32. Jika dalam segitiga ABC memenuhi hubungan sin B = 1 (sin A + sin C), maka 2 buktikanlah bahwa tan 1 A.tan 1 B = 1/3. 22 Jawab sin B = 1 (sin A + sin C) 2 sin(1800 – (A+C)) = 1 (sin A + sin C) 2 sin(A+C)) = 1 (sin A + sin C) 2 sin(A+C) = 1 .2.sin 1 (A+C).cos 1 (A – C) 22 2 2.sin 1 (A+C).cos 1 (A+C) = sin 1 (A+C).cos 1 (A – C) 22 22 2.cos 1 (A+C) = cos 1 (A – C) 22 2.cos 1 A.cos 1 C – 2.sin 1 A.sin 1 C = cos 1 A.cos 1 C + sin 1 A.sin 1 C 22 22 22 22 cos 1 A.cos 1 C = 3.sin 1 A.sin 1 C 22 22 tan 1 A.tan 1 C = 1 223 33. Dari segitiga ABC diketahui bahwa sin C = (sin A sin B)2 maka tentukanlah nilai cos C = ... cos 2 1 (A B) 2 Jawab sin C = (sin A sin B)2 cos 2 1 (A B) 2 2.sin 1 C.cos 1 C = (2sin 1 (A B).cos 1 (A B))2 2 2 22 cos 2 1 (A B) 2 2.sin 1 C.cos 1 C = 4.sin2 1 (A + B) 22 2 sin 1 C.cos 1 C = 2.sin2 1 (1800 – C ) 22 2 Rumus-Rumus Trigonometri 18
sin 1 C.cos 1 C = 2.sin2(900 – 1 C ) 22 2 sin 1 C.cos 1 C = 2.cos2 1 C 22 2 sin 1 C = 2.cos 1 C 22 tan 1 C = 2 2 dimana tan2 1 C + 1 = sec2 1 C 22 22 + 1 = sec2 1 C 2 sec2 1 C = 5 maka sec 1 C = 5 jadi cos 1 C = 1 5 25 22 jadi cosC = cos2( 1 C) = 2.cos2 1 C – 1 22 1 2 – 5 = 2 5 1 =3 5 34. Tentukanlah nilai tan 200. tan 400. tan 800. Jawab tan 200. tan 400. tan 800 = sin 200 sin 400 sin 800 cos 200 cos 400 cos 800 1 (cos 200 cos 600 ) sin 800 =2 1 (cos 600 cos 200 ) cos 800 2 = cos 200 sin 800 cos 600 sin 800 cos 600 cos 800 cos 200 cos 800 1 (sin1000 sin 600 ) 1 sin 800 =2 2 1 cos 800 1 (cos1000 cos 600 ) 22 sin1000 1 3 sin 800 =2 cos 800 cos1000 1 2 Rumus-Rumus Trigonometri 19
sin 800 1 3 sin 800 20 =2 cos 800 cos 800 1 2 1 3 =2 1 2 =3 35. Tentukanlah nilai cos A cos B cos C sin B.sin C sin A.sin C sin A.sin B Jawab Ruas kiri = cos A cos B cos C sin B.sin C sin A.sin C sin A.sin B = sin A.cos A sin B.cos B cinC.cos C sin A.cinB.sin C = 2sin A.cos A 2sin B.cos B 2cinC.cos C 2sin A.cinB.sin C = sin 2A sin 2B cin 2C 2sin A.cinB.sin C = 2sin(A B) cos(A B) 2cinC.cos C 2sin A.cinB.sin C = 2sin(1800 C) cos(A B) 2cinC.cos C 2sin A.cinB.sin C = 2sin C.[cos(A B) cos C] 2sin A.cinB.sin C = cos(A B) cos(1800 [A B]) sin A.cinB = cos(A B) cos(A B) sin A.cinB = 2.sin A.sin B sin A.cinB =2 = ruas kanan Rumus-Rumus Trigonometri
