ครน

สาขาคณติ ศาสตรป์ ระถมศกึ ษา สสวท. 6. ตวั ประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. จดุ ประสงคข์ องการอบรม เพ่ือให้ผู้เข้ารับการอบรม 1. ไดร้ บั ความร้คู วามเขา้ ใจเกีย่ วกบั • ตวั ประกอบ การหาตวั ประกอบ • จาํ นวนเฉพาะ ตวั ประกอบเฉพาะ • การแยกตัวประกอบ • ตวั หารรว่ มมาก (ห.ร.ม.) • ตวั คูณร่วมนอ้ ย (ค.ร.น.) 2. ไดแ้ นวทางในการจดั กิจกรรมการเรียนการสอน เรอ่ื ง ตวั ประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. สาระสาํ คญั /ความคดิ รวบยอด 1. ตัวประกอบของจํานวนนับใด ๆ คือ จาํ นวนนับที่หารจาํ นวนนับนัน้ ได้ลงตัว 2. จํานวนนับทม่ี ากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพยี งสองตวั คือ 1 และตัวมนั เอง เรยี กวา่ จํานวนเฉพาะ และตวั ประกอบท่เี ป็นจาํ นวนเฉพาะ เรยี กว่า ตวั ประกอบเฉพาะ 3. การเขียนจาํ นวนนับในรปู การคณู ของตัวประกอบเฉพาะ เรยี กวา่ การแยกตัวประกอบ 4. จาํ นวนนบั ทหี่ ารจาํ นวนต้งั แตส่ องจาํ นวนขน้ึ ไปไดล้ งตัว เรยี กว่า ตวั หารร่วม หรอื ตัวประกอบร่วมของจาํ นวนเหล่าน้นั ตวั หารร่วมทม่ี ากทสี่ ุด เรียกวา่ ตวั หารรว่ มมาก ใชอ้ กั ษรย่อว่า ห.ร.ม. 5. ตวั คูณร่วมของจํานวนนับตง้ั แตส่ องจํานวนขนึ้ ไป เป็นจํานวนนับทจ่ี ํานวนเหล่านัน้ หารลงตัว 6. ตัวคณู รว่ มท่นี อ้ ยที่สดุ เรยี กว่า ตัวคูณรว่ มนอ้ ย ใช้อักษรย่อวา่ ค.ร.น. 70 การอบรมครูด้วยระบบทางไกล หลักสูตรมาตรฐานการอบรมครู ปที ี่ 2 (ฉบบั ปรบั ปรุง) กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา

6. ตวั ประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณติ ศาสตร์ประถมศึกษา ตัวประกอบของจาํ นวนนบั และการหาตวั ประกอบ ตัวอย่างท่ี 1 จงหาตวั ประกอบของ 24 โดยวิธีการหาผลหาร วธิ ที าํ การหาตัวประกอบของ 24 โดยวธิ ีหาผลหาร ตวั หาร ตวั ตงั้ ผลหาร 1 24 24 2 24 12 3 24 8 4 24 6 จากตาราง จะเหน็ วา่ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ต่างก็หาร 24 ได้ลงตัว ดังนน้ั 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 เป็นตวั ประกอบของ 24 ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาตัวประกอบทัง้ หมดของ 18 1 เป็นตวั ประกอบของ 18 เพราะ 18÷1 = 18 ซึ่งหารไดล้ งตวั 2 เปน็ ตวั ประกอบของ 18 เพราะ 18÷2 = 9 ซง่ึ หารไดล้ งตวั 3 เปน็ ตวั ประกอบของ 18 เพราะ 18÷3 = 6 ซง่ึ หารได้ลงตวั 6 เปน็ ตัวประกอบของ 18 เพราะ 18÷6 = 3 ซึ่งหารไดล้ งตัว 9 เป็นตวั ประกอบของ 18 เพราะ 18÷9 = 2 ซ่งึ หารได้ลงตัว 18 เป็นตวั ประกอบของ 18 เพราะ 18÷18 = 1 ซ่งึ หารไดล้ งตัว ดังน้ัน 1, 2, 3, 6, 9, 18 เป็นตัวประกอบทั้งหมดของ 18 ตวั อย่างท่ี 3 จงหาจาํ นวนนับทีน่ ้อยทีส่ ุดท่มี ี 1, 3, 4 เปน็ ตัวประกอบ 12 = 3 × 4 ดงั นั้น 3 และ 4 เปน็ ตัวประกอบของ 12 12 = 1 × 12 ดงั นัน้ 1 และ 12 เปน็ ตวั ประกอบของ 12 ดังนั้น จาํ นวนนับท่ีนอ้ ยทส่ี ุด ซ่ึงมี 1, 3, 4, เป็นตวั ประกอบคอื 12 โดยการต้งั หาร 2)134 2)1 3 2 131 ดงั นนั้ จํานวนนบั ท่นี ้อยทส่ี ดุ ซึ่งมี 1, 3, 4 เปน็ ตวั ประกอบ คอื 2 × 2 × 1 × 3 × 1 = 12 จากตัวอยา่ งสามารถสรุปไดด้ ังน้ี ตวั ประกอบของจาํ นวนนับใด ๆ คือ จํานวนนบั ที่หารจาํ นวนนบั นน้ั ได้ลงตัว สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี 71

