บทที่ 1 จำนวนและตัวเลข 01

บทท่ี 1 จำนวนและตวั เลข 1 ครูวิลำวัลย์ วชั โรทยั

ความหมายของจานวน (Numbers) 2 •คอื คำทบ่ี อกปริมำณ ว่ำมำกน้อยเพียงไร เช่น • สำมมำกกว่ำสอง • ย่ีสบิ มำกกว่ำสบิ เกำ้ • สิบห้ำน้อยกวำ่ ยีส่ ิบ เป็นต้น

ความหมายของตัวเลข (Numberials) 3 • คือ สญั ลักษณท์ ่ใี ชแ้ ทนจำนวน ดังนั้น จงึ จะเห็นได้วำ่ จำนวนเดียวกนั อำจใช้สญั ลักษณ์แตกตำ่ งกนั ข้ึนอยู่กบั ภำษำและวธิ ีกำร เช่น ๑ แทน เลขหนึ่ง (ตัวเลขไทย) 100 แทน เลขหน่งึ รอ้ ย (ตัวเลขฮินด-ู อำรบิก) • ตวั เลขสำกลทใ่ี ชท้ ว่ั โลก คือ ระบบตัวเลขฮนิ ดู-อำรบิก ผู้คิดค้นคนแรก เป็นชำวฮินดัล ต่อมำชำวอำหรับได้นำไปเผยแพร่ในยโุ รป

ตวั เลขอยี ิปต์โบราณ 4 • ในสมัยโบรำณชำวอยี ิปตเ์ ปน็ ชำตทิ ี่เจรญิ รงุ่ เรอื งทำงด้ำนศลิ ปะวิทยำกำร เปน็ ชำติท่ีบันทกึ จำนวนโดยใช้ภำพเปน็ สญั ลกั ษณแ์ ทนจำนวนตำ่ ง ๆ ดงั น้ี

ตวั เลขอยี ิปตโ์ บราณ 5

ตวั เลขอยี ิปตโ์ บราณ 6

ตวั อยำ่ ง 7

8

9

ตวั เลขบำบิโลน (Babylonian Numbers) 10 • ชำวบำบิโลนใชส้ ญั ลกั ษณท์ คี่ ลำ้ ยรูปล่มิ ( ) ซ่ึงเป็นผลจำกกำรบนั ทึกรอยของ วัตถุที่มรี ปู คลำ้ ยลม่ิ แทนจำนวน เชน่

ตวั เลขบำบิโลน (Babylonian Numbers) 11

12

ตวั เลขจนี 13

ตวั เลขโรมนั (Roman Numbers) 14

หลักกำรเขียนตัวเลขโรมนั 15 • หลกั กำรเพิ่ม คือ เขยี นตัวเลขเรียงกันตำมลำดับจำกคำ่ มำก (ตวั เลขหลัก) ไปหำ คำ่ นอ้ ย แล้วนำคำ่ ตวั เลขมำบวกกัน และตัวเลขที่เขียนด้ำนขวำของตวั เลขหลัก สำมำรถเปน็ ตวั เลขทีซ่ ำ้ กันไดต้ ้ังแต่ 1-3 ตวั เชน่ • VI = 5+1 =6 • VIII = 5+3 =8 • XI = 10+1 = 11 • DLXI = 500+50+10+1 = 561

ขอ้ สงั เกต 16 •ไมเ่ ขียน IIII แทน 4 แตเ่ ขียนแทนดว้ ย IV •ไม่เขียน VIIII แทน 9 แตเ่ ขียนแทนดว้ ย IX •ไม่เขียน XXXX แทน 40 แตเ่ ขียนแทนด้วย XL •ไมเ่ ขียน DCCCC แทน 900 แต่เขียนแทนดว้ ย CM

ตย. จงเขียนตัวเลขโรมันเป็นอารบกิ 17 • LXXX = 50 + 10+10+10 = 50+30 = 80 • DCCC = 500+ 100+100+100 = 500+300 = 800 • MMXVII = 1,000+1,000+10+5+2 = 2,000+10+5+2 = 2,017 500 + 200 +10 +3 = 713 • DCCXIII =

