Problemas ondas y sonido 2013

PROBLEMAS RESUELTOS DE ONDAS y SONIDO CURSO 2011 - 2012Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, 1 Alfonso Calera, José González Departamento Física Aplicada. UCLM

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 1. Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación (en unidades S.I.)Calcular: y  0.2sin6 t   x   / 4a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagación.b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0,2 m en el instante t = 0,3 s.c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m.a) Ecuación de la forma yx, t  A sin t  k x    Se propaga en sentido negativo del eje X  2 f  6 rad/s  f  3 Hz  T 1 f  0.333 s c    6k  2   m-1    2 m k  6 m/sb) Para x = 0.2 m, t = 0.3 s.y  0.2 sin6  0.3    0.2   / 4  0.2 sin7.069  0.1414 mVelocidad dy  0.2  6 cos6 t   x   / 4  0.2  6 cos7.069  2.666 m/s dtAceleración d2y  0.2 36 2 sin6 t   x   / 4 dt 2  0.2 36 2 cos7.069  50.25 m/s 2c) Diferencia de fase entre dos puntos separados x = 0.3 m1  6 t   x   / 4    2  1  0.3  rad2  6 t   x  0.3  / 4 2

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 2. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda tensa está dada por y  6 sin0.02 x  4 t donde x, y están en cm; t en segundos a) Poner esta ecuación en forma coseno. Determinar su longitud de onda y su frecuencia. b) ¿Cuál es su amplitud? ¿En qué sentido se propaga, y cuál es la velocidad de propagación? c) ¿Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda? ¿Y la aceleración máxima?a) Para ponerla en forma coseno tendremos en cuenta la relación (El seno de un ángulo está atrasado  /2 rad cos   / 2  cos cos / 2 sin sin / 2  sin respecto al coseno) y  6sin0.02 x  4 t  6 cos0.02 x  4 t   / 2Número de k  2  0.02 cm-1   100 cm Frecuencia   2  2 f  4 rad/s f  2 Hz ondas k  angular  T T  0.5 sb) Amplitud: directamente de la ecuación A = 6 cm. Velocidad v    4 rad/s  200 cm/s Se propaga en el sentido negativo del eje X. propagación k 0.02 cm-1c) Velocidad de vibracióny  d yx,t  6  4 cos0.02 x  4 t   24 cos0.02 x  4 t ymax  24 cm/s dty  d2 yx, t   24 ·4 sin0.02 x  4 t 96 2 sin0.02 x  4 t ymax  96 2 cm/s2 dt 2 3

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 3. El nivel de presión LP de una onda sonora se define como 2     LP  10 log10  prms   20 log10  prms  donde pref  2 105 Pa  p ref  p ref  siendo prms el valor rms de la onda de presión en el punto considerado.Un diapasón vibra con una frecuencia de 275.2 Hz. Una persona que oye la nota Xemitida por el mismo percibe un nivel de presión de 64 dB. Calcular la longitud deonda, escribir la ecuación de onda y determinar la intensidad de la onda en W/m2.Densidad del aire  = 1,29 g/litro. Velocidad de propagación del sonido v = 344 m/s.Relación entre la intensidad en W/m2 y la presión en Pa: I  p2 / ·v rmsLongitud de onda: cálculo a partir de v    ·f   v  344  5  1.25 m f 275.2 4 TAmplitud de la onda sonora LP  20 log10  prms  prms  pref ·10LP / 20 64  20 log10  prms   p ref   2·105   log10  prms   64  3.2 prms  2·105·103.2  3.17·102 Pa  2·105  20 Ecuación de ondaCálculo de  y k   2 f  2  275.2  550.4  1729.1 rad/s p  prms 2 cos(kx  t) v    k    1729.1  5.0 m-1 p  3.17 2·102 cos(5.0x  550.4 t) k v 344Intensidad (W/m2) I  p2  I  3.17·102 2  2.26·106 W/m2 rms 1.29·344 ·v  1.29 g/litro  1.29 10-3 kg  1.29 kg 10-3 m3 m3 4

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 4Un diapasón montado sobre una caja de resonancia se golpea con un martilleteemitiendo una onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s y alcanza unreceptor. Considerando que la onda que alcanza el receptor es una onda plana, sepide:a) Si la sobrepresión máxima producida por la onda sonora en el receptor es iguala p0 = 210-4 Pa, escribir la ecuación de la onda viajera, explicando la elección quese haga para la fase inicial, y calcular su longitud de onda.b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación Ayuda I  1 p02indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el 2vreceptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I?c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dBmayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento:  = 1.22 kg/m3a) Onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s. Sobrepresión máxima en el receptor p0 = 210-4 Pa.v k    2 f  2 612  3.6 m-1   2  2  0.555 m k vv 340 k 3.6  2 f  2  612  1224 rad/s Suponemos que se propaga de izquierda a derechapx,t  p0 coskx   t    p0,0  p0 cos   p0  0Elegimos como punto inicial el momento px,t  2 104 cos3.6 x 1224 t ( p en Pa)en que la presión pasa por un máximo Longitud de onda   2  2  0.555 m 5 k 3.6

