นายสรวิชญ์ ติวะนันทกร

E-Book ความสัมพันธ์ และ ฟังก์ชัน (Relations & Functions)

จัดทำโดย นายสรวิชญ์ ติวะนันทกร ม.4/2 เลขที่ 7 เสนอ คุณครู ไพรัช วงศ์ศรีตระกูล

คำนำ หนังสือ E-Book เล่มนี้จัดทำขึ้น เพื่อเป็นสื่อ ประกอบการเรียนการ สอนในรายวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์เเละฟังก์ชัน ในระดับ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ของโรงเรียน บางปะกอกวิทยาคม ทั้งนี้ผู้จัดทำขอขอบพระคุณ คุณครู ไพรัช วงศ์ศรีตระกูล ที่เอื้อเฟื้ อ เนื้อหาเอกสารประกอบการเรียนใน การจัดทำ E-Book นายสรวิชญ์ ติวะนันทกร

สารบัญ

บทนิยาม การเท่ากันของคู่อันดับ (a,b) = (c,d) ก็ต่อเมื่อa = c และ b = d ตัวอย่างที่ 1(x , y) = (4 , 5) x=4,y=5 ตัวอย่างที่ 2(x - 2, 4) = (6, y + 4) x-2=6 , y+4=4 x=8 , y=0 ตัวอย่างที่ 3(2x - 2, y) = (y, 6) 2x - 2 = y , y = 6 2x - 2 = 6 2x = 8 x=4

บทนิยาม ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ที เชียนของเซต A และ B คือ เซตของคู่ อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็น สมาชิก ของเซต A และ b เป็นสมาชิก ของเซต B ผลคูณคาร์ทีเชียนของ เซต A และ B เขียนแทนด้วย ∈ ∈A x B = {(a , b)|a A และ b B } ตัวอย่างที่ 1 A = {1 , 2} และ B = {0 , 8} A x B = {(1,0),(1,8),(2,0),(2,8)} B x A = {(0,1),(0,2),(8,1),(8,2)} A x A = {(1,2),(1,1),(2,1),(2,2)}

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {3,4} , B = {1,5} และ C ={2,6} 1)A x(B U C) = {3,4} x {1,2,5,6} = {(3,1),(3,2),(3,5), (3,6),(4,1), (4,2),(4,5),(4,6)} ∩ ∅2)(A B)x C = x {2,6} ∅= 3)n(A x B) = n(A) x n(B) =2x2 =4 4)n(A x(B U C) = n(A) x n(B U C) =2x4=8

บทนิยาม ⊂1.r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r A x B   2.r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A ⊂หรือเรียกว่า ความสัมพันธ์ใน A ก็ต่อเมื่อ r A x A ตัวอย่างที่ 1 กำหนด A = {1,2,3} และ B = {4,5,6} 1) r = {(1,4),(2,5),(3,6)} 1 r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B 1 2) r = {(1,1),(2,2),(3,3)} 2 r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A 2 3) r3 = {(4,1),(5,2),(6,3)} r3 เป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

บทนิยาม ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก เซต A ไปเซต B - โดเมน (Domain) ของ r คือ เซตที่มี สมาชิก เป็นสมาชิกตัวหน้า ของทุก ∈คู่อันดับใน r สัญลักษณ์ คือ Dr ดังนั้น Dr = {x|(x,y) r} - เรนจ์ (Range) ของ r คือ เซตที่มี สมาชิก เป็น สมาชิกตัวหลัง ของทุก ∈คู่อันดับใน r สัญลักษณ์ คือ Rr ดังนั้น Rr = {y| (x,y) r}

ตัวอย่างที่ 1 r = (1,5),(2,6),(3,7) Dr = {1,2,3}  Rr = {5,6,7} ตัวอย่างที่ 2 ∈ ≤r = {(x,y) N x N|y = 3x-1,x 3} r = {(1,2),(2,5),(3,8)} Dr = {1,2,3} Rr = {2,5,8} หลักการหาโดเมนและเรนจ์ (เมื่อเป็น ความสัมพันธ์ใน R และเป็นเซตแบบ บอกเงื่ อนไข) 1) หาโดเมน จัดเงื่อนไขให้อยู่ในรูป y = เทอม x Dr = เซตของ x ที่ทำให้ y หาค่าได้ 2) หาเรนจ์ จัดเงื่อนไขให้อยู่ในรูป x = เทอม y Rr = เซตของ y ที่ทำให้ x หาค่าได้

