ตรรกศาสตร์

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค30201) เอกสารประกอบการเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ เร่ืองตรรกศาสตร์ รหัสวชิ า ค30201 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 4 รวบรวมโดย ครูตติพร เล่หก์ ล กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนปทมุ วิไล

คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค30201) ตรรกศาสตร์ ชนิดของประโยค - คนไทยทุกคนตอ้ งกินขา้ ว เป็ นประโยค…………………. - หอ้ งน้าอยทู่ ่ีไหนคะ เป็ นประโยค…………………. - ฉนั ไม่สามารถทาตามคาขอร้องของคุณได้ เป็นประโยค………………… - โอย๊ ! ร้อนจงั เป็ นประโยค………………… - กรุณาอยา่ ส่งเสียงดงั เป็ นประโยค………………… - 42 = 1 เป็ นประโยค………………… ประโยคใดเป็ นจริ งหรื อประโยคใดเป็ นเทจ็ - ประเทศไทยอยใู่ นทวปี เอเชีย …………………………… - เขาเป็นตารวจ …………………………………………… - ถา้ x + 2 = 1 แลว้ x = 2 ………………………….. ประโยคที่สามารถบอกค่าความจริงได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเทจ็ เราจะเรียกประโยคน้ันว่า “ประพจน์” นิยาม ประพจน์คือประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่เป็นจริงหรือเทจ็ อย่างใดอย่างหน่ึง ขอ้ สังเกต ประพจนจ์ ะมีค่าความจริงเป็น “จริง” หรือ “เทจ็ ” ประโยคท่ีไม่มีค่าความจริงไม่จดั วา่ เป็น ประพจน์ ซ่ึงมกั จะอยใู่ นรูปประโยคคาถาม ประโยคคาสง่ั คาอุทาน หา้ ม ขอร้อง กจิ กรรม ขอ้ ความต่อไปน้ีเป็นประพจน์หรือไม่และมีคา่ ความจริงเป็นจริงหรือเป็นเทจ็ ธงชยั แมคอินไตย เป็นนกั ร้อง ……………………………………………………………………………………………………………….. หา้ มทิ้งขยะบริเวณน้ี ……………………………………………………………………………………………………………….. วนั น้ีอากาศดีจงั ……………………………………………………………………………………………………………….. สมการ 3x  1 = 0 มีคาตอบหรือไม่ ……………………………………………………………………………………………………………….. หา้ มทิ้งขยะบริเวณน้ี ………………………………………………………………………………………………………………..

คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค30201) น้ามาปลากินมด น้าลดมดกินปลา ……………………………………………………………………………………………………………….. 26 ธนั วาคม พ.ศ. 2546 เกิดสึนามิท่ีจงั หวดั พงั งาและภูเกต็ ……………………………………………………………………………………………………………….. อุย๊ ! สวยจงั ……………………………………………………………………………………………………………….. 7.23578… เป็นจานวนตรรกยะ ……………………………………………………………………………………………………………….. เธอเป็ นใคร ……………………………………………………………………………………………………………….. 43 < 15 – 2 ……………………………………………………………………………………………………………….. ตวั อยา่ งประพจน์ เช่น - ขา้ วเป็นอาหารหลกั ของคนไทย - สุธีชอบกินก๋วยเต๋ียว ถา้ แลว้ นาประโยคขา้ งตน้ มาเขียนเชื่อมกนั เช่น ข้าวเป็นอาหารหลกั ของคนไทย และสุธีชอบกินก๋วยเต๋ยี ว ประพจนข์ า้ งตน้ มีค่าความจริงเป็นอยา่ งไร …………………………………………………………………. ตัวเช่ือมต่างๆมี 5 ตวั คือ และ , หรือ , ถ้า...แล้ว... , กต็ ่อเม่ือ , ไม่ วิธีเขียนสญั ลกั ษณ์แทนคาเชื่อมต่างๆ และการหาคา่ ความจริงเมื่อเชื่อมดว้ ยตวั เช่ือมต่างๆ 1) นิเสธของประพจน์ (ตวั เชื่อม ไม)่ ถา้ p เป็นประพจน์ท่ีกาหนดให้ นิเสธของประพจน์ p เขียนแทนดว้ ย ~ p ซ่ึง p และ ~p จะมีคา่ ความจริง ตรงกนั ขา้ ม 2) การเช่ือมประพจนด์ ว้ ยตวั เชื่อม และ ถา้ p และ q เป็นประพจนส์ องประพจน์ ประพจน์ “p และ q” เขียนแทนดว้ ย “p  q” p  q มีคา่ ความจริงเป็นจริง เม่ือ p เป็นจริง และ q เป็นจริง ส่วนกรณีอื่นๆ เป็นเทจ็ ท้งั หมด 3) การเช่ือมประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม หรือ ถา้ p และ q เป็นประพจนส์ องประพจน์ ประพจน์ “p หรือ q” เขียนแทนดว้ ย “p  q” p  q มีคา่ ความจริงเป็นจริง เม่ือ p หรือ q ตวั ใดตวั หน่ึง หรือท้งั สองตวั เป็นจริง ส่วนกรณีอื่นๆ เป็นเทจ็ ท้งั หมด

