Lesson 1

วชิ าคณติ ศาสตร+คอมพวิ เตอร+ รหสั วิชา 20204 - 2003 หนว# ยที่ 1 ระบบจำนวนและระบบตัวเลข อาจารย&วชั รพล ธมิ า LOGO

จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. สามารถบอกจาํ นวนจริงและจาํ นวนไม่จริงได้ 2. สามารถเขียนตวั เลขรูปแบบทางวทิ ยาศาสตร์ได้ 3. สามารถอธิบายเกีDยวกบั ระบบเลขมีหลกั ไดถ้ ูกตอ้ ง 4. สามารถยกตวั อยา่ งของระบบตวั เลขไม่มีหลกั ได้ 5. สามารถทาํ งานทีDไดร้ ับมอบหมายไดเ้ ป็นอยา่ งดี

มนุษย์และตวั เลข

จาํ นวน จาํ นวน (Number) หมายถึง ตวั บ่งชIีค่าปริมาณซDึงเป็นผลมาจากตวั เลข (Numeral) ประกอบกนั

ตวั เลข ตวั เลข (Numeral) หมายถึง สDือหรือสญั ลกั ษณ์แทนการนบั จาํ นวน ซDึง บ่งชIีปริมาณได้ ชาวอียิปตไ์ ดค้ ิดคน้ ตวั เลขขIึนมา และติดต่อกบั อารยธรรม อืDน ๆ เกิดววิ ฒั นาการตวั เลขอืDน ๆ ตามมา ตวั เลขทDีไดร้ ับความนิยมมากทDีสุด ไดแ้ ก่ ตวั เลขอารบิค ซDึงประกอบดว้ ยตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9

โครงสร้างของระบบจาํ นวน

จาํ นวนจริง จาํ นวนจริง (Real Number) คือ จาํ นวนทุกจาํ นวน ซDึงอาจเป็นไดท้ Iงั จาํ นวนตรรกยะ หรือ จาํ นวนอตรรกยะ

จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จาํ นวนทีDสามารถเขียนแทน เศษส่วนได้ โดยจะอยใู่ นรูป ! โดยทDี B จะตอ้ งไม่เท่ากบั ศูนย์ \"

จาํ นวนอตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ (Irrational Number) คือ จาํ นวนทีDไม่สามารถ เขียนแทนเศษส่วนได้ เช่น ทศนิยมไม่รู้จบ รากทDีถอดไม่ลงตวั

จาํ นวนเตม็ จาํ นวนเตม็ (Integer) คือ จาํ นวนทDีเป็นเลขลงตวั ไม่มีเศษ โดยแบ่งเป็น จาํ นวนเตม็ บวก (Positive Integer) จาํ นวนเตม็ ศูนย์ (Zero Integer) และ จาํ นวนเตม็ ลบ (Negative Integer)

จาํ นวนเตม็ จํานวนเต็มบวก คือ จาํ นวนนับทDีมีค่าเริDมตน้ ทDี 1 และมีค่าเพิDมขIึนได้ เรืDอย ๆ เพราะจาํ นวนนบั ไม่มีค่าสิIนสุด จํานวนเต็มลบ คือ จาํ นวนทDีมีค่าน้อยกว่า 0 โดยจะมีเครืDองหมายลบ กาํ กบั อยหู่ นา้ ตวั เลขจาํ นวนนIนั และจะมีค่านอ้ ยลงถา้ ตวั เลขเพDิมค่าขIึน จํานวนเต็มศูนย์ คือ จาํ นวนทีDไม่ถือเป็ นจาํ นวนนับ แต่อาจจะแทน ความหมายวา่ ไม่มี แต่บางครIังกใ็ ชเ้ ลข 0 เพDือบ่งชIีปริมาณได้

เศษส่ วน เศษส่ วน หมายถึง จาํ นวนเลขทDีสามารถเขียนอยู่ในรูปตวั เลขทีDไม่ สามารถเขียนในรูปจาํ นวนเตม็ จึงสามารถแปลงมาอยใู่ นรูปเศษส่วนได้

