สถิติเกษตร_บทที่4

3 - 50 การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 บทที่ 3 การแจกแจงความน่าจะเปน็ 3.1 ตัวแปรสุม่ (Random Variable) ตัวแปรสุ่ม (Random Variable) หมายถึง ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจานวนจริง ซ่ึงค่าตัวเลขน้ันหา ผลลัพธไ์ ด้จากการทดลอง โดยจะมีค่าท่เี ป็นตวั เลขเพียงค่าเดียวท่ีกาหนดใหก้ ับจุดตัวอยา่ ง หรือหมายถึงจานวน ผลลพั ธท์ ่ไี ด้จากการทดลอง ตวั อยา่ ง 3.1 ในการโยนเหรยี ญ 3 อนั 1 ครง้ั จะได้ กาหนดให้ H เปน็ เหตกุ ารณ์ทเ่ี หรยี ญข้นึ หัว T เปน็ เหตุการณท์ เี่ หรียญขน้ึ กอ้ ย S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} ถา้ สนใจเฉพาะเหตุการณท์ ีเ่ กิดก้อยจาการโยนเหรยี ญ  ให้ X = จานวนเหตกุ ารณท์ เี่ หรียญขึน้ หน้าก้อย ดงั น้ัน X เป็นตวั แปรสุม่ ที่มีคา่ 0,1,2,3 โดยท่ี ผลการโยนเหรียญ HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT X 01112223 X = 0,1,2,3 ตวั อย่างที่ 3.2 สามีภรรยาคหู่ น่ึงวางแผนในการมลี ูกโดยตกลงกนั วา่ จะมีลูกสองคน กาหนดให้ M เป็นเหตกุ ารณ์ทไี่ ดล้ กู ผชู้ าย F เปน็ เหตกุ ารณท์ ไี่ ดล้ ูกผหู้ ญงิ S = {MM, MF, FM, FF} ถา้ สนใจเฉพาะเหตุการณท์ ่ไี ดล้ กู ผชู้ าย ดังน้ัน X เปน็ ตวั แปรสุ่มที่มีคา่ 0,1,2โดยท่ี ผลการเกดิ เหตุการณ์ MM MF FM FF X 2 110 X = 0,1,2 ชนดิ ของตวั แปรสุ่ม ตวั แปรสุม่ แบง่ เปน็ 2 ชนดิ ดงั นี้ 1. ตัวแปรสมุ่ แบบไมต่ ่อเน่ือง (Discrete Random Variable) ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเน่ือง นั่นคือ ค่าของ X เป็นจานวนเต็มหรือจานวนนับ อาจมีค่าได้ จากดั หรอื มคี ่าเรียงลาดบั เป็นอนนั ต์ก็ได้ เชน่ ในการตรวจสอบสินคา้ ชนดิ หนึ่ง โดยสมุ่ มาทั้งหมด 5 ชิน้ ปรากฏวา่ มีสินคา้ ที่ชารดุ ปนอยู่ ดังน้นั ถ้าให้ X = จานวนสนิ ค้าทีช่ ารดุ ดงั นั้น X จะเป็นตัวแปรท่ไี ม่ตอ่ เน่ือง คือ X =0,1,2,3,4,5 แต่ถ้าในการตรวจนับจานวนเม็ดเลือดขาวในเลือด 1 ซีซี ให้ X = จานวนเม็ดเลือดขาว ดังน้ัน X จะเป็นตวั แปรทไ่ี มต่ อ่ เนอื่ ง คอื X = 0,1,2,3, ,n, โดยที่n มีคา่ มาก Statistics

การแจกแจงความนา่ จะเปน็ _บทท่ี 3 3 - 51 2. ตัวแปรสมุ่ แบบต่อเน่ือง (Continuous Random Variable) ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเน่ือง นั่นคือ ค่าของ X เป็นมีค่าจริงในช่วงที่ต่อเน่ืองกัน เช่น ปริมาณ นา้ ฝน ความสงู นา้ หนกั อุณหภูมิ ตัวอย่าง เช่น ให้ X = นาหนกั ของนกั ศึกษาปวส. 1 ได้ค่าของ X อยู่ระหวา่ ง 45-75 กโิ ลกรัม ดังน้นั เขียนไดว้ ่า 45  X  75 3.2 การแจกแจงความน่าจะเปน็ หรอื ฟังก์ชันความน่าจะเป็น (Probability Function) ในการทดลองสมุ่ ใด ๆ ตวั แปรแตล่ ะตวั แปรจะมีโอกาสหรอื ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะเกดิ หรอื เป็นการ แสดงวา่ ตัวแปรสุม่ X มคี า่ เทา่ กับเทา่ ใดในแซมเปิลสเปซ (S) ด้วยความน่าจะเป็นเท่าไร รูปแบบน้เี รยี กวา่ การแจก แจงความน่าจะเป็นหรือฟงั กช์ ันความน่าจะเปน็ ซงึ่ แบ่งตามชนดิ ตวั แปรได้ 2 ชนดิ คอื 3.2.1 ฟังก์ชันความนา่ จะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ตอ่ เนอ่ื ง เม่อื X เปน็ ตวั แปรส่มุ แบบไมต่ อ่ เนอื่ ง โดยที่ X = x1 , x2 , , xn ความนา่ จะเปน็ ที่ X= x หรือฟังกช์ ันความนา่ จะเป็น X ใชส้ ญั ลกั ษณ์ p(x) = P( X = x ) ถ้า A S แลว้ p(A) =  P( X = x ) ถา้ p(x) ตอ้ งมคี ุณสมบตั ิดงั นี้ XA 1. 0  p(x) = P( X = x ) 1 2. P( X = x ) หรือ  p(x) =1 X X แล้ว p(x) = P( X = x ) จะเป็นฟงั กช์ นั ความน่าจะเป็น ตัวอยา่ งท่ี 3.3 สามภี รรยาค่หู นง่ึ วางแผนในการมีลูกโดยตกลงกนั วา่ จะมีลกู สองคน จงหาการแจกแจงความน่าจะ เปน็ ท่ีได้บตุ รชาย ถา้ X เป็นเหตุการณท์ ่ีได้ลูกชาย คือ X=0,1,2 และความนา่ จะเป็นหาไดจ้ าก x 012 P(X = x) 121 444 โดยที่ ผลรวมของ P(X = x) = 1 + 2 + 1 =1 444 หรอื ถา้ ไม่แจงจุดตัวอย่างดังกลา่ ว อาจพจิ ารณาว่า การมีลกู ชาย x คน จาก 2 คน ความน่าจะเปน็ คอื 2 , x = 0, 1, 2   P ( X = x) =  x  4 เรามกั เขยี น P(X = x) ในรูปตาราง หรือเขียนเปน็ ฟังก์ชัน p(x) โดยท่ี p(x) = P(X=x) ดงั นน้ั จึง เขียนฟงั ก์ชันความน่าจะเปน็ ได้ดงั น้ี 2   ,p(x)  x  x = 0, 1, 2 = P(X = x) = 4 ตัวอยา่ งที่ 3.4 กล่องใบหนงึ่ บรรจุลกู บอลสีแดง 3 ลูก สขี าว 2 ลกู ในการสุ่มหยบิ บอลมา 2 ลูก จงหาการแจก แจงความนา่ จะเปน็ ก.ทจี่ ะหยิบไดล้ ูกบอลสขี าว ข. ทีจ่ ะหยบิ ไดล้ ูกบอลสีแดง Statistics