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม (ค30201) 4) การเชื่อมประพจน์ดว้ ยตวั เช่ือม ถา้ ...แลว้ ... ถา้ p และ q เป็นประพจน์สองประพจน์ ประพจน์ “ ถา้ p แลว้ q” เขียนแทนดว้ ย “p  q” p  q มีค่าความจริงเป็นเทจ็ เม่ือ p เป็นจริง และ q เป็นเทจ็ ส่วนกรณีอ่ืนๆ เป็นจริงท้งั หมด 5) การเช่ือมประพจนด์ ว้ ยตวั เชื่อม กต็ ่อเม่ือ ถา้ p และ q เป็นประพจน์สองประพจน์ ประพจน์ “p กต็ อ่ เมื่อ q” เขียนแทนดว้ ย “p  q” p  q มี คา่ ความจริงเป็นจริง เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกนั จากตวั อยา่ งประพจน์ท่ีเขียนเช่ือมกนั ต่อไปน้ีจงหาค่าความจริง - 3 + 2 = 5 หรือ 3  2 = 5 ….. หรือ ….. ตอบ ……………… - ถา้ 1 เป็นจานวนคละ แลว้ 1 เป็นจานวนจริง ถา้ …... แลว้ ….. ตอบ ……………… - นิเสธของ 16 คือ 4 ไม่ ….. ตอบ ……………… สรุปหลกั การเช่ือมประพจน์ 1. การเชื่อมประพจน์ จะใชต้ วั เชื่อม 5 ตวั คือ และ หรือ ถา้ ...แลว้ ... กต็ ่อเมื่อ ไม่ ถา้ มีประพจน์ n ประพจน์ กรณีท่ีอาจเกิดข้ึนไดท้ ้งั หมดเท่ากบั 2n กรณี 2. สาหรับประพจน์ p  q - q  p เป็น converse ของ p  q -  q   p เป็น contrapositive ของ p  q -  p   q เป็น inverse ของ p  q สรุปตารางคา่ ความจริงของประพจน์ p q pq pq pq pq TT TF FT FF

คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค30201) กาหนดประพจน์ให้ P และ Q มีค่าความจริงเป็นจริง และกาหนดประพจน์ R มีค่าความจริงเป็นเทจ็ ให้ นกั เรียนหาคา่ ความจริงจากประพจน์ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี 1) ประพจน์ P  Q 2) ประพจน์ (PP)  R 3) ประพจน์ (Q  P)  (R  P) จากประพจนย์ อ่ ยท่ีเช่ือมกนั ตอ่ ไปน้ีใหน้ กั เรียนเขยี นสญั ลกั ษณ์แทนขอ้ ความ แลว้ หาค่าความจริง ถา้ 2 + 3 = 7 แลว้ 3  6 = 20 ให้ p แทน 2 + 3 = 7 เป็น………….. q แทน 3  6 = 20 เป็น………… ประพจน์คือ ค่าความจริง 5 + 3 = 7 หรือ 3  6 = 18 ให้ p แทน 5 + 3 = 7 เป็ น………….. q แทน 3  6 = 18 เป็น………… ประพจน์คือ คา่ ความจริง

