หนังสือเเก่นคณิตศาสตร์ ม.ปลาย

Math Kit EBook ห น้ า 51 ความรเู้ บอื้ งตน้ เกยี่ วกบั เรขาคณติ วเิ คราะห์ (Fundamental of Geometry) ระบบแกนมุมฉาก (Coordinate System) คือระบบแกนทมี่ ีแกนราบ (แกน x) และแกนด่ิง (แกน y) ตง้ั ฉากกันท่ีจดุ O (Origin) หรือ จุดกาเนดิ หรอื จดุ (0,0) ดังนั้น เราสามารถแทนคอู่ ันดับใดๆ ลงในระบบระบบแกนมมุ ฉาก เชน่ ค่อู นั ดบั (x,y) เป็นจุด ห่างจากแกน y เป็นระยะทาง |x| หนว่ ยไป ทางขวา เมอ่ื x เป็นบวก ห่างจากแกน y เป็นระยะทาง |x| หนว่ ยไป ทางซา้ ย เมือ่ x เป็นลบ ห่างจากแกน x เปน็ ระยะทาง |y| หน่วยไป ทางบน เมื่อ y เปน็ บวก ห่างจากแกน x เป็นระยะทาง |y| หน่วยไป ทางลา่ ง เม่อื y เป็นลบ

Math Kit EBook ห น้ า 52 จุด 2 จดุ Ex ความยาว |AB| = √ ความชนั 2− mab = tan( ) = 2− จดุ แบง่ เสน้ ตรง P=( 2 2) |AB| = √ = − −= mab = ) P( ถ้าจุดแบง่ ครึ่ง AB คอื ( 2, 2) =P( ) จดุ ตงั้ แต่ 3 จดุ ข้นึ ไป Ex 1.จุดตัดเสน้ มธั ยฐาน (Centroid) 1.จุดตดั เส้นมัธยฐาน () (− − ) = (2,1) 2.พนื้ ทร่ี ปู n เหลี่ยม 2.พ้นื ทรี่ ปู n เหล่ียม || 04 5 || 2 25 0 |2+25+0+0+4+5| =18 ตารางหนว่ ย

Math Kit EBook ห น้ า 53 เส้นตรง ผา่ นจุด (x1.y1) , มคี วามชัน m 3 1.สรา้ งสมการเสน้ ตรงจาก y - y1 = m(x - x1) 2.สมการใชห้ าความชนั y = mx + c เส้นตรงสองเสน้ 12 ขนานกัน m1 =m2 ตัง้ ฉาก m1 × m2 = -1 ทามุม tan = −2 ระยะจากจดุ ถึงเสน้ ตรง 2 d Ex d d= 2 2 −− d= 2 2 ระยะทางเสน้ ตรงถงึ เส้นตรง = d Ex . d −2 −− d= 2 2 d= 2 2 =d=

Math Kit EBook ห น้ า 54 การเลอ่ื นแกน (Translation of Axes) การเลอ่ื นแกนทางขนาน หมายถึง หมายถึงการเปลี่ยนแปลงแกนพิกัดเดิมอยา่ งนอ้ ยหนง่ึ แกน (แกน X หรอื แกน Y) โดยใหแ้ กนพกิ ัดใหม่ขนานกับแกนพกิ ัดเดิม การเลือ่ นแกนทางขนานนับเปน็ พนื้ ฐานที่สาคัญทีจ่ ะช่วยในการศึกษาเกยี่ วกับภาคตัดกรวย ได้ สะดวกย่ิงขน้ึ ในระบบแกนมมุ ฉาก เราใชแ้ กน X และ Y สาหรับอา้ งอิงพิกัดหรือตาแหน่งของ จดุ ในระนาบจุด P(x, y) เป็นจุดทอี่ ยู่หา่ งจากแกน Y ไปทางขวามอื เป็นระยะ x หนว่ ย และอยู่หา่ ง จากแกน X ซง่ึ อยูเ่ หนือแกน X เป็นระยะ y หน่วย ดังรูป

Math Kit EBook ห น้ า 55 ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง เส้นโค้งท่ีได้จาก การตัดพ้ืนผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาต้ังแต่สมัย 200 ปี ก่อนครสิ ต์ศักราชโดย อพอลโลเนยี ส แห่ง เพอรก์ า ผูซ้ ่งึ ศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลาย ประการของภาคตดั กรวย ตอ่ มากรณกี ารศึกษาภาคตัดกรวยถูกนาไปใช้ประโยชน์หลายแบบ กรวยกลมตรงมลี ักษณะดังน้ี วงกลม เกดิ จากการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบ ท่ตี ั้งฉากแกนของกรวย พาราโบลา เกิดจากการตดั กรวยกลมตรงด้วยระนาบที่ขนานกับเสน้ ขอบกรวย วงรี เกิดจาดการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบเพียงส่วนเดียว โดยท่ีระนาบน้ันไม่ขนาน กับเส้นของกรวยและไมต่ ้ังฉากกับแกนของกรวย ไฮเปอรโ์ บลา เกดิ จากการตัดกรวยกลมตรงดว้ ยระนาบทต่ี ดั ท้ังสองส่วนของกรวย

Math Kit EBook ห น้ า 56 วงกลม(Circle) วงกลมคือเซตของจุดท้ังหมดในระนาบที่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม(center)เป็น ระยะคงตวั และมรี ะยะทางคงตัว คือรศั มี(radius) ของวงกลม สมการรูปมาตรฐาน วงกลมคอื (x - h)2+(y - k)2=r2 ส่วนประกอบของวงกลม จดุ ยอด (h,k) รศั มี r สมการรปู ทั่วไป x2 + y2 + ax + by + c = 0 ถ้าสมการของวงกลมในรูปแบบท่ัวไป สามารถเขียนสมการใหม่ในรูปแบบสมการมาตรฐาน ได้โดยใช้วธิ ีการทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ Ex จงหารัศมีของวงกลมและจดุ ศนู ย์กลางของสมการวงกลมตอ่ ไปนี้ x2 +y2– 4x + 6y - 12 = 0 วิธที า x2 +y2– 4x + 6y = 12 x2 – 4x +4 + y2 +6y + 9 = 12 + 4 + 9 (x2–2(2)x+22) + (y2+2(3)y+32) = 12+22+32 (x–2)2 + (y+3)2 = 25 หรอื (x–2)2 + (y+3)2 = 52 วงกลมจุดศนู ย์กลาง (2,-3) รัศมี 5 Ex จงวาดกราฟของสมาการต่อไปน้ี จุดยอด (5,-3) รัศมี 7 หนว่ ย

Math Kit EBook ห น้ า 57 ข้อควรระวังเรื่องวงกลม 1.เส้นสมั ผัสตง้ั ฉากกับรัศมที จี่ ดุ สมั ผสั (mเสน้ สัมผัส × mรัศมี = -1) 2.ระยะทางจากจุดศนู ย์กลางถึงจุดสมั ผสั คือ รศั มี วงรี (ellipse) วงรี คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซ่งึ ผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจดุ โฟกสั (focus) ทงั้ 2 มีค่าคงตัว

