ใบความรู้โมเมนต์และแรงควบ วิชากลศาสตร์วิศวกรรม

โมเมนต์และแรงคู่ควบ โมเมนต์ คือ ความพยายามของแรงทีจะกระทาํ ใหว้ ตั ถุหมุนรอบจุดหรือรอบแกน ๆ หนึง ซึง โมเมนตเ์ ป็นปริมาณเวคเตอร์ 3.1 โมเมนต์ของแรง (ระบบแรง 2 มติ )ิ โมเมนตข์ องแรง คือ ความพยามของแรงใด ๆ ทีจะกระทาํ ใหว้ ตั ถหุ มนุ รอบจุดหรือรอบแกน ๆ หนึง ซึงการหมุนรอบจุดหรือรอบแกนนนั มคี ่าเท่ากบั ผลคูณระหว่างกบั ระยะทางจากจุดหมนุ ไปจนถึงจดุ ทีแรงกระทาํ และแรงทีกระทาํ จะตอ้ งตงั ฉากกบั ระยะทางเสมอ ดงั รูป F จุดหมนุ o M r รูปที 3.1 แสดงลกั ษณะของโมเมนต์ จากรูปที 3.1 สามารถเขียนเป็นสมการได้ คือ M = F•r เมอื M คือ โมเมนตข์ องแรงรอบจดุ หมุน o มีหน่วยเป็น (N.m) F คือ แรงทีกระทาํ มหี น่วยเป็น (N) r คือ ระยะจากจดุ หมนุ ถงึ จุดทีแรงกระทาํ มีหน่วยเป็น (m) หมายเหตุ โมเมนตจ์ ะเป็นศนู ยเ์ มือ ก) แรง F เป็นศนู ย์ ข) แรง F ผา่ นจุดหมนุ o (นนั คือค่า r = 0 ) ตวั อย่าง 3.1 จากรูปจงคาํ นวณหาโมเมนตข์ องแรงทีกระทาํ บนคาน F = 20 N 5000 mm

วิธีทาํ M = F•r สูตร = (20) (5000) N.mm = 100000  10-3 N.mm M = 100 N.m ตวั อย่าง 3.2 จงคาํ นวณหาโมเมนตข์ องแรงในรูปทีกาํ หนดให้ F = 100 N 60๐ 1 ft วธิ ีทาํ F = 100 sin 60๐ N เมอื r = (25.4  12  10-3) m M = F•r สูตร = (100 sin 60๐) (25.4  12  10-3) M = 26.39 N.m N.m เนืองจากโมเมนตเ์ ป็นปริมาณเวคเตอร์ ดงั นนั แรงทกี ระทาํ ใหเ้ กิดทิศทางจึงมที ิศทาง ซึงทิศทาง ของโมเมนตข์ องแรงสามารถแบ่งไดเ้ ป็น 2 ชนิด ตามทิศทางของการหมนุ 3.2 ชนิดของโมเมนต์ของแรง โมเมนตข์ องแรงแบ่งออกไดเ้ ป็น 2 ชนิด ตามทิศทางการหมนุ รอบจุดดงั นี (ก) โมเมนตต์ ามเข็มนาฬกิ า คือ โมเมนตท์ ีเกิดจากแรงทีกระทาํ กบั ระยะทางจากจุด หมุนถงึ แนวแรงทีกระทาํ ซึงจะทาํ ใหจ้ ุดหมนุ หมนุ ไปตามทิศทางตามเข็มนาฬกิ า โดยทิศทางตามเขม็ นาฬกิ าใหเ้ ป็นเครืองหมายบวก (+) (ข) โมเมนตท์ วนเขม็ นาฬิกา คือ โมเมนตท์ ีเกิดจากแรงทีกระทาํ กบั ระยะทางจากจดุ หมุนถงึ แนวแรงทีกระทาํ ซึงจะทาํ ใหจ้ ุดหมุนหมุนไปตามทิศทางทวนเข็มนาฬกิ า โดยทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ าใหเ้ ป็นเครืองหมายลบ (-)

O M+ O M- (ก) (ข) รูปที 3.2 แสดงลกั ษณะทิศทางการหมนุ ของโมเมนต์ 3.3 ทฤษฎโี มเมนต์ หรือ ทฤษฎวี ารียอง ทฤษฎีโมเมนต์ หรือทฤษฎีวารียอง ไดก้ ลา่ วว่า “โมเมนตข์ องแรงรอบจุดหมนุ หรือรอบแกนหนึง ๆ มคี ่าเท่ากบั ผลรวมของโมเมนตข์ องแรงยอ่ ยหลาย ๆ แรง ทีกระทาํ รอบจดุ เดียวกนั ” F3 F2 F1 จุดหมนุ o r รูปที 3.3 แสดงทฤษฎีของโมเมนต์ จากรูปที 3.3 โมเมนตข์ องแรงรอบจดุ หมนุ o สามารถเขียนเป็นสมการไดด้ งั นี MO = F•r ดงั นนั จะได้ ถา้ แรง F = F1 + F2 + F3 + … + Fn Mo = r . (F1 + F2 + F3 + … + Fn) หรือ Mo = (r . F1) + (r . F2) + (r . F3) + … + (r . Fn)

