2 จุดกึ่งกลาง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความรู้เบื้องตน้ เกีย่ วกบั เรขาคณติ วเิ คราะห์ เล่มที่ 2 เรอ่ื ง จดุ ก่ึงกลางของสว่ นของเสน้ ตรง นางสาวปณพร สมุ ลวรรณ ตาํ แหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชํานาญการ

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ¤Ó¹Ó ÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙ餳ԵÈÒʵÃìà»ç¹ÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙéËÅÑ¡·ÕèÊӤѭã¹ËÅÑ¡ÊÙµÃ᡹¡ÅÒ§¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ ¢Ñé¹¾×é¹°Ò¹¾Ø·¸ÈÑ¡ÃÒª 2551 «Ö觪èÇÂ㹡ÒþѲ¹Ò¤ÇÒÁ¤Ô´¢Í§Á¹ØÉÂì ·ÓãËé¤Ô´ÍÂèÒ§ÁÕà˵ؼŠà»ç¹Ãкº áÅÐ à»ç¹¾×鹰ҹ㹡ÒÃàÃÕ¹ÇÔªÒÍ×è¹ â´Â¸ÃÃÁªÒµÔ¢Í§ÇÔªÒ¤³ÔµÈÒʵÃìà»ç¹ÇÔªÒ·ÕèÁÕÅѡɳÐà»ç¹¹ÒÁ¸ÃÃÁ µéͧ¤Ô´ ¤Ó¹Ç³ ¨Ö§µéͧÍÒÈÑ·ӫéÓæ «Öè§à»ç¹¡Òý֡ãËéà¡Ô´·Ñ¡ÉÐ ¨¹à¡Ô´¤ÇÒÁà¢éÒã¨áÅЪӹҭ 㹡ÒäԴ¤Ó¹Ç³ä´é ÍÂÒè §ÃÇ´àÃÇç Ẻ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì àÃè×ͧ ¤ÇÒÁÃÙàé ºéÍ× §µÑ¹à¡ÂèÕ Ç¡ÑºàâҤ³ÔµÇàÔ ¤ÃÒÐËì ÊÓËÃѺ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ª¹Ñé ÁѸÂÁÈÖ¡ÉÒ»Õ·Õè 4 ¨Ñ´·Ó¢Öé¹à¾×èÍãªé»ÃСͺ¡ÒèѴ¡Ô¨¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙé ÇÔªÒ¤³ÔµÈÒʵÃìà¾ÔèÁàµÔÁ ÁØè§ãËé¼ÙéàÃÕ¹ÁÕ ¤ÇÒÁÃÙé¾×é¹°Ò¹¡Òäӹdz ÁÕ·Ñ¡ÉСÃкǹ¡Ò÷ҧ¤³ÔµÈÒʵÃì ÊÒÁÒöá¡è⨷Âì»Ñ­ËÒä´é¶Ù¡µéͧ ¾Ñ²¹Ò ·Ñ¡ÉСÃкǹ¡ÒäԴÍÂèÒ§ÁÕà˵ؼŠàª×èÍÁ⧤ÇÒÁÃÙéä´éÍÂèÒ§ÊÃéÒ§ÊÃÃ¤ì «Öè§à»ç¹¾×é¹°Ò¹¡Òäӹdz áÅÐÁÕ·Ñ¡ÉÐ ¡Ãкǹ¡ÒäԴã¹ÃдѺ·ÊèÕ Ù§¢Öé¹ä» »ÃСͺ´Çé ÂẺ½Ö¡·Ñ¡ÉШӹǹ 7 àÅèÁ ´§Ñ ¹Õé àÅèÁ·èÕ 1 ÃÐÂзҧÃÐËÇÒè §¨Ø´Êͧ¨Ø´ àÅèÁ·èÕ 2 ¨´Ø ¡èÖ§¡ÅÒ§¢Í§ÊÇè ¹¢Í§àÊ¹é µÃ§ àÅÁè ·èÕ 3 ¤ÇÒÁª¹Ñ ¢Í§àÊ鹵ç àÅèÁ·Õè 4 àÊé¹¢¹Ò¹ àÅèÁ·Õè 5 àÊ¹é µ§Ñé ©Ò¡ àÅèÁ·Õè 6 àÊ鹵ç àÅÁè ·èÕ 7 ÃÐÂÐËÒè §ÃÐËÇÒè §àÊ¹é µÃ§¡Ñº¨´Ø ¢éÒ¾à¨éÒËÇѧÍÂèÒ§ÂÔè§ÇèÒẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì àÃ×èͧ ¤ÇÒÁÃÙéàº×éͧµé¹à¡ÕèÂÇàâҤ³ÔµÇÔà¤ÃÒÐËì ÊÓËÃѺ¹Ñ¡àÃÕ¹ªÑé¹ÁѸÂÁÈÖ¡ÉÒ»Õ·Õè 4 ¹Õé ¨Ðà»ç¹Êèǹ˹Ö觢ͧà¤Ã×èͧÁ×Í·Õè¨ÐªèÇÂãËé¼ÙéàÃÕ¹à¡Ô´¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙéÍÂèÒ§ ÊÁºÙóì ÁÕ»ÃÐÊ·Ô ¸ÔÀÒ¾ áÅФ§àÍÍé× »ÃÐ⪹ìá¡è¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ ¤ÃÙ¼ÙÊé ͹¤³µÔ ÈÒʵÃáì Åмٷé ÊèÕ ¹ã¨µÒÁÊÁ¤Çà ¢Í¢Íº¤³Ø ¼Ùé·àÕè ¡ÂèÕ Ç¢Íé §·Õèá¹Ð¹ÓáÅЪÇè ÂàËÅÍ× ¡Òè´Ñ ·ÓẺ½Ö¡·Ñ¡ÉÐàÅÁè ¹éÕÁÒ ³ âÍ¡ÒʹéÕ »³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó µÓá˹§è ¤ÃÙ ÇԷ°ҹР¤ÃÙªÓ¹Ò­¡Òà ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 1

