i Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
Unit Pembelajaran 13 ATURAN PENCACAHAN MATA PELAJARAN MATEMATIKA MADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Jenderal Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Juanda Kasim Sigit Tri Guntoro Untung Trisna Suwaji Darno Raharjo Wiwit Susanti Reviewer Abdur Rahman As’ari Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan ii
KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang – undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia. iii Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Jakarta, Oktober 2020 An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah, Muhammad Zain Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan iv
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................iii DAFTAR ISI .............................................................................................................................. v DAFTAR TABEL .....................................................................................................................vii DAFTAR GAMBAR................................................................................................................viii 01 PENDAHULUAN .......................................................................................................... 1 A. Latar Belakang ................................................................................................................ 1 B. Tujuan............................................................................................................................... 2 C. Manfaat ............................................................................................................................ 2 D. Sasaran ............................................................................................................................ 3 E. Petunjuk Penggunaan .................................................................................................. 3 02 TARGET KOMPETENSI ................................................................................................... 6 A. Target Kompetensi Guru ............................................................................................. 6 1. Kompetensi Pedagogik ............................................................................................. 6 2. Kompetensi Profesional ........................................................................................... 6 B. Target Kompetensi Peserta Didik.............................................................................. 7 1. Kompetensi Dasar ...................................................................................................... 7 2. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) ............................................................... 7 03 MATERI PEMBELAJARAN .............................................................................................. 9 A. Ruang Lingkup Materi .................................................................................................. 9 B. Aplikasi Dalam Kehidupan .......................................................................................... 9 C. Integrasi Keislaman..................................................................................................... 10 D. Bahan Bacaan ................................................................................................................11 1. Aturan Perkalian .........................................................................................................11 2. Permutasi ....................................................................................................................14 3. Kombinasi ...................................................................................................................16 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN........................................................................................19 v Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
A. Organisasi Pembelajaran............................................................................................19 B. Perangkat Dan Media Pembelajaran .......................................................................19 1. Alat dan Media yang harus disiapkan oleh guru:...............................................19 2. Alat dan Media yang harus disiapkan oleh peserta didik: ..............................19 C. Aktivitas Pembelajaran.............................................................................................. 20 1. Aktivitas Pembelajaran Topik 1: Aturan perkalian........................................... 20 2. Aktivitas Pembelajaran Topik 2: Permutasi Kombinasi ..................................25 D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD).........................................................................32 1. LKPD 1..........................................................................................................................32 2. LKPD 2........................................................................................................................33 E. Pengembangan Soal HOTS ......................................................................................35 05 PENILAIAN .......................................................................................................................36 A. Latihan Soal Asesmen Kompetensi Guru (AKG) ..................................................36 B. Penilaian untuk Guru ..................................................................................................39 1. Penilaian Mandiri Guru ............................................................................................39 2. Penilaian oleh Asesor/Fasilitator..........................................................................40 C. Penilaian untuk Peserta Didik ...................................................................................41 1. Penilaian Mandiri oleh Peserta Didik ....................................................................41 2. Penilaian oleh Guru .................................................................................................42 06 PENUTUP .........................................................................................................................43 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF...................................................................................44 DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................45 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan vi
DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik ............................................................ 7 Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik ............................................ 8 Tabel 3 Organisasi Pembelajaran .....................................................................................19 Tabel 4 Aktivitas Pembelajaran ....................................................................................... 20 Tabel 5 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On Job Training Topik 1 ...................22 Tabel 6 Desain Pembelajaran topik 1 ..............................................................................23 Tabel 7 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On Job Training Topik 2 ..................27 Tabel 8 Desain Pembelajaran topik 2 .............................................................................28 Tabel 9 Desain Pembelajaran topik 2 .............................................................................30 Tabel 10 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS ..............................................................35 Tabel 11 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru ..................................................................39 Tabel 12 Instrumen penilaian guru oleh asesor/fasilitator..........................................40 Tabel 13 Instrumen penilaian diri bagi peserta didik ....................................................41 Tabel 14 Instrumen penilaian peserta didik oleh guru ................................................42 vii Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In................................................................................... 5 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan viii
01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pendidikan merupakan proses yang sangat strategis dalam mencerdaskan kehidupan bangsa sehingga harus dilakukan secara profesional. Undang-Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 10 ayat (1) mengamanatkan bahwa guru yang profesional harus memiliki kompetensi pedagogik, kompetensi kepribadian, kompetensi sosial, dan kompetensi profesional. Keempat kompetensi tersebut bersifat holistik dan merupakan suatu kesatuan yang menjadi ciri guru profesional. Agar dapat melaksanakan tugas profesinya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Strategi pelaksanaan PKB guru madrasah yang ditempuh oleh Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah adalah melalui KKG/MGMP/MGBK, Kantor Wilayah Kementerian Agama Provinsi, dan Kementerian Agama Pusat. Untuk mendukung program tersebut, diperlukan modul sebagai salah satu aternatif sumber bahan ajar bagi guru untuk mempelajari konten materi, merancang pembelajaran dan cara mengajarkannya, mengembangkan Lembar Kerja Peserta Didik, mengembangkan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar. Modul ini terdiri dari unit-unit pembelajaran yang disingkat (UP). Dimana setiap unit Pembelajaran ini disusun sebagai salah satu aternatif sumber belajar bagi guru maupun peserta didik untuk memahami materi aturan pencacahan. Melalui pembahasan materi pada Unit Pembelajaran ini, guru dapat memiliki dasar pengetahuan untuk mengajarkan materi tersebut kepada peserta didik. Sementara bagi peserta didik, dapat digunakan sebagai sumber belajar untuk mencapai kompetensi dasar yang ditetapkan. Unit Pembelajaran ini dilengkapi dengan target kompetensi guru maupun peserta didik agar terjadi sinkronisasi antara kompetensi yang harus dimiliki guru 1 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
dengan kompetensi dasar yang harus dikuasai peserta didik. Bahan bacaan sengaja disusun secara singkat dan padat sehingga diharapkan memudahkan guru dan peserta didik dalam memahami konten dan menghindarkan dari kesalahan konsep. Untuk itu dianjurkan kepada para guru untuk melengkapi modul ini dari sumber lain dan lakukan pembelajaran secara sederhana tapi menarik, sehingga peserta didik menjadi antusias dalam mempelajari matematika. Unit pembelajaran aturan pencacahan ini dilengkapi dengan aplikasi dalam dunia nyata serta integrasi nilai-nilai keislaman. Hal itu diharapkan akan mendorong pembelajaran yang kontekstual sekaligus menanamkan nilai-nilai karakter peserta didik. Unit Pembelajaran juga dilengkapi contoh alternatif aktivitas pembelajaran, lembar kegiatan peserta didik (LKPD), dan contoh kisi-kisi pengembangan intrumen penilaian HOTS guna memudahkan guru dalam merancang pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik. Di akhir Unit Pembelajaran terdapat latihan tes formatif yang dapat dijadikan intrumen penilaian diri bagi guru sebelum melaksanakan Asesmen Kompetensi Guru (AKG) maupun peserta didik dalam hal penguasaan materi. B. Tujuan Tujuan modul ini adalah: 1. Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional guru melalui kegiatan PKB. 2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG). 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dan peserta didik dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik. C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB untuk mencapai target kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional tertentu. 2. Sebagai sumber bagi guru dalam mengembangkan kurikulum, persiapan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik. Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 2
3. Sebagai bahan malakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan keprofesionalan. 4. Sebagai sumber dalam merencanakan dan melaksanakan penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. 5. Sebagai sumber belajar bagi peserta didik untuk mencapai target kompetensi dasar. D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Ketua KKG/MGMP/MGBK 5. Guru 6. Peserta didik. E. Petunjuk Penggunaan Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari dan mempraktikkan modul ini, ikutilah petunjuk belajar sebagai berikut: 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan sampai Anda memahami benar tujuan mempelajari Unit Pembelajaran ini. 2. Pelajarilah dengan seksama bagian target kompetensi sehingga Anda benar- benar memahami target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik. 3. Kegiatan Pembelajaran untuk menyelesaikan setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui model Tatap Muka In-On-In sebagai berikut: - Kegiatan In Servive Learning 1. Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran, meliputi: mempelajari konten materi ajar dan mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi, mendesain pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung 3 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
madrasah dan karakteristik peserta didik, mempelajari dan melengkapi LKPD, serta mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. - Kegiatan On Service Learning. Pada tahap ini, Anda dapat mengkaji kembali uraian materi secara mandiri dan melakukan aktivitas belajar di madrasah berdasarkan rancangan pembelajaran dan LKPD yang telah dipersiapkan. Buatlah catatan-catatan peluang dan hambatan yang ditemui selama pelaksanaan pembelajaran. Hasil kegiatan on baik berupa tugas lembar kerja maupun tugas lainnya dilampirkan sebagai bukti fisik bahwa Anda telah menyelesaikan seluruh tugas on yang ada pada Unit Pembelajaran. - Kegiatan In Servive Learning 2. Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Arahkan diskusi pada refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran. 4. Ujilah pemahaman konsep Anda dengan mengerjakan latihan soal penilaian, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang tersedia di bagian akhir masing- masing Unit Pembelajaran. 5. Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi ketercapaian target kompetensi. Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada modul ini, Anda harus mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik. Dalam proses diskusi kelompok yang diikuti laki- laki dan perempuan, perlu mempertimbangkan kapan diskusi harus dilakukan secara terpisah baik laki-laki maupun perempuan dan kapan harus dilakukan bersama. Anda juga harus memperhatikan partisipasi setiap peserta didik dengan seksama, sehingga tidak mengukuhkan relasi yang tidak setara. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada skema (gambar) berikut: Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 4
Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In 5 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Kompetensi Pedagogik - Memberikan motivasi untuk membangkitkan semangat siswa dalam belajar matematika - Menyederhanakan konsep agar siswa belajar lebih mudah - Melibatkan siswa untuk lebih aktif dalam belajar - Memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan polanya sendiri 2. Kompetensi Profesional - Memahami kompetensi inti, kompetensi dasar, dan tujuan pembelajaran materi aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi). - Menyusun materi aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi). dari berbagai sumber. - Menyusun rancangan pembelajaran yang lengkap untuk mencapai tujuan pembelajarn (RPP). - Menggunakan media pembelajaran dan sumber belajar yang relevan dengan karakteristik materi pembelajaran dan peserta didik untuk mencapai tujuan pembelajaran secara utuh. - Mengembangkan indikator dan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik. - Menganalisis hasil penilaian proses dan hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan. Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 6
B. Target Kompetensi Peserta Didik Target kompetensi peserta didik dalam Unit Pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar kelas XII semester 2 (dua) sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar Tabel 1 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik No. Kompetensi Dasar Target Kompetensi Dasar 3.3 Menganalisis aturan Menganalisis aturan pencacahan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, kombinasi) secara benar perkalian, permutasi, kombinasi) melalui masalah kontekstual 4.3 Menyelesaikan masalah Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan kontekstual yang berkaitan dengan dengan kaidah pencacahan (aturan kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, kombinasi) dengan tepat penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi) 2. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) Kompetensi dasar dikembangkan menjadi beberapa indikator pencapaian kompetensi sebagai acuan bagi guru untuk mengukur pencapaian kompetensi dasar. Dalam rangka memudahkan guru menentukan indikator yang sesuai dengan tuntunan kompetensi dasar, indikator dibagi menjadi tiga kategori, yaitu indikator pendukung, indikator kunci, dan indikator pengayaan sebagai berikut: 7 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi 3.3 Menganalisis aturan IPK Pendukung: pencacahan 1. Menjelaskan pengertian aturan (aturan penjumlahan, pencacahan. aturan perkalian, permutasi, kombinasi) melalui masalah 2. Menjelaskan konsep factorial Kontekstual 3. Menganalisis aturan penjumlahan melalui masalah kontekstual. IPK Inti: 1. Menganalisis aturan perkalian melalui masalah kontekstual. 2. Menganalisis aturan permutasi melalui masalah kontekstual. 3. Menganalisis aturan kombinasi melalui masalah kontekstual. IPK Pengayaan: 1. Menganalisis permasalahan penjabaran Binomium Newton dan Trinomium Kino 4.3 Menyelesaikan masalah IPK Pendukung: kontekstual yang berkaitan 1. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan kaidah pencacahan dengan menggunakan aturan (aturan penjumlahan, aturan penjumlahan. perkalian, permutasi, dan kombinasi) IPK Inti: 1. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan aturan penjumlahan. 2. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan kaidah permutasi. 3. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan kaidah kombinasi. IPK Pengayaan: 1. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan Binomium Newton dan Trinomium Kino Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 8
03 MATERI PEMBELAJARAN A. Ruang Lingkup Materi Ruang lingkup materi aturan pencacahan pada modul ini adalah meliputi: 1. Aturan Perkalian 2. Masalah Kontekstual berkaitan dengan aturan perkalian 3. Kaidah Permutasi 4. Masalah Kontekstual berkaitan dengan permutasi 5. Kaidah Kombinasi 6. Masalah Kontekstual berkaitan dengan kombinasi sedangkan aturan penjumlahan dianggap sudah tuntas, namun tidak menutup kemungkinan untuk dibahas lagi kalau memang dianggap perlu oleh Bapak dan Ibu guru. B. Aplikasi Dalam Kehidupan Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi masalah pengaturan suatu obyek yang terdiri dari beberapa unsur. Pengaturan atau penyusunan tersebut ada yang memperhatikan urutan dan ada yang tidak memperhatikan urutan. Pengaturan dengan memperhatikan urutan dalam matematika disebut permutasi, sedangkan yang tidak memperhatikan urutan disebut kombinasi. Berapa banyak pengaturan atau penyusunan yang mungkin terjadi ditentukan dengan menggunakan aturan pencacahan. Dalam aturan pencacahan, banyaknya penyusunan tersebut dapat terjadi. Aturan pencacahan merupakan hal yang sering dilakukan dalam kehidupan nyata. Aturan pencacahan ini masuk kedalam kehidupan kita diberbagai bidang kehidupan. Dalam bidang perdagangan seperti menentukan pilihan ukuran baju (S,M, L dan XL) dalam dua warna yang berbeda, pembuat nomor plat kendaraan, dan panitia rapat dalam mengatur kombinasi jumlah kursi untuk formasi tertentu maupun apartemen mewah untuk menentukan jumlah kamar yang mungkin tersedia. Dengan demikian banyak hal yang melibatkan aturan pencacahan dalam 9 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
kehidupan, hal ini dapat dijadikan motivasi dan stimulus kepada peserta didik akan begitu pentingnya matematika dalam kehidupan, khususnya aturan pencacahan. Seorang guru diharapkan dapat mengaitkan matematika dan dengan permaslahan nyata, sehingga peserta didik merasa matematika bukan hanya untuk matematika ,melainkan matematika untuk kehidupan. C. Integrasi Keislaman Integritas nilai keislaman dalam pembelajaran matematika yang berkaitan dengan materi peluang dapat diintegrasikan dengan ayat Al quran, diantaranya dalam surat yasin ayat 82 ( Depdiknas, 1999). ٨٢ َف َي ُكو ُن ُكن ََ ُلۥ َي ُقو َل َ َ ۡشٔٔا أَ َرا َد ٓإِ َذا أَ ۡم ُر ُه ٓۥ ٓإِ َّن َما أن Artinya: “Sesungguhnya keadaan-Nya apabila Dia menghendaki sesuatu hanyalah berkata kepadanya: \"Jadilah!\" maka terjadilah ia”. Hal ini menunjukan betapa mudahnya Allah menciptakan sesuatu, Apabila Allah menghendaki, hanya dengan Allah SWT berfirman : “jadilah “ maka dengan mudah terwujud makhluk itu”. Peluang atau probabilitas merupakan ilustrasi dari semua kejadian yang ada di alam semesta. Semua yang terjadi di alam semesta tidak terlepas dari kehendak Allah SWT, segala sesuatu yang terjadi itupun manusia sifatnya hanya berusaha memperoleh peluang dari apa yang diinginkan, dengan senantiasa berdoa dan tidak lepas dari ketentuan Allah SWT. Selain itu dituangkan pula dalam surat Ali Imran ayat 185 : ُُ ُّك َن ۡف ٖس ذَآئِ َق ُة ٱلۡ َم ۡو ِِۗت ِإَو َّن َما تُ َو َّف ۡو َن أُ ُجو َر ُك ۡم يَ ۡو َم ٱ ۡل ِق َيَٰ َمةِۖ َف َمن ُز ۡح ِز َح َع ِن ٱل َنّارِ َو ُأ ۡد ِخ َل ٱۡ ۡ َل َّن َة َف َق ۡد فَا َز َۗ َو َما ١٨٥ ٱلۡ ُغ ُرو ِر َم َتَٰ ُع َّ ٓٱل ُّد ۡنيَا ٱۡ ۡ َل َي َٰو ُة إَِّل Artinya: “Tiap-tiap yang berjiwa akan merasakan mati. Dan sesungguhnya pada hari kiamat sajalah disempurnakan pahalamu. Barangsiapa dijauhkan dari neraka dan dimasukkan ke dalam surga, maka sungguh ia telah Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 10
