บทที่ 1 จำนวนและตัวเลขnew

บทท่ี 1 จำนวนและตวั เลข 1 ครูวิลำวัลย์ วชั โรทยั

ความหมายของจานวน (Numbers) 2 •คอื คำทบ่ี อกปริมำณ ว่ำมำกน้อยเพียงไร เช่น • สำมมำกกว่ำสอง • ย่ีสบิ มำกกว่ำสบิ เกำ้ • สิบห้ำน้อยกวำ่ ยีส่ ิบ เป็นต้น

ความหมายของตวั เลข (Numberials) 3 • คอื สัญลกั ษณ์ทใ่ี ช้แทนจำนวน ดังนั้น จงึ จะเห็นไดว้ ำ่ จำนวนเดียวกัน อำจใช้สัญลกั ษณแ์ ตกต่ำงกนั ข้ึนอยู่กับภำษำและวิธกี ำร เชน่ ๑ แทน เลขหนง่ึ (ตวั เลขไทย) 100 แทน เลขหนงึ่ รอ้ ย (ตัวเลขฮินด-ู อำรบิก) แทน เลขหน่งึ พัน (ตวั เลขอียิปต์โบรำณ) • ตวั เลขสำกลทีใ่ ช้ท่ัวโลก คือ ระบบตัวเลขฮินดู-อำรบกิ ผู้คิดค้นคนแรก เปน็ ชำวฮนิ ดัล ต่อมำชำวอำหรับได้นำไปเผยแพรใ่ นยุโรป

ตวั เลขอยี ิปต์โบราณ 4 • ในสมัยโบรำณชำวอยี ิปตเ์ ปน็ ชำตทิ ี่เจรญิ รงุ่ เรอื งทำงด้ำนศลิ ปะวิทยำกำร เปน็ ชำติท่ีบันทกึ จำนวนโดยใช้ภำพเปน็ สญั ลกั ษณแ์ ทนจำนวนตำ่ ง ๆ ดงั น้ี

ตวั เลขอยี ิปตโ์ บราณ 5

ตวั อยำ่ ง 6

7

8

ตวั เลขบำบิโลน (Babylonian Numbers) 9 • ชำวบำบิโลนใชส้ ญั ลกั ษณท์ คี่ ลำ้ ยรูปล่มิ ( ) ซ่ึงเปน็ ผลจำกกำรบนั ทกึ รอยของ วัตถุที่มรี ปู คลำ้ ยลม่ิ แทนจำนวน เชน่

ตวั เลขบำบโิ ลน (Babylonian Numbers) 10

11

ตวั เลขจนี 12

ตวั เลขโรมนั (Roman Numbers) 13

หลกั กำรเขยี นตวั เลขโรมนั 14 • หลกั กำรเพ่มิ คอื เขียนตัวเลขเรยี งกันตำมลำดับจำกคำ่ มำก (ตวั เลขหลัก) ไปหำ ค่ำนอ้ ย แล้วนำคำ่ ตัวเลขมำบวกกนั และตวั เลขท่เี ขยี นด้ำนขวำของตัวเลขหลกั สำมำรถเปน็ ตัวเลขท่ซี ำ้ กันได้ต้ังแต่ 1-3 ตวั เช่น • VI = 5+1 = 6 ตอบ • VIII = 5+3 = 8 ตอบ • XI = 10+1 = 11 ตอบ • DLXI = 500+50+10+1 = 561 ตอบ

ขอ้ สงั เกต 15 •ไมเ่ ขียน IIII แทน 4 แตเ่ ขียนแทนดว้ ย IV •ไม่เขียน VIIII แทน 9 แตเ่ ขียนแทนดว้ ย IX •ไมเ่ ขยี น XXXX แทน 40 แตเ่ ขียนแทนด้วย XL •ไมเ่ ขยี น DCCCC แทน 900 แต่เขียนแทนดว้ ย CM

ตย. จงเขียนตวั เลขโรมนั เป็นอารบิก 16 •LXXX = 50 + 10+10+10 = 50+30 = 80 ตอบ •DCCC = 500+ 100+100+100 = 500+300 = 800 ตอบ •MMXVII = 1,000+1,000+10+5+2 = 2,000+10+5+2 = 2,017 ตอบ •DCCXIII = 500 + 200 +10 +3 = 713 ตอบ