ÊÒúѭ 02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ¤Ó¹Ó ˹Òé ÊÒú­Ñ 1 ¤ÓªéáÕ ¨§ 2 ¤ÓªáÕé ¨§ÊÓËÃѺ¤ÃÙ 3 ¤ÓªáéÕ ¨§ÊÓËÃѺ¹¡Ñ àÃÕ¹ 4 ¤Óá¹Ð¹Ó¡ÒÃãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì 5 ¨´Ø »ÃÐʧ¤¡ì ÒÃàÃÕ¹ÃÙé 6 Ẻ·´Êͺ¡Íè ¹àÃÂÕ ¹ àÃè×ͧ ¨Ø´¡§èÖ ¡ÅÒ§¢Í§Êèǹ¢Í§àÊ鹵ç 7 㺤ÇÒÁÃÙé·Õè 1.1 8 Ẻ½¡Ö ·Ñ¡ÉзÕè 1.1 12 㺤ÇÒÁÃÙé·èÕ 1.2 17 Ẻ½Ö¡·Ñ¡ÉзèÕ 1.2 20 㺤ÇÒÁÃÙé·Õè 1.3 22 Ẻ½Ö¡·Ñ¡ÉзÕè 1.3 24 Ẻ·´ÊͺËÅѧàÃÂÕ ¹ àÃè×ͧ ¨´Ø ¡§èÖ ¡ÅÒ§¢Í§ÊÇè ¹¢Í§àÊ鹵ç 26 ºÃóҹءÃÁ 28 ÀÒ¤¼¹Ç¡ 32 33 Ø à©ÅÂẺ½¡Ö ·¡Ñ ÉзèÕ 1.1 34 Ø à©ÅÂẺ½¡Ö ·¡Ñ ÉзÕè 1.2 37 Ø à©ÅÂẺ½¡Ö ·¡Ñ ÉзÕè 1.3 39 Ø à©ÅÂẺ·´Êͺ¡è͹-ËÅ§Ñ àÃÕ¹ 41 Ø µÒÃÒ§º¹Ñ ·Ö¡¤Ðá¹¹ 42 ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 2

