บทที่ 1 เวกเตอร์

บทที่ 1 เวกเตอร เปนเวลากวา 20 ปท ่ีทีมนกั สํารวจพยายามจะปน เขาไปสํารวจแนวซอก หินของถํ้าแมมมอธอนั สดุ แสนจะคบั แคบและมีการเชื่อมตอ กนั เปนโครงขา ย สลับซบั ซอ น นายรชิ ารด ซอฟทคือหน่งึ ในกลุมนักสาํ รวจของถาํ้ แหง น้ี ในภาพ เขากําลังพยายามคลานอยภู ายในถ้ําเพื่อนาํ สมั ภาระใหผ านพน ชอ งเขา หลังจากทเ่ี วลาผานไป 12 ช่วั โมงในเสน ทางเขาวงกต และทางนํา้ ใตด นิ ทเ่ี ย็น เจยี๊ บ คณะนกั ปน เขาของซอฟท ก็สามารถผานซอกเขาซึง่ เปนซอกเขาเล็กๆ ซอกหนง่ึ ในหลายๆซอกของถ้ําแมมมอธออกไปได คลกิ ครบั 1-1 เวกเตอรและสเกลาร __________________________________ ปรมิ าณสเกลาร คือปรมิ าณทางกายภาพทีป่ ระกอบดวยตวั เลขและหนว ย กส็ ามารถเขา ใจได ทนั ที ปรมิ าณเวกเตอร เปนปริมาณทต่ี อ งบอกท้ังขนาด(ตวั เลขและหนวยวัด)และทิศทาง จึงจะเขา ใจไดด ี ปรมิ าณเวกเตอรแ รกสุดท่ีจะเขียนถงึ คอื ระยะกระจดั สมมติใหอ นุภาคหนง่ึ มีขนาดเล็กมากเกอื บเปน จุดเคล่ือนทจี่ ากจดุ P1 ไปยังจุด P2 แทนดว ย การลากเสนตรงจากจดุ P1 ไปสิ้นสุดที่หวั ลูกศรตรงจดุ P2 เรียกวา เวกเตอร A P2 A P1 รูป 1-1 เวกเตอร A แทนระยะกระจดั จากจุด P1 ไปยังจดุ P2 ระยะกระจัดเปนปริมาณเวกเตอรเ พราะมีท้ังขนาดและทศิ ทาง ปกติจะใชอ ักษรภาษาองั กฤษ ตัวพมิ พใหญหนาแทนเวกเตอร เพ่อื จะใหแ ตกตา งจากปริมาณสเกลาร ตวั อยางเชน เวกเตอร A ดังรูป 1-1 เกปํานกตบั นไวบ นขตณัวะพทิมําพโจใ หทญยแ  บเพบฝ่อื บกหอกัดวกาเาปรนใชปอรักิมษาณรตเวัวหกเนตาอไรม สตาวั มอายราถงเเขชยีน นไดAvด วยปากกา จึงใหเ ขียนลกู ศร

2 P2 P4 A BC P1 P3 รปู 1-2 เวกเตอร B แทนระยะกระจัดจาก P3 ไป P4 เวกเตอร C มีขนาดเทากับเวกเตอร B แตม ีทิศตรงขา มกนั เวกเตอร B แทนระยะกระจดั จากจุด P3 ไปยงั จุด P4 ดงั รูป 1-2 มีขนาดและทศิ ทางเดียวกัน กับเวกเตอร A ซงึ่ แทนระยะกระจดั จากจดุ P1 ไปยังจดุ P2 เราสามารถนิยามวา เวกเตอร A = เวกเตอร B ถงึ แมว า จุดเริม่ ตนจะไมใชจุดเดียวกนั แตถา มที ศิ และขนาดเดียวกนั เวกเตอรท ้ังสองเทากัน A -A รปู 1-3 เวกเตอร A และ -A มขี นาดเทากัน แตมที ศิ ตรงกันขาม รปู 1-3 เวกเตอร A และ -A มีขนาดเทา กันแตม ีทิศตรงกนั ขา ม ถา นําเวกเตอร A บวกกบั เวกเตอร -A จะไดเปนศูนย เขยี นเปน สมการไดว า A + (-A) = 0 จาก รปู 1-2 ความสมั พนั ธร ะหวาง B และ C อาจเขยี นไดเปน B = -C หรอื C = - B กไ็ ด รูป 1-4 ระยะกระจดั คือ เสนตรงทล่ี ากจากจดุ เริ่มตน ถึงจดุ สิ้นสดุ ระยะกระจัด คอื เสน ตรงท่ีลากจากจดุ เริ่มตนจนถึงจดุ สนิ้ สุด การดูแตขนาดไมส นใจทศิ ทาง ใหใ สสัญลกั ษณขีดสองขีดครอมเวกเตอร ขนาดของเวกเตอร A = ⏐A⏐ ................... (1-1) ขนาดของเวกเตอร เปนปรมิ าณสเกลาร มีคาเปนบวกเสมอ ฟส กิ สราชมงคล

3 1-2 การรวมเวกเตอร _______________________________ การทดลองเสมอื นจริง ทดลองบวกเวกเตอรสองเวกเตอรว าเปนไปตาม กฎบวกเวกเตอรหรือไม C = A + B = B + A คลกิ ครับ สมมตใิ หอนภุ าคหน่งึ เคล่อื นท่ีไดระยะกระจัด A และยงั เคล่อื นท่ตี อไปเปนระยะกระจัด B ตามรปู 1-5 (a) ระยะกระจดั ท้ังหมดจะเริ่มจากจดุ ตัง้ ตน ไปส้ินสุดทจ่ี ุดปลาย แทนดวยระยะกระจัด C เรียก ระยะกระจัด C วา เปนผลบวกของ A และ B ความสมั พนั ธนี้สามารถแสดงอยใู นรูปของสัญลกั ษณทาง คณิตศาสตร C = A+B ................... (1-2) B B AC A CA (a) B (b) รปู 1-5 (a) เวกเตอร C คือผลบวกของเวกเตอร A และ เวกเตอร B (b) การบวกเวกเตอร จะใชเ วกเตอรต ัวไหนบวกกอ นหรือหลงั กไ็ ด สงั เกตวา ผลลพั ธข อง A บวกกบั B หรือจะนาํ B หรือ A เปน เวกเตอรอ นั แรก จะได เวกเตอรลัพธ C เหมือนกัน นั่นคอื C = A+ B = B + A ................... (1-3) ฟส กิ สร าชมงคล