Math Kit EBook ห น้ า 58 สมการวงรรี ปู มาตรฐาน −2 −2 −2 −2 2 =1 2 2 2 คาแนะนา ค่า a จะมคี ่ามากกว่าค่า b เสมอ ความสัมพันธ์ของวงรี c2 = a2 - b2 สว่ นประกอบของวงรี 2 จดุ ยอด V, V’ จุดศูนยก์ ลาง C ลาตัสเล็กตมั ยาว แกนเอก 2a ความเยอื้ งศูนยก์ ลาง e = แกนโท 2b โดยที่ 0 < e < 1 e เข้าใกลเ้ ลข 0 จะเปน็ รปู ใกล้เคยี งวงกลม e เขา้ ใกล้เลข 1 จะเป็นรปู วงรีท่รี มี าก

Math Kit EBook ห น้ า 59 พาราโบลา(Parabola) พาราโบลาคือ เซตของจดุ ทุกจดุ บนระนาบ ซ่ึงอยูห่ ่างจากเสน้ ตรง(เสน้ ไดเรกตกิ ) ทเ่ี ส้น หน่งึ บนระนาบและจดุ คงที่(จุดโฟกัส)จุดหน่ึงบนระนาบนอกเส้นตรงคงทีน่ ้ัน เปน็ ระยะทางเทา่ กัน เสมอ สมการมาตรฐาน (y - k)2 = 4c(x - h) (x - h)2 = 4c(y-k) จุดยอด V จุดโฟกสั F ลาตัสเรกตรัม (LR) = 4C

Math Kit EBook ห น้ า 60 ไฮเปอรโ์ บลา(Hyperbola) ไฮเปอรโ์ บลา คือ เซตของจุดทุกจดุ ในระนาบซงึ่ ผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆในเซตนไ้ี ป ยงั จุดคงที่สองจุดบนระนาบมีค่าคงตวั ซึ่งมากกว่าศนู ย์แต่น้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทงั้ สอง โดยท่ีจุดคงท่นี เ้ี รียกวา่ จุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา = 2a สมการมาตรฐาน

Math Kit EBook ห น้ า 61 สว่ นประกอบไฮเปอร์โบลา จดุ ศูนย์กลาง C 2 จุดยอด V, V’ จดุ โฟกสั F, F’ แกนตามขวาง 2a แกนสงั ยคุ 2b ลาตัสเรกตมั (LR) = สมการเสน้ กากับไฮเปอร์โบลา −2 −2 หรอื y – k = ± (x - h) หรือ x - h = ± (y – k) 1. 2 2 −2 −2 2. 2 2 หมายเหตุ ไฮเปอรโ์ บลามมุ ฉาก คือไฮเปอรโ์ บลาคอื a = b คาแนะนา สาหรบั โจทยบ์ างประเภทไมเ่ ป็นไป ตามสมการมาตรฐาน เชน่ วงรเี อยี ง ซงึ่ ไม่ตรงกับวงรรี ตี าม แกน x และแกน y เราจะตอ้ งสรา้ งสมการเองโดยอิงจากสว่ นประกอบที่โจทยก์ าหนดมาให้ โดยเราตอ้ ง พิจารณาตามนิยามของแตล่ ะรูป

Math Kit EBook ห น้ า 62 ตวั อย่างที่ 1 จดุ A(-3,1) B(8,3) C(8,3) D(2,-3) เป็นจุดยอดของรปู สี่เหลี่ยม ABCD ข้อใดต่อไปน้ี ผดิ (PAT 1 มี.ค. 53) 1.ดา้ น AB ขนาดกับ BC 2.ผลบวกความยาวของด้าน AB กบั DC เทา่ กบั 10√2 หนว่ ย 3.ระยะตัง้ ฉากจากจดุ A ไปยังเส้นตรงทีผ่ า่ นจุด C และจดุ D เท่ากบั หน่วย 4.ระยะตงั้ ฉากจากจุด B ไปยงั เส้นตรงท่ีผา่ นจดุ C และจดุ D เท่ากับ หนว่ ย วิธีทา รา่ งกราฟโดยคร่าวๆจะได้ประมาณน้ี mAB = − =1 mDC = =1 −− −− − ดงั นัน้ ขอ้ 1 จึงถูก AB // DC |AB| = √ =√ = |DC| = √ = |AB| +|DC| = + = ดงั นั้นข้อ2 ถกู เสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ C และจดุ D หาโดยใชจ้ ุด C และความชัน CDจะได้ y – 3 =1(x – 8) x–y –5=0 ระยะตง้ั ฉากจากจุด A ไปยังเส้นตรงท่ีผ่าน CD − −− – − −−− √2 − 2 = = ดังนน้ั ข้อ3 ถูก ระยะตั้งฉากจากจดุ A ไปยังเสน้ ตรงที่ผ่าน CD −− – − √2 − 2 = = ดังนน้ั ข้อ4 ผดิ ตอบขอ้ 4

Math Kit EBook ห น้ า 63 ตวั อย่างที่ 2 เสน้ ตรงท่ผี ่านจดุ (1,-3 ) จะต้ังฉากและตดั กับเสน้ ตรง x + 2y = 5 1. (3,1) 2. (-1,3) 3. (1,2) 4.(5,0) วิธีทา สร้างสมการเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (1,-3 ) ซง่ึ มีความชนั คือ 2 เพราะตงั้ ฉากกบั สมการท่ีโจทย์ กาหนด (- ) y + 3 = 2(x - 1) 2x – y – 5 =0 แลว้ แก้สมการ 2 ตวั แปร 2 สมการ x + 2y = 5 ------------------- (1) 2x – y = 5 ----------------- (2) (1)+ 2x(2) 5x = 15 x = 3 ดังนน้ั y=1 ดงั นัน้ จดุ ตัดคอื (3,1) ตอบขอ้ 1 ตวั อยา่ งท่ี 3 สมการของเส้นตรงทีอ่ ยู่ห่างจากจุด A(-5,2), B(-1,4) เท่ากัน 1. y + 2x = -3 2.2y – x = 9 3.2x+3y =6 4.2x + y = 3 วธิ ีทา วาดกราฟโดยคร่าวๆ จดุ ก่ึงกลาง A กบั B = (− ) = (-3,3) ความชันของAB = − − = − ดงั นัน้ ความชันของเสน้ ตรงท่ตี ้ังฉากคอื -2 เราสามรถสรา้ งสมการทแ่ี บ่งครงึ่ เส้นตรงได้ดงั นี้ (y+3)=-2(x-3) 2x + y = -3 ตอบข้อ 1

Math Kit EBook ห น้ า 64 บทท่ี 6 เมตริกซ์ พน้ื ฐานเมตรกิ ซ์ A + B และ A - B kA เมตริกซ์คณู ดว้ ยคา่ คงที่ (k) A × B เมตรกิ ซ์ คูณดว้ ยเมตริกซ์ At การทรานสโพสเมตรกิ ซ์ det det = 0 คอื เมตรกิ ซ์เอกฐาน det ≠ 0 คือเมตริกซไ์ ม่เอกฐาน วิธีการหา det อนิ เวอร์สเมตริกซ์ A-1 = detA[Cij]t AA-1 = I โดยที่ I คอื เมตริกซเ์ อกลักษณ์ ประยกุ ต์เมตริกซ์ เมตรกิ ซ์ข้นั บันได เมตริกซก์ บั สมการเชงิ เสน้ เมตริกซ์ประยุกต์เวกเตอร์ เมตริกซ์ คอื กลุ่มของจานวนหรือสมาชกิ ของจรงิ ใดๆ เขยี นเรยี ง กนั เป็นรูปส่ีเหลยี่ มผืนผา้ หรือจตั ุรสั