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 4 (Continuación)b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación Ayuda I  1 p02indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el 2vreceptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I?c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB.d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dBmayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento:  = 1.22 kg/m3b) Nivel de intensidad que percibe el receptor  I  1 p02  1  2 104 2  4.821011 W/m2 2  v 2 1.22 340 Densidad del aire:  = 1.22 kg/m3 Justificación de las unidades S.I. I   Potencia  watios Área m2 10 log10 4.82 1011  1012 c) Nivel de intensidad LI   10 log 4.82 1011 120  17 dBd) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dBmayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor?LI  LI  20  17  20  10 log10  I  log10  I   3.7 I  103.7  1012   1012  1012 I   103.7 1012  5 109 W/m2 6

PROBLEMA 5 Un diapasón emite un tono puro de frecuencia 440 Hz, que es percibido por un receptor con un nivel depdroensdióengseosneolracodeefi6c0iedntBe. aSdaibabieántdicooqyueMeelsnliaveml adseapmreoslieócnulsaorndoeral geasstá. dado por LP  20log10 p0 pref , donde el nivel de referenciade presión es pref = 2·10-6 Pa, y sabiendo que el aire circundante se encuentra a 27 ºC, se pide:a) Determinar la longitud de onda de este tono.b) Escribir la ecuación de la onda sonora, especificando su amplitud (en Pa), su número de ondas y su frecuencia angular.c) Suponiendo que la temperatura del aire se redujese hasta 0 ºC, ¿qué variaciones sufrirían la frecuencia angular y la longitud deonda?Ayuda: La velocidad del sonido en un gas está dada en función de la temperatura absoluta T por la expresión: v  g R T MDatos: masa molecular del aire: Constante de los gases: Coeficiente adiabático: M  0.0289 kg·mol-1 R  8.314 J·K-1·mol-1 g  1.40a) Longitud de onda de este tono: calculamos primero la velocidad de propagación. v  g R T  1.4·8.314·300  347.6 m/s M 0.0289Relación entre la velocidad de propagación, v  · f   v  347.6  0.79 m f 440 la frecuencia y la longitud de ondab) Ecuación de la onda: px,t  p0 coskx  t (Suponemos fase inicial nula y desplazamiento x )Cálculo de la amplitud p0: LP  20 log10  p0   60 dB log p0   3 p0  2·106·103  2·103 Pa  2·106   2·106 Número de ondas y frecuencia angular: k  2 /   2 / 0.79  7.95 m1   2· f  2 · 440  2764.6 rad·s1 px,t  2·103 cos7.95 x  2764.6 t Pac) El cambio de temperatura del aire supone un cambio en las propiedades elásticas del medio de transmisión de la onda, y por tanto un cambio en la velocidad de propagación. Como la frecuencia de la onda emitida no cambia, ya que ésta depende del ritmo de vibración del diapasón, la frecuencia angular no cambiará respecto al cálculo anterior. Pero puesto que la velocidad de propagación sí cambia, deberá cambiar la longitud de onda. Los nuevos valores son: v  g R T   1.4·8.314·273  331.6 m/s   v  331.6  0.75 m 7 M 0.0289 f 440

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 6Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor máximo de presión porencima de la presión ambiental es 410-2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire.a) Escribir la ecuación de onda. Determinar la longitud de onda.b) ¿Cuál es el nivel de presión sonora?. Presión de referencia pref = 210-5 Pa.a) Ecuación de onda: consideramos una onda plana en el sentido creciente del eje X y tomamos el origen demodo que la fase inicial sea cero. px,t   p0 cosk x   t p, p0 en Pa, x en m, t en s  2 f  2  4300  8600 Hz px,t   4 102 cos25 x  8600 t  (Pa)v k    8600  25 m-1   2  2  0.08 m k v 344 k 25b) Nivel de presión sonora. Presión de referencia pref = 210-5 Pa. Presión rms: prms = p0/2 = 2.83· 10-2 Pa   2    2.83102    2 105 LP  10 log10  prms  20 log10  prms  20 log10  63 dB  p ref  p ref   8