02 ¤ÓªéÕᨧ ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ¡ÒÃãªáé ºº½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì ¤ÃÙáÅй¡Ñ àÃÕ¹µÍé §·Ó¤ÇÒÁà¢éÒ㨺·ºÒ·¢Í§µ¹àͧ à¾Í×è ´Óà¹¹Ô ¡¨Ô ¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙãé ËéºÃÃÅصÒÁµÑǪÕéÇ´Ñ áÅÐÁÕ»ÃÐÊÔ·¸ÔÀÒ¾´§Ñ ¹éÕ º·ºÒ·¢Í§¤ÃÙ : 1. ¤Ùõéͧ·Ó¤ÇÒÁà¢éÒ㨤ÙèÁ×ͤÃÙáÅÐá¼¹¡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙéãËéà¡Ô´¤ÇÒÁà¢éÒã¨ÍÂèÒ§ªÑ´à¨¹ à¾×èÍãËé ÊÒÁÒö¹ÓẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìáµèÅÐàÅèÁ仨´Ñ ¡Ô¨¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙãé ´Íé ÂÒè §Á»Õ ÃÐÊÔ·¸ÔÀÒ¾µèÍä» 2. ãËé¤Óá¹Ð¹Óá¡è¹Ñ¡àÃÕ¹¢³Ð·ÕèãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìµÒÁ¤Óá¹Ð¹Ó·Õè¡Ó˹´äÇéËÃ×ÍàÁ×èÍ ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹µÍé §¡ÒäÇÒÁªèÇÂàËÅÍ× 3. »ÃÐàÁÔ¹¼Å¡ÒÃàÃÕ¹¢Í§¹Ñ¡àÃÕ¹ËÅѧ¨Ò¡ãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì à¾×è͵ÃǨÊͺ¤ÇÒÁà¢éÒã¨ÍÕ¡ ¤Ãéѧ˹èÖ§ º·ºÒ·¢Í§¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ : 1. È¡Ö ÉÒ¤ÙÁè Í× ¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ãËàé ¢éÒ㨡Íè ¹·¨èÕ ÐŧÁÍ× ·ÓẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì 2. ·ÓẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì 3. »Ã¡Ö ÉÒ¤ÃÙàÁ×Íè ÁÕ»­Ñ ËÒ㹡ÒÃãªéẺ½Ö¡·¡Ñ ÉФ³µÔ ÈÒʵÃìËÃÍ× àÁÍè× Á»Õ Ñ­ËÒÍè×¹ æ㹡ÒÃàÃÂÕ ¹ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 3

02 ¤ÓªÕáé ¨§ÊÓËÃѺ¤Ã٠ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ¤Ó¤ÓªÕéᨧ ÊÓËÃѺ¤ÃÙ·ÕèãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì àÃ×èͧ ¤ÇÒÁÃÙéàº×éͧµÑ¹à¡ÕèÂǡѺ àâҤ³Ôµ ÇàÔ ¤ÃÒÐËì ÊÓËÃºÑ ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ªÑ¹é Á¸Ñ ÂÁÈÖ¡ÉÒ»·Õ èÕ 4 Á´Õ §Ñ ¹Õé 1. ¤ÃÙ¤ÇÃÈÖ¡ÉÒÇÔ¸Õ¡ÒÃãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì á¼¹¡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙé ÇÔ¸Õ¡ÒÃÊ͹ ÇÔ¸ÕÇ´Ñ áÅлÃÐàÁÔ¹¼Å ¢Í§áºº½Ö¡·Ñ¡ÉÐãËàé ¢Òé 㨪Ѵਹ 2. ¤ÃÙ¤Çä¹é ¤ÇéÒáÅÐÍèÒ¹à¹×éÍËÒ·èÕà¡ÂèÕ Ç¢éͧà¾èÔÁàµÔÁ 3. ¤ÃÙ¤ÇÃàµÃÕÂÁ¡ÒÃÊ͹Åèǧ˹éÒ àµÃÕÂÁʶҹ·Õè µÅÍ´¨¹Ê×èÍ¡ÒÃÊ͹µèÒ§æ·Õèãªé㹡Òà ¨´Ñ ¡Ô¨¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙéâ´ÂãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³µÔ ÈÒʵÃìã˾é ÃéÍÁ 4. ¤ÃÙªéáÕ ¨§º·ºÒ·¢Í§¹¡Ñ àÃÕ¹㹡ÒÃàÃÂÕ ¹â´ÂãªéẺ½¡Ö ·¡Ñ ÉФ³ÔµÈÒʵÃì 5. ¤ÃÙÁÕº·ºÒ·à¾Õ§¼Ùéá¹Ð¹ÓàÁ×è͹ѡàÃÕ¹ÁջѭËÒ㹡ÒÃãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì à·Òè ¹Ñé¹áµèÁÔä´éÊ͹¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ã¹à¹Í×é ËҢͧẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì 6. ÊèÔ§·è¤Õ ÃÙµéͧàµÃÂÕ Á 6.1) Ẻ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì áÅÐẺ·´ÊͺãËéà¾Õ§¾ÍµèͤÇÒÁµéͧ¡Òâͧ ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 4