Math Kit EBook ห น้ า 65 เมตริกซ์ คือกลุ่มของจานวนหรอื สมาชกิ ของจริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรปู ส่ีเหลี่ยมผืนผ้า หรือจตั รุ ัส กล่าวคอื เรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรยี งเป็นแถวในแนวตัง้ เรามกั เขยี นเมตรกิ ซเ์ ปน็ ตารางทไี่ ม่มีเสน้ แบง่ และเขยี นวงเล็บครอ่ มตารางไว้ (ไมว่ า่ จะเปน็ วงเลบ็ โคง้ หรือวงเลบ็ เหล่ียม) เรา เรยี ก m×nมิติ [] การบวกลบ เมตรกิ ซ์ การดาเนนิ การบวก หรือ ลบ เมตรกิ ซ์ ตอ้ งมมี ิติเทา่ กนั [ ]+[ ]=[ ] [ ]–[ ]=[ ] การทรานสโพส คือเมตรกิ ซท์ ่ไี ด้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเปน็ แถว ของเมตรกิ ซ์ ตน้ แบบ เมตริกซส์ ลับเปล่ียนของของเมตรกิ ซ์ A ขนาด m×n คอื At ขนาด n×m A=[ ] At= [ ]

Math Kit EBook ห น้ า 66 การคณู เมตรกิ ซ์ดว้ ยค่าคงที่ ให้ A=[a]m x n และ k เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ จะได้ว่า KA=[ka]m x n A=[ ] 5A = [ ] การคณู เมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ ถ้า A และ B เป็นเมตรกิ ซ์ 2 เมตรกิ ซใ์ ด ๆ การนาเมตรกิ ซ์ A มาคูณกบั เมตริกซ์ B จะ เกิดผลขึน้ อยา่ งใดอย่างหน่ึงใน 2 อย่างตอ่ ไปนี้ 1. ไมส่ ามารถหาผลคูณได้ เน่อื งจากปญั หาเรอื่ งมิติ 2. สามารถหาผลคณู ได้ ปัญหาที่เราจะตอ้ งทราบก็คอื ถ้าหาผลคูณได้ตอ้ งมีเง่ือนไขอย่างไร และสมาชิกของเมตริกซท์ ี่เป็น ผลคณู จะหามาไดอ้ ย่างไร ใหด้ ูหลักการต่อไปน้ี 1. มิตขิ องเมตริกซท์ ่นี ามาหาผลคณู ถ้า A เป็นเมตริกซ์ m × p B เป็นเมตรกิ ซ์ q × n เราจะคณู เมตรกิ ซ์ไดเ้ ม่ือ p = q และ AB จะมีมิติ m × n 2. ลักษณะสมาชิกของเมตริกซท์ ่ีเปน็ ผลคณู (ถ้าหาผลคูณได)้ หลกั การหาสมาชิกโดยท่ัว ๆ ไป สามารถหาได้ดังนี้ \"สมาชิกของผลคูณของเมตรกิ ซใ์ นแถวที่ i หลักที่ j จะเกิดสมาชกิ ในแถวที่ i ของเมตริกซท์ ี่อยู่ หน้า คูณกบั สมาชกิ ในหลักท่ี j ของเมตรกิ ซ์หลักเป็นคู่ ๆ แล้วนามาบวกกนั \" A=* +B=* + AB = [ ] AB = * + ☺ข้อระวงั AB ไมจ่ าเป็นท่ีตอ้ งเท่ากบั BA เพราะการคณู เมตริกซ์ดว้ ยเมตรกิ ซ์ ไมม่ ี คณุ สมบตั ิการสลับท่ี ☺

Math Kit EBook ห น้ า 67 ดเี ทอรม์ ิแนนต์ คือฟงั กช์ ันหนง่ึ ทีใ่ ห้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ซงึ่ ขนึ้ อย่กู บั ค่าของ n ในมติ ิ n×n ของเมตรกิ ซ์จตั ุรัส แบบ 1 x 1 A = [a] detA =a เเบบ 2 x 2 detA = ad - bc A=* + แบบ 3 x 3 A=[ ] detA = [ ] aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb ต้ังแต่ 3 x 3 โคแฟกเตอร์ ใช้แถว i Cij = (-1)i+j • Mij(A) ตัวอยา่ ง detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … ainCin หรือ ใชห้ ลกั j detA = a1jC1j + a2jC2j + … anjCnj ไมเนอร์ คือดเิ ทอร์มแิ นนต์ของเมตรกิ ซท์ เ่ี กดิ จากการตดั แถวที่ i หลกั ที่ j A=[ ] จงหา C23 C23 = (-1)2+3 | | = (-1)(2) = -2

Math Kit EBook ห น้ า 68 ประเภทของเมตรกิ ซ์ 1. เมตรกิ ซเ์ อกฐาน (Singular Matrix) คอื เมตรซิ ์ทม่ี ี det = 0 ซงึ่ หาอินเวอร์สไมไ่ ด้ 2. เมตรกิ ซ์ไม่เอกฐาน (Non Singular Matrix) คอื เมตรซิ ท์ มี่ ี det ไมเ่ ทา่ กบั 0 ซึ่งหาอนิ เวอรส์ ได้ การดาเนนิ การทางแถว 1. สลับแถว ทาให้ det กลบั เครือ่ งหมาย 2. นาคา่ คงทคี่ ูณท้งั แถว ทาให้ค่า det ถกู คณู ด้วยค่าคงที่ 3. นาค่าคงทีค่ ณู ทง้ั แถวไปดาเนนิ การบวกหรอื ลบกบั อีกแถวหนง่ึ det มีค่าเทา่ เดมิ คุณสมบัติดเี ทอรม์ แิ นนต์ Ex A = * + จงหา det 3At detAB = detA × det B เราสามารถใชค้ ณุ สมบัติของ ดเี ทอร์มิแนนตช์ ว่ ย detAm = (detA)m จะได้ว่า 32 det A detAt = detA detA = 2 detkA = kn × detA n × n มิติ จึงไดว้ า่ 9 x 2 = 18 อินเวอร์สการคูณ การหาอินเวอร์สจากการดาเนนิ การทางแถว อนิ เวอรส์ การคณู ของเมตรกิ ซ์ A ก็คือ เมตริกซ์ ซง่ึ [A | I] ~ [I | A-1] เมอ่ื นามาคูณกบั เมตรกิ ซ์ A แล้วจะได้ผลลัพธ์ Ex A= [ ] จงหา A-1 เทา่ กบั เมตริกซ์เอกลกั ษณ์ I และเราใชส้ ญั ลกั ษณ์ A-1 แทน อนิ เวอรส์ การคณู ของเมตรกิ ซ์ นน่ั คอื [ |] AA-1 = I เราสามารถหาอนิ เวอรส์ การคูณของเมตรกิ ซไ์ ดเ้ มือ่ R2-R3 [ | ] ~เมตริกซเ์ ปน็ เมตริกซไ์ มเ่ อกฐาน (Non – Singular Matrix) หรอื ค่า det ไม่เปน็ 0 ~R23 [ | ] ~R1÷2 | ] [ A-1 = [ ]

