0, если x 0; 0,001, если 0 x 1; 0, если 2 x 3; F (x) 0, 016, если 1 x 2; 0,103, если 4 x 5; 348, если 3 x 4; 0, 696, если x 6. 0,936, если 5 x 6; 1, Событие D ={не менее двух попаданий в мишень после трех залпов} противо- положно событию D ={меньше двух попаданий в мишень после трех залпов}. Тогда P(D) 1 P(D) 1 P(X 2) 1 F(2) 1 0,016 0,984 . Многоуголь- ник распределения Д.С.В. X представлен на рис. 16 а), график функции распределения на рис. 16 б). pi F(x) 1 0,3 0,5 0,1 0 2 4 6 xi 0 246 x б) а) Рис. 16 2.1.4. Функция распределения Н.С.В. X есть 0, если x 1; F (x) ax b, если 1 x 4; Найти коэффициенты a и b , плотность рас- 1, если x 4. пределения случайной величины X . Решение: функция распределения Н.С.В. является непрерывной функци- ей, поэтому должны выполнятся равенства: a b 0 ( F(1) lim F(x) ) и x10 4a b 1 ( F(4) lim F(x)). Из этой системы уравнений найдем: a 1 и x40 3 b 1 . Плотность распределения есть производная от функции распределения, 3 f (x) F(x) , следовательно, f ( x) 1 , если x [1, 4]; (равномерный закон 3 0, если x [1, 4]; распределения). 2.1.5. Плотность распределения Н.С.В. X имеет вид: f ( x) a( x 1)2 , если x [0, 2]; Найти значение коэффициента a, функцию если x [0, 2]. 0, -50-
распределения, вероятность того, что значение случайной величины будет за- ключено в промежутке [1, 1,5]. Решение: плотность распределения f (x) должна удовлетворять усло- вию нормировки 2 a(x 1)2 dx a(x 1)3 2 2a и f (x)dx 1. Следовательно, 33 0 0 a 3 . Функция распределения выражается через плотность распределения по 2 x формуле F(x) f (t)dt , поэтому при x 0 F(x) 0 . При 0 x 2 F (x) F(0) x 3(t 1)2 dt (t 1)3 x 1 (x 1)3 , F(2) 1. При x 2 F(x) 1.2 02 22 0 0, если x 0; Таким образом F ( x) 1 (x 1)3 , если 0 x 2; Так как функция распре- если x 2. 2 2 1, деления найдена, то вероятность того, что (1 X 1,5) можно найти по фор- муле P(1 X 1,5) F(1,5) F(1) 9 . 16 2.1.6. Плотность распределения Н.С.В. X задана графически, рис. 17 (закон равнобедренного треугольника, закон Симпсона). Найти аналитическое выражение для плотности распределения, значение коэффициента a , вероят- ность того, что случайная величина попадет в интервал (3, 4) , функцию рас- пределения. Построить график функции распределения. Решение: по условию нормировки плотности y f (x) распределения площадь фигуры, ограниченной кривой распределения ( y f (x) ) и осью абс- a цисс должна быть равна 1. Поэтому, 1 a 4 1 2 01 3 5 x Рис. 17 и a 1 . Уравнение прямой, проходящей через 2 точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) есть x x1 y y1 . Аналитическое выражение x2 x1 y2 y1 -51-
0, если x [1, 5]; будет: x 1, если x [1, 3]; P(3 X 4) 4 x 5dx f (x) f ( x) 4 3 4 x 4 5 , если x [3, 5]. (x 5)2 4 3 . Функция распределения выражается через плотность распре- 88 3 x деления по формуле F(x) f (t)dt , поэтому при x 1 F(x) 0 . При 1 x 3 F(x) F (1) x (t 1) dt (t 1)2 x (x 1)2 , F (3) 1 . При 3 x 58 04 8 2 1 F(x) F(3) x (t 5) dt 1 (t 5)2 x 1 (x 5)2 , F(5) 1. При x 5 34 28 8 3 0, если x 1; ( x 1)2 , если x (1,3]; . График функ- F(x) 1. Таким образом, F (x) 8 5)2 (x 8 если x (3,5]; 1 , если x 5. 1, ции распределения представлен на рис. 18. F ( x) 1 0, 6 0, 2 01 3 5x Рис. 18 2.1.7. Точка A наудачу выбирается в квадрате D (x, y) : 0 x 1, 0 y 1 . Найти плотность распределения случайной ве- личины R , равной расстоянию от точки A до начала координат. Решение: возможные значения ( r ) случайной величины R заключены в промежутке 0 r 2 . Для вычисления вероятности события (R r) , если r 0 надо воспользоваться геометрическим определением вероятности. В -52-
нашем случае все множество элементарных исходов есть множество D , то есть D и мера 1, рис. 19 а). Если 0 r 1, то F(r) P(R r) y y y 1x 1 1 r 1 0 1x h а) 0 r1 x б) 0h Рис. 19 в) мера (R r) r2 , площадь четверти круга радиуса r , рис. 19 б). Если 4 1 r 2 , то мера (R r) равна площади области, заштрихованной на рис. 19 в). Эта область разбита на два прямоугольных треугольника, катеты которых равны 1 и h r2 1, и круговой сектор с углом раствора 2 , cos 1 . 2r Следовательно, arccos 1 и 2arccos 1 . Сумма площадей двух тре- r2 r угольников равна r2 1 , площадь кругового сектора радиуса r с углом рас- твора равна r2 . Таким образом, при 1 r 2 , 2 F(r) P(R r) мера(R r) r2 1 r2 ( 2arccos 1) . При r 2 F(r) 1. 22 r r 2 , если 0 r 1; 4 если 1 r 2; Плотность распре- если r 2. r2 Имеем, F (r) r2 1 r2 arccos 1 , 4 r 1, деления связана с функцией распределения соотношением f (r) F(r) . Поэто- му f (r) r , 2r arccos 1 , если 0 r 1; 2 r если 1 r 2; r 2 0, если r 2. 2.1.8. Случайная величина X задана рядом распределения: -53-
xi 2 3 5 7 pi 0,2 p2 0,3 0,1 Найти: p2 , функцию распределения, вероятность того, что случайная величина X примет значение в промежутке [2, 5). Построить многоугольник распреде- ления и график функции распределения случайной величины. 2.1.9. В пакете 8 тетрадей, среди которых 5 тетрадей в линейку. Наудачу выбирают 4 тетради. Случайная величина X число тетрадей в линейку среди отобранных. Построить многоугольник распределения и график функции рас- пределения случайной величины. 2.1.10. Функция распределения Н.С.В. X есть F(x) a arctgx b при x (, ) (закон распределения Коши). Найти коэффициенты a и b , плот- ность распределения случайной величины X . 2.1.11. Плотность распределения Н.С.В. X имеет вид: a(1 x ), если x [1, 1]; Найти значение коэффициента a, функцию f (x) если x [1, 1]. 0, распределения, вероятность того, что значение случайной величины будет за- ключено в промежутке [1, 0,5]. 2.1.12. Точка A наудачу выбирается в квадрате D (x, y) : 0 x 1, 0 y 1 . Найти плотность распределения случайной ве- личины Z , равной а) произведению координат точки A(x, y) , Z X Y ; б) сум- ме координат точки A(x, y) , Z X Y . 2.2. Числовые характеристики случайной величины Для описания отдельных свойств случайной величины вводят понятие числовых характеристик. Наиболее употребительными являются следующие. Пусть X либо Д.С.В., заданная рядом распределения xi x1 x2 … xn P(xi ) pi p1 p2 … pn либо Н.С.В., заданная плотностью распределения f (x) . Математическим ожиданием Д.С.В. X называется число M[X ], определяемое равенством n (30) M[ X ] xi pi . i1 Математическим ожиданием Н.С.В. X называется число M[X ], определяемое равенством -54-
(31) M[X ] x f (x)dx . Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины, то есть это та точка на числовой оси, около которой группируются возможные значения случайной величины. Дисперсией случайной величины X , D[X ], называется математиче- ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математическо- го ожидания, то есть D[X ] M[ X M[X ]2]. (32) n Если X Д.С.В., то D[X ] (xi M[X ])2 pi , если X Н.С.В., то i1 D[X ] (x M[X ])2 f (x)dx . На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой D[X ] M[X 2] (M[X ])2 , (33) n где M[X 2] xi2 pi для Д.С.В. и M[ X 2] x2 f (x)dx для Н.С.В. i1 Дисперсия характеризует разброс возможных значений случайной вели- чины, то есть показывает, насколько тесно возможные значения случайной ве- личины сгруппированы около ее среднего значения. Еще одной характеристи- кой рассеяния случайной величины является X D[X ] - среднее квадрати- ческое отклонение. X имеет размерность случайной величины X . Модой dX случайной величины X называется наиболее вероятное ее значение, то есть значение, для которого вероятность pi или плотность распре- деления f (x) максимальна. Медианой hX случайной величины X называется такое значение слу- чайной величины, для которого F (hX ) 1 или P( X hX ) P( X hX ) . 2 Коэффициентом асимметрии aX и коэффициентом эксцесса eX называются величины: aX 3[X ] и eX 4[X ] 3, (34) 3X 4X -55-
n где k (xi M[X ])k pi для Д.С.В. и k (x M[X ])k f (x)dx для Н.С.В., i1 k[X ], k 3, 4 - центральный момент k -го порядка. Коэффициент асимметрии характеризует «скошенность» распределения, то есть aX 0, если максимум плотности распределения смещен влево от математического ожидания и aX 0 , если максимум плотности распределения смещен вправо от математического ожидания. Коэффициент эксцесса характеризует «островершинность» распре- деления. А именно, для нормального закона распределения eX 0 , поэтому, ес- ли eX 0 , то распределение случайной величины X имеет более выраженный максимум плотности распределения. Квантилью порядка p случайной величины X называют число tp яв- ляющееся решением уравнения F(tp ) p (или P(X tp ) p ). 2.2.1. Случайная величина X задана рядом распределения xi 1,2 1,7 2,2 3 4,1 pi 0,1 0,15 0,3 0,4 0,05 Найти математическое ожидание, дисперсию и моду случайной величины. Решение: по определению математического ожидания имеем, M[X ] 1,2 0,11,7 0,15 2,2 0,3 3 0,4 4,1 0,05 2,44. Для вычисления диспер- n (33). D[X ] сии найдем M[X 2] xi2 pi и воспользуемся формулой i1 M[X 2] 1,44 0,1 2,89 0,15 4,84 0,3 9 0,4 16,81 0,05 6,47 и 6,47 (2,44)2 0,52 . Наиболее вероятное из возможных значений величины X или мода Д.С.В. есть dX 3. 2.2.2. Д.С.В. X может принимать три значения: x1 3 с вероятностью p1 0,2; x2 5 с вероятностью p2 0,4 ; x3 с вероятностью p3 . Известно, что M[X ] 5,8 . Найти x3 , p3 , X , F(x) . Решение: поскольку величина X принимает только три значения, то должно выполняться равенство p1 p2 p3 1. Отсюда находим, что p3 0,4. По условию задачи M X 3 0,2 5 0,4 x3 0,4 5,8. Следовательно, x3 8. M[ X 2] 32 0,2 52 0,4 82 0,4 37,4 и D[X ] M[X 2] (M[X ])2 = 37,4 (5,8)2 3,76 . X D[X ] 3,76 1,94 . F(x) P( X xi ) и в нашем xi x случае x x3 3 x5 5 x 8 x8 F(x) 0 0,2 0,6 1 -56-
2.2.3. Д.С.В. может принимать три значения: x1 2 , x2 3 , x3 7 . Из- вестно, что M[X ] 4 и X 2 . Найти функцию распределения случайной ве- личины X . Решение: чтобы найти F(x) , надо найти pi P(X xi ) , i 1, 2, 3. Ис- пользуя условия задачи можно составить систему трех линейных уравнений с p1 p2 p3 1 3 ( pi 1) i1 неизвестными p1, p2, p3 : 2 p1 3 p2 7 p3 4 (M[ X ] 4). (2 4)2 p1 (3 4)2 p2 (7 4)2 p3 22 (2 4) Или 2p1p1p32 p3 1 4 , исключая p1 из 2-го и 3-го уравнений, получим p2 7 p3 4 p1 p2 9 p3 4 p32 5 p3 2 0 . Вычитая 2-е уравнение из 1-го, получим 4 p2 2. Следователь- p2 5 p3 но, p1 0,2, p2 0,5, p3 0,3. F(x) P( X xi ) и в нашем случае xi x x x2 2 x5 5 x7 x7 F(x) 0 0,2 0,7 1 2.2.4. Игра заключается в подбрасывании двух игральных костей. Выиг- рыш (в рублях) равен сумме выпавших очков, если выпал дубль, то выигрыш удваивается. Найти среднее значение ожидаемого выигрыша. Решение: составим таблицу 1 2 3 4 56 14 23 3 4 5 67 34 45 8 5 6 78 56 67 5 12 7 89 6 7 16 9 10 7 8 9 20 11 8 9 10 11 24 В верхней строке стоит число очков, выпавших на первой кости, в левом столб- це – число очков, выпавших на второй кости. В остальных клетках таблицы указан соответствующий выигрыш. Пусть случайная величина X - выигрыш (в рублях) при подбрасывании двух костей. Используя таблицу, легко записать ряд распределения Д.С.В. X . -57-
xi 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 20 24 36 pi 2 3 4 4 6 5 4 2 2 1 1 1 1 Среднее значение ожидаемого выигрыша равно математическому ожиданию случайной величины X , M[X ] 1 (6 12 20 24 42 40 36 20 22 36 12 16 20 24) 294 8,17 (руб.). имеет плотность распределения 36 2.2.5. Случайная величина X f ( x) a(x 2)(4 x), если x [2, 4]; Найти коэффициент a, P(3 X 3,5) , 0, если x [2, 4]. математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, коэффициент асиммет- рии, коэффициент эксцесса случайной величины X . Решение: коэффициент a найдем из условия нормировки f (x)dx 1. Имеем, 4 a(x 2)(4 x)dx a( x3 3x2 8x) 4 4a . Следовательно, a 3 . Да- 2 33 4 2 лее, P(3 X 3,5) 3,5 f (x)dx 3 3,5(x 2)(4 x)dx 3 ( x3 3x2 8x) 3,5 0,344 . 3 43 43 3 M[ X ] x f (x)dx 3 4 x(x 2)(4 x)dx 3 ( x4 2x3 4x2) 4 3 . Дисперсию 4 2 44 2 вычислим по формуле (33), D[X ] M[X 2] (M[X ])2 . Сначала найдем матема- тическое ожидание квадрата случайной величины X, M[X 2] x2 f (x)dx 3 4 x2(x 2)(4 x)dx 3 ( x5 3 x4 8 x3) 4 9,2 , следо- 4 2 4 52 3 2 вательно, D[X ] 0,2 . Моду, dX найдем из соотношения f (dX ) 0 и f (dX ) 0 . Получим, f (x) 3 x 9 и 3 d X 9 0, dX 3 ( f (x) 3 0 ). 22 2 2 2 найдем из соотношения hX f (x)dx 1 . нашем случае 2 F (hX ) Медиану, hX В 3 hX (x 2)(4 x)dx 3 hX 3 3 t3 hX 3 42 x3t (1 t2 )dt (t ) 4 1 4 3 1 3 3) (hX 3)3 1 1 . Отсюда получаем: (hX 3)[3 (hX 3)2] 0 , 4 (hX 2 2 3 следовательно, hX 3, корни уравнения hX 3 3 не принадлежат промежут- -58-
ку [2, 4]. Коэффициент асимметрии aX вычислим по формуле (34) aX 3[X ] . 3X 3[X] ])3 3 4 3)3 ( x x3t M[X f (x)dx 4 2 (x 2)(4 x)dx (x 3 1 0 (интеграл по симметричному интервалу интегрирования от t3(1 t2 )dt 4 1 нечетной функции), то есть aX 0 (распределение случайной величины X симметрично относительно M[X ]. Коэффициент эксцесса вычисляется по формуле (34) eX 4[ X ] 3 . Найдем 4X 4[ X] 3 4 (x 3)4 (x 2)(4 x)dx x3t 4 2 3 1 t4 (1 t2 )dt 3 1 3 t5 t7 1 4 1 2 7 (t 4 t6 )dt 2 5 = 3 и eX 3 3 0,86 35 35 (0, 2)2 0 0 (распределение случайной величины X менее «островершинно», чем нормаль- ное распределение). 2.2.6. Плотность распределения Н.С.В. X задана графически, рис. 20. Найти коэффициент a , M[X ], D[X ], функцию распределения F(x) , квантиль порядка 0,75, t0,75 . Решение: площадь области, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, должна быть равна 1. Тогда 1 3 a 1 (площадь трапеции с основа- 2 ниями 1, 3 и высотой a ) и a 1 . Аналитическое выражение плотности распре- 2 y x , если 0 x 2; 4 если 2 x 3; a деления будет f ( x) 0,5, 0 23 Рис. 20 0, если x [0, 3]. x M[ X ] x f (x)dx 2 x2 dx 3 x dx x3 2 04 22 12 0 3 2 x3 dx 3 2 x3 3 M[X 2] x2 x2 dx x4 2 5 23 , 25 и D[X ] M[X 2 ] 4 3 4 12 04 22 16 6 6 2 02 (M[X ])2 25 529 71 0,493. Найдем функцию распределения: при x 0 6 144 144 -59-
F(x) 0 , при 0 x 2 F(x) x t dt t2 и F (2) 1 , при 2 x 3 F(x) F(2) 04 8 2 F ( x) x dt x 1 и F(3) 1, при x3 F(x) 1. 1 22 2 0, 75 0, x 0; 0,5 Получим F ( x) x2 , 0 x 2; рис. 21. 0 8 , 2 t0,75 3 x x 1 , Рис. 21 2 x 3; 2 1, x 3 Квантиль t0,75 найдем как решение уравнения F(t0,75) 0,75 , t0,75 1 0,75 . 2 Следовательно, t0,75 2,5 . 2.2.7. Случайная величина R - расстояние от точки попадания до центра мишени – распределена по закону Релея: f (r) a r eq2r2 , если x 0; , где если x 0 0, q 0 - параметр, характеризующий распределение. Найти коэффициент a , вы- числить характеристики M[R] , D[R], dR , hR , aR , eR , выяснить взаимное рас- положение характеристик M[R] , dR и hR , найти вероятность того, что расстоя- ние от точки попадания до центра мишени окажется меньше, чем мода. Решение: коэффициент a найдем из условия нормировки плотности рас- пределения: a e q2r2 a 1. Следовательно, a 2q2 . a req2r2 dr 0 2q2 0 2q2 2 u t, dv tet2 2 (tet2 du dt,v et2 q0 M [R] r 2q2req2r2 dr t 2et2 dt 0 q 0 2 qr t 1 2 x cos et2 dt) ( ex2 dx ex2y2 dxdy y sin 2 0 q 4 2q 2 (e2 ) ). Далее M[R2] ex2 dx d ed , 02 00 0 2 z t2 1 r2 2q2req2r2 dr qr t t3et2 dt zezdz 0 q2 0 q2 0 u z, dv ezdz 1 ( ze z 1 , следовательно, 1 du dz, v ez q2 0 q2 q2 e z dz ) D[R] 0 -60-
2 4 . Моду, dR , найдем из условия f (dR ) 0 . f (r) 2q2eq2r2 2q 4q2 4q4r2eq2r2 2q e2 q2r2 (1 2q2r2 ) . Следовательно, 1 2q2d 2 0 и dR q 1 R 2 (можно убедиться, что f (dR ) 0 ). Медиану, hR , найдем из условия hR hR 0 0 f (r)dr 1 . Имеем f (r)dr eq2r2 hR 1 eq2hR2 1 и hR ln 2 . Для вычис- 2 0 2 q ления коэффициента асимметрии aR найдем сначала центральный момент тре- тьего порядка 3 M[(R m)3], где m M[R]. Тогда 3 (r m)3 f (r)dr 0 r3 f (r)dr 3m r2 f (r)dr 3m2 rf (r)dr m3 f (r)dr . Вычислим отдельно 00 00 f (r) 2q2req2r2 M[R] 0,886 1,5 2q q 1,2 q 1,5 D[R] 4 0,9 4q2 0,6 q 1 dR 1 0, 707 q 0,5 q2 q 0,3 hR ln 2 0,832 0 1 2 3 4r qq Рис. 22 aR 2 ( 3) 0,631 (4 )3 eR 32 32 3 0, 245 (4 )2 u r3, dv 2q2req2r2 dr r3 0 3 rf (r )dr 3 . eq2r2 2q 2 0 4q3 r3 f (r)dr 0 du 3r2dr, v eq2r2 Получим 3 3 3m 3m3 m3 3 3 ( 3) . Коэффициент 4q3 q2 4q3 4q3 4q3 -61-
асимметрии aR 3 ( 3) : ( 3)3 2 ( 3) 0,631. P(R dR ) 3R 4q3 8q3 (4 )3 dR f (r)dr eq2r2 dR 1 eq2dR2 1 e0,5 0,393 . И так, D[R] 4 0,215 , 0 4q2 q2 0 dR 1 0, 707 < hR ln 2 0,832 < M[R] 0,886 , q2 q qq 2q q aR 2 ( 3) 0,631. Для нахождения коэффициента эксцесса eR вычислим (4 )3 центральный момент 4-го порядка 4 (r m)4 f (r)dr (r4 4r3m 6r2m2 00 4rm3 m4)dr 4 4m3 6m22 3m4 , здесь k rk f (r)dr - начальный 0 момент k -го порядка. u r4, dv 2q2req2r2 dr 4 r 4 2q2req2r2 du 4r3dr, v eq2r2 0 r4 4 2 22 . Выше найдено: m 2 1 , 3 3 , eq2r2 0 2q2 q2 , q2 4q3 2q 4 2 . Следовательно, 4 2 4 3 6 2 1 2 32 32 . Ко- q4 q4 2q 4q3 4q q2 316q4 16q4 эффициент эксцесса eR 4 3 32 32 3 0,245 . На рис. 22 представлены 4R (4 )2 эскизы кривой распределения Релея для трех значений параметра распределе- ния q . 2.2.8. Функция распределения неотрицательной случайной величины X задана графически, рис. 23. Случайная величина X имеет математическое ожидание равное mX . Доказать, что mX численно равно площади фигуры D , заштрихованной на рис. 23. Решение: площадь фигуры D будет равна SD [1 F(x)]dx . Математи- 0 ческое ожидание вычисляется по формуле F ( x) 1 mX x f (x)dx и f (x)dx d[1 F(x)], то- D 0 xd[1 F(x)] x[1 F (x)] 0 гда mX 0 0x Рис. 23 -62-
lim x1 F (x) . Несобственный интеграл x f (x)dx схо- x [1 F (x)]dx = SD 00 дится, так как по условию задачи mX существует. Следовательно, x f (x)dx N0 . x[1 F(x)] x f (t)dt t f (t)dt , а это означает, что N xx lim x1 F(x) 0 и mX [1 F (x)]dx SD . x 0 2.2.9. Спортсмен попадает в мишень при одном выстреле с вероятностью 0,8. Он произвел 6 выстрелов. Случайная величина X - число попаданий в ми- шень в серии из шести выстрелов. Найти M[X ], D[X ], P(X 4) . 2.2.10. Среди 8 лотерейных билетов 5 билетов с выигрышем. Игрок наудачу берет 4 билета. Случайная величина X - число билетов с выигрышем среди отобранных. Найти M[X ], D[X ], dX . 2.2.11. Д.С.В. X может принимать три значения: x1 2 , x2 , x3 с вероят- ностями, соответственно, p1, p2 0,5, p3 0,4. Известно, что M[X ] 5 и X 3 . Найти x2, x3 и p1 . 2.2.12. Плотность распределения случайной величины X есть f ( x) a(x 1), если x [1, 3]; . Найти коэффициент a, математическое ожи- 0, если x [1, 3] дание, дисперсию и коэффициент асимметрии случайной величины X . 2.2.13. Случайная величина X распределена по показательному закону, f ( x) aex , если x 0; 0 (показательное распределение часто встречает- если x 0 , 0, ся в теории массового обслуживания и в теории надежности, то есть в случаях, когда требуется оценить надежность работы некоторой системы со случайными отказами. Функция надежности R(t) , равная вероятности безотказной работы системы за время t , есть R(t) 1 F(t) , где F(t) - функция распределения по- казательного закона). Найти коэффициент a , математическое ожидание, дис- персию, коэффициент асимметрии, функцию распределения, квантиль tp по- рядка p 0,9. 2.2.14. Случайная величина X распределена по закону Лапласа: f (x) ae x ( 0) . Найти коэффициент a , математическое ожидание, дис- персию, коэффициент эксцесса, функцию распределения, квантиль tp порядка p 0,9. 2.3. Нормальный закон распределения Непрерывная случайная величина X называется распределенной по -63-
нормальному закону (распределенной по закону Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид: f (x) 1 (xa)2 (35) 2 e .22 Параметры a и имеют определенный вероятностный смысл, а имен- но, a - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение Н.С.В. X . Если значения некоторой случайной величины зависят от большого чис- ла случайных факторов, каждый из которых вносит приблизительно одинако- вый вклад в дисперсию этой случайной величины, то ее закон распределения будет близок к нормальному закону. Этим объясняется очень широкая область практических применений нормального закона. Функция распределения нормального закона с параметрами a, (обо- 1 x a 1 x t2 значают 2 , где функция N (a, ) ) есть F ( x) (x) e 2 dt - 2 0 Лапласа. Значения функции Лапласа табулированы, приложение 2. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами a, в интервал (, ) можно численно найти по формуле P( X ) a a , (36) используя таблицу приложения 2. Вероятность заданного отклонения нормаль- но распределенной случайной величины от ее математического ожидания вы- числяется по формуле P( X a ) 2 . (37) Нормальное распределение с параметрами a 0 и 1, N(0, 1) называется нормированным нормальным распределением. Его плотность распределения имеет специальное обозначение (x) 1 x2 , значения этой функции также 2 e 2 табулированы, приложение 1. График функции (x) называют нормальной или Гауссовой кривой. 2.3.1. Плотность распределения нормально распределенной случайной величины X имеет вид f (x) 2 e2(x1)2 , P(1 X ) 0.41, -64-
P( X 1 ) 0.9. Найти вероятность того, что абсолютное отклонение слу- чайной величины от ее математического ожидания не превысит 0,1, найти ве- личины и . Решение: из вида плотности распределения находим, что математиче- ское ожидание a 1 и, из равенства 2 1 (или 2 1 ), получаем, что 2 22 0,5. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случай- ной величины от ее математического ожидания не превысит заданной величи- ны, находится по формуле (34), P( X 1 0,1) 2 0,1 2(0, 2) 0,159 0,5 (значение (0,2) 0,0793 находим по таблице приложения 2). Далее P(1 X ) 1 0 1 0, 41, по таблице приложения 2 0,5 0,5 находим 1 1,34 , то есть 1.67. P( X 1 ) 2 0.9 , 0,5 0,5 0, 45 и по таблице приложения 2 находим 1,645 , 0,822 . 0,5 0,5 2.3.2. Отклонение по дальности от линии прицеливания при стрельбе из орудия – случайная величина X , распределенная по закону N(a, ) , a 0, 100 м . Какова вероятность, что отклонение при одном выстреле превысит 150 м ? Произведено 9 выстрелов. Каково наиболее вероятное число выстрелов, при которых абсолютная величина отклонения не превысит 80 м ? Решение: поскольку X нормально распределенная случайная величина, то P( X 150) 1 P( X 150) 1 F (150) 1 150 0,5 (1,5) 0,167 2 100 (значение (1,5) 0,4332 находим по таблице приложения 2). При одном вы- стреле p P( X 80) 2 80 2(0,8) 0,576 ( (0,8) 0,2881 находим по 100 таблице приложения 2). Поскольку эта вероятность постоянна при каждом вы- стреле, то число выстрелов, которые будут удовлетворять указанному условию, можно находить по формуле Бернулли, а наивероятнейшее число m0 находится из двойного неравенства (n 1) p 1 m0 (n 1) p (формула (21) раздел 1.6.). В нашем случае n 9 и p 0,576, находим m0 5 . 2.3.3. Отклонение по дальности от линии прицеливания при стрельбе из орудия – случайная величина X , распределенная по закону N(a, ) , a 0, 100 м . Если абсолютная величина отклонения менее 50 м , то цель поража- ется с полной достоверностью, если абсолютная величина отклонения лежит в пределах от 50 м до 100 м - с вероятностью 0,6, если более 120 м – с вероят- -65-
ностью 0,2. Произведено три выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена. Решение: найдем вероятности p1 P( X 50) 2 50 2(0,5) 100 0,383, p2 P(50 X 120) 2 120 2 0,5 2[(1, 2) (0,5)] 0,387 , 100 p3 1 p1 p2 0,23. Найдем вероятность поражения цели при одном выстреле по формуле полной вероятности. Пусть событие A ={цель поражена}. Выска- жем предположения: B1 ={абсолютная величина отклонения при выстреле ме- нее 50 м }, B2 ={абсолютная величина отклонения при выстреле оказалась в пределах от 50 м до 120 м }, B3 ={абсолютная величина отклонения при вы- стреле более 120 м }. Тогда P(B1) p1 0,383 и P(A B1) 1, P(B2) p2 0,387 и P(A B2) 0,6 , P(B3) p3 0,23 и P(A B3) 0,2 . Следовательно, по формуле полной вероятности (18) имеем P(A) 0,3831 0,387 0,6 0,23 0,2 0,661. Чтобы цель была поражена при трех выстрелах, событие C , достаточно ее по- разить хотя бы при одном выстреле. Поэтому, P(C) 1[1 P(A)]3 1 (0,339)3 0,96 . 2.3.4. Отклонение по дальности от линии прицеливания при стрельбе из орудия – случайная величина X , распределенная по закону N(0, ) . В резуль- тате проведенных опытных стрельб установлено, что частота попадания снаря- дов в интервал от 80 м до 80 м равна 0,8. Оценить величину среднего квад- ратического отклонения. Решение: полагая, что вероятность попадания снаряда в указанный ин- тервал равна частоте осуществления этого события, получим P( X 80) 2 80 0,8 или 80 0, 4 . По таблице приложения 2 находим, что 80 1,28 , то есть 62,5 м. 2.3.5. Случайная величина R - расстояние от точки попадания до центра мишени – распределена по закону Релея с параметром q 2 (задача 2.2.7.). 2 Заменить закон распределения Релея на нормальный закон так, чтобы моды и максимальные значения плотности распределения этих законов совпадали. Вы- числить вероятность того, что расстояние от точки попадания до центра мише- ни будет находиться в пределах от 1 до 2, исходя из распределения Релея и нормального распределения. Решение: согласно задаче 2.2.7. f (r) re0,5r2 (закон распределения Релея, q 2 ), M[R] , dR 1 и f (dR ) e0,5 . Следовательно, для нор- 2 2 -66-
мального закона распределения f (r) 1 (ra)2 , должно выполняться a 1 22 e 2 (для нормального распределения мода и математическое ожидание совпадают) и 1 e0,5 (плотность вероятности нормального закона достигает макси- 2 мального значения при r a ), то есть e . Таким образом, в нашем случае 2 нормальный закон распределения будет f (r) 1 e . x12 Исходя из закона e e 2 2 e0,5 e2 0, 471. Согласно P(1 R 2) re0,5r2 dr e0,5r2 Релея получим 1 1 нормального закона P(1 R 2) 2 1 (0) (1,52) 0, 436 (находим 0, 658 по таблице приложения 2). Следовательно, погрешность при вычислении веро- f1(r) re0,5r2 f2(r) (r1)2 f (r) f1(r) f2(r) 1e e e y 0,1 0, 6 y f1(r) 0 1 2 3r 0,3 y f2(r) 0,1 0 1 2 3 r 0,2 б) а) Рис. 24 ятности P(1 R 2), при использовании нормального закона 0,035. Графики плотности распределения Релея f1(r) и нормального распределения f2(r) при- ведены на рис. 24 а), на рис. 24 б) представлена разность значений плотности распределения Релея и нормального закона. 2.3.6. При изготовлении жетонов для метро, жетон бракуется, если его масса отличается от стандартной более, чем на 0,01 г. Считая, что отклонение массы жетона от стандартной есть нормально распределенная случайная вели- чина X с математическим ожиданием равным нулю, найти среднее квадрати- ческое отклонение X , если при изготовлении было забраковано 4,5 % жето- -67-
нов. На сколько необходимо улучшить качество изготовления жетонов (умень- шить X ), чтобы брак составлял менее 1 %. Решение: по условию задачи имеем P( X 0, 01) 2 0, 01 0,955 . По X таблице приложения 2 находим 0,01 2,005 или X 0,005 (г). Чтобы выпол- X нялось условие P( X 0,01) 0,99, требуется, чтобы 0, 01 0, 495 или 1X 0, 01 2,575 , то есть 1X 0, 0039 (г). 1X 2.3.7. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a 2 и 0,5. Записать выражения плотности распределения и функции распределения случайной величины X . Найти: а) P( X 2 0,5) , б) P( X 2 1) , в) P( X 2 1,5) , г) P( X 2,5 0,5) . 2.3.8. Найти точки перегиба нормальной кривой с параметрами a, . 2.3.9. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [2, 6] . Заменить закон распределения случайной величины X на нормальный закон распределения так, чтобы математическое ожидание и дисперсии этих за- конов совпадали. 2.3.10. Сахарный песок расфасован в пакеты весом 1 кг. При расфасовке возможна погрешность в x гр, причем случайная величина X (погрешность расфасовки) распределена по закону N(0, ) и 30 гр. Покупатель приобрел три пакета. Какова вероятность, что в двух из трех пакетов сахарного песка больше, чем по 1020 гр? 2.4. Функции случайных величин Если на множестве возможных значений случайной величины X опре- делена числовая функция y (x), то говорят, что случайная величина Y (X ) является функцией случайной величины X . Множество возможных значений случайной величины Y есть множество значений функции y (x). Чтобы найти числовые характеристики случайной величины Y доста- точно знать закон распределения случайной величины X и вид функциональ- ной зависимости. Если X - Д.С.В., P(X xi ) pi , i 1, 2,..., n и Y (X ) то nn (38) M[Y ] (xi ) pi и D[Y ] (xi ) M [Y ]2 pi . i1 i1 Если X - Н.С.В. с плотностью распределения f (x) , то -68-
(39) M[Y ] (x) f (x)dx и D[Y ] (x) M[Y ]2 f (x)dx . Для вычисления дисперсии остается справедливой формула D[Y ] M[Y 2] M[Y ]2 . Другие числовые характеристики можно найти по ана- логичным формулам. Чтобы найти закон распределения случайной величины Y , в случае ко- гда X - Д.С.В., надо найти все значения Y ( yi (xi ) ) и P(Y yi ) P(X xi ) , если нескольким значениям xi соответствует одно и тоже значение yi , то соот- ветствующие вероятности pi P(X xi ) надо просуммировать. Если X - Н.С.В. с плотностью распределения f (x) и случайная величи- на Y связана с ней функциональной зависимостью Y (X ) , где функция y (x) дифференцируемая и строго монотонная, то плотность распределения случайной величины Y находится по формуле g( y) f [( y)] ( y) , (40) где x ( y) - функция обратная функции y (x). Если функция (x) не мо- нотонна, то интервал возможных значений случайной величины X надо раз- бить на несколько интервалов, в каждом из которых функция y (x) моно- тонна. Плотность распределения случайной величины Y следует находить по формуле k (41) g( y) f [i ( y)] i ( y) , i1 где i ( y) функция обратная функции (x) на i -м интервале монотонности функции y (x), i 1, 2,..., k . 2.4.1. Случайная величина X задана рядом распределения: xi -2 -1 0 1 2 pi 0.3 0.2 0.1 0.2 0.3 Случайная величина Y 2X 2 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y . Решение: найдем возможные значения случайной величины Y . y1 2x12 1 9 , y2 3, y3 1, y4 3, y5 9. Тогда, M[Y ] 9 0,3 3 0,2 1 0,1 3 0,2 9 0,3 6,7 . M[Y 2] 92 0,3 32 0,2 12 0,1 32 0,2 92 0,3 52,3 , D[Y ] 52,3 6,72 7,41 . -69-
2.4.2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи- ны Y 4X , если случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром . Решение: распределение Пуассона имеет вид: P( X n) n e , n! n 0, 1, 2,.... Тогда, M[Y ] 4n n e e n 4 e 3 (восполь- n0 n! n0 n! e 4 e4 зовались известным разложением функции ex в ряд Тейлора ex xn ). n0 n! M[Y 2] n 16 42n n e e e 15 15 3 , D[Y ] e 16 e 2 . n0 n! n0 n! e16 e 16 2.4.3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи- ны Y sin X , если случайная величина X распределена по геометриче- 2 скому закону. Решение: геометрический закон распределения имеет вид: P(X n) n pqn1 , p q 1, n 1, 2,... . Тогда, M[Y ] n1 sin 2 pqn1 при n 2k, sin n 0 p 2 1 q2 1 k 1 pq 2( k 1) . M[Y 2] при n 2k 1, sin n 1k 1 k 1 2 n p 1 D[Y ] 1 p2 2 k 1 1 q2 1 q 1 q 1 q2 sin2 n1 и pqn1 pq 2( k 1) 2. 2.4.4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи- ны Y ln X , если случайная величина X равномерно распределена в проме- жутке 1, e . Решение: плотность распределения случайной величины X есть f (x) e 1 , если x [1, e]; . Тогда, e 1 dx 1 (x ln x e 1 M[Y ] ln x 1 0, если x [1, e] 1 e 1 e 1 e e e 2 ln xdx = ln 2 1 1 1 x 1 dx) 1 0,582 . M[Y 2] x 1 dx 1 x ln 2 e x e 1 e 1 e 1 x 1 -70-
e 2 0,418 (при вычислении интегралов пользовались формулой интегри- e 1 рования по частям) и D[Y ] e 2 (e 1 e2 3e 1 0, 079 . e 1 1)2 (e 1)2 2.4.5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи- ны Y eX , если случайная величина X распределена по нормированному нормальному закону ( N(0, 1)). Решение: плотность нормированного нормального закона есть 1 x2 Тогда, 1 x2 1 ( x1)2 1 e 2. M[Y ] ex e 2 dx e 2 2dx x 1 t (x) 2 2 2 1 t2 1 x2 1 ( x2)2 2 2 e 2 dt e2x e e 2 dx e e 1,649 . M[Y 2] dx 2 2 2 e2 7,389 и D[Y ] e2 e e(e 1) 4,671. 2.4.6. Ряд распределения случайной величины X есть: xi 0 2 3 5 643 2 3 46 P(X xi ) pi 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.1 0.15 0.15 0.25 Найти законы распределения случайных величин Y cos X и Z sin X . Решение: найдем возможные значения случайной величины Y : y1 cos x1 1, y2 cos 6 3, y3 cos 4 2, y4 cos 3 1 , 2 2 2 y5 cos 2 0 , y6 cos 2 1 , y7 cos3 4 2, y8 cos5 6 3, 3 2 2 2 y9 cos 1. Так как каждое из своих возможных значений случайная вели- чина Y принимает только при одном значении случайной величины X , то и вероятности, с которыми она принимает эти значения, будут равны вероятно- стям, с которыми случайная величина X , принимает соответствующие значе- ния. Перенумеруем возможные значения случайной величины Y в порядке их возрастания и ряд распределения случайной величины Y будет: yi 1 3 2 12 0 1 2 31 2 2 2 2 2 P(Y yi ) pi 0.25 0.15 0.15 0.1 0.05 0.05 0.05 0.1 0.1 Найдем возможные значения случайной величины Z . z1 sin x1 0 , z2 sin 6 1 , z3 sin 4 2, z4 sin 3, z5 sin 2 1, 2 2 3 2 -71-