4 การทดลองเสมอื นจริง นกั ศึกษาลองศึกษาทฤษฎีพธิ ากอรัส และอธบิ ายวา ทาํ ไม c2 = a2+ b2 คลิกครบั ตัวอยา ง 1-1 ถาคณุ ออกเดินไปทางทศิ ตะวันออก 30 กิโลเมตร แทนดว ยเวกเตอร AB และเดินตอไป ทางทิศเหนอื อกี 10 กิโลเมตร แทนดว ยเวกเตอร BC ตามรูประยะกระจัดท้ังหมดแทนดวยเวกเตอร R ซงึ่ เปนผลรวมของ AB และ BC ถึงกระนั้นก็ตาม การรวมเวกเตอรไมใชน าํ เอา 30 กม. + 10 กม. = 40 กม. โดยตรง ตองรวมกนั แบบเวกเตอร จากรปู การเดินทางเปน รูปสามเหลีย่ มมุมฉากสามารถใชทฤษฎพี ธิ ากอรัส หาขนาดของเวกเตอรลัพธ R ทฤษฎพี ธิ ากอรัสสําหรับสามเหล่ยี มมมุ ฉาก (ดา นตรงขา มมมุ ฉาก)2 = (ดา นประกอบมุมฉาก)2 + (ดา นประกอบมมุ ฉากท่เี หลือ)2 ขนาดของเวกเตอรลัพธ R = (10กม.) 2 + (30กม.) 2 = 1000กม.2 = 31.6 กม. R C 10 กม. Aθ B 30 กม. รปู 1-6 R = AB + BC เวกเตอรจะตองมีขนาดและทิศทาง การบอกแตข นาดอยางเดียวไมเ พียงพอ วธิ ีงายที่สดุ ใหใช ไมโปรแทรกเตอรว ดั มุมโดยตรงจากรปู ภาพ มขี อ กาํ หนดวา รปู ทเี่ ขียนตองใชม าตราสว นใหถูกตอง จากการวัดมมุ θ = 18.4O นน่ั คอื เวกเตอรลพั ธมขี นาดเทากับ 31.6 กม. ทํามุม 18.4O กบั ทศิ ตะวันออกเฉียงไปทางเหนอื ฟสิกสร าชมงคล

5 1-3 การรวมหลายเวกเตอรโดยใชแ ผนภาพ ____________________ เราสามารถหาเวกเตอรล ัพธซ ึ่งเกิดจากการรวมหลาย ๆ เวกเตอร ดว ยวิธีการเขยี นแผนภาพ โดยการกําหนดมาตราสวนและทิศทางของเวกเตอรใหถ กู ตอ งถาเปน การรวม 2 เวกเตอรก็ให หางของ เวกเตอรตัวทสี่ องตอ กับหัวของเวกเตอรตวั แรก เวกเตอรผลลัพธจ ะเริ่มวัดจากจดุ ตัง้ ตน หรือหางของเวกเตอร ตัวแรกไปส้ินสุดทห่ี วั ของเวกเตอรตัวท่ีสอง การรวมเวกเตอรโดยใชแ ผนภาพสามารถรวมเวกเตอรไ ดม ากกวา 2 ยกตวั อยาง ถา เรา ตอ งการบวกเวกเตอร 10 กม.ตะวนั ออก, 16 กม.ใต, 14 กม.ตะวันออก, 6 กม.เหนือ และ 4 กม.ตะวันตก เร่มิ ตนใหแ ทนขนาดของเวกเตอรด ว ยมาตราสวนและทิศท่ีถูกตองเสยี กอ น เชน 1 ซม. แทน 10 กม. ตอเวกเตอรไ ปตามลาํ ดับดังรูป 1-7 เวกเตอรลัพธ R จะลากเปน เสนตรงจากจดุ ตงั้ ตน ไป ส้นิ สุดทหี่ ัวของเวกเตอรตวั สดุ ทาย วัดขนาดดว ยไมโ ปรแทรกเตอรเ ทา กับ 2.24 ซม. คาํ นวณกลับไปหา ขนาดจรงิ จะได R มขี นาดเทา กบั 22.4 กม. ทํามมุ θ เทา กบั 26.55 O กับทศิ ตะวนั ออกเฉยี งไปทางใต A θ 10 กม. R 16 กม. 4.0 กม. B 6.0 กม. 14 กม. รูป 1-7 การรวมเวกเตอรโ ดยใชแ ผนภาพของเวกเตอรทัง้ 5 ตัวอยา ง 1-2 หาเวกเตอรล ัพธโ ดยวิธแี ผนภาพ ระยะกระจัด (ซม.) 25 10 30 มมุ (องศา) 30 90 120 ตาราง 1-1 มุมของเวกเตอรล พั ธใหว ดั สัมพทั ธก ับทิศตะวันออก หรือแกน x หลักการคาํ นวณ เขียนแผนภาพเวกเตอรต ามรูป 1-8 วดั ขนาดของเวกเตอรล ัพธ R ได = 49 ซม. และ θ = 82O 30 ซม. R 120o 10 ซม. 25 ซม. θ E 30o รปู 1-8 ฟสิกสราชมงคล

6 1-4 การลบเวกเตอร ________________________________ การลบเวกเตอรก็สามารถหาเวกเตอรล ัพธไ ดเ ชน เดยี วกบั การบวกเวกเตอร กลา วคอื ใหก ลบั ทศิ ทางของเวกเตอรโ ดยใสเ ครือ่ งหมายลบจะไดเวกเตอรต ัวใหม จากนน้ั หาเวกเตอรลัพธของผลรวมระหวา ง เวกเตอรต ัวแรกกับเวกเตอรตัวใหมน้ี AC AC C A B -B B C = A-B C = A+(-B) C=A-B (a) (b) (c) รูป 1-9 การลบเวกเตอร 1-5 สวนประกอบของเวกเตอร ___________________________ เหนือ C ตก ออก ใต 20 กม. รูป 1-10 AB ระยะกระจัดลัพธ 20 กม. ตะวันออกเฉียงเหนือมาจากการรวมเวกเตอร AB ตะวนั ออก กับเวกเตอร BC เหนือ ทั้ง AB และ BC เปนสว นประกอบยอยของเวกเตอรลัพธ AC ถาคณุ ออกเดินทางจากจดุ A ไปยังจดุ C ซง่ึ อยทู างทิศตะวันออกเฉยี งเหนือของ A เริ่มจาก A และไปส้ินสดุ ที่ C (ดงั รูป 1-10) กระนนั้ คุณสามารถไปอกี ทางคอื จาก A ไปที่ B กอน และจาก B จงึ ไปท่ี C ระยะกระจดั จะเทา กบั จาก A ไป C โดยตรง ดงั น้ัน เวกเตอร AC สามารถแทนดวยเวกเตอร AB บวกกบั เวกเตอร BC ได เราจึงเรียกเวกเตอรท ้ังสองนี้วา สว นประกอบของเวกเตอร AC ca ................... (1-4) θ b รูป 1-11 ฟงกชันตรโี กณมติ ิของสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ทบทวนฟง กชันตรโี กณมติ ิของสามเหลีย่ มมุมฉาก จากรูป 1-11 sin θ = a/c , cos θ = b/c , tan θ = a/b ฟสกิ สราชมงคล

7 ถา เราทราบมุม θ และความยาวดา นใดดานหนึ่งของสามเหล่ียมมมุ ฉากก็สามารถหาดานท่ี เหลือของสามเหลี่ยมได จากรปู 1-11 ใหมมุ θ = 30O และ c = 30 ซม. จากสมการ 1-4 จะได = (30 ซม.)(sin 30O) a = c sin θ เปดตารางภาคผนวกหรือกดเครือ่ งคดิ เลข sin 30 O = 0.500 ดังน้นั a = (30 ซม.)(0.500) = 15.0 ซม. จากสมการ 1-4 จะได = (30 ซม.)(cos 30o) b = c cos θ = (30 ซม.)(0.8666) = 26.0 ซม. C = 20 ซม. Cy 37o Cx รปู 1-12 เวกเตอร C ขนาด 20 ซม. ทาํ มุม 37 o กับแกน x เวกเตอร C เปนผลรวมของสว นประกอบทางแกน x แทนดว ย Cx และสวนประกอบ ทางแกน y แทนดว ย Cy เราคํานวณหาโดยใชส มการ 1-4 วา Cx = C cos 37o = (20 ซม.)(0.80) = 16 ซม. Cy = C sin 37o = (20 ซม.)(0.60) = 12 ซม. 30 มม. 65o 30 มม. 90o cx = 12.7 มม. cx = 0 มม. cy = 27.2 มม. cy = 30 มม. 30 มม. 120o 250o cx = -15 มม. cx = -10.3 มม. cy = 26 มม. cy = -28.2 มม. รปู 1-13 เวกเตอร เวกเตอร C ทํามมุ θ กับแกน x ในลกั ษณะตา ง ๆ y Ay A θx O Ax รปู 1-14 เวกเตอร Ax และ Ay คือสวนประกอบทางแกน x และ y ของเวกเตอร A รปู 1-14 เวกเตอร A แทนดวยสวนประกอบของเวกเตอรท างแกน x และ y เวกเตอรทัง้ สองคือ Ax และ Ay ตามลําดบั เขยี นความสมั พันธไ ดดังนี้ A = Ax + Ay ฟสิกสร าชมงคล

8 เราสามารถหาสวนประกอบของเวกเตอร A จากฟงกช ันทางตรโี กณ Ax = cosθ และ Ay = sinθ A A Ax = Acosθ และ Ay = Asinθ ................... (1-5) y y Cx x ByB B x θ Bx θ C Cy (a) (b) รูป 1-15 (a) เวกเตอร B มีสวนประกอบทางแกน x เปน ลบ เพราะอยทู างดา นซายนับจากจดุ เร่มิ ตน ไปทางแกน x สวนประกอบทางแกน y เปน บวก (b) เวกเตอร C มสี ว นประกอบทางแกน x และ y เปน ลบ จากสมการ 1-5 ชว ยในการหาสวนประกอบของเวกเตอรบนแกน x และ y ในทางกลับกันถาทราบแต Ax และ Ay กส็ ามารถคาํ นวณกลับไปหา A ได โดยการใชทฤษฎขี องพิธากอรัส A= A 2 + A 2 ................... (1-6) x y มมุ หาไดจ าก tanθ = Ay และ θ = tan-1 Ay ................... (1-7) Ax Ax มุม θ จากสมการ 1-7 มปี ญ หาอยเู หมือนกนั สมมตวิ า Ax = 2 ม. และ Ay = -2 ม. จะได tan θ = -1 มมี ุมที่เปนไปไดอยู 2 มมุ คอื 135o และ 315o (-45o) แตคาํ ตอบจะมีไดเ พียงมมุ เดยี วเทา น้ัน ใหดวู า คา ของ Ax เปนบวก และ Ay เปน ลบ มมุ θ ตกอยูท่ีพกิ ัดมมุ ฉาก xy ชอ งที่ 4 (รูป 1-16) ดังนัน้ มมุ ที่ ถกู ตองก็คือ 315o (-45o), -45o มีความหมายวา วดั ตามเขม็ นาฬิกาจาก +x ไป 45 องศา ปกติคา มุมที่เปน บวก จะวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน +x แตถ า วดั ตามเขม็ นาฬิกาจะตอ งใสเครอื่ งหมายลบ y ชองที่ 2 ชองที่ 1 x รปู 1-16 พิกัดมุมฉาก xy มดี ว ยกนั 4 ชอง แตล ะชองคา x และ y (-, +) (+, +) จะมคี า เปน บวกและลบแตกตางกนั ยกตัวอยางชอ งที่ 4 คา x เปนบวก สว นคา y เปน ลบ ชองท่ี 3 ชองท่ี 4 (-, -) (+, -) แตถา Ax = -2 ม. และ Ay = 2 ม. มมุ θ ตกอยทู พ่ี กิ ัดมมุ ฉาก xy ชอ งท่ี 2 มุมท่ถี กู ตองก็คือ 135o เพราะคา x เปน ลบ และคา y เปนบวก ดังนัน้ คณุ จะตองใชวธิ ตี รวจสอบพิกดั ฉากวา คา ของมมุ ตกอยทู ี่ ชว งใด ในกรณที ่คี ําตอบมี 2 คา ฟสกิ สร าชมงคล

