Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore Ρυθμοί Μεταβολής

Ρυθμοί Μεταβολής

Published by firstname lastname, 2023-07-25 09:53:25

Description: Ρυθμοί Μεταβολής

Search

Read the Text Version

ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Χ. ΠΑΥΛΟΥ Εκπαιδευτικός ΠΕ04.01 – Φυσικός MSc Ηλεκτρονικής Φυσικής G Καστοριά, 25 Ιουλίου 2023

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις Κωνσταντίνος Χ. Παύλου G Εκπαιδευτικός ΠΕ04.01 – Φυσικός MSc Ηλεκτρονικής Φυσικής ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΓΕΙΑΣ Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής 1 Γενικότητες Η μεταβολή ενός φυσικού μεγέθους Φ σ’ ένα συ- γκεκριμένο χρονικό διάστημα, ορίζεται ως η διαφορά της αρχικής τιμής του μεγέθους από την τελική τιμή του: ΔΦ⃗ ΔΦ = Φτελ − Φαρχ (1) Φ⃗ τελ Φ⃗ αρχ (������2) ������ Από τον ορισμό της μεταβολής (ΕΞΣ:: [1]) προκύπτει ότι: 1. Η μεταβολή έχει τις ίδιες μονάδες με το μέγεθος του οποίου τη μεταβολή υπολογίζουμε 2. Aν το μέγεθος του οποίου υπολογίζουμε τη με- −Φ⃗ τελ (������1) ταβολή είναι διανυσματικό και η μεταβολή αυ- τού θα είναι διανυσματικό μέγεθος: ΔΦ⃗ ΔΦ⃗ = Φ⃗ τελ − Φ⃗ αρχ (2) Υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους κανόνες Σχήμα 1: Υπολογισμός μεταβολής διανυσματικού μεγέ- του διανυσματικού λογισμού, δες ΣΧΜ:: 8. θους 3. Από τον ορισμό της μεταβολής του (αριθμητι- κού) μεγέθους Φ προκύπτουν τα εξής συμπερά- σματα: (αʹ) ΔΦ > 0 ⇔ Φτελ > Φαρχ ⇔ το μέγεθος αυξήθηκε, δες ΣΧΜ:: 2αʹ. (βʹ) ΔΦ < 0 ⇔ Φτελ < Φαρχ ⇔ το μέγεθος μειώθηκε, δες ΣΧΜ:: 2βʹ (γʹ) ΔΦ = 0 ⇔ Φτελ = Φαρχ ⇔ το μέγεθος παρέμεινε σταθερό, δες ΣΧΜ:: 2γʹ Χρονική στιγμή είναι το πότε συμβαίνει ένα γεγονός. Είναι η ένδειξη του χρονομέτρου μας. Η χρονική στιγμή συμβολίζεται με ������. Αν το μέγεθος για το οποίο μιλάμε είναι ο χρόνος, τότε η μεταβολή του αποκτά ένα πιο συγκεκριμένο νόημα: η διαφορά δυο χρονικών στιγμών ορίζει ένα χρονικό διάστημα. Με τη συνηθισμένη έννοια της ροής του χρόνου (ο χρόνος ρέει «προς τα μπρος»), είναι πάντα ������τελ > ������αρχ με αποτέλεσμα το χρονικό διάστημα να είναι πάντα θετικό: Δ������ = ������τελ − ������αρχ > 0 (3) Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 1 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις Χρονικό διάστημα ή χρονική διάρκεια είναι το πόσο διαρκεί κάτι. Ορίζεται όπως είδαμε ως η μεταβολή δύο χρονικών στιγμών Το χρονικό διάστημα Δ������ εκφράζει τη διάρκεια μεταξύ δύο στιγμών. Απαντά, δηλαδή στην ερώ- τηση «πόσο διαρκεί;» ένα γεγονός. Αντίθετα, η χρονική στιγμή ������ εκφράζει το πότε˙και προφανώς δεν έχει διάρ- κεια. Απαντά, δηλαδή στην ερώτηση «πότε συνέβη;» ένα γεγονός. Ως (μέσο) ρυθμό μεταβολής ενός (αριθμητικού) φυσικού μεγέθους ορίζουμε το λόγο της μεταβολής του μεγέθους σε κάποιο χρονικό διάστημα προς το συγκεκριμένο (απαιτούμενο) χρονικό διάστημα: ΔΦ = Φτελ − Φαρχ (4) Δ������ ������τελ − ������αρχ Ο μέσος ρυθμός μεταβολής ορίζεται όπως βλέπουμε σε ένα (μικρό ή μεγάλο) πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής ορίζεται ως dΦ = lim ΔΦ (5) d������ Δ������ Δ������→0 δλδ ορίζεται για ένα χρονικό διάστημα πάρα πολύ μικρό το οποίο τείνει στο μηδέν και συνεπώς αναφέρεται σε κάποια χρονική στιγμή. Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής λέγεται και «ρυθμός μεταβολής». Αν ο (στιγμιαίος) ρυθμός μεταβολής είναι σταθερός (δλδ έχει την ίδια τιμή για οποιαδήποτε χρονική στιγμή) τότε συμπίπτει με το μέσο ρυθμό μεταβολής. Παρατηρήσεις: 1. Εμείς, στις περισσότερες περιπτώσεις, θα αναφερόμαστε στον μέσο ρυθμό μεταβολής απλά ως ρυθμό με- ταβολής. 2. Επειδή το χρονικό διάστημα είναι πάντα θετικός αριθμός, το πρόσημο του ρυθμού μεταβολής καθορίζεται από το πρόσημο της μεταβολής του μεγέθους. 3. Η μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής είναι η μονάδα μέτρησης του μεγέθους προς τη μονάδα του χρόνου. 4. Από φυσικής άποψης, ο ρυθμός μεταβολής εκφράζει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το μέγεθος (κατά μέσο όρο) μέσα στο εν λόγω χρονικό διάστημα. 5. Ανάλογα με το ποιου μεγέθους υπολογίζουμε τον ρυθμό μεταβολής χρησιμοποιούμε και το κατάλληλο σύμ- βολο. 6. Αν το φυσικό μέγεθος είναι διανυσματικό, και ο ρυθμός μεταβολής του είναι διανυσματικό μέγεθος επίσης: ΔΦ⃗ = Φ⃗ τελ − Φ⃗ αρχ (6) Δ������ ������τελ − ������αρχ ΦΦ Φ Φτελ ������ Φαρχ ������ ������ ������ ΔΦ > 0 Φτελ ΔΦ = 0 ������ ΔΦ < 0 ������ ������αρχ ������τελ ������ Φαρχ (γʹ) ������ Δ������ ������ ������αρχ ������τελ ������ ������ ������αρχ ������τελ ������ (αʹ) (βʹ) Σχήμα 2: Μεταβολή ενός μεγέθους Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 2 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις 7. Αν ο ρυθμός μεταβολής ������ = ΔΦ/Δ������ ενός μεγέθους είναι σταθερός, το μέγεθος αυτό μεταβάλλεται γραμμικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση: Φ(������) = ������������ + Φ0 (7) όπου Φ0 ένας σταθερός αριθμός ο οποίος ισούται με την τιμή του μεγέθους τη χρονική στιγμή ������ = 0, δλδ Φ0 = Φ(0). Η ΕΞΣ:: [7] γραφικά παριστάνει μία ευθεία γραμμή, αύξουσα αν ������ > 0 και φθίνουσα αν ������ < 0. Αν Φ0 = 0 η γραφική παράσταση της Φ(������) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Όταν θα θέλουμε να αναφερθούμε στην τιμή που έχει ο ρυθμός μεταβολής σε μια χρονική στιγμή (πχ ������1 = 2 sec) θα συμβολίζουμε αυτή τη τιμή ως ΔΦ | sec Δ������ ������1=2 Μεταβολή και ρυθμός μεταβολής διανυσματικού μεγέθους Όταν θέλουμε να υπολογίσουμε τη μεταβολή ενός διανυσματικού μεγέθους, όταν αναφερόμαστε σε ευθύγραμμες κινήσεις, τότε υπολογίζουμε τη μεταβολή της αλ- γεβρικής τιμής αυτού του μεγέθους (ομοίως και για τον ρυθμό μεταβολής). Μαθηματικός υπολογισμός του ρυθμού μεταβολής Για τον υπολογισμό του ρυθμού μεταβολής: • Καθορίζουμε τον τύπο του μεγέθους • Παραγωγίζουμε (η έννοια της παραγώγισης είναι άγνωστη στους μαθητές της ΟΠ Σπουδών Υγείας) ως προς τον χρόνο. Συνήθως αναφερόμαστε σε παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης οπότε χρησιμοποιούμε τον κα- νόνα της αλυσίδας: d������ d������ d������ (8) ������(������) = ������(������(������)) ⇒ d������ = d������ ⋅ d������ Σε κάποιες περιπτώσεις (όταν το μέγεθος εξαρτάται γραμμικά από τον χρόνο) μπορούμε επίσης να χρησιμο- ποιήσουμε και την παρακάτω μεθοδολογία. Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να βρούμε τον ρυθμό μεταβολής Δ������ της θέσης Δ������ για ένα σώμα το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με (σταθερή) ταχύτητα ������. Γνωρίζουμε ότι στην περίπτωση αυτή, η θέση δίνεται από τη σχέση ������ = ������0 + ������ ⋅ (������ − ������0). Άρα, θα είναι ������τελ = ������(������τελ) = ������0 + ������ ⋅ (������τελ − ������0) και ������αρχ = ������������������αρχ������ = ������0 + ������ ⋅ ������������αρχ − ������0������ Συνεπώς, για τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής θα έχουμε Δ������ = ������τελ − ������αρχ = [������0 + ������ ⋅ (������τελ − ������0)] − ������������0 + ������ ⋅ ������������αρχ − ������0������������ = ������ ⋅ ������������τελ − ������αρχ������ = ������ Δ������ ������τελ − ������αρχ ������τελ − ������αρχ ������τελ − ������αρχ Δλδ, στην περίπτωση αυτή ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής ισούται με την (σταθερή) ταχύτητα του σώματος. 2 Μεταβολή & ρυθμός μεταβολής της θέσης – η ταχύτητα Η θέση ενός σώματος καθορίζεται από το διάνυσμα θέσης ⃗������. Το διάνυσμα θέσης έχει ως αρχή την αρχή του συστήματος συντεταγμένων και ως πέρας το σημείο στο οποίο βρίσκεται το σώμα, ΣΧΜ:: 3αʹ. Η μεταβολή της θέσης ενός σώματος ονομάζεται μετατόπιση Δ⃗������, ΣΧΜ:: 3βʹ: Δ⃗������ = ⃗������τελ − ⃗������αρχ (9) Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 3 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις (αʹ) (βʹ) Σχήμα 3: Το διάνυσμα θέσης και η μετατόπιση σε δύο διαστάσεις Σε μία ευθύγραμμη κίνηση κατά μήκος του άξονα ������ η θέση του σώματος καθορίζεται από το διάνυσμα ⃗������, ΣΧΜ:: 4αʹ, και η μετατόπισή του από το διάνυσμα Δ⃗������, ΣΧΜ:: 4βʹ. (αʹ) (βʹ) Σχήμα 4: Το διάνυσμα θέσης και η μετατόπιση σε μία διάσταση Συνεπώς για τη μονοδιάστατη περίπτωση θα είναι Δ⃗������ = ⃗������μ (10) Δ������ Δλδ ο ρυθμός μεταβολής της θέσης δεν είναι τίποτα άλλο παρά η μέση ταχύτητα. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η ταχύτητα είναι σταθερή και συνεπώς η μέση ταχύτητα συμπίπτει με τη στιγμιαία ταχύτητα ⃗������μ = ⃗������ Χρησιμοποιώντας αλγεβρικές τιμές για τα διανύσματα, θα είναι Δ������ = ������τελ − ������αρχ = ������μ (11) Δ������ ������τελ − ������αρχ Ως θετική φορά (για την αλγεβρική τιμή των διανυσμάτων) θεωρούμε αυτή του άξονα. Στις μονοδιάστα- τες κινήσεις για τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης είναι αρκετό ένα πρόσημο (+) ή (−). Επειδή για το χρονικό διάστημα είναι πάντα Δ������ > 0, το πρόσημο της (αλγεβρικής τιμής της) ταχύτητας συμπίπτει με το πρόσημο της μετατόπισης Δ������. Με άλλα λόγια, η ταχύτητα και η μετατόπιση είναι ομόρροπα διανύσματα. Έτσι: (αʹ) (βʹ) Σχήμα 5: Το διάνυσμα της ταχύτητας είναι ομόρροπο με το διάνυσμα της μετατόπισης Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 4 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις 1. ������τελ > ������αρχ ⇔ ������τελ − ������αρχ > 0 ⇔ ������μ > 0 κίνηση προς αυξανόμενα ������, ΣΧΜ:: 5αʹ. 2. ������τελ < ������αρχ ⇔ ������τελ − ������αρχ < 0 ⇔ ������μ < 0 κίνηση προς μειούμενα ������, ΣΧΜ:: 5βʹ. Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση η ταχύτητα παραμένει σταθερή οπότε ������ = ������μ = Δ������ . Δ������ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις – κίνηση σε δύο διαστάσεις Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα αναλύεται σε δύο συνιστώσες ⃗������������ και ⃗������������, με αλγεβρικές τιμές ������������ και ������������ αντίστοιχα, οι οποίες ορίζονται ως ρυθμοί μεταβολής ������������ = d������ και ������������ = d������ d������ d������ Το μέτρο ταχύτητας συμβολίζεται | ⃗������μ | με και ορίζεται ως ρυθμός μεταβολής του διαστήματος: | ⃗������μ | = Δ������ (12) Δ������ Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό: | ������ | = | ������μ | = Δ������ . Δ������ m 1m Η μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της θέσης είναι το 1 s = 1s . 