z6 sin 2 3, z7 sin 3 4 2, z8 sin 5 6 1 , z9 sin 0 . Среди 3 2 2 2 найденных значений величины Z есть совпадающие, поэтому PZ 0 P P X 0 P X 0.35, Z 1 P X 6 P X 5 0.25, 2 6 3 2 P P Z P Z 2 2 P X P X 3 0.2, X 4 4 3 P P(Z 1) P(X 2) 0,05 . Пронумеруем возможные зна- X 2 0.15, 3 чения случайной величины Z в порядке их возрастания и запишем ряд распре- деления: zi 0 1 2 31 2 2 2 P(Z zi ) pi 0,35 0,25 0,2 0,15 0,05 2.4.7. Плотность распределения случайной величины X есть f (x) x 1, если x [1, 3]; . Найти законы распределения случайных вели- 8 0, если x [1, 3] чин Y X 3 и Z X 2 . Решение: функция y x3 монотонна на промежутке [1, 3] , поэтому имеет обратную функцию x3 y и xy 1 . Следовательно, плотность рас- 33 y2 пределения случайной величины Y можно найти по формуле (37), 3 y 1 , если y [1, 27]; . g ( y) 24 3 y2 Функция z x2 не монотонна на промежут- 0, если y [1, 27] ке [1, 3] , поэтому его надо разбить на два промежутка [1, 0] и [0, 3], на каж- дом из которых эта функция будет монотонна. При x [1, 0] x z , xz 1, z [0, 1] . При x [0, 3] x z и xz 1, z [0, 9] . Следователь- 2z 2z но, при z [0, 1] плотность распределения случайной величины Z будет состо- ять из двух слагаемых (формула (38)): g(z) z 1 1 z 1 1 1 . 8 2z 8 2z 8z При z [1, 9] g(z) z 1 1 . Таким образом, 8 2z -72-
1 , если z [0, 1]; 8 z , g(z) 0, если z [0, 9] . g(z) 1, z z 16 если z (1, 9] 2.4.8. Плотность распределения случайной величины X есть f (x) a(x 2)2 , если x [2, 1]; . Найти закон распределения случайной вели- если x [2, 1] 0, чины Y e X . Решение: найдем сначала величину коэффициента a из условия норми- 1 ровки плотности распределения, f (x)dx 1. Имеем, a(x 2)2 dx 2 a(x 2)3 1 9a . Следовательно, a 1 . Функция y e x не монотонна на 3 2 9 промежутке [2, 1] , поэтому его надо разбить на два промежутка [2, 0] и [0, 1], на каждом из которых эта функция будет монотонна. При x [2, 0] x ln y , xy 1, y [1, e2] . При x [0, 1] x ln y , xy 1, y [1, e] . Следова- y y тельно, при y [1, e] плотность распределения случайной величины Y будет состоять из двух слагаемых: g( y) 1 (2 ln y)2 1 1 (2 ln y)2 1 9 y9 y 2 (4 ln2 y) . При y [e, e2] g( y) 1 (2 ln y)2 1 . Таким образом, 9y 9 y 2(4 ln2 y) , если y [1, e]; если g( y) 9y , g( y) 0, если y [1, e2] . (2 ln y)2 y (e, e2] 9y , 2.4.9. Случайная величина X задана рядом распределения: xi -2 -1 0 12 pi 0.3 0.1 0.1 0.2 0.3 Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин Y 3X 1 и Z 3 X 1. 2.4.10. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели- чины Y cos X , если случайная величина X распределена по геометриче- скому закону. -73-
2.4.11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных вели- чин Y 3X 2 и Z 1 , если случайная величина X равномерно распре- X 3 делена в промежутке 1, 2. 2.4.12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели- чины Y eX , если плотность распределения случайной величины X есть f (x) a sin x, если x [0, ]; . 0, если x [0, ] 2.4.13. Ряд распределения случайной величины X есть: xi 0 2 3 5 643 2 3 46 P(X xi ) pi 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.1 0.15 0.15 0.25 Найти законы распределения случайных величин Y cos X sin X и Z cos X sin X . 2.4.14. Плотность распределения случайной величины X есть f (x) a(x 2), если x [2, 1]; . Найти законы распределения случайных ве- 0, если x [2, 1] личин Y 2X 3 и Z X 2 1. 2.4.15. Плотность распределения случайной величины X есть f (x) ex , если x 0; . Найти законы распределения случайных величин если x 0 0, Y eX и Z (X 1)2 . 2.5. Системы случайных величин В ряде случаев результаты опыта могут быть описаны лишь с помощью нескольких случайных величин. Например, производится выстрел по плоской мишени. Отклонение точки попадания от центра мишени можно задать декар- товыми координатами X и Y этой точки. Как правило, они случайны и мы приходим к системе случайных величин X , Y . При рассмотрении систем случайных величин удобна их геометрическая интерпретация. В частности, систему двух случайных величин X , Y можно рассматривать как случайную точку M (X , Y ) или как случайный вектор R X , Y на плоскости Oxy с декартовыми координатами X и Y . Законом распределения системы случайных величин называют всякое соотношение, устанавливающее связь, между областями возможных значений случайных ве- личин, входящих в систему, и вероятностями появления системы в этих обла- стях. -74-
Закон распределения системы двух дискретных случайных величин X , Y можно задать в виде таблицы с двумя входами yk y1 y2 ... yn n xi pik k 1 x1 p11 p12 ... p1n P( X x1) x2 p21 p22 ... p2n P( X x2 ) ... ... ... ... ... ... xm pm1 pm2 ... pmn P( X xm ) m P(Y y1) P(Y y2) ... P(Y yn ) 1 pik i1 В левом столбце таблицы указаны возможные значения случайной вели- чины X , в верхней строке – возможные значения случайной величины Y . В клетках таблицы указывают вероятности, с которыми система случайных вели- чин примет соответствующее значение, то есть pik P(X xi, Y yk ) i 1, 2,..., m , k 1, 2,..., n. Сумма вероятностей, записанных в какой либо стро- ке, есть вероятность того, что случайная величина X примет соответствующее n значение, то есть P(X xi ) pik , i 1, 2,..., m . Сумма вероятностей, запи- k 1 санных в каком либо столбце таблицы, есть вероятность того, что случайная m величина Y примет соответствующее значение, то есть P(Y yk ) pik , i1 k 1, 2,..., n. В таблице должны быть перечислены все возможные значения mn m n случайных величин X и Y , поэтому pik P(X xi ) P(Y yk ) 1. i1 k 1 i1 k 1 Наиболее общей формой закона распределения системы случайных ве- личин является функция распределения. Функцией распределения системы случайных величин X , Y называ- ется числовая функция F(x, y) , определяемая формулой F(x, y) P(X x, Y y) . (42) Для системы дискретных случайных величин X , Y , F(x, y) pik . xi x, yk y При геометрической интерпретации F(x0, y0) есть вероятность того, что случайная точка M (X ,Y ) попадет в квадрант, расположенный левее и ниже точки с координатами (x0, y0) , рис. 25. -75-
y M0 (x0, y0 ) y0 x0 x F(x0, y0) P(X x0, Y y0) 0 M (X ,Y) Рис. 25 Свойства функции распределения: 1) 0 F(x, y) 1; 2) если x1 x2 , то F(x1, y) F(x2, y) ; если y1 y2 , то F(x, y1) F(x, y2) ; 3) lim F(x, y) x lim F(x, y) 0 ; lim F (x, y) 1; 4) lim F ( x, y) F2 ( y) - функция распределе- y x x y ния случайной величины Y; lim F (x, y) F1 ( x) - функция распределения слу- y чайной величины X . Если X и Y непрерывные случайные величины и существует смешан- ная частная производная второго порядка 2F (x, y) , то функцию xy f (x, y) 2F (x, y) (43) xy называют плотностью распределения системы случайных величин X , Y . Свойства плотности распределения: 1) f (x, y) 0; 2) F(x, y) xy f (u,v)dudv ; 3) вероятность попадания системы X , Y в область D плоскости Oxy находится по формуле P X , Y D f (x, y)dxdy ; 4) плот- D ность распределения f1(x) случайной величины X находится по формуле f1(x) f (x, y)dy ; плотность распределения f2( y) случайной величины Y находится по формуле f2( y) f (x, y)dx ; 5) f (x, y)dxdy 1 - условие нор- мировки плотности распределения. Условной плотностью распределения f (x y) случайной величины X называется плотность ее распределения, вычисленная в предположении, что случайная величина Y приняла постоянное значение (попала в малый интервал вблизи точки y ). Аналогично f ( y x) - условная плотность распределения слу- чайной величины Y . Формулу f (x, y) f1(x) f ( y x) f2( y) f (x y) (44) -76-
называют теоремой умножения законов распределения. Условные плотности распределения можно найти по формулам: f (x y) f (x, y) и f ( y x) f (x, y) (45). f (x, y)dx f (x, y)dy Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла дру- гая случайная величина. Для независимых случайных величин справедливы ра- венства: f (x, y) f1(x) f2( y) , f1(x) f (x y) , f2( y) f ( y x) . Аналогичные формулы можно записать с использованием функции рас- пределения системы случайных величин. Если f (x, y) f1(x) f2( y) , то говорят, что случайные величины связаны стохастической (вероятностной) зависимостью. Число (46) KXY M (X mX ) (Y mY ) (x mX )( y mY ) f (x, y)dxdy называют корреляционным моментом (ковариацией) случайных величин X и Y ( mX и mY математические ожидания случайных величин X и Y , соответ- ственно). Справедлива формула KXY M[X Y ] mX mY . (47) Если KXY 0, то говорят, что случайные величины коррелированны. Для неза- висимых случайных величин KXY 0 (обратное неверно). Число rXY K XY X Y ( X D[X ] , Y D[Y ] ) называют коэффициентом корреляции случайных величин X и Y . rXY 1, коэффициент корреляции характеризует степень тес- ноты линейной зависимости между случайными величинами. Если rXY 1, то случайные величины X и Y связаны линейной функциональной зависимостью. 2.5.1. Закон распределения системы дискретных случайных величин X , Y задан таблицей yk 1 0 1 xi 0 0,2 0,3 0,1 1 0,1 0,2 0,1 -77-
