วิธีเรียงสับเปลี่ยน ม.5 เพิ่มเติม

แบบฝกึ ทกั ษะ รายวชิ าคณติ ศาสตร์ (ค31102) ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ภาคเรยี นที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2565 เร่ือง การเรียงสับเปล่ยี นเชิงเสน้ ชอื่ -สกุล........................................................................ ชัน้ ม.5 ห้อง............................... เลขท.ี่ ....................... ครูพชร กมล โรงเรยี นภกั ดชี ุมพลวิทยา เอกสารประกอบการเรียน รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ (ค32201) ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 ภาคเรยี นท่ี 1 ปกี ารศึกษา 2565

วชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 3 รหสั วิชา ค32201 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศึกษา 2565 วธิ เี รยี งสบั เปล่ยี นของสิ่งของที่แตกตา่ งกันทงั้ หมด จำนวนวธิ ีเรยี งสับเปล่ียนของ n สิ่งทแ่ี ตกต่างกนั ท้ังหมด โดยจัดเรยี ง ครั้งละ r สง่ิ เม่อื 1rn คอื pn,r = n! (n − r)! ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาค่าตอ่ ไปน้ี 1. P5,1 2. P5,2 3. P5,3 4. P5,4 5. P5,5 6. P8,5 7. P10,9 8. P10,10 ****** ****** หนา้ 1 คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภักดีชมุ พลวิทยา สพม.ชัยภูมิ

วิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ 3 รหสั วชิ า ค32201 ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศึกษา 2565 วิธเี รียงสับเปลีย่ นของส่งิ ของท่แี ตกต่างกันทั้งหมด จำนวนวิธเี รยี งสบั เปลี่ยนของ n ส่งิ ท่แี ตกต่างกนั ท้ังหมด โดยจัดเรียง คร้งั ละ r ส่งิ เมอ่ื 1rn คอื pn,r = n! (n − r)! ตวั อยา่ งท่ี 2 มีหนงั สือท่ีแตกตา่ งกนั 6 เล่ม ต้องการนำหนังสือมา 4 เลม่ เพอ่ื จดั เรียงเป็นแถวบนช้ันจะจดั ได้ก่วี ิธี วิธที ำ จากสูตร pn,r = (n n! จะไดว้ ่า − r) ! n = 6 และ r = 4 นน่ั คอื p6,4 = 6! − 4)! (6 = 6! 2! 6 5 4 3 2 =  2  = 6543 = 360 = ดงั น้ัน จัดเรียงหนงั สอื 4 เลม่ ได้ 360 วธิ ี ตวั อยา่ งท่ี 3 เขยี นรายช่ือพนกั งาน 15 คน ลงในสลากรายชือ่ ละ 1 ใบ ใสล่ งในภาชนะ แลว้ สุ่มหยิบขึน้ มาทลี ะหน่งึ ใบ สองครั้ง เพอื่ แจกรางวัลทหี่ นึ่งและรางวลั ทีส่ องตามลำดบั จงหาจำนวนวิธีทอ่ี าจเกดิ ขนึ้ ทง้ั หมด วิธที ำ มีสลาก 15 ใบ หยบิ ครัง้ ละ 1 ใบ จำนวน 2 ครัง้ (จัดเรยี ง 2 สง่ิ ) จากสูตร pn,r = (n n! จะได้วา่ − r) ! n = 15 และ r = 2 นนั่ คอื p15,2 = 15! (15 − 2) ! = 15! 13 ! 15 14  13 ! = 13 ! = 1514 = 210 วธิ ี คณุ ครูพชร กมล โรงเรียนภกั ดชี มุ พลวิทยา สพม.ชัยภูมิ หนา้ 2

วชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 3 รหสั วิชา ค32201 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2565 ตวั อยา่ งท่ี 4 มีคน 6 คน ซึ่งมีแกว้ และกลา้ รวมอยู่ด้วย ถา้ ต้องการใหย้ นื เรยี งแถวกนั หน้ากระดาน จะจดั ได้ทัง้ หมดกวี่ ธิ ี ตามเงอื่ นไขท่ีกำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้ 1. แตล่ ะคนยืนเรียงตำแหนง่ ใดก็ได้ 2. แกว้ และกลา้ ยืนตดิ กนั เสมอ 3. แกว้ และกลา้ ต้องไม่ยืนติดกนั คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภักดีชุมพลวิทยา สพม.ชัยภูมิ หนา้ 3

วิชาคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ 3 รหัสวิชา ค32201 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2565 แบบฝกึ หัด วิธเี รียงสับเปลย่ี นของสิ่งของทแ่ี ตกตา่ งกันท้งั หมด จำนวนวิธีเรยี งสับเปลย่ี นของ n สงิ่ ท่แี ตกต่างกันทั้งหมด โดยจดั เรียง คร้งั ละ r สิง่ เม่ือ 1rn คอื pn,r = n! (n − r)! 1. จงหาค่าต่อไปนี้ 1. P4,2 2. P4,4 3. P7,5 4. P8,6 5. จงหาคา่ P5,5  P8,8 6.จงหาคา่ P5,0  P8,0 P6,6 P6,0 7. กำหนดให้ pn,r = 72 จงหาคา่ ของ n 8. กำหนดให้ p9,r = 504 จงหาค่าของ r คณุ ครูพชร กมล โรงเรียนภกั ดีชุมพลวิทยา สพม.ชัยภูมิ หน้า 4

วชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 3 รหัสวชิ า ค32201 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ภาคเรียนท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2565 แบบฝกึ หัด วธิ เี รียงสับเปลย่ี นของสิง่ ของที่แตกต่างกนั ทง้ั หมด จำนวนวิธเี รยี งสับเปลยี่ นของ n สิง่ ทีแ่ ตกต่างกนั ท้ังหมด โดยจดั เรียง ครง้ั ละ r ส่งิ เม่ือ 1rn คอื pn,r = n! (n − r)! 2. เรยี งสับเปลย่ี นตัวอกั ษรในคำวา่ “SONGWIT” คร้ังละ 4 ตัว ไดท้ ัง้ หมดกว่ี ิธี คำที่ได้อาจไมม่ ีความหมาย วธิ ีทำ เรียงสบั เปล่ยี นตวั อกั ษร ตัวตา่ งกัน ครง้ั ละ ตัว มีวธิ ีเรียงสบั เปลีย่ นได้ 3. ตอ้ งการสรา้ งจำนวนที่มหี า้ หลกั จากเลขโดดในเซต {2, 4, 5, 8, 9} ดง้ั หมดกจี่ ำนวน วิธีทำ เรียงสบั เปลี่ยนเลขโดด ตวั ตา่ งกนั ครงั้ ละ ตวั มวี ิธเี รียงสบั เปลยี่ นได้ ดงั นัน้ สร้างจำนวนทีม่ ีห้าหลกั จากเลขโดด 2, 4, 5, 8, 9 ได้ จำนวน 4. นักว่งิ 6 คนวิง่ เขา้ เสน้ ชัยโดยทีไ่ ม่มีใครเข้าเสน้ ชัยพร้อมกัน จะมีวิธีเขา้ เสน้ ชัยได้กวี่ ธิ ี วธิ ที ำ นกั ว่งิ 6 คน วิ่งเขา้ เสน้ ชยั ไม่พร้อมกนั แสดงว่ามีผเู้ ขา้ เสน้ ชัย 6 อันดับ เรยี งสับเปล่ียนได้นกั วงิ่ 6 คน เข้าเส้นชยั 6 อนั ดับได้ วิธี 5. ต้องการปลกู มะพร้าว 3 ต้น และต้นตาล 4 ต้น เปน็ แถวตรง จะมวี ิธีปลูกต้นไมท้ ้งั หมดได้กี่วิธี วธิ ีทำ มีต้นไม้ทั้งหมด 3 + 4 = ตน้ ถือว่าแตกต่างกันทงั้ หมด เรียงสบั เปลี่ยนตน้ ไม้ ตน้ ครงั้ ละ ต้น มวี ิธเี รียงสับเปลยี่ นได้ วธิ ี ดงั นนั้ จำนวนวธิ ปี ลกู ตน้ มะพร้าว 3 ตน้ และตน้ ตาล 4 ต้น เปน็ แถวตรงได้ วธิ ี คณุ ครูพชร กมล โรงเรยี นภักดชี มุ พลวิทยา สพม.ชัยภมู ิ หน้า 5

วิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ 3 รหัสวิชา ค32201 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศึกษา 2565 แบบฝึกหดั วธิ ีเรยี งสับเปล่ยี นของสิง่ ของที่แตกตา่ งกันท้งั หมด จำนวนวธิ ีเรียงสบั เปลี่ยนของ n ส่งิ ทแี่ ตกต่างกันท้ังหมด โดยจดั เรียง ครง้ั ละ r สง่ิ เมือ่ 1rn คือ pn,r = n! (n − r)! 6. จัดชาย 4 คน หญงิ 4 คน ยืนเปน็ แถวสลบั ชาย 2 คน หญิง 2 คน เปน็ แถวตรง ไดท้ ั้งหมดกี่วิธี วิธที ำ ช ช ญ ญ ช ช ญ ญ จดั ได้ 4 คน ยนื เรยี งแถวได้ วิธี ญ ญ ช ช ญ ญ ช ช จดั ได้ 4 คน ยนื เรียงแถวได้ วิธี จัดชาย-หญงิ สลับกันอยู่หวั แถวได้ วิธี จดั ชาย 4 คน หญิง 4 คน ยนื เปน็ แถวสลับชาย 2คน หญิง 2 คน ได้ 7. ในท่ที ำการบริษทั แหง่ หนึ่งมตี ำแหนง่ ว่าง 3 ตำแหน่ง มผี ู้สมคั ร 7 คน จงหาวา่ จะมวี ิธจี ัดผูส้ มัครเขา้ ทำงานใน ตำแหนง่ ตา่ งๆ ไดก้ ีว่ ิธี วิธที ำ จดั คน 7 คน คราวละ 3 คน ได้ วธิ ี ดังนั้น บรษิ ทั มวี ิธีจดั ผสู้ มัคร 7 คน เขา้ ทำงาน 3 ตำแหนง่ ได้ วธิ ี 8. ในกล่องใบหน่ึงมลี ูกบอลที่ตา่ งกนั อยู่ 10 ลูก ถา้ แต้มต้องการหยบิ ลกู บอล 3 ลกู โดยหยิบ 3 ครั้ง ครัง้ ละ 1 ลูก แต้มแตม้ จำมจี ำนวนวิธีในการหยิบลูกบอลกว่ี ิธี เมอื่ มีเงื่อนไขตอ่ ไปน้ี 1. หยิบแล้วใสค่ ืน วิธีทำ มีลูกบอล 10 ลูก หยิบครั้งละ 1 ลูก แล้วใสค่ นื จำนวน 3 คร้งั ได้ วิธี 2. หยบิ แล้วไมใ่ สค่ นื วธิ ี วิธที ำ มีลกู บอล 10 ลูก หยิบคร้ังละ 1 ลูก ไม่ใสค่ นื จำนวน 3 คร้ัง จะไดว้ ธิ ีเรียงสบั เปลย่ี น ลกู บอล 10 ลูก จัดคราวละ 3 ลูก ได้ คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภกั ดชี ุมพลวิทยา สพม.ชัยภมู ิ หนา้ 6

วิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม 3 รหสั วชิ า ค32201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2565 แบบฝึกหัด วธิ ีเรียงสับเปลยี่ นของสงิ่ ของทแ่ี ตกต่างกันทั้งหมด จำนวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ยี นของ n ส่งิ ทแี่ ตกต่างกนั ท้ังหมด โดยจัดเรยี ง ครั้งละ r สิ่ง เมือ่ 1rn คือ pn,r = n! (n − r)! 9. ในการเลือกคณะกรรมการชุดหน่งึ ประกอบดว้ ย ประธาน รองประธาน และเหรญั ญกิ โดยให้กรรมการแต่ละ คนดำรงตำแหน่งไดเ้ พยี งตำแหนง่ เดียว ถา้ มีผูส้ มัคร 6 คน 1. จะมีวิธีเลอื กกรรมการดังกล่าวได้กี่วิธี วธิ ที ำ เรยี งสับเปล่ยี นคน 6 คน คราวละ 3 คน ได้ วิธี ดังนนั้ มีวิธีการจัดได้ วธิ ี 2. ถ้ามผี ้สู มัครคนหนึง่ ไมส่ มัครใจเป็นประธาน จะมีวธิ ีเลอื กได้ก่ีวธิ ี วธิ ที ำ เลือกประธาน 1 คน จาก 5 คน ได้ วธิ ี จัดคน 5 คน หลังจากเลอื กประธานแลว้ เปน็ รองประธานและเหรัญญิก มวี ิธจี ดั ได้ p5,2 = ! วธิ ี (...............) ! ดงั นนั้ มวี ิธีจดั ได้ วิธี 10. จัดคน 6 คน ยนื เรียงแถวเพือ่ ถา่ ยรปู โดยจะถา่ ยครง้ั ละกค่ี นกไ็ ด้ จะมวี ิธจี ัดได้ทง้ั หมดกีว่ ิธี วธิ ีทำ จัดให้ยืนครั้งละ 1 คน มีวิธจี ัดได้ p6,1 = != วธิ ี (...............) ! วิธี จดั ให้ยนื ครง้ั ละ 2 คน มีวธิ จี ัดได้ p6,2 = != วิธี วิธี (...............) ! วิธี วิธี จดั ให้ยืนครง้ั ละ 3 คน มวี ิธีจดั ได้ วิธี จดั ใหย้ ืนคร้งั ละ 4 คน มวี ธิ ีจัดได้ จัดให้ยนื คร้งั ละ 5 คน มีวิธจี ัดได้ จัดใหย้ ืนคร้งั ละ 6 คน มีวิธจี ดั ได้ ดังนน้ั มวี ธิ จี ัดได้ท้ังหมด + + คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภกั ดชี ุมพลวิทยา สพม.ชัยภมู ิ หน้า 7

วชิ าคณิตศาสตร์เพิม่ เติม 3 รหัสวิชา ค32201 ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5 ภาคเรยี นท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2565 แบบฝกึ หัด วิธีเรียงสบั เปลีย่ นของสง่ิ ของทแี่ ตกต่างกันทัง้ หมด จำนวนวิธีเรยี งสบั เปล่ยี นของ n สิง่ ที่แตกตา่ งกนั ทั้งหมด โดยจัดเรียง คร้ังละ r สง่ิ เมอื่ 1rn คอื pn,r = n! (n − r)! 11. มนี ักเรียนกลุ่มหน่ึงจำนวน 6 คน ตอ้ งการใหน้ ักเรยี นทง้ั 6 คน น่งั เกา้ อ้ีแถวยาวแถวเดยี ว อย่างนอ้ ย 1 คน จะมวี ิธีการนงั่ ทแี่ ตกตา่ งกี่วธิ ี วธิ ที ำ 12. จงหาจำนวนคำทเ่ี กดิ จากการสลบั ทีข่ องตัวอักษร ของคำว่า HISTORY มีท้ังหมดก่ีคำ เม่อื 1. ไม่มีเงื่อนไข 2. พยัญชนะทุกตัวอยูต่ ดิ กนั 3. ไมม่ สี ระตัวใดอยตู่ ดิ กนั วิธที ำ คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภักดีชมุ พลวิทยา สพม.ชัยภมู ิ หน้า 8

วชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 3 รหสั วิชา ค32201 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 ภาคเรยี นที่ 1 ปีการศึกษา 2565 แบบฝกึ หัด วิธเี รยี งสับเปล่ียนของสงิ่ ของท่ีแตกตา่ งกันทงั้ หมด จำนวนวิธเี รียงสบั เปล่ยี นของ n ส่ิงทแ่ี ตกตา่ งกนั ท้ังหมด โดยจัดเรยี ง ครั้งละ r สงิ่ เมอื่ 1rn คอื pn,r = n! (n − r)! 13. มหี นังสอื แตกตา่ งกนั 7 เลม่ ประกอบดว้ ยคณิตศาสตร์ 3 เลม่ จงหาจำนวนวธิ ใี นการจัดเรยี งหนงั สือแบบแถว ยาวแถวเดยี ว เมอ่ื 1. ไม่มีเงื่อนไข 2. หนงั สอื คณิตศาสตรต์ ้องอยู่ตดิ กนั 3. หนังสือคณิตศาสตรต์ อ้ งแยกกันทัง้ สามเล่ม วิธีทำ คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภักดชี ุมพลวิทยา สพม.ชัยภูมิ หน้า 9

วิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 3 รหสั วชิ า ค32201 ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5 ภาคเรยี นที่ 1 ปกี ารศึกษา 2565 แบบฝึกหัด วิธีเรียงสบั เปล่ยี นของสงิ่ ของที่แตกตา่ งกนั ท้ังหมด จำนวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนของ n สิ่งท่แี ตกต่างกันทั้งหมด โดยจดั เรยี ง ครั้งละ r สิ่ง เมื่อ 1rn คอื pn,r = n! (n − r)! 14. ครู 1 คน นกั เรียนชาย 4 คน และนกั เรยี นหญิง 4 คน ยืนถา่ ยรูปหมเู่ ปน็ แถวยาวแถวเดียว จงหาจำนวนวธิ ี ในการยนื ตามเงอื่ นไข ต่อไปน้ี 1. ไมม่ ีเง่ือนไข 2. ครูยืนตรงกลาง 3. นกั เรียนชายยืนติดกนั ทงั้ หมด 4. นกั เรียนชายยนื แยกกัน 5. นักเรยี นชายและนกั เรยี นหญิงยนื สลับท่กี ัน 6. ครยู นื ริม นักเรยี นชายยืนติดกันท้งั หมด นกั เรียนหญิงยืนติดกนั ท้ังหมด 7. ครยู นื ตรงกลาง นักเรียนชายยืนตดิ กันท้งั หมด นกั เรียนหญงิ ยนื ตดิ กนั ท้ังหมด วิธีทำ คุณครูพชร กมล โรงเรียนภกั ดชี มุ พลวิทยา สพม.ชัยภมู ิ หน้า 10

วิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ 3 รหสั วชิ า ค32201 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 ภาคเรียนท่ี 1 ปกี ารศึกษา 2565 วิธเี รียงสับเปลย่ี นเชิงเสน้ ของส่งิ ของทที่ ม่ี ีบางสิ่งซ้ำกัน ถา้ มสี งิ่ ของอยู่ n ส่ิง ในจำนวนนม้ี ี n1 สง่ิ ทเ่ี หมอื นกันเป็นกลมุ่ ท่ีหนึ่ง มี n2 สิง่ ทีเ่ หมอื นกันเป็นกลุ่มท่สี อง … และมี nk สง่ิ ท่เี หมือนกันเปน็ กล่มุ ที่ k โดยที่ n1 + n2 + ... + nk = n จำนวนวิธีเรยี งสบั เปลยี่ นกลุ่มของสงิ่ ของ n สงิ่ เทา่ กบั n! n1  n2  ... nk ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาจำนวนวธิ เี รียงสับเปล่ียนตัวอกั ษรจากคำว่า “appear” ท่ีแตกตา่ งกนั โดยไมค่ ำนึงถึง ความหมาย วิธที ำ คำว่า appear มีตวั อักษรทง้ั หมด 6 ตัว มี a อยู่ 2 ตัว มี p อยู่ 2 ตัว มี e อยู่ 1 ตวั มี r อยู่ 1 ตวั จำนวนวิธีเรยี งสับเปลย่ี นตวั อักษรเทา่ กบั 6! วธิ ี 2!2!1!1! วิธี = 180 ตวั อย่างท่ี 2 จงหาจำนวนวิธใี นการนำตวั อักษรจากคำว่า CARAVELLE มาสลบั กนั ใหเ้ กดิ คำใหม่ที่ต่างจากเดมิ โดยไม่คำนึงถึงความหมาย วธิ ีทำ มตี ัวอักษรทง้ั หมด 9 ตวั มี A อยู่ 2 ตัว มี E อยู่ 2 ตัว มี L อยู่ 1 ตวั และมตี ัวอักษร C, R และ V อย่างละ 1 ตวั จำนวนวิธเี รียงสบั เปลย่ี นตัวอกั ษรเทา่ กบั 9! วิธี 2!2!2! = 45,360 วธิ ี คณุ ครูพชร กมล โรงเรียนภักดีชมุ พลวิทยา สพม.ชัยภมู ิ หนา้ 11

วิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 3 รหสั วชิ า ค32201 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 5 ภาคเรยี นที่ 1 ปีการศกึ ษา 2565 วธิ ีเรยี งสบั เปลีย่ นเชิงเส้นของส่ิงของทท่ี ม่ี บี างส่ิงซำ้ กนั ถา้ มีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนม้ี ี n1 ส่ิงท่เี หมือนกันเป็นกลมุ่ ทห่ี นงึ่ มี n2 สง่ิ ท่ีเหมือนกนั เปน็ กลุ่มทสี่ อง … และมี nk สงิ่ ทเี่ หมือนกนั เปน็ กลุ่มที่ k โดยท่ี n1 + n2 + ... + nk = n จำนวนวธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นกล่มุ ของส่ิงของ n สง่ิ เทา่ กบั n! n1  n2  ... nk ตวั อย่างท่ี 3 ต้องการนำตัวอักษรทุกตัว จากคำว่า STATISTICS มาเรียงสบั เปลี่ยนเปน็ คำต่างๆ โดยไม่คำนงึ ถึง ความหมายซึ่งมีเง่ือนไขวา่ คำน้นั ตอ้ งขนึ้ ตน้ ดว้ ยอกั ษร T และลงทา้ ยด้วยตวั อักษร A จะเรยี งได้ทัง้ หมดก่วี ิธี วธิ ที ำ มตี วั อักษรทั้งหมด 10 ตวั มี S 3 ตวั มี T 3 ตวั มี A 1 ตวั มี I 2 ตวั มี C 1 ตวั เรียงสบั เปลี่ยนกรณตี ัวอักษรซ้ำกัน แตม่ ีเงอ่ื นไขว่า ขน้ึ ต้น T ลงท้าย A TA หวั ไมม่ ีกำหนดเงื่อนไข ทา้ ย ขั้นท่ี 1 เลอื กตวั อกั ษร T มาใส่ที่ตำแหนง่ หัวได้ 1 วธิ ี ข้ันท่ี 2 เลอื กตัวอกั ษร A มาใสท่ ตี่ ำแหน่งท้ายได้ 1 วิธี ขั้นท่ี 3 เรยี งสับเปลี่ยนตัวอักษรทเ่ี หลือตรงกลางได้ 8! = 1,680 วธิ ี 3!2!2! ดงั น้นั จำนวนวธิ ีเรียงสับเปล่ียนเปน็ คำตามเง่อื นไขเทา่ กับ 111,680 = 1,680 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาจำนวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า ELEVEN ครงั้ ละ 4 ตัว วธิ ีทำ กรณีที่ 1 มี E 3 ตัว มี L หรอื V หรอื N อกี 1 ตวั มีวธิ ีเรียงสับเปลยี่ นได้ 4!  3 = 12 วธิ ี 3! กรณีท่ี 2 มี E 2 ตวั มี L,V หรือ L,N หรือ V,N มวี ธิ ีเรียงสบั เปล่ยี นได้ 4!  3 = 36 วิธี 2! กรณีท่ี 3 มี E, L, V, N อย่างละ 1 ตวั มวี ธิ เี รียงสับเปล่ยี นได้ 4! = 24 วธิ ี ดงั น้ัน มวี ิธีเรยี งสบั เปลี่ยนตัวอักษรเทา่ กับ 12+36+24 = 72 วธิ ี คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภกั ดีชมุ พลวิทยา สพม.ชัยภูมิ หนา้ 12

วิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 3 รหสั วิชา ค32201 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 5 ภาคเรยี นที่ 1 ปีการศกึ ษา 2565 วธิ ีเรยี งสบั เปลีย่ นเชิงเส้นของสิง่ ของทท่ี ม่ี บี างส่ิงซำ้ กนั ถา้ มีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนม้ี ี n1 ส่ิงท่เี หมือนกันเป็นกลมุ่ ทห่ี นงึ่ มี n2 สง่ิ ท่ีเหมือนกนั เปน็ กลุ่มทสี่ อง … และมี nk สงิ่ ทเี่ หมือนกนั เปน็ กลุ่มที่ k โดยท่ี n1 + n2 + ... + nk = n จำนวนวธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นกล่มุ ของส่ิงของ n สง่ิ เทา่ กบั n! n1  n2  ... nk ตวั อย่างท่ี 3 ต้องการนำตัวอักษรทุกตัว จากคำว่า STATISTICS มาเรียงสบั เปลี่ยนเปน็ คำต่างๆ โดยไม่คำนงึ ถึง ความหมายซึ่งมีเง่ือนไขวา่ คำน้นั ตอ้ งขน้ึ ตน้ ดว้ ยอกั ษร T และลงทา้ ยด้วยตวั อักษร A จะเรยี งได้ทัง้ หมดก่วี ิธี วธิ ที ำ มตี วั อักษรทั้งหมด 10 ตวั มี S 3 ตวั มี T 3 ตวั มี A 1 ตวั มี I 2 ตวั มี C 1 ตวั เรียงสบั เปลี่ยนกรณตี ัวอักษรซ้ำกัน แตม่ ีเงอ่ื นไขว่า ขน้ึ ต้น T ลงท้าย A TA หวั ไมม่ ีกำหนดเงื่อนไข ทา้ ย ขั้นท่ี 1 เลอื กตวั อกั ษร T มาใส่ที่ตำแหนง่ หัวได้ 1 วธิ ี ข้ันท่ี 2 เลอื กตัวอกั ษร A มาใสท่ ตี่ ำแหน่งท้ายได้ 1 วิธี ขั้นท่ี 3 เรยี งสับเปลี่ยนตัวอักษรทเ่ี หลือตรงกลางได้ 8! = 1,680 วธิ ี 3!2!2! ดงั น้นั จำนวนวธิ ีเรียงสับเปลย่ี นเปน็ คำตามเง่อื นไขเทา่ กับ 111,680 = 1,680 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาจำนวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า ELEVEN ครงั้ ละ 4 ตัว วธิ ีทำ กรณีที่ 1 มี E 3 ตวั มี L หรอื V หรอื N อกี 1 ตวั มีวธิ ีเรียงสับเปลยี่ นได้ 4!  3 = 12 วธิ ี 3! กรณีท่ี 2 มี E 2 ตวั มี L,V หรือ L,N หรือ V,N มวี ธิ ีเรียงสับเปล่ยี นได้ 4!  3 = 36 วิธี 2! กรณีท่ี 3 มี E, L, V, N อย่างละ 1 ตวั มวี ธิ เี รียงสบั เปล่ยี นได้ 4! = 24 วธิ ี ดงั น้ัน มวี ิธีเรยี งสบั เปลี่ยนตวั อักษรเทา่ กับ 12+36+24 = 72 วธิ ี คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภกั ดีชมุ พลวิทยา สพม.ชัยภูมิ หนา้ 13

วิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม 3 รหสั วิชา ค32201 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 5 ภาคเรยี นที่ 1 ปีการศกึ ษา 2565 วธิ ีเรยี งสบั เปลีย่ นเชิงเส้นของสิง่ ของทท่ี ม่ี บี างส่ิงซำ้ กนั ถา้ มีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ในจำนวนนม้ี ี n1 ส่ิงท่เี หมือนกันเป็นกลมุ่ ทห่ี นงึ่ มี n2 สง่ิ ท่ีเหมือนกนั เปน็ กลุ่มทสี่ อง … และมี nk สงิ่ ทเี่ หมือนกนั เปน็ กลุ่มที่ k โดยท่ี n1 + n2 + ... + nk = n จำนวนวธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นกล่มุ ของส่ิงของ n สง่ิ เทา่ กบั n! n1  n2  ... nk ตวั อย่างท่ี 3 ต้องการนำตัวอักษรทุกตัว จากคำว่า STATISTICS มาเรียงสบั เปลี่ยนเปน็ คำต่างๆ โดยไม่คำนงึ ถึง ความหมายซึ่งมีเง่ือนไขวา่ คำน้นั ตอ้ งขน้ึ ตน้ ดว้ ยอกั ษร T และลงทา้ ยด้วยตวั อักษร A จะเรยี งได้ทัง้ หมดก่วี ิธี วธิ ที ำ มตี วั อักษรทั้งหมด 10 ตวั มี S 3 ตวั มี T 3 ตวั มี A 1 ตวั มี I 2 ตวั มี C 1 ตวั เรียงสบั เปลี่ยนกรณตี ัวอักษรซ้ำกัน แตม่ ีเงอ่ื นไขว่า ขน้ึ ต้น T ลงท้าย A TA หวั ไมม่ ีกำหนดเงื่อนไข ทา้ ย ขั้นท่ี 1 เลอื กตวั อกั ษร T มาใส่ที่ตำแหนง่ หัวได้ 1 วธิ ี ข้ันท่ี 2 เลอื กตัวอกั ษร A มาใสท่ ตี่ ำแหน่งท้ายได้ 1 วิธี ขั้นท่ี 3 เรยี งสับเปลี่ยนตัวอักษรทเ่ี หลือตรงกลางได้ 8! = 1,680 วธิ ี 3!2!2! ดงั น้นั จำนวนวธิ ีเรียงสับเปลย่ี นเปน็ คำตามเง่อื นไขเทา่ กับ 111,680 = 1,680 วิธี ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาจำนวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนตัวอักษรในคำว่า ELEVEN ครงั้ ละ 4 ตัว วธิ ีทำ กรณีที่ 1 มี E 3 ตวั มี L หรอื V หรอื N อกี 1 ตวั มีวธิ ีเรียงสับเปลยี่ นได้ 4!  3 = 12 วธิ ี 3! กรณีท่ี 2 มี E 2 ตวั มี L,V หรือ L,N หรือ V,N มวี ธิ ีเรียงสับเปล่ยี นได้ 4!  3 = 36 วิธี 2! กรณีท่ี 3 มี E, L, V, N อย่างละ 1 ตวั มวี ธิ เี รียงสบั เปล่ยี นได้ 4! = 24 วธิ ี ดงั น้ัน มวี ิธีเรยี งสบั เปลี่ยนตวั อักษรเทา่ กับ 12+36+24 = 72 วธิ ี คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภกั ดีชมุ พลวิทยา สพม.ชัยภูมิ หนา้ 14

วิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม 3 รหสั วิชา ค32201 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 5 ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศึกษา 2565 แบบฝึกหดั วิธเี รียงสบั เปล่ียนเชงิ เส้นของส่งิ ของที่ทมี่ บี างสิง่ ซ้ำกนั ถา้ มสี งิ่ ของอยู่ n สิง่ ในจำนวนนม้ี ี n1 ส่ิงทเี่ หมือนกนั เป็นกล่มุ ที่หนง่ึ มี n2 สงิ่ ทเ่ี หมือนกันเป็นกลุ่มทสี่ อง … และมี nk สงิ่ ท่เี หมือนกันเป็นกลุ่มที่ k โดยท่ี n1 + n2 + ... + nk = n จำนวนวิธีเรยี งสบั เปล่ียนกลุ่มของสงิ่ ของ n สิง่ เทา่ กบั n! n1  n2  ... nk 1. จงหาจำนวนวิธีเรียงสบั เปลย่ี นตวั อักษรในคำวา่ “tobacco” ทแี่ ตกต่างกนั โดยไม่คำนึงถงึ ความหมาย วธิ ที ำ มีตัวอักษรทั้งหมด ตวั มี t อยู่ ตวั มี o อยู่ ตัว มี b อยู่ ตวั มี a อยู่ ตวั มี c อยู่ ตวั จำนวนวิธีเรยี งสบั เปลย่ี นตัวอักษรเทา่ กบั 2. จงหาจำนวนวิธีเรยี งสบั เปล่ยี นตวั อกั ษรในคำว่า “statistics” วธิ ที ำ มีตัวอกั ษรท้ังหมด ตวั มี s อยู่ ตัว มี t อยู่ ตวั มี a อยู่ ตัว มี i อยู่ ตวั มี c อยู่ ตวั จำนวนวิธเี รียงสับเปลี่ยนตัวอักษรเทา่ กับ คุณครูพชร กมล โรงเรยี นภกั ดีชุมพลวิทยา สพม.ชัยภมู ิ หน้า 15