เเรงโน้มถ่วง

3. แรงโน้มถ่วงและสนามโน้มถ่วง 3.1 กฎการเคลอื่ นทขี่ ้อหน่ึงของนิวตนั หรือกฎความเฉื่อย กฎข้อ 1 “วตั ถจุ ะรักษาสภาพอย่นู ิ่งหรือสภาพเคล่ือนท่ีอย่างสมา่ เสมอในแนวเส้นตรง นอกจากจะมีแรง ลพั ธ์ท่ีค่าไม่เป็นศนู ย์มากระทา”  F หรื อ v = 0 หรื อคงที่ เมื่อ  = 0 กฎขอ้ ท่ี 1 น้ีกล่าวไดอ้ ีกอยา่ งวา่ วัตถจุ ะ ไม่เปลี่ยนสภาพการเคล่ือนที่ถ้าแรงลัพธ์เป็ นศูนย์ ดงั   รูป 7.4 กล่องถูกแรง F 1 และ F2 กระทาในทิศทางตรงขา้ มกนั ถา้ วตั ถุอยนู่ ิ่งหรือเคล่ือนท่ีดว้ ยความเร็ว   คงท่ี แสดงวาขนาดของ F 1 ตอ้ งเท่ากบั ขนาดของ F2 หรือแรงลพั ธ์ที่กระทาต่อกล่องมีคา่ เป็นศูนย์ รูป 7.4 ตัวอย่าง 1 จากรูป เครื่องบิน ไอพน่ เคลื่อนท่ีดว้ ยความเร่งคงที่ a ปรากฏกบั สายตาของชาย ก ซ่ึงยนื น่ิง  อยกู่ บั ที่ ชาย ข วง่ิ ดว้ ยความเร็วคงที่ V เขาจะเห็นเคร่ืองบินไอพน่ เคล่ือนที่ดว้ ยความเร่งเท่าไร วิธีทา สมมติวา่ ขณะเวลา t1 เคร่ืองบินไอพน่ มีความเร็ว  และขณะ t2 มีความเร็ว  2 บินมาอยตู่ รง V V ตาแหน่ง A และ B ตามลาดบั ความเร่งที่ปรากฏตอชาย ก เท่ากบั a ตามที่โจทยก์ าหนดและสามารถ คานวณไดว้ า่  = v2  v1 ……………(1) a t2  t1

ให้ a เป็ นความเร่วของเคร่ืองบินไอพน่ ท่ีปรากฏตอ่ ชาย ข ให้ v 1 และ v 2 เป็ นความเร็ว ของเคล่ือนบินไอพน่ ที่ปรากฏตอ่ ชาย ข ณ เวลา t1 และ t2 ตามลาดบั โดยอาศยั หลกั เกณฑข์ องความเร็ว v 1= v 1- v สมั พนั ธ์จะได้ …………(2) v 2= v 2- v …………(3) ดงั น้นั เราสามารถคานวณ a ไดด้ งั น้ี a = v2  v2 = (vt22vt)1  (v1  v t2  t1 …………..(4) = v2  v1 t2  t1 a  จากสมการ (1) และ (4) จะเห็นวา่ = a แสดงวา่ ถา้ ผสู้ งั เกตมีสภาพการเคลื่อนท่ีไม่ เปล่ียนแปลง หมายถึงผสู้ ังเกตท่ีอยนู่ ิ่งและมีความเร็วคงที่ เขาจะสามารถเห็นการเคลื่อนที่ของวตั ถุท่ี เคล่ือนที่ดว้ ยความเร่งไดเ้ หมือนกนั จากตวั อยา่ งน้ีจะยนื ยนั วา่ กฎการเคล่ือนท่ีของนิวตนั จะเป็นจริงถา้ ผู้ สงั เกตมีสภาพการเคล่ือนที่ไม่เปล่ียนแปลง น่ันคอื ชาย ข เห็นเครื่องบินไอพน่ มีความเร่งเทา่ กบั  a ตวั อย่าง 2 ขณะที่คนกาลงั กระโดดจากสะพานลงสู่แม่น้า ดงั รูป แรงลพั ธ์ที่กระทากบั คนมีคา่ เป็นศนู ย์ หรือไม่

วธิ ีทา ขณะท่ีคนกระโดดลงจากสะพาน จะมีแรงกระทาอยา่ งนอ้ ยสองแรง คือ แรงดึงดูดของโลก  มีค่ามาก มีทิศพงุ่ ลงแนวดิ่ง แรงตา้ นทานอากาศ  มีค่านอ้ ย มีทิศพุง่ แนวด่ิง แรงท้งั สองเม่ือรวมกนั ทาใหเ้ กิดแรงลพั ธ์กระทาในทิศทางพุง่ ลงแนวด่ิง ทาใหค้ นตกสู่แมน่ ้า นน่ั คือ แรงลพั ธ์กระทากบั คนมีค่าไมเ่ ป็นศนู ย์ ตัวอย่าง 3 จากรูป กล่องวางทบั ผา้ บนพ้นื ราบ เม่ือเรากระตุกผา้ แรง ๆ อยา่ งเร็ว เราจะสามารถดึงผา้ ออกมาไดท้ นั ท่ีกล่องไม่เคลื่อนที่หรือเคล่ือนนอ้ ยมาก เป็นเพราะอะไร วธิ ีทา ตามกฎการเคล่ือนท่ีขอ้ ที่หน่ึงของนิวตนั หรือกฎความเฉื่อย เราสามารถขยายความตอ่ ไปไดว้ า่  เม่ือ  F = 0 วตั ถุที่อยนู่ ่ิงจะยงั อยนู่ ่ิงต่อไป และวตั ถุที่มีความเร็วคงท่ีกจ็ ะมีความเร็วคงที่ต่อไป ดงั น้นั การท่ีเรากระตุกผา้ ออกมาจากการทบั ของผา้ กล่องไดเ้ พราะกล่องกาลงั อยนู่ ิ่ง มนั จึงอยากอยนู่ ิ่งต่อไปเม่ือ ผา้ ถูกซกั ออกมาแลว้ บางคร้ังกล่องอาจไมข่ ยบั หรือขยบั นอ้ ยมาก 3.2 มวล มวล (mass) คือ ปริมาณเน้ือธาตุของวตั ถุหรือสาร เป็ นปริมาณรสเกลาร์ มีหน่วยเป็ น กิโลกรัม (kg) มวลมีสมบตั ิในการตา้ นการเปล่ียนสภาพการเคล่ือนที่ การเปลี่ยนสภาพการเคล่ือนท่ี หมายถึง การที่วัตถุมีความเร็วเปลี่ยนไป ดงั ท่ีกล่าวมาแลว้ กรณีท่ีวตั ถุเคลื่อนท่ีดว้ ยความเร็วคงท่ีไม่ถือ วา่ เป็นการเปลี่ยนสภาพการเคล่ือนท่ี เราสามารถสังเกตเห็นสมบตั ิในการตา้ นทานการเปลี่ยนสภาพการ เคล่ือนท่ีของมวลได้จากรูป 7.5 ในการผลกั มวลท่ีแขวนห้อยอยูด่ ว้ ยเชือก เราจะรู้สึกวา่ ผลกั มวล 100 กิโลกรัม ใหข้ ยบั ไดง้ ่ายกวา่ มวล 300 กิโลกรัม แสดงวา่ มวลน้อยจะต้านการเปลี่ยนสภาพการเคล่ือนที่ น้อยกว่ามวลมาก

รูป 7.5 สมบตั ิในการตา้ นการเปล่ียนสภาพการเคลื่อนที่ของมวลเรียกวา่ ความเฉื่อย ดงั น้นั จึง สามารถกล่าวไดว้ า่ วตั ถทุ ่ีมวลน้อยจะมีความเฉื่อยน้อย วัตถทุ ี่มีมวลมากจะมีความเฉ่ือยมาก มวลจะมีค่าคงที่เสมอ ในกรณีน้ีหมายความวา่ ถา้ เรามีมวล 100 กิโลกรัม ไม่วา่ จะอยทู่ ี่ใด ๆ เช่น บนผวิ โลก บนผวิ ดวงจนั ทร์ หรือท่ีใดๆ ในเอกภพน้ี มนั กจ็ ะมีมวล 100 กิโลกรัม ไมเ่ ปลี่ยนแปลง 3.3 กฎการเคลอื่ นทข่ี ้อทสี่ องของนิวตัน กฎข้อ 2 “เมื่อมีแรงลัพธ์ซึ่งมีขนาดไม่เป็ นศูนย์มากระทาต่อวัตถุ จะทาให้วัตถุเกิดความเร่ งในทิศ เดียวกับแรงลัพธ์ที่มากระทาและขนาดของความเร่ งนีจ้ ะแปลผนั ตรงกับขนาดของแรงลัพธ์และแปล ผกผนั กบั มวลของวตั ถุ ในกฎขอ้ ท่ี 2 คาวา่ แรงลพั ธ์จะพดู ถึงแรงภายนอกท่ีกระทาวตั ถุ หากพจิ ารณากฎขอ้ ท่ี 2 จะ  เห็นไดว้ า่ เราสามารถสรุปไดเ้ ป็นสมการส้นั ๆ โดยถา้  F เป็นแรงลพั ธ์ท่ีกระทาตอ่ มวล m แลว้ ทาให้ มวลมีความเร่วคงที่  ดงั รูป 7.6 จะได้ a   = m  F a โดยทิศทางของแรงลพั ธ์และความเร่งของมวลจะไปทิศทางเดียวกนั รูป 7.6

