การสร้างหนังสือ Interactive E-Book Online วิชาฟิสิกส์

บทที่ 2 โยฮันน์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ .. \"เจ้าชายแห่งคณติ ศาสตร์\" กฎของเกาส์

2.1 ฟลกั ซ์ของสนามไฟฟ้า • พจิ ารณาสนามไฟฟ้า  ซ่ึงคงท่ีท้งั ขนาดและทิศทางดงั รูป E • เสน้ แรงไฟฟ้าผา่ นพ้ืนท่ีผวิ A ในแนวต้งั ฉาก  E • จานวนเสน้ แรงต่อหน่ึงหน่วยพ้นื ที่ แปรผนั ตรงกบั ขนาดสนามไฟฟ้า • เสน้ แรงที่ผา่ นพ้นื ที่ผวิ A แปรผนั ตรงกบั EA • ฟลกั ซไ์ ฟฟ้า คือ ผลคูณของขนาด สนามไฟฟ้ากบั พ้นื ที่ผวิ ท่ีต้งั ฉาก กบั สนามไฟฟ้า (electric flux) E = EA N m2 2.1 C

• เม่ือ A เพิ่มข้ึน จานวนเสน้ แรงที่ผา่ นพ้ืนท่ี A มากข้ึน • เม่ือ E เพมิ่ ข้ึน จานวนเสน้ แรงต่อพ้ืนท่ีเพ่มิ ข้ึน • ถา้ พ้นื ที่ A ไม่ต้งั ฉากกบั สนามไฟฟ้า จานวนเสน้ แรง หรือฟลกั ซท์ ่ีผา่ น A ก็ นอ้ ยลงดว้ ย • เมื่อ A ไม่ต้งั ฉากกบั ฟลกั ซ์ ไฟฟ้า จะไดจ้ านวนเสน้ แรง ท่ีผา่ นพ้ืนที่ A • ดงั น้นั ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าท่ี ผา่ นพ้นื ท่ี A คือ A = A cos θ 2.2 • ดงั น้นั ฟลกั ซท์ ่ีผา่ นพ้ืนท่ี A ดงั รูปคือ E = EA cosθ

E = EAcosθ จากสมาการท่ี 2.1 พบวา่ • ฟลกั ซท์ ี่ผา่ นผวิ ท่ีมีพ้ืนที่ A จะมีคา่ สูงสุด เม่ือ (EA) ต้งั ฉากกนั หรือ กค็ ือ เสน้ ต้งั ฉากกบั ผวิ น้นั ขนานกบั สนาม θ = 0 • ฟลกั ซ์เป็นศูนย์ เม่ือผวิ น้นั ขนานกบั สนาม หรือเมื่อเสน้ ต้งั ฉากกบั ผวิ น้นั ทามุม 90 องศา กบั สนาม θ = 90

• โดยทวั่ ไป สนามไฟฟ้าที่ผา่ นผวิ ท่ีเราพจิ ารณา อาจไม่คงที่ ดงั น้นั ตาม สมการที่ 2.1 จะมีความหมายเฉพาะผวิ ท่ีมีพ้ืนท่ีเลก็ ๆ เท่าน้นั • พจิ ารณาผวิ ทวั่ ไปดงั รูป ซ่ึงแบ่งเป็นส่วนยอ่ ยๆ จานวนมาก โดยใหแ้ ต่ละ ผวิ ยอ่ ยๆ มีพ้นื ที่เป็น ∆A  • เพือ่ ความสะดวก เราจะนิยาเวกเตอร์ ΔA วา่ มีขนาดเท่ากบั ∆A และมิทิศ พงุ่ ออกต้งั ฉากกบั ผวิ จะไดฟ้ ลกั ซ์ไฟฟ้า i ท่ีผา่ นพ้นื ท่ีเลก็ ๆ ∆Ai

• จะได้  ΔΦi = EiΔAi cos θ = EiΔAi • โดยทวั่ ไปเราสนใจการหาฟลกั ซ์ท่ีผา่ นผวิ ปิ ด (closed surface) • เมื่อทาการอินทิเกรตรอบผวิ ปิ ด  • จะได้ 2.3  =  E dA • ฟลกั ซ์  เป็นปริมาณสเกลาร์

ตวั อยา่ ง • ผวิ รูปล่ิมในดงั รูปอยใู่ นบริเวณ ของสนามไฟฟ้าสม่าเสมอ  E = (600N/C)ˆi – จงหาฟลกั ซ์ไฟฟ้าท่ีผา่ นผวิ ดา้ นหลงั ของรูปลิ่ม = -5400 ทิศ (-x) พงุ่ เขา้  – จงหาฟลกั ซ์รวมที่ผา่ นผวิ 1 =  E dA = 600(3 3) ปิ ดรูปลิ่ม = 5400 พงุ่ เขา้ พืน้ ท่ีส่เี หล่ยี ม  = 600(3 5)(3) ทิศ (x) พงุ่ ออก 5 1 =  E dA = 3 5 = 32 + 42 cos 5 พงุ่ ออกพืน้ ท่ีสามเหล่ยี ม

