M a t h s ม.4 -49- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) SERIES 5 1. จงหาสว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของวงรตี อ่ ไปน้ี พรอ้ มทง้ั วาดรปู ประกอบครา่ ว ๆ 1) x2 + y2 = 1 2) x2 + y2 = 1 100 36 9 25 3) (x −1)2 + (y − 2)2 = 1 4) (x − 7)2 + (y + 3)2 = 1 25 16 36 100 5) 25x2 + 16y2 − 100x + 96y − 156 = 0 6) 5x2 + 9y2 − 10x − 36 y − 139 = 0 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -50- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 2. จงหาสมการวงรที ม่ี ี 1) โฟกสั อยทู่ ่ี (±4,0) จุดยอดอย่ทู ่ี (±5,0) 2) แกนเอกยาว 4 หนว่ ย แกนโทยาว 2 หนว่ ย โฟกสั อยบู่ นแกน Y และจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ดุ กำเนดิ 3) จุดปลายแกนโทอย่ทู ่ี (0, ±3) ระยะหา่ งระหวา่ งโฟกสั เทา่ กบั 8 หนว่ ย 4) แกนเอกยาว 10 หนว่ ย โฟกสั อยบู่ นแกน X วงรผี า่ นจดุ ( 5,2) และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด 5) ความเยอ้ื งศนู ยก์ ลาง 3 โฟกสั อยบู่ นแกน Y แกนเอกยาว 4 หนว่ ย 2 และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -51- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 6) โฟกสั อยทู่ ี่ (−6, 5) และ (−6, 9) จดุ ยอดจดุ หนง่ึ อยทู่ ่ี (−6, 12) 7) จดุ ยอดจดุ หน่งึ อยู่ท่ี (−5, 6) แกนโทยาว 2 หนว่ ย จดุ ศนู ยก์ ลางอยบู่ นเสน้ ตรง y = 2 8) จดุ โฟกสั อยทู่ ่ี (2, 2) และ (2, 8) และมผี ลบวกของระยะทางจากจดุ ใด ๆ บนวงรี ไปยงั จดุ โฟกสั เทา่ กบั 10 หนว่ ย 9) จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (1, 2) โฟกสั อยทู่ ่ี (6, 2) และผา่ นจดุ (4, 6) www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -52- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 3. กำหนดให้ A = {(x, y) | 4x2 + 9y2 − 16x + 54y + 61 = 0} ขอ้ ใดตอ่ ไปนส้ี รปุ เกย่ี วกบั เซต A ไดถ้ กู ตอ้ ง 1. A เปน็ วงรมี จี ดุ ศนู ยก์ ลางคอื (−2,3) 2. A เปน็ วงรมี คี วามยาวแกนเอก 6 หนว่ ย 3. A เปน็ วงรมี แี กนเอกขนานแกน Y 4. A เปน็ เซตวา่ ง 4. ระยะหา่ งระหวา่ งเสน้ คขู่ นานทท่ี ำมมุ 45° กบั แกน X และผา่ นจดุ โฟกสั ทง้ั สองของวงรี x2 − 4x + 3y2 − 2 = 0 มคี า่ เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 2 2 2. 4 2 3. 2 4. 4 5. ให้ A และ B เปน็ โฟกสั และจดุ ยอด (ตามลำดบั ) ของพาราโบลา x2 _ 8x + 4y + 4 = 0 ถา้ วงรมี ศี นู ยก์ ลางท่ี A และโฟกสั จดุ หนง่ึ อยทู่ ่ี B โดยทจ่ี ดุ ยอดจดุ หนง่ึ อยบู่ นเสน้ ตรง y = 4 แลว้ สมการวงรคี ือขอ้ ใดต่อไปนี้ 1. (x − 4)2 + (y − 2)2 = 1 2. (x − 4)2 + ( y − 2)2 = 1 2 2 3. (x − 4)2 + (y − 2)2 = 1 4. (x − 4)2 + (y − 2)2 = 1 34 33 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -53- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 6. วงรวี งหนง่ึ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางรว่ มกบั จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม x2 + y2 − 6x + 2y − 15 = 0 และสมั ผสั กบั วงกลมทจ่ี ดุ ยอดของวงรี ถา้ แกนเอกของวงรขี นานกบั แกน Y และมโี ฟกสั จดุ หนง่ึ อยทู่ ่ี (3, 3) แล้ว สมการของวงรี คอื ขอ้ ใด 1. 25x2 + 9y2 + 150x − 18y + 9 = 0 2. 25x2 + 9y2 − 150x + 18y + 9 = 0 3. 9x2 + 25y2 + 54x + 50y − 119 = 0 4. 