สถิติเกษตร_บทที่3.doc

เซตและความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 3 - 35 บทที่ 3 เซตและความน่าจะเปน็ 3.1 เซต 3.1.1 ความหมาย เซต(Set) เปน็ คาอนิยาม ไมส่ ามารถใหค้ วามหมายได้ โดยทั่วไปหมายถงึ ลักษณะนามทีเ่ ราใช้ เรียกกลุ่มของ สง่ิ ต่าง ๆ เช่น กล่มุ ของคน สัตว์ สิง่ ของ หรือส่งิ ต่าง ๆท่อี ยนู่ วมกนั เปน็ กลุม่ สิง่ ต่าง ๆท่ีอยู่ในกลุ่ม เรยี กว่า \" สมาชกิ \" นยิ มเขยี นอกั ษรตวั ใหญ่ (A,B,C,…) แทนชือ่ ของเซต สมาชกิ ทัง้ หมดของเซตจะอยใู่ นรปู เครื่องหมาย { }  3.1.2 การเขยี นเซต โดยท่วั ไปจาแนกออกเป็น 2 แบบ คอื 1. วิธีแจกแจงสมาชิก คอื การเขียนสมาชิกทัง้ หมดของเซตลงในเครือ่ งหมายวงเล็บปกี กา และใชเ้ ครื่องหมายจุลภาค (,) คนั่ ระหว่างสมาชิก เชน่ A = { 1, 2 , 3 , …} 2. วธิ บี อกเง่ือนไขของสมาชิก โดยเขยี นตวั แปรแทนสมาชกิ ของเซต และบอกเงื่อนไขรปู ของ ตัวแปรนัน้ โดยท่ี สมาชกิ ของเซต ใช้สญั ลักษณ์  แทนเปน็ สมาชกิ ของเซต แทนไม่เปน็ สมาชิกของเซต 3.1.3 การเท่ากนั (equal) นยิ าม เซต A เทา่ กบั เซต B ก็ต่อเมื่อ 1. มจี านวนสมาชิกเทา่ กนั 2. สมาชกิ ทุกตัวเหมือนกนั (ตวั ต่อตัว) เขยี นแทนดว้ ย A = B ถา้ เซตไมเ่ ท่ากันเขียนแทนด้วยเคร่อื งหมาย  ตัวอย่าง 3.1 A = {1,3}  , B = {3, 3, 1}  ดังนนั้ A = B 3.1.4 การเทียบเท่ากันหรอื สมมลู กัน (Equivalent) นยิ าม เซต A เทยี บเทา่ กบั เซต B กต็ ่อเม่ือ เซต A และเซต B มีจานวนสมาชกิ เทา่ กัน เขยี นแทนดว้ ย A~ B ตัวอยา่ ง 3.2 A = {1,2,3,4,5}  , B = {a,e,i,o,u}  ดงั นัน้ A ~ B 3.1.5 เซตจากัด (Finite sets) นิยาม เซตจากดั หมายถึง เซตทสี่ ามารถบอกไดแ้ นน่ อนว่ามีสมาชกิ เท่าใด หรือสามารถนบั จานวน สมาชกิ ได้ และมจี านวนสมาชิกเทา่ กับจานวนเต็มบวกหรอื ศนู ย์ 3.1.6 เซตอนันต์ (Infinite sets) นยิ าม เซตอนันต์ หมายถงึ เซตทไ่ี มส่ ามารถบอกไดแ้ นน่ อนวา่ มีสมาชิกเทา่ ใด หรอื ไมส่ ามารถนับจานวน สมาชิกได้ หรือ เซตท่ีไมใ่ ชเ่ ซตจากัด เชน่ A = { 1, 2, 3, } 3.1.7 เซตวา่ ง (Empty sets) นิยาม เซตว่าง หมายถงึ เซตที่ไม่มสี มาชิก เขยี นแทนดว้ ย { } หรอื  หมายเหตุ เซตวา่ งเป็นเซตจากัด เพราะมีสมาชกิ 0 ตัว 3.1.8 สบั เซต (subset) นยิ าม เซต A เปน็ สบั เซตของเซต B ก็ตอ่ เม่ือ สมาชกิ ทุกตวั ใน A เปน็ สมาชิกของ B เขียนแทน A  B และใช้ A  B แทน A ไม่เปน็ สับเซตของ B 3.1.9 เพาเวอรเ์ ซต (power set) นิยาม เพาเวอร์เซตของ A หมายถึง เซตของสบั เซตท้ังหมดของ A เขยี นแทนด้วย P(A) ถ้า A มีสมาชกิ n ตัว P(A) จะมสี มาชิก 2n Statistics

3 – 36 เซตและความน่าจะเปน็ _บทท่ี 3 ตวั อย่าง 3.3 A = 2,3,5  แลว้ P(A) = ,2,3,5,2,3,2,5,3,5,2,3,5 B=  แล้ว P(B) =  3.1.9 เอกภพสัมพัทธ์ (Relative universe) หมายถึง เซตทก่ี าหนดขอบเขตของสิง่ ทต่ี ้องการศึกษา เขยี นแทนดว้ ย 3.1.10 แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ หมายถงึ แผนภาพทพี่ นื้ ที่ทีแ่ รเงาคอื ผลลัพธข์ องการดาเนนิ การของ เซต โดยมากจะใช้รปู สเี่ หล่ียมแทน เอกภพสมั พทั ธ์ และใช้รปู วงกลมหรือวงรีแทน เซต 3.1.11 การดาเนนิ การเกย่ี วกับเซต 1. ยเู นยี น (Union) : AUB = X X  A หรือ X  B  เขยี นแผนภาพเวนนอ์ อยเลอร์ (Venn-Euler’s diagram) ดังน้ี A A A B BB 2.อินเตอรเ์ ซคชนั (Intersection) : AB = X X  A และ X  B  AA A B BB 3 ผลต่าง (Difference) : A – B = X X  A แต่ X  B  AB AB AA BB 4 คอมพลเี มนต์ (Complement) : A/ หรอื Ac หรือ A A = X X  A นอกจาก A แต่อยูใ่ น A AA B 3.1.12 พีชคณิตของเซต กาหนด U เปน็ เอกภพสมั พนั ธแ์ ละ A , B , C เปน็ เซตใด ๆ จะไดว้ ่า 1.  A  B  A ;  A  B  B 2. A   A B ; B   A B 3. A  B  A  B  B, A  B  A  B  A 4. A  A  B  A ; A   A  B  A 5.  A  A Statistics

เซตและความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 3 - 37 6.   U ; U   กฎการสลับที่ 7. A  A   ; A    A กฎการการจัดหมู่ 8. A   A ; A    9. A U  U ; AU  A 10. A A  A ; A A  A 11. A A  U ; A A   12. A B  B  A ; A B  B  A 13.  A  B C  A  B C  ABC  ABC กฎการแจกแจง 14. AB C   A B  AC ABC  ABAC 15.  A B  A  B ,  A B  A  B กฎของเดอรม์ อรแ์ กน 16. A  B  A  B 17. A   A  B  A  B ; A   A  B   18. A  B C   A  B  A  C ABC  A BAC 19. A  B  C   A B   AC 3.1.13 การหาจานวนสมาชกิ ของเซต 1. ใชส้ ตู ร กาหนดให้ A , B , C เป็นเซตใด ๆ จะไดว้ า่ n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AB) n(AUBUC) = n(A) + n(B) +n(C)- n(AB) –n(AC) – n(BC) + n(ABC) 2. ใช้แผนภาพเวนน์ออยเ์ ลอร์ โดยแทนจานวนทจ่ี ะหาใหเ้ ปน็ x แลว้ จึงพิจารณาตามลาดบั เพอ่ื หา คา่ x และคา่ ที่ต้องการ ตวั อยา่ ง 3.4 ถา้ เซต A มีสมาชกิ 10 ตวั เซต B มีสมาชกิ 15 ตัว และเซต A  B มสี มาชกิ 22 ตวั จงหา จานวนสมาชิกของเซต A  B วธิ ที า 1. ใชส้ ูตร n A B  n A  nB  n A B 22 = 10 + 15 - n(AB) n(AB) = 10 + 15 – 22 = 3 Ans 2. ใช้แผนภาพ A = 10 B = 15 U กาหนดให้ A B  x จาก A  B  22 ได้วา่ 10 - x x 15 –x 22 = (10 – x ) + x + ( 15 – x ) = 25 – x  x  3 Ans หมายเหตุ จากแผนภาพแสดงวา่ A  B  3, A  B  7, B  A  12 Statistics

3 – 38 เซตและความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 3.2 เทคนคิ การนับ ทฤษฎีบทเก่ียวกบั การนบั ในการทากิจการอยา่ งหน่ึงสามารถแยกออกได้ k ขน้ั ตอน โดย ขน้ั ตอนท่ี 1 เลอื กได้ n1 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกได้ n2 วิธี ขน้ั ตอนที่ 3 เลือกได้ n3 วธิ ี เปน็ เชน่ นี้เรอ่ื ย ๆ ไป จนถึง ขนั้ ตอนที่ k ซง่ึ ทาได้ nk วิธี ดังนัน้ จานวนวธิ ที งั้ หมดท่ีเปน็ ไปได้ = n1.n2.n3…..nk วิธี ตัวอย่าง 3.5 นายแดงแตง่ ตวั โดยมเี ส้อื 2 ตวั กางเกง 4 ตวั และเนคไท 3 เสน้ นายแดงมวี ิธกี ารแตง่ กายได้ ทัง้ หมดกว่ี ธิ ี วธิ ีทา n1 = 2, n2 = 4, n3= 3  จานวนวิธแี ตง่ กายท้ังหมด = n1.n2.n3 = 2 x 4 x 3 = 24 วิธี ตวั อยา่ ง 3.6 นาเลข 1,2,3,4 มาสร้างเลข 3 หลัก แต่ละหลกั ไม่ซา้ กัน จะสรา้ งไดก้ ่ีจานวน วิธที า มขี ั้นตอนในการใสเ่ ลขในแต่ละหลกั โดยจะเร่มิ ใส่ในหลกั ท่ี1 กอ่ น หลกั ที่ 1 สามารถใส่เลขไดท้ ง้ั 4 ตัว ข้ันตอนที่ 2 คอื ใสเ่ ลขในหลกั ท่ี 2 โดยจะไมส่ ามารถใส่เลขทใี่ สไ่ ปแล้วในหลักที่ 1 ดงั นน้ั หลักที่ 2 สามารถใสไ่ ด้ 3 ตัว ข้ันตอนที่ 3 คอื ใส่เลขในหลกั ที่ 3 โดยจะไม่สามารถใส่เลขทใี่ สไ่ ปแลว้ ในหลักท่ี 1 และ 2 ดงั นั้น หลกั ที่ 3 สามารถใสไ่ ด้ 2 ตวั ดงั น้ันจะสามารถสรา้ งเลขได้ 432  24 จานวน 3.3 แฟคทอเรียล (Factorial) ถ้า n เป็นจานวนเตม็ บวก สัญลกั ษณ์ n อ่านวา่ แฟคทอเรียล n มีความหมายดังนี้ n = 1.2.3…..(n-1)n = n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1 หมายเหตุ ในกรณที ่ี n = 0 กาหนดให้ 0 = 1 ขอ้ สังเกต 1) 0! =1! = 1 2) n! = n(n-1)! 3.4 การจัดลาดับหรือการเรยี งสับเปลีย่ น(Permutation) การจัดลาดบั หมายถงึ การจดั ของท่ีมอี ยู่โดยจดั ทัง้ หมดหรอื บางสว่ นโดยคานงึ ถงึ ลาดบั หรอื ตาแหนง่ เปน็ สาคญั การเรียงสบั เปลยี่ นแบบเส้นตรง กฎข้อที่1 ถา้ มีของ n ส่งิ ตา่ ง ๆ กนั นาของ r สงิ่ จาก n ส่ิงมาจัดเรียงเปน็ แถวตามลาดบั จานวนวธิ ที ี่จะกระทาได้คือ n Pr  n! วธิ ี ,r  n (n  r)! ตวั อยา่ ง 3.7 ในการแข่งขนั วงิ่ ระยะทาง 100 เมตร มีผ้แู ขง่ ขัน 8 คน จะมกี วี่ ธิ ที ผี่ ูแ้ ข่งขันได้รบั เหรยี ญ ทอง เหรียญเงนิ และเหรียญทองแดง ถา้ ผแู้ ข่งขันมีโอกาสท่จี ะชนะเท่า ๆกนั ทกุ คน วิธที า จานวน 3 คนทสี่ ุ่มมาไดน้ ัน้ ถือว่าแตกต่างกนั จะสลบั การให้เหรยี ญกนั ไมไ่ ด้ Statistics

