ม.2 แยกตัวประกอบพหุนาม

☺ สมบัติแจกแจง a(b + c) = ab + ac ☺ ผลต่างของกาํ ลังสอง A2 – B2 = (A – B)(A + B) ☺ กาํ ลงั สองสมบรู ณ์ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 ******************** จดั ทาํ โดย นายปกครอง บญุ ปลื้ม

2 การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม หมายถึง การเขียนพหนุ ามท่กี ําหนดให้ ในรูปการคณู กนั ของพหนุ ามท่ีมีดกี รีตํา่ กวา่ ตง้ั แตส่ องพหนุ ามขน้ึ ไป หรอื เขยี นพหุนามทก่ี ําหนดให้ในรปู ทง่ี ่ายกวา่ การแยกตัวประกอบโดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง สมบัติการแจกแจง ถ้า a , b และ c แทนจํานวนเต็มใด ๆ แล้ว a(b + c) = ab + ac หรือ ab + ac = a(b + c) ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ 5xy + 6x2 วิธที ํา ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ 12y2z + 20yz วธิ ีทํา ตวั อยา่ งท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ 16x3y3 – 24x4y วธิ ีทาํ

3 แบบฝกึ ก จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี = ……………………….. 10. 33y2 – 11yz 1. 10x + 4 = ……………………….. = ……………………….. 2. 7x – 14 = ……………………….. 11. 15x2y + 5x = ……………………….. = ……………………….. 3. –9y + 3 = ……………………….. 12. 6xy – 8xy2 = ……………………….. = ……………………….. 4. –8 – 12x = ……………………….. 13. x3 + x = ……………………….. = ……………………….. 5. 14 + 26z = ……………………….. 14. y3 + 4y = ……………………….. 6. x2 + 13x = ……………………….. 15. 9y2z2 – 6yz 7. 3z2 – 2z = ……………………….. 16. 21x3y2 – 28x2y3 8. 5y2 – 20y = ……………………….. 17. –7x2z3 + 63xz5 9. 12xz – 16z = ……………………….. 18. 24x4z2 + 18x3z3 ในการแยกตัวประกอบของพหนุ ามทมี่ ีหลายพจน์ นอกจากจะใชส้ มบตั ิการแจกแจงแลว้ อาจต้องใช้ สมบัตกิ ารสลบั ท่แี ละสมบตั ิการเปล่ยี นหมู่ประกอบดว้ ย ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้ ตวั อยา่ งที่ 4 จงแยกตวั ประกอบของ ab – 2ac + bc – 2c2 วิธีทํา ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตวั ประกอบของ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 วิธที าํ ตวั อย่างที่ 6 จงแยกตวั ประกอบของ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2 วิธีทํา

แบบฝึก ข 4 จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี 1. m(n + 3) + 5(n + 3) 9. xy – st – xt + sy 10. n2m +n2p – 8m – 8p 2. (x + y)z – (x + y) 11. ab2 – cb2 – 6a + 6c 12. 2x3 – x + 14x2 – 7 3. 4t(a + b) – s(a + b) 4. (4y2 + 3)y + 6(4y2+ 3) 5. a(b – 3c) + x(b – 3c) 6. ax + by + bx + ay 7. 5a – 10x + ab – 2bx 13. a2 – 2b – 5a3 + 10ab 8. na + 3b + nb + 3a 14. x3 – x3z + y2z – y2

5 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องที่เป็นผลตา่ งของกําลงั สอง ผลต่างของกาํ ลังสอง A2 – B2 = (A – B)(A + B) ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 121 วธิ ที ํา ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของ 16x2 – 81 วิธีทํา ตัวอยา่ งท่ี 3 จงแยกตัวประกอบของ 49x2 – 196 วิธีทํา ตวั อยา่ งที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ (x + 1)2 – 36 วธิ ที ํา

6 ตัวอยา่ งท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – (x – 4)2 วิธที าํ ตวั อยา่ งท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ (x – 2)2 – (x + 3)2 วิธีทํา ตวั อยา่ งท่ี 7 จงแยกตัวประกอบของ (3x – 2)2 – (x + 5)2 วิธที ํา ตวั อยา่ งท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของ 25(x + 2)2 – 144x2 วิธีทาํ

แบบฝกึ ฃ 7 1. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี 11) 16x2 – 169 1) x2 – 1 2) 16 – x2 12) 49x2 – 81 3) x2 – 64 13) 25x2 – 121 4) x2 – 144 14) 196x2 – 100 5) 255 – x2 15) 81x2 – 400 6) x2 – 361 16) 64x2 – 225 7) x2 – 625 17) 144x2 – 441 8) x2 – 900 18) 1 – 289x2 9) 9x2 – 1 19) 529x2 – 625 10) 4x2 – 49 20) 961 – 900x2

2. จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี 8 1) (a – 2)2 – 1 9) (x + 6)2 – (x + 4)2 2) 25 – (y + 1)2 10) (x – 8)2 – (x – 5)2 3) (x + 2)2 – 4 11) (3x + 2)2 – (x – 1)2 4) (x – 3)2 – 36 12) (4x – 3)2 – (5x + 2)2 5) 81 – (x + 5)2 13) 9(x – 7)2 – 100x2 6) x2 – (2x + 1)2 14) 144x2 – (2x – 3)2 7) 4x2 – (x – 2)2 15) 25x2 – 16(x – 5)2 8) (2x + 3)2 – 25x2 16) (5x+ 3)2 – 121x

9 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว พหุนามดกี รีสองตัวแปรเดยี ว คอื พหนุ ามท่เี ขยี นไดใ้ นรปู ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตวั ท่ี a ≠ 0 และ x เป็นตวั แปร ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 10x +21 วธิ ที ํา ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 5x – 6 วธิ ีทาํ ตัวอยา่ งที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 2x – 24 วธิ ที ํา ตัวอยา่ งที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x + 1 วิธีทาํ ตวั อยา่ งที่ 5 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 4x + 4 วธิ ที ํา

10 แบบฝกึ ค จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้ = ……………………….. 1. x2 + 9x + 14 = ……………………….. 16. t2 – 11t + 30 2. n2 + 15n + 14 = ……………………….. 17. a2 – a – 72 = ……………………….. 3. y2 + 10y + 24 = ……………………….. 18. x2 – 17x + 70 = ……………………….. 4. x2 + 7x – 18 = ……………………….. 19. y2 – 18y + 81 = ……………………….. 5. x2 – 9x + 20 = ……………………….. 20. n2 + 15n – 54 = ……………………….. 6. a2 – 8a – 9 = ……………………….. 21. x2 – 30x – 99 = ……………………….. 7. b2 + 9b – 10 = ……………………….. 22. m2 – 22m + 121 = ……………………….. 8. x2 – 10x + 24 = ……………………….. 23. x2 – 12x – 85 = ……………………….. 9. x2 – 14x + 24 = ……………………….. 24. 144 + 24a + a2 = ……………………….. 10. a2 + 11a + 18 = ……………………….. 25. s2 + 12s – 189 = ……………………….. 11. 56 + 15a + a2 = ……………………….. 26. x2 – 28x + 195 = ……………………….. 12. m2 – 13m + 42 = ……………………….. 27. 225 + 34t + t2 = ……………………….. 13. x2 – 20x – 21 = ……………………….. 28. y2 – 2y – 323 = ……………………….. 14. x2 – 15x + 36 = ……………………….. 29. x2 + 37x + 232 = ……………………….. 15. y2 + 13y + 12 = ……………………….. 30. m2 – 19m – 372 = ………………………..

11 ตวั อย่างท่ี 5 จงแยกตัวประกอบของ 8x2 – 26x + 15 วธิ ที ํา ตัวอยา่ งท่ี 6 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 + 13x + 10 วธิ ที ํา ตัวอย่างท่ี 7 จงแยกตัวประกอบของ 12x2 + 5x – 2 วธิ ที าํ ตัวอยา่ งท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของ 6x2 – 10x – 4 วิธีทํา ตัวอย่างท่ี 9 จงแยกตวั ประกอบของ –3x2 + 10x + 8 วธิ ที ํา

12 แบบฝกึ ฅ จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี 1. 2x2 – 2x – 4 = …………………………… 16. 15x2 + 8x – 7 = ………………………. 2. 2a2 + 6a + 4 = …………………………… 17. 7a2 + 49a + 84 = ………………………. 3. 3x2 – 6x – 9 = …………………………… 18. 35m2 + 18m – 8 = ………………………. 4. 6y2 –y – 12 = …………………………… 19. 4 + 10x – 6x2 = ………………………. 5. 9y2 – 6y – 9 = …………………………… 20. 9 – 42y + 49y2 = ………………………. 6. 6y2 – y – 12 = …………………………… 21. 35 – 26b + 3b2 = ………………………. 7. 6a2 +17a + 12 = …………………………… 22. 4z2 – 28z + 49 = ………………………. 8. 5x2 + 14x – 3 = …………………………… 23. –12a2 – 20a – 7 = ………………………. 9. 6 – 7x + x2 = …………………………… 24. 10 – 19x – 15x2 = ………………………. 10. 4 + 10x + 6x2 = …………………………… 25. 6b2 – 38b + 56 = ………………………. 11. 4x2 + 16x – 9 = …………………………… 26. 7m2 + 72m – 55 = ………………………. 12. 9y2 – 12y – 5 = …………………………… 27. 20a2 + 77a + 18 = ………………………. 13. 5x2 + 4x – 1 = …………………………… 28. 3x2 – 40x + 117 = ………………………. 14. 12a2 – a – 35 = …………………………… 29. –10x2 + 81x – 45 = ………………………. 15. 16y2 – 8y + 1 = …………………………… 30. 13y2 + 69y – 54 = ……………………….