Найти: F(x, y) , F1(x), F2( y) , F(x Y 1) , M X , M Y , KXY . Зависимы ли случайные величины X и Y ? Решение: значения функции распределения системы вычислим по фор- муле F(x, y) pik и сведем в таблицу 1. xi x, yk y y y 1 1 y 0 Таблица 1 y 1 0 y 1 x 0 0 0 x0 0 0,2 0 0,2 0,3 0,1 0,6 0 x 1 0 0,2 0,1 0,3 0,2 0,3 0,5 x 1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,8 1 Для нахождения функций распределения случайных величин X и Y просум- мируем сначала по строкам и столбцам таблицы вероятности, указанные в условии задачи, то есть найдем вероятности, с которыми случайные величины принимают свои возможные значения, таблица 2. yk Таблица 2. P(X xi ) xi 1 0 1 0 0,6 1 0,2 0,3 0,1 0,4 P(Y yk ) 0,1 0,2 0,1 0,3 0,5 0,2 Используя найденные значения pi P(X xi ) и pk P(Y yk ) , найдем F1(x) pi и F2( y) pk xi x yk y x x 0 0 x 1 x 1 y y 1 1 y 0 0 y 1 y 1 F1(x) 0 0,6 1 F2( y) 0 0,3 0,8 1 Отметим, что значения F1(x) совпадают с вероятностями, вычисленными в правом столбце таблицы 1, а значения F2( y) - с вероятностями последней стро- ки таблицы 1. Это следует из того, что F1(x) lim F ( x, y) (то есть y F1(x) F(x, y) при y 1) и F2 ( y) lim F ( x, y) (то есть F2( y) F(x, y) при x x 1). Найдем условный закон распределения случайной величины X при условии, что Y 1. Имеем F(x Y 1) P(X xi Y 1) и xi x -78-
P(X xi Y 1) P((X xi ) (Y 1)) (напомним, что P(A B) P(A B) ). P(Y 1) P(B) Используя вычисленные выше вероятности, получим: P((X 0) (Y 1)) 0,2 , P((X 1) (Y 1)) 0,1, P(Y 1) 0,3, P(X 0 Y 1) 0,2 2 , 0,3 3 P(X 1Y 1) 0,1 1 . Таким образом, 0,3 3 x x0 0 x 1 x 1 F(x Y 1) 0 2 1 3 Сразу отметим, что F1(x) F(x Y 1) , следовательно, случайные величины X и Y зависимы. Вычислим требуемые числовые характеристики. M X 0 0,6 1 0,4 0,4 , M Y (1) 0,3 0 0,5 10,2 0,1. Для вычисления M X Y найдем воз- можные значения произведения X Y и вероятности этих значений (X Y )i zi 1 0 1 P(X Y zi ) 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2 0,8 0,1 и M X Y (1) 0,1 0 0,8 1 0,1 0, по формуле (47) находим KXY M[X Y ] mX mY 0,04. 2.5.2. Производится три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна p , промаха - q 1 p . Записать в виде таблиц за- коны распределения: системы случайных величин (X , Y ) , случайных величин X и Y , если X - число выстрелов до первого попадания (включительно), Y - число промахов. Найти математические ожидания случайных величин X и Y , корреляционный момент KXY , условный закон распределения и условное мате- матическое ожидание случайной величины X при Y 2 . Решение: случайная величина X может принимать значения: 1, 2, 3; случайная величина Y может принимать значения: 0, 1, 2, 3. Обозначим: pik P(X xi, Y yk ) i 1, 2, 3, k 1, 2, 3, 4 и вычислим эти вероятности. p10 ppp p3 , p11 pqp ppq 2 p2q , p12 pqq pq2 , p13 0 ( (X 1, Y 3) - невозможное событие), p20 0 , p21 qpp p2q , p22 qpq pq2 , p23 0 , p30 p31 0 , p32 qqp pq2 , p33 qqq q3 . Запишем закон распределения си- стемы случайных величин (X , Y ) в виде таблицы и добавим к ней один стол- бец (с суммой вероятностей по строке) и одну строку (с суммой вероятностей по столбцу). -79-
yk 0 1 23 4 xi pik 1 p3 2 p2q pq2 0 k 1 2 0 p2q pq2 0 p qp 3 0 0 pq2 q3 q2 3 p3 3 p2q 3 pq2 q3 pik i1 Законы распределения случайных величин X и Y будут: xi 1 2 3 yk 0 1 2 3 P(X xi ) p qp q2 P(Y yk ) p3 3 p2q 3 pq2 q3 M X p 2 pq 3q2 1 q q2 . Видим, что случайная величина Y распреде- лена по биномиальному закону (это следует также из условия задачи), следова- тельно, M Y 3q (производится три испытания, в каждом из которых фикси- руемое событие (промах) происходит с вероятностью равной q ). Произведение случайных величин X Y (случайная величина) может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9; соответствующие вероятности найдем, используя найденный выше закон распределения системы (X , Y ) : P(X Y 0) p3, P(X Y 1) 2 p2q , P(X Y 2) pq2 p2q pq , P(X Y 3) 0 , P(X Y 4) pq2 , P(X Y 6) pq2 , P(X Y 9) q3. Тогда M X Y 2 p2q 2 pq 4 pq2 6 pq2 9q3 4q 4q2 q3 и корреляционный мо- мент будет равен KXY M[X Y ] mX mY = 4q 4q2 q3 3q(1 q q2) q(1 q)(1 2q) . Найдем условный закон распределения. Вычислим вероятности: P( X 1Y 2) P(X 1,Y 2) pq2 1 и P( X 2Y 2) P(X 3Y 2) 1 . P(Y 2) 3 pq2 3 3 Условное математическое ожидание будет равно M X Y 2 1 2 3 2. 333 2.5.3. Зная функцию F(x, y) распределения системы случайных величин (X , Y ) найти вероятность попадания систе- y мы в прямоугольник C d B C R (x, y) : a x b, c y d . A c A R D Решение: используем геометриче- скую интерпретацию функции распределе- ния. Тогда F(b,d) есть вероятность попада- 0 a bx B D -80- Рис. 26
ния системы в квадрант CCD, F(a,d) - в квадрант CBB , F(b,c) - в квадрант ADD , F(a,c) - в квадрант AAB, рис. 26. Следовательно, вероятность того, что система случайных величин (X , Y ) попадет в прямоугольник R будет рав- на P((X ,Y ) R) F(b,d) F(a,d) F(b,c) F(a,c) . 2.5.4. Функция распределения системы случайных величин (X , Y ) есть F (x, y) (1 ex ) (1 e3y ), если x 0, y 0; . Найти: f (x, y) , f1 ( x) и f2(y) . если x 0 или y 0 0, Решение: f (x, y) Fxy 3e x e3y , если x 0, y 0; . Поскольку плот- если x 0 или y 0 0, ность распределения системы имеет вид f (x, y) f1(x) f2( y) , то случайные ве- личины X , Y независимы и каждая из них распределена по показательному за- кону, а именно f1 ( x) ex , если x 0; f2 ( y) 3e3y , если y 0; если x , если y 0 . 0, 0, 0 2.5.5. Плотность распределения системы случайных величин (X , Y ) есть f (x, y) sin x sin y, если 0 x , 0 y ; . Найти: F(x, y) , F1(x) , 2 2 0, в остальных случаях F2( y) , вероятность того, что будут выполнены условия: X Y , X Y 0. 2 Решение: функция распределения выражается через плотность распре- x0 y0 0 x0 , 2 деления формулой F(x0, y0) f (x, y)dxdy . В нашем случае при y yy y0 2 22 y0 y0 0 x0 x 0 x0 x 0 x0 x 2 2 2 б) в) a) Рис. 27 x0 y0 sin xsin ydxdy cos x x0 (cosy) y0 2 00 0 y0 будем иметь F(x0, y0) 00 (1 cos x0)(1 cos y0) , интегрируем по области, заштрихованной на рис. 27 a) . При 0 x0 , и y0 для вычисления F(x0, y0) надо интегрировать по обла- 2 2 -81-
сти, заштрихованной на рис. 27 б) , (где f (x, y) 0 ). Поскольку F(x, y) неубы- вающая функция по каждому из аргументов, то при возрастании y0 F(x0, y0) достигнет максимального значения при y0 , при дальнейшем возрастании 2 y0 не будет изменяться, то есть F(x0, y0) 1 cos x0 (при 0 x0 , и y0 ). 2 2 Рассуждая аналогично при x0 и 0 y0 (рис. 27 в) ) получим 2 2 F(x0, y0) 1 cos y0 . Таким образом, функция распределения системы есть 0, если x 0 или y 0; (1 cos x)(1 cos y), если 0 x , 0 y ; 22 F (x, y) 1 cos x, если 0 x y , ; 22 1 cos y, если x , 0 y ; 22 1, если x y , 22 y Поскольку lim F ( x, y) F1( x) и y lim F ( x, y) F2 ( y) , то получим: 2 D x 0 yx 42 yx 0, если x 0; Рис. 28 (1 cos x), 2 F1 ( x) если 0 x ;, x 2 1, если x 2 0, если y 0; (1 cos y), F2 ( y) если 0 y ; , что 2 1, если y 2 следует из выражения для F(x, y) . Область D возможных значений случайных величин X и Y , удовле- творяющих условиям: X Y , X Y 0, заштрихована на рис. 28. Тогда 2 -82-