3 Ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας – η επιτάχυνση (αʹ) Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται με το σώμα να (βʹ) Το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται με το σώμα να κινείται προς τα δεξιά (������ > 0 και ������ > 0) κινείται προς τα δεξιά (������ > 0 και ������ < 0) (γʹ) Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται με το σώμα να (δʹ) Το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται με το σώμα να κινείται προς τα αριστερά (������ < 0 και ������ < 0) κινείται προς τα αριστερά (������ < 0 και ������ > 0) Σχήμα 6: Το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι ομόρροπο με το διάνυσμα της μεταβολής της ταχύτητας Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας δεν είναι τίποτε άλλο παρά η επιτάχυνση του σώματος: ���⃗���μ = Δ⃗������ = ⃗������τελ − ⃗������αρχ (13) Δ������ ������τελ − ������αρχ Η επιτάχυνση είναι μέγεθος διανυσματικό με μονάδα μέτρησης στο SI το 1 m/s δλδ το 1 m Από τον ορισμό της s s2 επιτάχυνσης έχουμε: ���⃗���μ = Δ⃗������ −−Δ−���−���>−→0 ���⃗���μ ↑↑ Δ⃗������ Δ������ Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 5 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις Δλδ, η επιτάχυνση είναι πάντα ομόρροπη με τη μεταβολή της ταχύτητας, δες ΣΧΜ:: 6 Για ευθύγραμμες κινήσεις, η χρήση των αλγεβρικών τιμών μας απλουστεύει τα πράγματα: ������μ = Δ������ = ������τελ − ������αρχ (14) Δ������ ������τελ − ������αρχ Συνεπώς, το πρόσημο της (αλγεβρικής τιμής τής) επιτάχυνσης θα είναι ίδιο με το πρόσημο της μεταβολής της (αλ- γεβρικής τιμής τής) ταχύτητας (γεγονός αναμενόμενο αφού τα αντίστοιχα διανύσματα είναι όπως είδαμε ομόρ- ροπα). Δ������ Δ������ Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η επιτάχυνση παραμένει σταθερή οπότε ������ = ������μ = . Καμπυλόγραμμες Κινήσεις – κίνηση σε δύο διαστάσεις Η επιτάχυνση ���⃗��� ενός σώματος μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες (κάθετες μεταξύ τους): ���⃗��� = ���⃗���ε + ���⃗���κ (15) Οι δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης είναι, ΣΧΜ:: 7: 1. η επιτρόχια (ή εφαπτομενική) επιτάχυνση (���⃗���ε) η οποία βρίσκεται στην εφαπτομενική διεύθυνση (άρα είναι παράλληλη με το διάνυσμα της ταχύτητας) και επηρεάζει το μέτρο της ταχύτητας. 2. η κεντρομόλος (ή ακτινική) επιτάχυνση ���⃗���κ η οποία επηρεάζει την κατεύθυνση της ταχύτητας και είναι κά- θετη στο διάνυσμα της ταχύτητας. Εφόσον επιτρόχια επιτάχυνση έχει την εφα- Σχήμα 7: Η επιτρόχια και η κεντρομόλος επιτάχυνση πτομενική διεύθυνση, υπάρχουν δύο δυνατό- τητες: 1. να είναι ομόρροπη με την ταχύτητα δλδ ���⃗���ε ↑↑ ⃗������ οπότε το μέτρο της τα- χύτητας αυξάνεται (επιταχυνόμενη κί- νηση) 2. να είναι αντίρροπη με την ταχύτητα δλδ ���⃗���ε ↑↓ ⃗������ οπότε το μέτρο της ταχύ- τητας μειώνεται (επιβραδυνόμενη κί- νηση) Προφανώς, στην περίπτωση που είναι ���⃗���ε = ⃗0 το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό. Η κεντρομόλος επιτάχυνση έχει την ακτινική διεύθυνση δλδ την διεύθυνση που είναι κάθετη στην εφαπτομε- νική. Άρα, η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι κάθετη και στην ταχύτητα ���⃗���κ ⟂ ⃗������ αλλά και στην επιτρόχια επιτάχυνση ���⃗���κ ⟂ ���⃗���ε. Η κατεύθυνσή της είναι προς το κοίλο μέρος της τροχιάς, δλδ με απλά λογάκια ”κοιτάζει” προς τη μεριά που στρίβει το σώμα. Προφανώς, στην περίπτωση που είναι ���⃗���κ = ⃗0 το σώμα κινείται ευθύγραμμα. Στις ευθύγραμμες κινήσεις δεν θα υπάρχει η κεντρομόλος επιτάχυνση. Συνεπώς η επιτάχυνση των σωμάτων θα συμπίπτει με την εφαπτομενική επιτάχυνση. Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 6 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις 4 Ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής θέσης ������ δεν είναι τίποτε άλλο παρά η (μέση) γωνιακή ταχύτητα ������μ: ������μ = Δ������ = ������τελ − ������αρχ (16) Δ������ ������τελ − ������αρχ Στην ομαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή: ������ = ������μ = Δ������ . Δ������ 5 Ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ������ δεν είναι τίποτε άλλο παρά η (μέση) γωνιακή επιτάχυνση ������γ,μ: Δ������ ������τελ − ������αρχ Δ������ ������τελ − ������αρχ ������γ,μ = = (17) Στην ομαλά μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση η γωνιακή επιτάχυνση είναι σταθερή: ������γ = ������γ,μ = Δ������ . Δ������ 6 Ρυθμός προσφερόμενης ή καταναλισκόμενης ενέργειας – η ισχύς Αν σε ένα σώμα ασκείται δύναμη ⃗������ η οποία προσφέρει ενέργεια στο σώμα τότε η προσφερόμενη ενέργεια είναι ίση με το έργο της δύναμης ������προσφ = ������������ H μέση ισχύς της δύναμης ⃗������ (ονομάζεται και μέσος ρυθμός της προσφερόμενης ενέργειας) είναι ������μ = ������������ = ������προσφ (18) Δ������ Δ������ Η μέση ισχύς αναφέρεται σε κάποιο χρονικό διάστημα Δ������. Η στιγμιαία ισχύς λέγεται και ισχύς είναι: ������ = d������������ = d������προσφ (19) d������ d������ Η μονάδα μέτρησης της ισχύος είναι το 1 W = 1 J . s Όταν η δύναμη ⃗������ είναι παράλληλη στη μετατόπιση Δ⃗������ το έργο της δύναμης είναι ������Δ������ (προσοχή, τα σύμβολα παριστάνουν αλγεβρικές τιμές), οπότε ������������ = ������������ = ������Δ������ = ������������ Δ������ ������ = ������ ⋅ ������ (20) Δ������ Δ������ Δ������ Είναι φανερό πως όταν η δύναμη είναι ομόρροπη με τη μετατόπιση (δλδ οι αλγεβρικές τιμές των διανυσμάτων είναι ομόσημες) το έργο της δύναμης άρα και η ισχύς της είναι ποσότητες θετικές. Στην αντίθετη περίπτωση οι ποσότητες είναι αρνητικές. Στη γενική περίπτωση που η δύναμη σχηματίζει γωνία ������ με τη μετατόπιση, γνωρίζουμε ότι ������������ = | ⃗������ || Δ⃗������ |������������������ ������ οπότε η ισχύς της δύναμης είναι ������������ = ������������ = | ⃗������ || Δ⃗������ |������������������ ������ ⇒ ������������ = | ⃗������ || ⃗������ |������������������ ������ (21) Δ������ Δ������ Το πρόσημο του έργου της δύναμης και της ισχύος καθορίζεται από το ������������������ ������. Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 7 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις 7 Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας Η κινητική ενέργεια ενός σώματος δίνεται από τη σχέση ������ = 1 ������������2 (22) 2 οπότε, εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας (ΕΞΣ:: [8]) βρίσκουμε (για κίνηση σε ευθεία γραμμή) d������ = d ������ 1 ������������2������ = 1 ������ d ������������2������ = 1 d ������������2������ d������ = 1 d������ = d������ d������ d������ 2 2 d������ ������ 2 ������(2������) d������ ������������ d������ 2 d������ d������ Επειδή ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση ������ = d������ , έχουμε d������ d������ d������ d������ (23) d������ = ������������ d������ ⇒ d������ = ������������������ Σύμφωνα με τον 2ο ν. Newton (∑ ������ = ������������) θα έχουμε d������ = ������������������ ⇒ d������ = ������������ ������������������ (24) d������ d������ (25) Και επειδή η ισχύς μίας δύναμης δίνεται από τη σχέση ������������ = ������������, βρίσκουμε d������ d������ = ������∑ ������ Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε ξεκινώντας από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας Δ������ = ������∑ ������ ⇒ ΔΚ = Δ������∑ ������ ⇒ Δ������ = ������∑ ������ Δ������ Δ������ Δ������ Από τη σχέση Δ������ = ������������������ είναι προφανές ότι όταν το μέτρο της ταχύτητας του σώματος αυξάνεται (δλδ Δ������ τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι μεταξύ τους ομόρροπα και άρα οι αλγεβρικές τιμές των Δ������ Δ������ διανυσμάτων τους είναι ομόσημες) θα είναι Δ������ > 0 ενώ αν μειώνεται θα είναι Δ������ < 0. Αν το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό θα είναι Δ������ = 0. Επίσης, δεν παρατηρείται μεταβολή στην Δ������ ταχύτητα του σώματος (άρα ούτε και στην κινητική ενέργειά του) όταν η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση. Πράγματι, στην περίπτωση αυτή η δύναμη δημιουργεί μόνο κεντρομόλο επιτάχυνση η οποία δεν επιδρά στο μέτρο της ταχύτητας (το έργο μίας τέτοιας δύναμης είναι μηδέν). 8 Ρυθμός μεταβολής της ορμής – η δύναμη Από τον ορισμό της ορμής ������ = ������������ βρίσκουμε (χρησιμοποιώντας αλγεβρικές τιμές για τα διανύσματα): Δ������ = ������τελ − ������αρχ = ������������τελ − ������������αρχ = ������������������τελ − ������αρχ������ Δ������ ������τελ − ������αρχ ������τελ − ������αρχ Δ������ Χρησιμοποιώντας και τον ορισμό της επιτάχυνσης ������ = Δ������ βρίσκουμε Δ������ Δ������ = ������������ ⇒ Δ������ = ������������ ������������ (26) Δ������ Δ������ μ Αν η συνισταμένη δύναμη είναι σταθερή τότε ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ορμής ισούται με τον μέσο Δ������ ρυθμό, οπότε ������������ ������������ = ������ ������ = Δ������ . μ Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 8 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις 9 Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής – η ροπή δύναμης Αποδεικνύεται ότι Δ������ Δ������ = ������������ ������������ (27) μ Αν η συνισταμένη ροπή είναι σταθερή τότε ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ισούται με τον Δ������ μέσο ρυθμό, οπότε ������������ ������������ = ������ ������ = Δ������ . μ 10 Ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας Η βαρυτική δυναμική ενέργεια (ό,τι πούμε αφορά σε ομογενές βαρυτικό πεδίο) δίνεται από τη σχέση ������β = ������������ℎ όπου ℎ το ύψος την επιφάνεια της γης (γενικότερα από το αυθαίρετο οριζόντιο επίπεδο μηδενικής βαρυτικής ενέρ- γειας). Αν υποθέσουμε ότι το σώμα μετακινείται (χωρίς να μας ενδιαφέρει η διαδρομή) από μία θέση ℎαρχ σε κάποια άλλη ℎτελ, θα είναι: Δℎ = ℎτελ − ℎαρχ οπότε εύκολα προκύπτει πως αν μιλάμε για • άνοδο του σώματος, θα είναι ℎτελ > ℎαρχ οπότε ������βτελ > ������βαρχ με αποτέλεσμα να έχουμε αύξηση στη δυνα- μική ενέργεια του σώματος Δ������β > 0 • κάθοδο του σώματος, θα είναι ℎτελ < ℎαρχ οπότε ������βτελ < ������βαρχ με αποτέλεσμα να έχουμε μείωση στη δυναμική ενέργεια του σώματος Δ������β < 0 Για να περιγράψουμε την κίνηση του σώματος επιλέγουμε κατακόρυφο άξονα ������ με την αρχή του στο επίπεδο μη- δενικής δυναμικής ενέργειας και με φορά προς τα πάνω. Με την επιλογή αυτή έχουμε ������β = ������������������ ⇒ Δ������β = ������������Δ������ και τελικά Δ������β Δ������ Δ������β Δ������ Δ������ Δ������ = ������������ ⇒ = ������������������������ (28) όπου ������������ η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας στον άξονα ������. Με την επιλογή που κάναμε για τον άξονα, όταν το σώμα ανεβαίνει είναι ������������ > 0 οπότε Δ������β > 0. Παρόμοια, όταν το σώμα κατεβαίνει είναι ������������ < 0 οπότε Δ������β < 0. Δ������ Δ������ 11 Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ελατηρίου Αν ������ είναι η επιμήκυνση ή συσπείρωση του ελατηρίου (μετρημένη από το φυσικό μήκος του ελατηρίου), γνω- ρίζουμε πως η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου (σταθεράς ������) είναι ������ελ = 1 ������������2 (29) 2 παραγωγίζοντας έχουμε: d������ελ = d ������ 1 ������������2 ������ = 1 ������ d ������������2������ = 1 ������ d ������������2������ d������ = 1 ������(2������) d������ = ������������ d������ = ������������������ d������ d������ 2 2 d������ 2 d������ d������ 2 d������ d������ Αν λάβουμε υπόψη ότι η δύναμη του ελατηρίου είναι ������ελ = −������������, η προηγούμενη σχέση γράφεται d������ελ = ������������������ = −������ελ������ (30) d������ Άρα Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 9 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις • Αν το ελατήριο συσπειρώνεται ή επιμηκύνεται θα είναι ⃗������ελ ↑↓ ⃗������ οπότε οι αλγεβρικές τιμές της δύναμης και d������ελ της ταχύτητας θα είναι ετερόσημες και έτσι d������ > 0 • Αν το ελατήριο ”επιστρέφει” στο φυσικό μήκος του θα είναι ⃗������ελ ↑↑ ⃗������ οπότε οι αλγεβρικές τιμές της δύναμης d������ελ και της ταχύτητας θα είναι ομόσημες και έτσι d������ < 0 12 Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης Αν ������ είναι η απομάκρυνση του σώματος (μετρημένη από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης), γνωρίζουμε πως η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης (σταθεράς επαναφοράς ������) είναι ������T = 1 ������������2 (31) 2 παραγωγίζοντας έχουμε: d������T = d ������ 1 ������������2������ = 1 ������ d ������������2������ = 1 ������ d ������������2������ d������ = 1 ������(2������) d������ = ������������ d������ = ������������������ d������ d������ 2 2 d������ 2 d������ d������ 2 d������ d������ Αν λάβουμε υπόψη ότι η δύναμη επαναφοράς (ολική δύναμη) στην ταλάντωση είναι ������ ������ = −������������, η προηγού- μενη σχέση γράφεται d������T = ������������������ = −������������ ������������������ (32) d������ Άρα • Αν το σώμα κινείται προς ακραία θέση θα είναι ∑ ⃗������ ↑↓ ⃗������ οπότε οι αλγεβρικές τιμές της δύναμης και της ταχύτητας θα είναι ετερόσημες και έτσι d������T > 0 d������ • Αν το σώμα κινείται προς τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης θα είναι ∑ ⃗������ ↑↑ ⃗������ οπότε οι αλγεβρικές τιμές της δύναμης και της ταχύτητας θα είναι ομόσημες και έτσι d������T < 0 d������ Παρατήρηση Η μηχανική ενέργεια στην ταλάντωση είναι ������ = ������T + ������ οπότε θα έχουμε ������ = ������T + ������ ⇒ Δ������ = Δ������T + Δ������ ⇒ Δ������ = Δ������T + Δ������ Δ������ Δ������ Δ������ Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας είναι ������ = σταθ ⇒ Δ������ = 0 ⇒ Δ������ = 0 Δ������ οπότε, βρίσκουμε Δ������T Δ������ Δ������T Δ������ Δ������ Δ������ Δ������ Δ������ 0= + ⇒ = − (33) 13 Ρυθμός παραγωγής θερμότητας Η θερμότητα ισούται με το έργο της τριβής ������ = |������������| συνεπώς θα είναι Δ������ Δ������������ Δ������ Δ������ = | | = | ���⃗��� || ⃗������ | (34) 14 Ρυθμός μεταβολής του ηλεκτρικού φορτίου Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 10 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις Από τον ορισμό της έντασης του ηλεκτρικού ρεύ- ματος είναι Δ������ Ι Δ������ ������ = (35) Για να υπολογίσουμε το φορτίο που διέρχεται από τη διατομή ενός αγωγού ο οποίος διαρρέεται από Δ������ ρεύμα σταθερής έντασης χρησιμοποιούμε τη προηγού- μενη σχέση ������ ������1 ������2 ������ Δ������ = ������Δ������ (36) Δ������ = ������2 − ������1 Αν η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος δεν είναι στα- Σχήμα 8: Υπολογισμός μεταβολής διανυσματικού μεγέ- θερή, το ζητούμενο φορτίο υπολογίζεται από το εμβα- θους δόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της καμπύλης ������ = ������(������) και τον άξονα των χρόνων ������. 15 Ισχύς ηλεκτρικής συσκευής Όταν μία συσκευή λειτουργεί για χρονικό διάστημα Δ������ και καταναλώνει ενέργεια ������ηλ η μέση ισχύς της συ- σκευής είναι ������̅ = ������μ = ������ηλ (37) Δ������ Η στιγμιαία ισχύς αναφέρεται σε κάποια χρονική στιγμή και είναι: ������ = Δ������ηλ (38) Δ������ Αλλά η ενέργεια που προσφέρει το ηλεκτρικό ρεύμα στη συσκευή είναι ίση με την μείωση της δυναμικής ενέργειας του φορτίου που διασχίζει την συσκευή: ������ηλ = ������������Δ������ οπότε ������ = ������������ (39) Αν η τάση είναι σταθερή η συσκευή διαρρέεται από συνεχές σταθερό ρεύμα και τότε η στιγμιαία ισχύς είναι σταθερή και συμπίπτει με την μέση ισχύ και τότε γράφουμε: ������ = ������̅ = ������������ (40) Αν η συσκευή είναι αντιστάτης τότε η ισχύς της συσκευής λέγεται και ρυθμός παραγωγής θερμότητας και τότε ισχύουν και οι τύποι: ������������ = Δ������ = ������2������ = ������2 (41) Δ������ ������ 16 Ισχύς ηλεκτρικής πηγής Σε ένα κλειστό κύκλωμα η ηλεκτρική πηγή προσφέρει ενέργεια. Η ισχύς της πηγής εκφράζει τον ρυθμό της προσφερόμενης ενέργειας από την πηγή στο κύκλωμα. Η στιγμιαία ισχύς μιας πηγής με ΗΕΔ ℰ και εσωτερική αντίσταση ������ δίνεται από τη σχέση ������ηλ = ℰ ������ (42) όπου Ι το ρεύμα που διαρρέει την πηγή ℰ ������ = ������εξ + ������ Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 11 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)

Φυσική Γ’ Λυκείου ΜΟΥΣΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ Σημειώσεις Δημιουργία αρχείου pdf: 25 Ιουλίου 2023 11:13 Κωνσταντίνος Χ. Παύλου Σελ. 12 από 12 Υπολογισμός Ρυθμών Μεταβολής Ηλεκτρονικός Φυσικός (MSc)


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook