เซต

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์ วิชาเซต รหัสวชิ า ค31101 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 รวบรวมโดย ครูตติพร เล่หก์ ล กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนปทมุ วิไล

เซต นกั คณิตศาสตร์ชาวเยอรมนั ชื่อ เกออร์จ คนั ทอร์(Georg Cantor) ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เป็นบุคคลท่ี ใชค้ าวา เซต เป็นคนแรก ตอ่ จากน้นั นกั คณิตศาสตร์จึงนาคาน้ีมาใชก้ นั อยา่ งแพร่หลาย ซ่ึงในวิชาคณิตศาสตร์ ใชค้ า วา่ เซต ในการกล่าวถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแลว้ จะทราบไดแ้ น่นอนวา่ สิ่งใดอยใู่ นกลุ่มหรือสิ่ง ใดไม่อยใู่ นกลุ่ม เซตของสีรุ้ง หมายถึง กลุ่มของ............................................................................................................... เซตของวนั ในหน่ึงสปั ดาห์ หมายถึง กลุ่มของ…………………………………………………………. เซตของเดือนในหน่ึงปี หมายถึง กลมุ่ ของ……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….. และเรียกส่ิงที่อยใู่ นกล่มุ หรือในเซตวา่ สมาชิก การเขยี นเซต อาจเขยี นได้ 2 แบบ คือ 1) แบบแจกแจงสมาชิก เป็นการเขียนสมาชิกทุกตวั ของเซตลงในเครื่องหมายวงเลบ็ ปี กกา {…} และใช้ เครื่องหมายจุลภาค (,) คนั่ ระหวา่ งสมาชิกแต่ละตวั เช่น เซตของเลขโดดซ่ึงเป็นจานวนเฉพาะ เขียนแทนดว้ ย ………………………………………... เซตของจานวนคู่ต้งั แต่ 1 ถึง 15 เขียนแทนดว้ ย ………………………………………... ข้อสังเกต : กรณีเซตใด ๆ มสี มาชิกจานวนมาก นิยมใช้จุดสามสุด(…) เพื่อแสดงว่ามสี มาชิกอื่นอีก เขียนเซตต่อไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชิก 1) เซตของเดือนที่มี 30 วนั เขียนแทนดว้ ย …………………………………………………………………... 2) เซตของสระในภาษาองั กฤษ เขียนแทนดว้ ย ……………………………………….................................... 3) เซตของจานวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ยกวา่ 10 เขียนแทนดว้ ย ………………………………………...................... 4) เซตของพยญั ชนะ 5 ตวั แรกในภาษาไทย เขียนแทนดว้ ย …………………………………………………. 2) แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะใชต้ วั แปรเขยี นแทนสมาชิกแลว้ บรรยายสมบตั ิของสมาชิกท่ีอยใู่ นรูปของตวั แปร เช่น A = { x x เป็นพยญั ชนะในคาวา่ คมนาคม } อ่านวา่ ………………………………………………………… ……………………………………เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิกดว้ ย A = …………………………….. B = { x x เป็นตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ }เขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชิกดว้ ย B = ………………………... C = { x x เป็นจานวนเตม็ และ x2  25 } เขียนเซต C แบบแจกแจงสมาชิกดว้ ย C = …………………..

ให้บอกสมาชิกที่อย่ใู นเซต P = { x x เป็นจานวนนบั } ……………………………………………………………………….. Q = { x x เป็นจานวนเตม็ บวกและเป็นพหุคูณของ 2 } …………………………………………… R = { x x เป็นชื่อจงั หวดั ในประเทศไทย } ……………………………………………………….. S = { x x เป็นจงั หวดั ในประเทศไทย } …………………………………………………………... สญั ลกั ษณ์แทนคาวา่ “เป็นสมาชิกของ” หรือ คาวา่ “อยใู่ น” คือ  ส่วนคาวา่ “ไม่เป็นสมาชิกของ” หรือ “ ไม่อยใู่ น” คือ  เช่น a เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ย ………………. ,b ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ย ………………… จงหาสมาชิกของเซตต่อไปน้ี เซตของเดือนที่มี 32 วนั ……………………………………………………………………………... เซตของนกั เรียนในหอ้ งที่มีอายมุ ากกวา่ 40 ปี ……………………………………………………….. เซตของจานวนเตม็ บวกท่ีอยรู่ ะหวา่ ง 8และ9 ………………………………………………………... เซตของจานวนเตม็ บวกท่ียกกาลงั สองแลว้ ได้ -49 ………………………………………………….. เซตที่ไม่มสี มาชิก เรียกว่า เซตว่าง เขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ { } หรือ  (อ่านว่า ฟี ) เซตจากดั และเซตอนันต์ เซตท่ีมีจานวนสมาชิกเท่ากบั จานวนเตม็ ใดๆ หรือศูนย์ เรียกวา่ เซตจากดั และเซตที่ไมใ่ ช่เซตจากดั เรียกวา่ เซตอนนั ต์ (ข้อสังเกต : เซตอนันต์คือเซตท่ีไม่สามารถบอกจานวนสมาชิกของเซตได้ ) ตวั อย่าง A = { 3,5,7,9,11,13,15 } เป็นเซต...................... เพราะ.................................................................................. B = { 2,4,6,8,…,30 } เป็นเซต........................ เพราะ..................................................................................... C = { เซตตวั อกั ษรในภาษาองั กฤษ } เป็นเซต........................ เพราะ............................................................. D = { เซตของไก่ท่ีออกลูกเป็นตวั } เป็นเซต........................ เพราะ................................................................. เซตของจานวนเตม็ คือ I = {…,- 3,-2,-1,0,1,2,3,… } เป็นเซต...................... เพราะ......................................... เซตของจานวนนบั คือ N = {1,2,3,… } เป็นเซต........................ เพราะ............................................................ E = { x x เป็นจานวนเตม็ บวกที่มากกวา่ 5 } เป็นเซต...................... เพราะ..................................................