3 - 52 การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 วธิ ที า หาแซมเปลิ สเปซ n ( s ) =  5  = 5! = 10  2  − 2)!2!   (5 ก. ให้ X เปน็ เหตกุ ารณท์ หี่ ยิบได้บอลสขี าว ดงั นนั้ X= 0 , 1 , 2 23     p(0) = P ( X = 0) =  0   2  = 3 10 10  2 3    1  p(1) = P ( X = 1) =  1   = 6 10 10 23     p(2) = P ( X = 2 ) =  2   0  = 1 10 10 ดงั น้นั เขยี นฟงั กช์ นั ความน่าจะเป็นไดด้ งั นี้ 2 3      ,p(x)  x   2 − x  x = 0, 1, 2 = P(X = x) = 10 ข. ให้ Y เป็นเหตกุ ารณ์ทหี่ ยิบไดบ้ อลสแี ดง ดงั นนั้ Y= 0, 1, 2 ดงั นนั้ เขยี นฟงั กช์ ันความนา่ จะเปน็ ไดด้ งั นี้ p(y) = P(Y = y) = , y = 0, 1, 2 ตัวอยา่ งที่ 3.5 จงตรวจสอบวา่ ฟงั กช์ นั ของตัวแปรสุ่ม X ตอ่ ไปน้ีเปน็ ฟงั ก์ชันความน่าจะเปน็ หรอื ไม่ 3   p(x) = P(X = x) =  x  , x = 0, 1, 2, 3 8 วิธที า ตอ้ งแสดงคณุ สมบตั คิ วามน่าจะเปน็ 1. 0  p( x ) = P( X = x ) 1 จากฟังก์ชันข้างตน้ แทนคา่ x = 0 , 1 , 2 ในฟงั ก์ชนั ไดด้ ังน้ี 3 3     p(0) = P(X = 0) =  0  = 1, p(1) = P(X = 1) =  1  = 3 88 88 3 3    3  p(2) = P(X = 2) =  2  = 3 , p(3) = P(X = 3) =  = 1 88 88 จะเหน็ ว่า 0  p( x ) = P( X = x ) 1 ทุกคา่ ท่ี x = 0, 1, 2, 3 Statistics

การแจกแจงความนา่ จะเป็น_บทที่ 3 3 - 53 2. P( X = x) หรือ  p(x) =1 X x นั่นคือ เมอื่ x = 0, 1, 2, 3 จะได้  p(x) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) x = 1 + 3 + 3 + 1 = 1 8 8 8 8 3   เมื่อฟงั กช์ นั p(x) = P ( X = x ) =  x  , x = 0, 1, 2, 3 มคี ุณสมบัตทิ ง้ั 2 ข้อ เพราะฉะนน้ั จึง เปน็ ฟังกช์ นั ความนา่ จะเป็น 8 ตัวอยา่ งท่ี 3.6 จงแสดงว่าฟงั ก์ชนั ต่อไปนเ้ี ปน็ ฟงั ก์ชันความนา่ จะเป็นหรอื ไม่ 5 3      p(x) = P( X = x) =  x   3 − x  , x = 0, 1, 2, 3 วธิ ที า ต้องแสดงคณุ สมบตั คิ วามน่าจะเป็น 56 1. 0  p(x) = P( X = x ) 1 2. P( X = x) หรือ  p(x) =1 X x ตวั อย่างที่ 3.7 บรษิ ทั ขายคอมพวิ เตอรแ์ หง่ หนงึ่ สามารถขายคอมฯได้ไมเ่ กนิ 5 เครอื่ งต่อวัน ถ้าสนใจยอดขายตอ่ วนั ให้ X = จานวนคอมฯทขี่ ายได้ตอ่ วนั , X= 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดย S = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (ขายคอมพวิ เตอรไ์ ดไ้ ม่เกิน 5 เครอ่ื งตอ่ วนั ) เนื่องจากทมี่ กี ารเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู จานวนคอมฯที่ขายไดใ้ น 20 วัน พบว่า Statistics

3 - 54 การแจกแจงความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 จานวนคอมฯท่ีขายได้ 0 1 2 34 5 1 ความถ่ี 8 4 3 3 1 1 = 0.05 ความนา่ จะเปน็ 8 = 0.4 4 = 0.2 3 = 0.15 3 = 0.15 1 = 0.05 20 จงหา 20 20 20 20 20 ก. ความน่าจะเปน็ ท่ีจะขายคอมพวิ เตอรไ์ ดไ้ มเ่ กนิ วันละ 3 เคร่ือง ข. ความน่าจะเปน็ ท่จี ะขายคอมพิวเตอร์ได้มากกวา่ 1 เครือ่ ง วธิ ที า ก. ความน่าจะเปน็ ท่ีจะขายคอมพิวเตอรไ์ ด้ไม่เกินวนั ละ 3 เครือ่ ง ให้ A = ขายคอมพิวเตอร์ได้ไม่เกินวันละ 3 เครื่อง นัน่ คอื A = 0, 1, 2, 3 p(A) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.4 + 0.2 + 0.15 + 0.15 = 0.9 เพราะฉะนน้ั ความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะขายคอมพิวเตอร์ไดไ้ มเ่ กินวันละ 3 เครอ่ื งเทา่ กบั 0.9 ข. ความนา่ จะเป็นทีจ่ ะขายคอมพวิ เตอรไ์ ด้มากกวา่ 1 เครอ่ื ง ให้ B = ขายคอมพิวเตอรไ์ ดม้ ากกวา่ 1 เครอื่ ง นั่นคอื B = 2, 3, 4, 5 p(B) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.15 + 0.15 + 0.05 + 0.05 = 0.4 เพราะฉะนัน้ ความน่าจะเป็นท่จี ะขายคอมพวิ เตอร์ไดม้ ากกว่า 1 เครื่อง เทา่ กับ 0.4 3.2.2 ฟงั ก์ชันความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุม่ แบบต่อเนอื่ ง เมื่อ X เปน็ ตัวแปรสุม่ แบบต่อเนื่อง โดยที่ a  X  b น่นั คือ X มคี ่าเปน็ ไปได้ทุกคา่ ในช่วง [a, b] โดยที่ a < b ฟงั กช์ ันความนา่ จะเปน็ X บางครง้ั เรยี กวา่ ฟงั กช์ นั ความหนาแนน่ ของ X (Probability Density Function, pdf.) ใช้สญั ลักษณ์ f(x) = P[a<x<b] d ถา้ c  x  d โดยท่ี c  a และ d  b จะไดว้ ่า Pc  x  d  =  f (x)dx c ถา้ f ( x) มคี ณุ สมบตั ิดงั น้ี 1. f ( x)  0 b 2.  f (x)dx = 1 a แลว้ f ( x) จะเป็นฟงั ก์ชันความนา่ จะเปน็ X หรือฟงั กช์ นั ความหนาแนน่ ของ X ตัวอยา่ งท่ี 3.8 ถา้ ตัวแปรสมุ่ X มี p.d.f เป็น f(x) = 1 ; 0 < x < 6 จงหา P[2 < x < 4] 6 f(x)  P[2  x  4] = 4 f (x)dx = 4 1 dx วธิ ที า 2 26 1 = x 4 = 4 − 2 = 1 = 0.33 1 62 6 6 3 6  P[2 < x < 4] = 0.33 0 6x Statistics

การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทที่ 3 3 - 55 ตัวอยา่ งท่ี 3.9 ถา้ ฟงั ก์ชันของตวั แปรส่มุ X เป็น f(x) = 2x ; 0 < x < 1 จงหาตรวจสอบว่าฟงั ก์ชัน f(x) ดงั กล่าวเปน็ ฟังก์ชนั ความหนาแน่นของ X หรือไม่ วิธที า ในการตรวจสอบฟงั ก์ชันวา่ f(x) เปน็ ฟงั กช์ ันความหนาแน่นของ X พิจารณาคุณสมบตั ิ 2 ข้อ 1. ตรวจสอบวา่ f ( x)  0 ท่ี 0  x  1 แล้ว 2(0)  2x  2(1) 0  f (x)  2 ดังนนั้ f ( x)  0 2. ตรวจสอบว่า b  f (x) =1 a    b f (x) = 0 2x + 1 2x +  2x = 0 + 2x 1 + 0 = 1 a − 0 1 20 b ดงั น้ัน  f (x) =1 a ฟงั ก์ชัน f ( x) ดังกลา่ วเปน็ ฟงั ก์ชนั ความหนาแน่นของ X 3.2.3 ค่าคาดหวัง หรือคา่ เฉลี่ย (Expected Value) ในการดาเนินกจิ การใด ๆ ผูบ้ ริหารหรอื ผู้ดาเนินกิจการน้ันยอ่ มทจ่ี ะคาดหวงั ให้ไดผ้ ลประโยชนใ์ หม้ ากท่ีสดุ ถ้าในการจะทากิจการใด ๆ ผดู้ าเนินกจิ การคาดหวงั ว่าจะไดก้ าไร กต็ ดั สนิ ใจในการทากจิ การนัน้ แตถ่ ้าคาดหวงั ว่าจะ ขาดทนุ กต็ ดั สินใจที่ไม่ทากิจการนน้ั จะเหน็ ว่า การวัดความคาดหวงั มีประโยชน์ในการตัดสนิ ใจ โดยท่ี ให้ E(X) แทนค่าคาดหวงั จะไดว้ า่ เมื่อ X เป็นตวั แปรสุ่มชนิดไมต่ ่อเนื่อง E(X ) =  xp(x) x เม่อื X เปน็ ตวั แปรสมุ่ ชนดิ ตอ่ เน่ือง b E(X ) =  xf (x)dx a ตัวอยา่ ง3.10 เคร่อื ง slot เครือ่ งหนง่ึ มีชอ่ ง 2 ชอ่ งจะมภี าพ 3 รปู คอื แอปเปลิ กระด่งิ และเชอรร์ ่ี การทางานของ ช่องทง้ั สองนเ้ี ป็นอิสระกัน เมอื่ โยกคันโยกแตล่ ะชอ่ งจะหมุนจนหยุดนงิ่ ซง่ึ จะปรากฏรูปภาพตา่ ง ๆ ดงั กลา่ วในแตล่ ะช่อง ซง่ึ มคี วามนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะปรากฏรูปภาพตา่ ง ๆ ดังนี้ ผลลพั ธ์ แอปเปิล กระดิ่ง เชอรร์ ่ี Prob. 0.1 0.4 0.5 ในการเล่นแตล่ ะครงั้ ผ้เู ลน่ จะตอ้ งใส่เหรยี ญ 5 บาท สาหรบั การโยก 1 ครง้ั Statistics

3 - 56 การแจกแจงความน่าจะเปน็ _บทท่ี 3 ถา้ ปรากฏ รูป แอปเปลิ 2 รปู เครอื่ งจะจ่ายเงิน 50 บาท ถา้ ปรากฏ รูป กระดิ่ง 2 รปู เครือ่ งจะ จา่ ยเงิน 10 บาท ถ้าปรากฏ รูป เชอรร์ ่ี 2 รูป เครือ่ งจะจ่ายเงิน 5 บาท นายสมชายกาลงั จะตัดสนิ ใจใน การเลน่ slot เครอื่ งนี้ ถ้าทา่ นเปน็ นายสมชายท่านคดิ ว่าควรจะเล่น Slot เครือ่ งนหี้ รอื ไม่ วิธที า จากการโยก Slot แตล่ ะครงั้ ผลลพั ธท์ ี่อาจเกดิ ขึ้นมดี งั นี้ ช่องท่ี 1 แอปเปลิ กระดงิ่ เชอรร์ ่ี ชอ่ งท่ี 2 แอปเปลิ (0.1)(0.1)=0.01 (0.1)(0.4)=0.04 (0.1)(0.5)=0.05 กระดง่ิ (0.4)(0.1)=0.04 (0.4)(0.4)=0.16 (0.4)(0.5)=0.20 เชอรร์ ่ี (0.5)(0.1)=0.05 (0.5)(0.4)=0.20 (0.5)(0.5)=0.25 เช่น P(แอปเปลิ 2 รูป) = (0.1)(0.1) = 0.01 P(แอปเปิลกบั กระดงิ่ ) = (0.1)(0.4) = 0.04 ในการเล่นแตล่ ะครง้ั ผู้เลน่ จะตอ้ งใสเ่ หรียญ 5 บาท สาหรับการโยก 1 ครง้ั ถา้ ปรากฏ รปู แอปเปิล 2 รูป เครื่องจะจา่ ยเงิน 50 บาท ได้กาไร 45 บาท ถ้าปรากฏ รปู กระดง่ิ 2 รปู เครือ่ งจะ จา่ ยเงิน 10 บาท ไดก้ าไร 5 บาท ถ้าปรากฏ รปู เชอรร์ ี่ 2 รปู เครอ่ื งจะจา่ ยเงิน 5 บาท ไดก้ าไร 0 บาท ดังนั้น Xi เป็นกาไรทีไ่ ด้ในการเล่นแต่ละครง้ั , Xi = -5 , 0 , 5 , 45 E(X) = (45)(0.01)+(-5)(0.04)+(-5)(0.05)+ (-5)(0.04)+(5)(0.16)+ (-5)(0.20)+ (-5)(0.05)+(-5)(0.20)+ (0)(0.25) = -1.65 บาท น่นั คือ ถา้ เล่นไปเรอื่ ย จะพบวา่ ขาดทนุ ครงั้ ละ 1.65 บาท เพราะฉะน้ันนายสมชายไมค่ วรจะเลน่ Slot เครื่องนี้ สมบัติของค่าคาดหวงั ถา้ X เป็นตัวแปรสมุ่ ทมี่ ีการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x) โดยที่ c, a, b เป็นคา่ คงท่ี แล้ว 1. E (c) = c 2. E (cX ) = cE ( X ) 3. E (aX  b) = aE ( X )  b -คา่ คาดหวังของฟงั ก์ชันของตัวแปรสมุ่ ตวั เดยี ว นิยาม ถา้ X เปน็ ตัวแปรสุม่ ที่มีการแจกแจงความน่าจะเปน็ เป็น F(x) และมี r(x) เปน็ ฟงั กช์ ันใด ๆ ของ ตวั แปรสมุ่ แล้ว เมือ่ X เป็นตัวแปรสมุ่ ชนิดไมต่ ่อเนื่อง E(r(x)) = r(x) p(x) x เมอื่ X เปน็ ตวั แปรสุ่มชนดิ ต่อเนอื่ ง b E(r(x)) =  r(x) f (x)dx a ตัวอย่าง3.11 ให้ X เปน็ ตวั แปรสุ่มท่ีมฟี ังกช์ ันความนา่ จะเป็น p(x) = ( x + 1) 2 ;x = −1,0,1 9 จงหาคา่ E ( X ) , E ( X 2 ) และ E(3x2 + 2x − 2) 3 Statistics

การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทที่ 3 3 - 57 วธิ ที า E(X ) =  xp(x) = 1 x( x +1)2 = (−1)( 4) + 0 + (1)( 4) = 0  9x x=−1 99   ( )E( X 2 ) = x2 p(x) = 1 x2 x +1 2 = (−1)2 ( 4) + 0 + (1)2( 4) = 8 9x x=−1 9 99 E(3x2 + 2x − 2) = (3x2 + 2x − 2) 3 x 3   1 1 =3 1 xp(x) − 2 p(x) = 3E(X 2) + 2E(X ) − 2 3x=−1 3 x2 p(x) + 2 x=−1 x=−1 = 3(8) + 2(0) − 2 = 6 = 2 9 33 คา่ เฉลย่ี ในรปู ของค่าคาดหวงั คา่ เฉลีย่ X =  fx n =  xp(x) = E(x) นัน่ คอื X = E(X ) กลา่ วไดว้ า่ ค่าคาดหวงั ของตัวแปรสมุ่ คือ “คา่ เฉลี่ยของตวั แปรสมุ่ ” หรอื อาจกลา่ วได้วา่ คา่ คาดหวงั เปน็ ค่าเฉล่ยี ตวั แปรสุม่ ในระยะยาว ความแปรปรวน (Variance) เป็นคา่ การกระจายสัมบรู ณ์ บอกถงึ การกระจายของคา่ ของตัวแปรสมุ่ ใชส้ ัญลกั ษณ์ V ( X ) สาหรบั คา่ ความแปรปรวนของตัวอย่าง  2 สาหรับคา่ ความแปรปรวนของประชากร เราสามารถเขยี นความแปรปรวนในรูปของความคาดหวงั ดงั น้ี V (X ) =  f (x − X )2 n = ( x − X )2 p(x) = E(X − X )2 นน่ั คือ V (X ) = E(X − X )2 และสามารถแสดงได้วา่ V (X ) = E(X 2) − (E(X ))2 ตวั อยา่ ง3.12 ให้ X เป็นตวั แปรส่มุ ทีม่ ีฟังกช์ ันความนา่ จะเปน็ p( x) = x ; x = 1, 2,3 6 จงหาคา่ เฉลีย่ และความแปรปรวนของ X วธิ ที า E(X ) = 3 xp(x) = (1)(1) + (2)( 2) + (3)(3) = 1+ 4 + 9 = 14 = 2.33 Ans 666 66 x=1 E( X 2 ) = 3 x2 p(x) = (1)2 (1) + (2)2 ( 2) + (3)2 ( 3) = 1+ 8 + 27 = 6 x=1 6 6 6 6 Statistics

3 - 58 การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทที่ 3 ดงั นั้น V (X ) = E(X 2 ) −[E(X )]2 = 6 − (14)2 = 0.56 Ans 6 เพราะฉะนั้น คา่ เฉลย่ี ของ X เทา่ กบั 2.33 และความแปรปรวนของ X เทา่ กบั 0.56 คุณสมบตั ขิ องความแปรปรวน ถ้า X เป็นตวั แปรส่มุ ทม่ี ีการแจกแจงความนา่ จะเปน็ f(x) โดยที่ c , a , b เป็นคา่ คงท่ี แล้ว 1. V (c) = 0 2. V (aX  b) = a2V ( X ) ตัวอย่าง3.13 กาหนดให้ E(X)=17 และ V(X) = 15 จงหาค่าของ V(X+5) , V(4X) และ V(5X-4) วธิ ที า V(X+5) = V(X) = 15 Ans V(4X) = 42 V(X) =16(15) = 240 Ans V(5X-4)= V(5X) = 52V(X) = 25(15) = 375 Ans ตัวอย่าง3.14 กาหนดใหต้ วั แปรสุ่ม X มกี ารแจกแจงความนา่ จะเป็นดังแสดงในตาราง X 012 3 P(X=x) 13 12 0 16 ง. V(2x-1) จงหาค่า ก. E(X) ข. E(2x-1) ค. V(x) 3.3 การแจกแจงความนา่ จะเป็นแบบไมต่ ่อเน่อื ง (Discrete Probability Distribution) ในกรณีทต่ี วั แปรสุม่ เป็นตัวแปรสุ่มแบบไมต่ ่อเนือ่ ง ตัวแปรชนดิ นีจ้ ะมีค่าเพยี งบางคา่ และจะมกี ารแจก แจงความ นา่ จะเปน็ แบบต่าง ๆ ขึน้ อยกู่ บั ลักษณะของการทดลองสมุ่ การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตวั แปรสุ่ม Statistics

การแจกแจงความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 3 - 59 แบบไมต่ ่อเนอื่ ง มหี ลายชนดิ แต่ในบทนจ้ี ะกลา่ วถงึ เพยี งการแจกแจงความนา่ จะเปน็ 3 แบบ ท่ีสาคญั คือ แบบ เบอร์นูลี แบบทวนิ ามและแบบปัวซอง 3.3.1 การแจกแจงความนา่ จะเปน็ แบบเบอรน์ ลู ี (Bernoulli Probability Distribution) การทดลองมี ลกั ษณะ ดังนี้ 1. เปน็ การทดลองเพียงครง้ั เดยี ว 2. ผลการทดลองแตล่ ะครั้งมี 2 อยา่ ง คอื - สง่ิ ทเ่ี ราสนใจ หรอื ความสาเรจ็ (success) - สิ่งทเ่ี ราไมส่ นใจ หรอื ความไม่สาเร็จ (failure) 3. ความนา่ จะเปน็ ในการไดส้ ิง่ ทสี่ นใจจะมีคา่ คงทท่ี กุ คร้งั ของการทดลอง จะเรยี กการทดลองแตล่ ะครง้ั ว่า การทดลองแบบเบอร์นูลี (Bernoulli Experiment) ให้ X เปน็ จานวนครั้งที่ไดส้ งิ่ ทสี่ นใจในการทดลองครง้ั หน่งึ ๆ และ p เปน็ ความน่าจะเป็นในการไดส้ ่งิ ที่สนใจ ดังน้นั 1 ถา้ ไดส้ งิ่ ทสี่ นใจ ด้วยความน่าจะเป็น p X= 0 ถา้ ไดส้ ง่ิ ที่ไม่สนใจ ด้วยความน่าจะเปน็ 1-p หรือ q ฟงั กช์ นั ความนา่ จะเปน็ ของ X คือ p(x) = P(X=x) = px(1-p)1-x ; x= 0 , 1 และ 0  p  1 เราจะเรยี ก X เป็นตัวแปรสมุ่ แบบเบอรน์ ูลี และ X มกี ารแจกแจงความนา่ จะเป็นแบบเบอรน์ ลู ี หรือ X ~ Ber(x;p) ตัวอย่างของตวั แปรสมุ่ แบบเบอรน์ ูลี 1.ในการตรวจสอบคณุ ภาพสนิ ค้า 1 ช้ิน วา่ เป็นสินคา้ ดี หรอื เสยี ถา้ สนใจจานวนสนิ ค้า ดี และให้ X เปน็ จานวนสินคา้ ดี ดงั นัน้ X จะมี 2 ค่า คอื 1 เปน็ สินคา้ ดี X= 0 เป็นสนิ คา้ เสยี 2.ในการโยนเหรียญ 1 อัน ถ้าสนใจเหรยี ญทีอ่ อกก้อย ให้ X เป็นจานวนเหรียญทีอ่ อกกอ้ ย ดงั นนั้ X จะมี 2 คา่ คือ 1 เปน็ เหรยี ญท่ีออกก้อย X= 0 เปน็ เหรยี ญทอ่ี อกหวั ค่าเฉลี่ยของตวั แปรสุ่มแบบเบอรน์ ูลี E(X ) =  = p คา่ แปรปรวนของตวั แปรสมุ่ แบบเบอร์นูลี V ( X ) =  2 = pq โดยที่ q = 1-p Statistics

3 - 60 การแจกแจงความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 ตวั อย่าง3.15 ในการโยนเหรยี ญ 1 อนั 1 ครงั้ จงหาความน่าจะเป็นท่ีโยนเหรยี ญนไ้ี ดเ้ หรียญออกก้อย วธิ ที า การโยนเหรียญ 1 อนั ส่งิ ทส่ี นใจ คือเหรยี ญออกกอ้ ย และส่งิ ทไ่ี มส่ นใจ คือออกหัว X จงึ เป็นตวั แปรสมุ่ แบบเบอรน์ ูลี หรือ X ~ Ber(x;p) ให้ X เปน็ จานวนครง้ั ทเี่ หรยี ญออกก้อย ดงั นน้ั X = 0 , 1 ความนา่ จะเป็นในการไดส้ ง่ิ ทสี่ นใจ คือ ความนา่ จะเปน็ ท่ีเหรียญออกก้อย = p = 1 2 ความน่าจะเป็นในการได้สงิ่ ท่ไี ม่สนใจ คือ ความน่าจะเปน็ ทเ่ี หรยี ญออกหวั = q = 1- p = 1- 1 = 1 22 เพราะฉะนน้ั ความน่าจะเปน็ ในการโยนเหรยี ญน้ีได้เหรียญขน้ึ กอ้ ย คือ p(1) = P(X=1) = 1 1(1- 1 )1-1 = 1 Ans 22 2 ตัวอย่าง3.16 ในการตรวจสอบคุณภาพสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งพบว่าในสินค้า10ชิ้น พบสิ้นค้าดีอยู่ 7 ช้ิน จงหาความน่าจะเป็นท่ีสุ่มสนิ ค้ามาตรวจสอบคณุ ภาพหน่ึงชิ้นจะเป็นสินค้าดี พร้อมท้ังหาค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนของจานวนสนิ คา้ ดี วธิ ที า ในการตรวจสอบคุณภาพสินคา้ สงิ่ ทส่ี นใจ คอื สินคา้ ดี และส่ิงที่ไม่สนใจ คอื สนิ ค้าไมด่ ี X จงึ เป็นตวั แปรสุ่มแบบเบอรน์ ลู ี หรือ X ~ Ber(x;p) ให้ X เปน็ จานวนสินคา้ ดี ดงั นัน้ X = 0 , 1 ความน่าจะเป็นในการได้สง่ิ ที่สนใจ คอื ความนา่ จะเปน็ ทไี่ ดส้ ินคา้ ดี = p = 7 10 ความนา่ จะเปน็ ในการไดส้ งิ่ ทไ่ี มส่ นใจ คือ ความนา่ จะเป็นทีส่ นิ คา้ ไม่ดี = q = 1- p = 1- 7 = 3 10 10 เพราะฉะนั้น ความนา่ จะเป็นทส่ี มุ่ สินค้ามาตรวจสอบคุณภาพหนึง่ ชิ้นจะเป็นสนิ ค้าคือ p(1) = P(X=1) = 7 1(1- 7 )1-1 = 7 Ans 10 10 10 จากคา่ เฉลีย่ ของตวั แปรตัวแปรสุ่มแบบเบอรน์ ูลี E(X ) =  = p เพราะฉะนน้ั คา่ เฉลย่ี ของจานวนสินคา้ ดี มคี า่ เทา่ กบั 7 =0.7 Ans 10 ค่าแปรปรวนของตวั แปรสุ่มแบบเบอรน์ ูลี V (X ) =  2 = pq โดยที่ q = 1-p เพราะฉะนั้นความแปรปรวนของจานวนสนิ คา้ ดี มคี า่ เทา่ กบั pq = ( 7 )( 3 ) = 21 = 0.21 Ans 10 10 10 3.3.2 การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวนิ าม (Binomial Probability Distribution) การทดลองมี ลกั ษณะ ดงั น้ี 1. มกี ารทดลองซ้า ๆ กนั n ครง้ั ภายใต้สภาวการณ์เดียวกนั (ขอ้ จากดั เดยี วกัน) 2. ผลการทดลองแตล่ ะครัง้ มี 2 อย่าง คอื - สงิ่ ที่เราสนใจ หรือความสาเร็จ (success) - สิ่งทเี่ ราไมส่ นใจ หรือความไม่สาเร็จ (failure) 3. ความนา่ จะเปน็ ในการไดส้ ่ิงทสี่ นใจจะมีคา่ คงท่ีทุกครง้ั ของการทดลอง คอื Statistics

