บทที่1-สถิติทั่วไป 09121045 ตอน1

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -51 Detrended Normal P-P Plot of SIM .1 0.0 -.1Deviation from Normal -.2 0.0 .2 .4 .6 .8 1.0 Observed Cum Prob รูปภาพท่ี 1.38 Normal Probability Plot จำกรูปภำพที่ 1.37 จะพบว่ำค่ำของขอ้ มลู ส่วนใหญ่จะอยรู่ อบ ๆ เสน้ ตรง (เหนือหรือใตเ้ สน้ ตรง)ค่ำที่อยเู่ หนือเสน้ ตรงแสดงวำ่ ค่ำจริงมำกกว่ำค่ำท่ีคำดไว้ เมอ่ื ประชำกรมกี ำรแจกแจงแบบปกติ ส่วนค่ำที่อยใู่ ต้เสน้ ตรง คือ ค่ำของขอ้ มลู ท่ีนอ้ ยกวำ่ ค่ำที่คำดไวเ้ มอื่ ประชำกรมีกำรแจกแจงแบบปกติ จำกรูปที่ 1.38 จะพบว่ำขอ้ มูลส่วนใหญ่จะมคี ่ำใกลเ้ คียงกบั ค่ำขอ้ มูลที่มกี ำรแจกแจงแบบปกติ แต่จะพบว่ำค่ำจริงท่ีอยเู่ หนือและใตเ้ สน้เป็นไปอยำ่ งมีรูปแบบนนั่ คือ ชว่ งแรก (ขอ้ มูลอยใู่ นช่วง 10–30) ค่ำจริงจะอยใู่ ตเ้ สน้ ช่วงถดั มำ (ขอ้ มลู อยู่ในช่วงประมำณ 50-65) ค่ำจริงจะอยเู่ หนือเสน้ จึงสรุปว่ำขอ้ มลู มีกำรแจกแจงใกลเ้ คียงแบบปกติ นน่ั คืออำจจะเบเ้ ลก็ 11. กราฟแผนภาพการกระจาย (scattering) เป็นแผนภำพท่ีแสดงควำมสมั พนั ธข์ องขอ้ มลู สองตวั แปรวำ่ มคี วำมสมั พนั ธใ์ นระดบั ใด และสมั พนั ธก์ นั ในทำงทิศใด ดงั ตำรำงที่ 1.10ตารางท่ี 1.10 สมมติวำ่ มขี อ้ มูลชุดหน่ึงเป็นขอ้ มูลรำคำเฉล่ียของหุน้ ในแต่ละเดือน ของบริษทั ก และบริษทั ขกำรเขียนกรำฟมจี ุดมุ่งหมำยที่ตอ้ งกำรเปรียบเทียบคู่ขอ้ มูลระหว่ำงเดือนเดียวกนั เชน่ เดือน หุ้นบริษทั ก. หุ้นบริษทั ข. 1 14 13 2 12 14 3 22 14 4 15 14 5 10 15 6 12 12 7 18 15 8 25 15 9 20 15 สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -52กรำฟแบบ Scatter ซ่ึงใหแ้ กน x แทนรำคำหุน้ ของบริษทั ก และแกน y แทนรำคำหุน้ ของบริษทั ข จุดท่ีเขียนไดจ้ ึงเป็นจุดของคู่อนั ดบั ของรำคำหุน้ บริษทั ก และรำคำหุน้ ของบริษทั ข ซ่ึงทุกจดุ เป็นส่ิงที่จะเปรียบเทียบกนั ได้ ดงั รูปภาพที่ 1.39ราคาหุ้นบริษ ัท ข 15.5 15 10 12 14 16 18 20 22 24 14.5 ราคาหนุ้ บรษิ ทั ก 14 13.5 13 12.5 12 11.5 11 8กรำฟแบบ Scatter ซ่ึงใหแ้ กน x แทนจำนวนปีกำรทำงำน และแกน y แทนรำยได้ จุดท่ีเขียนไดจ้ ึงเป็นจุดของคู่อนั ดบั ของจำนวนปี กำรทำงำน และรำยได้ ซ่ึงทกุ จดุ เป็นสิ่งที่จะเปรียบเทียบกนั ได้ ดงั รูปภาพท่ี 1.40 12. กราฟ HI –LO กำรลงทุนในตลำดหลกั ทรัพย์ รำคำของหุน้ ท่ีมีกำรซ้ือขำยกนั เปลี่ยนแปลงไดต้ ลอดเวลำตำมสภำพควำมตอ้ งกำรของผูซ้ ้ือและผูข้ ำย รำคำหุ้นของแต่ละบริษทั จึงเคลื่อนไหวได้ หำกพิจำรณำตวั เลขที่ประกำศบนหน้ำหนังสือพิมพ์ มกั จะเห็นรำคำที่เวลำใดเวลำหน่ึง เช่น รำคำเมื่อเวลำปิ ดตลำด หรือที่เรำเรียกวำ่ รำคำปิ ด บำงคร้ังกบ็ อกเวลำเม่ือเวลำเปิ ดตลำด ในระหวำ่ งวนั จะมีกำรเคล่ือนไหวของรำคำซ่ึงทำใหม้ ีสาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -53รำคำสูงสุด และรำคำต่ำสุดในแต่ละวนั สมมติว่ำ เรำมีบนั ทึกรำคำหุ้นของบริษทั ก. ที่มีกำรซ้ือขำยผำ่ นตลำดหลกั ทรัพย์ กำรบนั ทึกแต่ละวนั มีกำรบอกรำคำสูงสุดและรำคำต่ำสุดในวนั น้นั ขอ้ มลู ท่ีไดเ้ ป็นดงั น้ี วนั ที่ รำคำต่ำสุด รำคำสูงสุด 1 51 62 2 55 60 3 52 55 4 55 58 5 60 63 6 62 68 7 65 70 8 70 75 9 73 80 10 71 78 HI VALUE80 LO VALUE757065605550 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Case Number รูปภาพที่ 1.41 ราคาหุ้นของบริษัท ก.กำรเขียนกรำฟในลกั ษณะกำหนดจุดสูงสุด และต่ำสุด ทำใหเ้ รำเขำ้ ใจขอบเขตของขอ้ มลู ที่มีกำรซ้ือในแต่ละวนั ไดด้ ีสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -541.12 การแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution)กำรแจกแจงควำมถ่ี (Frequency Distribution) มกั จะกระทำกนั เมอ่ื มขี อ้ มลู ที่ซ้ำกนั หรือมขี อ้ มูลเป็นจำนวนมำก โดยกำรนำขอ้ มูลท่ีเก็บรวบรวมมำได้ ซ่ึงขอ้ มูลน้ีเรำเรียกว่ำ ขอ้ มลู ดิบ(Raw data) และขอ้ มูลดิบที่มีตวั เลขแต่ละตวั น้นั เรียกว่ำ คะแนน (Score) แลว้ นำมำจดั ระเบียบเสียใหม่ เพรำะจะช่วยประหยดั เวลำและสรุปผลไดช้ ดั เจนและรัดกุมมำกข้ึน อีกท้งั เพ่อื ควำมสะดวกในกำรวเิ ครำะห์ขอ้ มูลและเหมำะสมท่ีจะนำไปใช้การแจกแจงความถี่มี 2 วธิ ี คือ1. กำรแจกแจงควำมถแี่ บบไมเ่ ป็นกล่มุ (Ungrouped Frequency Distribution)2. กำรแจกแจงควำมถแ่ี บบเป็นกล่มุ (Grouped Frequency Distribution)1.12.1 การแจกแจงความถีแ่ บบไม่เป็ นกล่มุ (Ungrouped Frequency Distribution) กำรแจกแจงควำมถี่แบบไมเ่ ป็นกลมุ่ เป็นกำรนำขอ้ มูลมำเรียงจำกนอ้ ยไปหำมำก หรือจำกมำกไปหำนอ้ ย แลว้ พจิ ำรณำวำ่ขอ้ มูลท่ีมคี ่ำซ้ำมำกนอ้ ยเพียงใด สำหรับค่ำใดที่ไม่อยใู่ นขอ้ มูลกไ็ ม่ตอ้ งบนั ทึกค่ำน้นั ส่วนค่ำที่ซ้ำกนั บนั ทึกในรูปควำมถี่ ดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี ั ย่ 1.6 จำนวนคนงำนตอ่ วนั ในโรงงำน 20 แห่ง มีดงั นี ้82 87 83 85 88 86 82 87 88 84 85 89 86 8485 86 90 85 83 89 วธิ ีกำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่แบบไมเ่ ป็นกลมุ่ มขี นั้ ตอนดงั นี ้ 1. เรียงข้ มลู ากน้ ยไปหามากหรื ากมากไปหาน้ ยกไ็ ้ ในที่น้ี ะเรียง ากมากไปหาน้ ย ก็ ะเริ่ม าก 90,89,88,..., 82 2. หาร ยคะแนน (tally) ข งข้ มูลคาหน่ึง ๆ มี านวนเทาใ โ ยขี ( / ) ในช งร ยคะแนนแลว้ นบั ร ยคะแนนน้นั เ ่ื บนั ทึกเป็นตวั เลขในช งความถี่ จำนวนคนงำนต่อ ร ยคะแนน ความถี่ วนั (tally) 90 / 1 89 // 2 88 // 2 87 // 2 86 /// 3 85 //// 4 84 // 2 83 // 2 82 // 2 รวม N=20การแ กแ งความถี่แบบไมเป็นกลมุ น้ี เหมาะกบั ข้ มลู านวนน้ ย ถา้ มขี ้ มูล านวนมาก ไมสะ วกเสียเวลามาก ควรใชก้ ารแ กแ งความถี่แบบเป็นกลมุสาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -55 1.12.2 จ จ ม ี่ บบเป็ ล่มุ (Grouped Frequency Distribution) การแ กแ งความถ่ีแบบเป็นกลมุ เป็นการ ั เรียงข้ มลู ในแตละช้นั เป็นหมวดหมู่ มขี ้ มลู หลายคาโ ย ั เป็นกลุมหรื หมู เป็นวิธีท่ีเหมำะสมสำหรับขอ้ มลู ที่มีจำนวนมำกๆ ขอ้ มูลที่ถูกจดั ระเบียบโดยวธิ ีน้ีเรียกว่ำ ขอ้ มลู ที่เป็นหมวดหมู่ (Grouped Data) แบบของกำรแจกแจงควำมถี่ของขอ้ มลู มไี ดห้ ลำยแบบดงั น้ี1.12.2.1 การแจกแจงความถี่ในรูปของตารางแจกแจงความถี่ 1. กำรแจกแจงควำมถใี่ นรูปของตำรำงแจกแจงควำมถสี่ ะสม 2. กำรแจกแจงควำมถี่ในรูปของตำรำงแจกแจงควำมถ่สี มั พทั ธ์ 3. กำรแจกแจงควำมถใ่ี นรูปของแผนภูมิหรือกรำฟซ่ึงมกี ำรสร้ำงแผนภูมิหรือกรำฟได้ หลำยแบบดงั น้ี ก. ฮิสโตแกรม(Histogram) ข. รูปหลำยเหลย่ี มแห่งควำมถี่(Frequency Polygon) ค. โคง้ ควำมถ(ี่ Frequency Curve) ง. โคง้ ควำมถ่สี ะสม (Cumulative Frequency Curve)1.12.2.2 กำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่ (Construction of Frequency Table)จะทำไดโ้ ดยแบ่งช่วงควำมกวำ้ งของขอ้ มลู ออกเป็นช่วงส้นั ๆ และแสดงจำนวนขอ้ มูลที่มคี ่ำตกในแต่ละช่วงส้นั ๆ น้นั จำนวนขอ้ มูลในแต่ละช่วงเรียกวำ่ ควำมถี่ (Frequency: f ) จำนวนช่วงส้นั ๆ ของขอ้ มลู ที่ถูกแบ่งเรียกว่ำจำนวนช้นั(Class: k ) และช่วงกวำ้ งของขอ้ มลู ในแต่ละช้นั เรียกวำ่ อนั ตรภำคช้นั (Class Interval : I)ในกำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถี่ ควรจะมจี ำนวนช้นั ไมม่ ำกหรือนอ้ ย จนเกินไป จำนวนช้นั ควรจะอยรู่ ะหว่ำง 6 ถงึ 15 ช้นั และเพอ่ื สะดวกต่อกำรวิเครำะหข์ อ้ มลู อนั ตรภำคช้นั ของแต่ละช้นั ควรจะมคี ่ำเท่ำกนั หมดทกุ ช้นั อยำ่ งไรกต็ ำมมีขอ้ มลู บำงชุดจำเป็นตอ้ งจดั ระเบียบ โดยกำรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถ่ี ในลกั ษณะที่มอี นั ตรภำคช้นั ของแต่ละช้นั ไมเ่ ท่ำกนัวธิ กี ารดาเนินสร้างตารางแจกแจงความถม่ี ขี ้ันตอนดังนี้1) หำค่ำพสิ ยั (Range) เท่ำกบั ค่ำสูงสุดของขอ้ มลู - ค่ำต่ำสุดของขอ้ มูล2) กำหนดจำนวนช้นั ของขอ้ มูลในตำรำง โดยทวั่ ไปมกั จะกำหนดให้ จำนวนช้นั เป็น 6-15 ช้นัโดยประมำณ หรือคำนวณจำกสูตร Sturges k= 1+ log10 N = 1+3.332log N log10 2เช่น N=50 เมอ่ื แทนค่ำจะไดเ้ ท่ำกบั k= 1+ log10 50 1 5.6438  6.6438  7 log10 2 3) กำหนดค่ำอนั ตรภำคช้นั (I) โดยประมำณ จำกสูตร อนั ตรภำคช้นั (I) = ค่ำพสิ ยั (Range) จำนวนช้นั (k)สาขาวชิ าสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -56ถำ้ ผลลพั ธข์ องควำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั เป็นจำนวนท่ีมที ศนิยม ตอ้ งปัดเป็นจำนวนเต็มเสมอ ถงึ แมว้ ่ำจะนอ้ ยกว่ำ 0.5 กต็ ำม เช่น 6.4 ใหป้ ัดเป็น 7 โดยประมำณเป็นตน้ แต่ถำ้ ผลลพั ธไ์ ดเ้ ป็นจำนวนเต็มใหบ้ วกดว้ ยเลข 1 เช่น คำนวณจำนวนช้นั ตำมสูตรไดเ้ ท่ำกบั 8 ใหบ้ วกเป็น94) เขียนช้นั ของขอ้ มลู โดยเริ่มจำกช้นั ของขอ้ มลู ต่ำสุดไปหำสูงสุด หรือช้นั ของขอ้ มูลสูงสุดไปหำต่ำสุดกไ็ ด้ โดยทุก ๆ ช้นั มคี วำมกวำ้ งของอนั ตรภำคช้นั เท่ำกนั5) หาขี ากั ลางข งช้นั แรก แลว้ แตความเหมาะสม โ ยที่ขี ากั ลาง (Lower Limit) คื ข้ มลูที่มคี าต่าสุ ในแตละช้นั แต ยางไรกต็ ามขี ากั ข งช้นั แรกต้ งคร บคลุมคาต่าสุ ข งข้ มูล สวนขี ากับน(Upper Limit) คื ข้ มลู ท่ีมคี าสูงสุ ในแตละช้นั ห ไ จ ขี ากั ลาง+(ความกวา้ งข ง นั ตรภาคช้นั -1) 6) พจิ ำรณำค่ำของขอ้ มลู วำ่ จะตกอยใู่ นช้นั ใดเป็นจำนวนก่ีค่ำโดยทำรอยขดี (Tally Mark) แลว้ นบัจำนวนรอยขีดซ่ึงจะเป็นควำมถ่ี(Frequency) ในช้นั น้นั ๆ ดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ีตวั อย่างที่ 1.7 ขอ้ มูลแสดงอำยกุ ำรทำงำนของอำจำรย์ คณะวิทยำศำสตร์และเทคโนโลยี ในมหำวทิ ยำลยัเทคโนโลยรี ำชมงคลธญั บุรี จำนวน 50 คน ดงั น้ี 19 24 30 14 31 12 29 26 23 23 20 25 17 22 28 12 27 19 26 25 30 15 19 19 23 22 21 27 16 26 26 28 21 17 13 17 24 21 20 20 25 21 23 24 21 18 18 15 21 16นำขอ้ มลู มำสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถ่ี โดยมีข้นั ตอน ดงั น้ี 1) หำพิสยั (Range) ไดเ้ ท่ำกบั 31-12 = 19 2) หำจำนวนช้นั จำกสูตร N=50 เม่ือแทนค่ำจะไดเ้ ท่ำกบั k= 1+ log10 50  1 5.6438  6.6438  7 ช้นั log10 2 3) หำค่ำอนั ตรภำคช้นั (I) โดยประมำณ จำกสูตร อนั ตรภำคช้นั (I) = ค่ำพิสยั (Range) จำนวนช้นั (k) = 19  2.7142  3 7 4) จดั เรียงช้นั ของตำรำงและทำรอยขีดนบั จำนวนขอ้ มูลที่มคี ่ำอยใู่ นช้นั ต่ำงๆไดต้ ำม ตำรำงท่ี 1.11ตารางที่ 1.11 ตำรำงแจกแจงควำมถ่ีของอำยกุ ำรทำงำนของอำจำรย์ คณะวทิ ยำศำสตร์และเทคโนโลยี ในมหำวิทยำลยั เทคโนโลยรี ำชมงคลธญั บุรี จำนวน 50 คนสาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -57 อำยกุ ำรทำงำน (ปี ) รอยขีด ควำมถ่ี (f) 12 – 14 //// 4 15 – 17 ///// // 7 18 – 20 ///// //// 9 21 – 23 ///// ///// // 12 24 – 26 ///// ///// 10 27 – 29 ///// 5 30 – 32 /// 3 N = 50 ความหมายของข้อความต่าง ๆ ในตารางแจกแจงความถี่ 1) ควำมถี่ (frequency) หมำยถงึ จำนวนขอ้ มูลท่ีมีค่ำอยใู่ นช้นั น้นั ๆ 2) ขีดจำกดั ช้นั (Class Limit) หมำยถงึ ตวั เลขท่ีเขียนปรำกฏไวใ้ นแต่ละช้นั เพอื่ ใหท้ รำบว่ำค่ำของขอ้ มลู แต่ละช้นั มขี อบเขตเท่ำใดตวั เลขที่มคี ่ำนอ้ ยของแต่ละช้นั เรียกว่ำขีดจำกดั ลำ่ งของช้นั (LowerClass Limit)และตวั เลขที่มคี ่ำมำกของแต่ละช้นั เรียกว่ำ ขีดจำกดั บนของช้นั (Upper Class Limit) 3) ขีดจำกดั ช้นั จริงหรือขอบเขตช้นั (Real or True Class Limit or Class Boundary) หมำยถึง ตวัเลขที่แสดงขอบเขตจำกดั ช้นั จริงในแต่ละช้นั วธิ กี ารคานวณขอบเขตล่างและบนของช้ัน โดยเอำขีดจำกดัล่ำงลบลงไป ขีดจำกดั บนบวกเพิม่ ข้ึนกบั ลกั ษณะของค่ำขอ้ มลู ดงั ตำรำงจำนวน ขอบเขตล่ำง ขอบเขตบนเต็ม - 0.5 + 0.5ทศนิยม 1 ตำแหน่ง - 0.05 + 0.05ทศนิยม 2 ตำแหน่ง - 0.005 + 0.005ทศนิยม 3 ตำแหน่ง -0.0005 + 0.0005จากตารางที่ 1.11 ตำรำงแจกแจงควำมถี่ของอำยกุ ำรทำงำนของอำจำรย์ คณะวทิ ยำศำสตร์แทคโนโลยี ในมหำวทิ ยำลยั เทคโนโลยรี ำชมงคลธญั บุรี จำนวน 50 คน หำขอบเขตลำ่ งของช้นั (Lower Class Boundary)และขอบเขตบนของช้นั (Upper Class Boundary) ไดด้ งั น้ีสาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 ขีดจำกดั บนของช้นั ขอบเขต ขอบเขต หนา้ ที่ 1 -58 อำยกุ ำรทำงำน ขดี จำกดั ล่ำงของช้นั (Upper Class Limit) ลำ่ ง บน จุดก่ึงกลำงช้นั (ปี ) (Lower Class Limit) (Mid Point)12 – 14 12 14 11.5 14.5 1315 – 17 15 17 14.5 17.5 1618 – 20 18 20 17.5 20.5 1921 – 23 21 23 20.5 23.5 2224 – 26 24 26 23.5 26.5 2527 – 29 27 29 26.5 29.5 2830 – 32 30 32 29.5 32.5 31หมายเหตุ : ขอบเขตช้นั (Class Boundary) เรียกอยำ่ งหน่ึงวำ่ ขีดจำกดั ช้นั แทจ้ ริง (Real Limit) ดงั ตำรำงขำ้ งบน4) จุดก่ึงกลำงช้นั (Mid Point) หมำยถึง ค่ำที่ใชเ้ ป็นตวั แทนของช้นั ใดช้นั หน่ึงซ่ึงหำไดจ้ ำกกำรเอำขีดจำกดั ล่ำงบวกกบั ขีดจำกดั บนแลว้ หำรดว้ ยสอง ดงั น้นั จะไดว้ ่ำ จุดก่ึงกลำงช้นั (Mid Point) = (ขีดจำกดั ช้นั ล่ำง + ขีดจำกดั ช้นั บน)/2หรือ จุดก่ึงกลำงช้นั (Mid Point) = (ขอบเขตลำ่ ง + ขอบเขตบน) / 2จำกจดุ ก่ึงกลำงช้นั (Mid Point) สำมำรถนำมำหำขีดจำกดั ที่แทจ้ ริงหรือขอบเขตช้นั (Real Limit or ClassBoundary) โดยท่ี ขดี จำกดั บนทีแ่ ทจ้ ริงหรือขอบเขตบน จุดก่งึ กลำงช้นั ควำมกวำ้ งของอตั รภำคช้นั () ขีดจำกดั ล่ำงท่ีแทจ้ ริงหรือขอบเขตลำ่ ง จุดก่งึ กลำงช้นั ควำมกวำ้ งของอตั รภำคช้นั () 5) อนั ตรภำคช้นั หมำยถึง ควำมกวำ้ งของแต่ละช้นั หำไดจ้ ำกผลต่ำงระหวำ่ งขอบเขตบนและขอบเขตล่ำงของแต่ละช้นั หรือผลต่ำงระหว่ำงจุดก่ึงกลำงระหวำ่ งช้นั ทต่ี ่อเน่ืองกนั หรือผลต่ำงระหว่ำงขีดจำกดั ล่ำงระหว่ำงช้นั ที่ต่อเน่ืองกนั หรือผลต่ำงระหวำ่ งขีดจำกดั บนระหวำ่ งช้นั ที่ต่อเนื่องกนั หรือภำยในช้นัเดียวกนั ไดด้ งั น้ี จำนวน อนั ตรภำคช้นั เตม็ (ขีดจำกดั บน-ขีดจำกดั ล่ำง)+1 ทศนิยม 1 ตำแหน่ง (ขีดจำกดั บน-ขีดจำกดั ลำ่ ง)+0.1 ทศนิยม 2 ตำแหน่ง (ขีดจำกดั บน-ขีดจำกดั ล่ำง)+0.01 ทศนิยม 3 ตำแหน่ง (ขีดจำกดั บน-ขีดจำกดั ล่ำง)+0.001สาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -591.12.3 กำรแจกแจงควำมถ่ีสมั พทั ธ์ (Relative Frequency Distribution)ควำมถี่สมั พทั ธข์ องช้นั ใด หมำยถึง สดั ส่วนระหว่ำงควำมถ่ีของช้นั น้นั กบั ควำมถ่ีท้งั หมด ถำ้เอำควำมถี่สมั พทั ธค์ ูณดว้ ย 100 จะเรียกว่ำ ร้อยละของควำมถีส่ มั พทั ธ์ โดยที่ผลบวกค่ำควำมถ่ีสมั พทั ธข์ องทุกช้นั จะมีค่ำเท่ำกบั 1 และผลบวกของร้อยละของควำมถ่สี มั พทั ธม์ ีค่ำเท่ำกบั 100 ตำรำงแจกแจงควำมถส่ี มั พทั ธ์(Relative Frequency Distribution Table) เป็นตำรำงที่จำแนกขอ้ มลู ตำมลกั ษณะต่ำงๆของขอ้ มูล ในรูปร้อยละของควำมถี่ท่ีตกอยใู่ นแต่ละระดบั ตวั แปรในตำรำงแจกแจงควำมถ่ี กำรแจกแจงควำมถี่สมั พทั ธม์ วี ตั ถุประสงค์เพ่อื เปรียบเทียบควำมถ่ีของขอ้ มูลแต่ละช้นั วำ่ มีมำกนอ้ ยเพียงใด เม่อื เทียบกบั ควำมถท่ี ้งั หมด ใชค้ วำมถแี่ ละร้อยละ เมือ่ วดั ในระดบั นำมบญั ญตั ิหรือระดบั ท่ีสูงกว่ำ แต่นำมำจดั กลมุ่ ใหอ้ ยใู่ นระดบั นำมบญั ญตั ิ กำรช้ค่ำควำมถีแ่ ละร้อยละ เรำสำมำรถแปลผลในเชิงเปรียบเทียบกนั ขำ้ มกลุม่ หรือขำ้ มตวั แปรท่ีวดั ไดเ้ พรำะมีฐำน100 เท่ำกนั นอกจำกน้นั เรำยงั สำมำรถหำควำมถ่สี มั พทั ธส์ ะสมไดท้ ำนองเดียวกบั ควำมถี่สะสม พจิ ำรณำขอ้ มลูจำกตวั อยำ่ งในตำรำงที่ 1.12 ขำ้ งล่ำง เพ่ือหำควำมถส่ี มั พทั ธไ์ ดด้ งั น้ี ตวั อยำ่ งท่ี 1.8 จำนวนและร้อยละของเคร่ืองรับวิทยกุ ระจำยเสียง จ เ ื่ ับ ยละ กรุงเท มหานคร 24,520 24.36 กลาง 5,350 5.32 เหนื ตะวนั กเฉียงเหนื 34,190 33.97 ใต้ 28,340 28.16 รวม 8,250 8.20 100650 100สาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -60 ตวั อยำ่ งที่ 1.9 ร้อยละของผไู้ มม่ งี ำนทำจำแนกตำมอำยแุ ละเพศ ดงั ตำรำงที่ 1.13 ตารางที่ 1.13 ร้อยละของผไู้ ม่มงี ำนทำจำแนกตำมอำยแุ ละเพศอายุ (ปี ) ชาย หญิง11-14 3.6 4.415-19 28.7 28.920-24 33.8 39.525-29 14.5 10.230-34 5.8 7.235-39 7.1 3.5ต้งั แต่ 40 ข้ึนไป 6.5 6.3รวม 100 100 1.12.4 การแจแจงความถี่สะสม (Cumulative Frequency Distribution) ควำมถสี่ ะสมของช้นั ใด หมำยถงึ ค่ำแสดงกำรสะสมควำมถีข่ องช้นั น้นั ๆกบั ควำมถขี่ องช้นัอื่นๆที่มีค่ำของช้นั นอ้ ยกวำ่ หรือมีค่ำของช้นั มำกกวำ่ ซ่ึงควำมถ่สี ะสมนบั ควำมถจี่ ำกช้นั ที่มคี ่ำนอ้ ยไปหำค่ำมำกหรือจำกช้นั ที่มคี ่ำมำกไปหำค่ำนอ้ ย มี 2 ประเภท ดงั นี ้1. ความถสี่ ะสมจากมากไปหาน้อย (More than cumulative frequency) โดยเร่ิมจำกช้นั ขอ้ มูลมำกท่ีสุดไปยงั ช้นั ขอ้ มูลท่ีนอ้ ยกวำ่2. ความถ่สี ะสมจากน้อยไปหามาก (Less than cumulative frequency) โดยเริ่มจำกช้นั ขอ้ มลู นอ้ ยที่สุดไปยงัช้นั ขอ้ มูลท่ีมำกกวำ่พิจำรณำขอ้ มูลจำกตวั อยำ่ ง 1.14 สำมำรถหำควำมถสี่ ะสมไดด้ งั น้ีสาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -61ตวั อย่างที่ 1.10 ค่ำใชจ้ ่ำยต่อวนั ของนกั เรียน จำนวน 50 คน ดงั น้ีค่าใช้จ่าย (บาท) จานวน (f) ความถสี่ ะสมแบบน้อยกว่า ความถีส่ ะสมแบบมากกว่า 68 – 72 2 2 50 73 – 77 2 4 48 78 – 82 2 6 46 83 – 87 4 10 44 88 – 92 5 15 40 93 – 97 7 22 35 98 – 102 4 26 28 103 –107 7 33 24 108 –112 9 42 17 113 –117 8 50 8 รวม 5 0และจำกตำรำงแจกแจงควำมถ่ี ที่มขี ีดจำจดั ลำ่ งและบน ควำมถ่ี ควำมถ่สี ะสมร้อยละควำมถส่ี มั พทั ธ์ และร้อยละสะสมสมั พทั ธ์ ดงั ตำรำงLower Upper Cumulative Cumulative RelativeClass Class Frequency