9x2 + 25y2 − 54x + 50y − 119 = 0 7. กำหนดให้ y2 = 12(x + 3) และ y2 = −12(x − 3) เปน็ สมการของรปู พาราโบลาสองรปู ถา้ วงรมี ี โฟกสั ทจ่ี ดุ ยอดของพาราโบลาทง้ั สอง และแกนโทคอื สว่ นของเสน้ ตรงเชอ่ื มจดุ ตดั ของพาราโบลา ทง้ั สองแลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถ้ี กู 1. ความยาวของสว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มจดุ โฟกสั ทง้ั สองของวงรเี ทา่ กบั 12 2. ความยาวของแกนโทของวงรเี ทา่ กบั 6 3. ความยาวของแกนเอกของวงรเี ทา่ กบั 45 4. สมการของวงรี คอื x2 + y2 = 1 45 36 8. แปลงดอกไมท้ ำเปน็ วงรมี สี มการเปน็ 25x2 + 16y2 − 100x + 96y − 156 = 0 ตอ้ งการปลกู หญา้ ในสว่ นทแ่ี รเงา ดงั รปู ถา้ หนว่ ยทใ่ี ชเ้ ปน็ เมตร และเสยี เงนิ คา่ ปลกู หญา้ ตารางเมตรละ 20 บาท จะเสยี เงนิ คา่ ปลกู หญา้ ทง้ั สน้ิ เทา่ ใด (บาท) 1. 320 2. 640 3. 960 4. 1280 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -54- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 9. อโุ มงคร์ ถไฟแหง่ หนง่ึ ถกู ออกแบบเปน็ รปู ครง่ึ วงรี ซง่ึ มฐี านกวา้ ง 36 เมตร และสงู 12 เมตร ความสงู ของอโุ มงคท์ ร่ี ะยะหา่ งจากศนู ยก์ ลาง 6 เมตร จะมคี า่ เทา่ ใด 1. 5 3 เมตร 2. 6 3 เมตร 3. 7 2 เมตร 4. 8 2 เมตร 10. โตะ๊ สนกุ๊ เกอรท์ ำเปน็ รปู วงรสี มการ 12x2 + 16y2 − 192 = 0 เหนง่ วางลกู บลิ เลยี ดในแนวตง้ั ฉากกบั แกนเอกดงั รปู F1, F2 เปน็ จดุ โฟกสั ของวงรี ถา้ เหนง่ แทงลกู บลิ เลยี ดไปตามแนวศรชก้ี ระทบขอบโตะ๊ ทจ่ี ดุ A แลว้ ลกู บลิ เลยี ดกระเดง้ ออกไปกระทบขอบโตะ๊ อกี ครง้ั ทจ่ี ดุ B แลว้ B จะมพี กิ ดั เปน็ เทา่ ใด 1. ⎝⎛⎜ 26 , − 9 ⎠⎟⎞ 7 7 2. ⎛⎜⎝ 9 , − 26 ⎟⎠⎞ 7 7 3. (−2, 3) 4. (2, 3) 11. พน้ื ทส่ี เ่ี หลย่ี มจตั รุ สั มากทส่ี ดุ ทบ่ี รรจใุ น x2 + y2 = 1 ไดพ้ อดเี ปน็ เทา่ ใด 49 12. y1 = 9 − x2 , y2 =2 1 − x2 กราฟใดมพี น้ื ทม่ี ากกวา่ กนั 9 13. ให้ P เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมทส่ี มั ผสั กบั วงกลม x2 + y2 = 1 และ x2 + y2 − 4x − 21 = 0 สมการของกราฟทเ่ี กดิ จากจดุ P คอื ขอ้ ใด (โจทยท์ า้ ประลอง) www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -55- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 4. ไฮเพอรโ์ บลา (Hyperbola) นยิ าม ไฮเพอรโ์ บลา คอื ............................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................. จดุ คงทใ่ี นนยิ ามน้ี เรยี กวา่ โฟกสั ของไฮเพอรโ์ บลา จากรปู จดุ F1 และ F2 เปน็ โฟกสั ถา้ P(x , y) เปน็ จดุ ใด ๆ บนไฮเพอรโ์ บลา จะได้ | PF1 - PF2 | = คา่ คงตวั = ......................... สว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของไฮเพอรโ์ บลา www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -56- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย สมการไฮเพอร์โบลา สำหรบั ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางท่ี (0, 0) จะมสี มการดงั ตอ่ ไปน้ี 1) เมอ่ื แกนตามขวางอยบู่ นแกน X 2) เมอ่ื แกนตามขวางอยบู่ นแกน Y สำหรบั ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี จี ดุ ศนู ยก์ ลางท่ี ( h, k) จะมสี มการดงั ตอ่ ไปน้ี 1) เมอ่ื แกนตามขวางขนานกบั แกน X 2) เมอ่ื แกนตามขวางขนานกบั แกน Y **ข้อสังเกต** รูปทั่วไปของสมการไฮเพอร์โบลา รปู ทว่ั ไปของสมการไฮเพอรโ์ บลา คอื Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ่ื AB < 0 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -57- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) SERIES 6 1. จงหาสว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของไฮเพอรโ์ บลาตอ่ ไปน้ี พรอ้ มทง้ั วาดรปู ประกอบครา่ ว ๆ 1) x2 − y2 = 1 2) y2 − x2 = 1 9 16 25 4 3) (x − 4)2 − (y − 3)2 = 1 4) (y − 7)2 − (x − 4)2 = 1 36 64 9 16 5) 9x2 − 16y2 − 54x + 64y − 127 = 0 6) y2 − 4x2 − 2y + 16x − 20 = 0 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -58- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 2. จงหาสมการไฮเพอรโ์ บลาซง่ึ มี 1) โฟกสั อยทู่ ่ี (0, ±6) จดุ ยอดอยทู่ ี่ (0, ±2) 2) โฟกสั อยทู่ ่ี (±5,0) แกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย 3) จดุ ยอดอยู่ท่ี (0, ±6) และผา่ นจดุ (−5,9) 4) จุดโฟกสั อยู่ท่ี (±3,0) และผา่ นจดุ (4, 1) 5) จดุ ยอดอยู่ที่ (±2,0) สมการเสน้ กำกบั คอื y = ±5x www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -59- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 6) จดุ โฟกสั อยู่ท่ี (0, ±8) สมการเสน้ กำกบั คอื y = ±1x 2 7) จดุ ยอดอยทู่ ่ี (4, 4) และ (−2, 4) ความยาวแกนสงั ยคุ เทา่ กบั 8 8) จดุ โฟกสั อยทู่ ่ี (2, 4) และ (2, −6) และแกนสงั ยคุ ยาว 8 หนว่ ย 9) ผลตา่ งของระยะทางจากจดุ (x, y) ใด ๆ ไปยงั (−5, 1) และ (5, 1) มคี า่ เทา่ กบั 4 10) จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (1, 3) และมจี ดุ ยอดจดุ หนง่ึ อยทู่ ่ี (1, −1) สมการเสน้ กำกบั เสน้ หนง่ึ คอื 4x − 3y + 5 = 0 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -60- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 3. ถา้ ภาคตดั กรวยมสี มการเปน็ 9x2 − 16y2 − 18x − 64y − 199 = 0 แลว้ ระยะทางจากโฟกสั ถงึ เสน้ ตรง 2x + 3y − 5 = 0 เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. 1 และ 19 2. 6 และ 24 13 13 13 13 3. 9 และ 11 4. 14 และ 16 13 13 13 13 4. ถเปา้ น็ใหจดุ้ Fศ1นู ยแก์ ลละางFข2องเปวน็งกโลฟมกสั xข2อ+งไy2ฮเ+พ2อxรโ์−บ4ลyา+116y=2 − 9x2 + 36x − 32y − 164 = 0 และ V แลว้ ความยาวรอบรปู ของสามเหลย่ี ม F1F2V 0 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 13+ 2 5 2. 13 + 3 5 3. 15+ 2 5 4. 15 + 3 5 5. จงหาคา่ ของ k ทท่ี ำใหก้ ราฟของไฮเพอรโ์ บลา ky2 − 3x2 = 60 มจี ดุ ยอดจดุ หนง่ึ อยทู่ ่ี ⎛⎜⎝0, − 23⎟⎠⎞ 1. 3 2. 5 3. 10 4. 20 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -61- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 6. จากรปู ถา้ ใหว้ งรีและไฮเพอรโ์ บลามจี ดุ ศนู ยก์ ลางและจุดโฟกสั ร่วมกันระยะทางจดุ ศูนยก์ ลางถึงจุดยอด ของวงรเี ปน็ k และระยะทางจากจดุ ศนู ยก์ ลางถงึ จดุ ยอดของไฮเปอรโ์ บลาเปน็ h โดยท่ี k > h จงหา | PB | 7. กำหนดให้ E เปน็ วงรี ซง่ึ มสี มการเปน็ 6x2 + 5y2 + 12x − 20y − 4 = 0 และ H เปน็ ไฮเพอรโ์ บลา ซง่ึ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางรว่ มกบั E มจี ดุ ยอดทบั จดุ โฟกสั ของ E และมคี วามยาวแกนสงั ยคุ เทา่ กบั ความยาว แกนโทของ E ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี คอื สมการของไฮเพอรโ์ บลา H 1. x2 − 5y2 − 2x − 20y + 14 = 0 2. x2 − 5y2 + 2x + 20y − 14 = 0 3. x2 − 5y2 + 2x + 20y − 18 = 0 4. 5x2 − y2 − 2x + 20y + 18 = 0 8. กำหนดใหไ้ ฮเพอรโ์ บลาทม่ี จี ดุ ยอดท่ี (−4, 0) โฟกสั ท่ี (−5, 0) และ (1, 0) ถา้ วงรมี จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางของไฮเพอรโ์ บลาน้ี และความยาวแกนเอกและแกนโท เทา่ กบั ความยาวของแกนสงั ยคุ และแกนตามขวางของไฮเพอรโ์ บลาตามลำดบั แลว้ สมการของวงรคี อื ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี 1. (x + 2)2 + y2 = 1 2. (x + 2)2 + y2 = 1 45 59 3. (x − 2)2 + y2 = 1 4. (x − 2)2 + y2 = 1 49 45 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -62- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก นยิ าม ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก คอื ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนตามขวางและแกนสงั ยคุ ยาวเทา่ กนั รปู แบบทพ่ี บบอ่ ย มี 2 รปู แบบดว้ ยกนั คอื แบบท่ี 1 (x − h)2 − (y − k)2 =1 หรอื (y − k)2 − (x − h)2 = 1 a2 a2 a2 a2 แบบท่ี 2 xy = c จุดศูนย์กลาง (0, 0) (0, 0) จุดยอด ( c, c ) (− −c, −c ) และ (− c, − c ) และ ( −c, − −c ) จดุ โฟกสั ( 2c, 2c ) ( )− −2c, −2c ( )และ − 2c, − 2c ( )และ −2c, − −2c แกนตามขวาง อยบู่ นเสน้ ตรง y = x อยบู่ นเสน้ ตรง y = −x แกนสงั ยคุ ยาวเทา่ กบั 2 2c หน่วย ยาวเทา่ กบั 2 2c หนว่ ย อยบู่ นเสน้ ตรง y = −x อยบู่ นเสน้ ตรง y = x ยาวเทา่ กบั 2 2c หนว่ ย ยาวเทา่ กบั 2 2c หนว่ ย www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -63- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 9. สำหรบั นอ้ ง ๆ ทน่ี า่ รกั ชว่ ยพจิ ารณากราฟของสมการตอ่ ไปนห้ี นอ่ ยสิ 1) xy = 4 2) xy = −8 3) (x + 3 )(y − 4) = 6 4) xy − 2y − 1 = 0 5) xy + 2x − y − 2 = 0 6) y= 3x −10 (สวยสดุ ๆ) x+2 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -64- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 15. ภาคตดั กรวยลดรปู (Degenerate Conics) สมการภาคตดั กรวยทกุ สมการสามารถจดั อยใู่ นรปู Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 โดยเทอม Cxy เกดิ จากการหมนุ แกน โดยทว่ั ไปแลว้ ถา้ C = 0 อาจเขยี นไดว้ า่ Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 เมอ่ื A และ B ไมเ่ ปน็ 0 พรอ้ มกนั โดยมีหลักพิจารณาว่าเป็นกราฟรูปใดดังนี้ 1) เปน็ วงกลมเมอ่ื A = B 2) เปน็ พาราโบลาเมอ่ื A หรอื B เปน็ 0 เพยี งตวั เดยี วเทา่ นน้ั 3) เปน็ วงรเี มอ่ื AB > 0 และ A ≠ B 4) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาเมอ่ื AB < 0 หมายเหตุ บางครง้ั พบวา่ จดั รปู สมการแลว้ อาจไมเ่ ปน็ สมการภาคตดั กรวย ในบางกรณี กราฟของ สมการอาจเปน็ เพยี งเสน้ ตรง 2 เสน้ ตดั กนั จดุ ๆ หนง่ึ หรอื อาจไมม่ กี ราฟเลยกไ็ ด้ กรณเี หลา่ น้ี เรยี กวา่ ภาคตดั กรวยลดรปู (degenerate conics) ดงั เชน่ ตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตัวอย่าง 1. x2 + y2 + 2x − 2y + 11 = 0 จดั ไดเ้ ปน็ (x + 1)2 + (y −1)2 = −9 ซง่ึ ไมม่ กี ราฟ 2. x2 − y2 + 2x − 2y = 0 ดจู ากสมั ประสทิ ธ์ จะเหน็ วา่ เขา้ ลกั ษณะของสมการไฮเพอรโ์ บลา แตถ่ า้ จดั รปู จะได้ (x + 1)2 − (y + 1)2 = 0 ซง่ึ แยกตวั ประกอบไดเ้ ปน็ (x − y) (x + y + 2) = 0 เปน็ สมการเสน้ ตรงสองเสน้ ทต่ี ง้ั ฉากกนั ไมใ่ ชไ่ ฮเพอรโ์ บลา 3. 4x2 − 4xy + y2 − 9 = 0 ถา้ พจิ ารณางา่ ย ๆ จะบอกไมไ่ ดว้ า่ เปน็ กราฟรปู อะไร ใหล้ องจดั รปู ดู จะได้ (2x − y)2 − 9 = 0 ซง่ึ แยกตวั ประกอบไดเ้ ปน็ (2x − y − 3) (2x − y + 3) = 0 ซง่ึ เปน็ สมการเสน้ ตรง 2 เสน้ ทข่ี นานกนั 4. 25x2 + 9y2 − 100x + 18y + 109 = 0 ดจู ากสมั ประสทิ ธ์ จะเหน็ วา่ เขา้ ลกั ษณะของสมการวงรี แตถ่ า้ จดั รปู จะได้ 25(x − 2)2 + 9(y + 1)2 = 0 ซง่ึ เปน็ สมการทม่ี กี ราฟเปน็ จดุ (2, −1) www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -65- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) SERIES 7 1. จงพิจารณากราฟของสมการต่อไปนี้ว่ามีลักษณะอย่างไร 1) y2 + 8x − 6y − 7 = 0 2) x2 + y2 − 12x + 72 = 0 3) x2 − y2 = 0 4) x2 + 4y2 + 20x − 40y + 300 = 0 5) 4x2 − 9y2 − 8x − 36y − 32 = 0 6) 3x2 + 4y2 − 6x − 24y + 39 = 0 7) x2 + y2 + 2xy − 4 = 0 8) x2 − y2 = x − y www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -66- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 2. จงหาวา่ สมการทางเดนิ ของจดุ ซึง่ กำหนดเงอ่ื นไขดังต่อไปนว้ี