สาขาคณติ ศาสตร์ประถมศึกษา สสวท. จาํ นวนเฉพาะ ตัวประกอบเฉพาะ จาํ นวนนบั ทม่ี ากกว่า 1 และมีตวั ประกอบเพยี งสองตัว คือ 1 และตวั มนั เอง เรียกว่า จาํ นวนเฉพาะ ตวั ประกอบทีเ่ ป็นจํานวนเฉพาะ เรียกวา่ ตวั ประกอบเฉพาะ การแยกตวั ประกอบ พจิ ารณาประโยคสญั ลักษณท์ างคณิตศาสตร์ตอ่ ไปน้ี (1) 30 = 2 × 15 (2) 49 = 7 × 7 (3) 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 (4) 240 = 2 × 2 × 2 × 30 - ประโยคสญั ลกั ษณ์การคณู ท่ีเขยี นในรปู การแยกตวั ประกอบ ไดแ้ ก่ ประโยคสญั ลกั ษณท์ ่ี 2, 3 - ประโยคสญั ลกั ษณ์การคูณที่ 1 และ 4 ไม่อยูใ่ นรูปการแยกตัวประกอบ เพราะ 15 และ 30 ไมใ่ ช่ จาํ นวนเฉพาะ ดงั น้นั สรปุ ไดว้ ่า การเขยี นจํานวนนับในรปู การคณู ของตวั ประกอบเฉพาะ เรยี กว่า การแยกตัวประกอบ ตวั อยา่ ง จงแยกตวั ประกอบของ 154 154 = 2 × 7 × 11 การหาตัวคณู ซง่ึ เปน็ ตัวประกอบเฉพาะทาํ ไดด้ งั นี้ วิธีท่ี 1 โดยวิธตี ้ังหาร จงแยกตัวประกอบของ 360 โดยวิธีตง้ั หาร 2)360 2)180 2) 90 3) 45 3) 15 5 ดังนนั้ 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 72 การอบรมครูด้วยระบบทางไกล หลกั สูตรมาตรฐานการอบรมครู ปที ี่ 2 (ฉบับปรบั ปรุง) กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา

6. ตวั ประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณติ ศาสตรป์ ระถมศึกษา วธิ ีท่ี 2 โดยใช้แผนภาพ จงแยกตัวประกอบของ 136 เขียนแผนภาพได้ดังน้ี 136 4 × 34 136 หรอื 2 × 2 × 2 × 17 2 × 68 2 × 2 × 34 2 × 2 × 2 × 17 ดงั นัน้ 136 = 2 × 2 × 2 × 17 ตวั หารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ตวั ประกอบของ 18 ตวั ประกอบของ 12 12 12 3 3 46 12 69 18 เขียนแสดงความสัมพันธ์ตัวประกอบของ 12 และ 18 ดังนี้ 1 9 42 18 12 3 6 - ตวั ประกอบของ 12 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12 - ตวั ประกอบของ 18 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 6, 9, 18 - ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18 ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 6 - ตวั ประกอบรว่ มของ 12 และ 18 ท่มี คี า่ มากท่ีสุด คือ 6 จาํ นวนนบั ท่เี ปน็ ตัวประกอบของจํานวนนบั ตงั้ แตส่ องจาํ นวนข้ึนไป เรยี กวา่ ตัวประกอบรว่ ม หรอื ตวั หารร่วม ตวั ประกอบรว่ มท่ีมคี ่ามากทส่ี ุดของจาํ นวนนับเหลา่ น้นั เรยี กวา่ ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี 73

สาขาคณติ ศาสตรป์ ระถมศกึ ษา สสวท. การหา ห.ร.ม. โดยวธิ ีหาตวั ประกอบ จงหา ห.ร.ม. ของ 39 และ 65 ตวั ประกอบของ 39 ไดแ้ ก่ 1 , 3 , 13 , 39 ตวั ประกอบของ 65 ได้แก่ 1 , 5 , 13 , 65 ตัวประกอบรว่ มของ 39 และ 65 ไดแ้ ก่ 1 , 13 และตัวประกอบรว่ มของ 39 และ 65 ที่มากที่สุดคือ 13 ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 39 และ 65 คือ 13 การหา ห.ร.ม. โดยวิธกี ารแยกตวั ประกอบ จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 60 และ 84 24 = 2 × 2 × 2 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 84 = 2 × 2 × 3 × 7 จาํ นวน 24, 60 และ 84 มตี วั ประกอบร่วมท่เี ป็นจาํ นวนเฉพาะคอื 2, 3 นั่นคอื ห.ร.ม. ของ 24, 60 และ 84 คือ 2 × 2 × 3 = 12 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีตัง้ หาร จงหา ห.ร.ม. ของ 9 15 และ 24 วธิ ีทาํ 3 ) 9 15 24 35 8 ดังน้นั ห.ร.ม. ของ 9, 15 และ 24 คือ 3 74 การอบรมครูด้วยระบบทางไกล หลักสตู รมาตรฐานการอบรมครู ปที ี่ 2 (ฉบบั ปรบั ปรงุ ) กลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา

6. ตัวประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณิตศาสตรป์ ระถมศกึ ษา การนํา ห.ร.ม. ไปประยกุ ตใ์ ช้ ตวั อย่างที่ 1 จงหาจํานวนทีม่ ากที่สุด ซง่ึ หาร 212 และ 388 แลว้ เหลือเศษ 2 และ 3 ตามลาํ ดบั วธิ ีทํา จํานวนทนี่ ําไปหา ห.ร.ม. ไดค้ อื 212 – 2 = 210 388 – 3 = 385 5 ) 210 385 7 ) 42 77 6 11 นน่ั คือ ห.ร.ม. ของ 210 และ 385 คือ 35 ตวั อย่างที่ 2 จงหาจํานวนทีม่ ากท่ีสดุ ซง่ึ เมอ่ื หาร 109, 139 และ 189 แลว้ เหลอื เศษเท่ากันและ หาว่าเศษเป็นเทา่ ไร วิธที ํา สมมุติให้เศษทเ่ี ท่ากันเป็น X เมอ่ื หักเศษทเี่ ท่ากันออกจาํ นวนเหล่านี้ คอื 109 – X, 139 – X และ 189 – X จํานวนทมี่ ากท่ีสุด (คอื ห.ร.ม.) จะต้องหาร 109 – X, 139 – X และ 189 – X ไดล้ งตวั และจาํ นวนทีม่ ากท่ีสุดน้จี ะหารผลตา่ งระหวา่ งจาํ นวนเหล่านัน้ ไดล้ งตวั (139 – X) – (109 – X) = 139 – 109 = 30 (189 – X) – (139 – X) = 189 – 139 = 50 (189 – X) – (109 – X) = 189 – 109 = 80 ดังนั้น จาํ นวนทม่ี ากทส่ี ดุ จะตอ้ งหาร 30, 50 และ 80 ไดล้ งตัว นน่ั คือจะตอ้ งหา ห.ร.ม. ของ 30 ,50 และ 80 2 ) 30 50 80 5 ) 15 25 40 358 นั่นคอื ห.ร.ม. ของ 30, 50 และ 80 คอื 2×5 = 10 สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี 75

สาขาคณิตศาสตร์ประถมศกึ ษา สสวท. ตวั อย่างการนาํ ห.ร.ม. ไปใช้ในเรอื่ งเศษสว่ น ตัวอยา่ ง จงทํา 5346 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ํา ห.ร.ม. ของ 36 และ 54 คือ 18 นัน่ คอื 5346 = 5346 ÷ 1188 ÷ 2 = 3 เศษส่วนอยา่ งตาํ่ คือ เศษส่วนทม่ี ี ห.ร.ม. ของตวั เศษและตัวส่วนเทา่ กับ 1 ตวั อยา่ งการนาํ ห.ร.ม. ไปใช้ในการแกป้ ญั หา ตัวอยา่ งท่ี 1 มเี ชือกอยู่สามเส้น ยาวเสน้ ละ 48, 60 และ 108 เมตร ถา้ ตดั แบง่ ให้ยาวเส้นละเทา่ ๆ กนั ให้ยาวทีส่ ุดเท่าท่ีจะยาวได้ และไม่เหลอื เศษ จะได้เชือกยาวเส้นละกเี่ มตร และไดเ้ ชอื ก ทัง้ หมดกีเ่ สน้ วธิ ีคิดท่ี 1 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 ห.ร.ม. คอื 2 × 2 × 3 = 12 วิธคี ิดท่ี 2 2 ) 48 60 108 2 ) 24 30 54 3 ) 12 15 27 45 9 ห.ร.ม. คือ 2 × 2 × 3 = 12 ดงั น้ัน จะแบง่ เชอื กได้ยาวทส่ี ดุ เสน้ ละ 12 เมตร เชือกเสน้ แรกแบ่งได้ 48 = 4 เสน้ 12 60 เชอื กเสน้ ท่ีสองแบง่ ได้ 12 = 5 เสน้ เชอื กเส้นท่ีสามแบ่งได้ 108 = 9 เสน้ 12 ดงั นัน้ จะได้เชอื กทง้ั หมด 4 + 5 + 9 = 18 เสน้ แสดงว่าจะแบง่ เชือกได้ยาวเสน้ ละ 12 เมตร และได้เชอื กทัง้ หมด 18 เส้น 76 การอบรมครูดว้ ยระบบทางไกล หลกั สูตรมาตรฐานการอบรมครู ปที ่ี 2 (ฉบับปรับปรุง) กล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา

6. ตัวประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณติ ศาสตร์ประถมศกึ ษา ตวั อยา่ งที่ 2 ไมอ้ ดั รปู ส่เี หลี่ยมผนื ผา้ กวา้ ง 1.20 เมตร ยาว 2.40 เมตร ต้องการตัดไม้อดั น้ี ใหเ้ ปน็ รปู สี่เหล่ยี มจตั ุรสั ให้มีพนื้ ทมี่ ากทสี่ ุด และไมเ่ หลอื เศษ จะได้ไมอ้ ัดรปู สเ่ี หลย่ี มจตั ุรัส ยาวด้านละเทา่ ไร และได้ไมอ้ ดั รปู ส่ีเหลีย่ มจัตุรสั ก่ีแผน่ วธิ ที ํา ไมอ้ ัดรปู สี่เหลย่ี มผืนผา้ กว้าง 1.20 เมตร ยาว 2.40 เมตร ต้องการตดั ไม้อัดเป็นรูปสเ่ี หล่ียมจัตรุ สั ใหม้ พี ืน้ ที่มากทส่ี ดุ ดังนั้นตอ้ งการหาความยาวทย่ี าวท่ีสดุ ของดา้ น ของรปู สีเ่ หลี่ยมจตั รุ สั คือ หา ห.ร.ม. ของ 1.20 เมตร และ 2.40 เมตร ไม้อัดกว้าง 1.20 เมตร หรอื 120 เซนตเิ มตร ไมอ้ ดั ยาว 2.40 เมตร หรอื 240 เซนติเมตร 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 ห.ร.ม. คอื 2 × 2 × 2 × 3 × 5 หรอื 120 ไมอ้ ัดด้านกว้างแบ่งได้ 120 = 1 ส่วน 120 ไม้อัดด้านยาวแบ่งได้ 122400 = 2 สว่ น ไดไ้ ม้อดั รปู สี่เหลย่ี มจตั ุรสั 1 × 2 = 2 แผ่น ดงั นน้ั ความยาวที่มากที่สดุ ของด้านไม้อดั รูปส่ีเหลีย่ มจตั รุ สั เปน็ 120 เซนติเมตร หรอื 1.20 เมตร ตัดไมอ้ ดั รูปสีเ่ หลี่ยมจตั รุ สั ได้ 2 แผน่ ตอบ ไมอ้ ัดยาวด้านละ ๑.๒๐ เมตร จํานวน ๒ แผน่ ตวั อย่างที่ 3 รปู สี่เหลีย่ มผนื ผ้ารูปหนึ่งมคี วามกว้าง 90 เซนติเมตร ความยาว 126 เซนติเมตร ต้องการแบง่ ออกเป็นรูปสีเ่ หลี่ยมจตั รุ สั ซึง่ มคี วามยาวของด้านยาวท่ีสุดเท่าทจ่ี ะสามารถแบง่ ได้ และไมม่ พี ื้นทเี่ หลอื จงหาวา่ รปู ส่ีเหลย่ี มจตั รุ สั นนั้ มีความยาวของด้านเป็นเท่าไร และจะแบง่ เป็น รูปสี่เหลย่ี มจตั รุ สั ไดท้ ้ังหมดกรี่ ูป วธิ ที ํา รูปส่ีเหล่ยี มผืนผ้ามคี วามกวา้ ง 90 เซนตเิ มตร ความยาว 126 เซนติเมตร แบง่ ออกเป็นรปู สี่เหลยี่ มจตั รุ สั ซ่ึงมีความยาวของด้านยาวทีส่ ดุ ดังนั้น จะต้องหา ห.ร.ม. ของ 90 และ 126 90 = 2 × 3 × 3 × 5 126 = 2 × 3 × 3 × 7 ห.ร.ม. ของ 90 และ 126 คือ 2 × 3 × 3 = 18 ดงั นั้น ความยาวของด้านของรปู สี่เหลี่ยมจตั รุ ัสยาวด้านละ 18 เซนติเมตร แบง่ ดา้ นกวา้ งออกได้ 90 = 5 สว่ นเทา่ ๆ กนั แบ่งด้านยาวออกได้ 18 = 7 สว่ นเทา่ ๆ กัน 126 18 สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี 77

สาขาคณิตศาสตรป์ ระถมศกึ ษา สสวท. ดังนัน้ จะแบง่ เป็นรูปส่ีเหล่ียมจตั ุรสั ไดท้ ั้งหมด 5 × 7 = 35 รปู ตอบ รูปสเี่ หล่ยี มจตั รุ สั ยาวด้านละ ๑๘ เซนติเมตร แบง่ เปน็ รูปสเ่ี หลี่ยมจตั รุ ัสได้ ๓๕ รูป ตวั อยา่ งท่ี 4 วทิ ยาตอ้ งการแบง่ กระดาษบันทกึ 24 แผ่น และดนิ สอ 36 แท่ง ให้แก่นักเรยี นดว้ ย จาํ นวนเทา่ ๆ กนั โดยไม่เหลือกระดาษบันทึกหรือดินสอ ถา้ วิทยาตกลงใจที่จะแบง่ กระดาษบนั ทึกและดินสอใหจ้ าํ นวนนักเรยี นมากท่ีสดุ เทา่ ที่จะสามารถแบ่งได้ จะมี จาํ นวนนกั เรียนกี่คนทจ่ี ะไดร้ ับสว่ นแบง่ นี้ และไดร้ บั สว่ นแบ่งอย่างไร วธิ ีทํา วิทยาตอ้ งการแบ่งกระดาษบันทึก 24 แผ่น และดนิ สอ 36 แท่ง ให้นกั เรียนแต่ละคนมากทส่ี ดุ เทา่ ทจี่ ะเป็นไปได้ ดงั น้นั จะต้องหา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 คือ 2 × 2 × 3 = 12 ดงั นนั้ มนี กั เรียน 12 คนไดร้ ับส่วนแบง่ 1224 แตล่ ะคนไดร้ บั กระดาษบันทกึ = 2 แผ่น = 3 แท่ง ไดร้ ับดินสอ 36 12 ตอบ มนี กั เรยี น ๑๒ คน ไดร้ ับสว่ นแบง่ และแต่ละคนได้รบั กระดาษบนั ทกึ ๒ แผ่น ดินสอ ๓ แท่ง ข้อควรสังเกต ในการนาํ ห.ร.ม. มาใช้แกโ้ จทยป์ ัญหาน้ัน จะเป็นโจทยป์ ัญหาทเ่ี ก่ียวกับการแบง่ จํานวน ของส่ิงตา่ ง ๆ ออกเป็นสว่ น สว่ นละเท่า ๆ กัน โดยส่วนแบง่ แตล่ ะส่วนมปี ริมาณมากทสี่ ุด และไม่เหลอื เศษ 78 การอบรมครดู ้วยระบบทางไกล หลักสตู รมาตรฐานการอบรมครู ปีท่ี 2 (ฉบบั ปรับปรงุ ) กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา

6. ตัวประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณิตศาสตรป์ ระถมศกึ ษา ตวั คณู รว่ มนอ้ ย (ค.ร.น.) พหคุ ูณของ 4 และ 6 แผนภาพแสดงพหคุ ณู ของจาํ นวนนับ 4 และ 6 พหคุ ูณของ 4 พหคุ ณู ของ 6 4, 8, 12, 16, 6, 12, 18, 4 8 16 12 6 18 20, 24, 28, 24, 30, 36, 20 28 24 30 42 32, 36,… 42,… 32 36 จากแผนภาพ จาํ นวนนับท่ีเป็นท้งั พหุคณู ของ 4 และ 6 ได้แก่ 12, 24 และ 36 จาํ นวนนับทน่ี อ้ ยทสี่ ดุ ทเ่ี ป็นทั้งพหุคณู ของ 4 และ 6 คือ 12 เรยี ก 12 วา่ เป็นตัวคูณรว่ มนอ้ ย หรือ ค.ร.น. ของ 4 และ 6 จาํ นวนนบั ท่ีเปน็ พหุคณู ของจาํ นวนนบั ตงั้ แต่สองจาํ นวนขนึ้ ไป เรยี กว่า ตัวคูณรว่ ม ตวั คณู รว่ มทน่ี อ้ ยที่สดุ ของจาํ นวนนับเหลา่ นน้ั เรยี กวา่ ตัวคูณร่วมนอ้ ย หรอื ค.ร.น. การหา ค.ร.น. โดยวธิ ีแยกตัวประกอบ จงหา ค.ร.น. ของ 12 และ 30 12 = 2 × 2 × 3 30 = 2 × 3 × 5 ตวั คณู ร่วมน้อยทสี่ ดุ เทา่ กับ 2 × 2 × 3 × 5 = 60 ดังน้นั ค.ร.น. ของ 12 และ 30 คือ 60 สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 79

สาขาคณิตศาสตรป์ ระถมศกึ ษา สสวท. การนํา ค.ร.น. ไปประยุกต์ใช้ 1) การนํา ค.ร.น. ไปใช้หาผลบวกและผลลบของเศษสว่ น เมอื่ ตัวส่วนไม่เท่ากนั ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาผลบวก 5 + 9 7 14 วธิ ที าํ ค.ร.น. ของ 7 และ 14 คือ 14 ดังนน้ั 75 + 194 = 1140 + 194 = 1149 = 1154 ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาผลลบ 17 - 51 18 90 วิธีทํา ค.ร.น. ของ 18 และ 90 คือ 90 ดังน้นั 17 - 51 = 17 × 5 - 51 18 90 18 × 5 90 85 51 = 90 - 90 = 34 90 17 = 45 ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ ( 1 - 2 ) + 7 3 7 9 วธิ ที ํา ค.ร.น. ของ 3, 7 และ 9 คอื 63 ดงั นั้น (31 - 72) + 7 = (13××2211 - 2 × 99) + 7×7 9 7 × 9×7 (6231 1683) 49 = - + 63 = 3 + 49 63 63 52 = 63 ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาคา่ ของ 23 + 5 - 37 36 12 48 วิธีทํา ค.ร.น. ของ 36, 12 และ 48 คือ 144 ดังนนั้ 23 + 5 - 37 = 23 × 4 + 5×12 - 37 × 3 36 12 48 36 × 4 12 ×12 48 × 3 92 60 111 = 144 + 144 - 144 = 41 144 80 การอบรมครูดว้ ยระบบทางไกล หลักสตู รมาตรฐานการอบรมครู ปที ่ี 2 (ฉบบั ปรบั ปรงุ ) กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ระดับประถมศึกษา

6. ตวั ประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณติ ศาสตรป์ ระถมศึกษา 2) การนํา ค.ร.น. ไปใช้หาจาํ นวนทีน่ อ้ ยทีส่ ดุ ตัวอย่างที่ 5 จงหาจาํ นวนท่ีนอ้ ยท่สี ุด ซงึ่ หารดว้ ย 7 เหลอื เศษ 6 ถา้ หารด้วย 9 เหลอื เศษ 8 และถา้ หารด้วย 13 เหลือเศษ 12 วธิ ที ํา หา ค.ร.น. ของ 7, 9 และ 13 ได้ 819 เนอ่ื งจาก หารด้วย 7 เหลือเศษ 6 หารดว้ ย 9 เหลอื เศษ 8 หารด้วย 13 เหลอื เศษ 12 ตัวหารกับเศษตา่ งกัน 7 – 6 = 1 9–8 = 1 13 – 12 = 1 ดงั น้นั จาํ นวนท่ีนอ้ ยทส่ี ุด ซงึ่ หารดว้ ย 7, 9 และ 13 เหลือเศษ 6, 8 และ 12 ตามลําดับ คือ 819 – 1 = 818 ตัวอย่างการนาํ ค.ร.น. ไปใช้ในการแกป้ ัญหา ตวั อย่างที่ 1 ระฆงั สามใบตเี ปน็ ระยะๆ ใบทีห่ นึ่งตที กุ 10 นาที ใบที่สองตที ุก 15 นาที ใบท่ีสาม ตีทกุ 30 นาที อยากทราบวา่ เมอ่ื ใดระฆังจะตีพร้อมกันท้ัง 3 ใบ วิธที าํ ต้องการหาวา่ เม่อื ใดระฆังจะตีพร้อมกนั จงึ ต้องหา ค.ร.น. ของ 10, 15 และ 30 10 = 2 × 5 15 = 3 × 5 30 = 2 × 3 × 5 ค.ร.น. ของ 10, 15 และ 30 คือ 2 × 3 × 5 หรือ 30 ดังนน้ั ระฆังจะตีพร้อมกนั เมือ่ เวลาผา่ นไปทกุ ๆ 30 นาที ตอบ ระฆังจะตพี ร้อมกนั เม่อื เวลาผา่ นไปทุก ๆ ๓๐ นาที ตัวอย่างที่ 2 ถ้าตอ้ งการแบ่งนกั เรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 6 คน หรือ 8 คน หรอื 10 คน จะตอ้ งมี นกั เรียนอยา่ งน้อยทีส่ ดุ กค่ี น จงึ จะแบ่งนกั เรียนแต่ละกลุ่มได้หมดพอดี วิธีทํา ต้องการแบ่งนักเรยี นออกเป็นกล่มุ กลมุ่ ละ 6 คน หรอื กลุม่ ละ 8 คน หรือ กลุ่มละ 10 คน ค.ร.น. ของ 6, 8 และ 10 คอื 120 ดังนัน้ ต้องมีนักเรยี นอยา่ งนอ้ ยทส่ี ุด 120 คน ตอบ ตอ้ งมนี ักเรยี นอย่างนอ้ ยทีส่ ดุ ๑๒๐ คน สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 81