FrequencyLimit Limit Frequency Frequency แบบมำกกวำ่ PerCent Cumulative แบบนอ้ ย Per Cent กวำ่25 30 1 1 32 3.12 3.12 31 12.48 15.6230 35 4 5 27 24.96 40.62 19 46.80 87.5035 40 8 13 4 9.36 96.88 1 3.12 100.0040 45 15 2845 50 3 3150 55 1 32 N=32 1001.11.5 กำรแจกแจงควำมถ่ีดว้ ยแผนภมู ิหรือกรำฟ จะทำไดด้ งั น้ี 1) ฮิสโตแกรม(Histogram) เป็นกรำฟแท่งรูปส่ีเหล่ียมวำงต่อเน่ืองกนั สำหรับนำเสนอขอ้ มลูเชิงปริมำณ และต้งั อยบู่ นแกนนอนควำมสูงของแต่ละแท่ง แทนควำมถขี่ องขอ้ มลู แต่ละช้นั ส่วนควำมกวำ้ งของแต่ละแท่งจะแทนขอบเขตของแต่ละช้นั ดูรูปภำพที่ 1.42สาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -62 2) รูปหลำยเหลีย่ มแห่งควำมถี่ (Frequency Polygon) เป็นกรำฟเสน้ ที่เกิดจำกกำรลำกเสน้ ตรงเชื่อมจุดก่ึงกลำงของฮิสโตแกรมแต่ละแท่ง ดูขอ้ มลู ตำรำงและรูปภำพที่ 1.43สาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -633) โคง้ ควำมถี่ (Frequency Curve) เป็นกรำฟท่ีเกิดจำกกำรปรับรูปหลำยเหล่ียมแห่งควำมถใ่ี หเ้ รียบโดยใหพ้ ้ืนท่ีใตเ้ สน้ กรำฟที่ปรับใหม่ มขี นำดใกลเ้ คียงกบั พ้นื ท่ีใตเ้ สน้ กรำฟของรูปหลำยเหลยี่ มแห่งควำมถี่ดูรูปภำพที่ 1.44 รูปภำพที่ 1.44 4) โค้งความถี่ (Frequency Curves) เป็นโคง้ ท่ีเกิดจำกกำรปรับเสน้ ของรูปหลำยเหลี่ยมแห่งควำมถ่ี ให้เรียบข้ึน โดยกำรปรับจะตอ้ งใหพ้ ้นื ที่ภำยใตเ้ สน้ โคง้ ท่ีปรับใหม่ มีขนำดใกลเ้ คียงกบั พ้นื ทข่ี องรูปหลำยเหล่ียมแห่งควำมถ่ี โดยแบ่งออกเป็น 6 ชนิด คือ โค้งปกติ (Normal or Symmetrical Curve) เป็นโคง้ มีลกั ษณะคลำ้ ยรูประฆงั คว่ำ จุดยอดของโคง้ แสดงถึงค่ำควำมถส่ี ูงสุดของขอ้ มลู โค้งเบ้ (Moderately Asymmetrical or Skewed Curve) มี 2 ลกั ษณะ คือ 1. โค้งเบ้ทางขวา (Positively Skewed) เป็นโคง้ ที่แสดงใหเ้ ห็นว่ำนกั ศกึ ษำส่วนใหญ่ไดค้ ะแนนนอ้ ย มีจำนวนมำก ส่วนนกั ศกึ ษำที่ไดค้ ะแนนมำก มจี ำนวนนอ้ ย ควำมถ่ี Y 00 X คะแนน โค้งเบ้ทางขวา มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ีสาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -642. โค้งเบ้ทางซ้าย (Negatively Skewed) เป็นโคง้ ท่ีมีลกั ษณะตรงกนั ขำ้ มกนั โคง้ เบท้ ำงขวำ กล่ำวคือส่วนใหญ่นกั ศกึ ษำท่ีสอบไดค้ ะแนนมำกมีจำนวนมำก นกั ศกึ ษำที่สอบไดค้ ะแนนนอ้ ยจะมจี ำนวนนอ้ ยควำมถ่ี Y0 X คะแนน โค้งเบ้ทางซ้าย ูป ั J (J-Shaped curve) เป็นโคง้ ควำมถีท่ ี่มีควำมถีต่ ่ำทำงดำ้ นคะแนนนอ้ ยและคอ่ ย ๆ เพ่ิมข้ึนเมื่อคะแนนมำก ซ่ึงถำ้ เป็นผลกำรศึกษำแสดงวำ่ มีกำรพฒั นำข้นึ ควำมถี่ Y 0 X คะแนน โค้งรูปตวั เจ ูป ั J ลบั (J-Reversed Shaped Curve) โค้งรูปถ้วย (U-Shaped Curve) เป็นกำรแจกแจงท่มี คี วำมถี่มำกที่ตำแหน่งคะแนนมำกและคะแนนนอ้ ยแต่ตรงกลำงมีควำมถ่ีนอ้ ยสาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -65 ควำมถี่ Y 0 X คะแนน โค้งสองยอด (Bimodel shaped)โคง้ ลกั ษณะน้ีจะมนี กั ศกึ ษำที่ไดค้ ะแนนมำกท่ีสุดในแต่ละช่วงแยกเป็น 2แห่ง ควำมถี่ Y0 X คะแนน โค้งสองยอด แต่ถำ้ มขี อ้ มูลสูงสุดหลำยแห่งเรียกวำ่ โคง้ หลำยยอด (Multimodal Curve) 5) โค้งความถส่ี ะสม (Cumulative Frequency หรือ Ogive Curve) เป็นโคง้ ที่แสดงควำมถ่สี ะสมของขอ้ มูลต้งั แต่ค่ำต่ำสุด ก่อนสร้ำงโคง้ ควำมถ่สี ะสม ควรสร้ำงตำรำงแจกแจงควำมถส่ี ะสมก่อน เมอื่ ไดต้ ำรำงแจกแจงควำมถ่สี ะสมแลว้ จึงเขียนกรำฟควำมถสี่ ะสมโดยใชแ้ กน Y เป็นควำมถส่ี ะสมและแกน X เป็นขีดจำกดัช้นั ที่แทจ้ ริงของขอ้ มลู แต่ละช้นั ต่อจำกน้นั จึงลำกเสน้ โยงจดุ แต่ละจุดเหล่ำน้นั ดงั รูปภำพที่ 1.45สาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -66 ควำมถีส่ ะสมแบบนอ้ ยกวำ่604020 คะแนน 15.5 21.5 27.5 33.5 39.5 45.5ควำมถีส่ ะสมแบบมำกกวำ่ คะแนน 15.5 21.5 27.5 33.5 39.5 45.5ทบทวนการคานวณทางคณติ ศาสตร์ จากข้อมูลต่อไปนี้จงคำนวณวธิ ีทาสาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -671.13 การวดั แนวโน้มเข้าสู่จดุ ศูนย์กลาง (Measures of Central Tendency)ในกรณีที่ตอ้ งกำรค่ำท่ีเป็นตวั แทนของขอ้ มูลชุดหน่ึง เรำมกั จะเลอื กเอำตวั แทนที่มคี ่ำใกลเ้ คียงกบั ค่ำส่วนมำกของขอ้ มลู ซ่ึงเรียกว่ำเป็นค่ำกลำงของขอ้ มลู ส่วนระเบียบวธิ ีวดั ค่ำกลำงของขอ้ มูลมชี ่ือวำ่ กำรวดัแนวโนม้ เขำ้ สู่จุดศูนยก์ ลำง มที ้งั หมด 5 ค่ำ จะกล่ำวถงึ ค่ำวดั ท่ีสำคญั 3 ค่ำ ดงั น้ี1. ค่ำเฉลยี่ เลขคณิต (Arithmetic Mean) หรือค่ำมชั ฌิมเลขคณิต2. มธั ยฐำน (Median)3. ฐำนนิยม (Mode)4. ตวั กลำงฮำโมนิค(Harmonic Mean)5. ตวั กลำงเรขำคณิต (Geometric) 1.13.1 ตวั กลางฮาโมนคิ (Harmonic Mean) มชั ฌิมฮำร์โมนิคมกั พบใชเ้ สมอ ๆ ในกำรคำนวณกล่มุตวั อยำ่ งโดยเฉลี่ยในกรณีที่กลุ่มตวั อยำ่ งแต่ละกลุ่มมจี ำนวนไม่เท่ำกนั นอกจำกน้ียงั ใชใ้ นกำรคำนวณหำควำมเร็วเฉลยี่ เมอ่ื ระยะทำงในกำรเปลี่ยนควำมเร็วมชี ่วงเท่ำ ๆ กนั ถำ้ X1, X2, X3, ... , XN เป็นตวั เลขชุดหน่ึงที่มี N จำนวนแลว้ สูตรในกำรคำนวณหำมชั ฌิมฮำร์โมนิคของขอ้ มลู ชุดน้ีคือมีกลมุ่ ตวั อยำ่ ง 3 กลุ่ม กลุ่มที่ 1 มี 52 คน กลมุ่ ท่ี 2 มี 60 คน และกลมุ่ ท่ี 3 มี 48 คน คำนวณหำจำนวนคนในกลุ่มตวั อยำ่ งโดยเฉลยี่ ไดด้ งั น้ีจำนวนคนในกลมุ่ ตวั อยำ่ งโดยเฉลี่ยคือ 53 คน 1.13.2 ตวั กลางเรขาคณติ (Geometric Mean) มชั ฌิมเรขำคณิตหรือตวั กลำงเรขำคณิต (GeometricMean) ใชต้ วั ยอ่ วำ่ GM หรือ G หรือG.M. เป็นรำกที่ N ของผลคูณของคะแนนทุกตวั ท่ีอยใู่ นกลมุ่ มีสูตรในกำรคำนวณดงั น้ีสาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -68เมื่อ GM = มชั ฌิมเรขำคณิต X1, X2, X3, XN = คะแนนแต่ละตวั N = จำนวนคะแนนดงั ตวั อยำ่ ง มขี อ้ มูลอยู่ 3 ตวั มีค่ำ 2, 8 และ 12 สำมำรถหำค่ำมชั ฌิมเรขำคณิตไดด้ งั น้ีดงั น้นั มชั ฌิมเรขำคณิตมีค่ำเท่ำกบั 5.77 1.13.3 ค่าเฉลย่ี เลขคณติ (Arithmetic Mean) เป็นค่ำกลำงของขอ้ มูลที่นิยมใชม้ ำกที่สุดคำนวณ ไดจ้ ำกกำรนำเอำค่ำขอ้ มูลท้งั หมดท่ีรวบรวมมำรวมกนั แลว้ หำรดว้ ยจำนวนขอ้ มลู ท้งั หมด ใชส้ ำหรับกำรหำค่ำกลำงของขอ้ มลู แบบต่อเน่ืองที่มกี ำรวดั ในระดบั อนั ตรภำคข้ึนไป มวี ิธีกำรคำนวณ 4 วิธีคือ ก. การคานวณหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ สาหรับข้อมูลท่ีไม่แจกแจงความถ่ีให้ X1, X2, X3, . . . XN เป็นค่ำสงั เกตตวั ที่ 1 ตวั ที่ 2 ตวั ท่ี 3 ถงึ ตวั ท่ี N ของขอ้ มลู ชุดหน่ึงให้  เป็นสญั ลกั ษณ์แทนค่ำเฉลี่ยเลขคณิต สูตร N ,  Xi  X1  X2  X3  ... XN i1 ∑ ผลรวมของขอ้ มลู , X = ค่ำขอ้ มูลแต่ละตวั , N = จำนวนขอ้ มลู ท้งั หมดตวั อย่างท่ี 1.11 เด็ก 10 คนมีน้ำหนกั ตวั เป็นกิโลกรัม ดงั น้ี 4, 3, 3, 5, 6, 5, 7, 5, 7 และ 8 จงคำนวณหำค่ำเฉล่ียเลขคณิตของน้ำหนกั ตวั ของเดก็ กลมุ่ น้ีวิธีทา N Xi   i1 N  4335657578 10  53 10  5.3นน่ั คือน้ำหนกั ตวั เฉลี่ยของเดก็ กลมุ่ น้ีเท่ำกบั 5.3 กิโลกรัม ั ย่ ่ี 1.12 สมมตุ ิวามขี ้ มลู เก่ียวกบั ความเร็วในการประมวลผลโปรแกรมเป็นวนิ าที านวน 25 ข้ มลู งั น้ี 10, 10, 12, 12, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 17, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 22, 22, 24 และ 25 งหาคาเฉลี่ยความเร็วในการประมวลผลโปรแกรมสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -69 ธี ∑ fX 20หรื ข้นั แรกนาข้ มูลท้งั หม มาแ กแ งความถี่ 24 Xf 32 10 2 60 12 2 17 14 3 36 15 4 57 17 1 80 18 2 44 19 3 24 20 4 25 22 2 24 1 ∑ 25 1 รวม ∑แทนคาในสูตร ∑ผลลั ธก์ ารวิเคราะห์ ากโปรแกรม Excel for WindowsColumn1 17.16Mean 0.819918695Standard Error 18Median 15Mode 4.099593476Standard Deviation 16.80666667Sample Variance -0.682483777Kurtosis -0.002442085Skewness 15Range 10Minimum 25Maximum 429Sum 25Count 25Largest(1) 10Smallest(1) 1.692229016Confidence Level(95.0%)สาขาวชิ าสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -70 ข. การคานวณค่าเฉลยี่ เลขคณติ สาหรับข้อมลู แจกแจงความถี่ kสูตร fi X i   i1 Nเมื่อ fi คือ ควำมถี่ช้นั ท่ี i ของตำรำงแจกแจงควำมถ่ี Xi คือ ค่ำก่ึงกลำงช้นั ท่ี i ของตำรำงแจกแจงควำมถ่ี k คือ จำนวนช้นั ของตำรำงแจกแจงควำมถี่ N คือ ขนำดของขอ้ มูลตวั อย่างที่ 1.13 อำยุกำรเข้ำรับรำชกำรของอำจำรย์คณะวิทยำศำสตร์และเทคโนโลยี ในมหำวิทยำลยัเทคโนโลยีรำชมงคลธญั บุรี (หน่วยเป็ นปี นับถึงปี พ. ศ. 2549) จงหำค่ำเฉล่ียเลขคณิตของอำยุกำรเขำ้ รับรำชกำรของอำจำรยก์ ลุ่มน้ีอายุ จานวน (fi) ค่ากงึ่ กลาง (Xi) fiXi12 – 14 4 13 5215 - 17 7 16 11218 - 20 9 19 17121 - 23 12 22 26424 - 26 10 25 25027 - 29 5 28 14030 – 32 3 31 93 รวม N = 50 7 fi xi = 1082วธิ ที า  i 1ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของอำยกุ ำรเขำ้ รับรำชกำรของอำจำรยก์ ลมุ่ น้ี คือ k  fi X i   i1 Nนนั่ คือ อำจำรยค์ ณะวิทยำศำสตร์และเทคโนโลยี ในมหำวทิ ยำลยั เทคโนโลยรี ำชมงคลธญั บุรี มอี ำยรุ ับรำชกำรโดยเฉลยี่ เท่ำกบั 21.64 ปี แต่ถำ้ คำนวณจำกขอ้ มลู แทจ้ ริงท้งั หมด ไดผ้ ลลพั ธข์ องค่ำตำ่ งๆ ดงั ขำ้ งลำ่ งสาขาวชิ าสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -71 Descriptive Statistics N Range Minimum Maximum Sum Mean Std. Deviation Varianceายกุ ารรับราชการ 50 19.00 12.00 31.00 1079.00 21.5800 4.85332 23.555Valid N 50(listwise)ะเหน็ วาผลรวมข งข้ มูลท้งั หม และคาเฉลยี่ ไมเทากนั โ ยการคานวณ ากข้ มูลในตาราง ไ ผ้ ลรวมข้ มลู เทากบั1082 คาเฉลีย่ เทากบั 21.64 แตคำนวณจำกขอ้ มลู แทจ้ ริงท้งั หมดไ ผ้ ลรวมข้ มลู เทากบั 1079 คาเฉลีย่ เทากบั 21.58 ะเหน็ วา แตกตางกนั 0.06ตวั อย่างท่ี 1.14 ตำรำงแสดงจำนวนบุหรี่(มวน) ท่ีผปู้ ่ วยโรคมะเร็งปอดกลุม่ หน่ึงสูบในแต่ละวนั เป็นดงั น้ี คะแนน จานวน 1-8 1 9-16 2 17-24 3 25-32 3 33-40 1จำกขอ้ มูลในตำรำงแจกแจงควำมถ่ี ผปู้ ่ วยกลุ่มน้ีสูบบุหรี่เฉล่ียวนั ละกี่มวนวธิ ที า คาเฉลีย่ เลขคณิตคื สาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -72ค. ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ถ่วงนา้ หนกั (Weighted Arithematic Mean : Xw ) กำหนดให้ W1,W2,W3,..., Wk เป็นควำมสำคญั หรือน้ำหนกั ถว่ งของค่ำขอ้ มลู 1, X2, X3,..., Xk เป็ นค่ำขอ้ มูล ∴คาเฉล่ียเลขคณิตถวงน้าหนกั   W1 X 1  W2 X 2  W3 X 3  ...  Wk X k W1  W2  W3  ...  Wk k Wi X i = i1 k Wi i 1ตวั อย่างที่ 1.15 ผลกำรเรียนของนกั ศึกษำคนหน่ึงเป็นดงั น้ี วชิ า คณติ ศาสตร์ ภาษาไทย สังคม พละศึกษา จำนวนหน่วยกิต 3 3 3 1 เกรด 3.5 4 2.5 3เกรดเฉลย่ี ของนกั ศกึ ษำคนน้ีเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ีวธิ ีทาตวั อย่างที่ 1.16 ในภำคเรียนหน่ึงนกั เรียนคนหน่ึงลงทะเบียนเรียนวชิ ำภำษำไทย ภำษำองั กฤษคณิตศำสตร์ วิทยำศำสตร์ และสงั คมศำสตร์ ซ่ึงมเี วลำเรียนและทำคะแนนในแต่ละวิชำดงั น้ี วิชำ ภำษำไทย ภำษำองั กฤษ คณิตศำสตร์ วทิ ยำศำสตร์ สงั คมศำสตร์ชวั่ โมงเรียนต่อสปั ดำห์ 4 3 25 8คะแนนทส่ี อบได้ 3 4 42 1วธิ ที า ค่ำของขอ้ มูลมี 5 ค่ำ คือ 1  3,  2  4, 3  4,  4  2 5  1และควำมสำคญั ของคะแนนสอบแต่ละวิชำคือ W1  4, W2  3, W3  2, W4  5 W5  8จำกสูตร kค่ำเฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนสอบ Wi X i   i1 k Wi i 1   W1 X 1  W2 X 2  W3 X 3  W4 X 4  W5 X 5 W1  W2  W3  W4  W5  4(3)  3(4)  2(4)  5(2)  8(1) 43258 = 2.27 คะแนน นนั่ คือ คะแนนเฉล่ียของคะแนนสอบของนกั เรียนคนน้ีเท่ำกบั 2.27 คะแนน สาขาวชิ าสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -73ง. ค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวม (Combined Arithematics Mean : XC )ถำ้ 1, 2 , 3 ,...,k เป็นค่ำเฉลีย่ เลขคณิตของขอ้ มลู ชุดท่ี 1,2,3,…, k ตำมลำดบัโดยมี N1, N2,..., Nk เป็นจำนวนค่ำขอ้ มูลของขอ้ มลู ชุดท่ี 1,2,3,…, k ตำมลำดบัคาเฉลี่ยเลขคณิตรวม คื xc  N11  N22  ...  Nkk N1  N2  ...  NK k  Nii  i1 k  Ni i1ตวั อย่างที่ 1.15 จำกรำยไดข้ องคนกลมุ่ หน่ึง พบว่ำเป็นแมค่ ำ้ 35 คนมรี ำยไดเ้ ฉล่ีย 3,200 บำทต่อเดือน เป็นกรรมกรช่ำงไม้ 25 คนมีรำยไดเ้ ฉลีย่ 3,500 บำทต่อเดือน และเป็นกรรมกรช่ำงปูน 40 คน มีรำยไดเ้ ฉลีย่3,700 บำทต่อเดือน จงหำรำยไดเ้ ฉลยี่ รวมกนั ท้งั หมดของคนกลุม่ น้ีวธิ ที า ในที่น้ี N1  35 และ 1  3,200 N 2  25 และ 2  3,500 N 3  40 และ 3  3,700ดงั น้นั ค่ำเฉลย่ี เลขคณิตรวม( xc ) หรือ   N11  N 22  N33 N1  N2  N3  35(3200)  25(3500)  40(3700) 35  25  40  3, 475 นนั่ คือรำยไดเ้ ฉลีย่ ของคนกลุ่มน้ีท้งั หมดเท่ำกบั 3,475 บำทต่อเดือนตวั อย่างท่ี 1.16 นกั เรียนหอ้ งหน่ึงมี 50 คนเป็นนกั เรียนชำย 20 คน และนกั เรียนหญิง 30 คน ถำ้ ส่วนสูงเฉลี่ยของนกั เรียนชำยเท่ำกบั 165 เซนติเมตรและส่วนสูงเฉล่ียของนกั เรียนหญิงเท่ำกบั 160 เซนติเมตร แลว้ส่วนสูงเฉลย่ี ของนกั เรียนหอ้ งน้ีเท่ำกบั เท่ำใดวธิ ีทาให้ x1, x2, , x20 คื สวนสูงข งนกั เรียนชาย และคื12 30 y , y , , y สวนสูงข งนกั เรียนหญิงเนื่ ง ากสวนสูงเฉลีย่ ข งนกั เรียนชายเทากบั 165 เซนติเมตรงั น้นั นนั่ คื สาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -74เนื่ ง ากสวนสูงเฉล่ียข งนกั เรียนหญิงเทากบั 160 เซนติเมตร งั น้นั นน่ั คืทาใหไ้ ว้ า สวนสูงเฉลี่ยข งนกั เรียนห้ งน้ี เซนติเมตรคุณสมบตั ทิ ่สี าคญั ของค่าเฉลยี่ เลขคณติ(1) ค่ำเฉล่ยี เลขคณิตเกิดจำกค่ำขอ้ มลู ทุกค่ำที่อยใู่ นกล่มุ หำกคะแนนของค่ำใดค่ำหน่ึงเปลี่ยนแปลงไป ก็ยอ่ มมี ผลทำใหค้ ่ำเฉลี่ยเลขคณิตมคี ่ำเปล่ียนแปลงไปดว้ ย(2) N  Xi  N i 1(3) ผลรวมของค่ำเบ่ียงเบนจำกค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของทกุ จานวนจะมคี ่าเท่ากบั 0 N (Xi  )  0 i 1พสิ ูจน์ดงั เช่น ค่ำขอ้ มลู 4, 6, 8,10, 12 มคี ่ำเฉลย่ี เลขคณิตเท่ำกบั 8 เม่ือนำไปหำค่ำเบ่ียงเบนจำกค่ำเฉลย่ี เลขคณิต ได้ดงั น้ี ค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลย่ี เลขคณติ ผลลพั ธ์ 4-8 -4 6-8 -2 8-8 0 10-8 2 12-8 4 ผลรวม 0(4) N จะมคี ่ำนอ้ ยท่ีสุดเมอ่ื A =   ( X i  A) 2 i 1 สาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -75พสิ ูจน์(5) Xmin <  < Xmaxเมอ่ื Xmin คือค่ำนอ้ ยท่ีสุดในขอ้ มลู Xmax คือค่ำมำกที่สุดในขอ้ มลู(6) ถำ้ ขอ้ มูลชุด X สมั พนั ธก์ บั ขอ้ มลู ชุด Y ในรูปฟังกช์ นั เสน้ ตรง นน่ั คือ Yi  aXi  b,i  1, 2, 3,..., N และ a , b เป็ นค่ำคงที่ แลว้ y จะสมั พนั ธก์ บั x ดงั น้ี y  ax  b เมอื่ y คือค่ำเฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มลู ชุด Y x คือค่ำเฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มูลชุด Xตวั อย่างท่ี 1.16 ให้ X แทนรำคำซ้ือ และ Y แทนรำคำขำยสินคำ้ อยำ่ งหน่ึงรำคำขำยกบั รำคำซ้ือมีควำมสมั พนั ธเ์ ป็น i  4 Xi  20 ถำ้ ค่ำเฉลยี่ ของรำคำซ้ือเป็น 30 บำท อยำกทรำบวำ่ ค่ำเฉลย่ี ของรำคำขำยเป็ นเท่ำใด 5วธิ ีทา จำกฟังกช์ นั ควำมสมั พนั ธร์ ะหวำ่ งรำคำขำยกบั รำคำซ้ือเป็น i  4 X i  20 5จะไดว้ ำ่กำหนดให้  x  30จำกคณุ สมบตั ิ y  ax  bดงั น้นั y  4 (30)  20 5 = 44แสดงว่ำค่ำเฉลย่ี ของรำคำขำยสินคำ้ ชนิดน้ีเท่ำกบั 44 บำท หมายเหต:ุ1. ถำ้ นำค่ำคงที่ไปกระทำบวกหรือลบกบั คะแนนทกุ ตวั ที่อยใู่ นกลุ่ม ค่ำเฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มลู จะเท่ำกบัผลบวกหรือลบของค่ำเฉลย่ี เลขคณิตค่ำเดิมบวกกบั ค่ำคงท่ีค่ำน้นั ๆ เช่น ค่ำขอ้ มลู เดิม 4,6,8,10,12 ซ่ึงค่ำเฉล่ียเลขคณิตเดิมมคี ่ำเท่ำกบั 8 ถำ้ นำค่ำคงที่ เช่น เลข 4 มำบวกหรือลบ ทุกตวั ค่ำเฉลย่ี เลขคณิตใหม่จะมคี ่ำเท่ำกบั8+4 = 12 (หรือ 8-4= 4) ดงั คุณสมบตั ิ ขำ้ งลำ่ งน้ีสาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -762. กำรใชค้ ่ำเฉลยี่ เลขคณิตอำจเกิดควำมคลำดเคล่ือนได้ ถำ้ หำกขอ้ มลู ท่ีมีค่ำผดิ ปกติไปจำกกลุ่มหรือเรียกว่ำExtreme Value ซ่ึงถห่ ำกขอ้ มลู มีค่ำผดิ ปกติ กำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำงท่ีเหมำะสมจะกลำยเป็นค่ำมธั ยฐำน(Median)หรือฐำนนิยม(Mode) จึงไดม้ กี ำรแกป้ ัญหำน้ีโดยวิธีใหม่เรียกวำ่ Trimmed Means โดยกำรเรียงขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปมำก แลว้ ตดั ทิ้งขอ้ มลู ท่ีนอ้ ยท่ีสุดและมำกท่ีสุดออก จำกน้นั คำนวณหำค่ำเฉลย่ี ซ่ึงจำนวนของขอ้ มลูท่ีจะถูกลบออกน้นั จะมีประมำณ 5%-20% ของขอ้ มลู ท้งั หมด ดงั ตวั อยำ่ งขำ้ งลำ่ งน้ีตวั อยำ่ งที่ 1.17 คะแนนสอบวชิ ำสถติ ิทว่ั ไปของนกั ศกึ ษำกลุ่มหน่ึงจำนวน 20 คน คะแนนเตม็ 50 ผลกำรสอบมคี ะแนนค่อนขำ้ งปกติ ดงั น้ี 2, 48, 16, 17, 50, 4, 37, 35, 28, 30, 29, 29, 45, 32, 34, 41, 25, 27, 37 และ 35กำรคำนวณหำ Trimmed Meansวธิ ีทำ ในข้นั แรกจะตอ้ งเรียงคะแนนจำกนอ้ ยไปมำก ดงั น้ี 2, 4, 16, 17, 25, 27, 28, 29, 29, 30, 32, 34, 35, 35, 37, 37, 41, 45, 48, 50ข้นั ต่อไป จะตอ้ งตดั ท้ิงคะแนนที่มคี ่ำนอ้ ยท่ีสุดและมำกที่สุดออกอยำ่ งละ 20 % ซ่ึงเท่ำกบั 4 จำนวน กำรตดั สินใจวำ่ จะตดั ขอ้ มลู ออกกี่เปอร์เซ็นตน์ ้นั ข้ึนอยกู่ บั ค่ำท่ผี ดิ ปกติไปจำกกลมุ่ ที่มจี ำนวนมำกนอ้ ยเพยี งใด ตดั ทิ้งคะแนนท่ีมีค่ำนอ้ ยท่ีสุดจำนวน 4 ค่ำ ก็ คือ 2, 4, 16, 17 และคะแนนท่ีมคี ่ำมำกที่สุดจำนวน 4 ค่ำกค็ ือ 41, 45, 48, 50 คงเหลอื ขอ้ มูลเพียง 12 จำนวน กค็ ือ 