เรื่องเซต

คณติ ศาสตรพ ืน้ ฐาน เรือ่ ง เซต เซต คอื เปน คาํ ทใ่ี ชบงบอกถงึ กลุมของสิ่งตางๆ และเมอ่ื กลา วถงึ กลมุ ใดแนน อนวา สง่ิ ใดอยู ในกลุม ส่ิงใดไมอ ยูในกลุม เชน เซตสระในภาษาอังกฤษ หมายถึง กลุมขององั กฤษ a, e, i, o และ u เซตของจํานวนนบั ท่นี อ ยกวา 10 หมายถงึ กลมุ ตวั เลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9 ส่ิงทีใ่ นเชตเรียกวา สมาชกิ ( element หรอื members ) การเขยี นเซต การเขียนเซตอาจเขยี นได้ 2 แบบ 1การเขยี นซตแบบแจกแจงสมาชิก เขยี นสมาชกิ ทุกตัวลงในเครอ่ื งหมายวงเลบ็ ปก กา { } และใชเ ครอ่ื งหมายจุลภาค ( , ) ค่นั ระหวางสมาชกิ แตล ะตัว เชน เซตของจํานวนนับทนี่ อ ยกวา 7 เขยี นแทนดว ย {1,2,3,4,5,6,} เซตของพยญั ชนะไทย 5 ตวั แรก เขียนแทนดว ย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ } 2.เขียนแบบบอกเง่อื นไข ใชต ัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต แลว บรรยายสมบัตขิ อง สมาชิกทีอ่ ยูร ปู ของตัวแปร เชน {x| x เปน สระในภาษาองั กฤษ} อานวา เซตของ x โดยที่ x เปนสระในภาษาอังกฤษ {x| x เปนเดือนแรกและเดอื นสดุ ทายของป} อา นวา เซตของ xโดยที่ x เปน เดอื นแรกและ เดือนสดุ ทายของป เครอื่ งหมาย “|” แทนคําวา โดยที่

ในการเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ นนั้ จะใชจดุ ( ... ) เพอื่ แสดงวามีสมาชิกอื่นๆ ซ่ึงเปน ท่เี ขาใจกนั ท่ัวไปวา มอี ะไรบา งท่ีอยใู นเซต เชน {1,2,3,...,10 } สัญลกั ษณ ... แสดงวามี 4,5,6,7,8 และ9 เปน สมาชิกของเซต { วนั จนั ทร, อังคาร, พธุ ,..., อาทิตย } สญั ลักษณ ... แสดงวามีวนั พฤหสั บดี วัน ศกุ ร และวนั เสาร เปนสมาชกิ ของเซต สญั ลักษณแ ทนเซต ในการเขียนเซตโดยท่ที วั่ ไปจะแทนเซตดว ยอักษรภาษาอังกฤษตัวพมิ พใ หญ เชน A,B,C และแทนสมาชิกของเซตดวยตวั พิมพเ ลก็ เชน a,b,c เชน A={1,4,9,16,25,36} หมายถึง A เปน เซตของกําลงั สองของจํานวนนับหก จํานวนแรก } สมาชิกของเซต จะใชสัญลกั ษณ“ € ” แทนคาํ วา เปนสมาชิกหรืออยูใ น เชน A={1,2,3,4}จะไดวา 1 เปน สมาชกิ ของ A หรอื อยใู น A เขยี นแทนดว ย 1 €A 3 เปนสมาชกิ ของ A หรอื อยู ใน A เขยี นแทนดว ย 3€ A คําวา“ไมเ ปน สมาชิก” หรือ “ไมอ ยใู น” เขียนดวยสัญลกั ษณ “ € ” เชน 5 ไมเ ปน สมาชกิ ของ A หรอื ไมอ ยูใน A เขยี นแทน5€A 7 ไมเ ปน สมชกิ ชอง A หรือไมอ ยูใน A เขยี น แทนดว ย 7€A สําหรับเซต A ซึ่งมสี มาชกิ 4 ตวั เราจะใช n(A) เพอ่ื บอกจาํ นวนสมาชกิ ของเซต A นั่น คอื n(A) = 4

ตวั อยางที่ 1 จงเขียนเซตตอไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก 1.เซตของจงั หวัดในประเทศไทยทล่ี งทายดว ยบรุ ี 2.เซตของจํานวนเมลบ 3.เซตของพยัญชนะในภาษาไทย วธิ ีทํา 1.ให A เปนเซตของจงั หวัดในประเทศไทยท่ลี งทา ยดว ยบรุ ี A = { สพุ รรณบุรี, ปราจนี บรุ ี, สงิ หบรุ ี,..., ลพบรุ ี } 2. ให B เปน เซตของจาํ นวนต็มลบ B = {-1,-2,-3,…} 3. ใหC เปน เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย C = {ก,ข,ค,…,ฮ} ตวั อยางท่ี 2 จงเขยี นเซตตอ ไปนแ้ี บบบอกเงื่อนไข 1. A = {2,4,6,8,10} 2. B = {1,3,5,7} วิธที ํา 1.A = {x| x เปนจาํ นวนคูบวกทนี่ อ ยกวา 12 } 2.B = {x| x เปนจาํ นวนคี่บวกทน่ี อ ยกวา 9 }

เซตวา ง คือ เซตทไ่ี มม สี มาชกิ สญั ลักษณท ่ใี ชใ นเซตวา ง คือ {} หรอื ( อา นวา ไฟ (phi)) ตัวอยางของเซตวางไดแ ก A = { x| x เปนจังหวัดในประเทศไทยที่ข้ึนตน ดว ย “ข”} เซตจาํ กดั คอื เซตซ่งึ มจี าํ นวนสมาชิกตม็ บวกหรอื ศนู ย ตัวอยางเซตจํากดั ไดแ ก A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11 B = {x| x เปน พยญั ชนะในคาํ วา “เซตวา ง” }, n( A ) = 4 C = {1,2,…,8} เซตอนันต คอื เซตทม่ี จี าํ นวนมากมาย นับไมถว น ตวั อยางเซตอนันต ไดแก A = {x| x เปน จํานวนเฉพาะทมี่ ากกวา 5 } B = {x| x 3,7,11,15,…}

C = {1,2,3,…} ขอ ตกลงเกี่ยวกบั เซต 1.เซตวา งเปนเซตจาํ กดั 2.การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ เขียนสมาชกิ แตล ะตัวเพยี งครงั้ เดยี วเทา น้ัน เชน เซตของเลขโดดทอ่ี ยใู นจาํ นวน 232 คอื {2,3} 3. เซตของจํานวนที่มกั จะกลา วถงึ เสมอและใชกนั ท่ัวไป มีดงั น้ี I เปน เซตของจาํ นวนเตม็ หรอื I = {…,-2,-1,0,1,2,...} I เปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวก หรือ I = {1,2,3,…} I เปนเซตของจาํ นวนเตม็ ลบ หรือ I = {-1,-2,-3,…} N เปนเซตของจาํ นวนนับ หรอื N = {1, 2, 3,…} P เปน เซตของจาํ นวนเฉพาะ หรือ P = { 2, 3 , 5 , 7,…} เซตที่เทา กนั เซต A = B หมายถงึ สมาชกิ ทุกตวั ของเซต A เปนสมาชกิ ของเซต A เปน สมาชิกของ เซต B เปน สมาชกิ ของเซต A เทากับเซต B เขียนแทนดว ย A = B และเซตA ไมเ ทา กบั เซต B หมายความวา มสี มาชิกอยางนอ ยหน่งึ ตวั ของเซต A ทไ่ี มใช สมาชกิ ของเซต B หรอื มีสมาชกิ อยางนอ ยของเซต B ท่ไี มใชส มาชกิ ของเซต A เขียนแทน ดวย AB

ตัวอยางท่ี 1 A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1} ดงั นน้ั เซต A เทา กันกับเซต B เขียนแทนดว ย A = B ตวั อยางท่ี 2 กําหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8} จงหาวามเี ซตใดบางท่เี ทากนั วิธที ํา A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6} จะได A=B เพราะมสี มาชิกเหมือนกนั ทกุ ตัว แต AC , BC เพราะวา 7 €A และ 7 € B 2.2เอกภพสมั พัทธ ในการเขียนเซตบอกเงื่อนไขของสมาชิกจะตองกําหนดเซตของ เอกภพสมั พทั ธ เขยี นแทน ดวย U โดยมีขอ ตกลงวา เม่ือกลา วถงึ สมาชิกของเซตจะไมก ลาวถึงสิ่งอ่ืนนอกเหนอื จาก สมาชิกในเอกภพสมั พทั ธ ตวั อยางท่ี 1 U = {x| x เปน พยัญชนะในภาษาไทย } และ {x| x เปนพยญั ชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก } จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก วธิ ีทาํ U = {ก,ข,ค,...,ฮ} ดงั น้นั A = {ก,ข,ค}