2.2 กฎของเกาส์ • พิจารณาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งฟลกั ซ์ไฟฟ้าที่ผา่ นผวิ ปิ ด (ผวิ เกาส์เชียน) และประจุที่ลอ้ มรอบโดยผวิ ปิ ดน้นั • ความสมั พนั ธน์ ้ีเรียกวา่ กฎของเกาส์ (Gauss’s law) • เขยี นเป็นสมการ ε0Φ = q 2.4 b • หรือ Φ = q • จากสมการท่ี 2.3 ε0 2.5   =  E dA  • แทนสมการ b ลงใน 2.3 q = • จะได้ ε0  E dA  0  E dA = q

• ประจุ q ในสมการที่ 2.4 เป็นประจุสุทธิ เป็ นผลรวมแบบพีชคณิตของประจุบวกและ ประจุลบ ท้งั หมดที่ลอ้ มรอบโดยผวิ ปิด • q อาจเป็นบวก เป็นลบ หรือ ศูนย์ กไ็ ด้ • เครื่องหมาย ของ q จะบอกใหท้ ราบ เก่ียวกบั ฟลกั ซส์ ุทธิที่ผา่ นผวิ เกาส์เชียน • ถา้ ประจุ q เป็นบวก ฟลกั ซ์สุทธิจะพงุ่ ออก จากผวิ เกาส์เชียน • ถา้ ประจุ q เป็นลบ ฟลกั ซ์สุทธิจะพงุ่ เขา้ ไป ในผวิ เกาส์เชียน

รูป แสดงเส้นแรงไฟฟ้าของ ไดโพล และผวิ เกาส์เชียน 4 ผวิ  2.5 0  E dA = q • ปกฎระขจอุทงเี่อกยาภู่สา์ ยEนใอนกสผวิมเกกาารสท์เช่ี 2ีย.น4 จะไม่ถูกรวมเขา้ ไปในเทอมของ q ของ คือสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุท้งั หมดท่ี อยใู่ นผวิ และนอกผวิ เกาส์เชียน

• พบวา่ สนามไฟฟ้าซ่ึงเกิดจากประจุที่อยภู่ ายนอกผวิ เกาส์เชียน จะให้ ฟลกั ซส์ ุทธิที่ผา่ นผวิ มีคา่ เป็นศูนย์ • เนื่องจากจานวนเสน้ แรงไฟฟ้าท่ีเกิดจากประจุน้นั พงุ่ เขา้ และพงุ่ ออกจาก ผวิ มีปริมาณเท่ากนั

• ผปรบอวิรวบะกSจผส1ุบวิาสหปวนิกดราับมSทไ1ฟุกจๆะฟไ้าจดมุดผ้ีทบลศิ นลพผพั ่งุวิ ธอ์Sเอป1ก็ นเจมบาื่อกวคกทาุกแนๆสวจดณุดงอบวิน่านปทผริกวิ ะรจSัลุส1ขุดทองัธงนิภส้นั ามยกใEานรผทdวิ Aี่2เป.5็เนป็น • สผวินาSม2 ไสฟนฟาม้ามไีคฟา่ฟเป้า็มนีทลศิบพแุ่งสเขด้างจวา่ากปทรุกะจๆุสจุุทดบธิภนาผยวิ ในS2ผดวิ งั Sน2้นั เปฟ็ นลปกั รซะ์ขจอุลงบ • สดผา้นวิ นาSซม3า้ไไยฟมขฟ่มอ้างปี ทผร่ีผวิะา่ จSนุอ3ผยทวิ ู่ในุกSเผ3สวิ เน้ ปน็ นจี้ จะศาไูกนปสยอ์มเอนกก่ือาทรงทาจงา่ี 2ดก.า้เ4สนจน้ขะแวไารดงฟ้ ไลฟกัฟซ้าท์สุี่ทพธงุ่ เิขขอา้ งทาง • เปเผสปร็วิน้นะแSศจ4รูนุสงผุยททวิเ์ธนี่พนิภื่อ้ีงุ่ลางออ้ยจอมใากนรกจอผเสาบวิ กน้ ปSผแ4รวิ รเะนปงจ้็ีไนุบฟศวฟูนก้ายแท์ลฟ่ีพะลงุ่ปกัเรขซะา้ ์สจผุทุลวิ บธSิขท4อี่มทงีขุกสนเนสาา้นดมเทเไทฟ่า่ากฟกนั บ้ัาทดจี่ผางั นนา่ น้วนั ผนวิ น้ี