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค30201) 5  2 = 3 กต็ ่อเม่ือ 5  6 = 30 ให้ p แทน 5  2 = 3 เป็ น………….. q แทน 5  6 = 30 เป็ น………… ประพจนค์ ือ คา่ ความจริง 3  0 = 7 และ 5(3)  2 = 13 ให้ p แทน 3  0 = 7 เป็ น………….. q แทน 5(3)  2 = 13 เป็ น………… ประพจนค์ ือ คา่ ความจริง สรุป : การหาคา่ ความจริงของประพจน์ที่เกิดจากการเช่ือมประพจนเ์ ม่ือทราบค่าความจริงของประพจนย์ อ่ ย การหาค่ าความจริ งของประพจน์ ให้ พิจารณาจากค่ าความจริ งของประพจน์ ที่เป็ นไปได้แต่ละกรณีใน สรุปตารางค่ าความจริ งของการเช่ือมประพจน์ เพ่ือช่ วยในการหาว่าประพจน์ใดเป็ นจริ งหรื อเป็ นเทจ็ ทบทวน การหาค่าความจริงของประพจน์เม่ือทราบค่าความจริงของประพจนย์ อ่ ย จงหาค่าความจริงของ (p  q)  r เมื่อ p และ q เป็นเทจ็ และ r เป็น จริง

คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม (ค30201)  p  (q  p) ประพจนน์ ้ีมีคา่ ความจริงเป็นอยา่ งไรไดบ้ า้ ง วิธีการโดยกาหนดค่าความจริงของประพจน์ยอ่ ยท่ีเป็นไปไดท้ ุกกรณี ดงั น้ี p q ~p q  p ~p  q  p TT TF FT FF สรุป - ในการหาคา่ ความจริงของประพจนผ์ สม ถา้ ไม่กาหนดค่าความจริงของประพจนย์ อ่ ยให้ จะตอ้ งสร้าง ตารางหาคา่ ความจริงของประพจนน์ ้นั ทกุ กรณี - ประพจนผ์ สมท่ีประกอบดว้ ยประพจนย์ อ่ ย n ประพจน์ จะวเิ คราะห์ไดท้ ้งั หมด 2n กรณี หลกั การสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจนผ์ สมใดๆ

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค30201) จงสร้างตารางค่าความจริงของ pq ~ p  (p  q) 1) ~ p  (p  q) p q ~p 2) p  ~ (p  q) p q p  q ~ (p  q ) p  ~ (p  q) จากประพจนท์ ้งั สองขา้ งตน้ มีคา่ ความจริงบางกรณีเหมือนกนั บางกรณีไม่เหมือนกนั นกั เรียนคิดวา่ เป็นไปไดห้ รือไม่วา่ ประพจน์ 2 ประพจนใ์ ดๆ จะมีค่าความจริงเหมือนกนั ทุกกรณี…………… ลองทำดู 1) p และ ~ (~ p) p ~ p ~ (~ p) 2) p  q และ q  p p q pq qp

คณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค30201) 3) p  (q  r) และ (p  q)  (p  r) p q r p  r p  (p  q) p q r p  q p  r (p  q)  (p  r) สงั เกตตวั อยา่ งขา้ งตน้ วา่ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบมีค่าความจริง…………………………………… “รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดท่ีมคี ่าความจริงเหมือนกันทกุ กรณี กรณีต่อกรณี เป็นรูปแบบทส่ี มมูล กนั ” และ “รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดที่มคี ่าความจริงต่างกนั อย่างน้อยหนึ่งกรณี เป็นรูปแบบท่ี ไม่สมมลู กนั ” จงจาไว้ว่า ในตรรกศาสตร์น้ันถือว่ารูปแบบทสี่ มมูลกนั นามาใช้แทนกนั ได้ จะใช้สัญลกั ษณ์  แทนคาว่า “สมมูลกบั ”

