เขต

เขต(SET)

แบบทดสอบก่อนเรียน

เซต เซต เป็นคำที่ไมใ่ หใ้ หน้ ิยำม (Undefined Term) เรำมกั ใชเ้ ซตแทนส่ิงท่ีอยรู่ ่วมกนั ซ่ึงหมำยถึงกลุ่มของส่ิงตำ่ งๆ ที่เรำ สำมำรถกำหนดสมำชิกไดช้ ดั เจน (Well-Defined) หรือก็คือควำมหมำยของเซตน้นั เอง กำรเขียนเซต 1. เ ขี ย น แ บ บ แ จ ก แ จ ง ส ม ำ ซิ ก (Tabular Form) เ ป็ น ก ำ ร เ ขี ย น เ ซ ต โ ด ย บ ร ร จุ ส ม ำ ชิ ก ที่ ง ห ม ด ข อ ง เ ซ ต ล ง ใ น ว ง เ ล็ บ ปี ก ก ำ และระหวำ่ งสมำชิกแต่ละตวั คนดว้ ยเคร่ืองหมำยจุลภำค (,) เช่น {A,B,c} หรือ {1,2, 3} เป็นตน้ (หมำยเหต:ุ ถำ้ เซตมีจำนวนสมำชิกมำกมำย เรำใช้ แทนสมำชิกที่เหลือ) 2. เขียนสิบเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมำซิกในสิบเซต (Set builder form) มีหลกั กำร คือ แทนสมำชิกของเซตดว้ ยตวั แปรแลว้ กำหนดเงื่อนไขเก่ียวกบั ตวั แปรน้นั เพื่อแสดงวำ่ มีล่ิงใดบำ้ งท่ีเป็นสมำขิก ของเซต วิธีเขียนเซตโดยวิธีน้ีคือ

เขียนตวั แปรและส่ิงท่ีกำหนดเงื่อนไขเกี่ยวกบั ตวั แปรลงในวงเลบ็ ปี กกำและค้นั ตวั แปรกบั ลิ่ งที่ กำหนดเง่ือนไขเกี่ยวกบั ตวั แปรดว้ ยเครื่องหมำย “ I\"หรือ 3. กำรเขยนเซตดว้ ยวธอน ๆ เช่น แบบบรรยำย, แบบใชแ้ ผนภำพเวนน,์ แบบช่วง เป็นตน้ แผนภำพเวนน-์ ออยเลอร์เป็นแผนภำพที่ใชเ้ ขียนแทนเซตซ่ึงแทนเอกภพสัมพทั ธ์บ ดว้ ยสี่เหลี่ยมผืนผำ้ และแทนเซต A, B, ... ดว้ ยรูปวงกลม หรือวงรี หรือรูปปิ ดอื่นๆ ดงั รูป รูปวงรี แทนเซต Aโดยท่ี A = {1, 2, 3} รูปวงกลม แทนเซต B โดยท่ี B = {a, b, c} รูปสำมเหลี่ยม แทนเซต Cโดยที่ c = {4,5} ซ่ึงในเรื่องของแผนภำพน้ีเรำยงั ทำไปประยกุ ตใชใ้ นเร่ืองกำรกระทำระหวำ่ งเซต ซ่ึงแสดงดว้ ยแผนภำพจะทำใหด้ ูเชำ้ ใจ งำ่ ยข้ึน เซตถกู จำแนกออกเป็นสองอยำ่ งดว้ ยกนั คือ เซตจำกดั และเซตอบนั ตซั ่ึงจะมีวิธีแยกแยะเซตท้งั สองน้ีออกจำกกนั เซต จำกดั คือเซตท่ีเรำสำมำรถบอกจำนวนสมำชิกได้ ตรงกนั ขำ้ มกบั เซตอนนั ด้

1. เซตจำกดั (Finite Set) เซตจำกดั (Finite Set) คือ เซตท่ีสำมำรถนบั จำนวนสมำชิกไดท้ ้งั หมดและมีจำนวนที่แน่นอน เช่น A = {1, 2, 3,... ,20} จะเห็นไดว้ ำ่ เซต A สำมำรถบอกจำนวนสมำชิกไดว้ ำ่ เซตน้ีมีจำนวนสมำชิกท้งั หมด 20 ตำ ดงั น้นั เซต A จึงเป็นเซตจำกดั ลองดูอีกตวั อยำ่ งกนั นะครับ B = { 3 } จะเห็นไดว้ ำ่ เซต B สำมำรถที่จะบอกจำนวนสมำชิกได้ คือ 1 ตวั ดงั น้นั เซต B จึงเป็น เซตจำกดั **หมำยเหตุ เซตวำ่ ง (Empty Set) ถือเป็นเซตจำกดั เขียนสญั ลกั ษณ์แทนเซตว่ำงไดด้ งั น้ีหรือ {} 2. เซตอนนั ต์ (Infinite Set) เซตอนนั ด(้ Infinite Set) คือ เซตท่ีไม่สำมำรถบอกจำนวนสมำชิกไดเ้ พรำะสมำชิกมีจำนวนมำก เช่น A = {1, 2, 3,...} จะเห็นไดว้ ำ่ เซต A ไมส่ ำมำรถบอกจำนวนสมำชิกตวั สุดทำ้ ยท่ีอยใู่ นเซตน้ีไดห้ มด