จากสมการ (7.1 ) ถา้ m เท่ากบั 1 กิโลกรัม a เทา่ กบั 1 เมตรต่อวนิ าที2 จะไดแ้ รง F เทา่ กบั 1 นิวตนั ดงั น้นั แรง 1 นิวตนั หมายถึง แรงที่สามารถทาใหว้ ตั ถุมีมวล 1 กิโลกรัมเคล่ือนที่ไปดว้ ย ความเร่ง 1 เมตรต่อวนิ าที2 ตวั อย่าง 4 มวล m ขนาด 10 กิโลเมตร มีแรง  และ  กระทาดงั รูป ถา้ ขนาดของ  1 และ  2 มีค่า F1 F2 F F 10 และ 20 นิวตนั ตามลาดบั จงหาขนาดและทิศทางความเร่งของมวล m วธิ ีทา ตามกฎการเคล่ือนท่ีขอ้ สองของนิวตนั จะได้   F = m a  1+  2 = m a F F (+10)+(-20) = (10)a  a = -1 m/s2    เคร่ืองหมายของ  ในที่น้ีหมายถึง a และ F 2 มีทิศเดียวกนั เพราะตอนแทนค่า F1 และ F2 เราแทน  a F1 แรง  F ดว้ ย +10 เพราะพงุ่ ไปทางขวา แทนแรง 2 ดว้ ย –20 เพราะพงุ่ ไปทางซา้ ย ดงั น้นั  มีทิศพงุ่ ไปทางซา้ ย a น่นั คือ ความเร่งของมวล m เทา่ กบั 1 เมตรต่อวินาที2 พงุ่ ไปทางซา้ ย 3.4 นา้ หนัก เราทราบวา่ ถา้ ปล่อยวตั ถุมวล m ใหต้ กอยา่ งเสรีบริเวณผวิ โลก มนั จะตกดว้ ยความเร่งคงท่ี g(g  9.8เมตรต่อวนิ าทที)โดยไม่คิดแรงตา้ นทานของอากาศ เม่ือมวลท่ีตกมีความเร้งจึงตอ้ งเกิดแรงลพั ธ์ ตามกฎขอ้ สองของนิวตนั และมีค่า   mg  F F เรานิ ยามน้ าหนักว่า แรงที่โลกดึงดูดวตั ถุ ดงั น้ันขณะท่ีวตั ถุตกอย่างเสรีซ่ึงมีแรง   กระทา เราดึงแลว้ ปล่อย F คือแรงที่โลกดึงดูดวตั ถุมวล m ถา้ W เป็ นน้าหนกั ของวตั ถุมวล m กอ้ นน้ี เราจะได้ ( ดูรูป 7.7 ประกอบ )   mg W

รูป 7.7 ดงั น้นั น้าหนกั ของวตั ถุจึงเป็ นปริมาณเวกเตอร์ มีหน่วยเหมือนแรงคือ นิวตนั น้าหนกั ของ  วตั ถุกอ้ นเดียวกนั อาจเปล่ียนไปถา้ g เปลี่ยนไป เช่น มนุษยอ์ ากาศเม่ืออยบู่ นพ้ืนโลกอาจมีน้าหนกั 700 นิวตนั แต่เมื่ออยู่ในยานกระสวยอากาศที่โคจรรอบโลกอยสู่ ูงจากผิวโลกมากจนค่า  ใกลเ้ คียงศูนย์ g มนุษยอ์ ากาศคนน้ีจะอยใู่ นสภาพที่น้าหนกั เป็นศูนยห์ รือไร้น้าหนกั ดงั รูป 7.8 รูป 7.8 ตัวอย่าง 5 นายสมชายมีมวล 60 กิโลกรัม ถา้ นายสมชาย อยทู่ ี่ผิวโลกและดวงจนั ทร์ นายสมชายจะมี น้าหนกั อยา่ งไรถา้ อตั ราเร่งโนม้ ถ่วงที่ผวิ โลกเป็ น 6 เทา่ ของท่ีผวิ ดวงจนั ทร์ วธิ ีทา ที่ผวิ โลก: จากW = mg Wล = (60)(10) = 600 ท่ีผวิ ดวงจนั ทร์ Wจ  (60)10   100N 6 นน่ั คือ ที่ผวิ โลกและที่ผดิ วงจนั ทร์นายสมชายจะหนกั 600 และ 100 นิวตนั ตัวอย่าง 6 จากรูป เครื่องชงั่ น้าหนกั ท่ีแมค่ า้ ใชก้ าลงั ชงั่ ทุเรียนลูกหน่ึงเขม็ ช้ีท่ี 1.5 กิโลกรัมพอดี แสดงวา่ ทุเรียนลูกน้ีหนกั 1.5 กิโลกรัม หมายความวา่ อยา่ งไร