เซตและความนา่ จะเป็น_บทที่ 3 3 - 39 ดงั นนั้ จานวนวิธที ี่เกิดข้นึ คอื คอื n Pr  n!  8!  8! (n  r)! (8  3)! 5! = 8 x 7 x 6 = 336 วิธี กฎขอ้ ท่ี 2 ถา้ มีของ n ส่ิงต่าง ๆ กัน นามาจัดเรยี งเปน็ แถวตามลาดบั ทง้ั n สิง่ จะมีจานวนวธิ ที ี่จะกระทาได้ n! วิธี ตวั อยา่ ง 3.8 นานกั ศกึ ษา 7 คน มาเรียงแถวหน้าเสาธง จงหาว่าสามารถทาได้กี่วธิ ี วิธที า สามารถจดั ได้ท้ังหมด 7! = 5,040 วธิ ี กฎข้อที่ 3 การเรยี งสบั เปลย่ี นของ n สิง่ ซึ่งมบี างสงิ่ ซ้ากัน ซง่ึ แบ่งเป็น k ชนิด ชนดิ ที่ 1 มี n1 สิง่ ชนิดท่ี 2 มี n2 ส่งิ …. ชนดิ ที่ k มี nk สิ่ง มีวธิ กี ารจัดเรียงไดท้ ้งั หมด  n! วิธี n1 !n2 ! nk ! ตวั อยา่ ง 3.9 จะมีวธิ กี ารเรียงตัวอักษรในคาวา่ MISSISSIPPI มาเรยี งสับเปลย่ี นกันใหม่ทงั้ หมดไดก้ ว่ี ิธี วธิ ที า มีตวั S ซา้ 4 ตัว มีตัว I ซา้ 4 ตวั มตี ัว P ซ้า 2 ตวั มตี ัว M ซา้ 1 ตัว  มวี ธิ กี ารเรียงสับเปลยี่ น = 11! 4!4!2!1! = 11 x 10 x 9 x7 x5 = 34,650 วิธี ตัวอย่าง 3.10 จะจัดหนังสอื 5 เล่ม ซ่งึ มีหนังสอื เรยี น คณิตศาสตร์ อยู่ 2 เล่ม หนังสือเรียน เคมี อยู่ 3 เล่ม วางบน ชั้นหนงั สือไดกว่ี ิธี วิธที า การเรียงสบั เปล่ยี นแบบวงกลม กฎข้อท่ี 4 ถา้ มีของ n สิ่งต่าง ๆ กัน เลือกมาเรยี งสบั เปลยี่ นแบบวงกลมเพียง r ส่ิง (r<n) จานวนวิธีท่ีจดั ไดท้ งั้ หมดคอื nPr  n! วธิ ี r (n  r)!r กฎข้อที่ 5 ถ้ามีของ n สงิ่ ต่าง ๆ กนั นาของท้ัง n สิง่ มาเรยี งสบั เปลย่ี นแบบวงกลม จานวนวธิ ีท่จี ะจดั ได้ท้ังหมด คอื (n-1) วธิ ี Statistics

3 – 40 เซตและความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 ตวั อยา่ ง 3.11 นานักศึกษา 10 คนมาเขา้ แถวเป็นวงกลมโดยที่ 1. นามาเพียง 4 คน 2. นามาเข้าแถวทง้ั หมด วธิ ที า 1. นามาเพียง 4 คน นัน่ คือ n = 10 และ r = 4 ดังน้นั จานวนวิธีที่จดั ได้ทง้ั หมดคือ nPr  10P4  10!  10!  7 8 9 10  1, 260 วิธี 2. นามาเข้าแถวทงั้ หมด r 4 (10  4)!4 6!4 4 จานวนวธิ ที ีจ่ ัดไดท้ งั้ หมดคอื n 1! 10 1! 9! = 362,880 วิธี 2.4 การจดั หมู่( Combination) การจดั หมู่ หมายถงึ การจดั ของทัง้ หมดท่มี ีอยู่หรือจัดเพียงบางสว่ นโดยไม่คานงึ ถึงลาดับหรือตาแหน่ง เพียงแต่ จัดใหจ้ านวนในแตล่ ะหมู่ครบตามท่ตี ้องการ ถา้ มีของ n สงิ่ ต่าง ๆ กัน เราเลอื กมา r ส่ิง แบบจัดหมู่ จานวนวธิ ีที่เลอื กไดค้ อื nCr หรอื n  n! ,r  n    r)!r!  r  (n ตัวอย่าง 3.12 มหี นังสอื ท่แี ตกตา่ งกัน 5 เล่ม ถา้ อนุญาตใหเ้ ด็กยืมได้ 3 เล่ม เดก็ คนหน่ึงจะมวี ธิ ีเลอื กไดก้ ว่ี ิธี วิธีทา หนงั สอื 3 เลม่ ท่ียืมมาไดถ้ อื วา่ มลี ักษณะไม่แตกต่างกันสลับทกี่ นั ไม่มผี ลดงั นนั้ ใช้ 5C3  5!  10 วธิ ี (5  3)!3! ตัวอย่าง 3.13 ในการคัดเลอื กตวั แทนนางแบบไปเดินแบบทปี่ ารสี จานวน 5 คน มนี างแบบเขา้ คดั เลือกจานวน 15 คน จงหาจานวนวิธกี ารท่ีจะคดั เลอื กตวั แทนนางแบบไดก้ ว่ี ธิ ี (โดยไมจ่ ัดลาดับ) วธิ ีทา จานวนวิธใี นการจัดหมู่ คอื nCr  n  n! จากโจทย์ n = 15 , r = 5 ดังนัน้    r)!r!  r  (n จานวนวธิ กี ารทีจ่ ะคัดเลือกตัวแทนนางแบบ 3,003 วิธี15C5  15   15!  15!  1112 1314 15    (15  5)!5! 10!5! 1 23 45  5  ตัวอยา่ ง 3.14 มีเส้อื สสี วย อยู่ 10 ตวั ถา้ ใหเ้ พ่อื นยมื ใส่ คนๆ หน่งึ ยืมไดคราวละ 2 คนตวั เพอ่ื นคนหนง่ึ จะมีวธิ ยี มื เสือ้ ท่ตี ่างกันกีว่ ธิ ี วธิ ีทา Statistics