13 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องท่ีเปน็ กําลงั สองสมบรู ณ์ กําลงั สองสมบูรณ์ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 24x + 144 วธิ ีทาํ ตวั อยา่ งที่ 2 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 30x + 225 วธิ ีทาํ ตวั อย่างที่ 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 26x + 169 วิธีทํา ตวั อย่างที่ 4 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 32x + 256 วิธที ํา ตวั อย่างที่ 5 จงแยกตวั ประกอบของ 25x2 + 20x + 4 วิธที าํ ตวั อย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 – 12x + 9 วธิ ที ํา

แบบฝึก ฆ 14 1. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี 6) x2 – 10x + 25 1) x2 + 12x + 36 2) x2 + 16x + 64 7) x2 – 28x + 196 3) x2 + 34x + 289 8) x2 – 36x + 324 4) x2 + 40x + 400 9) x2 – 52x + 676 5) x2 + 46x + 529 10) x2 – 60x + 900

2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี 15 1) 9x2 + 30x + 25 6) 4x2 – 36x + 81 2) 16x2 + 56x + 49 7) 49y2 – 70y + 25 3) 49x2 + 42x + 9 8) 64y2 – 176y + 121 4) 100x2 + 220x + 121 9) 81x2 – 180x + 100 5) 81x2 + 360x + 400 10) 225x2 – 360x + 144

16 ตวั อย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ (x + 1)2 + 14(x + 1) + 49 วธิ ที าํ ตวั อย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 – 4(x2 – 3x) + (x – 3)2 วธิ ีทํา แบบฝกึ ง 3. (x + 3)2 – 16(x + 3) + 64 จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี 1. (x – 2)2 + 12(x – 2) + 36 2. (2x + 1)2 + 20(2x + 1) + 100 4. (4x – 5)2 – 26(4x – 5) + 169

5. 36(x + 6)2 + 108(x + 6) + 81 17 8. (x – 3)2 – 12x(x – 3) + 36x2 6. 9(x – 1)2 – 30(x – 1) + 25 9. 49x2 +14(x2 – x) + (x – 1)2 7. 16x2 + 8x(x + 1) + (x + 1)2 10. (x + 2)2 – 18(x2 + 2x) + 81x2

18 ตวั อยา่ งท่ี 9 จงแยกตวั ประกอบของ (x2 + 10x + 25) – 64x2 วธิ ีทํา ตัวอย่างท่ี 10 จงแยกตัวประกอบของ 121x2 – (x2 – 12x + 36) วิธีทํา ตวั อยา่ งท่ี 11 จากรูป กําหนดให้ ∆ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มทม่ี ี AB = 14 หนว่ ย BC = 15 หนว่ ย และ AC =13 หน่วย จงหาความสูงของ h C 13 h 15 A 14 B วิธที าํ

แบบฝกึ จ 19 1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี 6) 900a2 – 16(a2 + 40a + 400) 1) (x2 – 16x + 64) – x2 2) y2 – (y2 – 30y + 225) 7) (2a – 3)2 – (a2 – 18a + 81) 3) 4a2 – (a2 + 22a + 121) 8) (4t2 – 12t + 9) – (5t + 1)2 4) (x2 – 34x + 289) – 169x2 9) (x2 + 36x + 32) – (9x2 – 90x + 225) 5) 9(y2 – 20y + 100) – 441y2 10) (4m2 – 36m + 81) – (16m2 + 56m + 49)

20 2. วงกลมสองวงมีจุดศูนยก์ ลางรว่ มกัน วงกลมวงใหญม่ รี ศั มียาว 89 หน่วย วงกลมวงเลก็ มรี ศั มยี าว 65 หนว่ ย วงกลมทัง้ สองมพี ื้นท่ตี า่ งกันเทา่ ใด (กาํ หนดใหแ้ ทน π ดว้ ย 22 ) 7 3. จากรูป กาํ หนดให้ ∆ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มทมี่ ี AB ตง้ั ฉากกบั BC ทจ่ี ุด D AB =13 หน่วย , AC = 20 หนว่ ย และ BC = 21 หน่วย จงหาพื้นที่ของ ∆ ABC A 20 13 B D 21 C 4. จากรูป กําหนดให้ ∆ ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั มี BC เปน็ ฐาน AB =38 เซนตเิ มตร และ BE = 25 เซนตเิ มตร จงหาพืน้ ท่ีของ ∆ ABC A 51 38 C 25 E BD