02 ¤ÓªéÕᨧÊÓËÃѺ¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ à¾×èÍãËé¡ÒÃãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìàÅèÁ¹Õéà»ç¹ä»µÒÁÇѵ¶Ø»ÃÐʧ¤ì㹡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙé ¢Í§¤ÃÙáÅÐà¡´Ô »ÃÐ⪹ìÊÙ§ÊØ´µèÍ¡ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙ¢é ͧ¹Ñ¡àÃÕ¹ ¨Ö§ãËé¹¡Ñ àÃÂÕ ¹»¯ÔºµÑ µÔ ÒÁÅӴѺ´Ñ§¹éÕ 1. ¹Ñ¡àÃÕ¹áµèÅФ¹ÍèÒ¹¤ÓªÕéᨧÇÔ¸Õ¡ÒÃàÃÕ¹ãËéà¢éÒ㨡è͹·Õè¨ÐàÃÔèÁàÃÕ¹ â´Âµéͧ·Ó µÒÁÅӴѺ¢Ñ¹é µÍ¹ã¹¤ÓªÕéá¨§Ç¸Ô ¡Õ ÒÃãªé¨Ð·ÓãËàé ¢Òé 㨧èÒ¢¹éÖ 2. µ§Ñé ã¨ÈÖ¡ÉÒ㺤ÇÒÁÃÙéãËàé ÊÃ¨ç ·¹Ñ àÇÅÒ·Õ¤è ÃÙ¡Ó˹´ 3. àÃÔèÁ·Ó¡Ô¨¡ÃÃÁã¹áºº½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìËÅѧ¨Ò¡ÈÖ¡ÉÒ㺤ÇÒÁÃÙé´éǤÇÒÁµÑé§ã¨ ËÒ¡ÁÕ»­Ñ ËÒÊÒÁÒö¡ÁÍ× Êͺ¶ÒÁ¤ÃÙä´é 4. ¹¡Ñ àÃÕ¹µÍé §àÃÕ¹´éǤÇÒÁµ§éÑ ã¨áÅÐäÁèàÅè¹ËÃ×ͤÂØ ¡ºÑ à¾è×͹ã¹ÃÐËÇÒè §àÃÕ¹ 5. ¹Ñ¡àÃÕ¹¤ÇÃÁÕ¤ÇÒÁ«×èÍÊѵÂìµè͵¹àͧ äÁèÅÍ¡¤ÓµÍº¨Ò¡à¾×è͹ËÃ×Íà©Å¨¹¡ÇèÒ¨Ð·Ó áºº·´ÊͺàÊÃç¨àÊÂÕ ¡Íè ¹ 6. ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ÊÒÁÒö·º·Ç¹à¹éÍ× ËÒä´éµÅÍ´àÇÅÒ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 5

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ¤Óá¹Ð¹Ó¡ÒÃãªéẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì àÃèÍ× § ¤ÇÒÁÃÙéàºÍé× §µ¹é à¡èÕÂÇ¡ºÑ àâҤ³µÔ ÇàÔ ¤ÃÒÐËì ÊÓËÃѺ¹¡Ñ àÃÕ¹ªÑé¹ÁѸÂÁÈÖ¡ÉÒ»·Õ Õè 4 àÅÁè ·Õè 2 ¨´Ø ¡èÖ§¡ÅÒ§¢Í§ÊÇè ¹¢Í§àÊ鹵ç 1. Ẻ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì¹ÕéãªéàÇÅÒ 2 ¤Òº â´Â¹Ñ¡àÃÕ¹ÍèÒ¹¤ÓªÕéᨧãËéà¢éÒ㨡è͹ŧ ·Ó¡¨Ô ¡ÃÃÁ 2. ãËé¹¡Ñ àÃÕ¹·ÓẺ·´Êͺ¡è͹àÃÂÕ ¹ à¾è×ÍÇÑ´¤ÇÒÁÃÙéàºÍé× §µé¹¢Í§¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ 3. ÈÖ¡ÉÒÊÒÃÐÊӤѭ ¨Ø´»ÃÐʧ¤ì¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙéáÅÐà¹×éÍËÒÍÂèÒ§ÅÐàÍÕ´¡è͹·Ó¡Ô¨¡ÃÃÁ㹠Ẻ½¡Ö ·¡Ñ ÉФ³ÔµÈÒʵÃì 4. àÁ×èÍ·ÓàÊÃç¨ãËé¹Ñ¡àÃÕ¹µÃǨ¤ÓµÍº ¶éÒ¹¡Ñ àÃÕ¹ÁÕ¢éÍʧÊÑÂã¹¢Ñ鹵͹㴢Ñ鹵͹˹Öè§ã¹ Ẻ½Ö¡·¡Ñ ÉФ³ÔµÈÒʵùì Ñ¡àÃÂÕ ¹ÊÒÁÒö«¡Ñ ¶ÒÁ»­Ñ ËÒ¹Ñé¹æ¨Ò¡à¾è×͹ ËÃ×ͤÃÙ¼ÙéÊ͹ 5. ËÅѧ¨Ò¡·Õè¹Ñ¡àÃÕ¹ä´éÈÖ¡ÉÒẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìàÊÃç¨áÅéÇ ãËé¹Ñ¡àÃÕ¹·Ó Ẻ·´ÊͺËÅ§Ñ àÃÂÕ ¹ µÃǨÊͺ¤ÇÒÁà¢éÒ㨢ͧµ¹àͧÁÒ¡¢¹Öé 6. ¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ÊÒÁÒö·º·Ç¹à¹Íé× ËÒä´é ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 6

02 ¨Ø´»ÃÐʧ¤¡ì ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙé ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ Ẻ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì àÃ×èͧ ¤ÇÒÁÃÙéàº×éͧµé¹à¡ÕèÂǡѺàâҤ³ÔµÇÔà¤ÃÒÐËì ÊÓËÃѺ ¹Ñ¡àÃÕ¹ªÑé¹ÁѸÂÁÈÖ¡ÉÒ»Õ·Õè 4 àÅèÁ·Õè 2 ¨Ø´¡Ö觡ÅÒ§¢Í§Êèǹ¢Í§àÊ鹵ç Áըش»ÃÐʧ¤ì¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙé ´§Ñ ¹Õé ´Òé ¹¤ÇÒÁÃÙé 1. ËÒ¨´Ø ¡§Öè ¡ÅÒ§¢Í§ÊÇè ¹¢Í§àÊ¹é µÃ§·Õè¡Ó˹´ãËäé ´é 2. 㪤é ÇÒÁÃÙéà¡èÕÂǡѺ¨Ø´¡§èÖ ¡ÅÒ§¢Í§Êèǹ¢Í§àÊ鹵çá¡é⨷Âì»­Ñ ËÒä´é ´éÒ¹·Ñ¡ÉÐ / ¡Ãкǹ¡Òà : ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ÁÕ¤ÇÒÁÊÒÁÒö 1. ¡ÒÃá¡»é Ñ­ËÒ 2. ¡ÒÃãËéà˵¼Ø Å ´Òé ¹¤Ø³ÅѡɳÐÍѹ¾Ö觻ÃÐʧ¤ì 1. ¤ÇÒÁ«èÍ× ÊѵÂìÊØ¨ÃµÔ 2. ÁÃÕ ÐàºÂÕ ºÇԹѠ3. ¡Ò÷ӧҹÃÇè Á¡ºÑ ¼ÙéÍè¹× 4. Á§èØ ÁÑè¹ã¹¡Ò÷ӧҹ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 7

02 แบบทดสอบกอ( นเรยี น เล(มท่ี 2 เรื่อง จดุ ก่งึ กลางของสว( นของเส;นตรง ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ คำช้ีแจง 1. แบบทดสอบฉบบั นเี้ ปUนแบบทดสอบ 4 ตวั เลือกจานวน 10 ขอH ขHอละ 1 คะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน 2. นกั เรียนทำเครือ่ งหมายกากบาท (O ) ขอH ท่ถี ูกทส่ี ุดลงในกระดาษคำตอบ 1. จดุ กึง่ กลางระหว.างจดุ (5,-3) และ (-1,7) คอื จุดใด ก. (2,2) ข. (2,-2) ค. (3,-5) ง. (-3,5) 2. จุดกง่ึ กลางระหวา. งจดุ (-4,-2) และ (-9,5) คอื จุดใด !\" \"#$ ก. !− # , − ข. !− !\" , \"#$ # ค.!− $ , − %#$ # ง. !− $ , #%$ # 3. กำหนดจุดปลายของเสHนผ.านศูนยกL ลางของวงกลมคอื (12,3) และ (10,7) แลวH จดุ ศูนยกL ลางของวงกลมนี้ตรงกับ ขHอใด ก. (5 , 11) ข. (11 , 5) ค.!!#! , #$$ ง.!$# , !#!$ 4. M เปUนจุดก่งึ กลางของเสHนตรง AB ถาH M มพี กิ ัด (-4,13) และ A มีพิกดั (-10,8) แลHวพิกัดของจุด B ตรงกบั ขอH ใด ก. (-7, , ##!) ข. (6,5) ค. (-6,-5) ง. (2,18) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 8