Math Kit EBook ห น้ า 69 การหาอนิ เวอร์สการคูณ Ex + 1 × 1 มติ ิ A = [3] A-1 =[ ] A = [a] A-1 =[ ] ] B = * + B-1= * 2 × 2 มติ ิ =[ A=* + A-1 = * + ตั้งแต3่ × 3 มติ ิ C=[ ] detC = 7 A-1 = [adjA] ; adjA { adjoint (เมตรกิ ซ์ ผูกพนั )} คือโคแฟเตอร์ทัง้ หมดทรานสโพส | || || | || || | adjA = [Cij]t C-1= | || || |] [| =[ ] =[ ] คุณสมบัติทรานสโพสและอินเวอรส์ = คณุ สมบัติทรานสโพส (At) t = A [] (A×B) t= Bt × At (A±B) t = At ± Bt คณุ สมบัติอนิ เวอร์ส (kA) t = kAt (A-1) -1 = A (An) t = (A t) n (A×B) -1= B-1 × A-1 (A±B) -1 กระจายอินเวอรส์ ไม่ได้ . (kA) -1 = k-1A-1 (An) -1 = (A -1) n

Math Kit EBook ห น้ า 70 คุณสมบตั ิพิเศษของ adjoint (เมตริกซ์ผกู พัน)  adj(AB) = adj(A) × adj(B)  adj(kA) = kn-1 × adj(A) ; A มีมติ ิ n×n ; k คือคา่ คงทซี่ ่งึ เป็นจานวนจรงิ  A adj(A) = (adjA)A = (detA)I  det(adjA) = (detA)n-1 *** ออกข้อสอบบอ่ ย ***  adj(At) = (adjA) t  adj(adjA) = (detA)n-2 A ระบบสมการเชิงเสน้ * + *������������+ = * + AX B Ex x + y = 4 x-y=8 การแก้ปัญหาสมการเชิงเส้นโดยเมตริกซซ์ ่งึ เปน็ เมตรกิ ซ์จตั รุ สั 1.แกโ้ ดยใชก้ ฎคราเมอร์ detA detA2 detA X1, = detA X2 = detA , … ,Xn = detA วิธคี ดิ a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 เราสามารถหา คา่ x , y ,z ได้จาก | 2 2 2| | 2 2 2| | 2 2 2| x = y= z= | 2 2 2| | 2 2 2| | 2 2 2| 2.แกโ้ ดยใชอ้ นิ เวอรส์ ของเมตริกซ์ X= A-1B 3.แก้โดยใช้ การดาเนินการทางแถว [A | B] ~ [I | X]

Math Kit EBook ห น้ า 71 เมตรกิ ซร์ ูปแบบขั้นบนั ได (Row echelon form matrix) ทกุ แถวที่ประกอบด้วย 0 ทั้งหมดจะอยู่แถวลา่ งของเมตรกิ ซ์ โดยการพจิ ารณาจากซา้ ยไปขวา สมาชิกตัวแรกท่ไี มเ่ ป็นศนู ย์จะต้องมีค่าเป็น 1 ตัวอย่าง * +* + * + [ ] [ ] ประโยชน์ของเมตริกซข์ ั้นบันได คือ เอานาไปแกส้ มการเชงิ เส้น ซึ่งเมื่อจากรปู สมการเปน็ เมตริซแ์ ลว้ ไม่เปน็ เมตรซิ จ์ ัตุรสั ซ่ึงส่วน ใหญ่จะสามารถหาค่าตวั แปรได้บางตัว หรือหาค่าไม่ไดเ้ ลย [A | B] ~ [เมตริซข์ ้ันบันได | X]

Math Kit EBook ห น้ า 72 บทที่ 7 ฟงั กช์ นั เอกชโ์ พเนนเชยี ลและลอการทิ ึม เลขยกกาลงั xn คุณสมบตั ขิ องเลขยกกาลัง เคร่ืองหมายกรณฑ์ ฟังก์ชันเอกช์โพเนนเชียล นิยาม Expo = {(x,y) R x R+ | y =ax, a > 0 , a 1} สมการฟังก์ชันเอกช์โพเนนเชยี ล อสมการฟงั กช์ ันเอกชโ์ พเนนเชียล ฟังก์ชันลอการทิ ึม นยิ าม Log ={(x,y) R+ x R | y =logax โดยท่ี a > 0 , a 1} สมการฟังกช์ ันลอการทิ มึ อสมการฟงั ก์ชันลอการทิ ึม การเพิ่มข้นึ หรือลดลงของส่ิงต่างๆ โดยท่วั ไปจะเปน็ ในรปู แบบที่ เปน็ แบบทวีคูณ ดังนน้ั ฟงั ก์ชันท่ีเกยี่ วขอ้ งคอื เอกช์โพเนนเชียล และลอการทิ มึ จงึ ถูกนาไปใชป้ ระโยชนใ์ นหลายๆด้าน

Math Kit EBook ห น้ า 73 เลขยกกาลัง an = a × a × a × … × a (ทง้ั หมด n ตัว) สตู รเลขยกกาลัง การหาคา่ รากที่ 2 ของจานวนตดิ a+b±2√ab 1. = am+n-p a ไมเ่ ปน็ 0 (a+b)+2 = ( )2+2 +( )2 2.(am)n = amn 3., - = ( + )2 4.a0=1 รากท่ีสองคอื ±( + ) 5.a-n= แต่ √ =+ ดังนั้นรากที่ 2 คอื ±| + | 6. = คาเตือน 00 ไมน่ ิยาม สมบัตขิ องเคร่อื งหมายกรณฑ์ ( ) = { เม่ือ เปน็ จานวนค่ี เมือ่ เป็นจานวนคู่ =× √= =( ) ×= ขอ้ ควรระวงั เครอ่ื งหมาย คือกรณฑท์ ่ี 2 ของ a ไมใ่ ช่ รากท่ี 2 ของ a เพราะ รากท่ี 2 ของ a จะมีทั้ง ค่าบวกและคา่ ลบ แตภ่ ายในเคร่ืองหมายกรณฑ์ เมือ่ ถอดกรณฑท์ ี่ 2 แล้วจะไดค้ ่าบวกเสมอ จงหาคา่ กรณฑ์ที่ 2 ของ 4 จงหาคา่ รากที่ 2 ของ 4 =2 รากที่ 2 ของ 4 คอื 2 กับ – 2 เพราะ เม่ือนาทั้งสองคา่ ไปยกกาลัง 2 แล้วจะมคี า่ เท่ากับ 4 ทงั้ คู่

Math Kit EBook ห น้ า 74 Expo = {(x,y) R x R+ | y =ax, a > 0 , a 1} หลกั การแกโ้ จทย์เลขยกกาลงั 1.จดั ฐานเท่า โดเมนเปน็ จานวนจริง เรนจเ์ ป็นจานวนจรงิ บวก Ex จงหาค่า y ของ 23y • 4 = 16y-3 วิธทา 23y+2= 24(y-3) a>1 0<a<1 3y+2= 4y-12 ฟังกช์ ันเพม่ิ ฟงั กช์ นั ลด y = 14 Log = {(x,y) R+ x R | y =logax, a > 0 , a 1} 2.จัดเลขชเ้ี ทา่ โดเมนเป็นจานวนจรงิ บวก เรนจ์เป็นจานวนจริง Ex จงหาค่า x ที่ทาให้ 21X-3 = 63x-9 วธิ ีทา 33x-9 = 63x-9 a>1 0<a<1 3x−9 = 0 ฟังกช์ นั เพมิ่ ฟังกช์ นั ลด 3x = 9 สตู ร log พื้นฐาน x= 3 3.หากไมส่ ามารถใช้วิธที ัง้ 2ได้ ให้ take log ทัง้ 2 ขา้ ง Ex จงแก้ 2x=3x+1 วิธีทา x log 2 = (x+1) log 3 X log 2 = x log 3 + log 3 x (log 2 – log 3) = log3 g x= g − g Ex จงหา ซงึ่ เก่ียวข้องกบั 6 log (x − 2y) = log x3 +log y3 วธิ ที า (x − 2y)6 = x3 y3 (x − 2y)2= xy x2 − 5xy + 4y2=0 (x − 4y)(x − y) = 0 = 4 หรอื 1 g สูตร log เพ่ิมเติมควรรู้ gg