• ฟลกั ซส์ ุทธิท่ีผา่ นพ้ืนผวิ ปิ ดใดๆที่ลอ้ มรอบจุดประจุ q จะมีคา่ เท่ากบั q ε0 ดงั รูป (ก) • ฟลกั ซส์ ุทธิที่ผา่ นพ้ืนผวิ ปิ ดใดๆท่ีลอ้ มรอบจุดประจุ q จะมีค่าเท่ากบั ศูนย์ ดงั รูป (ข)

• ฟลกั ซ์ไฟฟ้าสุทธิที่ผา่ น พ้นื ผวิ ปิ ด S, S’ และ S” ตามลาดบั 1 = q1 0 2 = (q3 + q2 ) 0 3 = 0

ตวั อยา่ ง • ประจุสุทธิ -3.6 ไมโครคูลอมบ์ อยภู่ ายในผวิ ปิ ดอนั หน่ึง จงหาฟลกั ซ์ ไฟฟ้าท่ีผา่ นผวิ น้ี Φ = q ε0 • ถา้ ฟลกั ซไ์ ฟฟ้าที่ผา่ นผวิ ปิ ดหน่ึงมีคา่ 780 N.m2/C จงหาปริมาณของ ประจุท่ีลอ้ มรอบโดยผวิ ปิ ดน้ี ε0Φ = q 0 = 8.8510−12 C2/N  m2

2.3 กฎของเกาส์และกฎของคูลอมบ์ • ถา้ เราตอ้ งการหาสนามไฟฟ้าท่ีเกิดจากจุดประจุ +q ณ จุดที่ห่างจาก +q เป็นระยะทาง r • สร้างผวิ เกาส์เชียนรูปทรงกลมรัศมี r มีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่จุดประจุ +q แพลงุ่ ะอแอบก่งแผลวิะเตก้งัาฉสา์เซกียกนบั เผปวิ็นดพงั ้ืนนท้นั ี่เมลุมก็ ๆระdหAวา่ เงนื่อEงจกาบั กสdนAามเปไ็ฟนฟศูน้า ยE์ มีทิศ  2.5 0  E dA = q ( )0E 4 r2 = q E = 1 q 2.6 r2 4 0

ผวิ ท่ี 3 ผวิ ท่ี 2 ผวิ ท่ี 1 • พิจารณาผวิ เกาส์เชียนรูปทรงกระบอก เป็น 3 ส่วน คือ ปลายปิ ดดา้ นท่ีอยู่ ภายนอกตวั นา เป็นผวิ ที่ 1 ปลายปิ ดดา้ นท่ีอยภู่ ายในตวั นา เป็นผวิ ที่ 2 และส่วนที่เป็นผวิ โคง้ ของทรงกระบอก ใหเ้ ป็นผวิ ที่ 3  • จากสมการที่ 2.5 2.5 0  E dA = q     E dA +  E dA +  E dA = q 2.6 ผวิ ที่ 1 ผวิ ท่ี 2 ผวิ ท่ี 3 0

2.4 การใชก้ ฎของเกาส์หาสนามไฟฟ้า 2 r • การหาสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุกระจาย เป็นเสน้ ยาวอนนั ต์ • สนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุกระจายเป็นเสน้ ยาวอนนั ตจ์ ะมีทิศพงุ่ ออกตามแนวรัศมี กรณี น้ีจึงสมมาตรแบบทรงกระบอก (cylindrical symmetry) • ความหนาแน่นประจุเชิงเสน้ สม่าเสมอ λจง หาขนาดของสนามไฟฟ้าท่ีระยะห่าง r จาก แกน

• ฟลกั ซ์ที่ผา่ นปลายปิ ดท้งั สองดา้ นของผวิ เกาส์เชียนเป็นศูนย์ เพราะ สนามไฟฟ้า (ซ่ึงพงุ่ ออกตามแนวรัศมี) มีทิศขนานกบั ผวิ ปิ ด   E dA • ดงั น้นั  = Ecos90 dA = 0 • ผวิ ทรงกระบอกมีพ้ืนท่ีเท่ากบั 2π rh   • จากกฎของเกาส์ 0  E  dA = q • ประจุภายในผวิ เกาส์เชียนคือ λh  • จะได้ 0 Ecos0 dA = λh 0E (2 rh) = λh 2.7 E = λ 2π 0 r