ตวั อย่างที 3.3 จากรูปจงหาโมเมนตร์ อบจุดหมนุ o F2 = 30 N F1 = 50 N 40๐ 0 45๐ วิธีทาํ 500 mm สูตร Mo = (r . F1) + (r . F2) = (0.5  50 sin 45) + (0.5  30 sin 40) Mo = 27.3 N.m 3.4 การรวมโมเมนต์ของแรง การรวมโมเมนต์ คือ การรวมโมเมนตห์ ลาย ๆ โมเมนตท์ ีอยใู่ นระนาบเดียวกนั และกระทาํ ในจดุ ที ต่างกนั แต่ทีจุดหมุนเดียวกนั และมีทิศทางของโมเมนตท์ งั ทวนนาฬิกาและตามเข็มนาฬิกา ดงั รูป F1 F2 จุดหมุน o r1 r2 รูปที 3.4 แสดงถงึ การรวมโมเมนต์ หลกั การของการรวมโมเมนต์ มขี นั ตอนการรวมโมเมนต์ ดงั นี 1. หาโมเมนตร์ อบแกนของแต่ละแรง 2. หาผลรวมของโมเมนตจ์ ากสมการ ∑M = M1 + M2 ตวั อย่างที 3.4 จากรูปจงหาผลรวมของโมเมนตร์ อบจุดหมุน o 420 mm A B 30๐ 400 mm O 20 kN 10 kN

วธิ ีทาํ 1. หาโมเมนตร์ อบแกนของแต่ละแรง ก) โมเมนตข์ องแรง 20 kN รอบจุดหมุน O MOA = F.r kN. m = (20 cos 30๐) (420  10-3) MOA = 7.275 N. m ข) โมเมนตข์ องแรง 20 kN รอบจุดหมนุ O MOB = F.r kN. m = (10) (400  10-3) MOB = 4 N. m 2. หาผลรวมของโมเมนตข์ องแรงทงั สองรอบจุดหมุน O คือ M = MOA + MOB = 7.275 + (-4) = 3.275 kN. m ตวั อย่างที 3.5 จงคาํ นวณหาโมเมนตข์ องแรง 200 N รอบจุดหมนุ O 100 mm 60๐ F = 200 N 120 mm O วิธีทาํ 60 mm 1. วธิ ีสเกลาร์ แตกแรง F ออกเป็น 2 แรงยอ่ ยในแนวแกน x และแนวแกน y ไดด้ งั นี Fx = 200 Sin 60๐ = 173.2 N Fy = 200 Cos 60๐ = 100 N โมเมนตข์ องแรง F รอบจุด O คือ

M Fx = (173.2) (120  10-3) = 20.784 N.m (100) ((100-60)  10-3) M Fy = 4 N.m = M Fx + M Fy N.m ดงั นนั ผลรวมของโมเมนต์ 20.784 - 4 N.m MO = 16.784 = MO = 2. วิธีเวคเตอร์ เขียนค่า F และตาํ แหน่งทีแรงกระทาํ r ใหอ้ ยใู่ นรูปของเวคเตอร์ ดงั นี F = 173.2 i + 100 j r = 0.04 i + 0.12 j โมเมนตข์ องแรง F รอบจุด O คือ i jk M O = 0.04 0.12 0 173.2 100 0 MO = (0.04)(100) i + 0 j + 0 k - 0 k – (0.12)(173.2) j - 0 i = 4 i - 20.784 j = - 16.784 ถา้ เครืองหมาย - แสดงว่าทิศทางของโมเมนต์ MO หมุนตามเข็มนาฬกิ า 3.5 โมเมนต์ของแรงค่คู วบ โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบ หมายถึง โมเมนตข์ องแรงซึงเกิดจากแรงทีมีขนาดเท่ากนั สองแรง แต่มี ทิศทางตรงขา้ มกนั กระทาํ ต่อวตั ถหุ นึง ๆ ในระยะห่างระหว่างแรงทงั คู่ ดงั รูป F จุดหมนุ o ArB Fรูปที 3.5 แสดงถงึ โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบ

หลกั การของโมเมนตข์ องแรงค่คู วบ คือ จากรูปที 3.5 โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบรอบจุดหมุน O ถา้ กาํ หนดใหแ้ รง F เป็นแรงสองแรงทีมีขนาดเท่ากนั แต่ทีมที ิศทางตรงขา้ มกนั และแรงสองแรงอยหู่ ่างจาก กนั เป็นระยะ r ดงั นนั ตามหลกั การของโมเมนต์ โมเมนตข์ องแรค่คู วบรอบจดุ หมนุ O จึงมีค่าเท่ากบั แรง F คณู กบั ระยะห่างระหวา่ งแรงทงั สอง r หรือ M = F.r เมือ M คือ โมเมนตข์ องแรงค่คู วบรอบจุดหมุน O มีหน่วยเป็น (N.m) F คือ แรงทีกระทาํ มหี น่วยเป็น (N) r คือ ระยะห่างระหว่างแรงทงั สอง มีหน่วยเป็น (m) หมายเหตุ 1. โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบจะไมข่ ึนอยกู่ บั จุดหมนุ แต่จะขึนอยกู้ บั ขนาดของแรง F และ ระยะห่างระหวา่ งแรงทงั สอง r 2. โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบจะไมเ่ ป็นศนู ย์ ตวั อย่างที 3.6 จงหาขนาดของโมเมนตข์ องแรงค่คู วบทีเกิดขึนจากการ Tap เกลียว ถา้ ออกแรงในการ Tap เกลียวขา้ งละ 50 N ดงั รูป F = 50 650 mm F = 50 วิธีทาํ M= F.r N.m สูตร M= (50) (650  10-3) แทนค่า 32.5 N.m = 3.6 โมเมนต์ของแรง (ระบบ 3 มติ )ิ การหาโมเมนตข์ องแรง 3 มิติ ค่อนขา้ งจะยากกวา่ โมเมนตของแรง 2 มิติ ดงั นนั ในการใชเ้ วคเตอร์ จะสะดวกแกป้ ัญหาของโมเมนตข์ องแรง 3 มติ ิมากกว่า จากนิยามของโมเมนตข์ องแรง 2 มิติ โมเมนตจ์ ะมคี ่า คือ M = F . r แต่เนืองจากแรงทีกระทาํ ใหเ้ กิดโมเมนตเ์ ป็นแรง 3 มิติ ดงั นนั โมเมนตร์ อบจุดหมุน O ของแรง 3 มิติ คือ และเนืองจาก MO = r  F F = Fx i + Fy j + Fz k r = rx i + ry j + rz k ดงั รูป

z Fx = Fx i F Fz = Fz k rz = rz k r Fy = Fy j A y rx = rx i ry = ry j x รูปที 3.6 โมเมนตข์ องแรง (ระบบ 3 มติ ิ) ดงั นนั จึงเขียน สมการของโมเมนต์ 3 มติ ิ ในเทอมของดีเทอร์มิแนนตไ์ ดเ้ ป็น i jk M O = rx ry rz Fx Fy Fz = (ry F z - r z F y) i - (r x F z - r z F x) j + (r xF y - r y F x) k MO = Mx i + My j + Mz k ดงั นนั ขนาดของโมเมนต์ คือ MO = M2 + M2 + M2 x y z ทิศทางของโมเมนต์ MO ทีกระทาํ จุดหมนุ O คือ Mx My Mz Cosθ x = MO , Cosθ y = MO , Cosθ z = MO

ตวั อย่างที 3.7 สายเคเบิล mn มีแรงตึงขนาด 1.2 kN มีทิศทางจาก m ไป n จงหาขนาดของโมเมนต์ เนืองจากแรงดึงนีรอบจุดหมุน O z m 1.5 O y 1.6 x n 0.8 วธิ ีทาํ ระยะ mn  0.8 2  1.5 2  2 2 = 2.62 m แตกแรงเขา้ สู่แนวแกน Fx  0 .8  1 .2 = 0.367 kN 2 . 62 Fy  1 .5  1 .2 = 0.68 kN 2 . 62 2 = -0.92 kN F z  2 . 62  1 . 2 ดงั นนั F = 0.367 i + 0.68 j - 0.92 k นาํ ค่าทีไดม้ าหาในเทอมของดีเทอร์มแิ นนต์ เมอื F = 0.367 i + 0.68 j - 0.92 k r = 1.6 i + 0 j + 2 k ดงั นนั M O = i j k 1.6 0 2 0.68 0.92 0.367 MO = -1.36 i + 2.206 j + 1.088 k ดงั นนั ขนาดของโมเมนต์ คือ MO = M2 + M2 + M2 x y z = (1.36) 2 + (2.206) 2 + (1.088) 2