ดงั น้นั เซต A จึงเป็นเซตอนนั ด้ ลองมำดูกนั อีกตวั อยำ่ งนึง B = {3, 5, 7,...} จะเห็นไดว้ ำ่ เซต B ไม่สำมำรถบอกจำนวนสมำชิกท่ีเป็นจำนวนคี่ไดห้ มด ดงั น้นั เซต B จึงเป็นเซตอนนั ด้ เซตวำ่ ง และเอกภพสัมพทั ธจ์ ำกบทเรียนเรื่องเซต คณิตศำสตร์ม.4 ถือเป็นพ้นื ฐำนของเรื่องเซต ท่ีเรำควรจะทำควำมสนิท สนมกบั มนั ใหม้ ำก เพรำะมนั เป็นพ้ืนฐำนท้งั หมดในกำรเรียนเร่ืองเซต เซตวำ่ ง (EmptySet) เซตวำ่ ง คือ เซตท่ีไมม่ ีสมำชิก หรือมีจำนวนสมำชิกในเซตเป็นศูนย’สำมำรถเขียนแทนไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์{} หรือ 0 ตวั อยำ่ งเช่น A = {x I X เขินจำนวนเตม็ และ 1 < X < 2} ■■■ A = 0

B = {X I Xเขินจำนวนเตม็ บวก และX+1 = 0 } B = 0 เนื่องจำกเรำสำมำรถบอกจำนวนสมำชิกของเซตวำ่ งได้ ดงั น้นั เซตวำ่ งเป็นเซตจำกดั เอกภพสัมพทั ธ์(Relative Universe)

เอกภพสมั พท้ ธ์ คือ เซตท่ีกำหนดขอบเขตของสิ่งที่ตอ้ งกำรศึกษำ ซ่ึงถือวำ่ เป็นเซตท่ีใหญ่ที่สุด โดยมีขอ้ ตกลงวำ่ ตอ่ ไป จะกล่ำวถึงสมำชิกของเซตน้ีเท่ำน้นั จะไมม่ ีกำรกล่ำวถึงส่ิงใดที่นอกเหนือไปจำกสมำชิกขอ งเซตที่กำหนดข้ึนน้ีโดยที่'วไป นิยมใชส้ ัญลกั ษณ์ บ แทนเอกภพสัมพทั ธ์ เช่น กำหนดให้ บ = {1,2,3,4,5,67,8} A = {1,3,57} B = {2,4,8} หรือกำหนดให้ บ = {x E I+ I 1 <x<20} A = {x E บ I x=ท+3 เม่ือ ท เป็นจำนสวนเตม็ ค่ีบวก} B = {x E u I x=ท+3 เม่ือ ท เป็นจำนสวนเตม็ คู่บวก} น้นั คือท้งั A และ B เป็นสบั เซตของ บ ยเู นียน อินเตอร์เซกชนั และคอมพลีเมนตฃ้ องเซต

เป็นส่วนหน่ึงของกำรกระทำระหวำ่ งเซต เรำนิยมเขียนออกมำในสอง รูปแบบดว้ ยกนั คือแบบสมกำร และแผนภำพเวนนิ'-ออยเลอร์เรำลองมำดูกนั ครับวำ่ ยเู นียน อินเตอร์เซกชนั และคอมพลี เมนตฃ้ องเซต เป็นอยำ่ งไรพร้อมตวั อยำ่ ง ยเู นียน (Union) ยเู นียน (Union) มีนิยำมวำ่ เซต A ยเู นียนกบั เซต B คือเซตซ่ึงประกอบดว้ ยสมำชิกท่ีเป็นสมำชิกของเซต A หรือ เซต B หรือท้งั A และ B สำมำรถเขียนแทนไดด้ ว้ ย สัญลกั ษณ์A บ B ตวั อยำ่ งเช่น A ={1,2,3} B= {3,4,5} AUB = {1,2,3,4,5}