ทศนิยม ทศนิยม หมายถึง เศษทDีไม่เต็มค่าจาํ นวนเต็ม เช่น 0.5 หรือ 0.75 เป็นตน้ โดยทDีทศนิยมอาจมีจาํ นวนเตม็ อยดู่ ว้ ย เช่น 2.5 หรือ 4.725 เป็นตน้

เศษส่ วนและทศนิยม เศษส่วน สามารถเปลีDยนเป็ นเลขทศนิยมดว้ ยการหาร ซDึงทศนิยมทDี ไดจ้ ากเศษส่วนมี 2 แบบ คือ ทศนิยมทDีหารลงตวั และทศนิยมทDีหารไม่ลงตวั หรือทศนิยมซIาํ ในบางครIังผลหารทีDไดจ้ ะอยใู่ นรูปทศนิยมซIาํ

เศษส่ วนและทศนิยม

การปัดจุดทศนิยม การปัดเศษทศนิยมใหเ้ ป็นจาํ นวนเตม็ เช่น 45.7 สามารถปัดใหเ้ ป็น 46 ไดเ้ พราะมีค่า ใกลเ้ คียง กบั 46 มากกวา่ 45 โดยการปัดทศนิยม ถา้ ตวั เลข นอ้ ยกวา่ 5 ใหป้ ัดทิIงไป แต่ถา้ ตวั เลขทDีจะปัดมีค่ามากกวา่ 5 ใหป้ ัดทบขIึนไป .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 . 9

การปัดจุดทศนิยม ในกรณีทDีค่าทศนิยมเท่ากบั 5 ซDึงแต่เดิมจะปัดขIึนทIงั หมด จะทาํ ให้ เกิดผลคลาดเคลDือนเมืDอมีการนาํ ทศนิยมมารวมกนั

การปัดจุดทศนิยม ถา้ 5 ตามหลงั ทศนิยมทีDเป็นเลขคู่ จะปัดทิIง ถา้ 5 ตามหลงั ทศนิยมทDีเป็นเลขคDี จะปัดขIึน 25.425 ทศนิยม 2 ตาํ แหน่งปัดเป็น 25.42 25.475 ทศนิยม 2 ตาํ แหน่งปัดเป็น 25.48

เลขวทิ ยาศาสตร์ X.XXX * 10Y จุดทศนิยมตอ้ งเลืDอนไปอยหู่ ลงั ตวั เลขแรกทDีมีค่า Y มีค่าเท่ากบั จาํ นวนครIังการเลืDอนจุดทศนิยม โดยเลDือนไปทางซา้ ย Y จะมีค่ายกกาํ ลงั ติดบวก และเลDือนไปทางขวา Y จะมีค่ายกกาํ ลงั ติดลบ

เลขวทิ ยาศาสตร์ 4239 = 4.239 x 103 เลืDอนจุดทศนิยมทางซา้ ย 3 ครIัง ยกกาํ ลงั ติดค่าบวก 0.005273 = 5.273 x 10-3 เลืDอนจุดทศนิยมทางขวา 3 ครIัง ยกกาํ ลงั ติดค่าลบ

เลขมหี ลกั เลขมีหลัก คือ ระบบเลขมีหลกั เป็ นระบบเลขซDึงตาํ แหน่งหลกั ของ ตัวเลขจะแสดงค่าของตัวเลขนIันด้วย โดยอาศัยการกําหนดค่าประจํา ตาํ แหน่ง (Position Notation) ของหลกั ต่างๆ เพDือแทนค่าจาํ นวนทDีตอ้ งการ

เลขมหี ลกั ดังนIันค่าของเลขจาํ นวนหนDึงจะมีค่ามากน้อยเพียงใดขIึนอยู่กับ ปัจจยั 2 ประการ คือ 1. ค่าประจาํ ตวั ของเลขจาํ นวนนIนั 2. ค่าประจาํ หลกั ทDีตวั เลขนIนั อยู่ 3,000 = 3 x 1000 ค่าประจาํ ตวั ค่าประจาํ หลกั