beruntung. Kehidupan dunia itu tidak lain hanyalah kesenangan yang memperdayakan”. Pada ayat di atas menjelaskan bahwa tiap orang berpeluang masuk surga dan neraka, karena pada dasarnya hanya orang yang beruntunglah yang dapat masuk surga. Keadaan ini tentu terjadi pada seseorang yang mematuhi perintah Allah dan menjauhi segala laranganNYA. D. Bahan Bacaan 1. Aturan Perkalian Pada suatu percobaan yang menjadi perhatian kita adalah apa saja hasil yang mungkin terjadi. Untuk suatu percobaan yang sederhana dapat dilakukan dengan cara mentabulasi (mendaftar) semua hasil yang mungkin. Tetapi untuk beberapa kasus, mendaftar memerlukan waktu yang tidak sedikit. Oleh karena itu diperlukan suatu pendekatan yang lebih efesien untuk tujuan tersebut. Salah satu cara yang dapat digunakan adalah Hukum perkalian. Dengan pendekatan ini banyaknya hasil dari suatu percobaan yang kompleks dapat ditentukan dengan sederhana. Aturan perkalian adalah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk menentukan pilihan dari suatu permasalahan. Misalnya suatu percobaan terdiri dari k buah operasi. Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n1 cara dan setiap cara ini dilanjutkan dengan operasi kedua yang dapat dilakukan dengan n2 cara, demikian seterusnya, maka keseluruhan percobaan tersebut dapat ditentukan dengan mengalikan semua unsur, yaitu ������������ × ������������ × ������������ × … × ������������ , dimana; n1 = banyak cara untuk menyusun unsur pertama n2 = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun n3 = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun nk = banyak cara untuk menyusun unsur ke-k setelah unsur sebelumnya tersusun. 11 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah: Untuk memperjelas penerapan aturan perkalian dalam permasalahan kontekstual lihat contoh berikut: Contoh 1.1 Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 2000 sampai dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Pembahasan 1.1 Soal ini dapat dijawab menggunakan menggunakan konsep aturan perkalian dengan penjelasan kotak. Ada 4 kotak yang tersedia yaitu Ribuan, Ratusan, Puluhan, dan Satuan. Dengan demikian, banyaknya angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut: Untuk Ribuan (3, 4, 5, 6, 7, 8) 6 angka (karena mulai dari 2000 dan tidak ada angka yang sama, maka dimulai dari angka 3 dst) Untuk Ratusan dari angka (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8), 7 bilangan yang bisa dipakai (karena 1 bilangan sudah dipakai saat bagian ribuan) Untuk Puluhan dari angka (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8), 6 bilangan yang bisa dipakai (karena 1 bilangan sudah dipakai untuk Ribuan dan 1 bilangan untuk ratusan). Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 12
Untuk Satuan dari angka (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8), 5 bilangan yang dapat dipakai (1 bilangan sudah dipakai untuk Ribuan dan 1 bilangan untuk Ratusan, dan 1 bilangan dipakai untuk puluhan)). Hasilnya sebagai berikut: 676 5 Sehingga banyaknya susunan nomor seri barang yang diperoleh adalah: 6 x 7 x 6 x 5 = 1260 cara Challenge Mengapa penyelesaian di atas dimulai dari ribuan bukan satuan, bagaimana menurut saudara? Contoh 1.2 Berapa banyak bilangan bulat positif yang dapat memenuhi syarat sebagai berikut: kurang dari 500, dapat disusun dari angka 3, 4, 5, 6, dan 7, dan tiap bilangan tidak mengandung angka yang sama. Pembahasan 1.2 Karena bilangan-bilangan tersebut harus kurang dari 500, maka bilangan tersebut paling banyak 3 angka, mungkin 2 angka dan 1angka. a. Bilangan-bilangan yang terdiri dari 3 angka, Angka ratusan : karena harus kurang dari 500, maka ada 2 kemungkinan yaitu dari angka 3, 4, 5, dan 7, adalah angka 3 dan 4 Angka puluhan : dapat dipilih 4 angka dari 5 angka (3, 4, 5, 6, dan 7), karena angka angka dari setiap bilangan tidak boleh sama, Angka satuan : dapat dipilih 3 dari 5 angka (3, 4, 5, 6, dan 7), karena angka angka dari setiap bilangan tidak boleh sama. Jadi ada 2 x 4 x 3 = 24 bilangan yang terdiri dari 3 angka yang memenuhi syarat di atas. b. Bilangan-bilangan yang terdiri 2 angka: Untuk puluhan : dapat diambil dari semua angka, sehingga ada 5 kemungkinan. 13 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
Untuk satuan : terdapat 4 kemungkinan dari 5, karena angka angka dari setiap bilangan tidak boleh sama. Jadi ada 5 x 4 = 20 bilangan yang terdiri dari 2 angka yang memenuhi syarat di atas. c. Bilangan-bilangan yang terdiri 1 angka: Dalam hal ini dapat diambil 5 angka, jadi angka menghasilkan 5 bilangan yang memenuhi syarat di atas. Jadi seluruhnya ada 24 + 20 + 5 = 49 bilangan yang memenuhi syarat di atas. Contoh 1.3 Anton memiliki 4 buah baju, 3 buah celana panjang, dan 2 pasang sepatu yang dapat digunakan untuk ke kantor. Berapa banyak cara Anton memilih pakaiannya untuk ke kantor? Pembahasan 1.3 Kita dapat menggunakan tabel yang terdiri tiga kotak, untuk setiap operasi dari percobaan tersebut. Baju Celana Panjang Sepatu 4 pilihan 3 pilihan 2 pilihan Dengan menggunakan hukum perkalian, maka Anton dapat memilih pakaiannya sebanyak 4 × 3 × 2 = 24 cara. 2. Permutasi Permutasi merupakan pengembangan dari aturan perkalian. permutasi adalah pengaturan atau penyusunan beberapa unsur dengan memperhatikan urutan. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang dipilih sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutan obyek yang dipilih tersebut. Cara menyusun buku dalam rak buku, susunan duduk penonton bioskop, susunan pemain sepak bola ketika berfoto adalah contoh permutasi karena pada setiap kasus, urutan unsur- unsurnya diperhatikan. Contoh lain aplikasi dalam kehidupan sehari-hari adalah Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 14
pengaturan atau penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari ketua, bendahara dan sekretaris. Jelas bahwa pada masalah tersebut urutan akan sangat mempengaruhi, sehingga urutan menjadi pertimbangan khusus. Definisi permutasi disajikan sebagai berikut. Permutasi sekumpulan obyek/unsur adalah suatu pengaturan dengan memperhatikan urutan dari semua obyek atau sebagian. Dengan kata lain, permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur berbeda dan n r ≤ ) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan. Suatu permutasi r unsur yang diambil dari n yang berlainan adalah penempatan r unsur itu dalam suatau urutan ( r ≤ n) dengan r dan n bilangan asli dan dinyatakan dalam notasi nPr, P(n, r) , P(n, r), ������������������ , atau nPr. Challenge Bagaimana cara menjelaskan bahwa banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah: nPr = ������! (������−������)! Pada aturan permutasi di atas dikatakan bahwa n unsur yang tersedia berbeda. Jika unsur-unsur yang tersedia memuat unsur yang sama, bagaimanakah cara menentukan banyaknya permutasi yang memuat unsur sama? Untuk menjelaskan hal ini, perhatikan contoh berikut ini. Contoh: Berapa banyak permutasi dari 3 huruf yang diambil dari huruf A, A, dan B? Pada contoh di atas, unsur yang tersedia terdapat 3 huruf. Dari 3 huruf tersebut terdapat 2 unsur yang sama yaitu A. Andaikan kedua unsur yang sama tersebut kita anggap berbeda dengan membubuhkan indeks 1 dan 2 pada kedua huruf A tersebut, maka akan diperoleh 6 susunan atau permutasi yaitu A1A2B A2A1B A1BA2 A2BA1 BA1A2 BA2A1 Jika kita hilangkan indeks pada huruf A maka tinggal dipunyai 3 susunan saja yaitu: AAB ABA BAA 15 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