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม (ค30201) จงพสิ ูจนว์ า่ ประพจน์สองประพจนท์ ี่กาหนดใหต้ ่อไปน้ีเป็นประพจน์ท่ีสมมูลกนั หรือไม่ 1) p  q และ q  p 2) p  q และ q  p 3) p  (q  r) และ (p  q)  r 4) p  (q  r) และ (p  q)  r

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม (ค30201) 5) p  (q  r) และ (p  q)  (p  r) 6) ~ (p  q) และ ~ p  ~ q 7) ~ (p  q) และ ~ p  ~ q 8) ~ p  q และ p  q

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม (ค30201) 9) p  ~ q และ ~ (p  q) 10) p  q และ ~ q  ~ p สรุปรูปแบบประพจน์ทส่ี มมูลกนั ทบทวน การเขียนสญั ลกั ษณ์แทนประพจนแ์ ละสร้างตารางคา่ ความจริงของประพจน์ “ถา้ ลมแรงและฝนตก แลว้ จะทาใหน้ ้าท่วม” ใหน้ กั เรียนเขียนสญั ลกั ษณ์แทนประพจน์แลว้ หาคา่ ความจริงท่ีเป็นไปไดท้ ้งั หมดโดยการสร้างเป็นตารางค่าความจริง ให้ p แทน ลมแรง q แทน ฝนตก r แทน น้าท่วม ประพจนท์ ี่ได้

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค30201) ค่าความจริงแต่ละกรณี p  q (p  q)  r pqr เป็นไปไดห้ รือไม่วา่ ประพจนใ์ ดๆ จะมีความความจริงเหมือนกนั ทุกกรณี ? (ลองพิจารณาประพจน์ขา้ งตน้ วา่ เป็นกรณีท่ีมีค่าความจริงบางกรณีเป็นจริง บางกรณีเป็นเทจ็ ) จงสร้างตารางค่าความจริง 1) p  ~ p p ~p p~p 2) p  (p  q) p q p  q p  (p  q) จากตวั อย่างข้างต้นจะเห็นว่าเป็นไปได้ที่ประพจน์ใดๆ บางประพจน์จะมคี ่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี และ เราจะเรียก “รูปแบบของประพจน์ท่ีมคี ่าความจริงเป็นจริงเสมอไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยจะเป็น เช่นใด” ว่า “สัจนิรันดร์” และถ้ามรี ูปแบบของประพจน์ใดที่มอี ย่างน้อยหนึ่งกรณีท่ีมคี ่าความจริงเป็นเทจ็ ประพจน์กจ็ ะไม่เป็นสัจนิรันดร์

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค30201) ใหน้ กั เรียนพสิ ูจน์หาค่าความจริงวา่ ประพจน์ต่อไปน้ีเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1) (p  q)  p 2) [(p  q)  p]  p 3) [(p  q)  (q  r)]  (p  r) สรุป : รูปแบบประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม (ค30201) ทบทวน ประโยคที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ีเป็นประโยคชนิดใด และประโยคใดที่เป็นประพจน์บา้ ง 1) เขาเป็นตารวจ (ประโยค……..……..: ………………) 2) ฉนั เป็นคนไทย (ประโยค……………: ………………) 3) กรุณาหยดุ รถหน่อย (ประโยค…………….: ………………) 4) 32 5 (ประโยค…………… : ………………) 5) x2  1  8 (ประโยค……………: ………………) 6) อุย๊ ! น่ารักจงั (ประโยคอ…………: ……………….) จากตวั อยา่ งประโยคขา้ งตน้ มีประโยคใดบา้ งท่ีมีตวั แปร ……………………………………………………. ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธใดที่มตี ัวแปร ซึ่งไม่จัดเป็นประพจน์ แต่เม่ือแทนค่าตัวแปร แล้ว สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเทจ็ (เป็นประพจน์) เราจะเรียก ประโยคน้ันว่า “ประโยคเปิ ด” ประโยคใดเป็นประโยคเปิ ด : ………………………………………………………………………………. 1) เขาเป็นนกั วา่ ยน้าทีมชาติไทย 2) x  6 = 10 3) สุภาเป็นคนร่ารวย 4) y <  6 5) 10 เป็นคาตอบของสมการ x  1 = 7 6) โลกหมุนรอบตวั เอง 7) กรุณานงั่ เงียบๆ 8) วนั น้ีฝนตก 9) x เป็นจานวนจริง 10) (x2  4)  0 ประโยคเปิ ดเหล่านีเ้ ม่ือใดแทนค่าตัวแปรในประโยคแล้วบอกได้ว่าประโยคเป็นจริงหรือเป็นเทจ็ ประโยค นั้นจะกลายเป็ นประพจน์ สรุป : ความหมายของประโยคเปิ ด