เซตและความน่าจะเป็น_บทที่ 3 3 - 41 3.4 ความนา่ จะเปน็ (Probability) ความน่าจะเปน็ คอื จานวนท่แี สดงให้ทราบวา่ เหตุการณใ์ ดเหตุการณ์หนึ่ง มีโอกาสเกิดข้นึ มากหรอื น้อยเพยี งใด สิ่งท่ีจาเป็นตอ้ งทราบและทาความเข้าใจคาตา่ งๆ ก่อน 3.6.1 ความหมายของคาต่าง ๆ การทดลองสมุ่ (Random Experiment) คือ การกระทาท่ีเราทราบวา่ ผลทงั้ หมดท่อี าจจะเกิดข้ึนมี อะไรบ้าง แตไ่ มส่ ามารถบอกไดอ้ ย่างถูกตอ้ งแนน่ อนวา่ จะเกิดผลอะไรจากผลท้ังหมดที่เปน็ ไปได้เหล่านน้ั เชน่ การ โยนเหรียญ การสมุ่ บอลจากกลอ่ ง เป็นต้น แซมเปลิ สเปซ (Sample Space ) เปน็ เซตทีม่ ีสมาชกิ ประกอบด้วยส่ิงท่ตี ้องการ ทั้งหมด จากการทดลอง อยา่ งใดอยา่ งหน่งึ บางครัง้ เรยี กวา่ Universal Set เขียนแทนดว้ ย S เช่น ในการโยนลกู เตา๋ ถา้ ต้องการดวู ่าหนา้ อะไรจะขนึ้ มาจะได้ S =  1, 2, 3, 4, 5, 6  แซมเปิลพ้อยท์ (Sample Point) คอื สมาชิกของแซมเปลิ สเปซ (Sample Space) เชน่ S = H,T ค่า Sample Point คอื H หรอื T เหตกุ ารณ์ (event) คอื เซตทเ่ี ป็นสบั เซตของ Sample Space หรือเหตกุ ารณ์ทเี่ ราสนใจ จากการทดลองสมุ่ 3.6.2 กฎและทฤษฎขี องความนา่ จะเป็น ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ (Probability) คือโอกาสท่เี หตกุ ารณใ์ ดเหตุการณห์ นง่ึ P(E)  n(E) n(S ) เม่อื P(E) คอื ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณท์ ส่ี นใจ ( E ) n(E) คอื จานวนผลของเหตกุ ารณ์ทสี่ นใจ (จานวนสมาชิกในเหตุการณ์ E) n(S) คอื จานวนเหตกุ ารณท์ ้ังหมดของการทดลองสุ่ม (จานวนสมาชกิ ใน S) ขอ้ ควรจา 1. เหตกุ ารณ์ที่แนน่ อน คือ เหตุการณ์ทมี่ คี วามนา่ จะเปน็ = 1 เสมอ 2. เหตุการณ์ทีเ่ ป็นไปไมไ่ ด้ คือ เหตกุ ารณ์ที่มีความนา่ จะเป็น = 0 3. ความน่าจะเปน็ ใด ๆ จะมีคา่ ไมต่ ่ากวา่ 0 และ ไมเ่ กิน 1 เสมอ 4. ในการทดลองหนง่ึ สามารถทาใหเ้ กดิ ผลทต่ี อ้ งการอย่างมีโอกาสเท่ากันและมโี อกาสเกดิ ได้ N ส่งิ และเหตุการณ์ A มจี านวนสมาชิกเป็น n ดังนั้นความนา่ จะเปน็ ของ A คือ P(A) = n N กฎของความนา่ จะเปน็ 1. P( A)  0 2. P(S )  1 3. ถา้ B เปน็ อกี เหตกุ ารณห์ น่ึงใน Sample space เดยี วกนั และ A B   แล้ว P( A  B)  P( A)  P(B) ทฤษฎีความนา่ จะเป็น ให้ A เปน็ เหตกุ ารณ์ใด ๆ และ S เป็นแซมเปลิ สเปซ โดยท่ี A  S 1. P()  0 (ถ้า A = 0 แล้ว P(A) = 0) 2. P(A/) = 1 - P(A) เม่อื A/ คือ เหตุการณท์ ีอ่ ยู่ใน S ไมอ่ ยู่ใน A Statistics