Jadi banyaknya permutasi dari 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama adalah : P= 2.3 = 3 . Secara umum rumus untuk permutasi n unsur yang memuat k, 2 l, m, dan seterusnya unsur yang sama adalah sebagai berikut. P = ������! ������!������!������!… Untuk memperjelas konsep Permutasi dalam menyelesaikan pemasalahan kontekstual perhatikan contoh berikut: Contoh 2.1 Berapa banyak kendaraan yang dapat diberikan pelat nomor polisi dari angka 1, 2, 3, 4, 5, tanpa ada angka yang berulang, apa bila setiap pelat terdiri dari 5 angka? Pembahasan 2.1 Diketahui : n = 5, dan r = 5, maka ������55= 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120, Jadi sebanyak 120 kendaraan yang dapat diberikan pelat nomor berdasarkan kondisi di atas. Contoh 2.2 Suatu panitia yang terdiri atas 3 orang dengan perincian seorang sebagai ketua, seorang sebagai sekretaris, dan seorang sebagai bendahara akan dipilih dari 10 orang yang tersedia. Tentukan banyaknya susunan panitia berbeda yang mungkin. Pembahasan 2.2 Banyaknya panitia berbeda yang mungkin disusun adalah: ������310 = 10! = 10! = 10 × 9 × 8 = 720 susunan. (10−3)! 7! 3. Kombinasi Pengembangan aturan perkalian yang lain adalah kombinasi. Kombinasi suatu r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah suatu pilihan dari Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 16
n unsur tanpa memperhatikan urutannya dengan syarat (r ≤ n) r dan n bilangan asli. Dengan kata lain kombinasi merupakan pengaturan atau penyusunan beberapa unsur tanpa memperhatikan urutan. Sebagai contoh suatu madrasah akan mengirimkan tim lomba cerdas cermat yang terdiri dari 3 orang. Masalah tersebut jelas tidak memperhatikan atau mempertimbangkan urutan, jadi 3 orang yang terpilih tidak didasarkan urutan tapi keterwakilan 3 orang dari madrasah tersebut. Sehingga dapat didefinisikan bahwa kombinasi sekumpulan unsur adalah suatu pengaturan dari semua atau sebagian unsur dengan tidak memperhatikan urutan. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa kombinasi r unsur yang diambil dari unsur yang tersedia (dengan tiap unsur berbeda dan r ≤ n) adalah susunan dari r unsur itu tanpa memperhatikan urutan. Dengan demikian banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dinyatakan dengan nCr dan ditentukan dengan rumus berikut ini. ������������������ = ������! ������������������ ������!(������−������)! atau ������! Untuk memperjelas penerapan konsep kombinasi perhatikan contoh berikut. Contoh 3.1 Diketahui himpunan A = {a, b, c, d, e}. Hitunglah banyaknya himpunan bagian dari A yang beranggotakan: a. 3 unsur b. Lebih atau sama dengan 4 unsur c. Paling banyak 3 unsur Pembahasan 3.1 Diketahui n= 5 a. Jika r = 3, maka 5C3 = 5! = 5.4 = 10 3!2! 2.1 Jadi banyaknya himpuan bagain dari A yang beranggotkan 3 unsur adalah 10 buah. 17 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
b. r ≥ 4, berarti r = 4 dan r= 5, maka 5C4 + 5C5 = 5! + 5! =5 +1 = 6 5!0! 4!1! 1 1 Jadi banyaknya himpunan bagian dari A yang beranggotakan lebih atau sama dengan 4 adalah 6 buah. c. r ≤ 3, berarti r = 0, r = 1, r = 2, dan r = 3, maka 5C0 + 5C1 + 5C2 + 5C3 = 5! + 5! + 5! + 5! = 1 + 5 +10 + 10 = 26 5!0! 4!1! 3!2! 2!3! Jadi Jadi banyaknya himpunan bagian dari A yang beranggotakan paling banyak 3 unsur adalah 26 buah Contoh 3.2 Diketahui dari 2 warna yang berbeda dicampur dapat menghasilkan warna baru yang khas. Berapakah banyaknya warna baru yang terbentuk dari 5 warna yang berbeda (untuk kejadian satu tahap)? Pembahasan 3.2 Ini merupakan contoh permasalahan kontekstual yang dapat diselesaikan dengan kombinasi. Dari permasalahan di atas, kombinasi 2 warna dari 5 warna yang berbeda adalah 5C2 = 5! 2!3! = 5.4 2.1 = 10 Jadi ada 10 warna yang bisa dibentuk Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 18
04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Organisasi Pembelajaran Guna memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi 2 topik bahasan dengan perkiraan alokasi waktu 14 JP sebagai berikut: Tabel 3 Organisasi Pembelajaran Jumlah JP No. Materi In - 1 On In - 2 1 Aturan perkalian 121 2 Kaidah Permutasi dan kominasi 242 Total Jam Pembelajaran PKB 363 B. Perangkat Dan Media Pembelajaran Sebelum mempelajari atau mempraktikkan modul ini, ada beberapa alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses Pembelajaran berjalan dengan baik. 1. Alat dan Media yang harus disiapkan oleh guru: a. Perangkat Pembelajaran (RPP) b. Laptop/gawai dan akses internet c. LCD d. Bahan Tayang e. RPP f. Buku paket/referensi/ Bahan ajar g. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) h. Instrumen penilaian proses 2. Alat dan Media yang harus disiapkan oleh peserta didik: a. Buku paket/referensi b. Laptop/gawai (optional) c. Alat tulis lengkap 19 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
C. Aktivitas Pembelajaran 1. Aktivitas Pembelajaran Topik 1: Aturan perkalian Unit Pembelajaran dalam modul ini dibagi dalam 2 topik, dengan alokasi waktu yang digunakan diperkirakan 12 Jam Pembelajaran untuk topik pertama : Tabel 4 Aktivitas Pembelajaran Aktivitas Topik 1 (JP) Topik 2 (JP) In Servive Learning 1 12 On Service Learning 24 In Servive Learning 2 12 a. Kegiatan In Learning Service-1 ( 2 JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran. Langkah-langkah Kegiatan: 1) Membaca bagian pendahuluan modul untuk memahami tujuan pembelajaran dan target kompetensi guru dan peserta didik. 2) Peserta dibagi menjadi beberapa kelompok. 3) Setiap kelompok diberikan tanggungjawab untuk menelaah contoh aktivitas peserta didik dalam pembelajaran yang akan dilakukan dalam aktivitas on disesuaikan dengan daya dukung dan karakteristik peserta didik, menelaah LKPD, dan membuat instrumen penilaian HOTS berdasarkan kisi-kisi yang ada. 4) Jika diperlukan, peserta dapat melakukan simulasi pembelajaran atau mengerjakan/mempraktikkan LKPD. 5) Setiap kelompok mempresentasikan hasil telaahnya. 6) Hasil kegiatan ini merupakan dasar untuk menyempurnakan perangkat dan langkah pembelajaran (RPP) yang akan digunakan pada kegiatan On Job Training. Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 20
Diskusikan secara berkelompok dan telaah contoh aktivitas peserta didik berikut: Aktivitas 1 Dari kota A ke kota B dihubungkan oleh 5 buah jalan, dari kota B ke kota C dihubungkan oleh 3 buah jalan, dan dari kota C ke kota D dihubungkan oleh 2 buah jalan. Tentukan banyaknya cara Ali bepergian dari kota A ke kota D dan kembali lagi ke kota A tanpa melewati jalan yang sama Aktivitas 2 Dua orang, katakanlah A dan B akan menonton pertandingan sepak bola di suatu stadion yang memiliki 4 buah pintu. Jika mereka berdua masuk stadion melalui pintu yang sama dan keluar melalui pintu yang berbeda, maka tentukan banyaknya susunan mereka berdua masuk dan keluar stadion. Aktivitas 3 Dua orang guru dan lima orang siswa akan berdiri berjajar untuk foto bersama. Berapa banyak cara susunan berdiri mereka jika guru harus berdiri dikedua ujung barisan? Aktivitas 4 Dari digit angka: 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan dibuat bilangan tiga angka dengan angka berbeda. Berapa banyaknya bilangan ganjil yang lebih dari 300? Aktivitas 5 Misalnya seseorang akan membuat plat nomor yang terdiri atas lima digit. Dua digit pertama diisi dengan huruf kapital dan tiga digit terakhir diisi dengan angka. Semua huruf dan angka harus berbeda dengan huruf I, O, dan angka 0 tidak digunakan. Tentukan berapa banyaknya plat nomor yang dapat dibuat jika digit terakhir harus genap. Bagaimana hasil telaah Saudara? Adakah kesalahan yang mungkin sering dibuat peserta didik dalam aktivitas di atas yang berkaitan dengan aturan pencacahan dan bagaimana solusi pemecahannya? b. Kegiatan On Job Training (4 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru melakukan pembelajaran di kelasnya di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat dan langkah pembelajaran 21 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