Math Kit EBook ห น้ า 75 g= g พิสจู น์ take log ฐาน x ทัง้ 2 ข้าง จะได้วา่ g= g จากกฎของ log จะกล่าวไดว้ า่ (logx b)(log x a) = (logx a)(logx b) เนอื่ งจากการคณู กนั ของจานวนจรงิ มสี มบตั กิ ารสลบั ท่ีการคูณ ลอการทิ ึมสามญั ลอการรทิ ึมสามญั คอื ลอการริทมึ ฐาน 10 ซ่ึงเราสามารถไมต่ อ้ งเขียนตวั เลขฐานกากับได้ เช่น log 2 = กาหนด A เป็นจานวนจรงิ บวกใดๆ สามารถเขียน A ในรปู มาตรฐานคอื A = N × 10n ; 1 ≤ N < 10 ดังนน้ั log A = log N + log 10n หรือเราสามารถเขยี นในรปู log A = log N + n N คอื ค่าแคแรกเทอริสตกิ (Characteristic) ของ log A แคแรกเทอรสิ ตกิ เปน็ จานวนเต็มเท่านัน้ log N คอื ค่าแมนทสิ ซา (Mantissa) ของ log A ซ่งึ คา่ มากกวา่ หรือเทา่ กบั 0 แตจ่ ะนอ้ ยกวา่ 1 เสมอ ลอการทิ มึ ธรรมชาติ ลอการิทมึ ธรรมชาติ คอื ลอการริทมึ ฐาน e (e มคี ่าประมาณ 2.71828) เรานยิ มเขียนในรปู ln x = logex แอนตลิ อการิทึม แอนตลิ อการทิ ึมคือการดาเนนิ การทตี่ รงขา้ มกบั การหาคา่ ลอการทิ ึม โดยท่ี log x = A กต็ ่อเม่อื antilog A = x เชน่ log 5 = 0.699 5 = 100.699 ซึ่งเราสามารถสรปุ ได้ วา่ 5 เปน็ antilog 0.699 การแกโ้ จทยเ์ กี่ยวกับ log และเลขยกกาลัง

Math Kit EBook ห น้ า 76 ตวั อย่างที่ 1 จงแก้สมการ 6x+3(2)x −4 (3) x −12=0 วิธีทา ให้ เรานาเลขยกกาลังเปล่ียนเป็นตัวแปร A =2x และ B =3x AB + 3A - 4B-12=0 A(B + 3) - 4(B + 3)=0 (A - 4)(B + 3)=0 A = 4 B = -3 2x = 4 หรอื 3x =-3 ใช้ไมไ่ ด้ x=2 ตวั อย่างท่ี 2 ผลบวกของสมการทั้งหมดของสมการ 3x+ 32−x = มคี ่าเท่ากบั เทา่ ไร (สามญั 7 วิชา) วธิ ีทา กาหนดให้ 3x เป็น A จะไดว้ า่ A + A = A2 + 9 = A นา A คูณตลอด A2 − A + 9 =0 (A − )(A − ) = 0 A= , และ 3x = ดงั น้นั 3x = x= , ตอบ ผลบวกของคาตอบคือ 2 ตวั อย่างที่ 3 กาหนดให้ A และ B เป็นจานวนเตม็ บวก ถา้ A log50 5 +Blog50 2 = 1 และ A + B มีค่าเทา่ กบั เท่าไรตอ่ ไปนี้ (B - PAT) 1.2 2.3 3.4 4.5 วิธที า log50 5A + log50 2B log50 (5A 2B) =1 =1 5A 2B = 50 5A 2B = 52 21 A = 2 B =1 ตอบ A + B = 3 ตอบข้อ 2

Math Kit EBook ห น้ า 77 ตัวอยา่ งที่ 4 กาหนดให้คาตอบ log2 log3 log5 (2x +3) = 0 คอื A กาหนดให้ log2 256 – A เป็น B จงหา 2A – 3B วธิ ที า พจิ ารณา log2 log3 log5 (2x +3) =0 ตอบ 281 = 20 จะไดว้ า่ log3 log5 (2x +3) = 31 = 125 log5 (2x +3) = 61 = log2 256 – 61 2x + 3 = log2 28 – 61 = 8 – 61 x = – 53 = 122 +159 พจิ ารณา log2 256 – A = 281 2A – 3B

Math Kit EBook ห น้ า 78 การแก้อสมการ Expo, log วิธีทา จดั ฐานท้ัง 2 ข้างให้เท่ากัน  ฐาน > 1 ให้ใชเ้ ครื่องหมายเดมิ  0 < ฐาน <1 ใหเ้ ปล่ียนโดยการกลบั เคร่ืองหมาย 2 Ex log (5x-3) > log (4x+6) วิธที า ปลด log ฐานมากกวา่ 1 เครื่องหมายเดิม Ex ( ) > ( ) 5x-3 > 4x+6 2 x>9 วธิ ีทา ( ) > ( ) ปลดฐาน x2 < 4 |x| <2 −2 < x <2

Math Kit EBook ห น้ า 79 บทท่ี 8 ตรีโกณมติ ิ มมุ พื้นฐาน 30° 45° 60° วงกลมหนึ่งหน่วย ตรีโกณมิติเปน็ การศึกษาเก่ยี วกบั มมุ และ สูตรพื้นฐาน sin2θ + cos2 θ = 1 สามเหลย่ี มโดยเฉพาะ สูตรมุม 2 เท่า sin2A = 2sinAcosA cos2A = cos2A – sin2A = 2cos2A – 1 = 1- 2sin2A tan2A สูตรมุม 3 เท่า ������������������������ = −������������������2������ sin3A = 3sinA – 4sin3A cos3A = 4cos3A – 3cosA tan3A = 3 tanA – tan3 A สตู รมุมคร่งึ เท่า 1–3tan2A sin A = √ −c sθ cos A =√ c sθ tan A =√ −c sθ c sθ สตู รผลบวกลบ sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB t A±t B tan(A±B) = ∓������������������������������������������������ สตู รแปลงผลบวกลบเป็นผลคณู แปลงผลคูณเปน็ ผลบวกลบ sinA + sinB = 2sin 2sinAcosB = sin(A+B)+sin(A-B) = sin(A+B)-sin(A-B) sinA – sinB = 2cos 2cosAsinB = cos(A+B)+cos(A-B) 2cosAcosB = cos(A-B)-cos(A+B) cosA + cosB = 2cos 2sinAsinB cosA − cosB = สามเหล่ียมประยกุ ต์