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 7Un tono puro de 432.9 Hz se propaga en el aire a 340 m/s. La amplitud de la onda de presión enun punto situado a 2 m de la fuente es de 184 mPa. Se pide:(a) La ecuación de onda y representar en el punto indicado la presión como función del tiempo.(b) Calcular la intensidad de la onda y el nivel de intensidad en dicho punto.Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2; densidad del aire 1.27 kg.m-3.Cálculo de  y k   2 f  2  432.9  865.8 rad/s  2720 rad/s v    k    2720  8 m-1 k v 340p  pm cos(kx  t)  184cos(8 x  2720 t) mPaRepresentación gráfica en x = 2 m Valor rms de prms  pm  184  130 mPa la presión 2 2p  184cos(16  2720 t) mPa 200 p2 rms150 100 I  ·c I  130·103 2  3.91·105 W/m2 1.27·34050 3,91·105 10120 LI  10 log I  10 log  75.9  76 dB I0-50-100-150-200 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,000 t s 9

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 8El nivel de intensidad de la sirena de un barco, percibido por un marinero en la cubierta a 10metros de distancia de la misma, es de 70 dB.Determinar (a) el nivel de intensidad a 1 km de distancia; (b) la distancia a la cual la sirena dejaráde ser audible; (c) la presión rms de la onda sonora a la distancia a la que la sirena deja de seraudible. Umbral de percepción de intensidad I0 = 10-12 W·m-2; densidad del aire 1.20 kg.m-3;velocidad del sonido 338 m/s.A 10 m de distancia (punto 1) LI 1  10 log I1  70 dB I1  1012·107  105 W·m-2 Intensidad de laA 1 km de distancia (punto 2) I0 onda en cubierta LI 2  10 log I2 LI 2  LI1  10  log I2  log I1   10 log I2  LI 2  70 I0 I0 I0 I1La intensidad de las ondassonoras es inversamente  I2  r12  102  102  104 LI 2  70 10log104  70  40  30 dBproporcional al cuadrado de la r22 103 2 106distancia a la fuente (suponemos I1propagación isótropa)La distancia r0 a la que la sirena deja de ser I1  r02 r0  r1 I1  10 105  31600 maudible es aquella a la intensidad de la onda se I0 r12 I0 1012hace igual al límite de percepción I0 = 10-12 W·m-2Relación entre la I  p2  prms 0  ·c·I0  1.29·344·1012  2·105 Pa Umbral deintensidad y la rms presión = 20 Papresión rms de laonda sonora ·c 10

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 9Una fuente sonora isótropa produce un nivel de intensidad de 65 dB a 1 m de distancia. Lascondiciones ambientales son densidad del aire 1.27 kg.m-3 y velocidad del sonido 340 m/s.Calcular (a) la potencia emitida por la fuente; (b) el valor máximo de la presión de la onda sonoraa 2 m de la fuente ¿Cuál es el valor rms correspondiente?. Umbral de percepción de intensidad I0= 10-12 W·m-2.LI 1  10 log I1  65 dB log I1  6.5 I1  1012 ·106.5  105.5 W·m-2  3.16·106 W·m-2 Intensidad a 1 m de la fuente I0 I0La intensidad a 1 m de la fuente es la I1  W W  I1·4 r12potencia emitida repartida sobre la 4 r12 W  4 ·3.16 ·106 W  4·105 Wsuperficie de una esfera de radio r1 = 1m.Para determinar la presión de la onda sonora calculamos la intensidad a r2 = 2 m de la fuente.La intensidad de las ondas I2  r12 I2  I1 r12  105.5 12  105.5  7.91·107 W·m-2sonoras es inversamente I1 r22 r22 22 4proporcional al cuadradode la distancia a la fuenteRelación entre la I  pm2  pm   2·c·I2  2·1.27·340·7.91·107  2.61·102 Paintensidad y la 2·c 2presión máximade la onda sonoraEn una función senoidal la relación prms  pm  2.61·102 Pa  1.85·102 Pa 11entre valor máximo y valor rms es 2 2

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 10. Un altavoz de forma semiesférica se ajusta para un nivel de intensidad de 40dB a 10 m de distancia. (a) ¿Cuál es la intensidad en W·m-2 a esa distancia? (b) ¿Cuál es el nivelde intensidad a 2.5 m de distancia? (c) Suponiendo que el altavoz semiesférico es una fuenteisótropa de sonido, ¿cuál es su potencia? (d) ¿Cuál es la presión rms a 20 m de distancia?Densidad del aire 1.29 kg.m-3; velocidad del sonido 344 m/s. Umbral de percepción de intensidadI0 = 10-12 W·m-2.A r1 = 10 m de distancia (punto 1) LI1  10 log I1  40 dB I1  1012·104  108 W·m-2 I0Intensidad inversamente proporcional al cuadrado de la I2  r12 I1 r22distancia a la fuente, por tanto para r2 = 2.5 m la intensidad esI2  I1 r12  108 102  1.6·107 W·m-2 LI 2  10log I2  10 log 1.6·107  52 dB r22 2.52 I0 1012 3 La potencia emitida por el altavoz se distribuye uniformemente sobre una superficie semiesférica. Por lo tanto, tomando el dato de I1 y r1 tenemos que r3 I1  W W  I1·2 r12 W  108·2 ·102  6.28·106 W 2 r121 Para calcular la presión rms a 20 m hallamos primero la intensidad de la onda 2 I3  r12 I3  I1 r12  108 102  2.5·107 W·m-2 r1 I1 r32 r32 202 r2 I  p2 /  ·c  prms  I ··c  2.5·107·1.29·344  1.05·102 Pa 12 rms