9 y Cy ByB C Ay A B x Ax Cx BxB รปู 1-17 Cx และ Cy คอื สวนประกอบบนแกน x และแกน y ของเวกเตอร C จากรปู 1-17 Cx และ Cy สามารถเขยี นอยูในรปู ผลบวกของเวกเตอร A และ B บนแกน x และ y ไดด ังนี้ Cx = Ax + Bx Cy = Ay + By ................... (1-8) ขนาดและมมุ ของ C หาไดจ ากสมการ (1-6) และ (1-7) การบวกเวกเตอรเ พียง 2 อนั คอ นขา งงา ย แตก เ็ ปน หลกั การสาํ หรบั การบวกเวกเตอร หลาย ๆ อนั ให R เปนผลบวกของ A, B, C, D, E, ..., เม่อื Rx = Ax + Bx + Cx + Dx + Ex + ... Ry = Ay + By + Cy + Dy + Ey + ... ................... (1-9) ตัวอยา ง 1-3 เครอื่ งบนิ บนิ ไปทางทศิ ตะวนั ออกเฉยี งเหนอื ทํามมุ 60o เปน ระยะทาง 20 กม. และบนิ ไป ทางทศิ ตะวันออกอกี 30 กม. ตอ จากน้ันขึน้ เหนอื ไปอีก 10 กม. เคร่อื งบินลําน้อี ยไู กลจากจดุ ตัง้ ตน เทา ใด หลกั การคํานวณ y (เหนือ) A B c รูป 1-18 20.0 30.0 กม. 10.0 กม กม. O θ x (ออก) 600 ใหแ กน x เปน ทิศตะวนั ออก และแกน y เปนทศิ เหนือ A คือ ระยะกระจัดสาํ หรับการบนิ เทย่ี วแรก B คอื ระยะกระจัดเที่ยวสอง C คือ ระยะกระจัดเที่ยวสาม และ R คือเวกเตอรล ัพธ จากแผนภาพวัดคา R ได 50 กม. ทํามุม 30o กบั ทิศตะวันออก เราสามารถตรวจสอบคา นี้ไดจ ากการคาํ นวณ สว นประกอบแกน x และ y ของ A คอื Ay = (20.0 กม.)(cos 60o ) = 10 กม. ฟส กิ สร าชมงคล

10 Ay = (20.0 กม.)(sin 60o ) = 17.3 กม. สวนประกอบของ x และ y ของระยะกระจดั ตางๆ สามารถแยกเปน ระบบไดต ามตาราง 1-2 ระยะกระจดั มมุ สวนประกอบแกน x สว นประกอบแกน y A = 20.0 กม. 60o 10.0 กม. 17.3 กม. B = 30.0 กม. 0o 30.0 กม. 0 C = 10.0 กม. 90o 0 10.0 กม. Rx = 40.0 กม. Ry = 27.3 กม. R= (40.0km) 2 + (27.3 km) 2 = 48.4 km θ = tan-1 27.3 km 40.0 = 34.3O ขอสงั เกต คาทีค่ ํานวณไดล ะเอียดกวาท่ีวัดไดจ ากแผนภาพ ซ่ึงจะขึน้ อยกู บั ความละเอยี ดของมาตราสวน และไมบ รรทัดท่ีใชว ดั ทเ่ี ขียนมาเวกเตอรวางอยูบ นระนาบ xy เทา นั้น แตเ วกเตอรในทางปฏบิ ตั มิ ที ศิ ไดท ุกทิศทกุ ทาง นัน่ กค็ ือตองมที ้ังดานกวา ง ยาว และสูง แทนดวย x, y และ z สวนประกอบของเวกเตอรบ นแกนทั้งสาม สามารถเขยี นไดดังนี้ Ax , Ay และ Az ตามลําดับ Z TS U Az A P Yํ Az θ Ay R V Ax O X Ax φ Q Ay รูป 1-19 Ax , Ay และ Az เปนเวกเตอรยอ ยของ A ตามแนวแกน x, y และ z ตามลําดบั ดังนั้น A = Ax + Ay + Az ถา A ทํามมุ θ กบั แกน z OQ เปนเวกเตอรท ไี่ ดจ ากการฉาย A ลงบนระนาบ xy ทํามมุ φ กับแกน x ดังนน้ั Ax = A sinθ cos φ ฟส ิกสราชมงคล

11 Ay = A sinθ sin φ Az = A cosθ A = Ax + Ay + Az = A 2 + A 2 + A 2 ................... (1-10) โดยท่ี A x y z 1-6 เวกเตอรหนึง่ หนว ย _______________________________ เวกเตอรหนึง่ หนว ยคอื เวกเตอรท ่ีมีขนาด 1 หนว ย มจี ดุ ประสงคเ พอ่ื บอกทศิ ทาง ในระบบ พิกดั ฉาก xy นิยามใหเ วกเตอรห นึ่งหนว ย i ช้ีตําแหนง ไปทางบวกของแกน x และเวกเตอรหน่งึ หนวย j ชี้ไปทางบวกของแกน y สวนประกอบบนแกน x และ y ของ A สามารถเขียนอยูในรูปของ i, j ไดดังนี้ Ax = Axi , Ay = Ayj ................... (1-11) เชนเดยี วกัน เราสามารถเขียนเวกเตอร A ในระบบพิกดั ฉาก xy ในรูปของสว นประกอบและมีตัวช้ี ทิศทางดงั น้ี A = Axi + Ayj ................... (1-12) Axi เปน สวนประกอบของเวกเตอรบนแกน x มี i เปนตวั ชีบ้ อกทศิ ทาง และ Ax เปน ตัวบอกขนาด Ayj เปนสว นประกอบของเวกเตอรบนแกน y มี j เปนตัวช้บี อกทิศทาง และ Ay เปน ตวั บอกขนาด เมื่อเวกเตอร A และ B แสดงอยูในรปู ของเวกเตอรประกอบบนพิกดั xy เราสามารถจะรวม เวกเตอรท ั้งสอง โดยใชเ วกเตอรหน่งึ หนว ยกํากบั บนแกนแตละแกน ดงั น้ี A = Axi + Ayj, B = Bxi + Byj C = A+B = (Axi + Ayj ) + (Bxi + Byj ) = = (Ax + Bx) i + (Ay + By ) j จะเห็นไดว า เวกเตอร C Cxi + Cy j ................... (1-13) กส็ ามารถแสดงอยูในรูปของเวกเตอรป ระกอบบนพิกัดฉาก xy เชนเดยี วกับ A และ B ดังรปู 1-17 สําหรับเวกเตอรในระบบพิกดั ฉาก 3 มิติ คือมแี กน x, y และ z เราจะนยิ ามเวกเตอร หนึ่งหนว ย k ชไี้ ปทางบวกของแกน z เพม่ิ ขนึ้ มา ดังนนั้ รปู ทวั่ ไปของเวกเตอร A, B และ C สามารถเขียนอยู ในระบบสามมติ ิไดดงั นี้ A = Axi + Ayj + Azk .... .................. (1-14) B = BBxi + Byj + Bzk C = (Ax + Bx)i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k = Cxi + Cyj + Cz k ................... (1-15) ฟสกิ สร าชมงคล

12 1-7 ผลคณู ของเวกเตอร ___________________________________ เวกเตอรไมใชเลขจาํ นวน เพราะประกอบดวยขนาดและทิศทาง การคณู กนั แบบเลขจาํ นวน ไมสามารถนํามาใชกับเวกเตอรได อันที่จริงเรากไ็ ดพิสูจนแ ลววา การบวกลบเวกเตอรก็ไมเหมือนกบั การ บวกลบเลขจาํ นวนธรรมดา การคณู เวกเตอรมีดว ยกัน 2 แบบ แบบแรกไดผลลพั ธเ ปนปริมาณสเกลาร ขณะท่แี บบทีส่ องไดผลลพั ธเปน ปรมิ าณเวกเตอร การคูณแบบที่หนึ่ง ผลลพั ธเปนปรมิ าณสเกลาร B B sinθ B θ θA B cosθ รูป 1-20 (a) เวกเตอร A และ B มจี ดุ ตงั้ ตน เดียวกนั คูณดวยวธิ กี ารดอตกนั (b) B cos θ เปนสวนประกอบของ B ในทศิ ของ A และ A⋅B ก็คือผลการ คณู ขนาดของ B บนแกน A กับ A นนั่ เอง เวกเตอร A และ B มจี ดุ ตั้งตนเดยี วกนั มมุ ระหวา งเวกเตอรเทากับ θ แสดงดังรปู 1-20 (a) เรานิยามผลของเวกเตอร A คูณ B ดังน้ี A⋅ B = AB cos θ = ⏐A⏐⏐B⏐cos θ ................... (1-16) ผลลพั ธเปนปริมาณสเกลาร มีแตข นาดเทานน้ั การคณู แบบแรกนี้มีชอื่ เฉพาะเรียกวา การดอตเวกเตอร ผลอาจจะเปนบวกหรือลบข้ึนอยกู ับมมุ θ ถา θ อยรู ะหวาง 0 ถึง 90 o ผลการดอตจะมี คา เปน บวก แตถ า θ อยูร ะหวา ง 90o ถึง 180o ผลจะไดเปน ลบ แตท่ีมุม θ = 90o A⋅B = 0 เราสามารถ สรปุ ไดว า ผลการดอตของเวกเตอรทง้ั สองมีคาเปนศนู ยเสมอ ถาเวกเตอรทั้งสองตัง้ ฉากกนั การดอตเวกเตอรไมจ าํ เปน ตอ งคาํ นึงถึงลาํ ดับกอนหลัง ดังน้ี A⋅B = B⋅ A จากสมการ (1-16) การดอตเวกเตอร คอื การคณู ขนาดของ ⏐A⏐ และ ⏐B⏐ cos θ จากรูป 1-20 (b) B cos θ คอื สวนประกอบของเวกเตอร B บนแกน A ดังนนั้ เราสรุปไดว า A ดอต B คือ ผลคูณ ของ⏐B⏐ กบั ⏐A⏐ บนแกนของ A นน่ั เอง เพื่อใหเ ห็นการดอตชดั เจน กค็ วรจะแยกองคประกอบเวกเตอรใ หอยใู นระบบพกิ ัด 3 มติ ิ โดยมี เวกเตอรหนง่ึ หนว ยกํากบั ทิศทาง A⋅B = (Axi + Ayj + Azk) ⋅ (Bxi + Byj + Bzk) ................... (1-17) การดอตระหวา งวงเลบ็ ใชวธิ กี ารคูณแบบธรรมดา วงเล็บแรกมี 3 เทอม วงเล็บหลังมี 3 เทอม ดอตกันจะได 9 เทอม ดังน้ี ฟสิกสร าชมงคล

13 A⋅B = (Axi ⋅ Bxi + Axi ⋅ Byj + Axi⋅BzB k ................... (1-18) + Ayj ⋅ Bxi + Ayj ⋅ByB j + Ayj ⋅ Bzk + Azk⋅BBxi + Azk⋅BByj + Azk⋅BzB k) แตละเทอมคือการดอตกันของเวกเตอรหน่งึ หนวย จะสงั เกตเหน็ วาเวกเตอรหนง่ึ หนว ยที่ดอต กันไมต้งั ฉากก็ขนานกันอยางใดอยา งหนึง่ ยกตัวอยาง Axi⋅BBxi เวกเตอรทง้ั 2 ขนานกัน เพราะอยบู นแกน x เหมือนกัน มมุ ระหวา งเวกเตอรเ ปนศนู ย cos θ มีคาเปนหน่งึ ผลลัพธการดอตกันคอื AxBBx เทอมถดั ไป Axi⋅ByB j เวกเตอรท ้ัง 2 ต้ังฉากกัน เพราะ Ax อยบู นแกน x และ By อยบู นแกน y คา cos θ มีคา เปนศูนย ผลลัพธก ารดอตเปน ศนู ย สมการ (1-18) มี 6 ใน 9 เทอมทีผ่ ลการดอตเปนศูนย มี 3 เทอมเทานน้ั ทไ่ี ม เปนศนู ย ผลลพั ธท ไ่ี ดค ือ A⋅B = AxBxB + AyByB + AzBBz ................... (1-19) ตวั อยา ง 1-4 จงหามุมระหวา งเวกเตอรท ้งั 2 ดงั นี้ A = 2i + 3j + 4k B = i - 2j + 3k หลักการคํานวณ จากสมการ (1-14) เรามี Ax = 2 BxB = 1 Ay = 3 ByB = -2 Az = 4 BzB = 3 จากสมการ (1-16) และ (1-19) จะได A⋅B = ⏐A⏐⏐B⏐ cos θ cosθ = AxBx + AyBy + AzBz ................... (1-20) AB AxBxB + AyByB + AzBzB = (2)(1) + (3)(-2) + (4)(3) = 8 |A| = 22 + 32 + 42 = 29 |B| = 12 + (−2)2 + 32 = 14 = 0.397 cos θ = 8 29 14 จะได θ = 66.6o การดอตเวกเตอรมคี วามสาํ คญั มากในบททจ่ี ะศึกษาตอไป โดยเฉพาะกบั เรื่องของงานและ พลงั งาน เมอื่ แรงคงท่ี F กระทาํ ตอวัตถุ ทาํ ใหวัตถเุ คลือ่ นที่ไประยะทาง d นิยามของงานจะเปนดงั น้ี W = F⋅d ฟส ิกสร าชมงคล