การแจกแจงความน่าจะเปน็ _บทท่ี 3 3 - 61 - ถา้ ไดส้ ง่ิ ท่สี นใจ ด้วยความน่าจะเป็น p - ถา้ ได้สง่ิ ที่ไม่สนใจ ด้วยความนา่ จะเปน็ 1-p หรือ q 4. การทดลองแตล่ ะครงั้ เป็นอิสระกัน 5. เมอื่ X เป็นตัวแปรสมุ่ โดยที่ X เป็นจานวนครัง้ ของการทดลองท่ีได้ส่งิ ทสี่ นใจจากการทดลองทัง้ หมด n ครงั้ นัน่ คือ X = 0 , 1 ,2 , … , n จะเรียกการทดลองทีม่ ีลักษณะน้ีวา่ การทดลองแบบทวินาม (Binomial Experiment) จาก X เปน็ จานวนครงั้ ของการทดลองทไ่ี ดส้ งิ่ ทีส่ นใจจากการทดลองทั้งหมด n ครงั้ p เปน็ ความน่าจะเปน็ ในการไดส้ งิ่ ท่สี นใจ n เป็นจานวนครง้ั ของการทดลอง ดังนัน้ ฟงั กช์ ันความนา่ จะเปน็ ของ X คือ p(x) = P(X = x) =  n  px (1- p)n-x ; x= 0 , 1 , 2 , … ,n และ 0 p 1  x    เราจะเรยี ก X ว่าเป็นตัวแปรสุ่มแบบทวนิ ามและ X การแจกแจงแบบทวนิ ามด้วยพารามเิ ตอร์ n และ p หรอื X ~ b(x; n , p) ตวั อยา่ งของตัวแปรสุ่มแบบทวินาม 1. สนใจสดั ส่วนจานวนสนิ คา้ เสีย n = จานวนสินคา้ ตวั อยา่ งที่เลือกมาตรวจสอบ X = จานวนสินค้าเสยี 2. สนใจจานวนลูกชายของการมลี กู 4 คน n = จานวนลกู ทง้ั หมด เท่ากับ 4 คน X = จานวนลกู ชาย 3. สนใจจานวนเหรยี ญที่ออกหัวในการโยนเหรยี ญ 4 เหรยี ญ n = จานวนลูกทง้ั หมด เท่ากบั 4 คน X = จานวนลกู ชาย ตวั อย่าง3.17 สามีภรรยาคหู่ นึ่งวางแผนที่จะมบี ตุ รดว้ ยกนั 4 คน ถ้าการมบี ตุ รแตล่ ะครัง้ จะไดบ้ ุตรชายหรอื หญงิ ดว้ ยความน่าจะเปน็ เทา่ กนั แล้วจงหาค่าความน่าจะเปน็ ต่อไปน้ี ก. บุตรชาย 1 คน ข. บตุ รชาย 2 คน วธิ ที า ให้ X แทนจานวนบตุ รชาย , x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 โดยท่ี ความนา่ จะเปน็ ทีไ่ ดบ้ ตุ รชาย เทา่ กบั 1 นนั่ คือ p = 1 ดงั นนั้ 1-p = q =1- 1 = 1 2 2 2 2 และสามีภรรยาวางแผนท่จี ะมบี ตุ รดว้ ยกนั 4 คน นัน่ คือ n = 4 จากขา้ งตน้ แสดงว่า X ~ B(n:p) Statistics

3 - 62 การแจกแจงความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 โดยมีฟงั ก์ชนั การแจกแจง p(x ) = P (X x  4  1 x (1- 21)4-x  x  2 = ) =   ความนา่ จะเป็นทม่ี บี ตุ รชาย 1 คน P( X = 1) =  4  11 (1 − 1 )4−1 = 4( 1 )( 1 )3 = 4( 1 )( 1 ) = 1 = 0.25  1  2 2 22 28 4   ดงั น้ันความน่าจะเป็นทม่ี ีบตุ รชาย 1 คน มคี ่าเท่ากับ 0.25 ความน่าจะเป็นทม่ี บี ตุ รชาย 2 คน P (X = 2) =  4  12 (1− 1)4−2 = 4! ( 1)2 ( 1)2 = 6( 41)( 41) = 3 = 0.375  2  2 2 2!2! 2 2 8   ดงั นนั้ ความน่าจะเปน็ ท่มี ีบตุ รชาย 2 คน มีค่าเท่ากับ 0.375 การคานวณความน่าจะเป็นจากฟงั ก์ชนั ความน่าจะเปน็ ของการแจกแจงทวนิ ามจะมีความยงุ่ ยากมากขน้ึ เมอื่ n มคี ่ามากข้ึน หรือค่า p มีคา่ เป็นจดุ ทศนยิ ม เพ่อื ใหง้ ่ายขึน้ ความน่าจะเปน็ ดงั กล่าวจะทาการหาจากตารางที่ 1 ตัวอยา่ ง3.18 ถา้ ในสถาบนั แหง่ หนง่ึ มีนักศึกษาจานวนมากและทราบว่านกั ศกึ ษามภี มู ลิ าเนาอยทู่ ภี่ าค ตะวันออกเฉยี งเหนือ จานวน 20 % ของทง้ั หมด ถ้าสุ่มนักศึกษามา 10 คน จากสถาบันแหง่ น้ี จงหาความนา่ จะเปน็ ตอ่ ไปนี้ ก. ไดน้ กั ศึกษาทม่ี ภี มู ลิ าเนาอย่ทู ีภ่ าคตะวันออกเฉียงเหนอื จานวน 3 คน ข. ไดน้ ักศึกษาทม่ี ภี มู ลิ าเนาอยู่ท่ีภาคตะวนั ออกเฉียงเหนืออยา่ งมาก 3 คน ค. ได้นกั ศกึ ษาท่มี ภี ูมลิ าเนาอย่ทู ่ภี าคตะวนั ออกเฉียงเหนอื มากกว่า 3 คน วธิ ที า ให้ X แทนจานวนนักศกึ ษาท่มี ภี ูมลิ าเนาอยทู่ ภ่ี าคตะวนั ออกเฉยี งเหนือ x= 0,1,2,3,…,10 ดงั น้ัน X ~ b(x ; 10 , 0.20) โดยการเปิดตารางการแจกแจงทวินามที่ n = 10 , p= 0.20 ก. P(X = 3 ) = 0.2013 ข. P(X  3 ) = P(X = 0 )+ P(X = 1 )+ P(X = 2 ) +P(X = 3 ) = 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 + 0.2013 = 0.8791 ค. P(X > 3) = P(X = 4 )+ P(X = 5 )+ P(X = 6 ) +…+P(X = 10 ) = 1 - P(X  3 ) = 1-0.8791 = 0.1209 ตัวอยา่ ง3.19 ถ้าในการผลติ โทรศัพทจ์ ากโรงงานแหง่ หนึง่ ผผู้ ลติ รับประกนั ว่า 90 % ของโทรศัพท์จะมคี ุณภาพดี ในการผลติ โทรศพั ท์ออกมาครง้ั หนง่ึ จานวน 20 เครือ่ ง จงหาความนา่ จะเป็น ต่อไปนี้ ก. เครื่องชารดุ จานวน 6 ช้ิน ข. เครือ่ งคณุ ภาพ ดี 15 ชิ้น ค. เครอื่ งคณุ ภาพดี อย่างมาก 15 ชิน้ วิธที า ให้ X แทนจานวนเครอื่ งโทรศัพทท์ ่มี คี ณุ ภาพดี x = 0,1,2,3,…,20 ดังนน้ั X ~ b(x ; 20 , 0.90) และให้ Y แทนจานวนเครอ่ื งโทรศพั ทท์ ช่ี ารดุ y = 0,1,2,3,…,20 ดงั นน้ั Y ~ b(x ; 20 , 0.10) Statistics