MO = 2.81 kN.m ทิศทางของขนาดของโมเมนต์ คือ Cos θ x = Mx MO Mx θ = cos 1 MO  cos 1  1 . 36 = 118.9 ๐ 2 .81 x Cos θ y= My MO My θ = cos 1 MO  cos 1 2 . 192 = 38.7 ๐ 2 .81 y Cos θ z = Mz MO Mz θ = cos 1 MO  cos 1 1 . 088 = 67.2 ๐ 2 .81 z 3.7 โมเมนต์ของแรงค่คู วบ (ระบบ 3 มติ )ิ การหาค่าโมเมนตข์ องแรงค่คู วบในระบบ 3 มิติ มวี ธิ ีการหาไดด้ งั นี 1. แตกแรงของแต่ละแรงเขา้ สู่แนวแกน x , y และ z แลว้ หาค่าโมเมนตข์ องแต่ละแรง โดยเขียน ค่าโมเมนตท์ ีไดใ้ หอ้ ยใู่ นรูปของเวคเตอร์ 2. นาํ ค่าโมเมนตท์ ไี ดข้ องแต่ละแนวแกนมารวมกนั ตามสมการ Mx = M1x + M2x + … + Mnx My = M1y + M2y + … + Mny Mz = M1z + M2z + … + Mnz 3. หาค่าของโมเมนตข์ องแรงค่คู วบรวมจากสมการ MO = M2 + M2 + M2 x y z 4. หาทิศทางของโมเมนตข์ องแรงคู่ควบรวม ในแนวแกน x , y และ z จากสมการ My Cosθ x = Mx , Cosθ y = MO , Cosθ z = Mz MO MO

ตวั อย่างที 3.8 จงหาผลรวมโมเมนตข์ องแรงคคู่ วบทีเกิดขึนรอบจุด O y 6m 1m B C 3m 2m 600 N x O 4m 200 N D z 3m A 1. พจิ ารณาแรง AB ระยะ AB = 32 + 32 + 2 2 = 4.69 m = F ABx 3 , F ABx   3  200 -128 N F AB 4 . 69 4 . 69 = 128 N -85.3 N F ABy 3 , F ABy  3  200 = F AB 4 . 69 4 . 69 N F ABz , 2 F ABz 2 F AB 4 . 69   200 4 . 69 FAB ดงั นนั = - 128 i + 128 j - 85.3 k นาํ ค่าทีไดม้ าหาในเทอมของดีเทอร์มแิ นนต์ เมือ FAB = - 128 i + 128 j - 85.3 k N rAB = - 3 i - 0 j + 4 k (จุดทีแรงกระทาํ จุด A นาํ ทิศทางมาคิด) i jk ดงั นนั M O = 3 0 4 128 128 85.3 MABO = 512 i + 256 j - 384 k N.m 2. พจิ ารณาแรง CD ระยะ CD = 52 + 32 + 4 2 = 7.07 m = F CDx 5 , F CDx  5  200 424.3 N F CD 7 . 07 , F CDy 7 . 07 = - 254.6 N , F CDz 339.4 N F CDy 3   3  200 = F CD 7 . 07 7 . 07 F CDz 4  4  200 F CD 7 . 07 7 . 07

ดงั นนั FCD = 424.3 i - 254.6 j + 339.4 k N นาํ ค่าทีไดม้ าหาในเทอมของดีเทอร์มิแนนต์ เมือ FCD = 424.3 i - 254.6 j + 339.4 k N rCD = 1 i - 3 j + 0 k (จุดทีแรงกระทาํ จุด C นาํ ทิศทางมาคิด) i jk ดงั นนั M O = 1 30 424.3 254 339.4 MCDO = - 1018.2 i + 339.4 j + 1527.5 k N.m 3. หาผลรวมของโมเมนตใ์ นแนวแกน x , y และ z Mx = MABx + MCDx = 512 – 1018.2 = - 506.2 N.m My = MABy + MCDy = 256 + 339.4 = 595.4 N.m Mz = MABz + MCDz = - 384 + 1527.5 = 1143.5 N.m จะได้ MO = M2 + M2 + M2 x y z = 506.22 + 595.4 2 + 1143.52 MO = 1385 N.m 4. หาทิศทางของโมเมนตร์ อบจุด O ในแนวแกน x , y และ z Cos θ x = Mx MO Mx θ = cos 1 MO  cos 1  506 .2 = 111.44 ๐ 1385 = 64.54 ๐ x = 34.35 ๐  cos 1 595 . 4 Cos θ y= My 1385 MO  cos 1 1143 . 5 Cos θ y = My 1385 MO Mz Cos θ z = MO θ = cos 1 Mz MO z