14 การคณู แบบท่ีสองผลลัพธเปนปรมิ าณเวกเตอร เวกเตอร A และ B มีจุดต้งั ตนเดียวกัน ดังรปู 1-20 มมุ ระหวางเวกเตอรเ ทากับ θ เวกเตอร ทั้งสองต้ังอยบู นระนาบเดยี วกนั ผลลพั ธการคูณของเวกเตอรท้งั สองจะต้ังฉากกับระนาบนี้ และขนาดจะมีคา เทากบั AB sin θ เนื่องจากผลทอ่ี อกมาเปนเวกเตอร การคณู แบบนี้มชี อ่ื เฉพาะเรียกวา การครอส เวกเตอร ให C เปน ผลลัพธข องการครอสเวกเตอร C = A×B ขนาดของ C หาไดจาก ⏐C⏐ = ⏐A⏐⏐B⏐ sinθ ................... (1-21) ถา θ ทํามุม 0 หรอื 180o คอื เวกเตอรท ้งั สองขนานหรือตรงกันขามกัน ผลของการครอสจะมี คาเทากับศนู ย ดงั น้นั สามารถสรุปไดว าเวกเตอรท ิศเดียวกันครอสกันเปน ศนู ยเ สมอ Bv Av รูป 1-21 เวกเตอร A และ B ตงั้ อยบู นระนาบเดยี วกัน ผลลัพธของเวกเตอร A×B จะอยใู นแนวต้งั ฉากกับระนาบนี้ ทศิ ทางของเวกเตอรล พั ธอธิบายดว ยกฎมอื ขวา ทศิ ทางการครอสเวกเตอรไ ดจ ากกฎของมือขวา จากรูป 1-21 ใหกาํ มอื ขวาหวั น้วิ โปงช้ีข้ึน ตั้งฉากกบั ระนาบการครอส หมนุ มอื ขวาทวนเข็มนาฬกิ า จาก A ไปยัง B หรือจะใชสกรู ก็ใหห ัวสกรวู างลง บนระนาบการครอสและหมนุ จาก A ไปยงั B เราจะไดทิศทางตามหวั นวิ้ โปง หรือสกรู ซงึ่ เปนผลจากการ ครอสเวกเตอร A×B ใชวิธเี ดียวกันถาเราจะหาผลการครอสเวกเตอร B×A ใหก าํ มอื ขวาหวั นิ้วโปงชี้ลงตั้งฉากกับ ระนาบการครอส หมุนมอื ขวาตามเข็มจาก B ไป A หรือจะใชส กรู ใหหวั สกรูวางลงบนระนาบการครอส และหมนุ จาก B ไป A ตอนนีจ้ ะเห็นวา ทิศทางจะตรงกันขา มกับตอนแรก ถา A×B มีทศิ ข้นึ B×A ก็จะมที ิศ ลง ดงั น้ัน การครอสกนั ตองคํานงึ ถึงลําดบั การครอสดวย ภาษาอังกฤษเรยี กการคูณโดยไมตองคาํ นึงถึง ลาํ ดับกอ นหลงั วา กฎการสลับท่ี (Commutative) การบวกลบและดอตเวกเตอรม คี ุณสมบัติ commutative ยกเวนการครอสเวกเตอร A และ B A×B = -B×A ................... (1-22) เพ่อื ใหก ารครอสชัดเจน กค็ วรจะแยกองคป ระกอบเวกเตอรใ หอ ยูในระบบพิกัด 3 มติ ิ โดยมี เวกเตอร 1 หนวยกาํ กับทิศทาง ฟส ิกสร าชมงคล

15 A×B = (Axi + Ayj + Azk ) × (Bxi + Byj + Bzk) การครอสระหวางวงเลบ็ ใชว ิธีการคณู ขามวงเล็บ วงเล็บแรกมี 3 เทอม วงเล็บหลงั มี 3 เทอม ครอสกันจะได 9 เทอม ดงั นี้ A×B = (Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk + Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk + Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk) ................... (1-23) ถาให C = A×B สวนประกอบของเวกเตอร C บนระบบพกิ ัด x, y และ z คือ Cx = AyBBz - AzBBy ................... (1-24) Cy = AzBBx - AxBzB Cz = AxByB - AyBBx การครอสเวกเตอรสามารถนําไปประยุกตใ ชใ นบทตอไป การทดลองเสมอื นจริง ตวั อยา ง ในรูปภาพ เวกเตอร A = 5 i เวกเตอร B = 5 j A x B = 25 k ให นกั ศึกษาทดลองครอสเวกเตอรในหองทดลองเสมือนจริง โดยกาํ หนดให เวกเตอร A = 5 i - 2 j + k เวกเตอร B = - 3 i + j - 7 k จะไดคาํ ตอบ A x B = 13 i + 32 j - k คาํ ถาม ใหน กั ศกึ ษาสรางเวกเตอร A และ B ขน้ึ มาดว ยตนเอง และทาํ การครอสในหอ งทดลอง เสมอื นจริง วาดภาพท่ไี ด พรอมกับคาํ นวณประกอบ กดท่ีรูปภาพหรอื ที่นีเ่ พอื่ เขา สกู ารทดลอง ตัวอยา ง 1-5 เวกเตอร A มีขนาด 6 หนว ย ทศิ + x เวกเตอร B มขี นาด 4 หนวย อยบู นระนาบ xy ทํามมุ 30o กับแกน + x และทาํ มุม 60o กับแกน +y จงหาผลลัพธของ A × B หลกั การคาํ นวณ ขนาดของการครอสเวกเตอร คอื |A| |B| sinθ = (6)(4) sin 30o = 12 จากกฎของมอื ขวา ผลลัพธของ A×B จะอยูในทิศ+z ฟสกิ สร าชมงคล