า่ เป็นกราฟของอะไร 1) ทางเดนิ ของจดุ P(x , y) ใด ๆ บนระนาบ ซง่ึ ระยะทางจากจดุ P ไปยงั เสน้ ตรง x = l เปน็ สองเทา่ ของระยะทางจากจดุ P ไปยงั จดุ (-1 , 0) 2) ทางเดนิ ของจดุ P(x , y) ซง่ึ เสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มจดุ P กบั จดุ (-1 , 0) ตง้ั ฉากกบั เส้นตรงทเ่ี ชอ่ื ม จดุ P กบั จดุ (1 , 0) 3) ทางเดนิ ของจดุ ซง่ึ มรี ะยะหา่ งจากจดุ (3 , 0) เปน็ สองเทา่ ของระยะหา่ งจากแกน y 4) ทางเดนิ ของจดุ ซง่ึ มผี ลคณู ของระยะจากจดุ นน้ั ไปยงั เสน้ ตรง 5x _ 12y _ 9 = 0 และ 5x + 12y _ 9 = 0 เทา่ กบั 3600 169 5) ทางเดนิ ของจดุ ทท่ี ำใหก้ ำลงั สองของอตั ราสว่ นระยะทางไปยงั จดุ (2 , 3) กบั ระยะทางไปยงั แกน x เปน็ 2 : 1 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -67- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) เฉลย SERIES 1/1 2. 1) 8 หนว่ ย 2) 6 หนว่ ย 1. 1) (3, 0) และ (0, 4) 2) (_2, 0) และ (0, 5) 3. 1) จดุ สมั ผสั คอื (_3, 0) และ รศั มยี าว 5 หนว่ ย 2) จดุ สมั ผสั คอื (0, 5) และ รศั มยี าว 3 หนว่ ย SERIES 1/2 1. 1) 13 2) 5 2 3) 2 5 4) 13 4. ขอ้ 3 2. 1) 12 2) 10 + 2 5 + 4 2 3. ขอ้ 1 8. (_1, 5) 6. ขอ้ 4 7. ขอ้ 4 5. ขอ้ 1 10. (0, 3) 11. ขอ้ 1 16. 17 9. (8, 2) 2) (_2, 4) 13. (_5, 16) 22. (_2, 1) 12. 1) (4, 9) 14. (4, 7) และ 5 หนว่ ย 15. ⎛ 7 , 17 ⎞ , (1, 5) และ ⎛ 3 , 11 ⎞ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎝⎜ 2 2 ⎠⎟ 17. ทำกบั พเ่ี หนง่ ในหอ้ ง 18. ขอ้ 1 19. (5, 5) 20. (6, 12) , (14, 4) และ (_4, _2) 21. (_2, 6) 23. 36 24. 1) 6 2) 36 65 SERIES 2/1 1.2) _1 1.3) 0 1.4) ไมน่ ยิ าม 3. 1) อยจู่ ะ๊ 2) ไมอ่ ยคู่ ะ่ 4. a = 2 1. 1.1) 1 6. k = 0 7. x = _12 8. ขอ้ 1 2. x = _5 5. ขอ้ 2 SERIES 2/2 1. 4x _ 3y _ 14 = 0 3) 3x + 8y _ 17 = 0 4) 2x _ y + 5 = 0 6) x _ y + 1 = 0 2. 1)... 2) ... 5) 4x + 3y _ 12 = 0 3. ขอ้ 3 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -68- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 4. ความชนั ระยะตดั แกน X ระยะตดั แกน Y 1) 5x + 4y - 2 = 0 −5 2 1 2) 2x - 3y - 7 = 0 4 5 2 3) x - y = 0 4) 2y + 3 = 0 2 7 −7 5) x = 5 3 2 3 6) 3(y - 1) = -2(x - 2) 1 0 0 0 ไมม่ ี −3 ไมน่ ยิ าม 5 2 −2 7 ไมม่ ี 3 2 7 3 5. ขอ้ 2 6. ขอ้ 4 7. ขอ้ 1 8. ขอ้ 4 9. ขอ้ 1 10. ขอ้ 2 11. 1) x + 2y + 1 = 0 2) x + 5y + 21 = 0 14. 7x + y _ 27 = 0 12. ขอ้ 3 13. ขอ้ 4 15. 1) 4 2) 0 3) 2 16. 1) 2 2) 2 5 17. ขอ้ 1 18. ขอ้ 2 21. 3x _ 4y = 0 และ 3x _ 4y _ 10 = 0 19. ขอ้ 2 20. ขอ้ 2 22. 4x _ 3y + 2 = 0 และ 4x _ 3y _ 18 = 0 23. 12x + 5y _ 37 = 0 และ 12x + 5y + 41 = 0 24. ขอ้ 2 25. ขอ้ 4 26. ขอ้ 2 27. ขอ้ 2 28. ไปนอนซะ !!! SERIES 3 1. 1) (x _ 1)2 + (y _ 2)2 = 9 2) (x + 5)2 + (y + 7)2 = 2 3) x2 + y2 = 16 2. (x _ 7)2 + (y _ 3)2 = 25 หรอื x2 + y2 _ 14x _ 6y + 33 = 0 3. (x _ 4)2 + (y _ 6)2 = 25 หรอื x2 + y2 _ 8x _ 12y + 27 = 0 4. 1) (x + 3)2 + (y + 5)2 = 1 หรอื x2 + y2 + 24x + 40y + 135 = 0 4 2) หรอื x2 + y2 + 6x + 10y + 9 = 0 (x + 3)2 + (y + 5)2 = 25 5. 1) จดุ ศนู ยก์ ลางคอื (7, 6) และรศั มยี าว 5 หนว่ ย 2) จดุ ศนู ยก์ ลางคอื (2, _4) และรศั มยี าว 7 หนว่ ย 3) จดุ ศนู ยก์ ลางคอื (4, 0) และรศั มยี าว 5 หนว่ ย 4) จดุ ศนู ยก์ ลางคอื (0, 0) และรศั มยี าว 11 หนว่ ย 5) จดุ ศนู ยก์ ลางคอื (2, _1) และรศั มยี าว หนว่ ย 6) จดุ ศนู ยก์ ลางคอื (4, _3) และรศั มยี าว 5 หนว่ ย 3 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -69- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 7) จดุ ศนู ยก์ ลางคอื ⎛⎝⎜ 1 , 1 ⎞⎠⎟ และรศั มยี าว 3 หนว่ ย 8) กราฟเปน็ จดุ (_1, 0) 2 2 2 10) จดุ ศนู ยก์ ลางคอื (_1, 1) และรศั มยี าว 7 หนว่ ย 9) ไมใ่ ชส่ มการวงกลม 6. ขอ้ 1 7. x2 + (y + 5 )2 = 145 หรอื x2 + y2 + 5y _ 30 = 0 2 4 8. (x _ 2)2 + (y + 4)2 = 4 หรอื x2 y2 _ + 8y + 16 = 0 9. ขอ้ 4 + 4x 11. 