3 – 42 เซตและความน่าจะเป็น_บทท่ี 3 3. ถ้า A  B แลว้ P( A)  P(B) 4. 0  P(A)  1 5. ถา้ A และ B เปน็ เหตกุ ารณ์ใดๆแล้ว P( A  B)  P( A)  P(B)  P( A  B) พสิ ูจน์ทฤษฎี ทฤษฎที ี่ 1 P()  0 (ถา้ A = 0 แล้ว P(A) = 0) เนื่องจาก S   S และโดยกฎข้อ 2 จะได้ P(S  )  P(S)  1 จาก S    โดยกฎขอ้ ท่ี 3 จะได้ P(S  )  P(S)  P()  1 P() ดงั น้ัน 1  1 P() เพราะฉะนนั้ P()  0 ทฤษฎีท่ี 2 P(A/) = 1 - P(A) เน่ืองจาก S  (A  A) และโดยกฎข้อ 2 จะได้ 1  P(S)  P(A  A) จาก A A   โดยกฎข้อที่ 3 จะได้ P( A  A)  P( A)  P( A) 1  P( A)  P( A) P( A)  1 P( A) ทฤษฎีท่ี 3 ถา้ A  B แลว้ P( A)  P(B) จาก A  B ได้วา่ B  A  (A  B) ได้วา่ A และ A  B เปน็ เหตุการณท์ ไี่ มเ่ กดิ ร่วมกนั และ โดยกฎขอ้ ที่ 3 จะได้ P(A  (A  B))  P(A)  P(A  B) ดงั นัน้ P(B)  P( A)  P( A  B) P(B)  P(A) ทฤษฎที ่ี 4 0  P(A)  1 เน่อื งจาก   A  S โดยทฤษฎีข้อท่ี 3 จะได้ P()  P( A)  P(S) จากทฤษฎที ่ี 1 P()  0 และ กฎขอ้ ที่ 2 P(S)  1 จะได้ 0  P(A)  1 ทฤษฎีที่ 5 ถ้า A และ B เปน็ เหตุการณใ์ ดๆแลว้ P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) A B S จากรูป A และ A  B เปน็ เหตกุ ารณท์ ่ไี ม่เกดิ รว่ มกนั นน่ั คือ A B  A (A  B) และโดยกฎขอ้ ที่ 3 จะได้ P(A  B)  P(A)  P(A  B) …………….. (1) เนอ่ื งจาก B  (A B)  (A B) เปน็ เหตุการณ์ท่ีไม่เกิดร่วมกัน ดงั นน้ั P(B)  P( A  B)  P( A  B) หรือ P A  B  P(B)  P(A B) ……………..(2) แทน (2) ใน (1) ; P( A  B)  P( A)  P( A  B) Statistics

เซตและความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 3 - 43 คุณสมบัตขิ องความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ให้ A และ B เปน็ เหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ 1. P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) 2. P(AB) = P(A) + P(B) เม่ือ AB =  ในกรณีน้เี รยี ก A และ B วา่ เปน็ เหตุการณ์ทีไ่ ม่เกิดรว่ มกนั (Mutually exclusive events) ตัวอย่างที่ 3.13 ในการส่มุ ไพ่ 2 ใบจากสารบั จงหาความน่าจะเปน็ ที่ ก. ได้ไพ่ JACK 2 ใบ ข. ได้ไพ่ A 1 ใบ และ J 1 ใบ ค. ไดไ้ พ่สเี ดยี วกัน ง. ได้ไพแ่ ตม้ เดียวกัน วิธีทา จานวนวธิ ีของ Sample Space คือ n(S) =  52   1,326 วิธี  2    ก. ให้ E คือ เหตุการณท์ ่ี ได้ไพ่ JACK 2 ใบ n(E) =  4   6 วธิ ี  2    ดังน้ัน P(E)  n(E)  6  1 n(S ) 1,326 221 ความนา่ จะเปน็ ทไี่ ดไ้ พ่ JACK 2 ใบ มีค่าเท่ากับ 1 221 ข. ให้ E คือ เหตกุ ารณ์ที่ ไดไ้ พ่ A 1 ใบ และ J 1 ใบ n(E) =  4   4   16 วิธี  1   1      ดงั นัน้ P(E)  n(E)  16  8 n(S ) 1, 326 663 ความน่าจะเปน็ ที่ไดไ้ พ่ A 1 ใบ และ J 1 ใบ มคี า่ เท่ากบั 8 663 ค. ให้ E คือ เหตุการณ์ท่ี ไดไ้ พส่ ีเดยี วกัน n(E) =  2   26  = 650 วิธี  1   2      ดังน้นั P(E)  n(E)  650  25 n(S ) 1,326 51 ความนา่ จะเปน็ ที่ไดไ้ พส่ ีเดียวกนั มีคา่ เทา่ กับ 25 51 ง. ให้ E คอื เหตุการณ์ท่ี ได้ไพแ่ ต้มเดยี วกัน n(E) = 13   4  = 78 วธิ ี    2   1    ดังนน้ั P(E)  n(E)  78  1 n(S) 1,326 17 ความนา่ จะเปน็ ทไ่ี ดไ้ ดไ้ พแ่ ต้มเดียวกนั มีค่าเทา่ กับ 1 17 ตวั อย่างท่ี 3.14 ในการหยิบไพจ่ ากสารบั 1 ใบ จงหาความนา่ จะเป็นที่ ก. ได้ไพ่ J หรอื A ข. ข.ได้ไพโ่ พดาหรือ ไพแ่ ตม้ 8 Statistics

3 – 44 เซตและความนา่ จะเปน็ _บทที่ 3 วธิ ที า จานวนวธิ ขี อง Sample Space คอื n(S) =  52   52 วิธี  1    ก. ให้ A คือ เหตุการณท์ ี่ ได้ไพ่ J B คือ เหตกุ ารณ์ที่ ไดไ้ พ่ A เน่อื งจากเหตกุ ารณ์ A และ B เป็นเหตุการณ์ท่ไี มเ่ กดิ รว่ มกนั P(AB) = P(A) + P(B)  44  8 2 52 52 52 13 ความน่าจะเปน็ ท่ไี ดไ้ พ่ ไดไ้ พ่ J หรอื A มีค่าเท่ากับ 2 13 ข. ให้ A คือ เหตุการณ์ที่ ไดไ้ พ่โพดา B คอื เหตุการณ์ท่ี ได้ไพแ่ ต้ม 8 เน่ืองจากในไพ่หนงึ่ สารบั มไี พโ่ พดาที่มีแตม้ 8 อยู่ 1 ใบดงั นน้ั เหตุการณ์ A และ B เปน็ เหตุการณ์ ท่เี กดิ รว่ มกนั P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)  13  4  1  16  4 52 52 52 52 13 ความน่าจะเปน็ ทไี่ ดไ้ พ่ โพดาหรอื ไพแ่ ตม้ 8 มีค่าเทา่ กับ 4 13 ตวั อยา่ งท่ี 3.15 กล่องใบหน่งึ บรรจุลกู บอลสแี ดงจานวน 4 ลูก สีดา 3 ลกู สีเขียว 2 ลูกและสีนา้ เงนิ 1 ลูก สมุ่ ลูกบอลจากกลองจานวน 4 ลกู จงหาความน่าจะเป็น ที่ ก. สมุ่ ได้บอลทุกสี ข. สมุ่ ได้บอลสีแดง 2 ลูก ทเี หลอื สีอะไรก็ได้ ค. สุมไดบ้ อลสองสสี ีละสองลูก Statistics