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 11. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda viene dada por: y  0.06 sin0.40 x  50 t (Unidades S.I.)Calcular:a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación. Ayudab) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerdac) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por sin A  sin B  2sin A  B  cos A  B  2 2ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante dela interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo yque se propaga en sentido contrario?.d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria   50 rad/sa) Se trata de una onda viajera en el sentido negativo del eje X k  0.40 m-1   2 f  50 rad/s  f   2  25 Hz  T  1 f  0.04 s k  2   0.40 m-1    2 0.40  5 m Velocidad de propagación c    50  125 m/s k 0.40b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda. (m/s) d yx,t  0.0550 cos0.40 x  50 t   2.5 cos0.40 x  50 t dt 13

PROBLEMA 11 (continuación) Problemas resueltos ondas y sonidoc) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por Ayudaambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante dela interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y sin A  sin B  2 sin A  B  cos A  B que se propaga en sentido contrario?. 2 2d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionariac) La onda que se propaga en sentido contrario es y2x, t  0.05 sink x   t Se invierte la fase de la onda reflejadaLa superposición de las dos, llamando y1(x,t) a la primera, es: 0.40 m-1 50 rad/sy1x,t   0.05 sink x   t  0.05 sin k x cos t  0.05cos k x sin ty2 x,t  0.05 sink x   t  0.05 sin k x cos t  0.05 cos k x sin  t Suma: y1x, t y2 x, t  0.10 cos k x sin  t y1x,t  y2 x, t  0.10 cos0.40 x sin50 t Onda estacionariaProcedimiento alternativo: usando la relación trigonométrica sin A  sin B  2 sin  A  B   cos A  B     2 2y1x,t   0.05 sink x   t A  k x   t A  B  2 ty2 x, t  0.05 sink x   t B  k x   t A  B  2k x y1x,t  y2 x,t  0.05sink x   t 0.05sink x   t  0.10 cos k x sin t y1x,t y2 x,t  0.10 cos0.40 xsin50 td) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria es igual que la distancia entre dosnodos consecutivos (puntos donde la amplitud es nula)Hay un nodo si cos0.40 x  0 0.40 x  2n 1 / 2 (n entero)Posiciones de los nodos xn  2n 1 Cuando n = 0 → x0  1.25 m 0.80 Cuando n = 1 → x1  3.75 m (Véase que es la mitad de la l1on4gitudDistancia entre vientres = distancia entre nodos = x1  x0  2.5 m de onda de las ondas que interfieren)

Problemas resueltos ondas y sonidoPROBLEMA 12La ecuación del segundo armónico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida auna tensión de 50 N está dada por yx,t  8 sin0.2 xsin20 t x en m, y en cm, t en sa) Determinar la frecuencia y velocidad de propagación de las ondas viajeras cuya interferencia produce laonda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa.b) Escribir la ecuación de onda del término fundamental. Hallar la máxima velocidad de vibración de un puntode la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud máxima es igual que la del segundo armónico.c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armónico. y (cm) 10a) Parámetros de la onda k2  0.2 m-1 2  20 rad s-1 8. estacionaria 6 2  2  2  10 m f2  2  20  10 Hz 4 k2 0.2 2 2 2 0v  2  20  100 m/s v T   T 50  5 103 kg/m -2 k2 0.2  v2  104 -4 -6 -8b) Las frecuencias de todos los armónicos son 2 x (m). múltiplos enteros del término fundamental fn  n  f1   2  10 rad s1 -10 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Longitud de onda: L  n n n  2L 1  2L  20 m k1  2 / 1  2 / 20  0.1 m-1 2 n 1y1x, t  8 sin0.1 xsin10 t x en m, y en cm, t en s vmax  y1x,t  max  80 cm/sc) Ecuación 4º armónico 4  2L  5 m k4  2  2  0.4 m-1 10 y (cm) 4 4 54  41  40 rad  s-1 8 Hay un nodo para cada valor x que verifica 6y4 x,t   8 sin0.4 xsin40 t  4 sin0.4 x  0 2 0 -2x en m, y en cm, t en s -4 -6 x1  0 x2  2.5 x3  5 x4  7.5 x5  10 (m) -8 15 -10 x (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10