วธิ ีทา เครื่องชง่ั น้าหนกั ที่แม่คา้ ใช้ เป็นเครื่องชง่ั ที่ใชน้ ้าหนกั ของมวลมาตรฐาน 1 Kg มาเปรียบเทียบ แลว้ และกาหนดใหช้ งั่ น้าหนกั เป็นกิโลกรัม โดย 1 Kg จะหมายถึง วตั ถุหนกั เป็น 1 เท่าชองน้าหนกั มาตรฐาน 2 Kg จะหมายถึง วตั ถุหนกั เป็น 2 เทา่ ชองน้าหนกั มาตรฐาน นน่ั คือ ถา้ ทุเรียนหนกั 1.5 กิโลกรัม กรณีน้ีจึงหมายความวา่ ทุเรียนมีน้าหนกั เป็ น 1.5 เท่าของน้าหนกั มาตรฐาน 3.5 กฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตนั นิวตนั เสนอกฎแรงดึงดูดระหวา่ งมวลไดว้ า่ \"วตั ถุท้งั หลายในเอกภพจะออกแรงดึงดูดซ่ึงกนั และกนั โดยขนาดของแรงดึงดูดระหวา่ งวตั ถุคู่ หน่ึง ๆจะแปรผนั ตรงกบั ผลคูณระหว่างมวลวตั ถุที่สองและจะแปรผกผนั กบั กาลงั สองชองระยะทาง ระหวา่ งวตั ถุท้งั สองนนั่ \" รูป 7.9 ตามกฎแรงดึงดูดระหวา่ งมวลที่นิวตนั เสนอ พิจารณาจากรูป 7.9 เราจะสามารถเขียนไดว้ า่ FG  Gm1m2 …………. ( 7-3 ) R2 เม่ือ m1 และ m2 เป็นมวลของวตั ถุแต่ละกอ้ น มีหน่วยเป็น กิโลกรัม R เป็นระยะระหวา่ งมวล m1 กบั m2 มีหน่วยเป็น เมตร G เป็ นค่าคงตวั ความโนม้ ถ่วงสากล เทา่ กบั 6.673  10-11 นิวตนั – เมตรตอ่ กิโลกรัม2 FG เป็นแรงดึงดูดระหวา่ งมวล m1 กบั m2 มีหน่วยเป็ น นิวตนั แรง FG ตามกฎของนิวตนั มีความหมายวา่ เป็นแรงดูดอยา่ งเดียวไมม่ ีแรงผลกั และเป็น แรงกระทาร่วม กล่าวคือมวล m1 และ m2 ต่างฝ่ ายตา่ งดูดซ่ึงกนั cละกนั ดว้ ยแรงขนาด ตามสมการ (7-3 )แตท่ ิศทางตรงขา้ มกนั ไมม่ ีใครดูดใครมากกวา่ ใคร 3.6 กฎการเคลอื่ นทขี่ ้อทส่ี ามของนิวตัน กฎข้อ 3 \"ทุกแรงกิริยาจะตอ้ งมีแรงปฏิกิริยาท่ีมีขนาดเทา่ กนั และทิศทางตรงขา้ มเสมอ\" แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยากระทาต่อวตั ถุคนละกอ้ น