เซตและความนา่ จะเป็น_บทที่ 3 3 - 45 3.5.3 การเป็นอิสระต่อกันของเหตุการณ์ (Independent Event) กรณีทีต่ อ้ งการหาความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์หรอื มากกวา่ เหตกุ ารณ์แตล่ ะเหตุการณ์ ทเ่ี กิดขน้ึ ไม่มผี ลกระทบกบั ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ในคร้ังอ่นื ๆ (ไมว่ า่ เกดิ ก่อนแลว้ หรือกาลงั จะเกดิ กต็ าม เรา กล่าวได้วา่ ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์แตล่ ะคร้ังเป็นอิสระตอ่ กนั ๖ไมข่ ้นึ ตอ่ กนั ทฤษฎบี ท เหตกุ ารณ์ A และ B เปน็ อสิ ระต่อกนั หรือไม่ขน้ึ ตอ่ กัน กต็ ่อเมอ่ื ทฤษฎี P( A  B)  P( A).P(B) แตถ่ ้า P( A  B)  P( A).P(B) จะกลา่ ววา่ A และ B ไมเ่ ปน็ อสิ ระตอ่ กนั หรอื ขึน้ ต่อกนั ถ้า A และ B เปน็ อสิ ระตอ่ กันแลว้ 1. A และ B เป็นอิสระตอ่ กัน 2. A และ B เปน็ อิสระตอ่ กัน 3. A และ B เปน็ อิสระตอ่ กนั ตวั อย่าง 3.16 โรงเรยี นแหง่ หน่งึ มนี กั เรียนหญงิ 60 คน นักเรยี นชาย 40 คน จากจานวนนกั เรยี นทง้ั หมด เป็น นกั เรียนหญงิ ทส่ี วมแว่นสายตา 24 คน เปน็ นักเรียนชายท่ีสวมแวน่ 16 คน จงหาเพศชายกบั การสวม แว่นสายตาเปน็ อสิ ระต่อกนั หรือไม่ วิธที า ให้ E เปน็ เหตุการณท์ ่นี กั เรียนสวมแวน่ ตา B เปน็ เหตกุ ารณ์ท่ีนักเรยี นเป็นชาย B (ชาย) B (หญงิ ) รวม P(E  B)  16  0.16 100 E (สวมแว่น) 16 24 40 รวม P(E).P(B)  4 . 40  (0.4)(0.4)  0.16 100 100 E (ไม่สวมแวน่ ) 24 36 60 เน่ืองจาก P(E  B)  P(E).P(B) รวม 40 60 100 ดังนน้ั เพศชายและการสวมแวน่ สายตาเปน็ อสิ ระต่อกนั - เหตกุ ารณ์มากกวา่ 2 เหตกุ ารณ์ ทเี่ ปน็ อิสระต่อกัน ทฤษฎีบท เหตุการณ์ A1, A2, , An เปน็ อสิ ระตอ่ กัน หรอื ไมข่ ึน้ ตอ่ กนั ก็ตอ่ เมอ่ื P( A1  A2   An )  P( A1).P( A2 ). .P( An ) ตัวอย่าง 3.17 90 % ของพรินเตอร์ท่ีติดต้ังพร้อมกับเคร่ือง PC จะใช้การได้เลยทันทีหลังติดต้ังสมมติว่าการ ทางานของพรินเตอร์แต่ละเคร่ืองเป็นอิสระต่อเครอ่ื งอื่น ๆ ถ้าผู้ติดตั้งพรินเตอร์ 4 เคร่อื ง จงหาความนา่ จะเปน็ ท่ีทุก เคร่ืองสามารถใชก้ ารได้เลยทันทีเมอื่ ติดตงั้ แล้วคือเทา่ ใด วิธีทา ให้ Ai เป็นเหตุการณท์ พี่ รนิ เตอรเ์ คร่ืองที่ i ทางานทันทหี ลงั การติดตงั้ เนอื่ งจาก เหตุการณ์ A1, A2, , An เป็นอิสระตอ่ กัน ดงั น้นั P( A1  A2  A3  A4 )  P( A1 ).P( A2 ).P( A3 ).P( A4 )  (0.9)4 = 0.6561 Ans Statistics