• แผน่ ประจุบางไม่เป็นตวั นาท่ีมีขนาดอนนั ตป์ ระจุกระจายสม่าเสมอบน ผวิ ดา้ นหน่ึง โดยมีความหนาแน่นประจุเชิงพ้ืนที่ผวิ (ประจุต่อหน่วย พ้นื ท่ี) เป็น  จงหาขนาดของสนามไฟฟ้าท่ีระยะ r จากแผน่ ประจุ • จากกฎของเกาส์  • จะได้ 0  E dA = q 0 (EA + EA) = q = σA 0 = 8.8510−12 C2/N  m2 E=  2.8 2 0

• สนามไฟฟ้าเน่ืองจากประจุท่ีกระจายสม่าเสมอบนผวิ ทรงกลมกลวงบาง • ทรงกลมกลวงบางมีรัศมี R มีความหนาแน่นประจุเชิงพ้นื ที่ผวิ เป็น  และมีประจุสุทธิ q q 4π R 2 • ดงั น้นั σ =

• จากกฎของเกาส์  • ขนาดของสนามไฟฟ้าท่ีตาแหน่ง ห่างจากจุดศูนยก์ ลางของทรงกลม 0  E dA = q เป็นระยะ r เม่ือ r > R และ r < R  • เม่ือ r > R สร้างผวิ เกาส์เชียนทรง กลมรัศมี r จากรูป (ข) เป็นลกั ษณะ สมมาตร จะไดส้ นามไฟฟ้า E มีทิศ พงุ่ ออกตามแนวรัศมี 0 E cos 00 dA = q q  • ดงั น้นั 0E dA = q E = 4π 0 r2 2.9 ( )ε0E 4 r2 = q

• เมื่อเราสร้างผวิ เกาส์เชียนรูปทรงกลมรัศมี r โดยท่ี r < R ดงั ภาพ(c) • จากสมการท่ี 2.9 E = q r2 4π 0 • แต่เนื่องจากไม่มีประจุภายในผวิ เกาเชียน หรือ q = 0 ดงั น้นั E = 0 • คือสนามไฟฟ้ามีคา่ เป็นศูนยภ์ ายในทรงกลมกลวงบาง และจะไม่ส่งแรง ไฟฟ้ากระทาต่ออนุภาคที่มีประจุท่ีอยภู่ ายในทรงกลมน้นั

• ทรงกลมตนั รัศมี a ซ่ึงเป็นฉนวนท่ีมีประจุกระจายอยา่ งสม่าเสมอดว้ ย ความหนาแน่นประจุ  และเป็นประจุบวก q • จงหาขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุดซ่ึงอยดู่ า้ นนอกทรงกลมน้ี • จงหาขนาดของสนามไฟฟ้าท่ีจุซ่ึงอยภู่ ายในทรงกลมน้ี

• สร้างผวิ เกาส์เชียนรูปทรงกลมรัศมี r โดยที่ r > R ดงั ภาพ • ใหค้ ิดเสมือนวา่ ทรงกลมตนั เป็นจุดประจุ  • จากกฎของเกาส์ 0  E dA = q • ขนาดของ E ท่ีจุดดา้ นนอกทรงกลมคือ ( )ε0E 4 r2 = q • ดงั น้นั เม่ือ r > R E = q r2 2.10 4π 0

• สร้างผวิ เกาส์เชียนรูปทรงกลม ε0E (4π r2 ) = q รัศมี r โดยท่ี r < R ดงั ภาพ q • ให้ q = ρV , V = 4 r3 E = 4π 0 r2 a 3 q = ρ 4 r3  แทนลงใน a ρ  4 π r3  3  3  E= 4π ε0 r2 • จากกฎของเกาส์  0  E dA = q

ρ  4 π r3  q 3  4 πR3 E= 4π ε0 r2 3 E= 3ε0 r ρ b E = q r 2.11 E = 3ε0 r 4π 0R3 ρ= q V ดงั น้นั V = 4r3 แทนลงใน b 3 ρ= q 4  R3 3

เม่ือ r > R เมื่อ r < R E = q r2 2.10 E = q r 2.11 4π 0 4π 0 R 3



งาน • แผน่ พลาสติกขนาดใหญ่ 2 แผน่ วางขนานกนั แต่ละแผน่ มีประจุกระจายสม่าเสมอบนผวิ ดา้ น เดียว โดยมีขนาดของความหนาแน่นประจุเชิง พ้นื ที่ผวิ สาหรับแผน่ บวกเป็ น ρ+ = 6.5 C/m2 และสาหรับแผน่ ลบเป็ น ρ- = −4.2  C/m2 จงหาสนามไฟฟ้า (ก) ดา้ นซา้ ยของแผน่ (ข) ระหวา่ งแผน่ (ค) ท่ีดา้ นขวาของแผน่