16 เราสามารถเขียนสวนประกอบของ A และ B บนแกน x, y และ z โดยเทยี บกับสมการ (1-24) Ax = 6 , Ay = 0 , Az = 0 Bx = 4 cos 30o = 2 3 By = 4 cos 60o = 2 , Bz = 0 ให C = A×B สว นประกอบของเวกเตอร C บนพกิ ดั x, y และ z คือ Cx = (0)(0) - (0)(2) =0 Cy = (0)(2 3 ) - (6)(0) =0 Cz = (6)(2) - (0)((2 3 ) = 12 C = 12 k เวกเตอร C จะมีทิศอยใู นแกน +z สวนขนาดจะเทากบั C 2 + C 2 + C 2 = 12 หนว ย x y z แบบฝก หดั ทา ยบทพรอมเฉลย แบบฝก หดั ทายบทพรอมเฉลย คลกิ ครับ ทดสอบกอ นและหลงั เรียน วธิ ที ํา ให ใสช ่อื สกลุ เลอื กวชิ าที่สอบ และจํานวนขอ แตต อ งไมเกินจากทก่ี ําหนดไว เชน กําหนดไว 10 ขอ เวลาเลือกจํานวนขอ ใหเลือก 5 และ 10 ขอ ไมเ กนิ จากน้ี เปนตน เม่อื ทําเสรจ็ สามารถดูคะแนนจากรายละเอียดผทู ําขอสอบไดทนั ที เรอื่ ง เวกเตอร คลกิ เขาสู ทดสอบกอนและหลังเรียน ฟสกิ สร าชมงคล

17 บรรยายลงในกระดานฟส ิกสราชมงคล ภาพยนตรเรือ่ ง independent day มฉี ากบางตอนสรา งข้นึ ภายใน คอมพวิ เตอร ใชวิธีทีเ่ รยี กวา เวกเตอร Graphic ภาพทั้งหมด ประกอบขึน้ ดว ยหลกั การทางเวกเตอร โดยการเชอื่ มจดุ ขนึ้ เปน เสน แตละเสน มขี นาดและทิศทางแนน อน ภาพหน่ึงภาพมเี สน ประกอบขึ้นเปน จํานวนหมนื่ ๆเสน ใหน กั ศกึ ษาบรรยายภาพน้ี หรือ ทเี่ ก่ยี วของกับวิธเี หลานล้ี งในกระดานฟสกิ สราชมงคล คลกิ เขาสูกระดานฟสกิ สราชมงคลใหม แบบฝก หดั เรอ่ื งเวกเตอร 1. รถยนตคนั หน่งึ แลนออกจากใจกลางเมอื งไปทางทศิ ตะวันออกเปนระยะทาง 80.0 km แลวจงึ เล้ียวไป ทางทศิ ใตเ ปนระยะทาง 192 k m นํา้ มันหมดพอดี จงหาการกระจัดของรถยนตจ ากใจกลางเมืองถงึ จดุ ที่หยุด [ ตอบ 208 km -67.4 องศา วัดเทียบกับทิศตะวนั ออกไปทางทิศใต ] 2. เตา ตวั เลก็ ๆ ตัวหน่ึงถูกนํามาวางไวท ่จี ุดกําเนิดของตาราง xy ท่ีเขยี นไวบนแผนกระดาษใหญแ ผน หนง่ึ ชอ งตารางแตละชองมขี นาด 1.0 cm x 1.0 cm เตาเดนิ ไปครูหน่ึง แลวในที่สดุ กห็ ยุดที่จุด (24, 10 ) นัน่ คือ ท่ี 24 ชองไปตามแกน x และ 10 ชอ งไปตามแกน y จงหาการกระจดั ของ เตาตัวนี้จากจดุ กําเนดิ [ ตอบ 26 cm 23 องศา เหนือแกน +x ] 3. จงหาองคป ระกอบสเกลารต ามแกน x และ แกน y ของการกระจัดตอไปน้ใี นระนาบ xy : ก) 300 cm ทํามุม 127 องศา และ ข) 500 cm ทาํ มุม 220 องศา [ ตอบ ก) -180 cm , 240 cm : ข) -383 cm , -321 cm ] 4. วตั ถุเคลื่อนท่เี ปนวงกลม มรี ศั มีความโคง 7 เมตร เมื่อเคล่ือนท่คี รบรอบพอดี จงหาระยะทาง และ การกระจัดที่วตั ถเุ คลอื่ นทไ่ี ด [ ตอบ 44 เมตร , 0 ] ฟสกิ สราชมงคล

18 5. ซเู ปอรแมนเหาะจากดาดฟา ดงั รปู จงหาองคประกอบของระยะกระจดั ตามแนวแกนระดบั และดิ่ง [ ตอบ 86.6 m , -50.0 m ] 6. มองจากดา นบนดงรูป ชายสองคนกาํ ลังดึงควายด้อื ตัวหนง่ึ จงคํานวณหา ก) แรงลัพธ ข) แรง ฉดุ ของคนท่ีสาม ทกี่ ระทาํ บนตวั ควาย และทําใหแรงลพั ธเ ปนศนู ย [ ตอบ ก) 198.3 N ข) 198.3 N ทาํ มมุ 246 องศา กบั แกน +x ] 7. เวกเตอร A ขนาด 4 หนว ยทาํ มุม θ กบั แกน + X จงหา ก. ขนาดขององคป ระกอบของเวกเตอรน ้ีตามแนวแกน X และ Y ข. สมการเวกเตอร ของเวกเตอร A ในรูปแบบของสญั ลักษณข องเวกเตอรหนงึ่ หนว ย [ ตอบ ก ) Ax = 4 cos θ , Ay = 4 sin θ ข ) A = 4 cos θ i + 4 sin θ j ] ฟสกิ สร าชมงคล