สาขาคณิตศาสตรป์ ระถมศึกษา สสวท. ตัวอยา่ งที่ 3 ถา้ ตอ้ งการซ้อื แตงโมราคาผลละ 25 บาท หรอื ซอื้ สม้ โอราคาผลละ 40 บาท จะตอ้ งมเี งิน อยา่ งน้อยทสี่ ุดเท่าไร จึงจะซ้ือผลไมแ้ ตล่ ะชนิดไดห้ มดเงินพอดีและซื้อไดอ้ ยา่ งละก่ีผล วิธที าํ แตงโมราคาผลละ 25 บาท สม้ โอราคาผลละ 40 บาท ค.ร.น. ของ 25 และ 40 คอื 200 ดงั น้ัน ตอ้ งมีเงินอยา่ งน้อยทสี่ ุด200 บาท ซอื้ แตงโมได้ 200 ÷ 25 = 8 ผล ซื้อส้มโอได้ 200 ÷ 40 = 5 ผล ตอบ จะตอ้ งมเี งนิ อย่างน้อย 200 บาท ซ้ือแตงโมได้ 8 ผล ซื้อสม้ โอได้ 5 ผล ตัวอยา่ งท่ี 4 นาฬกิ าปลุก 3 เรอื น แตล่ ะเรอื นจะปลุกทกุ ๆ 2 ช่ัวโมง 3 ชว่ั โมง 4 ชั่วโมง ตามลาํ ดับ ถา้ นาฬิกาทั้งสามเรอื นปลกุ พรอ้ มกันครัง้ แรกเมอ่ื เวลา 06.00 น. ทั้งสามเรอื นจะปลกุ พรอ้ มกนั ครงั้ ที่สองเมือ่ เวลาใด วิธีทาํ นาฬิกาเรอื นท่ี 1 ปลกุ ทุก ๆ 2 ชวั่ โมง นาฬกิ าเรอื นท่ี 2 ปลกุ ทุก ๆ 3 ชวั่ โมง นาฬกิ าเรอื นท่ี 3 ปลุกทุก ๆ 4 ชวั่ โมง ค.ร.น. ของ 2, 3 และ 4 คือ 12 ดังนน้ั นาฬกิ าท้งั สามเรือนจะปลกุ พร้อมกนั ครั้งทสี่ องเมอื่ เวลาผ่านไป 12 ชั่วโมง นาฬกิ าทง้ั สามเรือน ปลกุ คร้ังแรกเมอื่ เวลา 06.00 น. ดังนั้น จะปลกุ พรอ้ มกันครงั้ ท่ีสอง เวลา 18.00 น. ตอบ จะปลุกพรอ้ มกนั ครั้งที่สอง เวลา ๑๘.๐๐ น. ขอ้ ควรสังเกต ในการนํา ค.ร.น. มาแก้โจทย์ปญั หานนั้ จะใชเ้ ม่ือตอ้ งการหาจํานวนของส่งิ ใด สิ่งหนง่ึ ให้มจี าํ นวนน้อยที่สดุ โดยเมื่อนาํ มาแบ่งตามจาํ นวนท่ตี ้องการจะแบง่ ไดพ้ อดี 82 การอบรมครูดว้ ยระบบทางไกล หลักสูตรมาตรฐานการอบรมครู ปีท่ี 2 (ฉบบั ปรับปรุง) กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา

6. ตัวประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณิตศาสตร์ประถมศกึ ษา ความรู้เพิ่มเตมิ สําหรบั ผสู้ อน 12345 6 7 8 9 10 จํานวนท่ี 1 ถึง 50 มจี ํานวนเฉพาะกจี่ าํ นวน 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12345 21 22 23 24 25 6 7 8 9 10 26 27 28 29 30 11 12 13 14 15 31 32 33 34 35 16 17 18 19 20 36 37 38 39 40 21 22 23 24 25 41 42 43 44 45 26 27 28 29 30 46 47 48 49 50 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 จํานวนนบั ทีเ่ ป็นจาํ นวนเฉพาะมจี าํ นวนมากนอ้ ยเพยี งใด... ???... จากการพิสูจน์โดยใชต้ ะแกรงของเอราโตสเทเนส ทําให้ทราบว่า จาํ นวนเฉพาะมีได้ไมจ่ ํากัดจํานวน ตวั อย่าง จงหาจาํ นวนเฉพาะระหว่าง 1 ถงึ 30 ข้ันท่ี 1 1 ไม่เป็นจาํ นวนเฉพาะตัด 1 ท้งิ 2 เป็นจํานวนเฉพาะวงเอาไว้ ตัดจํานวนท่ีมี 2 เปน็ ตวั ประกอบท้งิ 1 6 11 16 21 26 2 7 12 17 22 27 3 8 13 18 23 28 4 9 14 19 24 29 5 10 15 20 25 30 สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 83