yang telah ditelaah/disimulasikan pada kegiatan In-1. Diharapkan dalam kegiatan ini guru mengikuti alur pembelajaran berdasarkan RPP yang dibuat serta membuat catatan dan rekaman atas semua kejadian untuk dibahas pada kegiatan In Learning Service-2. Salah satu pendekatan pembelajaran yang dapat digunakan guru adalah Pendekatan Saintifik. Pendengkatan ini dimulai dengan Tahap Pengamatan (Observing), dimana seorang guru menampilkan sesuatu yang dapat membangkitkan rasa ingin tahu peserta didik. Kedua Tahap Menanya (questioning) pada tahap ini peserta didik menanyakan permasalahan yang ingin diketahui dari bahan tayang yang ditampilkan, guru memberikan jawaban dan panduan agar peserta didik dapat masuk ke Tahap Tiga yaitu Mencoba (experimenting/ exploring) atau menggali informasi, dalam kasus ini guru memberikan lembar kerja untuk menjadi bahan acuan peserta didik. Keempat Tahap menalar (associating) pada tahap ini peserta didik menghubungkan informasi yang didapat dan mencoba menarik suatu kesimpulan sementara apa yang telah difahaminya, dalam kaitan ini peserta didik mencoba menyelesaikan lembar kerja berdasarkan informasi yang didapat. Kelima Tahap mempresentasikan (presenting) peserta didk menampilkan hasil pekerjaannya dan guru memfasilitasi untuk terjadinya diskusi dan saling melengkapi antar peserta didik, sekaligus memberikan konfirmasi terhadap apa yang telah dilakukan peserta didik. Tabel 5 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On Job Training Topik 1 No. Refleksi Aktivitas Refleksi Aktivitas Hambatan Lain Peserta Didik Guru 1 2 3 Dst Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 22
Contoh rancangan pembelajaran pada Topik 1 adalah sebagai berikut: Kegiatan Pembelajaran Pertemuan 1 ( 2 x 45 menit) Materi: Aturan Perkalian Tabel 6 Desain Pembelajaran topik 1 No. Tahapan Kegiatan Waktu 1 Pendahuluan Guru: 15 menit - menyiapkan peserta didik secara fisik dan psikis - Menginformasikan tujuan pembelajaran. - Menginformasikan cakupan materi secara umum. - memberikan apersepsi untuk melihat kesiapan prasyarat konsep yang dibutuhkan seperti operasi pada himpunan dan aturan penjumlahan - memberikan motivasi kepada peserta didik tentang kegunaan aturan perkalian dalam berbagai bidang kehidupan. - membagi peserta didik menjadi beberapa kelompok heterogen terdiri dari 4-5 orang dan membagikan Lembar Kerja 2 Mengamati Guru menampilkan bahan 5 menit tayang contoh pemasalahan yang berkaitan dengan aturan perkalian, memberikan penjelasan singkat tentang konsep tersebut. 23 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
4 Menanya peserta didik mengajukan 30 menit 5 Mencoba pertanyaan tentang konsep 20 menit 6 Menalar yang berkaitan dengan 20 menit aturan perkalian dari 7 Mempresentasikan tayangan yang ada. 10 menit Peserta didik menggali informasi lebih jauh tentang aturan perkalian dan mencoba menyelesaikan permasalahan yang ada di dalam lembar kerja Peserta didik berusaha menghubungkan informasi yang ada, dan dari penjelasan guru, kemudian mengggunakannya untuk penyelesaian permasalahan aturan perkalian yang ada dalam lembar kerja. Menampilkan hasil kerja kelompok di depan kelas Guru melakukan aktivitas penutup: - Memberikan konfirmasi - Memberikan umpan baik - Mengiring peserta untuk membuat suatu kesimpulan - Menyampaikan penugasan untuk pertemuan berikutnya. c. Kegiatan In Learning Service-2 (2 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mendiskusikan hasil temuan pada kegiatan on di kelas dan madrasah masing masing. Berdasarkan rekaman dan catatan permasalahan yang ada, akan dicarikan solusi pemecahannya guna perbaikan pembelajaran yang Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 24
akan datang. Termasuk memberikan informasi dan masukan atas kelebihan dari pembelajaran telah yang dilakukan, sehingga bisa dijadikan contoh bagi peserta yang lain. 2. Aktivitas Pembelajaran Topik 2: Permutasi Kombinasi a. Kegiatan In Learning Service-1 ( 2 JP) Dalam aktivitas topik 2 ini, kegiatan In Learning Service-1 sama dengan aktivitas pembelajaran topik 1. Kegiatan dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan pembelajaran meliputi membaca modul, mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi, menyempurnaan rancangan pembelajaran, LKPD, dan menyusun instrumen penilaian proses dan hasil belajar. Cermati dan diskusikan aktivitas peserta didik berikut: Aktivitas 1 Misalnya kita memiliki 3 buah buku matematika, 4 buah buku fisika, dan 5 buah buku kimia. Jika semua buku tersebut akan disusun memanjang dalam suatu rak buku dan setiap buku dibedakan, maka banyaknya susunan berbeda yang mungkin adalah 12! = 479.001.600. Jika ditambahkan syarat bahwa buku yang sejenis harus dikelompokkan, maka akan diperoleh: • 3! susunan berbeda jika disusun berdasarkan jenis buku (yaitu: matematika, fisika, dan kimia), kemudian dilanjutkan dengan • 3! susunan berbeda untuk buku matematika, 4! susunan berbeda untuk buku fisika, dan 5! susunan berbeda untuk buku kimia. 25 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
Aktivitas 2 Berapaakah banyaknya cara untuk menanam 5 buah bunga berbeda dengan posisi membentuk lingkaran ? Aktivitas 3 Misalnya terdapat 3 orang diplomat berasal dari Indonesia, 4 diplomat dari Singapura, dan 2 orang diplomat dari Thailand. Mereka duduk mengelilingi meja bundar. Jika diplomat dari negara yang sama duduk berdekatan, maka: • Terdapat (3 – 1)! susunan secara melingkar berdasarkan negara asal diplomat, kemudian dilanjutkan dengan • 3! susunan duduk berbeda untuk diplomat dari Indonesia, 4! susunan duduk berbeda untuk diplomat dari Singapura, dan 2! susunan duduk berbeda untuk diplomat dari Thailand. Diskusikan apabila menggunakan hukum perkalian, berapkah banyaknya susunan duduk melingkar yang mungkin? Aktivitas 4 Anita memiliki 3 manik-manik merah berbeda, 2 manik-manik biru berbeda, dan 4 manik-manik kuning berbeda. Seluruh manik-manik tersebut disusun sehingga menjadi kalung. Jika manik-manik yang berwarna sama di letakkan berdekatan, maka tentukan banyaknya cara membuat kalung yang berbeda. Aktivitas 5 Sebuah perusahaan memiliki 3 mobil berbeda berwarna hijau, 2 mobil berbeda berwarna merah, dan 1 mobil berwarna biru. Tentukan banyaknya cara memarkir mobil tersebut jika mobil berwarna sama harus berdekatan. Aktivitas 6 Dalam berapa cara yang berbeda kita dapat memberi nama titik sudut segilima dengan menggunakan huruf P, Q, R, S, dan T? Aktivitas 7 Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang tersedia. Jika soal nomor 1 sampai nomor 4 hanya boleh dikerjakan 2 buah soal saja, maka tentukan banyaknya cara memilih soal yang akan dikerjakan. Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 26
Aktivitas 8 Pada garis k terdapat titik A, B, C, dan D sedangkan pada garis l terdapat titik P dan Q. Tentukan banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari titik-titik tersebut, jika garis k dan l sejajar. Aktivitas 9 Tentukan banyaknya cara membagi 10 orang dalam 3 kelompok sehingga kelompok pertama terdiri 4 orang dan kelompok kedua dan ketiga masing-masing terdiri 3 orang. Aktivitas 10 Nadia memiliki 4 buah manik-manik berbeda dan akan dibagikan kepada 3 orang temannya. Jika setiap temannya mendapatkan sedikitnya sebuah manik- manik, maka berapa cara Nadia dapat membagikan manik-maniknya. a. Kegiatan On Job Training (6 JP) Pada kegiatan ini, Anda mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah disempurnakan pada kegiatan in-1. Agar hambatan dan permasalahan selama pembelajaran terekam dengan baik, isikan ke dalam lembar berikut: Tabel 7 Refleksi Pelaksanaan Pembelajaran On Job Training Topik 2 No. Refleksi Aktivitas Refleksi Aktivitas Hambatan Lain Peserta Didik Guru 1 2 3 Dst 27 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