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค30201) ประโยคเปิ ดต่อไปน้ีมีอะไรเป็นตวั แปร 1) ครูท่ีสอนตรรกศาสตร์เป็นผชู้ าย…………………………………………………. 2) สิ่งมีชีวติ สามารถบินได้ …………………………………………………………. 3) เธอเป็นคนน่ารัก ………………………………………………………………… 4) วนั น้ีแดดออก……………………………………………………………………. 5) x2 + 4 = 13 ……………………………………………………………………….. การเขยี นสัญลกั ษณ์แทนประโยคเปิ ด คือ “ถ้ากาหนดให้ x เป็นตวั แปรในประโยคเปิ ด จะเขยี น P(x) แทน ประโยคเปิ ดที่มี x เป็นตัวแปร” ความหมายและการเขียนสญั ลกั ษณ์แทนตวั บ่งปริมาณ ตวั อยา่ ง “ครูท่ีสอนตรรกศาสตร์เป็นผชู้ าย” ถา้ ให้ x เป็นตวั แปรแทนครู ถา้ แทนค่าดว้ ยช่ือครูต่างๆ แลว้ จะไดค้ า่ ความจริงเป็นอยา่ งไร ถา้ จะระบุจานวน วา่ ครูท่ีสอนตรรกศาสตร์เป็นผชู้ ายมีจานวนมากนอ้ ยเพยี งใด จะตอ้ งเขียนตวั บ่งปริมาร “วลีท่ีใชบ้ อกจานวนตวั แปรในประโยคเปิ ดวา่ มีมากนอ้ ยเพียงใด” ตัวบ่งปริมาณ 1) ตวั บ่งปริมาณบอกจานวนท้งั หมด ใชส้ ัญลกั ษณ์  (For all) แทนขอ้ ความ สาหรับ...ทุกตวั ใชส้ ญั ลกั ษณ์ x แทนสาหรับ x ทุกตวั ถา้ P(x) แทนประโยคเปิ ดท่ีมี x เป็นตวั แปร สัญลกั ษณ์ x [P(x)] แทนสาหรับ x ทุกตวั ใน P(x) 2) ตวั บ่งปริมาณที่บอกจานวนบางส่วนใชส้ ญั ลกั ษณ์  (For some) แทนขอ้ ความ สาหรับ...บางตวั ใชส้ ัญลกั ษณ์ x P(x)  แทนสาหรับ x บางตวั ใน P(x) จงวิธีการเขยี นสญั ลกั ษณ์แทนขอ้ ความต่อไปน้ี 1) สาหรับ x ทุกตวั x + 2  x เขียนเป็นสญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น ………………………………………………… 2) สาหรับ x บางตวั |x  3|  0 เขียนเป็นสัญลกั ษณ์ไดเ้ ป็น ……………………………………………… 3) มี x และ y บางตวั บวกกนั แลว้ ได้ 1เขยี นเป็นสัญลกั ษณ์ไดเ้ ป็น …………………………………………