หลักกำรเขยี นตัวเลขโรมนั 18 • หลักกำรลด คอื เขียนตวั เลขที่มีคำ่ น้อยไว้ขำ้ งหนำ้ ตัวเลขทม่ี ีค่ำมำก (ตัวเลขหลัก) แลว้ นำค่ำ ตวั เลขมำลบกัน หลกั กำรเขยี นตวั เลขซ่งึ อยูด่ ้ำนซ้ำยของตัวเลขหลกั มีเงอ่ื นไข ดังน้ี 1. ตัวเลขที่ใช้เป็นตวั ลบ ไดแ้ ก่ I, X และ C เทำ่ นนั้ 2. ตวั เลขที่อยู่หนำ้ ของ X หรือ V ได้แก่ I เพียงตัวเดียว เช่น IV = 5-1= 4 IX = 10-1 = 9 3. ตัวเลขทอ่ี ยู่หนำ้ ของ L หรอื C ได้แก่ X เพยี งตวั เดียว เช่น XL = 50-10 = 40 XC = 100-10 = 90

หลักกำรเขียนตัวเลขโรมัน 19 4. ตวั เลขที่อยหู่ น้ำของ D หรอื M ไดแ้ ก่ C เพียงตัวเดียว เชน่ CD = 500-100 = 400 CM = 1,000-100 = 900 5. ตวั เลขที่เขยี นดำ้ นซำ้ ยของตวั เลขหลักเขยี นได้เพยี งตวั เดยี วเทำ่ น้ัน เชน่ IV = 5-1 =4 CM = 1,000-100 = 900 XL = 50-10 = 40

หลกั กำรเขยี นตวั เลขโรมัน 20 ในระบบตัวเลขโรมัน ยงั มสี ญั ลักษณ์แทนจำนวนคำ่ มำกๆ โดยใชเ้ ครอื่ งหมำย “ ” บน สัญลกั ษณพ์ นื้ ฐำนเพียง 6 ตัว ดงั นี้ V แทน 5,000 = 5x1,000 C แทน 100,000 =100x1,000 X แทน 10,000 = 10x1,000 D แทน 500,000 = 500x1,000 L แทน 50,000 = 50x1,000 M แทน 1,000,000 = 1,000x1,000 หมำยเหตุ “ ” อำ่ นว่ำ บำร์ ซึง่ มคี ำ่ สัญลักษณน์ น้ั คณู ดว้ ย 1,000 เช่น V = 5 x 1,000 = 5,000 X = 10 x 1,000 x 1,000 = 10,000,000

ตย. จงเขียนตวั เลขโรมันเปน็ อารบิก 21 • MMCDLXVII = (1,000+1,000)+(500-100) +(50+10) +(5+2) =2,467 • MCMLXXVIII = 1,000+(1,000-100) +(50+10+10) +(5+3) =1,978 • IV = (5-1)x1,000 = 4 x 1,000 = 4,000 • XMMMCMXCIX = (10x1,000)+(1,000+1,000+1,000) +(1,000-100)+(100-10)+(10-1) =13,999

22

แบบฝกึ หัดท่ี 3 จงเปล่ยี นตวั เลขโรมนั กับตวั เลขฮนิ ด-ู อารบกิ 23

จานวนจรงิ (Real Number : R) 24 • คือ จำนวนจำนวนซ่ึงหำค่ำได้หรอื มีอยูจ่ รงิ ในธรรมชำติ จำนวนจรงิ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเตม็ เศษส่วน ทศนยิ มซำ้ กรณ์ ¶ , e ทศนิยมไมซ่ ำ้ จำนวนเตม็ บวก ศนู ย์ ทศนิยมซำ้

จำนวนตรรกยะ (Ration Numbers) 25 • คอื จำนวนท่สี ำมำรถเขียนในรูปจำนวนเต็ม เศษส่วน หรอื ทศนยิ มซ้ำ ซ่งึ รูป โดยทว่ั ไปของจำนวนตรรกยะ คอื a/b โดยท่ี a,b เปน็ จำนวนเต็ม และ b≠ 0 เชน่ เขียนแทนด้วย 0.5000 ทศนยิ มซ้ำ

จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) 26 • คือ จำนวนที่ไมส่ ำมำรถเขยี นให้อยใู่ นรปู เศษสว่ น จำนวนอตรรกยะประกอบด้วยจำนวนประเภท ต่ำง ๆ ดงั น้ี 1. กรณ์ คอื เครอื่ งหมำย √ ใช้เปน็ สญั ลกั ษณแ์ ทนจำนวนซึ่งไมส่ ำมำรถหำคำ่ ทแ่ี น่นอนได้ เช่น √2 , -√3 เปน็ ตน้ 2. ¶ มีค่ำเท่ำกับ 22/7 และ 3.14 ซ่ึงเปน็ คำ่ ประมำณของ ¶ , e ≈ 2.718 3. จำนวนทศนยิ มไมซ่ ้ำ เชน่ 1.1707168... , 0.4455235 ... เป็นตน้

ระบบจำนวนเต็ม 27 คอื จำนวนทีเ่ ป็นตัวเลขไม่มเี ศษ เช่น -5, 0, 3 เปน็ ต้น แบ่งออกเปน็ 3 ประเภท คือ 1. จำนวนเตม็ ลบ คอื จำนวนเตม็ ทีม่ ีคำ่ นอ้ ยกว่ำ 0 จำนวนเต็มลบเรม่ิ ตั้งแต่ -1 ลดครัง้ ละ -1 ไปเรอ่ื ย ๆ ไม่สิ้นสดุ เช่น -1 -1-1 = -2 -5 -4 -3 -2 -1 -2-1 = -3

ระบบจำนวนเต็ม (ต่อ) 28 2. จำนวนศนู ย์ คอื จำนวนเตม็ ทีม่ คี ำ่ เท่ำกับ 0 จำนวนศูนยป์ ระกอบด้วย สมำชกิ เพยี งตัวเดยี ว คอื 0 ซ่ึงเป็นจำนวนนอ้ ยกว่ำ 1 และอยู่หำ่ งจำก 1 เป็น ระยะทำง 1 หน่วย ดังน้ี 0 12 3 4

ระบบจำนวนเตม็ (ตอ่ ) 29 3. จำนวนเตม็ บวก (Integer) หรอื จำนวนนบั หรือจำนวนธรรมชำติ ใช้ สญั ลกั ษณ์ N หรอื I+ คอื จำนวนเต็มทม่ี ีค่ำมำกกวำ่ 0 หรืออำจเรยี กเรม่ิ ต้ังแต่ 1 และเพม่ิ ข้ึนทลี ะ 1, 2, 3, ... เรอ่ื ยไปไม่ส้นิ สุด กำรเขียนจำนวนเต็มบ1วก ศูนย์ แ2ละจำนวนเ3ต็มลบ เข4ียนได้ ดังน5้ี -3 -2 -1 0 1 2 3

กำรบวกจำนวนเต็ม 30 ค่ำสมั บรู ณ์ของจำนวนเต็ม คือ ระยะหำ่ งจำก 0 ถงึ ค่ำจำนวนเต็มใดๆ ค่ำ 4 สัมบรู ณ์ของจำนวนเต็มใดๆ ใชส้ ัญลักษณ์ | | เช่น |-3| แทนคำ่ สัมบูรณ์ของ 3 ดงั นนั้ |-3| = 3 หมำยควำมว่ำ -3 อยู่หำ่ งจำก 0 เปน็ ระยะทำง 3 หน่วย |4| แทนค่ำสมั บูรณ์ของ 4 ดงั นั้น |4| = 4 หมำยควำมว่ำ 4 อย่หู ำ่ งจำก 0 เปน็ ระยะทำง 4 หน่วย -3 -2 -1 0 1 2 3

กำรบวกจำนวนเต็ม (ตอ่ ) 31 • คำ่ สมั บูรณข์ องจำนวนเต็มบวก และค่ำสัมบรู ณ์ของจำนวนเตม็ ลบ มีคำ่ เปน็ บวกเสมอ ส่วนคำ่ สมั บรู ณข์ อง 0 มคี ำ่ เทำ่ กบั 0 • กำรบวกจำนวนเต็มชนดิ เดยี วกัน กำรบวกจำนวนเตม็ บวก กับจำนวนเต็ม บวก หรือกำรบวกจำนวนเต็มลบ ใหน้ ำคำ่ สมั บูรณ์ของจำนวนท้ังสองมำ บวกกนั โดยที่ผลบวกมีเครือ่ งหมำยคงเดมิ