Math Kit EBook ห น้ า 80 ตรโี กณมติ ิ (จากภาษากรีก trigonon มมุ 3 มมุ และ metro การวดั ) เปน็ สาขาของ คณติ ศาสตร์ที่เก่ียวขอ้ งกับมุม, รปู สามเหลี่ยม และฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ เชน่ ไซน์ และ โคไซน์ มี ความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิต แมว้ ่าจะสรปุ ไม่ไดอ้ ย่างแนช่ ัดว่า ตรีโกณมติ เิ ปน็ หัวข้อยอ่ ยของ เรขาคณติ ความรู้พ้ืนฐานสามเหลี่ยมมุมฉาก คา่ มุมตรโี กณมติ ิ 30° 45° 60° sin 1 cos tan โคฟังกช์ นั ของตรีโกณมิติ คุณสมบัติโคฟงั ก์ชัน cos เปน็ โคฟงั กช์ นั ของ sin sin(90° − A) = cos A cosec เป็นโคฟังกช์ ันของ sec sec(90° − A) = cosec A cot เป็นโคฟงั กช์ นั ของ tan tan(90° − A) = cot A วงกลมหนง่ึ หน่วย มีสมการ x2+y2=1 ขนาดของมุมมี 2ประเภท 1. หนว่ ยองศา Ex 360° มุมขนาด 1 องศา คอื 1 ใน 360 สว่ นของ มุมรอบจุด มมุ ขนาด 1 ลิปดา ( 1 ) คือ 1 ใน 60 สว่ น ของมุม 1 องศา มุมขนาด 1 ฟิลิปดา (1 ) คือ 1 ใน 60 สว่ น ของมุม 1 ลปิ ดา

Math Kit EBook ห น้ า 81 2. หน่วยเรเดยี น Ex 2 เครือ่ งหมายของฟังก์ชันตรีโกณในแต่ละจตภุ าค ขนาดของ (หน่วยเรเดยี น) = การหาค่ามุมตามแกน ในวงกลมหนึ่งหนว่ ย คาอธิบาย fn (แกนแนวราบ ± A) = fn (A) จตุภาค1 ทกุ ฟงั ก์ชนั มีคา่ เป็นบวก fn (แกนแนวดิง่ ± A) = co fn (A) จตภุ าค2 มเี ฉพาะฟงั ก์ชัน sin และสว่ นกับ fn คอื ฟงั กช์ นั เครอื่ งหมายดตู ามจตภุ าค(ควอดรนั ต์) เท่านนั้ ท่เี ป็นบวก จตุภาค3 มเี ฉพาะฟงั กช์ ัน tan และส่วน กบั เทา่ นน้ั ทเ่ี ป็นบวก จตภุ าค4 มเี ฉพาะฟงั ก์ชัน cos และส่วน กับเทา่ นนั้ ท่เี ปน็ บวก Ex sin(120°) = sin(180° − 60°) = sin(60°) อย่คู วอดรนั ต์ 2 sec(280°) = sec(270°+10°) = sec(10°)

Math Kit EBook ห น้ า 82 รูปสามเหลยี่ ม ที่ชอบออกบอ่ ย 60° มมุ จาก วงกลม 1 หนว่ ย (ต้องทราบ) มุมพืน้ ฐาน (ต้องทราบ) sin(0° + n(360°)) = 0 cos(0° + n(360°)) = 1 30° 45° sin(180° + n(360°)) = 0 sin cos(180° + n(360°)) = -1 sin(90° + n(360°)) = 1 cos cos(90° + n(360°)) = 0 sin(270° + n(360°)) = -1 tan 1 cos(270° + n(360°)) = 0 มุม 15° และมุม 75° (ควรทราบ) 75° เมื่อ n เป็นจานวนเต็มใดๆ 15° มุม 72° , 18° และมุม 36° , 54° (ควรทราบ) sin 18° 72° sin √ cos cos √ tan tan √ √ 54° 36° sin √ cos √ tan √ √

Math Kit EBook ห น้ า 83 ตวั อย่างท่ี 1 จงหาค่า sin60° – cos30° + tan45° วธิ ีทา – +1 =1 ตอบ 1 2 – 2sinA = 1 ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาค่า A เมื่อ 0°< A < 90° และ วธิ ที า 2 – 2sinA = 1 2 – 1 = 2sinA = sinA ตอบ A = 30° ตัวอยา่ งท่ี 3 กาหนด sin A = จงหา 12sin30°(tanA) วิธีทา จากค่า sin จะได้ 132 = 52 + x2 13 5 ตอบ x = 12 x tan A = ) 6sin30°(tanA) = 6( × = ข้อควรรู้ มมุ หน่วยเรเดียน = 180° = 90° = 60° = 45° = 30°

Math Kit EBook ห น้ า 84 สตู รตรีโกณมิติพน้ื ฐาน สูตรผลบวกและผลตา่ งตรโี กณมิติ sin2 + cos2 =1 sec2 – tan2 =1 sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB cosec2 – cot2 =1 cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB สูตรมุม 2 เท่า t A±t B tan(A±B) = ∓ สตู รมุม 3 เท่า sin2A = 2sinAcosA sin3A = 3sinA – 4sin3A = 2 tan A cos3A = 4cos3 A – 3cosA 1 + tan2A cos2A tan3A = 3 tanA – tan3 A tan2A = cos2A – sin2A cot3A = 1–3tan2A = 2cos2A - 1 cot3A – 3cotA 3cot2A – 1 =1 – 2sin2A = 1 – tan2A 1 + tan2A = 2 tan A 1 – tan2A สูตรมุมครง่ึ เทา่ sin A = √ −c s cos A =√ c s tan A =√ −c s c s สูตรแปลงผลบวกผลต่างเป็นผลคูณ สตู รแปลงผลคณู เปน็ ผลบวกผลต่าง sinA + sinB = 2sin(A+B) cos(A−B) 2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B) 22 2cosAsinB = sin(A + B) – sin(A – B) sinA – sinB = 2cos(A+B) sin(A−B) 22 2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A – B) cosA + cosB = 2cos(A+B) cos (A−B) 2sinAsinB = cos(A – B) – cos(A + B) 22 cosA - cosB = −2sin(A+B) sin(A−B) 22

Math Kit EBook ห น้ า 85 ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A และ B เปน็ มุมแหลมถ้า sec A = และ sec B = จงหา cos(A+B) วิธที า sec คือสว่ นกลับของ cos จะได้ cosA = cosB = 53 จะได้ cosAcosB  sinAsinB = ( )( ) – ( )( ) 4 − 17 = 15 − 8 = − ตอบ ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาคา่ cosec(75°) × tan(75°) วิธที า cosec(75°) × tan(75°) = s s° °×c s ° cos 75° =c s ° = cos(30° + 45°) = cos30°cos45° sin30°sin45° = − = cs ° =− ตอบ −

Math Kit EBook ห น้ า 86 สตู รอินเวอรส์ arctan x + arctan y = arctan( − ) ; xy < 1 arcsin (-x) = −arcsin (x) arctan x + arctan y = arctan( − ) ; xy > 1 arctan(-x) = −arctan(x) arctan x - arctan y = arctan( − ) arcos (-x) = π – arcos(x) การประยกุ ตส์ ามเหล่ียม C ba A B c เม่อื ABC เปน็ สามเหลีย่ มใดๆ กฎของไซต์ = = = 2R, R คอื รัศมีของวงกลมแนบในสามเหลยี่ ม กฎของโคไซน์ 1. a2 = b2 +c2 - 2bc cos A 2. b2 = a2 + c2 - 2ac cos B 3. c2 = a2 + b2 - 2ab cos C และ cos A = 2− 2 c2 c การหาพน้ื ทส่ี ามเหล่ียม ab sinC = bc sinA = ac sinB

Math Kit EBook ห น้ า 87 ขอ้ ควรรู้ กราฟฟังกช์ ันตรีโกณ ฟงั กช์ นั ตรโี กณ แอมพลจิ ดู (Amplitude) คาบ y = A sin Bx |A| || y = A cos Bx ไมม่ ี | | y = A tan Bx ไมม่ ี | | กราฟ sin กราฟ cos กราฟ tan