เซตทเี่ ท่ากนั เซต A เท่ากบั เซต B หมายถึง สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เซต A เท่ากบั เซต B เขียนแทนดว้ ย A = B เซต A ไม่เท่ากบั เซต B หมายถึง มีสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของเซต A ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต B และหรือ มีสมาชิกอยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เซต A ไม่เท่ากบั เซต B เขียนแทนดว้ ย A  B สับเซต เพาเวอร์เซต และเอกภพสัมพทั ธ์ กาหนดเซต A = { 3,5 } และเซต B = { 1,3,5,7,9 } สงั เกตวา่ สมาชิกท้งั หมดของเซต A คือ 3 และ 5 ต่างกเ็ ป็น สมาชิกของเซต B ในกรณีน้ีเราจะเรียกวา่ A เป็นสบั เซตของ B นิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B กต็ ่อเมื่อ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เขยี นแทนด้วย A  B ถา้ เราพจิ ารณาเซต B จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ จะเห็นวา่ มีสมาชิกบางตวั ของเซต B ท่ีไม่เป็นสมาชิกของเซต A ไดแ้ ก่ 1,7,9 นนั่ คือ เซต B ไม่เป็นสบั เซตของเซต A นิยาม เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B กต็ ่อเมื่อ มสี มาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ท่ีไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขยี นแทนด้วย A  B

ข้อสังเกตเกย่ี วกับสับเซต -เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง กล่าวคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว A  A -เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต กล่าวคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว  A “ เซต A เท่ากบั เซต B หมายถึง สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตวั ของเซต B เป็น สมาชิกของเซต A” เราสรุปไดว้ า่ A  B และ B  A เราสามารถใหน้ ิยามของเซตที่เท่ากนั โดยใชส้ บั เซตดงั น้ี ถ้า A  B และ B  A แล้ว A  B กาหนดใหเ้ ซต A = { a,b,c } ใหห้ าสบั เซตของเซต A ต่อไปน้ี 1) สบั เซตท่ีไม่มีสมาชิก ……………………………………………………………………………………… 2) สบั เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากบั 1………………………………………………………………………… 3) สบั เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากบั 2………………………………………………………………………… 4) สบั เซตที่มีจานวนสมาชิกเท่ากบั 3………………………………………………………………………… เซตของสบั เซตท้งั หมดของ A เรียกวา่ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนดว้ ย PA 1) กาหนด A = { 4 ,8 } จงหา PA วธิ ีทา …………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………. 2) วธิ ีทา …………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………. สังเกตว่า จานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซตใดๆ จะเท่ากบั 2n เม่ือ n เป็นจานวนสมาชิกของเซตนั้น

เอกภพสัมพทั ธ์ คือเซตท่ีกาหนดข้ึนโดยมีขอ้ ตกลงวา่ จะไม่กล่าวถึงส่ิงใดนอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตที่กาหนด ข้ึนน้ี เขียนแทนเอกภพสมั พทั ธด์ ว้ ย u สิ่งที่ต้องระมดั ระวังคือ บางกรณีเงื่อนไขการเป็นสมาชิกเหมือนกันแต่เอกภพสัมพัทธ์ต่างกัน เซตท้ังสองจะเป็นเซต ที่ต่างกนั ให้ หาสมาชิกของเซต 1) A = {x I  / x2  x  20  0 } เม่ือกาหนด u = I  ตอบ A = ………………………………..…. 2) B = {x I  / x2  x  20  0 } เมื่อกาหนด u = I ตอบ B = ………………………………….…. ในกรณีที่ไม่ได้กาหนดเอกภพสัมพทั ธ์มาให้ มขี ้อตกลงว่า เอกภพสัมพทั ธ์เป็นเซตของจานวนจริง 3) C = {x/ x2  16} ตอบ C = …………………………………………………………………………. แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ การกล่าวถึงเซต เม่ือเราใชแ้ ผนภาพแทนเซตจะช่วยใหค้ วามคิดเกี่ยวกบั เซตชดั เจนข้นึ แผนภาพท่ีใชเ้ ขียน แทนเซต เรียกวา่ แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ซ่ึงมาจากชื่อของนกั คณิตศาสตร์สองท่าน คือ เวนนแ์ ละออยเลอร์ โดยมี หลกั ในการเขียนแผนภาพ ดงั น้ี - ภาพที่ใชแ้ ทนเอกภพสัมพทั ธ์คือรูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ หรือรูปปิ ดใดๆ - เซตต่าง ๆซ่ึงเป็นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ เขียนภาพแทนดว้ ยรูปวงกลม วงรี หรือรูปที่มีพ้ืนท่ีจากดั ใดๆ