หลักกำรเขียนตวั เลขโรมนั 17 • หลกั กำรลด คอื เขยี นตัวเลขที่มีคำ่ นอ้ ยไวข้ ้ำงหนำ้ ตัวเลขทมี่ ีค่ำมำก (ตวั เลขหลกั ) แล้วนำคำ่ ตวั เลขมำลบกัน หลักกำรเขยี นตวั เลขซงึ่ อยู่ดำ้ นซ้ำยของตวั เลขหลักมีเง่อื นไข ดังน้ี 1. ตัวเลขทีใ่ ช้เป็นตัวลบ ไดแ้ ก่ I, X และ C เท่ำนนั้ 2. ตัวเลขท่ีอยหู่ นำ้ ของ X หรือ V ไดแ้ ก่ I เพียงตัวเดียว เชน่ IV = 5-1= 4 IX = 10-1 = 9 3. ตวั เลขทอี่ ยู่หน้ำของ L หรอื C ได้แก่ X เพียงตัวเดียว เช่น XL = 50-10 = 40 XC = 100-10 = 90

หลักกำรเขยี นตวั เลขโรมนั 18 4. ตัวเลขท่ีอยูห่ นำ้ ของ D หรอื M ได้แก่ C เพียงตัวเดยี ว เช่น CD = 500-100 = 400 CM = 1,000-100 = 900 5. ตวั เลขทเ่ี ขียนดำ้ นซำ้ ยของตวั เลขหลกั เขียนได้เพยี งตัวเดียวเทำ่ นัน้ เช่น IV = 5-1 =4 CM = 1,000-100 = 900 XL = 50-10 = 40

หลักกำรเขียนตวั เลขโรมนั 19 ในระบบตวั เลขโรมนั ยงั มีสัญลกั ษณ์แทนจำนวนค่ำมำกๆ โดยใช้เครอื่ งหมำย “ ” บน สัญลักษณพ์ ้นื ฐำนเพียง 6 ตัว ดงั นี้ V แทน 5,000 = 5x1,000 C แทน 100,000 =100x1,000 X แทน 10,000 = 10x1,000 D แทน 500,000 = 500x1,000 L แทน 50,000 = 50x1,000 M แทน 1,000,000 = 1,000x1,000 หมำยเหตุ “ ” อ่ำนวำ่ บำร์ ซึ่งมคี ำ่ สัญลักษณน์ ั้นคณู ด้วย 1,000 เชน่ V = 5 x 1,000 = 5,000 X = 10 x 1,000 x 1,000 = 10,000,000

ตย. จงเขียนตัวเลขโรมันเป็นอารบิก 20 • MMCDLXVII =(1,000+1,000)+(500-100) +(50+10) +(5+2) =2,467 ตอบ • MCMLXXVIII = 1,000+(1,000-100) +(50+10+10) +(5+3) =1,978 ตอบ • IV = (5-1)x1,000 = 4 x 1,000 = 4,000 ตอบ • XMMMCMXCIX = (10x1,000)+(1,000+1,000+1,000) +(1,000-100) +(100-10)+(10-1) = 13,999 ตอบ

21

แบบฝกึ หัดท่ี 3 จงเปล่ยี นตวั เลขโรมนั กับตวั เลขฮนิ ด-ู อารบกิ 22

จานวนจริง (Real Number : R) 23 • คือ จำนวนจำนวนซงึ่ หำค่ำไดห้ รอื มีอยูจ่ รงิ ในธรรมชำติ จำนวนจรงิ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเตม็ เศษส่วน ทศนิยมซำ้ กรณ์ ¶ , e ทศนิยมไม่ซำ้ จำนวนเตม็ บวก ศนู ย์ ทศนิยมซำ้

จำนวนตรรกยะ (Ration Numbers) 24 • คือ จำนวนที่สำมำรถเขียนในรูปจำนวนเต็ม เศษสว่ น หรอื ทศนยิ ม ซ้ำ ซึง่ รูปโดยท่วั ไปของจำนวนตรรกยะ คอื a/b โดยท่ี a,b เป็น จำนวนเต็ม และ b≠ 0 เช่น เขียนแทนดว้ ย 0.5000

จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) 25 • คอื จำนวนทีไ่ มส่ ำมำรถเขยี นใหอ้ ย่ใู นรูปเศษส่วน จำนวนอตรรกยะ ประกอบดว้ ยจำนวนประเภทต่ำง ๆ ดังนี้ 1. กรณ์ คือเครือ่ งหมำย √ ใชเ้ ป็นสญั ลกั ษณ์แทนจำนวนซง่ึ ไม่ สำมำรถหำคำ่ ทีแ่ น่นอนได้ เชน่ √2 , -√3 เป็นตน้ 2. ¶ มคี ่ำเทำ่ กบั 22/7 และ 3.14 ซ่ึงเป็นคำ่ ประมำณของ ¶ , e ≈ 2.718 3. จำนวนทศนิยมไมซ่ ้ำ เช่น 1.1707168... , 0.4455235 ... เป็นตน้

ระบบจำนวนเต็ม 26 คอื จำนวนทีเ่ ป็นตัวเลขไม่มเี ศษ เช่น -5, 0, 3 เปน็ ต้น แบ่งออกเปน็ 3 ประเภท คือ 1. จำนวนเตม็ ลบ คอื จำนวนเตม็ ทีม่ ีคำ่ นอ้ ยกว่ำ 0 จำนวนเต็มลบเริ่มตัง้ แต่ -1 ลดครัง้ ละ -1 ไปเรอ่ื ย ๆ ไม่สิ้นสดุ เช่น -1 -1-1 = -2 -5 -4 -3 -2 -1 -2-1 = -3

ระบบจำนวนเต็ม (ตอ่ ) 27 2. จำนวนศนู ย์ คอื จำนวนเต็มท่ีมคี ำ่ เทำ่ กบั 0 จำนวนศูนย์ประกอบดว้ ย สมำชกิ เพยี งตัวเดยี ว คอื 0 ซึ่งเปน็ จำนวนน้อยกว่ำ 1 และอยู่หำ่ งจำก 1 เป็น ระยะทำง 1 หน่วย ดังนี้ 0 12 3 4

ระบบจำนวนเต็ม (ตอ่ ) 28 3. จำนวนเต็มบวก (Integer) หรือจำนวนนับ หรอื จำนวนธรรมชำติ ใช้ สัญลักษณ์ N หรือ I+ คอื จำนวนเต็มท่ีมคี ่ำมำกกว่ำ 0 หรืออำจเรยี กเร่ิม ตั้งแต่ 1 และเพม่ิ ขน้ึ ทีละ 1, 2, 3, ... เรือ่ ยไปไม่สิ้นสดุ กำรเขยี นจำนวนเต็มบ1วก ศนู ย์ แ2ละจำน3วนเตม็ ล4บ เขยี น5ได้ ดงั น้ี -3 -2 -1 0 1 2 3

กำรบวกจำนวนเต็ม 29 ค่ำสมั บูรณข์ องจำนวนเตม็ คือ ระยะหำ่ งจำก 0 ถึงค่ำจำนวนเต็มใดๆ ค่ำ สัมบรู ณ์ของจำนวนเตม็ ใดๆ ใช้สญั ลักษณ์ | | เชน่ |-3| แทนค่ำสัมบรู ณ์ของ 3 ดงั น้นั |-3| = 3 หมำยควำมว่ำ -3 อยู่หำ่ งจำก 0 เปน็ ระยะทำง 3 หน่วย |4| แทนค่ำสัมบรู ณ์ของ 4 ดงั น้นั |4| = 4 หมำยควำมวำ่ 4 อยู่ห่ำงจำก 0 เป็นระยะทำง 4 หนว่ ย -3 -2 -1 0 1 2 3 4

กำรบวกจำนวนเตม็ (ต่อ) 30 • คำ่ สมั บูรณข์ องจำนวนเตม็ บวก และคำ่ สัมบรู ณข์ องจำนวนเต็มลบ มีคำ่ เป็นบวกเสมอ ส่วนคำ่ สมั บรู ณ์ของ 0 มคี ำ่ เทำ่ กับ 0 • กำรบวกจำนวนเต็มชนิดเดียวกัน กำรบวกจำนวนเตม็ บวก กบั จำนวนเต็มบวก หรอื กำรบวกจำนวนเต็มลบ ให้นำค่ำสมั บรู ณข์ อง จำนวนทงั้ สองมำบวกกนั โดยที่ผลบวกมเี ครื่องหมำยคงเดิม