อินเตอร์เซกชนั (Intersection) อินเตอร์เซกชนั (Intersection) มีนิยำมคือ เซต A อินเตอร์เซกชนั เซต B คือ เซตซ่ึงประกอบดว้ ยสมำชิกที่เป็นสมำชิกของ เซต A และเซต B สำมำรถเขียนแทนไดด้ ว้ ยสัญลกั ษณ์A ก B ตวั อยำ่ งเช่น A ={1,2,3} B = {3,4,5} A ก B = {3} เรำสำมำรถเขียนกำรอินเตอร์เซกชนั ลงในแผนภำพไดต้ งั น้ี intersection คอมพลีเมนต์ (Complements) คอมพลีเมนด(้ Complements) มีนิยำมคือ ถำ้ เซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพทั ธบ์ แลว้ คอมพลีเมนตของเซต A คือ เซตที่ ประกอบดว้ ยสมำชิกท่ีเป็นสมำชิกของ บ

แตไ่ ม1เป็นสมำชิกของ A สำมำรถเขียนแทนไดด้ ว้ ยสญั ลกั ษณ์A' ตวั อยำ่ งเช่น บ = {1,2,3,4,5} A ={1,2,3} A' = {4,5} เรำสำมำรถเขียนกำรคอมพลีเมนตของเซตลงในแผนภำพไดต้ งั น้ี สบั เซตและเพำเวอร์เซต เป็นหวั ขอ้ หน่ึงจำกบทเรียนเรื่อง เซต ในวชิ ำคณิตศำสตร์ม.4 ซ่ึงจะมีนิยำม และสมปติของมนั เรำ ลองมำเรียนกนั ครับวำ่ สับเซตและเพำเวอร์เซตเป็นอยำ่ งไร

สิบเซต (Subset) ถำ้ สมำชิกทุกตวั ของ A เป็นสมำขิกของ B แลว้ จะเรียกวำ่ A เป็นสับเซตของ B จะเขียนวำ่ เซต A เป็นสบั เซตของเซต B แทนดว้ ย Ac B ถำ้ สมำชิกบำงตวั ของ A ไมเ่ ป็นสมำชิกของ B จะเรียกวำ่ A ไมเ่ ป็นสบั เซตของ B เซต A ไมเ่ ป็นสบั เซตของเซต B แทนดว้ ย A 0 B สมนต้ ของสิบเซต 1) A c A (เซตทกุ เซตเป็นสับเซตของตวั มน้ เอง) 2) A C บ (เซตทกุ เซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพทั ธ์) 3) 0 c A (เซตวำ่ งเป็นสบั เซตของทุกๆ เซต) 4) ถำ้ A C 0 แลว้ A = 0 5) ถำ้ A c B และ B c C แลว้ A c C (สมบต้ ิกำรถ่ำยทอด) 6) A = B ก็ตอ่ เมื่อ Ac B และ Be A 7) ถำ้ A มีจำนวนสมำชิก ท ตวั สบั เซตของเซตจะมีท้งั สิ้น 2ท สบั เซต สิบเซตแท้ นิยำม A เป็นสับเซตแทข้ อง B กต็ อ่ เม่ือ AcB และ A * B

ตวั อยำ่ ง กำหนดให้ A = { a , b , c } จงหำสบั เซตแทท้ ้งั หมดของ A วิธีทำ สับเซตแทข้ อง A ไดแ้ ก่ 0, {a},{b},{c},{a,b},{a ,c},{b,c} มีจำนวนสมำขิกทงั สิน 7 สบั เซต หมำยเหตุ ถำ้ A มีจำนวนสมำชิก ท ตวั สบั เซตแทข้ องเซตA จะมีท้งั ส้ิน 2ท —1 สบั เซต เรำสำมำรถเขียนควำมสัมพนั ธข์ องสับเซตออกมำในรูปของแผนภูมิไดต้ งั น้ีครับรนbset สบั เซต จำกรูปแสดงไดว้ ำ่ AcB เพำเวอร์เซต (Power Set) คำวำ่ เพำเวอร์เซต เป็นคำคพั ทเั ฉพำะ ซ่ึงใชเ้ ป็นช่ือเรียกเซตเซตหน่ึงที่เกี่ยวขอ้ งกบั เร่ืองสับเซต เพำเวอร\"เซตของ A เขียนแทนดว้ ย P(A)

P(A) คือเซตที่มีสับเซตท้งั หมดของ A เป็นสมำชิก สมบต้ ิฃองเพำเวอร์เซต ใหA้ , B เป็นเซตใดๆ 1) 0 c P(A) 2) Ac P(A) 3) P(A) * 0 4) P(A) c P(B) กต็ ่อเม่ือ Ac B 5) ถำ้ A มีสมำชิก ท ตวั P(A) จะมีสมำชิก 2ท ตวั แผนภำพ เวนนิ-ออยเลอริ (เซต) คณิตศำสตร์ม.4 มีควำมสำคญั มำกในกำรแกย้ ญั หำเกียวกบั โจทยป้ญหำของ เซต เนน้ ที่กำรหำจำนวนสมำชิกของเซตภำยใตเ้ งื่อนไขท่ีกำหนดให้ ซ่ึงเรำสำมำรถแถป้ ็ญหำกำรหำจำนวนสมำชิกของเซต โดยท้วั ไป