b. Kegiatan In Learning Service-2 (2 JP) Sebagaimana pada Kegiatan In Learning Service-1, kegiatan ini pun dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk mendiskusikan hasil temuan pada kegiatan on di kelas dan madrasah masing masing. Berdasarkan rekaman dan catatan permasalahan yang ada, akan dicarikan solusi pemecahannya guna perbaikan pembelajaran yang akan datang. Termasuk memberikan informasi dan masukan atas kelebihan dari pembelajaran telah yang dilakukan, sehingga bisa dijadikan contoh bagi peserta yang lain. Aktivitas Pembelajaran Topik 2 berdasarkan desain pembelajaran berikut: Kegiatan Pembelajaran topik 2 ( 2 x 45 menit) Materi: Permutasi dan Kombinasi Pertemuan 1 Tabel 8 Desain Pembelajaran topik 2 No. Tahapan Kegiatan Waktu 1 Pendahuluan Guru: 10 menit - menyiapkan peserta didik secara fisik dan psikis - Menginformasikan tujuan pembelajaran. - Menginformasikan cakupan materi secara umum. - memberikan apersepsi untuk melihat kesiapan prasyarat konsep yang dibutuhkan - memberikan motivasi tentang kegunaa permutasi dalam berbagai bidang kehidupan. - membagi peserta didik menjadi beberapa kelompok heterogen terdiri dari 4-5 orang dan membagikan Lembar Kerja Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 28
2 Mengamati - peserta didk mengamati 10 menit bahan tayang contoh 30 menit 4 Menanya pemasalahan yang 20 menit 5 Mencoba berkaitan dengan 10 menit 6 Menalar permutasi 7 Mempresentasikan 10 menit - Guru memberikan penjelasan tentang konsep tersebut. - peserta didik mengajukan pertanyaan tentang konsep yang berkaitan dengan permutasi dari tayangan yang disajikan Pegsuerurta didik menggali informasi lebih jauh tentang konsep permutasi dan mencoba menyelesaikan permasalahan yang ada di dalam lembar kerja Peserta didik berusaha menghubungkan informasi yang didapat dan menarik kesimpulan, untuk penyelesaian permasalahan permutasi yang ada dalam lembar kerja. Menampilkan hasil kerja kelompok di depan kelas Guru melakukan aktivitas penutup: - Memberikan konfirmasi - Memberikan umpan baik - Mengiring peserta untuk membuat suatu kesimpulan - Menyampaikan penugasan untuk pertemuan berikutnya. 29 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
Pertemuan 2 Tabel 9 Desain Pembelajaran topik 2 No. Tahapan Kegiatan Waktu 10 menit 1 Pendahuluan Guru: 10 menit - menyiapkan peserta didik 30 menit secara fisik dan psikis - Menginformasikan tujuan pembelajaran. - Menginformasikan cakupan materi secara umum. - memberikan apersepsi untuk melihat kesiapan prasyarat konsep yang dibutuhkan - memberikan motivasi tentang kegunaa kombinasi dalam berbagai bidang kehidupan. - membagi peserta didik menjadi beberapa kelompok heterogen terdiri dari 4-5 orang dan membagikan Lembar Kerja 2 Mengamati - peserta didk mengamati bahan tayang contoh pemasalahan yang berkaitan dengan kombinasi - Guru memberikan penjelasan tentang konsep tersebut. 4 Menanya - peserta didik mengajukan pertanyaan tentang konsep yang berkaitan dengan kombinasi dari tayangan yang disajikan - guru memberikan penjelasan, masukan dan motivasi Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 30
5 Mencoba Peserta didik menggali 20 menit 6 Menalar informasi lebih jauh tentang 10 menit 7 Mempresentasikan konsep kombinasi dan mencoba menyelesaikan 10 menit permasalahan yang ada di dalam lembar kerja Peserta didik berusaha menghubungkan informasi yang didapat dan menarik kesimpulan, untuk penyelesaian permasalahan kombinasi yang ada dalam lembar kerja. Menampilkan hasil kerja kelompok di depan kelas Guru melakukan aktivitas penutup: - Memberikan konfirmasi - Memberikan umpan baik - Mengiring peserta untuk membuat suatu kesimpulan - Menyampaikan penugasan untuk pertemuan berikutnya. 31 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) 1. LKPD 1 Contoh Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) yang dapat digunakan dalam pembelajaran di kelas adalah sebagai berikut: Nama Peserta didik : 1.................................................. 2.................................................. Kelas 3.................................................. Hari/tanggal :...................................................... :...................................................... Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Menganalisis aturan perkalian melalui masalah kontekstual. 2. Memberikan contoh masalah kontekstual yang berkaitan dengan aturan perkalian. 3. Menganalisis kaidah permutasi melalui masalah kontekstual. 4. Memberikan contoh masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah permutasi. 5. Menganalisis aturan kombinasi melalui masalah kontekstual. 6. Memberikan contoh masalah kontekstual yang berkaitan dengan kaidah kombinasi. Pengantar: Lembar Kerja Peserta Didik: 1. Menggali informasi (kajian literatur) tentang konsep aturan pencacahan dari berbagai sumber kemudian diskusikan secara berkelompok pertanyaan berikut. a. Apa yang dimaksud dengan aturan pencacahan? b. Apa yang dimaksud dengan aturan perkalian? Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 32
c. Berikan contoh masalah kontekstual yang berkaitan dengan aturan perkalian Untuk memperjelas pemahaman Selesaikan permasalahan berikut: Tentukan banyak bilangan 3 digit (angka) yang terdiri dari angka-angka 0, 2, 3, 5, 7, 8 yang lebih dari 243 dan kurang dari 780 . 2. Presentasikan hasil diskusi kelompok dalam forum kelas. 3. Buatlah rangkuman dari kegiatan yang dilakukan. 2. LKPD 2 Nama Peserta didik : 1.................................................. 2.................................................. Kelas 3.................................................. Hari/tanggal :...................................................... :...................................................... Tujuan Pembelajaran: Melalui diskusi kelompok, peserta didik dapat: 1. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan aturan penjumlahan. 2. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan kaidah permutasi. 3. Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan kaidah kombinasi. Pengantar: Cermati LKPD dan refrensi yang ada untuk menjawab pertanyaan berikut: Lembar Kerja Peserta Didik: 1. Apakah yang dimaksud kaidah Permutasi dan Kombinasi? 33 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
2. Apakah perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi! 3. Selesaikan masalah kontekstual berikut: a. Terdapat 3 orang Indonesia, 4 orang Belanda, dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku yang memanjang. Tentukan banyak susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya. b. Lima orang akan pergi ke pantai menggunakan sebuah mobil berkapasitas 6 tempat duduk. Jika hanya ada dua orang yang bisa menjadi sopir, Tentukan banyak cara mengatur tempat duduk mereka di dalam mobil. c. Tentukan banyak cara membagikan 10 permen identik kepada tiga orang sedemikian hingga setiap orang sedikitnya mendapatkan satu permen. d. Pada suatu perusahaan, ada 3 lowongan pekerjaan yang disediakan hanya untuk pekerja pria, 5 lowongan pekerjaan hanya untuk pekerja wanita, 4 lowongan pekerjaan untuk pekerja pria dan wanita. Jika terdapat 20 pelamar dengan komposisi 8 wanita dan 12 pria, tentukan banyak cara mengisi lowongan pekerjaan ini. 4. Presentasikan hasil kerja kelompok dalam forum kelas. 5. Buatlah rangkuman hasil kegiatan. Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 34
E. Pengembangan Soal HOTS Di bawah ini disajikan contoh kisi-kisi soal yang sesuai dengan kompetensi, lingkup materi, dan indikator soal. Selanjutnya Saudara bisa membuat kisi-kisi yang lain dan mengembangkannya menjadi instrumen soal HOTS dari kisi-kisi tersebut dalam aktivitas In Learning Service-selanjutnya. KISI-KISI SOAL HOTS Nama Madrasah : Madrasah Aliyah Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : .............................. Jumlah Soal : ……………………… Tahun Pelajaran : …........................... Tabel 10 Kisi-Kisi Pengembangan Soal HOTS Kompetensi Dasar Lingkup Indikator KD Indikator Soal No. Level Bentuk Materi Soal Kognitif soal 3.3 menganalisis Aturan Menganalisis Diberikan contoh 1 C3 Pilihan aturan pencacaha Perkalian aturan kasus , peserta ganda/ (aturan perkalian didik dapat Uraian penjumlahan, melalui menggunakan aturan perkalian, masalah aturan perkalian permutasi, kontekstual untuk kombinasi) menyelesaikanya. melalui masalah Kaidah Menganalisis Diberikan contoh 2 C3 Pilihan Permutasi kaidah kasus , peserta ganda/ permutasi didik dapat Uraian melalui menggunakan masalah kaidah permutasi kontekstual untuk menyelesai- kannya. Kaidah Menganalisis Diberikan contoh 3 C3 Pilihan Kombinasi kaidah kasus , peserta ganda/ kombinasi didik dapat Uraian melalui menggunakan masalah kaidah kombinasi kontekstual untuk menyelesaikanya. 35 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
05 PENILAIAN A. Latihan Soal Asesmen Kompetensi Guru (AKG) 1. Delapan orang peserta suatu lomba memperbutkan juara I, juara II, juara III dan juara harapan. Banyaknya posisi juara yang dapat terjadi adalah … . A. 3.360 B. 1.680 C. 336 D. 72 E. 32 2. Banyak susunan huruf yang mungkin dibentuk dari kata “SUKINO”, apabila huruf pertama dimulai dengan huruf vocal adalah … . A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 E. 23 3. In how many different ways may the seven letters in the word “MINIMUM” be arranged, if all of the letters are used each time … ? A. 5,040 B. 420 C. 240 D. 42 E. 7 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 36
4. Find the number of three-letter words that use letters from the ten-letter set (A, B, C, …, J) in which all letters are different and the letters appear in alphabetic order ... ! A. 60 B. 120 C. 150 D. 180 E. 200 5. In how many ways can four couples be seated at a round Tabel with the men and women alternating … ? A. 24 B. 48 C. 96 D. 144 E. 196 6. Disediakan 5 cat hijau yang berbeda jenisnya, 4 cat biru yang berbeda jenisnya, dan 3 cat merah yang berbeda pula jenisnya. Banyak pemilihan atas cat yang dapat dibuat sekurang-kurangnya ada 1 cat hijau dan 1 cat biru adalah … pemilihan. A. 2.370 B. 2.730 C. 3.270 D. 3.710 E. 3.720 7. Dalam seleksi siswa yang akan mewakili madrasah dalam kompetisi matematika tersedia 17 calon. Jika dari 17 calon tersebut akan dipilih 4 siswa saja, maka banyak cara yang mungkin untuk pemilihannya adalah … . 37 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
A. 2.380 B. 2.803 C. 2.830 D. 3.208 E. 3.280 8. Dari angka angka 3, 5, 6, 7, dan 9 akan dibuat bilangan yang terdiri dari tiga angka yang berbeda yang kurang dari 400. Banyaknya bilangan tersebuat adalah … . A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 E. 6 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 38
B. Penilaian untuk Guru 1. Penilaian Mandiri Guru Setelah menyelesaikan seluruh aktivitas dalam Unit Pembelajaran dan mencoba soal latihan, Saudara dapat memperkirakan tingkat keberhasilannya dengan dengan mengisi instrumen penilaian diri berikut ini. Isilah lembar persepsi diri ini dengan objektif dan jujur dengan memberikan tanda ceklis (√) pada kolom penilaian diri sesuai target kompetensi yang ditetapkan. Tabel 11 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru Terget Kompetensi Penilaian Diri Ket. Tercapai Belum 1. Memahami kompetensi inti, kompetensi dasar, dan tujuan pemelajaran materi aturan pencacahan. 2. Menentukan tujuan pembelajaran materi aturan pencacahan. 3. Menyusun rancangan pembelajaran yang lengkap, sesuai dengan karakteristik peserta didik (RPP) 4. Melaksanakan pembelajaran aturan pencacahan 5. Menggunakan media pembelajaran dan sumber belajar yang relevan dengan karakteristik materi pembelajaran dan peserta didik 6. Mengembangkan indikator dan instrumen penilaian 7. Menganalisis hasil penilaian 8. Menguasai materi aturan pencacahan. 9. Menyusun materi aturan pencacahan dari berbagai sumber. Catatan: 39 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
2. Penilaian oleh Asesor/Fasilitator Tabel 12 Instrumen penilaian guru oleh asesor/fasilitator Terget Kompetensi Penilaian Diri Ket. Tercapai Belum 10. Memahami kompetensi inti, kompetensi dasar, dan tujuan pemelajaran materi aturan pencacahan (aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi). 11. Menentukan tujuan pembelajaran materi aturan pencacahan (aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi). 12. Menyusun rancangan pembelajaran yang lengkap, sesuai dengan karakteristik peserta didik (RPP) 13. Melaksanakan pembelajaran aturan pencacahan (aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi) 14. Menggunakan media pembelajaran dan sumber belajar yang relevan dengan karakteristik materi pembelajaran dan peserta didik 15. Mengembangkan indikator dan instrumen penilaian 16. Menganalisis hasil penilaian 17. Menguasai materi aturan pencacahan (aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi). 18. Menyusun materi aturan pencacahan (aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi)dari berbagai sumber. Catatan: Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 40
C. Penilaian untuk Peserta Didik 1. Penilaian Mandiri oleh Peserta Didik Mintalah peserta didik untuk mengisi lembar penilaian diri berikut ini untuk memperkirakan tingkat keberhasilan peserta didik dalam menguasai kompetensi dasar yang Anda ajarkan. Isi secara objektif dan jujur dengan memberikan tanda ceklis (√) pada kolom penilaian diri sesuai indikator pencapaian kompetensi dasar yang ditetapkan. Tabel 13 Instrumen penilaian diri bagi peserta didik Indikator Capaian Kompetensi Penilaian Diri Ket. Tercapai Belum 3.3.1 Menjelaskan pengertian aturan pencacahan. 3.3.2 Menjelaskan aturan perkalian 3.3.3 Memberikan contoh masalah kontekstual yang melibatkan aturan perkalian 4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan aturan perkalian 3.3.4 Memberikan contoh masalah kontekstual yang melibatkan permutasi 4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan permutasi 3.3.4 Memberikan contoh masalah kontekstual yang melibatkan kombinasi 4.3.3 Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan kombinasi Catatan: 41 Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan
2. Penilaian oleh Guru Tabel 14 Instrumen penilaian peserta didik oleh guru Indikator Capaian Kompetensi Penilaian Diri Ket. Tercapai Belum 3.3.1 Menjelaskan pengertian aturan pencacahan (aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi). 3.3.2 Menjelaskan aturan perkalian 3.3.3 Memberikan contoh masalah kontekstual yang melibatkan aturan perkalian 4.3.1 Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan aturan perkalian 3.3.4 Memberikan contoh masalah kontekstual yang melibatkan permutasi 4.3.2 Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan permutasi 3.3.4 Memberikan contoh masalah kontekstual yang melibatkan kombinasi 4.3.3 Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menggunakan kombinasi Catatan: Unit Pembelajaran 13 : Aturan Pencacahan 42
Search