รูป 7.11 จากรูป 7.11 คนออกรแรงผลกั โตะ๊  แรงน้ีเรียกวา่ เป็นแรงกิริยา ในขณะเดียวกนั โตะ๊ จะ F1    F2 F1 F2 ออกแรงดนั โตต้ อบกบั แรงที่คนผลกั โตะ๊ ดว้ ยแรง ซ่ึงมีทิศทางตรงขา้ มกบั แรง เรียกวา่ แรง ปฏิกิริยา ตามกฏขอ้ 3 ของนิวตนั จะเขียนไดว้ า่   F   F1 = - 2 ……….(7-10) F F แรง 1 และ 2 กรณีน้ีเรียกวา่ แรงคู่ปฏิกิริยา เพราะต่างเป็ นแรงที่กระทากบั วตั ถุคนละกอ้ น ตวั อย่าง 7 จากรูป คนยนื อยบู่ นน้าแขง็ ลื่นเม่ือคนขวา้ งหิมะออกไปจะเป็นเหตุใหค้ นเคืลนไปตามลูกศร เป็ นเพราะเหตุใด วธิ ีทา  จากรูป  1 เป็นแรงท่ีคนใชผ้ ลกั หิมะใหเ้ คลื่อนที่ไป  เป็นแรงที่หิมะกระทาโตต้ อบที่มือคน แรง F1  F  F2 F2 F2 และ เป็นแรงคูก่ ิริยา -ปฏิกิริยา แรง จะดนั ใหค้ นตอ้ งล่ืนไถลไปดา้ นหลงั ตามทิศของลูกศร

ตัวอย่าง 8 จากตวั อยา่ ง 7 เนื่องจาก  1 = -  2 หมายความวา่ แรงกิริยาเทา่ กบั แรงปฏิกิริยาและมีทิศ F F ทางตรงขา้ มกนั ทาให้แรงลพั ธ์เป็นศนู ย์ ถามวา่ ทาไมหิมะจึงเคลื่อนท่ีไปได้  วิธีทา การท่ีกล่าวว่าแรงลพั ธ์เป็ นการกล่าวที่ไม่ถูกตอ้ ง เพราะแรง F1 เป็ นแรงกระทาภายนอก  (external force )แต่แรง F2 เป็ นแรงกระทาภายใน (internal force) การหาแรงลพั ธ์ท่ีกระทากบั หิมะจะ นาแรงภายในมาคิดรวมกบั แรงภายนอกไม่ได้ เพราะตามกฏขอ้ 2 ของนิวตนั แรงลพั ธ์หมายถึง แรงท่ี   กระทาภายนอกมารวมกนั ดงั น้นั กรณีแรงลพั ธ์จึงมีค่าเท่ากบั F1 เท่าน้นั ไม่ตอ้ งนา F2 มารวมดว้ ย  จึงทาใหห้ ิมะเคล่ือนที่ไปตามทิศทางของแรง F1 ตัวอย่าง 9 วตั ถุมวล m บนพ้ืนลื่น ดงั รูป โดยที่วตั ถุไมข่ ยบั mg เป็นน้าหนกั ของวตั ถุ N เป็นแรงที่ พ้นื กระทากบั วตั ถุถามวา่ mg กบั N เป็นแรงคูก่ ิริยา - ปฏิกิริยาหรือไม่ วธิ ีทา m  กบั  ไมเ่ ป็นแรงคู่กิริยา- ปฏิกิริยา ถึงแมว้ า่ จากรูปน้ี m  และ  จะมีขนาดเทา่ กนั และ g N g N  ทิศทางตรงขา้ มกนั แต่ก็ไม่ถือวา่ เป็นแรงคูก่ ิริยา - ปฏิกิริยา เพราะ mg และ N จะไมเ่ ท่ากนั เสมอและ เป็นแรงที่กระทาวตั ถุกอ้ นเดียวกนั เช่นดงั รูป ถา้ มีแรงภายนอก F มาดึงวตั ถุทามุม กบั แนวราบอีก  หน่ึงแรง แรง F จะทาให้ N และ m g มีขนาดไม่เทา่ กนั ตวั อย่าง 10 จากตวั อยา่ งที่ 9 ถามวา่ แรงใดท่ีเป็ นแรงคู่กิริยา - ปฏิกิริยา ของน้าหนกั mg วธิ ีทา จากรูป m g = น้าหนกั ของวตั ถุซ่ึงหมายถึงแรงที่โลกดึงดูดวตั ถุ  F = แรงท่ีวตั ถุดูดโลก  แรง m  และ FG เป็ นแรงคู่กิริยา - ปฏิกิริยา เป็ นแรงต่างกระทาร่วมกนั มีขนาดเท่ากนั แต่ g ทิศทางขา้ มกนั แรงท้งั สองน้ีมีขนาด GmM เม่ือ M เป็ นมวลของโลก R2 ********************************************************************************