การแจกแจงความน่าจะเปน็ _บทท่ี 3 3 - 63 เปิดตารางการแจกแจงทวนิ ามที่ n = 20 , p= 0.10 ก. P(Y = 6 ) = 0.0089 ข. P(X = 15) = P(Y = 5) = 0.0319 ค. P(X  15) = P(X = 0)+ P(X = 1)+ P(X = 2) +…+P(X = 15 ) = P(Y = 20)+ P(Y = 19)+ P(Y = 18) +…+P(Y = 5 ) = P(Y  5) = 1 - P(Y < 5) = 1-[ P(Y = 0)+ P(Y = 1)+ …+P(Y = 4 )]= 1- 0.9569 = 0.0431 ค่าเฉล่ียของตวั แปรสมุ่ แบบทวนิ าม E( X ) =  = np ค่าแปรปรวนของตวั แปรสุ่มแบบทวนิ าม V (X ) =  2 = npq โดยท่ี q = 1-p ตัวอย่าง3.20 ผลจากการทดลองเพอื่ หาประสทิ ธิภาพของยาชนิดหน่ึงในการรกั ษาโรควณั โรค พบวา่ ผู้ปว่ ยที่เป็น โรควัณโรคทร่ี ับการรกั ษาด้วยยาชนิดน้ี จะมีโอกาสหายด้วยความนา่ จะเป็น 0.95 ถ้ามีผู้ป่วยที่เป็น วัณโรค และไดร้ ักการรกั ษาดว้ ยยาดังกลา่ ว จานวน 20 คน ก. จงหาความน่าจะเปน็ ท่ผี ปู้ ว่ ยดงั กล่าวไม่หาย จานวนไมเ่ กิน 3 คน ข. คาดวา่ จะมผี ปู้ ว่ ยหายก่ีคน ค. จงหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของจานวนผปู้ ่วยทีห่ าย วธิ ที า ให้ X แทนจานวนผู้ปว่ ยทีห่ าย x = 0,1,2,3,…,20 ดงั นน้ั X ~ b(x ; 20 , 0.95) และให้ Y แทนจานวนผู้ป่วยที่ไม่หาย y = 0,1,2,3,…,20 ดงั นัน้ Y ~ b(x ; 20 , 0.05) เปดิ ตารางการแจกแจงทวินามที่ n = 20 , p= 0.05 ก. P(Y  3) = P(Y = 0 )+ P(Y = 1)+ P(Y = 2) +P(Y = 3 ) = 0.3585 + 0.3774 + 0.1887 + 0.0596 = 0.9842 ข. E(X) = np = (20)(0.95) = 19 นนั่ คอื คาดวา่ ผ้ปู ่วยจะหายจานวน 19 คน ค. V(X) = npq = (20)(0.95)(0.05) = 0.95 ดงั นน้ั ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน = 0.95 = 0.975 ตวั อย่าง3.21 ในการแขง่ ขันฟตุ บอลพรเี มยี รช์ พิ องั กฤษ จากสถติ ิทีผ่ ่านมาพบว่า ทีมอารเ์ ซนอล ลงทาการแข่งขัน ในบา้ นของตัวเองจะมีโอกาสชนะดว้ ยความนา่ จะเป็น 0.85 ถา้ ในการแข่งขนั ฟตุ บอลพรีเมยี ร์ชพิ อังกฤษใน1 ปี มนี ดั ทแี่ ขง่ ในบ้านตัวเองอยู่ 18 นดั ( 6 คะแนน ) Statistics

3 - 64 การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทที่ 3 ก. จงหาความน่าจะเปน็ ทีท่ มี อารเ์ ซนอล จะแพ้ จานวนไมเ่ กิน 5 นดั ข. โดยเฉลย่ี แลว้ ทีมอารเ์ ซนอล จะแพก้ น่ี ดั ในบ้านตวั เอง ค. จงหาความแปรปรวนของจานวนทีอ่ ารเ์ ซนอล จะแพ้ในบ้านตัวเอง วิธที า Statistics

การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 3 - 65 3.3.3 การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซอง (Poisson Probability Distribution) ลักษณะการทดลอง คือ เปน็ การทดลองหรือเปน็ ปรากฏการณท์ ่ีเกดิ ขึ้นในชว่ งเวลาหรือขอบเขตหนงึ่ ถา้ ให้ X เป็นตวั แปรแทนเหตุการณ์ทส่ี นใจท่ีเกิดขึน้ ในช่วงเวลาหรือขอบเขตน้ัน โดยทคี่ ่าของตวั แปร X มี จานวนไมจ่ ากัด ตวั อย่างการทดลอง 1. X แทน จานวนผูป้ ่วยที่เขา้ รับการรกั ษาในโรงพยาบาลเอกชนแหง่ หนง่ึ ในวนั พร่งุ นี้ 2. X แทน จานวนเม็ดเลือดขาวในเลอื ด 1 ลบ.ซม. 3. X แทน จานวนครง้ั ของโทรศพั ทท์ โ่ี ทรเขา้ มาในช่วงเวลา 12.00-14.00 น. นั่นคือ x = 0 ,1 ,2 ,… ลักษณะแบบน้ี เราจะเรยี กตัวแปร X ว่า มกี ารแจกแจงแบบปวั ซอง ทีม่ ีพารามเิ ตอร์  ซงึ่ เขยี นแทนว่า X ~ p(x ;  ) และมีฟงั ก์ชนั ความนา่ จะเปน็ ดงั นี้ ;p(x) = P(X = x) = e- x x= 0 , 1 , 2 , … x! โดยที่ e = 2.71828 และ  คอื จานวนส่งิ ทส่ี นใจท่เี กิดข้ึนโดยเฉลย่ี ในชว่ งเวลาหรอื ในพ้นื ที่หรอื ขอบเขตท่ีกาหนด ตัวอย่าง3.22 ถ้าผ้าพ้ืนหนึ่งที่ผลติ จากโรงงานจะมีรอยตาหนิ โดยเฉลยี่ แลว้ ม้วนละ 3 แหง่ ถา้ ซ้อื ผา้ ทผ่ี ลติ โดย เครอ่ื งจกั รดงั กลา่ ว 1 มว้ น จงหาความน่าจะเปน็ ทจี่ ะมีตาหนไิ ม่เกิน 2 แห่ง วิธที า ให้ X แทนรอยตาหนใิ นผา้ 1 ม้วน x= 0,1,2,… ดงั นั้น X~p(x;3) P(X<2) = P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2) = e−330 + e−331 + e−332 = 8.5e−3 0! 1! 2! เพราะฉะน้ันความน่าจะเปน็ ทีจ่ ะมติ าหนไิ มเ่ กิน 2 แหง่ มคี ่า 8.5e-3 สาหรับการคานวณหาความน่าจะเป็นแบบปัวซองจะงา่ ยและสะดวกขึ้นโดยใชต้ ารางที่ 2 คา่ เฉลย่ี ของตัวแปรสุ่มแบบปวั ซอง E(X ) =  =  คา่ แปรปรวนของตวั แปรสมุ่ แบบปวั ซอง V(X) =2 =  ตัวอย่าง 3.23 พนักงานรับโทรศัพท์ ณ สานักงานแห่งหนึง่ จะรบั โทรศัพท์โดยเฉล่ีย วันละ 14 ครั้ง จงหาความ น่าจะเปน็ ท่พี นักงาน รบั โทรศพั ท์ไมน่ ้อยกว่า 10 ครง้ั ในวนั พรุง่ น้ี วิธที า ให้ X แทนจานวนครง้ั ท่พี นกั งานจะตอ้ งรับโทรศพั ทใ์ นวันพรงุ่ น้ี x= 0,1,2,… ดงั นั้น X~p(x;14) จากตารางความนา่ จะเปน็ ของการแจกแจงปัวซอง เมอ่ื  = 14 Statistics