เลขมหี ลกั ในตาํ แหน่งหลกั ทีDอยทู่ างดา้ นขวาสุดจะมีค่าประจาํ ตาํ แหน่งหลกั นอ้ ยทีDสุดเป็นเลขทีDมีนยั สาํ คญั นอ้ ยทDีสุด (Least Significant Digit: LSD) ส่วนตวั เลขในตาํ แหน่งหลกั ซ้ายสุดเป็ นเลขทีDมีนัยสําคญั มากทีDสุด (Most Significant Digit: MSD) 3567124 MSD LSD

เลขมหี ลกั ค่าประจาํ ตาํ แหน่งหลกั ของเลขใด ๆ คือ ค่าของฐานยกกาํ ลงั ดว้ ย ค่าประจาํ ตาํ แหน่งของแต่ละหลกั 6,232 = (6 x 1000) + (2 x 100) + (3 x 10) + (2 x 1) = 6 x 103 + 2 x 102 + 3 x 101 + 2 x 100

เลขมหี ลกั ตวั อยา่ งเลขระบบนIี เช่น ระบบเลขฐานสิบ ซDึงมีตวั เลขทDีใช้ 10 ตวั คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 หลกั ทDีอยู่หน้าจุดทศนิยมไปทางซ้ายเป็ น หลกั หน่วย สิบ ร้อย พนั หมืDน แสน ลา้ น ตามลาํ ดบั ซDึงจะมีค่าประจาํ หลกั เป็น 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106 ตามลาํ ดบั เรDือยไป

เลขไม่มหี ลกั เลขไม่มีหลัก คือ ระบบเลขทDีไม่ว่าจะเขียนตัวเลขแต่ละตัวไว้ ณ ตาํ แหน่งใดของค่าตวั เลขนIนั จะมีค่าคงทีDเสมอ ตัวอย่างเช่น ระบบเลขโรมนั ระบบเลขอิยิปต์ ระบบเลขจีน จดั ว่าเป็ น ระบบทDีไม่มีหลกั ระบบหนDึง

เลขโรมนั I แทน 1 V แทน 5 X แทน 10 L แทน 50 C แทน 100 D แทน 500 M แทน 1,000

เลขโรมนั จาํ นวนทีDเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์หลายตวั ถา้ เขียนสัญลกั ษณ์ทDีมี ค่านอ้ ยกว่าไวด้ า้ นหนา้ สัญลกั ษณ์ทDีมีค่ามากกว่า ค่าของจาํ นวนทDีไดจ้ ะมีค่า เท่ากบั จาํ นวนทDีมีค่ามากลบดว้ ยจาํ นวนทDีมีค่านอ้ ย IX มีค่าเท่ากบั 10 - 1 = 9 VL มีค่าเท่ากบั 50 - 5 = 45

เลขโรมนั จาํ นวนทDีเขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์หลายตวั ถา้ เขียนสัญลกั ษณ์ทDีมี ค่านอ้ ยกว่าไวด้ า้ นหลงั สัญลกั ษณ์ทDีมีค่ามากกว่า ค่าของจาํ นวนทDีไดจ้ ะมีค่า เท่ากบั จาํ นวนทีDมีค่ามากบวกดว้ ยจาํ นวนทDีมีค่านอ้ ย XI มีค่าเท่ากบั 10 + 1 = 11 LX มีค่าเท่ากบั 50 + 10 = 60

เลขโรมนั จาํ นวนทDีมีค่าเกินกว่าทีDกาํ หนดไวต้ ามสัญลกั ษณ์ดงั กล่าวนIี จะใช้ บาร์ หรือ ซDึงมีค่าเท่ากบั สญั ลกั ษณ์ นIนั คูณดว้ ย 1,000 X มีค่าเท่ากบั 10 x 1,000 = 10,000 D มีค่าเท่ากบั 500 x 1,000 = 500,000

วชิ าคณติ ศาสตร+คอมพวิ เตอร+ รหสั วิชา 20204 - 2003 หนว# ยที่ 1 ระบบจำนวนและระบบตัวเลข อาจารย&วชั รพล ธมิ า LOGO