Math Kit EBook ห น้ า 88 กราฟ cosec กราฟ sec

Math Kit EBook ห น้ า 89 กราฟ cot กราฟของฟังก์ชันตรโี กณมติ ใิ นวงกลม 1 หนว่ ย กราฟ sin กราฟ arcsin โดเมนของฟงั กช์ นั [− , ] เรนจ์ของฟังก์ชนั [-1,1] กราฟ cos โดเมนของฟังกช์ นั [− 1 ,1] โดเมนของฟังกช์ ัน [0, ] เรนจ์ของฟังกช์ นั [− , ] เรนจ์ของฟังกช์ นั [-1,-1] กราฟ arccos โดเมนของฟังกช์ ัน[-1,-1] เรนจ์ของฟงั กช์ นั [0, ]

Math Kit EBook ห น้ า 90 กราฟ tan กราฟ arctan โดเมนของฟงั กช์ ัน (− , ) เรนจข์ องฟังกช์ นั R โดเมนของฟงั กช์ นั R เรนจข์ องฟังกช์ นั (− , ) กราฟ cosec กราฟ arccosec โดเมนของฟังกช์ นั [− , ] – {0} เรนจ์ของฟังกช์ นั R – {-1,1} โดเมนของฟังกช์ นั R – {-1,1} เรนจข์ องฟงั ก์ชนั [− , ] – {0} กราฟ sec กราฟ arcsec โดเมนของฟงั กช์ นั [0, ] – { } เรนจข์ องฟงั ก์ชนั R – {-1,1} โดเมนของฟงั กช์ ัน R – {-1,1} เรนจ์ของฟังกช์ นั [0, ] – { }

Math Kit EBook ห น้ า 91 กราฟ cot กราฟ arccot โดเมนของฟังกช์ นั (0, ) เรนจข์ องฟังกช์ นั R โดเมนของฟงั กช์ นั R เรนจ์ของฟังก์ชนั (0, )

Math Kit Ebook ห น้ า 92 บทท่ี 9 เวกเตอร์ เวกเตอรร์ ูปภาพ การเทา่ กนั ของเวกเตอร์ การขนานกนั ของเวกเตอร์ นิเสธของเวกเตอร์ การบวกลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ เวกเตอรใ์ นพกิ ดั ฉาก ขนาดของเวกเตอร์ เวกเตอรใ์ นระบบสองมติ ิ เวกเตอรใ์ นระบบสามมิติ การคณู เวกเตอร์ ผลคูณเชิงสเกลาร์ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ประยกุ ตเ์ วกเตอร์ พนื้ ที่ส่เี หลี่ยมด้านขนาน |u × v| ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน |u ⋅ (v × r)| เวกเตอรเ์ ป็นจานวนทีม่ ีทง้ั ขนาด และ ทิศทาง เวกเตอร์มี การใชก้ นั ในหลายสาขาทัง้ ฟิสกิ ส์ และวศิ วกรรมศาสตร์

Math Kit Ebook ห น้ า 93 เวกเตอร์ (vector) ในทางคณติ ศาสตร์ ซึง่ มีลักษณะแตกตา่ งกับ สเกลาร์(scalar) ซึ่ง เวกเตอรเ์ ป็นจานวนท่มี ีทงั้ ขนาด และ ทิศทาง เวกเตอร์มีการใชก้ นั ในหลายสาขา นอกเหนอื จากทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในทางวทิ ยาศาสตร์ฟิสกิ ส์ และวศิ วกรรมศาสตร์ เวกเตอรใ์ นเรขาคณติ เราใชเ้ ส้นตรงทรี่ ะบทุ ศิ ทาง แทนเวกเตอร์ โดยความยาวของ เสน้ ตรง แทนขนาดของเวกเตอร์และหวั ลกู ศรบอกทิศทางของเวกเตอร์ แทนขนาดของ เวกเตอร์และหัวลูกศรบอกทิศทางของเวกเตอร์ ในบางครั้งเราสามารถกล่าวถงึ เวกเตอรโ์ ดยไม่ B จาเปน็ ต้องระบจุ ดุ เร่ิมตน้ และจดุ สิน้ สดุ เชน่ A ������ ������ จากรูป A เป็นจดุ เรม่ิ ต้น (initial point) B เปน็ จุดสิ้นสดุ (terminal point) แสดงเวกเตอร์ AB เขยี นแทนดว้ ย ความยาวของเสน้ ตรง AB เปน็ ขนาดของ เวกเตอร์ เขียนดว้ ย | | การขนานกนั ของเวกเตอร์ และ จะขนานกนั กต็ ่อเมอ่ื เวกเตอร์ทัง้ สองมีทศิ ทางเดียวกนั หรอื มีทิศทางตรงขา้ มกัน ������ BD จากตวั อยา่ ง และ มีขนาดเท่ากันและมที ิศทางเดยี วกนั ������ A C การเทา่ กนั ของเวกเตอรแ์ ละนเิ สธของเวกเตอร์ และ จะเทา่ กนั กต็ อ่ เมื่อเวกเตอร์ทงั้ สองมีทิศทางและขนาดเดียวกันเขยี นแทนดว้ ย =

Math Kit Ebook ห น้ า 94 นิเสธของเวกเตอร์ นเิ สธ ของ (negative of ) คือเวกเตอร์ท่มี ขี นาดท่มี ีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ แตม่ ีทศิ ทางตรง ขา้ มกบั ทิศทางของ เขยี นแทนดว้ ย ������ จากตัวอย่างเวกเตอร์ มีขนาดเท่ากนั กบั เวกเตอร์ แต่มที ศิ ทาง ������ ตรงกันข้ามดังน้ี เป็นนิเสธของเวกเตอร์ การกาหนดทิศทางของเวกเตอร์ในระบบ 3 ตวั ในการกาหนดทิศทางของเวกเตอร์ สามารถกาหนดโดยใชท้ ิศเหนือเป็นหลัก และกาหนด ทศิ ทางของเวกเตอร์ เปน็ มมุ ที่วัดจากทางทิศเหนือ ในทศิ ทวนเขม็ นาฬิกา โดย ขนาด มมุ จะอยู่ ระหวา่ ง 0 ถงึ 360 การบวกลบเวกเตอร์ เมอื่ และ เปน็ เวกเตอรใ์ ดๆ เลื่อน ใหจ้ ดุ เร่ิมต้นของ อยทู่ จี่ ุดสิน้ สุดของ ผลบวกของ และ เขียนแทนดว้ ย “ + ” คอื เวกเตอรท์ ่มี ีจดุ เรมิ่ ตน้ ของ และจดุ สิน้ สุดของ เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) เปน็ เวกเตอรท์ มี่ ขี นาดเป็นศูนย์ เขียนแทนดว้ ย ข้อสงั เกต 1.กรณีของเวกเตอรศ์ นู ย์ ไม่จาเป็นตอ้ งกลา่ วถงึ ทศิ ทางของเวกเตอร์ แตถ่ ้าตอ้ งการกลา่ วถึงมี ขอ้ ตกลงว่าจะระบทุ ิศทางของเวกเตอร์ศูนยเ์ ปน็ เชน่ ใดก็ได้ 2.เม่อื เขยี นรูปเรขาคณติ แทนเวกเตอร์ศูนย์ จุดเรม่ิ ตน้ และจุดสน้ิ สดุ ของเวกเตอรเ์ ป็นจุด เดยี วกนั