กำรบวกจำนวนเตม็ (ตอ่ ) 32 ตวั อยำ่ งที่ 1 จงหำผลบวกของ 6 และ 12 วิธีทำ 6+12 = |6| + |12| = 6+12 = 18 ตอบ ตัวอยำ่ งที่ 2 จงหำผลบวก -6 ของและ -12 วธิ ที ำ (-6)+(-12) = -(|-6| + |-12|) = -(6+12) = -18 ตอบ

กำรบวกจำนวนเตม็ (ตอ่ ) 33 กำรบวกจำนวนเตม็ ตำ่ งชนดิ กำรบวกจำนวนเตม็ บวกกับจำนวนเต็มลบ หรอื กำรบวกจำนวน เต็มลบกบั จำนวนเตม็ บวก ให้นำคำ่ สัมบูรณข์ องทั้งสองจำนวนมำดำเนินกำรลบโดยทผ่ี ลบวกมี เครื่องหมำยเหมือนกบั จำนวนมีคำ่ สมั บรู ณม์ ำกกวำ่ ตวั อยำ่ งท่ี 3 จงหำผลบวกของ 6 และ -12 ตัวอย่ำงที่ 4 จงหำผลบวกของ -6 และ 12 วิธที ำ 6+(-12) = -( |-12| - |6| ) วธิ ีทำ (-6)+12 = |12| - | - 6| = -(12-6) = 12-6 = -6 ตอบ = 6 ตอบ

กำรลบจำนวนเต็ม 34 กำรลบจำนวนเต็ม สำมำรถทำไดโ้ ดยกำรเปลยี่ นจำกกำรลบเปน็ กำรบวกด้วยจำนวนตรงกันขำ้ ม เมือ่ เปล่ยี นรปู จำกกำรลบเปน็ กำรบวกดว้ ยจำนวนตรงกันขำ้ มแลว้ ใหห้ ำผลบวกโดยใชห้ ลกั ของ กำรบวกจำนวนเตม็ ตวั อยำ่ งท่ี 5 จงหำผลลบของ 9 และ 5 ตัวอยำ่ งท่ี 6 จงหำผลลบของ 9 และ -5 วธิ ีทำ 9-5 = 9+ (-5) วิธีทำ 9-(-5) = 9+5 = | 9 | - | -5 | = |9|+|5| = 9-5 = 9+5 = 4 ตอบ = 14 ตอบ

กำรลบจำนวนเต็ม (ต่อ) 35 ตัวอยำ่ งท่ี 7 จงหำผลลบของ -9 และ -5 วิธที ำ (-9)-(-5) = ( -9 ) + 5 = - ( | -9| - |5 |) = - (9-5) = - 4 ตอบ

กำรคูณจำนวนเต็ม 36 กำรคณู จำนวนเตม็ บวกกบั จำนวนเตม็ ลบ หรือกำรคูณจำนวนเตม็ ลบกับจำนวนเตม็ ลบ ใหน้ ำค่ำ สัมบูรณข์ องจำนวนทั้งสองมำคณู กนั โดยผลคณู เปน็ จำนวนเตม็ บวกเสมอ ตัวอย่ำงท่ี 8 จงหำผลคณู ของ 14 และ 9 ตัวอย่ำงท่ี 9 จงหำผลคณู ของ -14 และ -9 วิธีทำ 14X9 = |14| X |9| วิธีทำ (-14) X (-9) = |-14| X |-9| = 14 X 9 = 14 X 9 = 126 ตอบ = 126 ตอบ

กำรหำรจำนวนเต็ม 37 กำรหำรจำนวนเตม็ บวกด้วยจำนวนเต็มลบ หรอื กำรหำรจำนวนเตม็ ลบดว้ ยจำนวนเต็มลบ ใหน้ ำ ค่ำสัมบูรณข์ องจำนวนทงั้ สองมำหำรกนั โดยผลหำรเปน็ จำนวนเต็มบวกเสมอ ตวั อยำ่ งที่ 10 จงหำผลหำรของ 425 และ 17 ตวั อย่ำงที่ 11 จงหำผลหำรของ -126 และ -7 วธิ ีทำ 425  17 = |425|  |17| วิธีทำ (-126)  (-7) = |-126|  |-7| = 425  17 = 126  7 = 25 ตอบ = 18 ตอบ

แบบฝึกหัด จงแสดงวธิ ที า 38 1.

39

40

41









แบบฝึกหัด จงเขยี นคุณสมบัตขิ องจำนวนจรงิ ตอ่ ไปน้ี