สาขาคณติ ศาสตรป์ ระถมศึกษา สสวท. ขั้นท่ี 2 3 เป็นจํานวนเฉพาะวงเอาไว้ ตดั จาํ นวนที่มี 3 เป็นตวั ประกอบทง้ิ 1 6 11 16 21 26 2 7 12 17 22 27 3 8 13 18 23 28 4 9 14 19 24 29 5 10 15 20 25 30 ขน้ั ท่ี 3 5 เป็นจํานวนเฉพาะวงเอาไว้ ตดั จาํ นวนท่มี ี 5 เปน็ ตวั ประกอบทง้ิ 1 6 11 16 21 26 2 7 12 17 22 27 3 8 13 18 23 28 4 9 14 19 24 29 5 10 15 20 25 30 ทําเชน่ นี้ไปเรอื่ ยๆ โดยวงกลมล้อมรอบจํานวนเฉพาะและตัดจาํ นวนทีไ่ มใ่ ช่จาํ นวนเฉพาะทิง้ ดงั น้ัน จาํ นวนเฉพาะระหวา่ ง 1 ถงึ 30 คือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 • ในกรณเี มื่อแยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเฉพาะซํ้ากนั เราจะเขียนตัวประกอบเฉพาะ ทีซ่ าํ้ กันในรูปของเลขยกกําลงั โดยใหต้ วั ประกอบเฉพาะเป็น ฐาน และจํานวนตัวที่ซาํ้ กันเปน็ เลขช้ีกําลงั เช่น 108 = 3 × 3 ×3 × 2 × 2 = 33 × 22 ดังนน้ั an = a × a × a ×a × ... × a ซึง่ เรียกวา่ เลขยกกําลงั n จาํ นวน โดย a เปน็ ฐาน n เป็นเลขชก้ี ําลัง an อา่ นว่า เอยกกําลงั เอน็ 33 อ่านว่า สามยกกําลังสาม 84 การอบรมครดู ้วยระบบทางไกล หลักสตู รมาตรฐานการอบรมครู ปที ่ี 2 (ฉบับปรบั ปรุง) กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา

6. ตัวประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณิตศาสตร์ประถมศึกษา การตรวจสอบจํานวนเฉพาะ การตรวจสอบว่าจํานวนทีก่ าํ หนดให้เปน็ จํานวนเฉพาะหรอื ไม่ ใหป้ ฏิบตั ิตามขนั้ ตอน ดงั นี้ ข้ันที่ 1 หาจาํ นวนเฉพาะทุกจาํ นวนทย่ี กกาํ ลังสองแล้วได้ผลลัพธไ์ ม่เกินจํานวนที่ตอ้ งการตรวจสอบ ขัน้ ท่ี 2 นําจํานวนเฉพาะทุกจํานวนท่ีหาได้ในขั้นท่ี 1 ไปหารจํานวนทต่ี อ้ งการตรวจสอบ – ถา้ มีจาํ นวนเฉพาะตัวใดตัวหนึ่ง หารจาํ นวนท่ีตอ้ งการตรวจสอบได้ลงตวั แสดงว่า จาํ นวนทต่ี ้องการตรวจสอบน้นั ไมเ่ ป็นจํานวนเฉพาะ – ถา้ ไมม่ ีจํานวนเฉพาะตัวใด หารจํานวนท่ีตอ้ งการตรวจสอบได้ลงตัว แสดงวา่ จาํ นวนทตี่ ้องการตรวจสอบนนั้ เปน็ จาํ นวนเฉพาะ ตวั อยา่ งที่ 1 จงตรวจสอบว่า 221 เป็นจาํ นวนเฉพาะหรอื ไม่ ขั้นที่ 1 หาจํานวนเฉพาะทุกจาํ นวนที่ยกกําลังสองแล้วไดผ้ ลลัพธ์ไมเ่ กนิ 221 เพราะว่า 22 = 4 32 = 9 52 = 25 72 = 49 112 = 121 132 = 169 172 = 289 (เกิน 221) ดังนั้น จํานวนเฉพาะทุกจาํ นวนทย่ี กกาํ ลังสองแล้วได้ผลลพั ธ์ไมเ่ กิน 221 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11 และ 13 ขน้ั ที่ 2 นํา 2, 3, 5, 7, 11 และ 13 ไปหาร 221 พบวา่ 221 ÷ 13 = 17 (หารลงตัว) ดงั น้นั 221 ไมเ่ ปน็ จํานวนเฉพาะ จากตัวอย่าง ในข้นั ตอนที่ 1 การนาํ จาํ นวนเฉพาะทกุ ๆ จาํ นวนยกกาํ ลงั สองเป็นวิธีทชี่ ้า จงึ อาจทําใหเ้ ร็วข้นึ ดงั นี้ เพราะว่า 202 = 400 (เกิน 221) และ 102 = 100 (ไม่เกนิ 221) จาํ นวนเฉพาะระหว่าง 10 ถึง 20 ไดแ้ ก่ 11, 13 และ 17 แต่ 172 = 289 (เกิน 221) และ 132 = 169 (ไม่เกนิ 221) ดงั นนั้ จาํ นวนเฉพาะทุกจํานวนทีย่ กกาํ ลังสองแลว้ ไดผ้ ลลพั ธ์ไมเ่ กนิ 221 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11 และ 13 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 85