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม (ค30201) สรุป ทบทวน : ใหน้ กั เรียนเขียนสญั ลกั ษณ์แทนตวั บ่งปริมาณ 1) สิ่งมีชีวติ บางชนิดสามารถบินได้ ถา้ ให้ x แทนสิ่งมีชีวิต จะได้ …………………………………………… 2) จานวนนบั ทุกจานวนมีคา่ มากกวา่ 0 ถา้ ให้ x แทนจานวนนบั จะได้ ……………………………………... แต่ละขอ้ ความมีคา่ ความจริงเป็นอยา่ งไร? …………………………………………………………………… การหาคา่ ความจริงของประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณตวั แปรเดียว - คา่ ความจริงของ x P(x) * เป็นจริงเม่ือแทนค่า x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิก a ทุกตวั ในเอกภพสมั พทั ธแ์ ลว้ จะได้ P(a) เป็นจริง * เป็นเทจ็ เมื่อแทนค่า x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิก a บางตวั ในเอกภพสัมพทั ธแ์ ลว้ จะได้ P(a) เป็นเทจ็ ตวั อย่างท่ี 1 จงหาค่าความจริงประโยค x x  1 เม่ือเอกภพสมั พทั ธ์คือ {0, 1, 2, 3} วธิ ีทา เมื่อแทนค่า x = 0 จะได้ 0  1 ค่าความจริงเป็น ............... x = 1 จะได้ 1  1 ค่าความจริงเป็น ............... x = 2 จะได้ 2  1 ค่าความจริงเป็น ............... x = 3 จะได้ 3  1 คา่ ความจริงเป็น ............... จึงสรุปไดว้ า่ x x  1 มีคา่ ความจริงเป็น…………

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค30201) ตวั อย่างที่ 2 จงหาค่าความจริงประโยค x x  1 เม่ือเอกภพสมั พทั ธค์ ือ {2, 0, 1, 2, 3} วธิ ีทา …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. - ค่าความจริงของ x P(x) * เป็นจริง กต็ อ่ เม่ือเซตคาตอบของ P(x) ไม่เท่ากบั  หรือมี a อยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั ในเอกภพสมั พทั ธท์ ่ี นาไปแทน x ใน P(x) แลว้ P(a) เป็นจริง * เป็นเทจ็ กต็ อ่ เมื่อเซตคาตอบของ P(x) เท่ากบั  หรือเมื่อแทน x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิก a ทุกตวั ใน เอกภพสมั พทั ธ์ แลว้ P(a) เป็นเทจ็ ตวั อย่างที่ 3 จงหาค่าความจริงประโยค x x  1 เม่ือเอกภพสมั พทั ธ์คือ {2, 0, 1, 2, 3} วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ทบทวน : ตวั อยา่ งประพจนแ์ ละประโยคเปิ ดที่สมมูลกนั ประพจน์ทสี่ มมูลกนั สมมูลของประโยคเปิ ด 1. ~ (~ p)  p 1. ~ ~ P(x)  P(x) 2. p  q  q  p 2. P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x) 3. p  q  q  p 3. P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x) 4. p  q  q  p 4. P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x) 5. ~ (p  q)  ~ p  ~ q 5. ~ P(x)  Q(x)  ~ P(x)  ~ Q(x) 6. ~ (p  q)  ~ p  ~ q 6. ~ P(x)  Q(x)  ~ P(x)  ~ Q(x) 7. ~ p  q  p  q 7. ~ P(x)  Q(x)  P(x)  Q(x) 8. p  ~ q  ~ (p  q) 8. P(x)  ~ Q(x)  ~ P(x)  Q(x) 9. p  q  ~ q  ~ p 9. P(x)  Q(x)  ~ Q(x)  ~ P(x) 10. p  q  (p  q)  (q  p) 10. P(x)  Q(x)  P(x)  Q(x)  Q(x)  P(x)

คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม (ค30201) ถา้ เติมตวั บ่งปริมาณชนิดเดียวกนั ขา้ งหนา้ ประโยค จะไดป้ ระพจนท์ ี่สมมูลกนั หรือไม่ x ~ [~P(x)]   x P(x) เป็ น……………. x P(x)  Q(x)  x Q(x)  P(x) เป็น……………. ข้อสังเกต 1) การหาสมมูลของประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณ สามารถหาไดจ้ ากการเทียบสมมูลของประพจนแ์ ละสมมูล ของประโยคเปิ ด 2) การเติมตวั บ่งปริมาณชนิดเดียวกนั ขา้ งหนา้ ประโยคที่สมมูลกนั จะไดป้ ระพจนท์ ่ีสมมูลกนั ดว้ ย P(x) เป็นนิเสธกบั ~ P(x) ถา้ เติมตวั บ่งปริมาณที่เหมือนกนั ขา้ งหนา้ ท้งั สองประโยค จะได้ x P(x) และ x ~ P(x) นกั เรียนคิดวา่ ประโยคยงั คงเป็นนิเสธกนั หรือไม่ คาตอบ ……………………………………………………………………………………………………… “การพิจารณานิเสธของประโยคท่ีมตี วั บ่งปริมาณ สามารถหาได้โดยการเทียบนิเสธของประพจน์ เหมือนการพิจารณาสมมลู ของประโยค” นิเสธของ p หรือ ~ p จากรูปแบบน้ีจะตกลงใหน้ ิเสธของประโยคเปิ ดหรือประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณโดย วธิ ีเติมตวั เชื่อม “~” หนา้ ประโยค เช่น นิเสธของ P(x) คือ ……………………………………………………………………………………… นิเสธของ x P(x) คือ ………………………………………………………………………………. นิเสธของ x P(x) คือ ………………………………………………………………………………. นิเสธของ x P(x)  Q(x) คือ ………………………………………………………………………. นิเสธของ x P(x)  x Q(x) คือ ………………………………………………………………. สาหรับนิเสธของประโยคเปิ ดรูปแบบอื่นๆ จะเปรียบเทียบกบั นิเสธของประพจนไ์ ดด้ งั น้ี นิเสธของ p  q คือ ~ p  ~ q นิเสธของ x P(x)  x Q(x) คือ ………………………………………………………………… นิเสธของ p  q คือ p  ~ q นิเสธของ x P(x)  x Q(x) คือ ………………………………………………………………

คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม (ค30201) สรุป : นิเสธของประโยคเปิ ดที่มีตวั บ่งปริมาณท่ีน่าสนใจให้ P(x) , Q(x) เป็นประโยคใดๆ จะได้ 1) ~ x P(x)  x ~ P(x) 2) ~ x ~ P(x)  x P(x) 3) ~ x ~ P(x)  x P(x) 4) ~ x P(x)  x ~ P(x) 5) ~ x P(x)  Q(x)  x ~ P(x)  ~ Q(x) 6) ~ x P(x)  Q(x)  x ~ P(x)  ~ Q(x) 7) ~ x P(x)  Q(x)  x P(x)  ~ Q(x) 8) ~ x P(x)  Q(x)  x P(x)  ~ Q(x) จงหานิเสธของประโยค 1) x ax  0 วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. 2) x x  0 วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. 3) xy x  |x| วธิ ีทา ………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………..

คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค30201) สรุปหลกั การของการสมมูลและนิเสธของประโยคท่ีมีตวั บ่งปริมาณ ทบทวน : การหาค่าความจริงของประพจนท์ ่ีมีตวั เช่ือม “  ” และตวั เช่ือม “  ” และสจั นิรันดร์ p q pq pq ตวั อยา่ งประพจนท์ ี่เป็นสจั นิรันดร์ (ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทกุ กรณี) เช่น 1) p  ~ p p~p p ~p