รูปแบบที่ 1 ความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไข ∈อยู่ในรูปสมการเชิงเส้น ถ้า r = {(x,y) R x R|y = ax + b, a ≠ 0} แล้ว D = R และ R =R r r ∈ตัวอย่าง r = {(x,y) R x R|y = 5x + 3} Dr = R Rr= R รูปแบบที่ 2 ความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไข อยู่ในรูปเศษส่วน ∈ถ้า r = (x,y) R x R|y = ax + b { cx + d { ∈ {Dr = x {{ {{ { R|x ≠ - d = R - - d cc { ∈R = x {r R|y ≠ a =R- a c c

{ ∈ตัวอย่าง r = (x,y) R x R|y = 2x + 1 3x + 2 {{ {{ { a=2,b=1,c=3,d=2 { {Dr = R - -d Rr = R - ac c -2{ {Dr = R - 2 Rr = R - 3 3 รูปแบบที่ 3 ความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไข อยู่ในรูปกรณฑ์อันดับคู่ หลักการ ให้ x เป็นจำนวนจริง และ n √เป็นจำนวนคู่บวก แล้ว n x จะหาค่าได้ ≥เมื่อ x  0

ตัวอย่าง ∈ √r = {(x,y) R x R|y = x - 9 } หา Dr จัด y = เทอม x √จาก y = x - 9 พิจารณาค่า x ที่ทำให้หาค่าของ y ได้ ≥พบว่า x - 9 0 ≥x 9 ∴ ≥ ∞Dr = {x| x 9} , [9, ) √หา Rr จัด x = เทอม y จาก x - 9 = y x - 9 = y2 x = y2 + 9 พิจารณาค่า y ที่ทำให้หาค่าของ x ได้ ≥พบว่า y = R และ y 0 ∴ ≥ ∞Rr = {y|y 0} , [0, )

รูปแบบที่ 4 ความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไข อยู่ในรูปกําลังคู่ หลักการ ให้ x เป็นจํานวนจริง และ ≥n เป็นจํานวนคู่บวก แล้ว x2 0 ∈ตัวอย่าง r = {(x,y) R x R|x2= 2y - 4} หา D จัด y = เทอม x จาก x2 = 2y - 4 2y = x2 - 4 y = x2 - 4 2 ∈พบว่า x R หาค่า y ได้เสมอ ∴ Dr = R

หา Rr จัด x = เทอม y จาก x2= 2y - 4 √x = 2y - 4 ≥พบว่า 2y - 4 0 ≥2y 4 ≥y 2 ∴ ∞Rr = [2, ) รูปแบบที่ 5 ความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไข อยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์หลักการ ให้ a  0 ≥แล้ว 1) |x| 0 ≤ ≤ ≤2)|x| a  เมื่อ -a x a ≤ ≤3)|x| a  เมื่อ x -a หรือ ≥x a

∈ตัวอย่าง r = {(x,y) R x R|y =|x - 3|} หา Dr จัด y = เทอม x จาก y =|x - 3| พิจารณาค่าของ x ที่ทำให้ y หาค่าได้ ∈พบว่า x R สามารถหาค่า y ได้เสมอ ∴ Dr = R {หา Rr จัด x = เทอม y x - 3 เมื่อ x≥ 0 จาก y =|x - 3| -(x - 3) เมื่อ x < 0 นำ 2 เงื่อนไขมาพิจารณา R ได้ไม่สะดวก ≥จึงพิจารณาสมบัติค่าสมบูรณ์ |x| 0 ≥|x - 3| 0 ≥ ≥y 0 และ y 0 ∴ ∞Rr= [0, )

การหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟ - โดเมน ให้พิจารณาค่าของ x ทั้งหมดบนแกน X ที่ใช้ในการเขียน กราฟ (x จากซ้ายไปขวา) - เรนจ์ ให้พิจารณาค่าของ y ทั้งหมดบนแกน Y ที่ใช้ในการเขียน กราฟ (y จากล่างขึ้นบน) ตัวอย่างที่ 1 Dr = [-2,3] Rr = [1,5]

ตัวอย่างที่ 2 ∞ ∞Dr = [- , ] ∞Rr = [0, ] ตัวอย่างที่ 3 Dr = [-5,5] Rr = [-5,5] ตัวอย่างที่ 4 Dr = [-4,2] Rr = [0,6]

บทนิยาม ให้ R เป็นเซตของจํานวน จริง r เป็นสับเซตของ R x R กราฟ ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุด ในระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทสมาชิก ของความสัมพันธ์ r 1. ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นจุดใน ∈ระนาบ เช่น r = {(x,y) I x I|y = x2} 2. ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นเส้น ∈ตรงหรือเส้นโค้ง เช่น r = {(x,y) R x R|y = x2} 3. ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นพื้นที่ บางส่วนของระนาบ ∈ ≤r = P{(x,y) R x R|1 x<4}

∈ตัวอย่าง r = {(x,y) R x R|x + 2y = 4} 4 3 (4,2) 2 (2,1) 1 1 2 34 ลองเเทน x = 2 จะได้ 2 + 2y = 4 y=1 จะได้คู่อันดับ (2,1) ลองเเทน x = 4 จะได้ 4 + 2y = 4 y=2 จะได้คู่อันดับ (4,2)

บทนิยาม ตัวผกผัน (อินเวอร์ส) ของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) คือ ความสัมพันธ์ซึ่ง เกิด จากการสลับที่ของสมาชิกตัว หน้าและตัวหลังในแต่ละคู่อันดับ และเขียนแทนตัวผกผันของ ∈ความสัมพันธ์ r ด้วย r-1 นั่นคือ r-1 = {(y,x)|(x,y) r} ตัวอย่างที่ 1 r = {(1,-3),(2,-5),(3,-7),(4,-9)} r =-1 {(-3,1),(-5,2),(-7,3),(-9,4)}

ตัวอย่างที่ 2 r = {(x,y)|y = 2x - 1} r-1 = {(x,y)|x = 2y - 1} = {(x,y)|2y = x - 1} r-1 = {(x,y)|y = x - 1} 2 ตัวอย่างที่ 3 √r = {(x,y)|y = x + 4} √r-1 = {(x,y)|x = y + 4} = {(x,y)|x2= y + 4} r-1 = {(x,y)|y = 4 - x2}

ตัวอย่างที่ 4 r = (1,2),(2,3),(3,4),(4,5) 5 (5,4) 4 (4,3) 3 (3,2) 2 1 (2,1) 1 2 345 r-1 = (2,1),(3,2),(4,3),(5,4) r-1 ตัวอย่างที่ 5 ใช้เส้นสะท้อน เป็น y = x

โดเมนและเรนจ์ของอินเวอรส์ ความสัมพันธ์ Dr-1 = R และ Rr-1 = D ตัวอย่างที่ 1 r = {(2,5),(4,10),(6,15),(8,20)} r-1 = {(5,2),(10,4),(15,6),(20,8)} ∴ Dr = {5,10,15,20} ∴ Rr = {2,4,6,8} ตัวอย่างที่ 2 √r = {(x,y)|y = x - 3} √หา Dr จาก y = x - 3 ≥พบว่า x - 3 0 ≥x 3 ∴ ∞Dr = [3, ) Dr = Rr-1

√หา Rr จาก y = x - 3 √x - 3 = y x - 3 = y2 x = y2 - 3 ≥พบว่า y = R และ y 0 ∴ ∞Rr = [0, ) Rr = Dr-1

บทนิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ ∈r ใดๆ โดยที่ถ้า (x,y) r และ ∈(x,z) r แล้ว y = z กล่าวคือ ถ้ามี สมาชิกตัวหน้า ของคู่อันดับเหมือน กันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่าง กัน ตัวอย่างที่ 1 f = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)} f เป็นฟังก์ชัน เพราะมีสมาชิกตัวหน้า ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างที่ 2 f = {(ก,1),(ข,2),(ค,3),(ข,4)} f ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะมีการใช้ สมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน

ตัวอย่างที่ 3 เป็นฟังก์ชัน เพราะ มีการใช้สมาชิก ตัวหน้าเเค่ครั้งเดียว ตัวอย่างที่ 4 ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ เมื่อมีการใช้ x ซ้ำ เมื่อขีดเส้นตรงขนานเเกน y ลงมา เส้นนั้นมีการทับกับกราฟ

ตัวอย่าง กําหนดให้ f(x) = x - 4x + 3 จงหาค่าต่อไปนี้ 2 1) f(0) = 0 - 4(0) + 3 = 3 2 2) f(2) = 2 - 4(2) + 3 = -1 2 3) f(-1) = -1 - 4(-1) + 3 = 8 2 4) f(-1) = -1 - 4(-1) + 3 = 3 22 2 2

ตัวอย่างที่ 1 f = {(1,4),(3,2),(5,0),(7,-2),(9,-4)} Dr = {1,3,5,7,9} Rr = {4,2,0,-2,-4} ตัวอย่างที่ 2 ∈ √f = {(x,y) R x R|y = x + 2 } √หา Dr y = x + 2 ≥x + 2 0 ≥x -2 ∴ ∞D = [-2, ) √หา Rr x + 2 = y x + 2 = y2 x = y2- 2 ∈ ≥y R แต่ y2 0 ∴ ∞R = [0, )

ฟังก์ชันแบ่งได้เป็น 2 ชนิด คือ 1) ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic Function) คือ ฟังก์ชันที่มีนิพจน์ ประกอบด้วยค่าคงที่ ตัวแปร และ เครื่องหมายบวก ลบ คูณ หาร ยกก าลัง หรือถอดกรณฑ์ เช่น ฟังก์ชันคงที่ ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ ฟังก์ชันขั้นบันได ฟังก์ชัน กําลังสอง

2) ฟังก์ชัน อดิศัย (Transcendental Function) คือ ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชัน พีชคณิต เช่น ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชัน ลอการิทึม และฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันคงที่ (Constant Function) หรือฟังก์ชันคงตัว คือ ฟังก์ชันที่อยู่ ในรูป f(x) = b เมื่อเขียนกราฟจะได้ กราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x เช่น f(x) = 4

ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Function) ∈คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a,b R และ a≠ 0 เมื่อเขียน กราฟจะได้กราฟเป็นเส้นตรง เช่น f(x) = 4x + 6 ตัวอย่างที่ 1 จงหาว่าจุดที่กำหนดให้ต่อไปนี้อยู่บน กราฟของฟังก์ชันที่กําหนดให้หรือไม่ 1) จุด (2,7) เมื่อ f(x) = 2x + 3 แทน x = 2 ; 7 = 2(2) + 3 ∴ 7 = 7 (เป็นจริง) (2,7) อยู่บนกราฟ ∴2) จุด (-4,3) เมื่อ f(x) = -3 (4,-3) อยู่บนกราฟ -3 y = -3

ตัวอย่างที่ 2 2. จงเขียนฟังก์ชันแสดงรายจ่าย f(x) เทียบกับรายรับ x ซึ่งเป็น ฟังก์ชันเชิงเส้น เมื่อกําหนดรายรับ และ รายจ่ายดังนี้ (x) f(x) จากฟังก์ชันที่ได้จงคํานวณรายจ่าย เมื่อ รายรับเป็น 10,000 บาท จากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จะได้ f(x)=ax+b หา a+b เป็นข้อมูลในตาราง ดังนั้น 2500 = a(3000)+b 1 3000 = a(4000)+b 2 2-1 ; 3000-2500 = a(4000)+b-(a(3000)+b 500 = a(1000) | a = 1 2