ตวั อยางท่ี 2 U = {1,2,3,…} , B {x| x เปน จํานวนนับทน่ี อ ยกวา 5 } จงเขียน B แบบแจก แจงสมาชิก วธิ ีทาํ U = {1,2,3,…} ดังน้ี B = {1,2,3,4} 2.3 สับเซตและเพาเวอรเซต เซตA เปนสบั เซตของเซต B ก็ตอ เม่อื สมาชิกทุกตวั ของ A เปนสมาชิกของ B เขียนแทน ดว ย AB เซต A ไมเ ปน สับเซตของเซต B กต็ อเมือ่ มสี มาชิกอยางนอยหนงึ่ ตัวของเซต A ทไี่ ม เปนสมาชกิ ของเซต B เขียนแทนดวย AB เชน A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9} จะไดว า A B แต B A สมบัตขิ องสับเซต 1.A A และ A 2.ถา AB และ BC แลว AC 3.ACและ BC ก็ตอ เมอ่ื A = B เพาเวอรเซต เพาเวอรเซตของเซต A คือ เซตของสับเซตทง้ั หมดของ A เขียนแทนดว ย P(A) เชน A= {2,4,6} จะไดว า เพาเวอรเ ซตของเซต A คอื ...

P(A) = { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตวาง} สมบตั ิของเพาเวอรเซต 1.P(A) และ P(A) 2.A P(A) 3.ถา A เปน เซตจาํ กัด n(A)= k n(P(A))= 2 4.A B ก็ตอเม่อื P(A) P(B) 5.P(A) P(B) = P(A B) 6.P(A) P(B) P(A B) 2.4 ยูเนยี น อินเตอรเ ซกชนั และคอมพลีเมนตข องเซต - ยเู นียน (Union) : ยูเนียนของเซต A และเซต B จะไดเ ซตใหม ซึ่งมสี มาชกิ ของ เซต A หรอื เซต B หรอื ท้งั สองเซต “ ยูเนยี นของเซตA และเซต B เขยี นแทนดวย A B ” A B = {x| x A หรอื x เปนสมาชิกของทั้งสองเซต} เชน A = {1,3,5} และ B = {3,6,9} จะได A B ={1,3,5,6,9}

- อินเตอรเซกชนั (Intersection): อนิ เตอรเ ซกชันของเซต A และเซต B จะไดเ ซตใหม ซึ่ง สมาชิกเปน สมาชิกของเซตทัง้ เซต A และเซต B “ อินเตอรเ ซกชนั ของเซตA และเซต B เขยี นแทนดวย A B ” A B = {x| x A และ x B} เชน A = {1,2,3,4,} , B = {2,4,6} และ C = {0,1} จะได A B = {2,4} A C = {1} B C = {} - คอมพลเี มนต (Complement) : คอมพลเี มนตของเซต A คอื เซต A ทีป่ ระกอบดว ย สมาชกิ ทเ่ี ปนสมาชิกของ U แตไ มใ ชส มาชิกของเซต A “คอมพลีเมนตข องเซต A เขียนแทนดว ย A ” A = {x| x € U และ x € A } เชน U ={0,1,2,3} , A ={0,2,4} และ B = {1,3} จะได A = {1,3} B = {0,2}

-ผลตา งระหวา งเซต (Difference of Sets ) : ผลตา งระหวา งเซต A และเซต B คือ สมาชิกอยูในเซต B “ผลตา งระหวา งเซต A และเซต B เขยี นแทนดวย A – B” A-B = {x| x € A และ x € B} เชน A = {0,1,2,3,4} และ B = {1,3,5, 7,9} จะได A-B = {0,2,4} B-A = {5,7,9} จํานวนของสมาชิกของเซตจํากัด จํานวนของสมาชกิ จาํ กัดของเซต A ใดๆ เขยี นแทนดวย n(A) การหาจํานวนสมาชกิ ของเซตจาํ กัด ทาํ ไดโ ดย -การนับแผนภาพของเวนน-ออยเลอร -การใชห ลกั เกณฑ ตอ ไปน้ี

แบบทดสอบกอ นเรยี น แบบทดสอบหลงั เรียน