2) p  (p  q) คณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค30201) pq p  q p  (p  q) ข้อสรุป : การอา้ งเหตุผลประกอบดว้ ยส่วนสาคญั 2 ส่วน คือ 1) เหตุ หรือส่ิงท่ีกาหนดให้ ไดแ้ ก่ ขอ้ ความ อาจกาหนดเป็น P1, P2 ... Pn P 2) ผล ไดแ้ ก่ ขอ้ ความ อาจกาหนดใหเ้ ป็น C การอา้ งเหตุผลอาจสมเหตุสมผลหรือไม่สมเหตุสมผลกไ็ ด้ แต่สามารถตรวจสอบได้ โดยใช้ ตวั เช่ือม “  ” เชื่อมเหตุเขา้ ดว้ ยกนั ท้งั หมด และตวั เชื่อม “  ” เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุกบั ผล เช่น (P1,  P2  ...  Pn)  C การตรวจสอบความสมเหตุสมผลสามารถทาไดห้ ลายวธิ ี แต่ท่ีทาไดส้ ะดวก คือ การใชส้ จั นิรันดร์ ถา้ รูปแบบ (P1,  P2  ...  Pn)  C เป็นสจั นิรันดร์ จะกล่าวไดว้ า่ การอา้ งเหตุผลน้ีสมเหตุสมผล (valid) ถา้ รูปแบบ (P1,  P2  ...  Pn)  C ไม่เป็นสจั นิรันดร์ จะกล่าวไดว้ า่ การอา้ งเหตผุ ลน้ีไม่สมเหตุสมผล (invalid) จงพิสูจนว์ า่ เป็นรูปแบบที่เป็นสจั นิรันดร์หรือไม่โดยใชก้ ารสร้างตารางค่าความจริง รูปแบบท่ี 1 เหตุ 1. p  q การแจงเหตุตามผล (modus ponens) 2. p จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. ผล q pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สัจนิรันดร์

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค30201) รูปแบบท่ี 2 เหตุ 1. p  q การแจง้ ผลคา้ นเหตุ (modus pollens) 2. ~ q จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. ผล ~ p pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สัจนิรันดร์ รูปแบบท่ี 3 เหตุ 1. p  q กฎของตรรกบท (law of syllogism) 2. q  r จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. ผล p  r pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สัจนิรันดร์ รูปแบบท่ี 4 เหตุ 1. p  q กฎของขอ้ ความแยง้ สลบั ที่ (law of contraposition) 2. ~ q  ~ p จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. ผล ~ p  q pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สจั นิรันดร์

รูปแบบท่ี 5 เหตุ 1. p  q คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม (ค30201) 2. ~ p ตรรกบทแบบคดั ออก (disjunctive syllogism) ผล q จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สจั นิรันดร์ รูปแบบท่ี 6 เหตุ 1. p  q กฎของการทาใหง้ ่าย (law of simplification) 2. p จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. ผล q pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สัจนิรันดร์ รูปแบบท่ี 7 เหตุ 1. p  q การอนุมานโดยกรณี (inference by cases) 2. q  r จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. ผล p  q  r pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สัจนิรันดร์

รูปแบบท่ี 8 เหตุ 1. p คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค30201) 2. q การอนุมานร่วม (conjunctive inference) ผล p  q จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สจั นิรันดร์ รูปแบบท่ี 9 เหตุ 1. p จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. ผล p  q pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สจั นิรันดร์ รูปแบบท่ี 10 เหตุ 1. p  r จะไดร้ ูปแบบ ……………………………………………………. 2. q  s ผล r  s pq จากตารางสรุปไดว้ า่ .......................... สจั นิรันดร์

คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม (ค30201) ข้อสังเกต : การตรวจสอบความสมเหตสุ มผล 1) การอา้ งเหตุผลนอกจากจะใชป้ ระพจนแ์ ลว้ ยงั ใชไ้ ดก้ บั ประโยคเปิ ด เพราะไม่วา่ เราจะแทนตวั แปรใน ประโยคเปิ ดดว้ ยสมาชิกใดในเอกภพสมั พทั ธ์ กจ็ ะไดป้ ระพจนท์ ่ีมีรูปแบบเหมือนกนั 2) ในการอา้ งเหตุผลท่ีมีรูปของประโยคเปิ ดประกอบอยดู่ ว้ ย อาจแสดงเหตุผลกากบั ไดโ้ ดยใชร้ ูปแบบ ประพจนท์ ่ีสมเหตุสมผลหรือใชส้ จั นิรันดร์ 3) ในกรณีที่มีเหตุผลหลายขอ้ การอา้ งเหตุผลมกั จะจารูปแบบท่ีสมเหตสุ มผลซ่ึงทราบมาก่อนแลว้ ไปใช้ อา้ งอิงได้ และในบางคร้ังตอ้ งใชร้ ูปแบบที่สมมูลกนั สรุปหลกั การตรวจสอบการอ้างเหตผุ ลว่าสมเหตสุ มผลหรือไม่

คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ (ค30201)