19 8. เวกเตอรสามปริมาณตอ กนั ดงั รูป ความสัมพันธทางเวกเตอรใ นขอใดตอไปน้ีผิด ก. A + B + C = 0 ข. –C = A + B ค. A = -B - C Cv Bv ง. B = C + A [ ตอบ ง.] Av 9. กาํ หนดให ABCDEF เปน รูปหกเหลย่ี ม ดังรูป จงประกาศผลบวกของเวกเตอรต อไปน้ใี หเหลือแค เวกเตอรเ ดยี ว 3.1 AB + BC + CD + DE (AB) 3.2 AB + BC + AF (AD) 3.3 AB + AC + AE +AF (2AD) 3.4 AB + AD + AB (2AD) 10. แรง 3 แรงกระทําตอ วตั ถหุ นงึ่ ณ จุดกําเนิดดงั แสดงในรปู จงหาเวกเตอรผ ลรวมของเวกเตอร ทัง้ 3 เวกเตอร เมื่อ N = นิวตัน y 8N 10 N 370 x 530 12 N [ ตอบ F = ( 15.2 i + 4.4 j ) N ] 11. กําหนดให A = 3i+ 4j และ B = -2 i - 2 j จงหา ข) 5i+6j ก. A + B ง ) - 14 ข. A - B ค. ขนาดและทิศทางของ A + B ง. A • B จ. A x B [ ตอบ ก ) i + 2 j ค ) 5 , 63.40 จากแกน + x จ) 2 k ] ฟส กิ สร าชมงคล

20 12. จงหาคาของมุมทเ่ี วกเตอร A = 3 i + 5 j + 2k ทํากับแกน X,Y และ Z ตามลาํ ดบั โดยอาศยั นิยามของผลคูณสเกลาร และมุมตางที่กําหนดไวใ นรปู [ ตอบ α = 60.80, β = 35.80, γ = 71.10 ] x กําหนดให (ใชตอบคาํ ถามขอ 13-17) จงหา A=2i+3j+4k 13. A + 2C B = i -10 j + 8 k 14. B – (3A x C) C = -5 i + 7 j - 9 k 15. A x B D = 11 i + 3 j – 13k 16. | 2A + D| 17. เวกเตอรห น่ึงหนว ยของ A, B, C, D 18. จงแสดงวาเวกเตอร A = 2 i – j + 2k และ เวกเตอร B = -2 i + 4 j + 4 k ตง้ั ฉากกนั 19. จงแสดงวา เวกเตอร A = i - 3 j + 4 k และ เวกเตอร B = - 2 i + 6 j – 8 k ไม ขนานกนั 20. จงแสดงใหเ หน็ วาผลคูณแบบเวกเตอร A x B สามารถเขยี นในรปู ของดีเทอรมิแนนตไดคือ AxB = i jk Ax Ay Az Bx By Bz ฟสิกสราชมงคล

ฟส ิกส 1(ภาคกลศาสตร( หนังสอื อิเลก็ ทรอนิกส ฟส กิ ส 1 (ความรอ น) ฟสกิ ส 2 กลศาสตรเ วกเตอร โลหะวทิ ยาฟสิกส การทดลองเสมอื น ฟสิกส 2 (บรรยาย( แบบฝกหัดกลาง เอกสารคําสอนฟส ิกส 1 ฟสกิ สพศิ วง ความรูรอบตวั แกป ญ หาฟสิกสดวยภาษา c ทดสอบออนไลน สอนฟส ิกสผานทางอินเตอรเน็ต หนา แรกในอดีต เอกสารการสอน PDF วีดโี อการเรยี นการสอน แบบฝก หดั ออนไลน แผนใสการเรยี นการสอน กจิ กรรมการทดลองทางวิทยาศาสตร บทความพิเศษ พจนานุกรมฟสกิ ส สุดยอดสิง่ ประดษิ ฐ ธรรมชาตมิ หศั จรรย ตารางธาตุ)ไทย1) 2 (Eng) การทดลองมหัศจรรย ลับสมองกับปญ หาฟส ิกส สูตรพืน้ ฐานฟสิกส แบบฝกหัดโลหะวิทยา ดาราศาสตรร าชมงคล ความรรู อบตัวท่ัวไป แบบทดสอบ อะไรเอย ? ทดสอบ)เกมเศรษฐี( คดปี รศิ นา ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร คาํ ศัพทประจําสัปดาห ผไู ดร ับโนเบลสาขาฟส ิกส การประดิษฐแของโลก นักวทิ ยาศาสตรไทย นักวิทยาศาสตรเทศ ดาราศาสตรพ ิศวง การทาํ งานของอปุ กรณทางฟสกิ ส การทาํ งานของอุปกรณตา งๆ

การเรยี นการสอนฟสกิ ส 1 ผา นทางอินเตอรเน็ต 1. การวัด 2. เวกเตอร 3. การเคลอ่ื นทแ่ี บบหนง่ึ มิติ 4. การเคล่ือนที่บนระนาบ 5. กฎการเคลือ่ นทีข่ องนวิ ตัน 6. การประยกุ ตกฎการเคลือ่ นท่ีของนวิ ตนั 7. งานและพลังงาน 8. การดลและโมเมนตมั 9. การหมุน 10. สมดุลของวัตถุแข็งเกรง็ 11. การเคลื่อนที่แบบคาบ 12. ความยืดหยนุ 13. กลศาสตรข องไหล 14. ปรมิ าณความรอ น และ กลไกการถา ยโอนความรอน 15. กฎขอทหี่ นงึ่ และสองของเทอรโ มไดนามิก 16. คณุ สมบัติเชิงโมเลกุลของสสาร 17. คล่ืน 18.การส่นั และคล่ืนเสยี ง การเรยี นการสอนฟสกิ ส 2 ผา นทางอินเตอรเน็ต 1. ไฟฟาสถติ 2. สนามไฟฟา 3. ความกวา งของสายฟา 4. ตัวเกบ็ ประจแุ ละการตอ ตัวตานทาน 5. ศกั ยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเ หลก็ 8.การเหนี่ยวนาํ 9. ไฟฟากระแสสลบั 10. ทรานซิสเตอร 11. สนามแมเ หลก็ ไฟฟา และเสาอากาศ 12. แสงและการมองเหน็ 13. ทฤษฎสี มั พัทธภาพ 14. กลศาสตรค วอนตัม 15. โครงสรา งของอะตอม 16. นิวเคลยี ร การเรยี นการสอนฟสกิ สท่วั ไป ผานทางอนิ เตอรเน็ต 1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตัม 4. ซิมเปลฮารโมนิก คลื่น และเสียง 5. ของไหลกับความรอ น 7. แมเ หล็กไฟฟา 6.ไฟฟาสถติ กับกระแสไฟฟา 9. ทฤษฎสี มั พทั ธภาพ อะตอม และนวิ เคลยี ร 8. คลื่นแมเ หลก็ ไฟฟา กบั แสง ฟส กิ สร าชมงคล