ใบความรู้ เรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ใบความรู้ เร่ือง ทฤษฎีบทพีทาโกรสั ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั Pythagorus’s Theorem รปู สามเหลีย่ มมุมฉาก (Right Triangle) คือ รูปสามเหล่ียมท่มี ีมุมหนึ่งกาง 90° จากรปู ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ซ่งึ มี C เปน็ มุมฉาก - AB เป็นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก อยูต่ รงขา้ มกับมุม C แทนด้วยความยาว c - AC เป็นดา้ นประกอบมมุ ฉาก อยู่ตรงขา้ มกบั มุม B แทนด้วยความยาว b - BC เป็นดา้ นประกอบมมุ ฉาก อยตู่ รงขา้ มกบั มุม A แทนด้วยความยาว a ทฤษฎบี ทของพีทาโกรัส กล่าวไวว้ ่า แบบท่ี 1 ในรปู สามเหลย่ี มมุมฉากใด ๆ ความยาวกาลงั สองของด้านตรงขา้ มมมุ ฉากมีค่าเทา่ กบั ผลบวกของความยาวกาลังสองของด้านประกอบมุมฉากท้ังสองด้าน หรอื พจิ ารณาจากพ้ืนท่ีรูปสเ่ี หล่ียมจตั ุรสั ตามแบบที่ 2 คือ

แบบที่ 2 ในรปู สเ่ี หล่ียมมุมฉากใด ๆ พ้ืนท่ีของรูปสีเ่ หลี่ยมจตั รุ สั บนดา้ นตรงขา้ มมุมฉากมีค่าเทา่ กบั ผลบวกของพื้นที่รปู สี่เหลี่ยมจัตรุ สั บนดา้ นประกอบมมุ ฉากสองดา้ น ดงั รูปประกอบ

จากรูป จะสงั เกตว่า พนื้ ท่ขี องสีเ่ หลี่ยมจัตุรสั สีแดง(ด้านตรงข้ามมุมฉาก)จะเทา่ กับ ผลรวมของพ้นื ทข่ี อง สเี่ หล่ียมจัตุรสั สนี ้าเงิน(ด้านประกอบมุมฉาก)

ภาพแสดงความสัมพนั ธข์ องพื้นท่ีรปู สเ่ี หลีย่ มจตั ุรัส ทั้งสามรูป คือ พ้นื ทขี่ องรปู สเี่ หล่ยี มจัตุรสั บนดา้ น c เทา่ กบั 25 ตารางหนว่ ย พื้นท่ขี องรปู สีเ่ หลยี่ มจตั รุ สั บนด้าน a และ b เท่ากับ 16 และ 9 ตารางหนว่ ยตามลาดับ ซง่ึ จะเห็นว่า 9 + 16 = 25 32 + 42 = 52 น่ันคือ a2 + b2 = c2 จากทฤษฎีบทท้ัง 2 แบบ จะไดค้ วามสมั พนั ธ์ระหวา่ งความยาวของดา้ นทง้ั สามของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยม มมุ ฉาก ABC ดงั น้ี c2 = a2+b2 โดยท่ี c เป็นความยาวดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก และ a และ b เป็นความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก หรอื a2 = c2 - b2 และ b2 = c2 - a2 ตามทไี่ ดก้ ลา่ วไปแลว้ ขา้ งตน้ หาก c แทนความยาวด้านตรงขา้ มมุมฉาก และ a และ b แทนความยาวของด้าน ประกอบมุมฉากแล้ว ทฤษฎีบทปที าโกรสั จะสามารถเขยี นในรปู สมการปที าโกรสั ไดด้ งั น้ี ถา้ ทราบความยาวของทั้ง a และ b ค่า c จะสามารถคานวณไดด้ งั น้ี ถา้ ทราบความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก c และดา้ นประกอบมมุ ฉากด้านใดด้านหนึ่ง (a หรือ b) แล้ว ความยาว ด้านทีเ่ หลอื สามารถคานวณได้ดงั น้ี หรอื

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาความยาวท่ีเหลือของรูปสามเหล่ียมต่อไปน้ี วธิ ที า จากรูป a=4 , b=3 หาค่าของ c จะไดว้ ่า c2 = 42 + 32 c2 = (4 x 4) + (3 x 3) c2 = 16 + 9 c2 = 25 c2 = 52 ดงั นัน้ c = 5 ตอบ c ยาว 5 หนว่ ย ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาความยาวทเี่ หลอื ของสามเหล่ียมต่อไปน้ี วธิ ที า จะไดว้ า่ d2 = 72+242 d2 = (7 x 7) + (24 x 24) d2 = 49+576 d2 = 625 d2 = 252 ดงั น้ัน d = 25 ตอบ d ยาว 25 หน่วย

ตัวอย่างที่ 3 จงหาความยาวท่เี หลอื ของสามเหลีย่ มต่อไปน้ี วิธที า จะไดว้ ่า m2 = 132- 52 m2 = (13 X 13) – (5 X 5) m2 = 169 – 25 m2 = 144 m2 = 122 ดงั นน้ั m = 12 ตอบ m ยาว 12 หนว่ ย ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรปู สามเหล่ยี มตอ่ ไปนี้ วิธีทา จะไดว้ ่า AB2 = AC2+BC2 AB2 = 82+152

AB2 = 64+225 AB2 = 289 AB2 = 172 ดงั นนั้ AB = 17 ตอบ ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากยาว 17 หน่วย ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาความยาวของดา้ นทเี่ หล่อื ของสามเหลี่ยมต่อไปน้ี วธิ ที า จะได้วา่ PR2 = PQ2 + QR2 PQ2 = PR2 - QR2 PQ2 = 152 - 122 PQ2 = (15 x 15) – (12 x 12) PQ2 = 225 – 144 PQ2 = 81 PQ2 = 92 ดงั นั้น PQ = 9 ตอบ ความยาวของด้านทีเ่ หลือคือด้าน PQ ยาว 9 หน่วย

ตวั อยา่ งที่ 6 จากรูปจงหาค่าของ a วธิ ที า วิธีทา จะได้ว่า 6.52 = a2 + 2.52 a2 = 6.52 - 2.52 a2 = (6.5 x 6.5) - (2.5 x 2.5) a2 = 42.25 – 6.25 a2 = 36 a2 = 62 ดงั น้ัน a = 6 ตอบ a ยาว 6 หน่วย