แผนภำพออยเลอร์ (Euler diagram) แผนภำพออยเลอร์(Euler diagram) เป็นแผนภำพท่ีใชใ้ นกำรอธิบำยควำมสมั พนั ธข์ องเซตต่ำง ๆ โดยใหว้ งกลมแต่ละวง แทนแตล่ ะเซต และแสดงควำมสมั พนั ธ์ของแตล่ ะเซตดว้ ย กำรครอบซ่ึงแสดงควำมเป็นสบั เซต กำรท“บซ้อนกนั หรือกำรไม่ ทบั ซ้อนกนั ซ่ึง แสดงวำ่ ท้งั สองเซตไม1มีควำมสมั พนั ธก์ นั ลกั ษณะแผนภำพวงกลมเช่นน้ีเช่ือวำ่ ถูกใชค้ ร้ังแรกโดยบกั คณิตศำสตร์ชำวสวสิ นำมวำ่ เลออนฮำร์ด ออยเลอร์แผนภำพออยเลอร์น้ีนมียงั ลกั ษณะคลำ้ ยคลึงกนั กบั แผนภำพเวนน์ มำก ในทฤษฏีเซตซ่ึงเป็นแขนงหน่ึงของคณิตศำสตร์จึงนิยมใชแ้ ผนภำพประยกุ ดจ้ ำกแผนภำพท้ั งสองในกำรอธิบำยเซต ต่ำง ๆ ใหเ้ ชำ้ ใจไดง้ ำ่ ยยงิ่ ข้ึน

แผนภำพเวนน-์ ออยเลอร์ (Venn-Euler diagram) แผนภำพเวนน-์ ออยเลอร์เป็นแผนภำพแสดงควำมเกี่ยวขอ้ งของเซตต่ำง ๆ ซ่ึงชื่อท่ีใชเ้ รียกเป็นชื่อของนกั คณิตศำสตร์สอง คน คือ จอหน์ เวนน์และ เสโอนำร์ด ออยเลอร์ กำรเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์ กำรเขียนแผนภำพเวนน์-ออยเลอร์มกั เขียนแทนเอกภพสมั พทั ธ์ บ ดว้ ยส่ีเหล่ียมผนื ผำ้ หรือรูปปิ ดใด ๆ ส่วนเซต A,B,C,D,... ซ่ึงเป็นเซตยอ่ ยของ บ อำจเขียนแทนดว้ ยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิ ดใด ๆ โดยใหภ้ ำพที่แทนเซตยอ่ ยอยใู่ นรูปลี1เหลี่ยมผืนผำ้ ท่ีแทนเอกภพสมั พทั ธ์ ถำ้ กำหนดให้ บ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3}, B = {1,2,3,4,5}, C = {3,5,6,7} เดร_งัำแจผะ..นเ.ข..ภ.ีย.ำ.น.พ.แ.ต.ผ.อ่.น.ไ6ภป-ำนพี เวนน์-ออยเลอร แaสzดaงzเ6อ-ก,,ภพ.ส1ัม1พทั ธบ์ aแzละเซตย1อ่ หยตเ^่ำ'ง ๆ

ถำ้ เซต A และ B ไม่มีสมำชิกร่วมกนั แผนภำพมีลกั ษณะดงั นี ถำ้ เซต A และ B มีสมำชิกร่วมกนั บำงส่วน ( ไม่ท้งั หมด ) แผนภำพมีลกั ษณะดงั น้ี

ถำ้ A c B แต่ A *B แผนภำพจะมีลกั ษณะดง้ น๋ึ ถำ้ A=B แผนภำพมีดกั ษณะดง้ น๋ึ

ส่ือการสอน ตอนท่ี 1 ตอนท่ี 2

ตอนที่ 3 ตอนที่ 4

ตอนที่ 5 ตอนที่ 6

ตอนท่ี 7 ตอรที่ 8

ตอนที่ 9 ตอนท่ี 10

ตอนท่ี 11

แบบทดสอบหลงั เรียน

จดั ทำโดย นำงสำววรรณภำ พรมสีหำ เลขที 34 นำงสำวอมลณ^ั ธรรมศิริ เลขท่ี 38 นำยกรณ์ดนยั ธินต๊ะเนตร เลขที่ 1 นำยวศั พล ไชยมงคล เลขที่ 13 นำยชนินธร เยน็ ชยั สิทธิ๙ เลขที่ 4 นำยณรงคศ์ กด์ิ คำปำ เลขท่ี 5 โรงเรียนขนุ ควรวิทยำคม ช้นั มธั ยมศึกษำปี ที่ 4/2