ตวั อย่าง ส่วนภาพขา้ งลา่ ง 2 ภาพต่อไปน้ี แสดงเซตท่ีไม่มีสมาชิกร่วมกนั เลย เรียกวา่ เซตไม่มสี ่วนร่วม ตวั อยา่ ง A = { 5,6,7} B = {3,4, 5,6,}

การดาเนินการของเซต เป็ นการสร้างเซตใหม่จากเซตเดิมท่ีกาหนด ซ่ึงมีเอกภพสัมพทั ธ์เดียวกนั คือ ยูเนียน อินเตอร์เซกชนั และคอมพลี-เมนต์ 1) กาหนด u = {1,2,3,4, …} A = { 1,2,3,5,6,7} B = { 3,5,10,11} ใหน้ กั เรียนหาเซต A  B = ……………………..….. A  B = …………………………… 2) กาหนด A  {x x เป็นจานวนเตม็ ท่ีมีคา่ นอ้ ยกวา่ 5 } B  {x x เป็นจานวนเตม็ ท่ีนอ้ ยกวา่ -3 }

C  {x x เป็นจานวนเตม็ ท่ีมากกวา่ -1 } ใหน้ กั เรียนหาเซต A  B , A  B และ B C วธิ ีทา …..…………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………. คอมพลเี มนต์

ตวั อยา่ ง ให้ A  { 1,2,3,{1,2,3} } และ B  { 1,2,{1,2} } จงหา A-B และ B-A วธิ ีทา …..…………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………….

โจทย์เพ่มิ เตมิ ให้ u = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {2,4,6,8} B = {2,4,9} ใหน้ กั เรียนหาเซตต่อไปน้ี พร้อมท้งั เขียนแผนภาพแทน เซต 1) A = …………………………………………………………………………………………………… 2) B = …………………………………………………………………………………………………… 3) A  B = ………………………………………………………………………………………………. 4) A  B = …………………………………………………………………………………………….. 5) A  B = ………………………………………………………………………………………………. 6) A  B = ………………………………………………………………………………………………. การเขียนจานวนสมาชิกแทนเซตต่าง ๆ ว่า จานวนสมาชิกของเซต A ใดๆ จะเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ nA และ สรุปเป็นหลกั การเขียนจานวนสมาชิกของเซตจากดั วา่ “ ให้ A , B, C และ u แทนเซตจากดั ใด ๆ จานวนสมาชิกของ A , B, C , u , AB , AB , A BC และ A BC จะเขยี นแทนด้วยสัญลกั ษณ์ n(A) , n(B), n(C) , n( u ),n( AB ), n( AB ), n( A BC ) และ n( A B C ) ตามลาดับ ” - n เท่ากบั เท่าใด ………………………………………………………………………………………….

จงเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกและนบั จานวนสมาชิก A  ……………........................................................... nA  ………..…... B  ………………………………………..…………… nB  ……….……. A  B  …………………………………………….... nA  B  ….…….. A  B  …………………………………..…………. nA  B  ..……… นอกจากจะใชว้ ิธีนบั จานวนสมาชิกของเซตแลว้ เราอาจหาจานวนสมาชิกของเซต A  B โดยใชห้ ลกั เกณฑต์ ่อไปน้ี ใหน้ กั เรียนบอกค่าของ nA , nB , nA  B และ nA  B ซ่ึงจะไดว้ า่ nA  ……………. nB  ……………… nA  B= …………………. เนื่องจาก nA  B  nA+ nB- nA  B จะได้ nA  B  ……………………….............................

ตัวอย่าง กาหนด nA  5 , nB  8 , nA  B  12 จงหา nA  B วธิ ีทา …..…………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………. การหาค่าของ nA  B และ nB  A โดยวาดแผนภาพต่อไปน้ี nA  B  nA nA  B nB  A  nB nA  B ใหน้ กั เรียนหาคา่ nA  B และ nA  B จากแผนภาพ B  A จะไดว้ า่ nA  B = …….….. nA  B = ………..…