x 4 42 2 x dx x P((X , Y ) D) sin xsin ydxdy sin xsin ydy sin x( cos y ) dx D 0x 0 4 4 1 cos 2x dx sin2 x 4 4 sin x(cos x sinx)dx sin xd sin x 02 2 0 0 0 4 x sin 2x 0 4 8 0,107 . 2 4 2.5.6. Система случайных величин (X , Y ) равномерно распределена в области D (x, y) : x2 y2 4, x 0, y 0 . Найти условные законы распреде- ления случайных величин X , Y и коэффициент корреляции rXY . Решение: поскольку плотность распределения системы постоянна в об- ласти D и ее площадь равна (площадь четверти круга радиуса 2), то 1 , если ( x, y) D; . Тогда, 4x2 1 dy 4 x2 , если x 0, 2 и f 0 (x, y) f1(x) 0, если (x, y) D 2 dx (4 x2 )32 2 x0, 2. M X x 4 x2 8, 3 0 f1(x) 0 , если M X 2 0 2 4 x2 dx 2 x2 1 16sin2 t cos2 tdt 4 2 1 cos 4t 0 1, x 2sin t 0 0 2 dt DX 1 64 92 64 , X 92 64 . Абсолютно аналогично находим: 92 2 3 4 y2 если (x, y) D; , 92 64 . Найдем услов- M Y 8 , 3 f ( y ) , Y 3 2 0, если (x, y) D 1 , если 0 x y 2; f (x, y) ные плотности распределения: f (x y) 4 y2 , f2 ( y) 0, если x [0, y] 1 , если 0 y x 2; f (x, y) f (y x) 4 x2 то есть, каждая из случайных ве- f1(x) 0, если y [0, x] личин равномерно распределена на промежутке, длина которого зависит от значения другой случайной величины. -83-
Найдем математическое ожидание произведения случайных величин: xy dxdy 1 2 4x2 1 2 x(4 x2) 1 (x2 x4 2 2. ) xdx M X Y Тогда, D 0 0 ydy 0 2 8 0 K XY 2 64 2(9 32) 0,084 и rXY K XY 18 64 0,3 . 92 92 X Y 92 64 2.5.7. Точка выбирается наудачу в круге радиуса 1 с центром в начале координат, (X , Y ) - декартовы координаты этой точки, (R, ) - полярные ко- ординаты. Найти функцию распределения и плотность распределения системы случайных величин (X , R) . Решение: найдем сначала функцию распределения. Поскольку точка вы- бирается наудачу внутри единичного круга, то вероятность ее попадания в лю- бую часть этого круга будет равна площади этой части, поделенной на (пло- щадь круга радиуса 1), геометрическое определении вероятности. Тогда y x0 r0 x2 y2 1 1 x x0 D x2 y2 r02 r0 0 1x Рис. 29 P(X 1 x0 , R r0 ) dxdy , D (x, y) : r0 x x0, r02 x02 y r02 x02 D x0 r0 1, рис. 29. И 1 2 x0 и r0 r02 x2 dx x0 1, F (x0, r0 ) dxdy D 2r02 arcsin x0 r0 r02 arcsin x0 r0 cos2 tdt (1 x r0 sin t cos 2t)dt 22 -84-
r02 x0 x0 1 x02 r02 r02 arcsin x0 x0 r02 x02 . Окончательно arcsin r0 2 r0 r02 2 r0 0, если x 1; r 2 r2 x x r получим F ( x, r ) 2 arcsin r2 x2 , если x r 1; . Плотность рас- r2, если x 1, r 1; 1, если x 1, r 1 пределения найдем по формуле (40), f (x,r) 2F(x,r) . F (x,r) xr x r2 1 r2 x2 x2 2 r2 x2 , 2F (x,r) 2r . Таким 1 x2 r2 r r2 x2 xr r2 x2 2r если x r 1; , . образом f (x, r) r2 x2 0, в остальных случаях Отметим, что плотность распределения можно найти также из соотно- шения f (x,r) lim P(x X x x, r R r r) . Вероятность того, что бу- x0 xr r 0 дут выполнены условия x0 X x0 x и r0 R r0 r , равна сумме площа- дей двух областей G1 и G2 (заштрихованы на рис. 30), поделенной на . Из рис. 30 легко получить: cos AK r02 x02 , AB AE r0r . Площадь OA r0 cos r02 x02 криволинейного четырехугольника ABCD ( SG1 ) приближенно равна r0xr . Тогда 2r если x r 1; r02 x02 , . SG1 AB x f ( x, r ) r2 x2 0, в остальных случаях -85-
y B E C r r0 A G1 D x r 1x 0 x0 K r0 G2 Рис. 30 2.5.8. Закон распределения системы дискретных случайных величин X , Y задан таблицей yk 1 0 1 xi 0 0,1 0,2 0,1 1 0,1 0,2 0,1 2 0,05 0,1 0,05 Найти: F(x, y) , F1(x), F2( y) , F( y X 0) , M X , M Y , KXY . Зависимы ли слу- чайные величины X и Y ? 2.5.9. Функция распределения системы случайных величин (X , Y ) есть (1 2 x ) (1 2 y ), если x 0, y 0; если x 0 или y0 F ( x, y) 0, . Найти: f (x, y) , f1(x) , f (x y), P(1 X 2, 3 Y 5) . 2.5.10. Плотность распределения системы случайных величин (X , Y ) есть f (x, y) 1 sin(x y), если 0 x , 0 y ; . Найти: F(x, y) , F1(x) , 2 2 2 0 в остальных случаях KXY , вероятность того, что будут выполнены условия: X Y X Y 0. , 2 -86-
2.5.11. Плотность распределения системы случайных величин (X , Y ) есть f (x, y) c( x y xy), если 0 x 3, 0 y 1; . Найти: c, f1(x) , f (x y), 0, в остальных случаях KXY , вероятность того, что будут выполнены условия: X Y 1, Y 0,5 . 2.5.12. Точка выбирается наудачу в круге радиуса 1 с центром в начале координат, (X , Y ) - декартовы координаты этой точки, (R, ) - полярные ко- ординаты. Найти функцию распределения и плотность распределения системы случайных величин (R, ) . Сводка формул № Формула Стр. 1 P( A) m - классическое определение вероятности, 8 n 8 n - общее число всех равновозможных исходов опыта, m - число исходов, благоприятствующих событию A 2 Pn n! - число перестановок из n элементов 3 P(n1,n2 ,...,nk ) n! - число перестановок с повторени- 9 n1! n2 !... nk ! ями из n элементов 4 Cnm n! - число сочетаний из n элементов по m 9 (n m)! m! элементов 5 m Cm - число сочетаний с повторениями из n эле- 9 nm1 Cn ментов по m элементов 6 Anm n! Cnm Pm - число размещений из n элементов 9 m)! (n по m элементов 7 m nm - число размещений с повторениями из n элемен- 9 An тов по m элементов 8 P( A) мера А - геометрическое определение вероятности 19 мера 9 P(A B) P(A) P(B A) P(B) P(A B) - теорема умноже- 25 ния вероятностей 25 10 P(A B) P(A) P(B) P(A B) - теорема сложения веро- ятностей 11 P(A B C) P(A) P(B A) P(C A B) - теорема умножения 25 вероятностей для трех событий -87-
12 P(A B C) P(A) P(B) P(C) - теорема сложе- 25 26 P(A B) P(AC) P(B C) P(A B C) 26 26 ния вероятностей для трех событий 26 27 13 P(A B) P(A) P(B) - теорема умножения вероятностей 31 для независимых событий 31 14 P(A1 A2 ... An) P(A1) P(A2) ... P(An) - теорема умноже- 38 ния вероятностей для событий независимых в совокупно- 38 40 сти 41 15 P(A B) P(A) P(B) - теорема сложения вероятностей 41 для несовместных событий 16 P(A1 A2 ... An) P(A1) P(A2) ... P(An) - теорема сло- жения вероятностей для попарно несовместных событий 17 P(A) 1 P(A1) P(A2) ... P(An) - вероятность осуществ- ления хотя бы одного из событий A1, A2,..., An , независимых в совокупности 18 P(A) P(B1) P(A B1) P(B2) P(A B2) ... P(Bn) P(A Bn) n 1) Bi Bj при i j i, j 1, 2,..., n и 2) Bi - i1 формула полной вероятности 19 P(Bi A) P(Bi ) P( A Bi ) , i 1,n - формула Байеса P( A) 20 Pn (m) Cnm pmqnm, m 1, 2,..., n. ( p q 1) – формула Бернулли 21 (n 1) p 1 m0 (n 1) p , m0 - наивероятнейшее число по- явлений фиксируемого события в схеме Бернулли 22 Pn (m) Cnm pmqnm m e, np ( n m2 , np2 1, m! np2 1) – формула Пуассона 23 Pn (m) Cnm pmqnm 1 (x), x m np , ( npq 1, npq npq m np ) – локальная формула Муавра – Лапласа 24 Pn (m1 m m2) (x2) (x1), x1 m1 np , x2 m2 np , npq npq ( npq 1, m np ) – интегральная формула Муавра - Лапласа -88-
25 42 n 43 Gn (z) ( pmz qm ) - производящая функция, pm 1 qm - 43 m1 46 46 вероятность появления фиксируемого события в m -м ис- 54 55 пытании 55 55 26 Pn (m1, m2 ,..., ms ) n! pm1 p m2 ... p ms - вероятность то- 55 m1!m2 !...ms 1 2 s ! го, что при n испытаниях событие A1 произойдет m1 раз, s событие A2 - m2 раз, …, событие As - ms раз ( mi n , i1 фиксируемое событие Ai в каждом испытании происходит s с вероятностью pi , pi 1) i1 n Gn (z1, z2,...zs ) ( p1k z1 p2k z2 ... psk zs ) - произво- 27 k 1 дящая функция. pik - вероятность i -го исхода в k -м испытании (i 1,2,..., s , k 1,2,...,n ), вероятность Pn(m1,m2,...,ms ) вычисляется как коэффициент при члене, содержащем z m1 z m2 ... z ms в разложении по степеням 1 2 s z1, z2,..., zs производящей функции 28 F(x) P(X x) - функция распределения случайной величины X 29 f (x) lim P(x X x x) - плотность распределе- x0 x ния Н.С.В. X 30 n M[ X ] xi pi - математическое ожидание Д.С.В. i1 31 M[X ] x f (x)dx - математическое ожидание Н.С.В. 32 D[X ] M[ X M[X ]2] - дисперсия случайной ве- личины X 33 D[X ] M[X 2] (M[X ])2 - формула для вычисления дисперсии 34 aX 3[X ] - коэффициент асимметрии, 3X eX 4[ X ] 3 - коэффициент эксцесса 4X -89-
35 1 e ( xa )2 - нормальный закон распределе- 64 22 64 f (x) 2 64 68 ния, N(a,) 69 69 36 P( X ) a a - вероятность 69 75 попадания нормально распределенной случайной величи- 76 77 ны в интервал (, ) 77 37 P( X a ) 2 - вероятность заданного от- клонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания 38 nn M[Y ] (xi ) pi и D[Y ] (xi ) M[Y ]2 pi - i1 i1 математическое ожидание и дисперсия Д.С.В. Y (X ) M[Y ] (x) f (x)dx , D[Y ] (x) M[Y ]2 f (x)dx 39 математическое ожидание и дисперсия Н.С.В. Y (X ) 40 g( y) f [( y)] ( y) - плотность распределения случайной величины Y (X ) ( y (x) монотонна, и ( y) 1(x) ) 41 k g( y) f [i ( y)] i ( y) - плотность распределения i1 случайной величины Y (X ) , интервал изменения воз- можных значений X разбит на k интервалов, в каждом из которых функция (x) 1( y) - монотонна 42 F(x, y) P(X x, Y y) - функция распределения системы случайных величин (X , Y ) 43 f (x, y) 2F(x, y) - плотность распределения систе- xy мы непрерывных случайных величин (X , Y ) 44 f (x, y) f1(x) f ( y x) f2( y) f (x y) - теорема умножения законов распределения 45 f (x y) f (x, y) и f ( y x) f (x, y) - услов- f (x, y)dx f (x, y)dy ные плотности распределения -90-