กำรบวกจำนวนเต็ม (ต่อ) 31 ตวั อยำ่ งที่ 1 จงหำผลบวกของ 6 และ 12 วิธีทำ 6+12 = |6| + |12| = 6+12 = 18 ตอบ ตวั อยำ่ งที่ 2 จงหำผลบวก -6 ของและ -12 วิธที ำ (-6)+(-12) = -(|-6| + |-12|) = -(6+12) = -18 ตอบ

กำรบวกจำนวนเตม็ (ตอ่ ) 32 กำรบวกจำนวนเตม็ ตำ่ งชนดิ กำรบวกจำนวนเตม็ บวกกับจำนวนเต็มลบ หรอื กำรบวกจำนวน เต็มลบกบั จำนวนเตม็ บวก ให้นำคำ่ สัมบูรณข์ องทั้งสองจำนวนมำดำเนินกำรลบโดยทผ่ี ลบวกมี เครื่องหมำยเหมือนกบั จำนวนมีคำ่ สมั บรู ณม์ ำกกวำ่ ตวั อยำ่ งท่ี 3 จงหำผลบวกของ 6 และ -12 ตัวอย่ำงที่ 4 จงหำผลบวกของ -6 และ 12 วิธที ำ 6+(-12) = -( |-12| - |6| ) วธิ ีทำ (-6)+12 = |12| - | - 6| = -(12-6) = 12-6 = -6 ตอบ = 6 ตอบ

กำรลบจำนวนเต็ม 33 กำรลบจำนวนเต็ม สำมำรถทำไดโ้ ดยกำรเปลยี่ นจำกกำรลบเปน็ กำรบวกด้วยจำนวนตรงกันขำ้ ม เมือ่ เปล่ยี นรปู จำกกำรลบเปน็ กำรบวกดว้ ยจำนวนตรงกันขำ้ มแลว้ ใหห้ ำผลบวกโดยใชห้ ลกั ของ กำรบวกจำนวนเตม็ ตวั อยำ่ งท่ี 5 จงหำผลลบของ 9 และ 5 ตัวอยำ่ งท่ี 6 จงหำผลลบของ 9 และ -5 วธิ ีทำ 9-5 = 9+ (-5) วิธีทำ 9-(-5) = 9+5 = | 9 | - | -5 | = |9|+|5| = 9-5 = 9+5 = 4 ตอบ = 14 ตอบ

กำรลบจำนวนเต็ม (ต่อ) 34 ตัวอยำ่ งท่ี 7 จงหำผลลบของ -9 และ -5 วิธที ำ (-9)-(-5) = ( -9 ) + 5 = - ( | -9| - |5 |) = - (9-5) = - 4 ตอบ

กำรคูณจำนวนเต็ม 35 กำรคณู จำนวนเตม็ บวกกับจำนวนเตม็ ลบ หรือกำรคูณจำนวนเตม็ ลบกับจำนวนเตม็ ลบ ใหน้ ำค่ำ สัมบูรณข์ องจำนวนท้ังสองมำคูณกนั โดยผลคณู เปน็ จำนวนเตม็ บวกเสมอ ตัวอย่ำงท่ี 8 จงหำผลคณู ของ 14 และ 9 ตัวอย่ำงท่ี 9 จงหำผลคณู ของ -14 และ -9 วิธีทำ 14X9 = |14| X |9| วิธีทำ (-14) X (-9) = |-14| X |-9| = 14 X 9 = 14 X 9 = 126 ตอบ = 126 ตอบ

กำรหำรจำนวนเต็ม 36 กำรหำรจำนวนเตม็ บวกด้วยจำนวนเต็มลบ หรอื กำรหำรจำนวนเตม็ ลบดว้ ยจำนวนเต็มลบ ใหน้ ำ ค่ำสัมบูรณข์ องจำนวนทงั้ สองมำหำรกนั โดยผลหำรเปน็ จำนวนเต็มบวกเสมอ ตวั อยำ่ งที่ 10 จงหำผลหำรของ 425 และ 17 ตวั อย่ำงที่ 11 จงหำผลหำรของ -126 และ -7 วธิ ีทำ 425  17 = |425|  |17| วิธีทำ (-126)  (-7) = |-126|  |-7| = 425  17 = 126  7 = 25 ตอบ = 18 ตอบ

แบบฝึกหัด จงแสดงวธิ ที า 37 1.

38

39

40

41