SOAL LATIHAN 03 C. Rumus Hasil Kali dan Jumlah Sinus dan Cosinus 01. Nilai dari sin 1050 – sin 150 = … A. 1 B. 1 2 C. 1 3 2 2 2 D. 1 6 E. 1 2 02. Nilai dari sin 1950 + sin 750 = … A. 1 B. 1 2 C. 1 3 2 2 2 D. 1 6 E. 1 2 03. Nilai dari cos 750 + cos 150 = … A. 1 B. 1 2 C. 1 3 2 2 2 D. 1 6 E. 1 2 04. Nilai dari cos 800 + cos 400 – cos 200 = … A. 0 B. 1 C. 1 2 D. 1 3 + 1 E. 1 2 + 1 22 22 05. Nilai dari cos 100 + cos 1100 + cos 1300 = … A. 0 B. 1 C. 1 2 D. 1 3 + 1 E. 2.cos 100 22 06. Bentuk sin x – sin 3x – sin 5x + sin 7x sama nilainya dengan … A. –2.sinx.sin2x.sin4x B. –4.sinx.sin2x.sin4x C. –2.sin2xin3x.sin5x D. –4.sin2x.sin3x.sin5x E. –2.sin3x.sin4x.sin6x Rumus-Rumus Trigonometri 21
07. Bentuk sin A sin B sama nilainya dengan cosA cosB A. tan 1 ( A B) B. tan 1 (B A) C. tan 1 ( A B) 2 2 2 D. tan (A B) E. tan (A B) 08. Bentuk sin 2x sin 4x sin 6x sama nilainya dengan … cos2x cos4x cos6x A. tan 2x B. tan 4x C. tan 6x D. 2.tan 2x E. 2.tan 4x 09. Bentuk sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x sama nilainya dengan … A. 2.cosx.cos2x.sin4x B. 4.cosx.cos2x.sin4x C. 2.cos2x.cos3x.sin4x D. 4. cos2x.cos3x.sin4x E. 2.cos3x.cosx.sin3x 10. Bentuk cos3x sin6x cos9x sama nilainya dengan … sin9x cos6x sin3x A. tan 2x B. –tan 4x C. tan6x D. 2.tan 2x E. 2.tan 4x 11. sin3x sin5x sin7x sin9x = … cos3x cos5x cos7x cos9x A. tan 2x B. tan 4x C. tan 6x D. 2.tan 2x E. 2.tan 4x 12. Bentuk sin 4x + sin 2x – 2.cosx.sin5x sama nilainya dengan … A. –4.cosx.cos4x.sinx B. –2.cos2x.cos4x.sinx C. –4.cosx.cos4x.sin2x D. –4.cosx.cos2x.sin4x E. –2.cos2x.cos3x.sinx 13. Bentuk cos 6x – 4.sin2x.cos x – cos 2x sama nilainya dengan … A. –8.sinx.sin2x.cosx.cos3x B. –4.sin2x.sin 3 x.cos3x.cos 5 x 22 C. –8sinx.sin 5 x.cosx.cos 3 x D. –4.sinx.sin3x.cosx.cos2x 22 E. –8.sinx.sin4x.cos5x.cosx 14. Nilai dari cos 200 + cos 1000 + cos 2200 = … A. 1 B. 1 2 1 C. 0 2 2 D. 1 E. 2.cos 1000 Rumus-Rumus Trigonometri 22
15. 2.sin37,50. cos7,50 + 2.cos262,50. cos37,50 nilainya sama dengan … A. 2 B. 3 C. 1 D. 2 E. 0 16. Nilai dari cos750 cos150 = …. sin 750 sin 150 A. 2 B. 3 C. 1 D. 2 E. 0 17. Jika A = sin 3x + sin x dan B = cos 3x + cos x maka A = … B A. tan x B. tan 1 x C. tan 2x 2 D. tan 3x E. 2.tan 1 x 2 18. Bentuk 4.sin 180 . cos 360 .sin 540 sama nilainya dengan … A. 1 + 2. sin 360 – sin 180 B. 1 + 2.sin 180 – cos360 C. 1 – 2.sin360 + cos180 D. 1 – 2.sin180 + cos360 E. 1 + 2.sin180 + cos360 19. Bentuk 4.sin360.coc720.sin1080 sama nilainya dengan … A. 1 + cos360 B. 1– cos360 C. 1 + cos540 D. 1 – cos540 E. 1 – cos720 20. cos380cos720 – sin470cos770 – sin250sin 90 sama nilainya dengan … A. –1/2 B. 0 C. 1/2 D. 1 E. 2 21. 2.cos (x + 450).cos (x – 450) = … A. sin 2x B. cos 2x C. 2.sin x D. 2.cos x E. cos 4x 22. Nilai dari 2.sin 1350.cos 750 sama nilainya dengan … A. 1 3 1) B. 1 3 1) C. 1 2 1) ( ( ( 2 2 2 D. 1 2 3) E. 1 2 3) ( ( 2 2 23. 2.sin 1350.cos 750. – 2.sin 1650.sin 1050 = … A 1 3 B. 1 3 4) C. 0 ( 2 2 D. 1 E. –1 Rumus-Rumus Trigonometri 23
24. Bentuk sederhana dari sin 2A ( 2.cos A – 1 ) adalah … A. sin A – sin 3A + sin 4A B. sin 2A – sin 3A + sin 4A C. sin A – sin 2A + sin 4A D. sin 3A + sin A – sin 2A E. sin A – sin 2A + sin 3A 25. 2.sin (x + 600).cos (x – 600) = … A. 1 – sin 2x B. 1 + 2.sin 2x C. 1 3 + sin 2x 2 2 2 D. 1 3 – 2.sin 2x E. 1 – 1 sin 2x 2 22 26. 4.sin 60.cos 120 sin 180 = … B. 1 + sin 30.– cos 60 A. 1 + sin 40.– cos 80 D. 1 + sin 40.– cos 60 C. 1 + sin 50.– cos 100 E. 1 + sin 60.– cos 120 27. Nilai dari tan 750.– tan 150 sama dengan … A. 1 6 B. 2 3 C. 3 3 2 D. 6 E. 1 3 3 28. Pak Ujang adalah seorang yang dermawan. Ia akan menyumbangkan tanahnya yang berbentuk seperti gambar berikut untuk keperluan sosial. Luas tanah pak Ujang adalah ... A. 50 6 m2 B. 60 6 m2 C. 70 6 m2 D. 80 6 m2 E. 90 6 m2 10 m 1650 20 m 10 m 750 29. Hasil dari sin 250 sin 650 = .... cos1400 cos1000 A. 2 B. 1 2 C. 1 2 2 4 D. 1 2 E. 1 2 4 2 30. Diketahui tan 250 = p, maka nilai dari tan 2050 tan1150 = …. C. tan 2450 tan3350 A. p2 1 B. p2 1 p2 1 p2 1 1 p2 2p D. 2p2 2 E. 3p – 2 Rumus-Rumus Trigonometri 24
31. Jika cos (600 ) = 2 , maka nilai tan α =… cos (600 ) A. 1 3 B. 1 3 C. 3 8 9 D. 2 3 E. 9 3 32. Jika m = cos 2p + cos 2q dan p – q = 1500 maka nilai m = …. A. - 3 cos (p + q) B. 1 3 cos (p + q) C. – cos (p + q) 2 D. 3 cos (p – q) E. cos (p + q) 33. Nilai dari cos1050 cos150 = …. sin750 sin150 A. 1 B. 1 C. 1 3 2 2 D. 2 3 E. 3 C. 3 C. 1 2 34. sin 8700 sin 8400 = ….. B. 2 – 3 cos8700 cos8400 E. 3 – 2 2 A. 2 + 3 C. 1 D. 2 3 35. Nilai cos 720 + sin 720.tan 360 = … A. 3 B. 3 2 D. 1 E. 1 2 36. Nilai dari sin2150 – sin21050 = …… A. 1 3 B. 1 2 2 2 D. 1 2 E. 1 3 2 2 37. Nilai dari sin 400 sin 200 adalah ... cos400 cos200 A. – 3 B. – 1 3 C. 1 3 3 3 D. 2 E. 3 Rumus-Rumus Trigonometri 25
38. Nilai dari sin1000 sin1200 adalah ... cos 2500 cos1900 A. –1 B. – 1 3 C. 1 3 3 3 D. 2 E. 3 Rumus-Rumus Trigonometri 26
RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI E. Persamaan Trigonometri Persamaan trigonometri adalah persamaan yang didalamnya memuat perbandingan trigonometri. Persamaan trigonometri ini terbagi dua bentuk, yakni berbentuk kalimat terbuka dan berbentuk identitas. Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam bntuk kalimat terbuka, berarti menentukan nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar. Terdapat tiga macam rumus perioda yang dipakai dalam menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk ini, yaitu : dan x = (180 – α) + k.3600 (1) sin x = sin α maka x = α + k.3600 dan x = – α + k.3600 (2) cos x = cos α maka x = α + k.3600 (3) tan x = tan α maka x = α + k.1800 dimana k adalah bilangan bulat Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini : 01. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 00 < x ≤ 3600 Jawab cos 2x = 1/2 cos 2x = cos 600 maka 2x = 600 + k.3600 x = 300 + k.1800 Untuk k = 0 maka x = 300 + (0)1800 = 300 Untuk k = 1 maka x = 300 + (1)1800 = 2100 2x = –600 + k.3600 x = –300 + k.1800 Untuk k = 1 maka x = –300 + (1)1800 = 1500 Untuk k = 2 maka x = –300 + (2)1800 = 3300 Jadi H = { 300, 1500 , 2100 , 3300 } 02. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 2.sin 3x = 2 dalam interval 00 < x ≤ 3600 Jawab 2.sin 3x = 2 sin 3x = 1 2 2 sin 3x = sin 2250 Rumus-Rumus Trigonometri 1
maka 3x = 2250 + k.3600 x = 750 + k.1200 Untuk k = 0 maka x = 750 + (0)1200 = 750 Untuk k = 1 maka x = 750 + (1)1200 = 1950 Untuk k = 2 maka x = 750 + (2)1200 = 3150 3x = (180 – 225)0 + k.3600 3x = –450 + k.3600 x = –150 + k.1200 Untuk k = 1 maka x = –150 + (1)1200 = 1050 Untuk k = 2 maka x = –150 + (2)1200 = 2250 Untuk k = 3 maka x = –150 + (3)1200 = 3450 Jadi H = { 750, 1050 , 1950 , 2250, 3150 , 3450 } 03. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos (2x + 600) = –1/2 dalam interval 00 < x ≤ 3600 Jawab cos (2x + 600) = –1/2 cos (2x + 600) = cos1200 maka 2x + 600 = 1200 + k.3600 2x = 600 + k.3600 x = 300 + k.1800 Untuk k = 0 maka x = 300 + (0)1800 = 300 Untuk k = 1 maka x = 300 + (1)1800 = 2100 2x + 600 = –1200 + k.3600 2x = –1800 + k.3600 x = –900 + k.1800 Untuk k = 1 maka x = –900 + (1)1800 = 900 Untuk k = 2 maka x = –900 + (2)1800 = 2700 Jadi H = { 300, 900 , 2100 , 2700 } 04. Tentukanlah nilai x yang memenuhi 3 + 3.tan (2x – 300) = 0 dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab 3 + 3.tan (2x – 300) = 0 3.tan (2x – 300) = 3 tan (2x – 300) = 1 3 3 tan (2x – 300) = tan 300 Rumus-Rumus Trigonometri 2
maka 2x – 300 = 300 + k.1800 2x = 600 + k.1800 x = 300 + k.900 Untuk k = 0 maka x = 300 + (0)900 = 300 Untuk k = 1 maka x = 300 + (1)900 = 1200 Untuk k = 2 maka x = 300 + (2)900 = 2100 Untuk k = 3 maka x = 300 + (3)900 = 3000 Jadi H = { 300, 1200 , 2100 , 3000 } 05. Tentukanlah nilai x yang memenuhi 2+ 12 sin (2x + 300) = 5 dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab 2 + 12 sin (2x + 300) = 5 12 sin (2x + 300) = 3 2 3 sin (2x + 300) = 3 sin (2x + 300) = 3 23 sin (2x + 300) = 3 x 3 23 3 sin (2x + 300) = 1 3 2 sin (2x + 300) = sin 600 maka 2x + 300 = 600 + k.3600 2x = 300 + k.3600 x = 150 + k.1800 Untuk k = 0 maka x = 150 + (0)1800 = 150 Untuk k = 1 maka x = 150 + (1)1800 = 1950 2x + 300 = (180 – 60)0 + k.3600 2x + 300 = 1200 + k.3600 2x = 900 + k.3600 x = 450 + k.1800 Untuk k = 0 maka x = 450 + (0)1800 = 450 Untuk k = 1 maka x = 450 + (1)1800 = 2250 Jadi H = { 300, 900 , 2100 , 2700 } 06. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan tan2x – 3 = 0 dalam interval 00< x ≤ 3600 Jawab tan2x – 3 = 0 (tanx – 3 )(tanx + 3 ) = 0 tanx = 3 dan tanx = – 3 Rumus-Rumus Trigonometri 3
maka tanx = 3 tanx = – 3 x = 600 x = 1200 x = 2400 x = 3000 Jadi H = {600, 1200 , 2400 , 3000} 07. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 2.cos2x + cosx – 1 = 0 dalam interval 00 < x ≤ 3600 Jawab misalkan cosx = P 2.cos2x + cosx – 1 = 0 2P2 + P – 1 = 0 (2P – 1)(P + 1) = 0 P = 1/2 dan P = –1 maka cosx = 1/2 cosx = –1 x = 600 dan x = 3000 x = 1800 Jadi H = {600, 1800 , 3000} Rumus-Rumus Trigonometri 4
SOAL LATIHAN 04 A. Persamaan Trigonometri 01. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 2x = 1 untuk 00< x ≤ 3600 A. {950, 1350, 2450, 3350} 2 B. {1050, 1650, 2050, 3150} C. {950, 1650, 2850, 3550} D. {1050, 1650, 2850, 3450} E. {1050, 1650, 2850, 3000} 02. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 3x = 1 3 untuk 00< x ≤ 3600 2 A. {100, 1100, 1300, 2600, 2800, 3500} B. {100, 1100, 1300, 2300, 2500, 3500} C. {1100, 1300, 2300, 2800, 3100, 3500} D. {1100, 2300, 2600, 2900, 3100, 3500} E. {1300, 2300, 2500, 2900, 3200, 3500} 03. Himpunan penyelesaian dari persamaan sin (2x – 30) = 1 3 untuk 00< x ≤ 3600 A. {1350, 1650, 3150, 3450} 2 B. {1350, 1950, 3150, 3350} C. {1650, 2250, 3150, 3450} D. {1650, 2150, 3350, 3450} E. {2250, 2700, 3150, 3450} 04. Himpunan penyelesaian dari persamaan cos (2x + 60) = 1 untuk 00< x ≤ 3600 A. {300, 900, 2100, 3000} 2 B. {300, 900, 1200, 2100} C. {300, 900, 2100, 2700} D. {900, 1200, 2100, 3300} E. {600, 