3 – 46 เซตและความน่าจะเปน็ _บทที่ 3 3.6 ความนา่ จะเป็นแบบมีเงอื่ นไขและทฤษฎขี องเบยส์ 3.6.1 ความนา่ จะเปน็ แบบมีเง่ือนไข กาหนดให้ A และ B เปน็ เหตุการณ์ 2 เหตกุ ารณ์ โดยทีเ่ หตกุ ารณ์ A ไดเ้ กิดข้ึนกอ่ นแลว้ และสง่ ผล กระทบไปยังความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ B ท่จี ะเกดิ ต่อมาในภายหลงั ในลักษณะนี้เราเรยี กวา่ ความนา่ จะเปน็ ของ เหตุการณ์ B วา่ เป็น “ความนา่ จะเป็นแบบมเี ง่ือนไข” (Conditional Probability) โดยแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ P(B/A) และสามารถคานวณได้จาก P(B / A)  P( A  B) ; P( A)  0 P( A) ในทานองเดยี วกนั ถา้ เหตุการณ์ B ไดเ้ กิดข้ึนมากอ่ นและมีผลกระทบกบั ความนา่ จะเปน็ ของ เหตุการณ์ A ท่ีจะเกดิ ตามมาภายหลงั แทนด้วย P(A/B) P(A/ B)  P(A  B) ; P(B)  0 P(B) ตวั อยา่ ง 3.18 ถา้ นาย ก. ตอ้ งการมีลูก 3 คน โดยทีล่ กู คนโตตอ้ งเป็นผชู้ าย จงหาความนา่ จะเปน็ ทน่ี าย ก. จะมลี กู ชาย 2 คน วิธที า ให้ A เปน็ เหตกุ ารณ์ทน่ี าย ก.มีลกู คนโตเป็นผู้ชาย B เป็นเหตกุ ารณท์ ีน่ าย ก.มลี กู ผ้ชู าย 2 คน S = {ชชช, ชชญ, ชญช, ชญญ, ญชช, ญชญ, ญญช, ญญญ} A = {ชชช, ชชญ, ชญช, ชญญ} B = {ชชญ, ชญช, ญชช}, A  B  { ชชญ , ชญช } จะได้ P(A B)  2  1 , P( A)  4  1 ดังนั้น 82 84 P(B / A)  0.5 Ans กฎความน่าจะเปน็ ใช้ได้กบั ความนา่ จะเป็นแบบมีเงอื่ นไขทั้ง 3 ขอ้ คือ 1. P(A / B)  0 2. P(B / B) = 1 3. ถา้ A1 , A2 และ B เป็นเหตกุ ารณใ์ ด ๆ ท่ี A1  A2   แลว้ P(A1  A2 / B)  P(A1 / B)  P(A2 / B) สาหรับเหตุการณ์ทม่ี ากกวา่ 2 เหตกุ ารณค์ วามน่าจะเปน็ ของ intersection ของเหตกุ ารณท์ ้ังหมดหา ไดโ้ ดยใชท้ ฤษฎีตอ่ ไปน้ี ทฤษฎี Multiplication Rule:  An1 ) ถา้ A1, A2, , An เปน็ เหตกุ ารณใ์ ด ๆ ท่ี P( A1)  0, P( A1  A2 )  0, , P( A1  A2   An1)  0 แล้ว P( A1  A2   An )  P( A1)P( A2 / A1)P( A3 / A1  A2 ) P( An / A1  A2  ตัวอยา่ ง 3.19 กล่องใบหนง่ึ มลี ูกแกว้ สีแดง 4 ลกู และสเี ขยี ว 6 ลูก สมุ่ หยบิ ลกู แก้วทลี ะลูกแบบไม่ใส่คนื จานวน 3 ลกู จงหาความนา่ จะเปน็ ทีห่ ยบิ ไดส้ ีแดงสองลูกแรกและสีเขยี วในลกู สุดทา้ ย Statistics

เซตและความน่าจะเป็น_บทที่ 3 3 - 47 วธิ ที า ให้ Ri เป็นเหตกุ ารณท์ ี่หยบิ ไดล้ กู แกว้ สแี ดงในการหยบิ คร้ังที่ i Gi เปน็ เหตกุ ารณท์ ีห่ ยิบไดล้ กู แก้วสเี ขยี วในการหยบิ ครงั้ ที่ i จากทฤษฎจี ะได้ P(R1  R2  G3 )  P(R1)P(R2 / R1)P(G3 / R1  R2 )   4   3   6   1  10   9   8  10 ความนา่ จะเปน็ ทหี่ ยบิ ได้สีแดงสองลกู แรกและสเี ขยี วในลูกสุดทา้ ย มีค่าเท่ากบั 1 10 3.6.2 ทฤษฎีของเบยส์ (Baye’s Theorem) สมมติว่า A1, A2, , An เป็นเหตุการณ์ใน Sample Space เดียวกันและเปน็ partition ของ S กลา่ วคอื A1  A2  A3   An  S และ Ai  Aj   เมอื่ i, j 1,2, ,n ถา้ B เปน็ เหตุการณใ์ น S ดงั รปู เหตกุ ารณ์ B หาได้จาก A3 A2 A1 An B  ( A1  B)  ( A2  B)  ( An  B) โดยท่ี (Ai  B)  (Aj  B)   เมือ่ i  j A4 B โดยกฎความนา่ จะเปน็ A5 A6 A7 A8 P(B)  P( A1  B)  P( A2  B)   P( An  B) nn   P( Ai  B)  P( Ai )P(B / Ai ) i 1 i 1 จากนยิ ามความนา่ จะเปน็ แบบมเี งอื่ นไขไดว้ า่ P(A / B)  P( Ak  B)  P( Ak )P(B / Ak );k  1, 2, ,n P(B) P(B) k แทนคา่ P(B) ไดว้ ่า P( Ak / B)  P( Ak )P(B / Ak ) n  P( Ai )P(B / Ai ) i 1 ทฤษฎี Baye’s Theorem ถา้ A1, A2, , An เป็น partition ของ S โดยท่ี P(Ai )  0 เม่ือ i  1, 2, , n และ B เปน็ เหตุการณใ์ ดๆ ใน S ซึ่ง P(B)  0 แลว้ P( Ak / B)  P( Ak )P(B / Ak ) , k  1, 2, ,n n  P( Ai )P(B / Ai ) i 1 ตวั อย่างที่ 3.20 มีกลอ่ งอยู่ 2 ใบ โดยท่ีกลอ่ งใบแรกบรรจบุ อล สขี าว 5 ลูก สดี า 7 ลกู กล่องใบที่ 2 บรรจุ บอล สขี าว 8 ลูก สดี า 6 ลูก ถ้าส่มุ บอลมา 1 ลูก โดยทไ่ี ดบ้ อลสขี าวจงหาความน่าจะเปน็ ที่ บอลสีขาวดงั กลา่ วมาจากกลอ่ งใบท่ี 1 วิธที า ให้ P(A1 /W) เปน็ ความนา่ จะเป็นท่ีบอลสขี าวดังกล่าวมาจากกลอ่ งใบที่ 1 ดงั นน้ั จากสูตร P( Ak / B)  P( Ak )P(B / Ak ) , k  1, 2, ,n ได้ว่า n  P( Ai )P(B / Ai ) i 1 Statistics