สาขาคณติ ศาสตร์ประถมศกึ ษา สสวท. ตัวอยา่ งท่ี 2 จงตรวจสอบว่า 1,103 เปน็ จาํ นวนเฉพาะหรือไม่ ขนั้ ที่ 1 หาจาํ นวนเฉพาะทุกจํานวนท่ยี กกาํ ลงั สองแลว้ ไดผ้ ลลพั ธไ์ มเ่ กนิ 1103 อาจทําใหเ้ ร็วขึน้ ดงั นี้ เพราะวา่ 402 = 1,600 (เกนิ 1103) และ 302 = 900 (ไมเ่ กิน 1103) จาํ นวนเฉพาะระหวา่ ง 30 ถึง 40 ไดแ้ ก่ 31 และ 37 แต่ 372 = 1390 (เกนิ 1103) และ 312 = 961 (ไมเ่ กนิ 1103) ดงั นนั้ จาํ นวนเฉพาะทกุ จาํ นวนทยี่ กกาํ ลังสองแลว้ ไดผ้ ลลพั ธไ์ มเ่ กนิ 1103 ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 และ 31 ขัน้ ที่ 2 นํา 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 และ 31 ไปหาร 1103 พบวา่ ไม่มจี าํ นวนใดหาร 1103 ไดล้ งตัว ดงั น้นั 1103 เป็นจาํ นวนเฉพาะ การหา ห.ร.ม. ตามข้ันตอนวธิ ียคุ ลิด (Euclidean Algorithm) 1 45 126 2 ข้นั ตอนท่ี 1 นําจํานวนท่ีน้อยกวา่ ไปหารจํานวนท่ีมากกวา่ 36 90 ในท่นี ี้ 126 ÷ 45 ได้ 2 เศษ 36 9 36 4 36 ข้นั ตอนที่ 2 นาํ เศษทีเ่ หลอื ในขั้นตอนท่ี 1 คอื 36 ไปหาร 45 0 จะได้ 45 ÷ 36 ได้ 1 เศษ 9 ขนั้ ตอนที่ 3 นาํ เศษทเ่ี หลอื ในขัน้ ตอนที่ 2 คือ 9 ไปหาร 36 จะได้ 36 ÷ 9 ได้ 4 เศษ 0 ดังนน้ั ห.ร.ม. คอื 9 สรปุ หลักการ 1. เมอื่ เศษเป็นศูนย์ แสดงว่าการหารจบสิ้นแลว้ 2. หารกลบั ไปกลบั มาทางขวาและทางซ้าย โดยนาํ ตัวเศษไปหารตอ่ ๆไป ตวั หารตวั สดุ ทา้ ย คือ ห.ร.ม. ในทนี่ ้คี อื 9 86 การอบรมครูดว้ ยระบบทางไกล หลกั สูตรมาตรฐานการอบรมครู ปีท่ี 2 (ฉบบั ปรับปรุง) กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ ระดบั ประถมศึกษา

6. ตวั ประกอบ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. คณติ ศาสตร์ประถมศึกษา ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 348 และ 1,024 1 348 1,024 2 วิธีการหาร 328 696 16 1. นําจาํ นวนท่ีน้อยกว่าไปหารจาํ นวน 2 2 20 328 ทีม่ ากกวา่ ในที่นี้คอื 16 320 นํา 348 ไปหาร 1,024 ได้ 2 48 ใส่ผลลพั ธไ์ ว้ นาํ 348 × 2 ได้ 696 8 ไปหกั ออกจาก 1,024 คงเหลอื 328 0 2. นาํ 328 ไปหาร 348 ได้ 1 คร้ัง 348 - 328 คงเหลอื 20 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 348 และ 1,024 3. นาํ 20 ไปหาร 328 ได้ 16 ครัง้ คอื 4 328 - 320 คงเหลอื 8 4. นาํ 8 ไปหาร 20 ได้ 2 ครง้ั 20 - 16 คงเหลือ 4 5. นํา 4 ไปหาร 8 ได้ 2 ครั้ง 8 - 8 คงเหลือ 0 6. จาํ นวนสุดทา้ ย คือ 4 ไปหาร 8 ไดล้ งตัว เหลือเศษ 0 จาํ นวน 4 คอื ห.ร.ม. ข้อควรสังเกต การหา ห.ร.ม. โดยวิธนี จี้ ะใช้เมือ่ จํานวนนบั น้ันมคี ่ามากๆ โดยนาํ มาตง้ั ทีละ สองจาํ นวน ตง้ั คู่กนั ไป นําจาํ นวนน้อยหารจาํ นวนมาก เม่ือลบกนั แลว้ นําผลลบไปหาร อกี จาํ นวนหน่งึ สลับกันไปจนกว่าจะหารได้ลงตัว เหลอื เศษศูนย์ จาํ นวนท่ีเปน็ ตวั หารได้ ลงตัว จาํ นวนสุดท้ายคอื ห.ร.ม. สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี 87