2 5 และ x + 2y _ 5 = 0 10. ขอ้ 3 12. ขอ้ 3 13. 1) อยนู่ อกวงกลม 2) อยบู่ นเสน้ รอบวง 3) อยใู่ นวงกลม 14. 20 16. (x _ 4)2 + (y + 10)2 = 64 หรอื x2 + y2 _ 8x + 20y + 52 = 0 15. 3 17. 3 18. ขอ้ 2 19. ขอ้ 3 20. 3 4 21. 1) x2 + y2 _ 4x _ 6y + 8 = 0 2) x2 + y2 + 4x _ 4y + 3 22. (x + 2)2 + (y _ 4)2 = 16 หรอื x2 + y2 + 4x _ 8y + 4 = 0 =0 23. (1, 1) กบั (5, 5) _ 26 24. ขอ้ 4 25. 21 26. x211+ y2 _ 27. 3x + 4y = 0 28. x + y _ 4 = 0 29. x + 4y + 19 = 0 30. _8 =0 32. x _ y + 2 = 0 33. ขอ้ 2 + 2x 4y 31. ขอ้ 1 34. x2 + y2 _ 8x _ 8y + 12 = 0 SERIES 4 1. 1) จุดยอด (0, 0) , จุดโฟกัส (0, 3) , เส้นไดเรกตริกซ์ คือ y = _3 , L.R. = 12 , แกนสมมาตรคือ แกน Y _2) 2) จุดยอด (0, 0) , จุดโฟกัส (0, 0) , , เส้นไดเรกตริกซ์ คือ y = _42 , L.R. = 8 , แกนสมมาตรคือ แกน Y 3) จุดยอด (0, 0) , จุดโฟกัส (4, เส้นไดเรกตริกซ์ คือ x = , L.R. = 16 , แกนสมมาตรคือ แกน X 4) จุดยอด (0, 0) , จุดโฟกัส ( − 1 , 0) , เส้นไดเรกตริกซ์ คือ x = 1 , L.R. = 1 , แกนสมมาตรคือ แกน X 44 5) จุดยอด ((_13, ,35)) , จจุดุดโโฟฟกกัสัส(1(,_53), , เส้นไดเรกตริกซ์ คือ y = 1, L.R. =8 , แกนสมมาตรคือ x = 1 x = _3 6) จุดยอด , 0) , เส้นไดเรกตริกซ์ คือ y = 10 , L.R. = 20 , แกนสมมาตรคือ 7) จุดยอด (6, 7) , จุดโฟกัส (9, 7) , เส้นไดเรกตริกซ์ คือ x = 3 , L.R. = 12 , แกนสมมาตรคือ y = 7 8) จุดยอด (5, 7) , จุดโฟกัสอยู่ที่ (2, 7) , เส้นไดเรกตริกซ์ คือ x = 8 , L.R. = 12 , แกนสมมาตรคือ y = 7 9) จุดยอด (4, 2) , จุดโฟกัสอยู่ที่ (4, 5 ) , เส้นไดเรกตริกซ์ คือ y = 3 , L.R. = 2 , แกนสมมาตรคือ x = 4 22 2. 1) y2 = 16x 2) x2 = _12y 3) x2 = 20y 4) (y _ 2)2 = 24(x _ 1) 5) (y _ 2)2 = _16(x + 1) www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -70- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 6) (x _ 4)2 = 8(y _ 4) 7) (x _ 4)2 = _6(y + 2) 3. x2 = 8y 4. y2 _ 4y + 8x _ 12 = 0 5. ขอ้ 2 6. ขอ้ 2 7. 42.5 8. ขอ้ 1 9. ขอ้ 4 10. ขอ้ 2 11. ขอ้ 1 12. ขอ้ 3 13. ขอ้ 3 14. x2 _ 4x + 4y = 0 15. ขอ้ 1 16. x2 + y2 + 2xy _ 6x + 2y + 9 = 0 SERIES 5 1. 1) เปน็ วงรที ม่ี แี กนเอกอยบู่ นแกน X , จดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0) , จดุ ยอด (10, 0) และ (-10, 0) , จดุ โฟกสั (8, 0) และ (-8, 0) , จดุ ปลายแกนโท (0, 6) และ (0, -6) , แกนเอกยาว 20 หนว่ ย , แกนโทยาว 12 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 36 5 2) เปน็ วงรที ม่ี แี กนเอกอยบู่ นแกน Y , จดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0) , จดุ ยอด (0, 5) และ (0, -5) , จดุ โฟกสั (0, 4) และ (0, -4) , จดุ ปลายแกนโท (3, 0) และ (-3, 0) , แกนเอกยาว 10 หนว่ ย , แกนโทยาว 6 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 18 5 3) เปน็ วงรที ม่ี แี กนเอกขนานแกน X , จดุ ศนู ยก์ ลาง (1, 2) , จดุ ยอด (6, 2) และ (-4, 2) , จดุ โฟกสั (4, 2) และ (-2, 2) , จดุ ปลายแกนโท (1, 6) และ (1, -2) , แกนเอกยาว 10 หนว่ ย , แกนโทยาว 8 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 32 5 4) เปน็ วงรที ม่ี แี กนเอกขนานแกน Y , จดุ ศนู ยก์ ลาง (7, -3) , จดุ ยอด (7, 7) และ (7, -13) , จดุ โฟกสั (7, 5) และ (7, -11) , จดุ ปลายแกนโท (1, -3) และ (13, -3) , แกนเอกยาว 20 หนว่ ย , แกนโทยาว 12 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 36 5 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -71- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 5) เปน็ วงรที ม่ี แี กนเอกขนานแกน Y , จดุ ศนู ยก์ ลาง (2, -3) , จดุ ยอด (2, 2) และ (2, -8) , จดุ โฟกสั (2, 0) และ (2, -6) , จดุ ปลายแกนโท (-2, -3) และ (6, -3) , แกนเอกยาว 10 หนว่ ย , แกนโทยาว 8 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 32 5 6) เปน็ วงรที ม่ี แี กนเอกขนานแกน X , จดุ ศนู ยก์ ลาง (1, 2) , จดุ ยอด (7, 2) และ (-5, 2) , จดุ โฟกสั (5, 2) และ (-3, 2) , จดุ ปลายแกนโท (1, 2 + 2 5 ) และ (1, 2 − 2 5 ) , แกนเอกยาว 12 หนว่ ย , แกนโทยาว 4 5 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 20 3 2. 1) x2 + y2 = 1 2) x2 + y2 = 1 25 9 4 3) x2 + y2 = 1 4) x2 + y2 = 1 25 9 25 5 5) x2 + y2 = 1 4 6) (x + 6)2 (y − 7)2 =1 + 21 25 7) (x + 5)2 (y − 2)2 =1 + 1 16 8) (x − 2)2 (y − 5)2 =1 + 16 25 9) (x −1)2 (y − 2)2 =1 + 45 20 3. ขอ้ 2 4. ขอ้ 1 5. ขอ้ 3 6. ขอ้ 2 7. ขอ้ 4 8. ขอ้ 2 9. ขอ้ 4 10. ขอ้ 1 11. 11434 12. y1 13. 8x2 + 9y2 _ 16x _ 64 = 0 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -72- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย SERIES 6 1. 1) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนตามขวางอยบู่ นแกน X , จดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0) , จดุ ยอด (3, 0) และ (-3, 0) , จดุ โฟกสั (5, 0) และ (-5, 0) , จดุ ปลายแกนสงั ยคุ (0, 4) และ (0, -4) , แกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ ยาว 8 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 32 , สมการเสน้ กำกบั คอื y = ± 4 x 33 2) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนตามขวางอยบู่ นแกน Y , จดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0) , จดุ ยอด (0, 5) และ (0, -5) , จดุ โฟกสั (0, 29 ) และ (0, − 29 ) , จดุ ปลายแกนสงั ยคุ (2, 0) และ (-2, 0) , แกนตามขวางยาว 10 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ ยาว 4 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 8 , สมการเสน้ กำกบั คอื y = ± 5 x 52 3) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนตามขวางขนานแกน X , จดุ ศนู ยก์ ลาง (4, 3) , จดุ ยอด (10, 3) และ (-2, 3) , จดุ โฟกสั (14, 3) และ (-6, 3) , จดุ ปลายแกนสงั ยคุ (4, 11) และ (4, -5) , แกนตามขวางยาว 12 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ ยาว 16 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 64 , 3 สมการเสน้ กำกบั คอื y − 3 = ± 4 (x − 4) 3 4) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนตามขวางขนานแกน Y , จดุ ศนู ยก์ ลาง (4, 7) , จดุ ยอด (4, 10) และ (4, 4) , จดุ โฟกสั (4, 12) และ (4, 2) , จดุ ปลายแกนสงั ยคุ (0, 7) และ (8, 7) , แกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ ยาว 8 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 32 , สมการเสน้ กำกบั คอื y − 7 = ± 3 (x − 4) 34 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -73- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) 5) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนตามขวางขนานแกน X , จดุ ศนู ยก์ ลาง (3, 2) , จดุ ยอด (7, 2) และ (-1, 2) , จดุ โฟกสั (8, 2) และ (-2, 2) , จดุ ปลายแกนสงั ยคุ (3, 5) และ (3, -1) , แกนตามขวางยาว 8 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ ยาว 6 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 9 , 2 สมการเสน้ กำกบั คอื y − 2 = ± 3 (x − 3) 4 6) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลาทม่ี แี กนตามขวางขนานแกน Y , จดุ ศนู ยก์ ลาง (2, 1) , จดุ ยอด (2, 1 + 5 ) และ (2, 1 - 5 ) , จดุ โฟกสั (2, 7 ) และ (2, − 1 ) , 22 จดุ ปลายแกนสงั ยคุ ⎛ 5 , ⎞ และ ⎛ + 5 , ⎞ , ⎝⎜⎜ 2 − 2 1⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝ 2 2 1⎟⎠⎟ แกนตามขวางยาว 2 5 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ ยาว 5 หนว่ ย , ความยาวเลตสั เรกตมั = 5 , สมการเสน้ กำกบั คอื y −1 = ±2(x − 2) 2 2. 1) y2 − x2 = 1 2) x2 − y2 = 1 4 32 9 16 3) y2 − x2 = 1 4) x2 − y2 = 1 36 20 8 5) x2 − y2 = 1 6) 5y2 − 5x2 = 1 4 100 64 256 7) (x −1)2 − ( y − 4)2 = 1 9 16 8) ( y + 1)2 − (x − 2)2 = 1 9 16 9) x2 − ( y −1)2 = 1 4 21 10) ( y − 3)2 − (x −1)2 = 1 16 9 www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -74- เรขาคณติ วเิ คราะห์ & ภาคตดั กรวย 3. ขอ้ 1 4. ขอ้ 4 5. ขอ้ 2 6. h + k 7. ขอ้ 2 8. ขอ้ 1 9. 1) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก , จดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0) , จดุ ยอด (2, 2) และ (-2, -2) , จดุ โฟกสั (2 2, 2 2 ) และ (−2 2, −2 2 ) , แกนตามขวางอยบู่ นเสน้ ตรง y = x ยาวเทา่ กบั 4 2 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ อยบู่ นเสน้ ตรง y = - x ยาวเทา่ กบั 4 2 หนว่ ย 2) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก , จดุ ศนู ยก์ ลาง (0, 0) , จดุ ยอด (−2 2, 2 2 ) และ (2 2, −2 2 ) , จดุ โฟกสั (-4, 4) และ (4, -4) , แกนตามขวางอยบู่ นเสน้ ตรง y = - x ยาวเทา่ กบั 8 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ อยบู่ นเสน้ ตรง y = x ยาวเทา่ กบั 8 หนว่ ย 3) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก , จดุ ศนู ยก์ ลาง (-3, 4) , ( ) ( )จดุ ยอด −3 + 6, 4 + 6 และ −3 − 6, 4 − 6 , ( ) ( )จดุ โฟกสั −3 + 2 3, 4 + 2 3 และ −3 − 2 3, 4 − 2 3 , แกนตามขวางอยบู่ นเสน้ ตรง x - y + 7 = 0 ยาวเทา่ กบั 4 3 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ อยบู่ นเสน้ ตรง x + y - 1 = 0 ยาวเทา่ กบั 4 3 หนว่ ย 4) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก , จดุ ศนู ยก์ ลาง (2, 0) , จดุ ยอด (3, 1) และ (1, -1) , จดุ โฟกสั (2 + 2, 2 ) และ (2 − 2,− 2 ) , แกนตามขวางอยบู่ นเสน้ ตรง x - y - 2 = 0 ยาวเทา่ กบั 2 2 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ อยบู่ นเสน้ ตรง x + y - 2 = 0 ยาวเทา่ กบั 2 2 หนว่ ย 5) เปน็ กราฟเสน้ ตรง 2 เสน้ ตง้ั ฉากกนั ไดแ้ ก่ เสน้ ตรง x = 1 กบั y = -2 6) เปน็ ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก , จดุ ศนู ยก์ ลาง (-2, 3) , ( ) ( )จดุ ยอด (2, 7) และ (-6, -1) , จดุ โฟกสั −2 + 4 2,3 + 4 2 และ −2 − 4 2,3 − 4 2 , แกนตามขวางอยบู่ นเสน้ ตรง x - y + 5 = 0 ยาวเทา่ กบั 8 2 หนว่ ย , แกนสงั ยคุ อยบู่ นเสน้ ตรง x + y - 1 = 0 ยาวเทา่ กบั 8 2 หนว่ ย www. tutoronline.co.th
M a t h s ม.4 -75- อ.พลอนนั ต์ แสงประสทิ ธ(์ิ อ.เหนง่ ) SERIES 7 2) ไมม่ กี ราฟ 4) ไมม่ กี ราฟ 1. 1) พาราโบลาตะแคงซา้ ย 6) จดุ (1, 3) จดุ เดยี ว 3) เสน้ ตรง 2 เสน้ ตง้ั ฉากกนั 8) เสน้ ตรง 2 เสน้ ตง้ั ฉากกนั 5) เสน้ ตรง 2 เสน้ ตดั กนั 7) เสน้ ตรง 2 เสน้ ขนานกนั 2) วงกลม 4) วงรี 2. 1) วงรี 3) ไฮเพอรโ์ บลา 5) ไฮเพอรโ์ บลา www. tutoronline.co.th
Search