25, 27, 28, 29, 29, 30, 32, 34, 35, 35, 37, 37 หลงั จำกน้นั นำไปคำนวณหำค่ำเฉล่ียเลขคณิต ไดเ้ ท่ำกบั 20% Trimmed Mean =( 25+ 27+ 28+ 29+ 29+ 30+ 32+ 34+ 35+ 35+ 37+ 37)/12=31.5 1.13.2 มธั ยฐาน(Median) หมำยถงึ ขอ้ มลู ท่ีอยตู่ รงก่ึงกลำงของขอ้ มูลท้งั หมด เมือ่ จดั เรียงลำดบั ของขอ้ มลู จำกค่ำนอ้ ยไปค่ำมำกหรือจำกค่ำมำกไปค่ำนอ้ ย แบ่งพ้นื ที่กำรแจกแจงอกเป็น 2 ขำ้ ง ขำ้ งละ 50% โดยค่ำมธั ยฐำนสำมำรถบอกไดว้ ่ำจำนวนขอ้ มลู ที่มำกกว่ำและนอ้ ยกวำ่ ค่ำมธั ยฐำนจะมจี ำนวนเท่ำกนั กำรหำค่ำมธั ยฐำนมีอยู่ 2 วธิ ี ก. การหาค่ามธั ยฐานสาหรับข้อมูลท่ไี ม่แจกแจงความถ่ี มขี ้ันตอนดงั นี้ 1. เรียงลำดบั ค่ำขอ้ มลู จำกนอ้ ยไปหำมำกหรือจำกมำกไปหำนอ้ ย 2. ถำ้ ขอ้ มลู มีจำนวนเป็นเลขคี่ ค่ำมธั ยฐำนคือค่ำของขอ้ มลู ท่ีอยตู่ รงตำแหน่ง (N 1) พอดี 2สาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -773. ถำ้ ขอ้ มลู มจี ำนวนเป็นเลขคู่ ค่ำมธั ยฐำนจะอยรู่ ะหว่ำงขอ้ มลู สองค่ำกลำงท่ีอยตู่ รง ตำแหน่ง N และ N 1 ซ่ึงค่ำมธั ยฐำนหำไดจ้ ำกกำรเอำขอ้ มูลสองค่ำน้นั บวกกนั แลว้ 22 หำรดว้ ย 2ตวั อย่างท่ี 1.18 ส่วนสูง (เซนติเมตร) ของพนกั งำนกลมุ่ หน่ึง เป็นดงั น้ี 151 149 165 168 154แลว้ มธั ยฐำนของส่วนสูงของพนกั งำนกล่มุ น้ีเท่ำกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีวธิ ีทา 1. นาข้ มูลมาเรียง ากน้ ยไปมากไ ้ งั น้ี149 151 154 165 1682. ตาแหนงข งมธั ย าน คื3. ค่ำมธั ยฐำนคือ 154นนั่ คือ ค่ำมธั ยฐำนควำมสูงของพนกั งำนกล่มุ น้ีเท่ำกบั 154 เซนติเมตรตวั อย่างท่ี 1.19 น้ำหนกั ทำรกแรกเกิด (กรัม) ณ โรงพยำบำลแห่งหน่ึง เป็นดงั น้ี 3,220 2,950 2,760 2,840แลว้ มธั ยฐำนของน้ำหนกั ของทำรกแรกเกิดกลุ่มน้ีมคี ่ำเท่ำใดวธิ ีทา 1. นาข้ มลู มาเรียง ากน้ ยไปมากไ ้ งั น้ี 2,760 2,840 2,950 3,220 2. ตาแหนงข งมธั ย าน คื 3. ค่ำมธั ยฐำนคือ นนั่ คือ มธั ยฐำนของน้ำหนกั ของทำรกแรกเกิดกลุ่มน้ีมีค่ำเท่ำกบั 2895 กรัมตวั อย่างท่ี 1.19 ขอ้ มูลแสดงคะแนนสอบวชิ ำสถติ ิ 1 สำหรับวทิ ยำศำสตร์ของนกั ศกึ ษำ 10 คน คือ 68, 60,50, 42, 70,80, 35, 63, 71 และ 64 จงหำค่ำมธั ยฐำนของคะแนนนกั ศึกษำวธิ ที า 1. เรียงลำดบั ค่ำของขอ้ มลู จำกค่ำนอ้ ยไปหำค่ำมำกได้ 35, 42, 50, 60, 63, 64, 68, 70, 71, 80 2. หำตำแหน่งมธั ยฐำนตกอยู่  10 1  5.5 โดยอยรู่ ะหว่ำงตำแหน่ง 5 กบั 6 2 3. ค่ำมธั ยฐำนคือ  63 64  63.5 2นนั่ คือ ค่ำมธั ยฐำนของคะแนนสอบวิชำสถิติ1 สำหรับวิทยำศำสตร์ของนกั ศกึ ษำ 10 คน คือ 63.5 คะแนนสาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -78 ข. การหาค่ามธั ยฐานสาหรับข้อมูลทีแ่ จกแจงความถี่ มขี ้ันตอนดงั นี้ 1. เรียงค่ำขอ้ มูลในตำรำงแจกแจงควำมถี่ โดยจำกนอ้ ยไปมำกหรือมำกไปนอ้ ยกไ็ ด้ N2. หำตำแหน่งมธั ยฐำนตกอยู่ จำกสูตร ตำแหน่งมธั ยฐำน คือ ตำแหน่งที่ 23. หำค่ำมธั ยฐำนใชส้ ูตร มธั ยฐำน =  N F  L  I 2   f เมอ่ื L คือ ขอบเขตลำ่ งของคะแนนในช้นั ที่มมี ธั ยฐำนตกอยู่I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ที่มีมธั ยฐำนตกอยู่N คือ จำนวนขอ้ มลู ท้งั หมดF คือ ควำมถ่ีสะสมของช้นั ก่อนช้นั ที่มมี ธั ยฐำนตกอยู่f คือ ควำมถข่ี องช้นั ที่มมี ธั ยฐำนตกอยู่หมายเหต:ุ ถำ้ ตำแหน่งท่ีค่ำมธั ยฐำนตกอยู่ ตกในช้นั ใดลงตวั ใหอ้ ่ำนค่ำขอบเขตบนช้นั น้นั เป็นค่ำมธั ยฐำนได้เลย แต่ถำ้ ตำแหน่งที่ค่ำมธั ยฐำนตกอยรู่ ะหว่ำงสองช้นั ใหค้ ่ำมธั ยฐำนตกในช้นั ท่ีมตี ำแหน่งที่สูงกวำ่ ที่คำนวณได้ตวั อย่างท่ี 1.20 ขอ้ มูลแสดงปริมำณกำแฟ (แกว้ ) ที่พนกั งำนบริษทั แห่งหน่ึงบริโภคใน 1 สปั ดำห์แลว้ มธั ยฐำนของขอ้ มลู ชุดน้ีเท่ำกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ีวธิ ที าตาแหนงข งมธั ย าน คื งั น้นั มธั ย าน คื ข้ มูลตวั ที่ 10 ซ่ึง ยใู น นั ตรภาคช้นั 11-15 ากน้นั หาคาข งมธั ย านโ ยการเทียบบญั ญตั ิไตรยางศห์ รื เทียบสั สวน ะไ ว้ าสาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -79ตาแหนงตางกนั 10 ตาแหนง ข้ มูลตางกนั 15.5 10.5 5ตาแหนงตางกนั 3 ตาแหนง ข้ มลู ตางกนั งั น้นั มธั ย าน 10.5 1.5 12ตวั อย่างท่ี 1.20 ตำรำงแสดงจำนวนเงนิ (บำท) ที่นกั เรียนไดร้ ับจำกผปู้ กครองในแต่ละวนั เป็นดงั น้ีค่ำใชจ้ ่ำย (บำท) จำนวน (f) ควำมถ่ีสะสม (F)28 – 32 2 233 – 37 2 438 – 42 2 643 – 47 4 1048 – 52 5 1553 – 57 7 2258 – 62 4 26  ช้นั ทมี่ ีมธั ยฐำน63 – 67 7 3368 – 72 9 4273 – 77 8 50 N = 50แลว้ ค่ำมธั ยฐำนของจำนวนเงินทนี่ กั เรียนกลุม่ น้ีไดร้ ับในแต่ละวนั เท่ำกบั เท่ำใดวธิ ีทา 1. หำตำแหน่งมธั ยฐำน = N  50  25 22 ดงั น้นั มธั ยฐำนมตี ำแหน่งตรงกบั ขอ้ มูลตำแหน่งที่ 25 ซ่ึงอยใู่ นช้นั 7 ของตำรำงแจกแจงควำมถี่2. จำกสูตร มธั ยฐำน =  N  F  L  I 2   f จำกตำรำงแจกแจงควำมถี่ L = 57.5 , I = 5 , F = 22 , f = 4ค่ำมธั ยฐำน =  50  22  57.5  5 2   4  = 57.5 + 3.75 = 61.25 บำทดงั น้นั ค่ำมธั ยฐำนของค่ำใชจ้ ่ำยต่อวนั ของนกั ศกึ ษำกลุ่มน้ีมคี ่ำเท่ำกบั 61.25 บำทสาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -80คุณสมบตั ขิ องค่ามธั ยฐาน มดี งั นี้1. ค่ำมธั ยฐำนจะไมข่ ้ึนกบั ขอ้ มลู ไมว่ ่ำจะมำกหรือค่ำนอ้ ยเท่ำใด เนื่องจำกเป็นจุดที่แบ่งคะแนนท้งั สองส่วนออกเท่ำๆกนั เช่น ขอ้ มูล 2 ชุดน้ี จะมคี ่ำมธั ยฐำนเท่ำกนั คือ 10 ท้งั ๆท่ีมีขอ้ มูลจำนวนและค่ำแตกต่ำงกนัชุด A : 2 3 9 10 14 16 25ชุด B : 3 4 8 9 10 16 22 25 1002. ค่ำมธั ยฐำนไมไ่ ดร้ ับอทิ ธิพลใดๆ จำกค่ำของคะแนนท่ีผดิ ปกติ เชน่ ขอ้ มลู ชุด B มคี ่ำสุดทำ้ ยเป็น 100ในขณะท่ีค่ำมธั ยฐำนมคี ่ำเท่ำกบั 10 เช่นเดิม3. ถำ้ นำค่ำคงท่ีไปกระทำทำงคณิตศำสตร์ของคะแนนแต่ละตวั จะทำใหไ้ ด้ค่ามธั ยฐานใหม่ท่ีเท่ำกบั กำรนำค่ำคงที่ไปบวก ลบ คูณหรือหำรกบั ค่ามธั ยฐานเดิม4. ในกำรวจิ ยั ค่ำมธั ยฐำนเหมำะสำหรับขอ้ มลู ท่ีมคี วำมผดิ ปกติมำกๆ หรือขอ้ มูลที่มกี ำรแจกแจงแบบมี ควำมเบม้ ำกๆ เช่น ขอ้ มูลกลมุ่ หน่ึงมีควำมแตกต่ำงกนั มำกๆ 30, 50, 65, 90, 120, 125, 1500 ถำ้ หำ ค่ำเฉล่ยี จะพบว่ำขอ้ มูล 1500 จะมีผลต่อขอ้ มลู อื่น ทำใหค้ ่ำเฉลย่ี ผดิ ปกติจำกควำมเป็นจริง ซ่ึงมคี ่ำ เท่ำกบั (30+50+65+90+120+125+1500)/7=282.85 ในกรณีน้ีถำ้ อธิบำยดว้ ยค่ำมธั ยฐำนซ่ึงมีค่ำเท่ำกบั 90 จะเป็นตวั แทนของขอ้ มูลท่ีแทจ้ ริงมำกกวำ่ ค่ำเฉลยี่ 1.13.3 ฐานนยิ ม(Mode) คือ ค่ำของขอ้ มูลที่มจี ำนวนมำกที่สุดหรือเกิดข้ึนมำกคร้ังที่สุดหรือควำมถี่สูงสุดน้นั เอง ก. การหาค่าฐานนยิ มสาหรับข้อมลู ทีไ่ ม่แจกแจงความถ่ีตวั อย่างท่ี 1.21 (1) ถำ้ ขอ้ มลู ที่รวบรวมไดเ้ ป็น 1, 1, 2, 3, 5 ฐำนนิยมคือ 1 เรียกวำ่ Unit modal (2) ถำ้ ขอ้ มลู ที่รวบรวมไดเ้ ป็น 6, 6, 7, 8, 9, 9 ฐำนนิยมคือ 6 และ 9 เรียกวำ่ Bimodal (3) ถำ้ ขอ้ มูลที่รวบรวมไดเ้ ป็น 10, 12, 15, 18, 20 ขอ้ มลู ชุดน้ีไม่มฐี ำนนิยม (4) ถำ้ ขอ้ มลู ที่รวบรวมไดเ้ ป็น 10, 12, 15, 18, 20, 10, 18, 25, 25 ฐำนนิยมคือ 10, 18, 25 เรียกวำ่ Multimodal (5) ถำ้ ขอ้ มูลท่ีรวบรวมไดเ้ ป็น 10, 10, 12, 12 , 15, 15, 18, 18, 20, 20 ขอ้ มูลชุดน้ีไม่มีฐำนนิยมสาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -81ข. การหาค่าฐานนิยมสาหรับข้อมลู ทแี่ จกแจงความถ่ีในกรณีข งข้ มูลที่แ กแ งความถเ่ี ป็นชวง า ะประมาณ ยางคราว ๆ ไ ว้ า านนิยม ะ ยทู ี่ ุก่ึงกลางข งชวงคะแนนที่มคี วามถีส่ ูงสุ ยางไรก็ตามชวงช้นั ข งคะแนนเ งก็สามารถระบุเป็นคา านนิยมไ ้ ตวั ยาง เชน การแ กแ งความถ่ีที่ ั เป็นกลมุ คะแนนข งความสูงข งตน้ ขา้ วโ แปลงหน่ึง บวาขา้ วโ สวนใหญมคี วามสูงระหวาง 60 - 62 น้ิว คา านนิยมข งความสูงข งขา้ วโ แปลงน้ี า ะระบุไ ้วา คื 61 น้ิว หรื 60 - 62 นิ้วกไ็ ้ ท้งั น้ีเนื่ ง ากข้ มูลท่ีแ กแ งความถี่เป็นชวง ะไมสามารถระบุไ ว้ า คาสงั เกตใ มีความถสี่ ูงสุ แตถา้ ต้ งการประมาณวาแนวโนม้ ที่ านนิยม ะมคี าใกลเ้ คียงกบั คาใ มากท่ีสุ โ ยาศยั วธิ ีเปรียบเทียบสั สวนข งคาข งข้ มลู กบั ความถ่ี ในชวงท่ีมคี วามถี่สูงสุ กบั ชวงถั ไปท้งั ทาง า้ นน้ ยและมาก ู ากรูปกาหน ให้ L = ข บเขตลางข ง นั ตรภาคช้นั ที่มีความถส่ี ูงสุ U = ข บเขตบนข ง นั ตรภาคช้นั ที่มคี วามถ่สี ูงสุ I = ความกวา้ งข ง นั ตรภาคช้นั f0 = ความถี่ข งช้นั ท่ีต่ากวาช้นั ที่มคี วามถ่สี ูงสุ f1 = ความถข่ี งช้นั ท่ีมคี วามถสี่ ูงสุ f2 = ความถ่ขี งช้นั ท่ีสูงกวาช้นั ที่มีความถส่ี ูงสุจำกแผนภำพ d1  f1  f0 ,d2  f1  f2จำกสมบตั ิของสำมเหล่ียมคลำ้ ยจะไดว้ ่ำ px  qx ac bd Mo - L  U  Mo d1 d2สำมำรถแสดงไดว้ ่ำ Mo = L + I d1 d1 d2  สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -82มขี ้ันตอนการคานวณ ดงั นี้1. พจิ ำรณำว่ำฐำนนิยมจะอยใู่ นช้นั ท่ีเท่ำใดของตำรำงกลำ่ วคือฐำนนิยมจะอยชู่ ้นั ที่มคี วำมถ่ีมำกท่ีสุดนนั่ เอง2. คำนวณหำค่ำฐำนนิยมโดยใชส้ ูตร L I  1  1  ฐำนนิยม = 2 เม่อื L คือ ขอบเขตลำ่ งของคะแนนในช้นั ท่ีมฐี ำนนิยม I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ของช้นั ที่มฐี ำนนิยม 1 หรือ คือ ผลต่ำงของควำมถีข่ องช้นั ที่มีฐำนนิยมกบั ช้นั ท่ีอยตู่ ิดกนั ซ่ึงมีค่ำขอ้ มลู ต่ำกว่ำ 2 หรือ คือ ผลต่ำงของควำมถข่ี องช้นั ท่ีมฐี ำนนิยมกบั ช้นั ที่อยตู่ ิดกนั ซ่ึงมคี ่ำขอ้ มูลสูงกว่ำตวั อย่างท่ี 1.22 ตำรำงแสดงเงินเดือน (บำท) ของพนกั งำนในบริษทั แห่งหน่ึงแลว้ ฐำนนิยมของเงินเดือนของพนกั งำนบริษทั น้ีเท่ำกบั เท่ำใดวธิ ีทา นั ตรภาคช้นั ที่มคี วามถ่สี ูงสุ คื 20,000 – 29,999 งั น้นั านนิยม คื ุ ก่ึงกลาง นั ตรภาคช้นั 20,000 – 29,999 ซ่ึงเทากบั บาทสาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -83ตวั อย่างที่ 1.22 ปริมำณน้ำตำลในเลือดเป็นกรัมของหญิงอำยุ 25-35 ปี จำนวน 30 คน ปริมาณนา้ ตาลในเลือด จานวน 81 -90 2 91 - 100 6 101 - 110 6 111 - 120 7 121 - 130 131 – 140 8  ฐำนนิยมอยชู่ ้นั น้ี 1 N = 30จงหำค่ำฐำนนิยมของขอ้ มลู ชุดน้ีวธิ ที า 1. จำกตำรำงแจกแจงควำมถพี่ บวำ่ ฐำนนิยมอยใู่ นช้นั ที่ 5 เน่ืองจำกควำมถ่มี ำกที่สุดน้นั เอง2. จำกสูตร ฐำนนิยม = L  I   1   1 2 L = 120.5 I = 10 1 = 8 - 7 = 1 2 = 8 - 1 = 7นนั่ คือ ฐำนนิยม = 120.5  10 1 7  1   = 120.5 + 1.25 = 121.75ค่ำฐำนนิยมของปริมำณน้ำตำลในเลือดเป็นกรัมของหญิงอำยุ 25-35 ปี เป็น 121.75ตวั อย่างที่ 1.22 ตำรำงแสดงอำยุ (ปี ) ของผปู้ ่ วยโรคปวดศีรษะไมเกรนกล่มุ หน่ึง ดงั น้ีแลว้ มธั ยฐำนและฐำนนิยมของขอ้ มลู ชุดน้ีมคี ่ำต่ำงกนั เท่ำใดวิธีทำสาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -84 ากน้นั หาคาข งมธั ย านโ ยการเทียบบญั ญตั ิไตรยางศห์ รื เทียบสั สวน ะไ ว้ าตาแหนงตางกนั 20 ตาแหนง ข้ มลู ตางกนั 45.5 35.5 10ตาแหนงตางกนั 9 ตาแหนง ข้ มลู ตางกนั งั น้นั มธั ย าน 35.5 4.5 40 งั น้นั มธั ย านและ านนิยมข งข้ มลู ชุ น้ีตางกนั | 40.5 40 | 0.5 ปีคณุ สมบตั ขิ องค่าฐานนิยม1. เป็นค่ำที่หำไดง้ ่ำย โดยพจิ ำรณำจำกค่ำที่มคี วำมถสี่ ูงสด ซ่ึงบำงคร้ังจะมคี ่ำเกินกว่ำ 1 ค่ำกไ็ ด้ เม่ือคะแนนที่ มคี วำมถี่สูงสุดมคี ่ำเกนิ กว่ำ 1 ค่ำ2. ถำ้ นำค่ำคงที่ไปกระทำทำงคณิตศำสตร์คะแนนแต่ละตวั จะทำใหไ้ ดค้ ่ำฐำนนิยมเปลี่ยนแปลงไปใน ลกั ษณะเช่นเดียวกนั กบั ค่ำเฉลี่ยเลขคณิตและค่ำมธั ยฐำน3. ในกำรวจิ ยั ฐำนนิยมถือวำ่ เป็นค่ำหยำบ โดยมกี ำรนำไปใชอ้ ำ้ งอิงเพ่อื สรุปผลกำรวิจยั บำ้ ง ส่วนใหญ่จะ เป็นกำรพิจำรณำในภำพรวมกวำ้ งๆ เช่น ตอ้ งกำรศกึ ษำว่ำประชำกรส่วนใหญ่ท่ีอำศยั อยใู่ น กรุงเทพมหำนครใชม้ อื ถอื ยหี่ อ้ ใดมำกท่ีสุด หรือนกั ศกึ ษำชอบเวบ็ ไซดใ์ ดในกำรคน้ หำขอ้ มลู มำกที่สุด ระหว่ำง www.google.com, www.yahoo.com, www.excite.com ซ่ึงถำ้ ใชฐ้ ำนนิยม จะสื่อควำมหมำยได้ ชดั เจนกวำ่ กำรใชส้ ถติ ิอนื่ ๆสาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -85การเลอื กใช้ค่ากลางการวดั แนวโน้มทเี่ หมาะสมกบั ลกั ษณะของข้อมลูค่ากลาง ควรใช้เมื่อ1. ฐานนิยม  ตอ้ งกำรหำค่ำกลำงอยำ่ งหยำบๆ และรวดเร็ว  ขอ้ มลู มีค่ำสูงหรือต่ำปกติหรือขอ้ มูลมกี ำรแจก แจงเบไ้ ปดำ้ นใดดำ้ นหน่ึง  เป็นขอ้ มลู เชิงคุณภำพ2. มธั ยฐาน  ขอ้ มลู มกี ำรแจกแจงเบไ้ ปดำ้ นใดดำ้ นหน่ึง หรือ ขอ้ มูลมีค่ำสูงหรือต่ำผดิ ปกติ  ตอ้ งกำรหำค่ำกลำงอยำ่ งคร่ำวๆ3. ตวั กลางเลขคณติ  ขอ้ มูลมคี ่ำใกลเ้ คียงกนั  ตอ้ งกำรควำมละเอยี ดแม่นยำในกำรคำนวณ ความสัมพนั ธ์ระหว่างตวั กลางเลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม1. การแจกแจงของข้อมลู มลี กั ษณะสมมาตรคือ ข้อมลู มลี กั ษณะเป็ นโค้งปกติ (Normal Curve) จะได้ Mean = Median = Modeสาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -862. การแจกแจงของข้อมลู มลี กั ษณะเบ้ซ้ายจะได้ Mode > Median > Mean 3. การแจกแจงของข้อมลู มลี กั ษณะเบ้ขวาจะได้ Mean > Median > Mode 4. ควำมสมั พนั ธใ์ นรูปของสมกำร ไดด้ งั น้ี ค่ำเฉลีย่ เลขคณิต - ค่ำฐำนนิยม = 3(ค่ำเฉลยี่ เลขคณิต - ค่ำมธั ยฐำน) หรือ ค่ำฐำนนิยม = 3(ค่ำมธั ยฐำน) – 2 (ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต) หรือ Mod. 3Med. 2ตวั อย่างท่ี 1.23 ใหร้ ำยไดเ้ ฉลยี่ ต่อวนั ของคนงำน 50 คน ในโรงงำนแห่งหน่ึงคือ 79 บำท โดยมีค่ำมธั ยฐำนเท่ำกบั 81.25 บำท จงหำค่ำฐำนนิยมของรำยไดข้ องคนงำนกลุ่มน้ีวธิ ีทา จำก ค่ำเฉลย่ี เลขคณิต - ค่ำฐำนนิยม = 3(ค่ำเฉลยี่ เลขคณิต - ค่ำมธั ยฐำน) 79 – ฐำนนิยม = 3(79 – 81.25) ดงั น้นั ฐำนนิยม = 85.75 บำท หรือ ค่ำฐำนนิยม = 3(ค่ำมธั ยฐำน) – 2 (ค่ำเฉลีย่ เลขคณิต) = 3 (81.25) – 2(79) = 85.75 บำทสาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -871.14 เปอร์เซนไทล์ เดไซล์ และควอไทล์1.14.1 เปอร์เซนไทล์ (Percentiles)คือ ค่ำของขอ้ มูล(ซ่ึงมี 99 ค่ำ) ที่แบ่งขอ้ มูลออกเป็น100ส่วนเท่ำๆกนั1.14.2 เดไซล์ (Deciles) คือ ค่ำของขอ้ มลู (ซ่ึงมี 9 ค่ำ) ท่ีแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 10 ส่วนเท่ำ ๆ กนั1.14.3 ควอไทล์ (Quartiles) คือค่ำของขอ้ มูล (ซ่ึงมี 3 ค่ำ) ท่ีแบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 4 ส่วนเท่ำ ๆ กนัก. การคานวณหาเปอร์เซนไทล์ เดไซล์ และควอไทล์ สาหรับข้อมลู ทไ่ี ม่มกี ารแจกแจงความถ่ี มีข้ันตอน ดงั นี้1. คานวณหาตาแหน่ง Pk ,Dk และ Qk ตามสูตร ตำแหน่ง Pk  kN 1 100  kN 1 ตำแหน่ง Dk 10 kN  1 ตำแหน่ง Qk  42. คานวณหาค่า Pk ,Dk และ Qk ใช้วธิ เี ทยี บบญั ญตั ไิ ตรยางศ์ตวั อย่างท่ี 1.24 จำกขอ้ มลู แสดงคะแนนสอบวิชำหน่ึงของนิสิต 7 คน ดงั น้ี 55, 50, 59, 61, 65, 80 และ 71 จงหำ P30 , D5 และ Q3วธิ ที า หา P30 มีข้นั ตอนดงั น้ี 1. หำตำแหน่ง P30 P30มตี ำแหน่งตรงกบั ขอ้ มลู ค่ำท่ี 30(7 1)  2.4 100 2. เรียงลำดบั ขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำกได้ 50, 55, 59, 61, 65, 71 และ 80 P30 3. เทียบบญั ญตั ิไตรยำงค์ ดงั น้ี ตำแหน่งต่ำงกนั 1 ตำแหน่ง ค่ำของขอ้ มูลต่ำงกนั =59 - 55 = 4 คะแนน ตำแหน่งต่ำงกนั 0.4 ตำแหน่ง ค่ำของขอ้ มลู ต่ำงกนั = 4 x 0.4 = 1.6 คะแนน ฉะน้นั P30= 55 + 1.6 = 56.6 คะแนน หมำยควำมว่ำมนี ิสิต 30 เปอร์เซนตท์ ี่สอบไล่ไดค้ ะแนนนอ้ ยกว่ำ หรือเท่ำกบั 56.6 คะแนนส่วนนิสิตอกี 70 เปอร์เซนตจ์ ะสอบไลไ่ ดค้ ะแนนสูงกวำ่ 56.6 คะแนนหา D5 มขี ้นั ตอนดงั น้ี 1. หำตำแหน่ง D5 D5 มีตำแหน่งตรงกบั ขอ้ มลู ตวั ท่ี 5(7 1)  4 10 2. เรียงลำดบั ขอ้ มลู จำกนอ้ ยไปหำมำกดงั น้ี 50, 55, 59, 61, 65, 71 และ 80สาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -88 3. D5 คือ ค่ำของขอ้ มูลตวั ท่ี 4 = 61 D5 = 61 คะแนน หมำยควำมว่ำถำ้ แบ่งคะแนนสอบของนิสิต7คนออกเป็น 10 ส่วนเท่ำๆกนั จะมคี ะแนนของนิสิตอยู่ 5 ส่วนท่ีมคี ่ำนอ้ ยกวำ่ หรือเท่ำกบั 61 คะแนน และมีคะแนนของนิสิตอกี 5 ส่วนจะมคี ะแนนสูงกวำ่61 คะแนนหา Q3 มขี ้ันตอนดงั นี้1. หำตำแหน่ง Q3 Q3 มีตำแหน่งตรงกบั ขอ้ มลู ค่ำที่ 3(7 1) 6 42. เรียงลำดบั ค่ำขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำก ดงั น้ี 50, 55, 59, 61, 65, 71 และ 803. ในที่น้ีค่ำQ3 จะตรงกบั ค่ำของขอ้ มูลตวั ที่ 6 คือ 71 Q3 = 71 คะแนนหมำยควำมวำ่ ถำ้ แบ่งคะแนนของนิสิต 7 คนออกเป็น 4 ส่วนเท่ำ ๆ กนั จะมีคะแนนของนิสิตอยู่ 3ส่วนมีค่ำนอ้ ยกว่ำหรือเท่ำกบั 71 คะแนน และมคี ะแนนของนิสิตอกี 1 ส่วนจะมคี ่ำมำกกวำ่ 71 คะแนนข. การคานวณหาค่าเปอร์เซนไทล์ เดไซล์ และควอไทล์ สาหรับข้อมลู ท่ีมกี ารแจกแจงความถ่ีมขี ้ันตอนดงั นี้1. หำตำแหน่ง Pk ,Dkและ Qk จำกสูตร 1.1 ตำแหน่ง Pk ตรงกบั ขอ้ มูลตวั ท่ี kN 100 1.2 ตำแหน่ง Dk ตรงกบั ขอ้ มลู ตวั ที่ kN 10 1.3 ตำแหน่ง Qk ตรงกบั ขอ้ มูลตวั ท่ี kN 42. หำค่ำ Pk , Dk และ Qk จำกสูตร 2.1  kN  F   L  I  100  Pk f   เมอื่ L คือ ขอบเขตลำ่ งของช้นั ท่ีมีPk I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ของช้นั ที่มีPk F คือ ควำมถ่สี ะสมของช้นั ท่ีติดกบั ช้นั ท่ีมีPk และมคี ะแนนนอ้ ยกวำ่ f คือ ควำมถขี่ องช้นั ที่มี Pk 2.2  kN  F   L I 10  Dk  f   สาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -89 เมื่อ L คือ ขอบเขตลำ่ งของช้นั ท่ีมีDk I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ของช้นั ที่มีDk F คือ ควำมถี่สะสมของช้นั ท่ีติดกบั ช้นั ท่ีมีDk และมีคะแนนนอ้ ยกว่ำ f คือ ควำมถขี่ องช้นั ที่มีDk2.3  kN  F  L  I 4  Qk   f  เม่อื L คือ ขอบเขตลำ่ งของช้นั ที่มีQk I คือ ค่ำอนั ตรภำคช้นั ของช้นั ท่ีมี Qk F คือ ควำมถีส่ ะสมของช้นั ที่ติดกบั ช้นั ที่มีQk และมคี ่ำนอ้ ยกวำ่ f คือ ควำมถี่ของช้นั ท่ีมีQkตวั อย่างที่ 1.25 คะแนนสอบวิชำสถติ ิวิเครำะห์สำหรับวทิ ยำศำสตร์ของนกั ศกึ ษำ จำนวน 100 คน ดงั น้ี คะแนนสอบ จานวน ความถส่ี ะสม 35 - 39 8 8 40 - 44 12 20 45 - 49 20 40 50 - 54 35 75 55 - 59 15 90 60 – 64 10 100 รวม 100จงหำ P75 , D6 และ Q1วธิ ีทา หา P75หำตำแหน่ง P75ตำแหน่ง P75ตรงกบั ขอ้ มูลตวั ท่ี 75(100)  75 100ซ่ึงมคี ่ำตรงกบั ควำมถ่สี ะสมของช้นั ที่ 4 เช่นน้ีจึงไมจ่ ำเป็นตอ้ งใชส้ ูตร กล่ำวคือ P75 มีค่ำเท่ำกบั 54.5คะแนน เพรำะวำ่ P75จะมีค่ำตรงกบั ขอบเขตบนของช้นั ที่ 4 นนั่ เองหา D61. หำตำแหน่ง D6ตำแหน่ง D6 ตรงกบั ชอ้ มลู ตวั ที่ 6(100)  60 10สาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -902. หำค่ำจำกสูตร D6  L   kN  F  I 10    f   ค่ำ D6 อยใู่ นช้นั ท่ี 4 ของตำรำงแจกแจงควำมถี่ นนั่ คือ L = 49.5 , I = 5 , F = 40 , f = 35 D6 = 49.5  5 60  40   35  = 49.5 + 2.86 D6 = 52.36 คะแนนหา Q1 1. หำตำแหน่ง Q1 ตำแหน่ง Q1 ตรงกบั ขอ้ มลู ตวั ท่ี 1(100)  25 4 2. หำค่ำ Q1 จำกสูตร Q1  L  kN  F  I 4    f   ค่ำ Q1อยใู่ นช้นั ที่ 3 ของตำรำงแจกแจงควำมถ่ี นน่ั คือ L = 44.5 , I = 5 , F = 20 , f = 20 Q1 = 44.5  5 25  20   20  = 44.5 + 1.25 = 45.75ความสัมพนั ธ์ระหว่าง เปอร์เซนไทล์ , เดไซล์ , ควอไทล์ และมธั ยฐาน 1. P50 = D5 = Q2 = มธั ยฐำน 2. P25 = Q1 3. P75 = Q3สาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -911.15 การวดั การกระจาย (Measures of Dispersion) กำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มูล (Measure of Variability) เป็นสถติ ิท่ีใชอ้ ธิบำยลกั ษณะกำรกระจำยหรือกำรแปรผนั ของคะแนนท่ีไดจ้ ำกกำรเก็บรวบรวม เนื่องจำกกำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำง เป็นกำรหำค่ำกลำงๆ ท่ีเป็นตวั แทนของขอ้ มูล ซ่ึงไมส่ ำมำรถอธิบำยลกั ษณะของขอ้ มลู ไดช้ ดั เจนพอ เพรำะไมไ่ ดพ้ ิจำรณำกำรกระจำยของขอ้ มลู พจิ ำรณำขอ้ มูลชุด A และ B ขำ้ งล่ำง ตวั อยำ่ งเช่น ขอ้ มลู 2 ชุด ซ่ึงจะพบว่ำมีค่าเฉลย่ีเท่ากนั คือ 6 แต่มกี ำรกระจำยของขอ้ มลู แตกต่ำงกนัชุด A : 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11ชุด B : 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8ชุ A ความถ่ี 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11ชุ B ความถี่ 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 จะเห็นว่าค่ำเฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มลู ชุดท่ี A เท่ำกบั ชุดท่ี B มีค่ำเท่ำกบั 6 แต่ขอ้ มลู ชุดที่ B จะมีกำรกระจำย นอ้ ยกว่ำขอ้ มูลชุดที่ Aหรือดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี ขอ้ มูลชุดที่ 1 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10 ขอ้ มูลชุดท่ี 2 9, 10, 9, 11, 10, 11, 10 ขอ้ มลู ชุดที่ 3 9, 8, 11, 8, 11, 12, 11จะเห็นว่ำค่ำเฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มลู ชุดท่ี 1 เท่ำกบั ชุดท่ี 2 เท่ำกบั ชุดท่ี 3 มีค่ำเท่ำกบั 10 ซ่ึงขอ้ มูลชุดท่ี 1ประกอบดว้ ยค่ำที่มขี นำดเท่ำกนั ส่วนท่ีขอ้ มลู ชุดท่ี 3 ประกอบดว้ ยค่ำท่ีมขี นำดแตกต่ำงกนั มำกกว่ำขอ้ มลู ชุดท่ี2 แสดงวำ่ ลกั ษณะของขอ้ มลู ท้งั 3 ชุดยอ่ มแตกต่ำงกนั ในวชิ ำสถติ ิถอื วำ่ ขอ้ มูลชุดที่ 1 จะมกี ำรกระจำยนอ้ ยท่ีสุด กล่ำวคือ มคี ่ำกำรกระจำยเท่ำกบั ศนู ย์ และขอ้ มูลชุดท่ี 2 จะมีกำรกระจำยนอ้ ยกว่ำขอ้ มลู ชุดท่ี 3สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -92และอีกตวั อยำ่ งแสดงแผนภูมเิ ปรียบเทียบกำรกระจำยของขอ้ มูลขำ้ งลำ่ ง โดยจะเห็นวำ่ ขอ้ มลู 2 ชุดมีค่ำเฉลีย่เท่ำกนั เท่ำกบั 44.16 แต่ค่ำส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำนไม่เท่ำกนั โดยค่ำส่วนเบ่ียงเบนมำตรฐำนชุดที่ 1 จะมำกกว่ำชุดท่ี 2 น้นั หมำยควำมวำ่ การกระจายของข้อมลู จะพบว่าเลขชุดท่ี 2 มกี ารกระจายของข้อมลู น้อยกว่าข้อมูลชุดแรก การกระ ายข งข้ มูลประเทศ การกระ ายข งข้ มูลสมมุติ Means = 44.16, S.D. = 34.29 Means = 44.16, S.D. = 2.63แต่เมื่อพิจำรณำถึงกำรกระจำยของขอ้ มลู จะพบว่ำเลขชุดท่ี 2 มีกำรกระจำยของขอ้ มลู นอ้ ยกวำ่ ขอ้ มลู ชุดแรก ซ่ึงสำมำรถแสดงไดใ้ นรูปแผนภูมิขำ้ งตน้ โดยลกั ษณะกำรกระจำยมำกฐำนกรำฟกวำ้ งโด่งนอ้ ย กระจำยนอ้ ยฐำนแคบโด่งมำกการวดั การกระจายของข้อมลู มี 2 วธิ ี คือ 1.กำรวดั กำรกระจำยสมั บูรณ์ (Absolute Variation) 2.กำรวดั กำรกระจำยสมั พทั ธ์ (Relative Variation)1.15.1 การวดั การกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) กำรพิจำรณำลกั ษณะของขอ้ มลู ดว้ ยกำรใชก้ ำรวดั แนวโนม้ เขำ้ สู่ส่วนกลำงเพยี งอยำ่ งเดียวอำจทำใหไ้ ม่ทรำบถงึ ลกั ษณะของขอ้ มลู เพยี งพอ จำเป็นตอ้ งมกี ำรวดั กระจำยควบคู่กนั ไปดว้ ย ขอ้ มลู ชุดใดประกอบดว้ ยค่ำท่ีมคี วำมมำกนอ้ ยแตกต่ำงกนั มำก แสดงว่ำขอ้ มูลน้นั มกี ำรกระจำยมำก ขอ้ มูลใดท่ีประกอบดว้ ยค่ำที่ใกลเ้ คียงกนัขอ้ มลู ชุดน้นั จะมกี ำรกระจำยนอ้ ย ดงั น้นั ตวั เลขที่ใชว้ ดั กำรกระจำยของขอ้ มูลกบั ค่ำของตวั กลำงจะเป็นตวั แทนของขอ้ มลู ท้งั ชุดในกำรวเิ ครำะหข์ อ้ มูลต่อไป วธิ ีกำรวดั กำรกระจำยมหี ลำยวธิ ี แต่ที่นิยมกนั มำกมี 4 วธิ ี คือ 1. พสิ ยั (Range) 2. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation) 3. ส่วนเบ่ียงเบนเฉลย่ี (Mean Deviation or Average Deviation) 4. ส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน (Standard Deviation) และ ควำมแปรปรวน (Variance)1. พสิ ัย (Range) เป็นกำรวดั กำรกระจำยท่ีง่ำยท่ีสุดและรวดเร็ว ค่ำของพิสยั คือ ผลต่ำงระหว่ำงค่ำสูงสุดกบัค่ำต่ำสุดของขอ้ มลู ในกลุม่ กำรหำค่ำพสิ ยั แบ่งกำรหำเป็น 2 กรณีสาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -93 กรณที ่ี 1 ข้อมลู ทไ่ี ม่ได้จดั เป็ นช่วง ถำ้ x1 , x2 , x3 , .... , xN เป็นขอ้ มูลที่ไม่ไดจ้ ดั เป็นช่วงแลว้ พสิ ยั  X max  X min เมอ่ื Xmax  ค่ำจำกกำรสงั เกตในขอ้ มูลท่ีมคี ่ำสูงสุด Xmin  ค่ำจำกกำรสงั เกตในขอ้ มลู ที่มคี ่ำต่ำสุดกรณที ่ี 2 ข้อมลู ท่ีจดั เป็ นช่วง ถำ้ ขอ้ มลู ที่จดั เป็นช่วง แต่ละอนั ตรภำคช้นั ไมจ่ ำเป็นตอ้ งมีควำมกวำ้ งเท่ำกนั แต่ตอ้ งไม่เป็นอนั ตรภำคช้นั เปิ ดแลว้ พิสยั  U  L เมอื่ U  ขอบบนของอนั ตรภำคช้นั ท่ีมคี ่ำสูงสุด L  ขอบลำ่ งของอนั ตรภำคช้นั ท่ีมคี ่ำตำ่ สุดตวั อย่างที่ 1.26 ขอ้ มลู ต่อไปน้ีแสดงยอดขำยรถยนตน์ งั่ ญี่ป่ ุน ในสหรัฐอเมริกำในรอบปี 2006บริษทั ผผู้ ลติ ฮอนดำ้ โตโยตำ้ นิสสนั มำสดำ้ มิตซูบิชิจำนวนคนั 894,549 765,241 460,584 299,099 150,285จงหำพิสยั ของยอดขำยวธิ ีทา จำกสูตร พสิ ยั  Xmax  Xmin  894,549 150, 285  744, 264 คนัตวั อย่างที่ 1.27 ในกำรศึกษำร้ำนคำ้ ปลกี ท่ีแตกต่ำงกนั 5 ชนิด ใน 11 เมืองใหญ่ของสหรัฐอเมริกำ พบว่ำรำคำขำยปลกี ของตูเ้ ยน็ และเครื่องครัวอ่นื ๆ มีควำมแตกต่ำงกนั มำก สำหรับตูเ้ ยน็ ท่ีคุณภำพและขนำดที่เหมือนกนั พบวำ่ รำคำแตกต่ำงกนั ดงั ตำรำง รำคำ ($) จำนวน 380 – 399 27 400 – 419 65 420 – 439 60 440 – 459 45 460 – 479 38 480 – 499 13 500 – 519 2จงหำพิสยัวธิ ที า จำกสูตร พสิ ยั  U  L เม่ือ U  ขอบบนของอนั ตรภำคช้นั ที่มคี ำ่ สูงสุดสาขาวิชาสถิตปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -94 L  ขอบลำ่ งของอนั ตรภำคช้นั ท่ีมคี ่ำต่ำสุด ดงั น้นั พสิ ยั  $519.5  $379.5  $140ข้อสังเกตจากการใช้พสิ ัย 1. กำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มูลโดยใชพ้ ิสยั ถือว่ำเป็นกำรวดั กำรกระจำยท่ีค่อนขำ้ งหยำบ เพรำะเป็นค่ำที่คำนวณจำกค่ำเพยี ง 2 ค่ำเท่ำน้นั ส่วนค่ำอน่ื ๆ ในขอ้ มูลไมม่ ีส่วนเก่ียวขอ้ งแต่อยำ่ งใด ดงั น้นั ค่ำที่ไดอ้ ำจจะเกินควำมเป็นจริงไปก็ได้ เป็นตน้ ว่ำ ถำ้ ขอ้ มูลท่ีค่ำสูงสุดมีค่ำมำกกวำ่ ค่ำอ่ืนอยำ่ งผดิ ปกติ หรือขอ้ มูลท่ีมคี ่ำต่ำสุดมีค่ำนอ้ ยกว่ำค่ำอนื่ อยำ่ งผดิ ปกติ กจ็ ะทำใหพ้ ิสยั มคี ่ำมำกเกินควำมเป็นจริง เช่น ขอ้ มลู ชุดหน่ึงเป็นดงั น้ี 5 , 6 , 5 ,7 ,100 ขอ้ มูลชุดน้ีมพี ิสยั เท่ำกบั 95 ซ่ึงมำกเกินควำมเป็นจริง เพรำะค่ำอนื่ ๆ นอกจำก 100มีกำรกระจำยนอ้ ย ดงั น้นั เมือ่ คำนวณค่ำได้ 95 จึงทำใหด้ ูเหมอื นว่ำขอ้ มลู น้ีมีกำรกระจำยมำก จึงทำใหค้ วำมละเอียดถูกตอ้ งท่ีไดจ้ ำกกำรวดั กำรกระจำยโดยใชพ้ ิสยั อำจจะมนี อ้ ยกว่ำกำรวดั กำรกระจำยดว้ ยวธิ ีอืน่ แต่อยำ่ งไรกต็ ำม กำรวดั กำรกระจำยโดยใชพ้ ิสยั ก็มีส่วนดีตรงที่สำมำรถวดั ไดส้ ะดวกและรวดเร็วกวำ่ วธิ ีอ่ืน 2. พิสยั