Math Kit Ebook ห น้ า 95 = ++ == P เมอ่ื และ เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ ผลลบของ และ เขยี นแทนดว้ ย - หมายถึง ผลบวก และนิเสธของ คือ - = + ( ) การคณู เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ นิยามเมื่อ a เป็นสเกลาร์ เป็นเวกเตอร์ ผลคณู ของเวกเตอร์ u ดว้ ย สเกลาร์ a เป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย a โดยถา้ a เป็นบวก  ถา้ a เปน็ บวก จะมีทิศทางเดียวกนั  ถา้ a เปน็ ลบจะมีทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม  ถา้ a = 0 แลว้ a = ตัวอยา่ ง คาอธบิ ายจากรปู v=-u a= 1 u 2 b= 3 u 2

Math Kit Ebook ห น้ า 96 คณุ สมบตั กิ ารบวกของเวกเตอร์ คุณสมบัตกิ ารคณู เวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์  คณุ สมบตั ปิ ิด เมื่อ และ ไมเ่ ทา่ กบั 0 ถา้ = m( )  คุณสมบัติเปลี่ยนกลุม่ ได้  คณุ สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์ ถา้ m เป็นบวก จะมีทิศทางเดยี วกัน  คณุ สมบัตกิ ารมอี ินเวอร์ส ถา้ m เปน็ ลบจะมที ิศทางตรงกนั ข้าม  คุณสมบตั ิการสลบั ท่ี เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉาก เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ เราสามารถเขยี นเวกเตอร์ a ใดๆในรูปเวกเตอร์ เราสามารถเขยี นเวกเตอร์ a ใดๆในรปู เวกเตอร์ , และ ไดเ้ สมอเมอ่ื และ ไดเ้ สมอเมอื่ เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วยและมที ศิ ทางไปทางแกน x เปน็ เวกเตอร์ 1 หน่วยและมที ศิ ทางไปทางแกน x ทางบวก ทางบวก เปน็ เวกเตอร์ 1 หน่วยและมที ศิ ทางไปทางแกน y เปน็ เวกเตอร์ 1 หน่วยและมที ศิ ทางไปทางแกน y ทางบวก ทางบวก เป็นเวกเตอร์ 1 หน่วยและมที ศิ ทางไปทางแกน z ทางบวก (a1,a2,a3) ให้ a1 + a2 สามารถเขยี นใหอ้ ยู่ ในรปู ของ ขนาด |a| = √ 12 22 32 เมตริกซ์ได้ ⌈ 1⌉ โคไซนแ์ สดงทศิ ทางของ a คอื ขนาด |a| = √ 12 22 ,, ความชนั m = tan = หรอื cos , cos , cos cos2 + cos2 + cos2 =1 a=* 2 1+ 2 1

Math Kit Ebook ห น้ า 97 คาแนะนา 1. เวกเตอรท์ มี่ ีจดุ เร่ิมต้นท่ี A(x1,y1,z1) และจุดสิ้นสดุ ที่ B(x2,y2,z2) 21 คอื [ 2 1] 21 1 2. เวกเตอร์ 1 หนงึ่ ในทศิ ทางเดยี วกัน a แทนด้วย ̂ = a a เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์จะมี ทิศทางตรงข้ามกัน ทิศทางเดยี วกนั โคไซน์แสดงทิศทางกบั แตล่ ะแกนของเวกเตอร์ จะ มีโคไซน์แสดงทศิ ทางชุดเดยี วกัน เป็นจานวนที่มคี ่าตรงขา้ มกนั กบั โคไซนแ์ สดงทิศทาง ของอีกเวกเตอรห์ น่งึ คณุ สมบตั ิของเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉาก นิยาม เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมติ ิ เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ การเท่ากนั * +=* + 01 [] กต็ ่อเม่อื a = c และ b = d การบวกเวกเตอร์ ก็ตอ่ เมือ่ a = d และ b = e * ++* +=* + c=f 01 [] [ ] การลบเวกเตอร์ * +-* +=* + 01 [] [ ] เวกเตอรศ์ นู ย์ คอื [ ] เวกเตอรศ์ ูนย์ เวกเตอรศ์ นู ย์ คอื * + k0 1 = [ ] เมอื่ k เป็นจานวนจริงใดๆ การคณู เวกเตอรด์ ้วย k* + = * + สเกลาร์ เมอ่ื k เปน็ จานวนจริงใดๆ

Math Kit Ebook ห น้ า 98 ผลคูณระหว่างเวกเตอร์ ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product) ผลคณู เชิงสเกลาร์สามมติ ิ ผลคณู เชิงสเกลาร์สองมิติ ⋅ = a1b1+a2b2+a3b3 = | || |cos ; ⋅ = a1b1+a2b2 = | || |cos ; ตัวอย่าง กาหนดให้ =2 + 3 และ = -3 + 4 วิธีทา u ⋅ v = (2 • (-3 )) + (3 • 4 ) = -6 + 12 =6 ผลคูณเชิงเวกเตอร์(Cross Product) ผลคณู เชงิ เวกเตอรส์ ามมิติ 12 กาหนด u [ 1] v [ 2] 12 u×v = | | =| || |sin

Math Kit Ebook ห น้ า 99 คณุ สมบตั ผิ ลคูณระหว่างเวกเตอร์ ผลคูณเชงิ เวกเตอร์ แลว้ u×v = v×u ผลคูณเชงิ สเกลาร์ u× v w = u×v u×w u⋅v =v⋅u u ⋅ v w =u ⋅ v u ⋅ w u×v = u ×v = u × v) u⋅v = u ⋅v = u ⋅ v) u×u= 0 u× = u⋅u = u 2 ถ้า u และ v ไม่เทา่ กบั 0 แลว้ u × v = u⋅ =0 uv ถ้า u และ v ไมเ่ ท่ากบั 0 แล้ว u ⋅ v > 0 กต็ ่อเมอ่ื เปน็ มุมแหลม u⋅ u×v = 0 u ⋅ v = 0 กต็ ่อเมอ่ื =90 และ u v ต้งั ฉากกนั u ⋅ v < 0 กต็ ่อเมอื่ เป็นมุมป้าน |u v |2 = |u|2 + |v|2 + 2|u|⋅|v|cos |u v |2 = |u|2 + |v|2 - 2|u|⋅|v|cos |u v |2 - |u v |2 = 4(|u ⋅ v |) |u v |2 + |u v |2 =2(|u|2 + |v|2) |u × v |2 = |u|2 + |v|2 – (u ⋅ v) 2

Math Kit Ebook ห น้ า 100 การประยกุ ตเ์ วกเตอร์ 1.พน้ื ทส่ี ่เี หล่ยี มด้านขนาน (ตอ้ งทราบ) พน้ื ที่ = ฐาน × สงู = |u × v | = | || |sin 2.ปริมาตรของทรงส่เี หลย่ี มดา้ นขนาน (ต้องทราบ) ปริมาตร = พนื้ ทีฐ่ าน × สงู = |u||v × r |cos = |u ⋅ (v × r)| 3.โปรเจคชั่นของเวกเตอร์ (นอกหลกั สูตร แตค่ วรทราบ) Proj vu = av เนื่องจาก v ต้ังฉาก u -av Proj vu = u⋅ v v v มาจาก v ⋅ u av = 0 v ⋅ u av ⋅ v = 0 v ⋅u =a v2 u⋅ v a= v Proj uv = u⋅ v u u 4.พ้นื ทรี่ ูปสามเหลี่ยม (นอกหลกั สูตร แต่ควรทราบ) 1 × |u|⋅|v|⋅sin 2 1 = 2 × ฐาน × สงู