900, 1200, 2400} 05. Himpunan penyelesaian dari persamaantan tan (2x – 30) = 3 untuk 00< x ≤ 3600 A. {750, 1650, 2550, 3450} B. {1050, 1850, 2550, 3150} C. {750, 1050, 1650, 2050} D. {750, 1650, 2250, 3150} E. {750, 1650, 2550, 3150} 06. Himpunan penyelesaian dari 3 + 2.sin 2x0 = 0 untuk 00< x ≤ 3600adalah … A. {1200, 1500, 2400, 3300} B. {600, 1500, 3000, 3300} C. {300, 600, 3000, 3300} D. {600, 1500, 3000, 3300} E. {1200, 1500, 3000, 3300} 07. Himpunan penyelesaian dari persamaan 6 tan 2x0 – 2 = 0 untuk 00< x ≤ 3600 adalah … B. {150, 1950, 2250, 3150} A. {150, 1050, 1950, 3150} D. {1050, 1950, 2550, 3150} C. {150, 1050, 1950, 2850} E. {1050, 1850, 2550, 3150} Rumus-Rumus Trigonometri 5
08. Himpunan penyelesaian persamaan sin (2x– 1 π )0 = -1/2 dalam interval 0 < x ≤ 2 π 6 adalah … A. { 2 π , π , 7 π , 2 π } B. { 2 π , π , 5 π , 2 π } 33 33 C. { 1 π , 5 π , 7 π , 2 π } D. { 1 π , 5 π , 7 π , 2 π } 333 363 E. { 5 π , 5 π , 7 π , 2 π } 633 09. Himpunan penyelesaian dari 2.sin2x – sin x – 1 = 0 untuk 00< x ≤ 3600adalah … A. {300, 1500, 2100} B. {300, 2700, 3300} C. {300, 1500, 2700} D. {1500, 2100, 2700} E. {2100, 2700, 3300} 10. Nilai x yang memenuhi persamaan 4.cos2x – 1 = 0 dalam interval 00< x ≤ 3600 adalah … B. 600, 1500, 2400, 3000 A. 600, 1200, 1500, 3300 C. 300, 600, 1200, 2400 D. 600, 1200, 2400, 3000 E. 1200, 2400, 3000, 3300 11. Nilai x yang memenuhi persamaan 2.sinx.cosx – sinx = 0 untuk 00< x < 3600 adalah … B. 600, 1800, 3300 A. 600, 1800, 3000 C. 300, 1800, 3300 D. 300, 3300 E. 600, 3000 12. Jika cos x = a – b dan sin x = a + b maka nilai a + b = …. A. 1/4 B. 1/2 C. 1 D. 2 E. 4 13. Himpunan penyelesaian persamaan cos2x + 3 cos x – 1 = 0 untuk 0≤ x ≤ 2 adalah A. 1 , 2 B. 13 , 5 3 3 3 C. 1 , 5 D. 1 , 1 2 3 2 3 E. 1 , 2 , 5 3 3 3 14. Dalam interval 0 < x , maka harga x yang memenuhi pertaksamaan : 8.sinx cos3x – 8. sin 3x .cos x = 3 adalah …. A. 100, 300 B. 300, 450 C. 150, 450 D. 150, 300 E. 200, 300 Rumus-Rumus Trigonometri 6
15. Himpunan penyelesaian persamaan 4 sin 2x – 5.sinx – 2 = 2 cos2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah .. A. , 5 B. , 7 C. 5 , 7 6 6 6 6 6 6 D. 5 , 11 E. 7 , 11 6 6 6 6 16. Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos2x + sinx = 0 untuk 00 < x < 3600 adalah .... A. {600, 1200, 1500} B. {600, 1500, 3000} C. {900, 2100, 3000} D. {900, 2100, 3300} E. {1200, 2500, 3300} Rumus-Rumus Trigonometri 7
Search