เหมำะสำหรับใชว้ ดั กำรกระจำยขอ้ มลู ท่ีมีจำนวนนอ้ ย 3. พสิ ยั เหมำะสำหรับเปรียบเทียบกำรกระจำยของขอ้ มลู หลำยๆชุดอยำ่ งคร่ำวๆ2. พสิ ัยระหว่างควอไทล์ (Interquartile Range) พสิ ยั ระหว่ำงควอไทล์ (Interquartile Range) ใชต้ วั ยอ่ ว่ำ IR เป็นกำรคำนวณหำพิสยั ของขอ้ มลู ท่ีอยชู่ ่วงระหว่ำงควอไทลท์ ่ี 3 กบั ควอไทลท์ ่ี 1 (หรือระหว่ำงส่วนที่ 3 กบั ส่วนท่ี 1 หลงั จำกที่เรียงลา บั ข้ มลู ากน้ ยไปมาก โ ยแบงข้ มลู กเป็น 4 สวน ๆ เทา ๆ กนั คื 25% หรื ¼ ข งข้ มลู ท้งั หม ) โ ยมสี ูตร งั น้ีตวั อยำ่ งที่ 1.28 จงหำพิสยั ระหว่ำงควอไทลข์ องคะแนนตอ่ ไปน้ี 4, 10, 8, 10, 4, 4, 14, 10, 4, 4, 8, 10, 4,6, 4, 8, 12, 4, 12, 10 ข้ันแรกจะต้องเรียงลาดับคะแนนก่อนดงั น้ี 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 8, 8, 8, 10,10, 10, 10, 10, 12, 12, 14 แทนค่ำในสูตร ในที่น้ี N = 20 เป็นจำนวนคู่∴∴ สิ ยั ระหวางคว ไทลข์ งข้ มูลมคี าเทากบั 6 สาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -95สิ ยั ระหวางคว ไทล์ เป็นมาตรการวั การกระ ายท่ีมคี วามมคั่ งมากกวา ิสยั เน่ื ง ากถา้ คะแนนสูงสุ และคะแนนต่าสุ มคี าแตกตาง ากคะแนนท่ี ยใู นกลมุ มากๆ การใช้ สิ ยั ะแส งใหเ้ ห็นภา การกระ ายข งข้ มลู ท่ีแตกตาง ากความเป็น ริง แตถา้ ใช้ ิสยั ระหวางคว ไทล์ ะไ ส้ ภา ท่ีเป็น ริงข งขมลู มากกวา ึงนิยมใชค้ าน้ีในการสึกษาการกระ ายข งข้ มลู3. ส่วนเบย่ี งเบนควอไทล์ (Quartile Deviation : Q.D.) จำกหลกั ที่วำ่ ถำ้ ขอ้ มลู กระจำยมำก Q1 และ Q3 จะต่ำงกนั มำก แต่ถำ้ ขอ้ มลู กระจำยนอ้ ย Q1 และQ3 จะใกลก้ นั ดงั น้นั จึงใชร้ ะยะ Q1Q3 แสดงกำรกระจำยของขอ้ มูลซ่ึงเรียกว่ำ ส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ค่ำที่ใชว้ ดั กำรกระจำยของขอ้ มูล ซ่ึงหำไดจ้ ำกคร่ึงหน่ึงของควำมแตกตำ่ งระหว่ำงควอไทลท์ ่ีสำม Q3 และควอไทลท์ ี่หน่ึง Q1 นน่ั คือ Q.D.  1 Q3  Q1  2จำกควำมหมำยของส่วนเบี่ยงเบนควอไทลด์ งั กลำ่ ว ส่วนเบี่ยงเบนควอไทลเ์ กิดจำกกำรที่เรำตดั ขอ้ มลูส่วนตน้ และส่วนทำ้ ยออกดำ้ นละประมำณ 25% แลว้ นำขอ้ มลู ที่เหลอื ส่วนกลำงประมำณ 50% มำหำคร่ึงหน่ึงของพิสยั นน่ั เองตวั อย่างท่ี 1.29 กำหนดขอ้ มลู ดงั ต่อไปน้ื จงหำส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ 10 , 9 , 12 , 14 , 11 , 8 , 15 , 20 , 18 , 100วธิ ีทา จดั เรียงขอ้ มูลใหมจ่ ำกนอ้ ยไปหำมำก 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 14 , 15 , 18 , 20 , 100หา Q1 ตำแหน่งของ Q1  110 1 4  2.75 Q1  9.75หา Q3 ตำแหน่งของ Q3  310 1 4  8.25 Q3  18.50  Q.D.  1 Q3  Q1  2  1 18.50  9.75 2  4.375สาขาวิชาสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถิตทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -96ตวั อย่างท่ี 1.30 จงหำส่วนเบี่ยงเบนควอไทลข์ องขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี คะแนน ควำมถี่ ( f ) ควำมถีส่ ะสม ( F ) 11 - 13 1 1 14 – 16 2 3 17 – 19 18 21 20 – 22 21 42 23 – 25 18 60 26 – 28 7 67 29 – 31 2 69 32 - 34 1 70 N  70หา Q1 ตำแหน่งของ Q1  1 70 4  17.5 ดงั น้นั Q1 อยใู่ นช้นั 17 - 19จำกสูตร  kN  FL   4  Qk  L0  I    fQk    1 N  FL   4  Q1  L0  I  fQ1      16.5  317.5  3 18  18.92หา Q3 ตำแหน่งของ Q3  3 70 4  52.5 ดงั น้นั Q1 อยใู่ นช้นั 23 - 25จำกสูตร  rN  FL   4  Qk  L0  I    fQk  สาขาวชิ าสถติ ิประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถิตทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -97  3 N  FL   4  Q3  L0  I  fQ3      22.5  352.5  42 18  24.25  Q.D.  1 Q3  Q1  2  1 24.25 18.92 2  2.6654. ส่วนเบยี่ งเบนเฉลยี่ (Mean Deviation : M.D. หรือ Average Deviation : A.D.)กำรวดั กำรกระจำยของขอ้ มลู โดยใชพ้ สิ ยั หรือส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เรำอำศยั ขอ้ มูลเพยี งบำงตวั ของขอ้ มูลชุดน้นั ในกำรคำนวณจึงเป็นกำรวดั กำรกระจำยอยำ่ งคร่ำวๆไมด่ นี กั กำรวดั กำรกระจำยโดยใชส้ ่วนเบี่ยงเบนเฉลยี่ จะใชข้ อ้ มูลท้งั หมดในกำรวดั โดยพิจำรณำจำกส่วนเบี่ยงเบนท่ีชอ้ มูลแต่ละค่ำเบี่ยงเบนไปจำกค่ำกลำงของขอ้ มลู ในชุดน้นั ค่ำกลำงท่ีนิยมใชค้ ือ ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต ซ่ึงถำ้ ขอ้ มลู มกี ำรกระจำยมำก ส่วนเบี่ยงเบนเหล่ำน้ีกจ็ ะมคี ่ำมำก ค่ำเฉลย่ี ของส่วนเบี่ยงเบนกจ็ ะมคี ่ำมำกดว้ ย และถำ้ ขอ้ มูลมกี ำรกระจำยนอ้ ย ส่วนเบ่ียงเบนก็จะมคี ่ำนอ้ ย ค่ำเฉลี่ยกจ็ ะมคี ่ำนอ้ ยดว้ ย ดงั น้นั กำรวดั กำรกระจำยโดยใชส้ ่วนเบ่ียงเบนเฉล่ียจึงเป็นวธิ ีกำรวดั กำรกระจำยที่ดกี ว่ำ พิสยั และส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์การหาส่ วนเบี่ยงเบนเฉลย่ีกรณที่ ่ี 1 กรณขี องข้อมลู ทีไ่ ม่ได้จดั เป็ นช่วงกำหนดขอ้ มูล x1 , x2 , x3 , .... , xN ที่มคี ่ำเฉลี่ยเลขคณิตเท่ำกบั  แลว้ จะไดว้ ำ่ ส่วนเบี่ยงเบนที่ขอ้ มูลแต่ละค่ำเบ่ียงเบนไปจำกค่ำเฉล่ยี เลขคณิต  xi   เมอื่ i 1, 2 , 3 , ... , Nดงั น้นั ส่วนเบ่ียงเบนเฉลีย่ ( M.D.)  x1    x2    x3    ... xN   N N  xi    i1 Nตวั อย่างท่ี 1.31 จงหำส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ยี ของขอ้ มูลต่อไปน้ี 3,3,5,5,5,7,7,8,8,9วธิ ที า เนื่องจำก N  xi   i1 N    3355577889 10 6สาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ วั่ ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -98จำกสูตร N  xi   M .D  i1 N  3  6  3  6  5  6  ...  9  6 10  3311111 2  2 3 10  1.8หมายเหตุ จำกตวั อยำ่ ง อธิบำยไดว้ ำ่ ค่ำต่ำงๆ ของขอ้ มลู จะอยหู่ ่ำงจำกค่ำเฉลยี เลขคณิต ( 6 ) โดยเฉล่ยี แลว้เท่ำกบั 1.8 หน่วยกรณที ่ี 2 กรณขี องข้อมลู ทีไ่ ม่ได้จดั เป็ นช่วงแต่แจกแจงเป็ นความถี่แล้วกำหนดขอ้ มลู แจกแจงควำมถีด่ งั น้ี คะแนน ควำมถี่ x1 f1 x2 f2 x3 f3 .. .. xk fk k  fi xi  จะได้ i 1 M .D  k  fi i 1ตวั อย่างที่ 1.32 ขอ้ มูลต่อไปน้ีเป็นอำยขุ องเดก็ 40 คน จงหำส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย อำยุ ( ปี ) จำนวนเดก็ 57 65 10 12 12 10 14 5 15 1สาขาวิชาสถติ ปิ ระยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ที่ 1 -99วธิ ที า สร้ำงตำรำใหมด่ งั น้ี fi xi xi   fi xi   xi fi 35 4.25 29.75 30 3.25 16.25 57 120 0.75 9.00 65 110 1.75 17.50 10 12 60 2.75 13.75 12 10 15 5.75 5.75 14 5 15 1  fx  370  f x    92.00  f  40จะได้   370จำกสูตร 40  9.25 ปี k  fi xi   i 1 M .D  k  fi i 1  92 40  2.3 ปีกรณที ี่ 3 กรณขี องข้อมลู ทีจ่ ดั เป็ นช่วงในกรณีทขี่ อ้ มูลจดั เป็นช่วง กำรหำส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ียทำไดท้ ำนองเดียวกบั กรณีท่ี 2 นน่ั คือ k  fi xi   i 1 M .D  k  fi i 1โดยที่ xi คือ จุดก่ึงกลำงของช้นั ที่ iตวั อย่างท่ี 1.33 จำกกำรตรวจปริมำณไขมนั ในเลอื ด ( หน่วย : มิลลิกรัมเปอร์เซน็ ต์ ) ของผปู้ ่ วยซ่ึงเป็นโรคควำมดนั โลหิตสูง จำนวน 30 รำย ปรำกฏขอ้ มูลดงั น้ีปริมำณไขมนั ในเลือด 143 - 147 148 - 152 153 - 157 158 - 162 163 - 167 168 - 172จำนวนคนไขส้ ะสม 3 9 17 24 28 30สาขาวชิ าสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บรุ ี

สถติ ทิ ว่ั ไป 09121045 หนา้ ท่ี 1 -100วธิ ที า สร้ำงตำรำงใหมด่ งั น้ีปริมำณ F fi xi fi xi xi   fi xi  ไขมนั ในเลอื ด143 – 147 3 3 145 435 11.5 34.5148 – 152 9 6 150 900 6.5 39153 – 157 17 8 155 1240 1.5 12158 – 162 24 7 160 1120 3.5 24.5163 – 167 28 4 165 660 8.5 34168 - 172 30 2 170 340 13.5 27  f  30  fx  4695  f x    171จะได้   4695 30  156.5 มลิ ลิกรัมเปอร์เซน็ ต์จำกสูตร k  fi xi   i 1 M .D  k  fi i 1  171 30  5.7 มิลลิกรัมเปอร์เซน็ ต์คุณสมบตั ขิ องส่วนเบ่ียงเบนเฉลยี่ 1. ส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ียของขอ้ มลู ชุดใดจะตอ้ งเป็นจำนวนจริงบวกหรือศูนยเ์ สมอ 2. ส่วนเบ่ียงเบนเฉลยี่ จะเท่ำกบั 0 กต็ ่อเม่อื ค่ำทุกค่ำในขอ้ มลู เท่ำกนั และเท่ำกบั ค่ำเฉล่ียเลขคณิตของขอ้ มูลน้นั 3. ถำ้ นำจำนวนจริง c ไปบวกกบั ทุกค่ำในขอ้ มลู ชุดหน่ึงแลว้ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของขอ้ มูลชุดใหม่จะเท่ำกบั ส่วนเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของขอ้ มลู ชุดเดิม ให้ xi แทนค่ำในขอ้ มูลเดิม yi แทนค่ำในขอ้ มูลใหม่ โดยท่ี yi  xi  c เมอ่ื c เป็นค่ำคงท่ี ดงั น้นั y  x  c ( จำกคุณสมบตั ขิ องค่ำเฉล่ยี เลขคณิต )สาขาวิชาสถิติประยกุ ต์ คณะวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลธญั บุรี