3 - 66 การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 P(X  10 ) = 1 – P(X 9) = 1 – [0.000+0.0000+…+0.0473] = 0.8907 เพราะฉะนนั้ ความนา่ จะเป็นท่ีพนกั งาน รบั โทรศพั ทไ์ ม่น้อยกว่า 10 คร้งั ในวันพรุ่งน้มี คี า่ 0.8907 ตัวอยา่ ง 3.24 จากสถติ ขิ องสถานีอนามัยแหง่ หนง่ึ พบว่าโดยเฉลย่ี จะมคี นไข้ 5 คน เข้ารกั ษาในชว่ งเวลา 18.00 – 21.00 น. ก. จงหาความน่าจะเปน็ ทจ่ี ะมีคนไขม้ ารับการรกั ษาไมเ่ กนิ 2 คน ในช่วงเวลา 18.00 – 21.00 น. ในวันพรุ่งน้ี ข. จงหาความนา่ จะเป็นที่จะมคี นไขม้ ารบั การรกั ษามากกว่า 6 คน ในช่วงเวลา 18.00 – 21.00 น. ในวนั พรงุ่ น้ี วธิ ที า ให้ X แทนจานวนคนไข้ทเ่ี ข้ารกั ษาในช่วงเวลา 18.00 – 21.00 น. x= 0,1,2,… ดงั น้นั X~p(x;5) จากตารางความนา่ จะเปน็ ของการแจกแจงปัวซอง เม่ือ  = 5 ก. P(X  2) = P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 =0.1246 ดงั น้ันความนา่ จะเปน็ ที่จะมคี นไขม้ ารบั การรักษาไม่เกนิ 2 คน ในชว่ งเวลา 18.00 – 21.00 น.ในวนั พรุ่งน้ี มคี า่ เท่ากบั 0.1246 ข. P(X > 6) = 1 – P(X 6) = 1- [P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2) + … + P(X=6)] = 1- 0.2695 = 0.7305 ดงั นั้นความน่าจะเป็นทจ่ี ะมีคนไขม้ ารับการรกั ษามากกวา่ 6 คน ในชว่ งเวลา 18.00 – 21.00 น.ในวัน พรุง่ น้ี มีคา่ เท่ากับ 0.7305 ตัวอย่างท่ี 3.25 ในการทดลองปลูกขา้ วพบว่า โดยเฉลย่ี แลว้ ตน้ กล้าจะงอก 10 ต้น ต่อแปลง จงหาคา่ ของ ก.ความนา่ จะเป็นทต่ี ้นกลา้ จะงอกอยา่ งมาก 12 ต้นตอ่ แปลง ข.ความนา่ จะเป็นทต่ี น้ กลา้ จะงอกอยา่ งน้อย 5 ตน้ ต่อแปลง ค.โดยเฉลยี่ แลว้ ตน้ กลา้ จะงอกกต่ี ้นตอ่ แปลง ง. ส่วนเบีย่ งเบนของจานวนตน้ กล้าท่จี ะงอกตอ่ แปลง วิธที า Statistics

การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทที่ 3 3 - 67 3.4 การแจกแจงความน่าจะเปน็ แบบตอ่ เน่ือง (Continuous Probability Distribution) 3.4.1การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ (Normal Probability Distribution) เป็นการแจกแจงที่ สามารถนาไปประยุกต์กับปรากฏการณ์ท่ัวไปได้อย่างกว้างขวาง ไม่ว่าจะเป็นงานทางด้านวิทยาศาสตร์หรือ สังคมศาสตร์ ขอ้ มลู ท่มี ลี ักษณะของความเปน็ ปกติ ตอ้ งเป็นข้อมลู ท่ีมีค่าปานกลาง มจี านวนมากสว่ นคา่ ต่าและค่าสงู มี จานวนน้อย กราฟของการแจกแจงแบบปกติเรียกวา่ โคง้ ปกติ (Normal curve) ซง่ึ มคี ณุ สมบัติ ดังน้ี 1.กราฟมจี ดุ ยอดเพยี งจดุ เดียว 2.มีลักษณะสมมาตร คา่ เฉล่ยี เป็นจดุ กงึ่ กลาง 3.คา่ เฉลยี่ , มัธยฐาน , ฐานนิยม อยู่ท่ีจดุ ก่ึงกลาง 4. พื้นทีใ่ ตโ้ คง้ ปกตเิ ทา่ กับ 1 ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติท่ีมีพารามิเตอร์ คือ  และ  จะเขียนแทนด้วย X ~ N( , ) ซงึ่ มีฟงั ก์ชนั ความนา่ จะเป็นดังนี้ f (x) = 1 − 1 (x− )2  2 e 2 2 โดยที่  คือ คา่ เฉลยี่ และ  คือ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ในการคา่ ความนา่ จะเปน็ ของการแจกแจงปกติ เน่ืองจากมีตวั แปรแบบตอ่ เนอ่ื ง จงึ หาได้ดงั นี้ b P(a  X  b) =  f (x)dx a ในการหาคา่ เราจะแปลงค่า X ใหเ้ ปน็ คา่ Z ดงั นี้ Z = X −  แลว้ ตัวแปร Z จะมีการแจกแจงปกตดิ ้วยคา่ เฉลยี่ เทา่ กบั 0 สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเทา่ กบั 1 ซ่งึ เรยี ก การแจกแจงปกตนิ ีว้ า่ การแจกแจงปกติมาตรฐาน เขยี นฟังกช์ นั ความน่าจะเปน็ ดังน้ี Statistics

3 - 68 การแจกแจงความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 g(z) = 1 − z2 2 e2 เน่ืองจากฟงั กช์ นั ความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติมคี วามซบั ซอ้ น ย่งุ ยาก ดงั นั้นเพอ่ื ความสะดวก นกั สถติ ไิ ดจ้ ดั ทาตารางแจกแจงปกติมาตรฐาน เพือ่ ใชใ้ นการหาคา่ ความนา่ จะเปน็ ซงึ่ หาไดจ้ ากตารางที่ 3 เส้นโคง้ มีลกั ษณะสมมาตรทจ่ี ดุ Z = 0 เพราะฉะน้นั พืน้ ท่ใี ต้โคง้ ปกตมิ าตรฐานทงั้ หมด P[−  z  ] = 1 จากรูปไดว้ ่า P[−  z  0] = 0.5 และ P[0  z  ] = 0.5 − Z=0  ตวั อยา่ ง 3.26 ถา้ Z ~ N(0,1) จงคานวณหาความนา่ จะเป็นตอ่ ไปน้ี ก. P(Z < 2.25) ข. P(Z > 1.50) ค. P(0.3 < Z < 1.25) ง. P(Z < -3.40) จ. P(- 2.34 < Z  2.43) ฉ. P(Z  -2.05) วิธที า 2.25 Z 1.50 Z ก. P(Z < 2.25) = 0.9878 ข. P(Z > 1.50) = 1- 0.9332 = 0.0668 0.3 1.25 Z -3.40 Z ค. P(0.3 < Z < 1.25) = 0.8944-0.6179 ง. P(Z < -3.40) = 1- P(Z < 3.40) = 0.2765 = 1- 0.9997 = 0.0003 -2.34 2.43 Z -2.05 Z Statistics

การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 3 - 69 จ. P( - 2.34 < Z  2.43) = 0.9925-(1-0.9904) ฉ. P(Z  -2.05) = P(Z  2.05) = 0.9925 – 0.0096 = 0.9798 = 0.9829 ตวั อยา่ ง 3.27 ถ้า X เป็นตัวแปรที่มกี ารแจกแจงแบบปกติทมี่ คี า่ เฉลยี่ เท่ากบั 68 ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน เท่ากบั 5 จงคานวณหาความนา่ จะเป็น ตอ่ ไปนี้ ก. P(X < 85) ข. P(X > 63) ค. P(70 < X < 77) ง. P(60 <X < 79) วธิ ที า X~N(68,2.5) แปลงคา่ X ใหเ้ ป็นคา่ Z ก. P(X < 85) = P( X −   85− 68 ) 5 = P(Z < 3.4) 3.4 Z = 0.9997 ข. P(X > 63) = P( X −   63− 68 ) 5 = P(Z > -1.0) = P(Z < 1.0) -1.0 Z = 0.8413 0.4 1.8 Z ค. P(70 < X < 77) = P( 70 − 68  X −   77 − 68 ) 5 5 = P(0.4 < Z < 1.8 ) = 0.9641 – 0.6554 = 0.3087 ง. P(60 <X < 90) = P( 60 − 68  X −   79 − 68 ) 5 5 = P(-1.6 < Z < 2.2 ) -1.6 2.2 Z = 0.9861 – (1-0.9452) = 0.9861 - 0.0548 = 0.9313 ตวั อยา่ ง 3.28 ถ้า X เปน็ ตวั แปรทม่ี กี ารแจกแจงแบบปกติทีม่ คี า่ เฉลยี่ เทา่ กบั 35 ความแปรปรวน เทา่ กบั 64 จงคานวณหาความนา่ จะเปน็ ตอ่ ไปน้ี Statistics

3 - 70 การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 ก. P(X < 20) ข. P(X > 42) ค. P(25 <X < 42) ง. P(37 <X < 41) วิธที า ก. P(X < 20) = ข. P(X > 42) = ค. P(25 <X < 42) = ง. P(37 <X < 41) ตวั อยา่ ง 3.29 ในการทดสอบความสามารถทางวิชาคณิตศาสตร์ของนักศึกษาจานวน 800 คน ปรากฎว่าคะแนน ทดสอบมีการแจกแจงปกติ โดยมคี ่าเฉล่ยี เลขคณติ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 15 คะแนน ก. ถา้ สมุ่ นักศกึ ษามา 1 คน จงหาความนา่ จะเป็นท่ีนักศกึ ษาผู้นัน้ จะไดค้ ะแนนไมต่ ่ากว่า 50 คะแนน ข. มีนักศกึ ษากคี่ น ที่ได้คะแนนมากกวา่ 42 คะแนน วิธที า ให้ X เป็นคะแนนของนกั ศึกษา X~N(60,15) ก. P(X  50) = P( X −   50 − 60 )  15 = P(Z  -0.67) = 0.7486 Statistics

การแจกแจงความนา่ จะเปน็ _บทที่ 3 3 - 71 -0.67 Z ข. P(X > 42) = P( X −   42 − 60 )  15 = P(Z > -1.2) = 0.8849 -1.2 Z ในจานวน 800 คน นักศึกษาที่ไดค้ ะแนนมากกว่า 42 คะแนน มจี านวน 800  0.8849 = 708 คน Statistics

3 - 72 การแจกแจงความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 แบบฝึกหดั บทท่ี 3 1. กล่องใบหนงึ่ บรรจุลูกบอลสดี า 4 ลกู และลูกบอลสแี ดง 3 ลูก ถ้าหยบิ ลกู บอลอย่างสุม่ มา 3 ลกู จงหาการแจกแจง ความน่าจะเป็นท่ีจะหยบิ ไดล้ ูกบอลสดี า 2. จงแสดงวา่ ฟังกช์ นั ต่อไปนีเ้ ป็นฟงั ก์ชนั ความน่าจะเป็นหรอื ไม่ 3 4      ,p(x)  x   3 − x  x = 0, 1, 2, 3 = P(X = x) = 35 3. X แทนจานวนประชาชนทเ่ี ขา้ ไปใชบ้ รกิ ารในสถานอี นามัยแหง่ หน่งึ โดยมีความนา่ จะเปน็ ดังน้ี จานวนคอมฯทขี่ ายได้ 0 1 2 3 4 5 ความนา่ จะเป็น 0.01 0.10 0.30 0.40 0.10 0.09 จงหา ก. P(X  1) ข. P(2  X  4) ค. P(X  2) 4. จงแสดงวา่ ฟงั กช์ ันตอ่ ไปนี้เปน็ ฟงั กช์ ันความนา่ จะเป็น (pdf.) หรอื ไม่ f (x) =  2x2 + 1 ;0  x 1  3  0 ; eleswere 5. ถา้ ตัวแปรสุ่ม X มี p.d.f เปน็ f (x) = 2 − 5 x2 ;0  x  3 จงหา P[1 < x < 2] 9 6. กาหนดใหต้ วั แปรสุ่ม X มีการแจกแจงความน่าจะเปน็ ดงั แสดงในตาราง X -3 6 9 P(X=x) 1 1 1 ก. E(X) 2 6 3 จงหาค่า ข. E(X2) ค. E(2X+1)2 7.ถ้าในการเผาเครอ่ื งปนั้ ดนิ เผาดว้ ยเทคนคิ พเิ ศษ ซง่ึ ผู้ผลติ รบั ประกันว่า 85 % ของเคร่ืองปน้ั ดนิ เผาจะไดส้ ีสวยงามดี ในการเผาด้วนเทคนคิ พิเศษครงั้ หนึ่ง จานวน 15 ชน้ิ จงหาว่า ก. ความน่าจะเปน็ ทส่ี ีไม่สวยงามดี จานวน 12 ช้นิ ข. ความน่าจะเป็น ทสี่ ีสวยงามดี อยา่ งมากจานวน 10 ช้นิ ค. คาดวา่ จะมเี ครอื่ งป้นั ดนิ เผาทเ่ี ผาดว้ ยเทคนคิ พเิ ศษแลว้ มสี สี วยงามดกี ่ชี นิ้ ง. ความแปรปรวนของเครือ่ งป้ันดนิ เผาทเี่ ผาด้วยเทคนคิ พเิ ศษแล้วมสี สี วยงามดี 8. พนกั งานรับโทรศพั ท์ ณ สานักงานแห่งหน่ึง จะรบั โทรศพั ท์โดยเฉล่ียวันละ 14 คร้ัง ก. จงหาความน่าจะเป็นท่พี นักงาน รับโทรศพั ท์ไม่นอ้ ยกวา่ 10 คร้งั ในวนั พรุง่ น้ี ข. จงหาความนา่ จะเป็นท่ีพนกั งาน รบั โทรศัพท์น้อยกวา่ 8 ครง้ั ในวนั พรงุ่ น้ี ค. จงหาสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของการรับโทรศพั ท์ ณ สานกั งานแห่งนี้ 9. ในการโยนลกู เตา๋ 1 ลกู 1 ครง้ั ถ้าสนในการเกดิ แต้ม 3 จงหาความนา่ จะเป็นทโ่ี ยนเหรยี ญ 1 ครั้ง แล้วแตม้ ของ ลูกเต๋าจะ เป็น เลข 3 พร้อมท้ังหาค่าเฉลยี่ และความแปรปรวนของการโยนลกู เตา๋ แล้วไดแ้ ต้ม 3 10. ถา้ Z เปน็ ตัวแปรสุม่ ปกติมาตรฐาน จงหาความน่าจะเปน็ ตอ่ ไปน้ี Statistics

การแจกแจงความนา่ จะเป็น_บทท่ี 3 3 - 73 ก. P(Z  1.96) ข. P(Z  1.96) ค. P(−1.96  Z  1.96) ง. P(−0.50  Z  2.33) จ. P(Z  −1.78) ฉ. P(Z  −1.44) Statistics