγάλου δίσκου. Η ροπήαδράνειας του μεγάλου δίσκου ως προς άξονα πουδιέρχεται από το κέντρο μάζας του I cm  1M R2. Η 2ροπή αδράνειας κάθε μικρού δίσκου ως προς άξονα πουδιέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι I'cm  1 mr 2 . Η συνολική ροπή αδράνειας του fidget 2spinner είναι:α. 6 m r 2 β. 3  m  r 2 γ. 15  m  r 2 2 2Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αιτιολογήσετε.Γ1. Συμπαγής σφαίρα μάζας M  5 kg και ακτίνας R  2 m μπορεί να περιστρέφεται γύρωαπό άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή. Ο τύπος που υπολογίζειτη ροπή αδράνειας της σφαίρας είναι Icm  2  M  R2 . Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας ως προς 5άξονα που είναι παράλληλος με τον προηγούμενο και περνά:α) Από την περιφέρεια της σφαίρας. [ I1  28 kg  m2 ]β) Από το μέσο μιας ακτίνας. [ I2  13 kg  m2 ]Γ2. Η ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος έχειμάζα M  6 kg και μήκος L  4 m . Στο άκρο Β της ράβδουwww.simulations.gr 525

37 – ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥυπάρχει σημειακή μάζα m1  4 kg , ενώ σε απόσταση dL από το άκρο Α υπάρχει σημειακή 4μάζα m2  2 kg . Να βρείτε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα κάθετο στη ράβδοπου διέρχεται:α) Από το κέντρο μάζας της. [ I  26 kg  m2 ]β) Από το άκρο της Α. [ I A  98 kg  m2 ]γ) Από το άκρο της Β. [ IB  50 kg  m2 ]Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της: I cm  1 M  L2 . 12Γ3. Ο ομογενής δίσκος του σχήματος έχει μάζα M  4 kg και ακτίνα R  0,3 m . Στα δύοτρίτα μιας ακτίνας του είναι κολλημένη σημειακή μάζα m  2 kg .Δίνεται ότι I cm  1 M  R2 . Βρείτε τη ροπή αδράνειας του συστήματος 2ως προς άξονα που είναι κάθετος στο δίσκο και διέρχεται από:α) Το κέντρο του δίσκου. [ I  0, 26 kg  m2 ]β) Τη σημειακή μάζα. [ I  0,34 kg  m2 ]Γ4. Ομογενής δίσκος έχει μάζα M και ακτίνα R . Στο μέσο μιας ακτίνας του είναι κολλημένησημειακή μάζα m  M . Να βρείτε τη ροπή αδράνειας του 2συστήματος ως προς άξονα που είναι κάθετος στο δίσκο καιδιέρχεται από:α) Το κέντρο του δίσκου. [ I  0, 625  M  R 2 ]β) Τη σημειακή μάζα. [ I  3  M  R2 ]γ) Το σημείο Α. Ισχύει ότι KA  KB . 4 [ I  M  R2 ]Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το κέντρο μάζας του: I cm  1  M  R2 . 2Γ5. Η ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μάζα Μ και μήκους έχει στα άκρα της κολλημένες δύο σημειακές μάζεςm1   και m2  2 αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς 2τον άξονα περιστροφής, αν αυτός είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται:α) Από το κέντρο Κ της ράβδου. [ IK  17  M  2] 24β) Από το άκρο Α. [ IA  7 M  2] 3γ) Από το άκρο Β. [ IB  5M  2] 6Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της είναι I cm  1 M  2. 12526 Απόστολος Μιχαλούδης

37 – ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ STEINERΓ6. Η ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος έχειμάζα M και μήκος L . Στο άκρο Β της ράβδου υπάρχεισημειακή μάζα m1  2M , ενώ σε απόσταση dL από το άκρο Α υπάρχει δεύτερη σημειακή 4μάζα m2 , ίσης μάζας με την m1 . Να βρείτε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονακάθετο στη ράβδο που διέρχεται:α) Από το κέντρο μάζας της. [ I  17  M  L2 ] 24β) Από το άκρο της Α. [ I  35  M  L2 ] 24γ) Από το άκρο της Β. [ I  59  M  L2 ] 24Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της: I cm  1 M  L2 . 12Προτεινόμενες ασκήσεις σχολικού βιβλίου : 4.12, 4.13, 4.14, 4.15, 4.16, 4.44www.simulations.gr 527