46 KXY M (X mX ) (Y mY ) 77 (x mX )( y mY ) f (x, y)dxdy - корреляционный момент случайных величин X и Y 47 KXY M[X Y ] mX mY - формула для вычисления 77 корреляционного момента случайных величин X и Y Ответы 1.1.4. ггг, ггр, грг, ргг, грр, ргр, ррг, ррр , A ггг, B ггг,ггр,грг,грр , C ргг, грг,ггр, D ррр, ррг, ргр,грр, ргг,грг,ггр . 1.1.5. n : n 1,2,... , A n 1, B n : n 5 , C n :3 n 6. 1.1.9. A ={достали два синих каран- даша, либо два зеленых, либо карандаши разных цветов}, B C , C B , A B B , A B A, A C , B C , B C . 1.1.10. A A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 , B A1 A2 A3 A4 , C A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 , D A1 A2 A1 A3 A1 A4 A2 A3 A2 A4 A3 A4 , E D , F A1 A2 . 1.2.4. N (n 2)(n 1)!. 1.2.5. N 6 . 1.2.9. N 210 . 1.2.10. 1) Cn2 , 2) Cn3 . 1.2.11. N = 680. 1.2.15. N = 60. 1.2.16. N 151200. 1.2.17. N 106 . 1.2.21. P(A) 2,781105 , P(B) 8,065 104 , P(C) 1.664 109 . 1.2.22. p 0,6 . 1.2.23. p 1 . 1.2.28. P(A) 13 , P(B) 15 . 1.2.29. k 3 . 1.2.30. p 1 . 1.2.31. 60 28 28 7 P(A) 0,019, P(B) 0,993, P(C) 0,326. 1.2.35. P(A) 0,125 , P(B) 0,5 , P(C) 0,875 , P(D) 0,375. 1.2.36. P(A) 7,716 104 , P(B) 0,198 , P(C) 0,518, P(D) 0,9375. 1.2.37. p 7 9 . 1.2.38. P(A) Ca2 Cc2 , C2 C2 ab cd P(B) Ca2 Cc2 Cb2Cd2 , P(C) Ca2 Cd2 Cb2 Cc2 Ca1 Cb1 Cc1 Cd1 . 1.2.39. p 0,05. C2 C2 C2 C2 ab cd ab cd 1.2.40. P(A) 0,161, P(B) 7,716 104 , P(C) 0,0154 . 1.3.9. p 2 . 1.3.10. p 0,25 . 1.3.11. p a(2l a) . 1.3.12. p 0, 472. 1.3.13. P(A) 56 , P(B) 1 . l2 4 1.4.8. P(A) 0,512 , P(B) 0,008 , P(C) 0,488 , P(D) 0,096 , P(E) 0,384. 1.4.9. а) P(A) p1(1 q2q4) p3, б) P(A) (1 q1q2)(1 q3q4q5) , в) P(A) p1( p2 q2 p3(1 q4q5)) . 1.4.10. P(A) 0,657 , P(B) 0,147 , P(C) 0,189 , P(D) 0,657 , P(E) 0,343. 1.4.11. p2 0,7 . 1.4.12. n 3 . 1.5.11. p 0,5. -91-
1.5.12. p 0,4 . 1.5.13. p 1 . 1.5.14. p p1n1 . 1.5.15. а) 15 p1n1 p2n2 p3n3 p 0,579, б) p 0,0016 . 1.6.5. P(A) 0,088 , P(B) P(C) 0,104 , m0 4. 1.6.6. p 0,9995. 1.6.7. а) вероятнее выиграть одну партию из двух, б) вероятнее вы- играть не менее двух партий из четырех. 1.6.8. p 0,104. 1.6.11. P(A) 0,224, P(B) 0,577. 1.6.12. P(A) 0,0902 , P(B) 0,9473. 1.6.13. p 0,2549 . 1.6.14. P(A) 0,088, P(B) 0,7988 . 2.1.8. x x2 2 x3 3 x5 5 x7 x7 p2 0,4, P(2 X 5) 0,6 F(x) 0 0,2 0,6 0,9 1 2.1.9. 1 2 34 xi 1 3 31 14 P(X xi ) 7 7 14 x x 1 1 x 2 2 x 3 3 x 4 x 4 F(x) 0 1 1 13 1 14 2 14 2.1.10. a 1 , b 1 , f (x) 1 x2 ) , x . 2 (1 2.1.11. a 1 x x 1 1 x 0 0 x 1 x 1 P(1 x 0,5) 0,125 F(x) 0 (1 x)2 1 (1 x)2 1 2 2 z если z (0,1], z, если z 0, 1, 0, ln z, если z (0,1]; f (z) 2 z, если z 1, 2.1.12. а) f (z) б) 0, если z 0, 2, 2. 2.2.9. M X 4,8 , D[X ] 0,96 , P(X 4) 0,901. 2.2.10. M X 2,5 , D[ X ] 15 28 , d1X 2 и d2X 3. 2.2.11. p1 0,1, x2 4, x3 7 . 2.2.12. a 0,5, M[X] 7 , D[ X ] 2 , aX 0,566. 2.2.13. a, M [ X ] 1 , D[X ] 1 , 3 9 2 aX 2 , F ( x) 0, если x 0, , t0,9 2,303 . 2.2.14. a 2, M[X] 0, 1 ex , если x 0 -92-
D[ X ] 2 , eX 3, F ( x) ex если x 0, , t0,9 1, 609 . 2.3.7. 2 1 , если x 0 , 1 2 ex 2 f (x) 2 e2(x2)2 , F(x) 1 (2(x 2)) , а) p 0,6826 , б) p 0,9544, в) 2 p 0,9974, г) p 0,4772 . 2.3.8. x1,2 a . 2.3.9. N(a,) , a 4 , 1,155 . 2.3.10. p 0,143. 2.4.9. M Y 1,3 , DY 24,21, M Z 5,5 , DZ 4,05. 2.4.10. M Y p , DY 1 p2 . 2.4.11. M Y 0,5, DY 6,75, (1 q)2 1 q M Z 0,305, DZ 0,007 . 2.4.12. M Y 6,035, DY 17,228. 2.4.13. yi 1 1 3 0 3 1 1 1 3 2 P(Y yi ) 0,25 0,15 0,05 2 2 2 0,15 0,1 0,15 0,15 zi 2 1 3 1 1 3 0 3 1 1 2 0,3 0,05 2 2 P(Z zi ) 0,15 0,25 0,05 0,1 0,1 4, если z (1, 0], 1 z y 1, 9 18 2.4.14. g(y) если y 1, 5, g(z) 2 1 z , если z (0, 3], . если y 1, 1 z 0, , 9 0, если z (1, 3] 5 e1(e z e z 2z , если z (0, 1], y 2 , если y 1, e1 z если y 1 , 2.4.15. g ( y) 0, g ( z) 2 z , если z 1, . 0, если z 0 -93-
2.5.8. F(x, y) : y y 1 1 y 0 0 y 1 y 1 x 0 0 0 0 x0 0 0,1 0,3 0,4 0 x 1 0 0,2 0,6 0,8 1 x 2 0 0,25 0,75 1 x2 x x0 0 x 1 1 x 2 x2 F1 ( x) 0 0,4 0,8 1 y y 1 1 y 0 0 y 1 y 1 F2( y) 0 0,25 0,75 1 F( y X 0) 0 0,25 0,75 1 M X 0,8, M Y 0, KXY 0 , X и Y независимы. 2.5.9. ln2 2 2 x 2 y , если x 0, y 0, , ln 2 2 x , если x 0, если x 0 или y 0 если x 0 f (x, y) 0, f1 ( x) f (x y) 0, , P(1 X 2, 3 Y 5) 3 . 2.5.10. 128 x, y x 0 0 x , 0 x , x , x , или 2 2 2 2 y0 0 y y 0 y y F(x, y) 0 2 2 2 2 sin x sin y sin(x y) 1 sin x cos x 1 sin y cos y 1 2 22 x x0 0x x F1 ( x) 22 0 1 sin x cos x 1 2 -94-
KXY 0,046, P(X Y , X Y 0) 0,25 . 2.5.11. c 4 , K XY 1 , 2 33 121 2(3x 1) , если x 0, 3, 2(x y xy) , если x 0, 3, 33 f1 ( x) , f (x y) 3(5y 3) , 0, если x 0, 3 0, если x 0, 3 P(X Y 1, Y 0,5) 1 . r 2 , если r 0, 1, 32 y 0, 1, 2.5.12. F (r,) 2 1, если r 1, 2 f (r, ) r , если r 0, 1, 0, 2 . 0, в остальных случаях Таблица значений функции (x) Приложение 1 1 x2 e2 2 01 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,3983 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3532 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3114 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3012 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 -95-
2,0 0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 2.1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046 3,0 0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0014 0010 0009 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003 3,8 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001 Приложение 2 Таблица значений функции Лапласа (x) 1x t2 e 2 dt 2 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.0 0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.1368 0.1406 0.1443 0.148 0.1517 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2224 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.3289 0.3315 0.334 0.3365 0.3389 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.3749 0.377 0.379 0.381 0.383 0.3944 0.3962 0.398 0.3997 0.4015 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 0.7 0.258 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 0.8 0.2881 0.291 0.2939 0.2967 0.2995 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.4744 0.475 0.4756 0.4761 0.4767 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.437 0.4382 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 -96-
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.483 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.489 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.492 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.494 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.496 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.497 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.498 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.499 0.499 3.1 0.499 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.9 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Список литературы 1. Афанасьев, Зимина О.В. и др. Высшая математика. Специальные разделы. / Под ред. А.И. Кириллова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 400 с. 2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973. – 368 с. 3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и мате- матической статистике. М.: Высшая школа, 1979. – 286 с. 4. Лунгу К.Н., Норин В.П. и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / Под ред. С.Н. Федина. - М.: Айрис-пресс, 2004. – 592 с. 5. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. / Под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литерату- ры, 1984. – 608 с. -97-
Романов Александр Дмитриевич, Практикум. Теория вероятностей Учебное пособие для стдентов высших техниче- ских учебных заведений Компьютерный набор и верстка автора. Подготовка к печати Сдано в производство г. Подписано в печать г. . Уч.-изд. л. .Формат 84х1081/16. Усл.-печ. л. Изд. № . Заказ № . Редакционно-издательский отдел Севмашвтуза 164500, г. Северодвинск, ул. Воронина, 6. -98-
Search