3 – 48 เซตและความนา่ จะเป็น_บทท่ี 3 P( A1 /W )  P( A1 )P(W / A1 ) A2 ) ,k  1, 2 P( A1 )P(W / A1 )  P( A2 )P(w /  1 5    2   12   1   5   1   8   2   12    2   14  5 5 5   24    24    24   5   8   35  48   83   24    28   168   168    5   168   0.422  24   83  ดงั น้นั ความนา่ จะเปน็ ทบี่ อลสขี าวดงั กล่าวมาจากกลอ่ งใบที่ 1 มีคา่ 0.422 ตัวอย่างท่ี 3.21 มีกลอ่ งอยู่ 2 ใบ โดยที่กล่องใบแรกบรรจบุ อล สีขาว 5 ลูก สีดา 7 ลกู กลอ่ งใบที่ 2 บรรจบุ อล สขี าว 8 ลกู สีดา 6 ลกู ถา้ สุ่มบอลมา 1 ลกู โดยทไี่ ดบ้ อลสีดาจงหาความน่าจะเป็นทบี่ อลสีดา ดงั กล่าวมาจากกล่องใบที่ 2 Statistics

เซตและความน่าจะเปน็ _บทท่ี 3 3 - 49 แบบฝึกหดั บทที่ 3 1. ในการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูก สแี ดงกบั สเี หลือง แล้วจดแตม้ ทข่ี ึ้นไว้ ก. จงเขียน Sample space ข. จงเขียนเหตุการณท์ ่ีได้ผลบวกของแต้มน้อยกวา่ 5 ค. จงเขียนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลกู ใดลกู หน่งึ ขึ้นแตม้ 2 ง. จงเขียนเหตุการณท์ ล่ี ูกเต๋าลูกสีเหลอื งขึ้นแต้ม 3 2. นักศึกษาในมหาวิทยาลัยแห่งหน่ึงต้องเรียนคณิตศาสตร์ 1 วิชา วิทยาศาสตร์ 2 วิชา สังคมศาสตร์ 1 วิชา มนุษยศาสตร์ 2 วิชา โดยที่วิชาในหมวดคณิตศาสตร์มีให้เลือก 4 วิชา หมวดวิทยาศาสตร์มีให้เลือก 5 วิชา หมวดสังคมศาสตร์มีให้เลือก 3 วิชา และในหมวดมนุษยศาสตร์มีให้เลือก 4 วิชา นักศึกษาคนหน่ึงจะจัด โปรแกรมการศึกษาของเขาไดก้ ี่วิธี 3. ผู้จัดการทีมวอลเลย์บอล ต้องการคัดเลือกให้ผู้เล่น 10 คน ลงเล่น 6 ตาแหน่ง มีกี่วิธีในการจัด ถ้านักกีฬาทุกคน สามารถเล่นตาแหน่งใดก็ได้ 4. จงหาวธิ ีการเลือกอักษร 4 ตัวจากอักษรคาวา่ “LIVERPOOL” 5. จงหาวิธีการเรยี งอกั ษรคาวา่ “Goodfellow” โดยไม่คานงึ ถงึ ความหมาย 6. ไพ่ 1 สารบั มี 52 ใบ สุ่มไพจ่ ากสารบั มา 1 ใบ จงหาความนา่ จะเป็นตอ่ ไปน้ี 6.1 ได้ไพ่โพแดง หรอื โพดา6.2 ไดไ้ พ่ดอกจิกหรือ Jack 7. จงหาจานวนวิธีทจ่ี ะจดั หญงิ 4 คน และชาย 4 คน ใหน้ ่ังรอบโต๊ะกลม 8. ถุงใบหน่ึงบรรจุลูกบอลสีขาว 4 ลูก และสีน้าเงิน 5 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลสามลูกทีละลูกจากถุง จงหาความ นา่ จะเปน็ ทีจ่ ะได้ลูกบอลสีนา้ เงิน,สขี าวและสีนา้ เงินตามลาดับ โดยมเี งื่อนไขว่า 8.1 หยิบแลว้ ใส่คนื 8.2 หยบิ แลว้ ไม่ใส่คืน 9. กลอ่ งใบท่หี นึ่งบรรจุลูกหนิ สีแดง 3 ลูก หินสีฟ้า 2 ลูก กลอ่ งใบท่ีสองบรรจุหินสีแดง 2 ลกู ลูกหินสีฟ้า 8 ลกู โยนเหรยี ญท่ีเที่ยงตรงหนึ่งอัน ถ้าเหรียญขึน้ หวั จะเลอื กลูกหินหนึง่ ลกู จากกล่องใบทีห่ น่ึง ถ้าเหรียญขึ้นก้อย จะเลอื กหนิ จากกล่องใบทส่ี อง จงหาความนา่ จะเป็นที่ลกู หินสแี ดงจากกล่องใบที่ 1 จะถกู เลือก 10. กลอ่ งใบที่หน่งึ มีลกู บอลสีแดง อยู่ 3 ใบ สเี หลือง 4 ใบและสีขาวอยู่ 2 ใบ กล่องใบที่สอง บรรจุลูกบอลสแี ดงอยู่ 2 ใบ สีเหลือง 3 ใบและสีขาว อยู่ 5 ใบ สุ่มหยิบลูกบอลมาหน่ึงลูกจากกล่องหน่ึงในสองใบนี้และพบว่าเป็นลูก บอลสีขาว จงหาความน่าจะเป็นท่ี ลูกบอลสีขาวน้ีมาจากกล่องใบท่ี 2 Statistics