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 5. M เปนU จดุ ก่ึงกลางของเสHนตรง AB ถาH M มพี กิ ัด (3,2) และ A มีพิกดั (4,5) แลHวพิกดั ของจดุ B ตรงกบั ขอH ใด ก. !%# , %#$ ข. !#! , 2$ ค. (2,-1) ง. (1,2) 6. กำหนด A(-7, 3) และ B(5, 9) เปUนจดุ ปลายทง้ั สองขHางของสว. นของเสนH ตรง AB จงหาจุด C ซึ่งอยู.บน AB ทีท่ ำใหH CA : CB =1 : 5 ก. (-1,-3) ข. (-2,3) ค. (-5,4) ง. (-6,-3) 7. ถHา D(-4,2) เปUนจุดแบ.งส.วนของเสนH ตรงท่เี ชื่อมจุด A(-8,4) และ B(2,-1) จงหาอัตราส.วนแบ.งของ AD : DB ก. 2 : 3 ข. 3 : 4 ค. 4 : 5 ง. 5 : 6 8. กำหนดสามเหลยี่ ม ABC มี A(8,-4) , B(-1,-7) และ C(5,2) จงหาจดุ ตัดของเสHนมัธยฐาน ก. (6,-3) ข. (4,-3) ค. (1,-2) ง. (-1,2) 9. จงหาระยะทางระหว.างจุด P(4,1) กบั จดุ กง่ึ กลางระหวา. งจดุ A(-3,-4) และ B(5,-2) ก. 2 หน.วย ข. 3 หนว. ย ค. 4 หนว. ย ง. 5 หน.วย ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 9

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 10. กำหนด A(5,-2) , B(7,4) , C(4,7) และ D(2,1) เปUนจดุ ยอดของรปู ส่เี หล่ียมรูปหนึง่ โดยมี P, Q, R และ S เปนU จุดก่ึงกลางของดHาน AB, BC, CD และ DA ตามลำดบั ความยาวรอบรูปของสเ่ี หลย่ี ม PQRS ยาวเท.าใด ก. 4√10 + 6√2 หนว. ย ข. 10√6 + 2√2 หนว. ย ค. √82 + √24 หนว. ย ง. 10√6 + 4√10 หน.วย ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 10

02 กระดาษคำตอบแบบทดสอบกอ/ นเรียน ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ เลม/ ที่ 2 เร่ือง จุดกึ่งกลางของส/วนของเส@นตรง ช่อื ....................................................นามสกลุ .............................................ชนั้ ....................เลขท่ี.................... ขอ\" ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนเตม็ 10 คะแนน คะแนนท่ีได; .............. คะแนน เกณฑทC ่ีใช@ในการประเมิน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ผ#านรอ' ยละ 70 ของคะแนนสอบ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 11

02 ใบความรู)ที่ 1.1 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ เรื่อง จุดกง่ึ กลางของสว0 นของเส3นตรง ให$ P (x,y) เปน' จุดกงึ่ กลางของส5วนของเส$นตรง P1P2 โดยจุด P1 มีพกิ ัดเป'น (x1,y1) และจุด P2 มพี กิ ดั เปน' (x2,y2) สามารถหาพกิ ัดของจุดกง่ึ กลางของสว5 นของเสน$ ตรง P1P2 โดยพจิ ารณาจากรูป ดงั นี้ ให$ P1B เปน' ส5วนของเส$นตรงทีข่ นานกบั แกน X และตงั้ ฉากกับ PA และ P2B ซึง่ เป'นส5วนของ เส$นตรงท่ีขนานกับแกน Y ทจ่ี ุด A และ B ตามลำดับ จะได$ จดุ A มีพกิ ดั เป'น (x,y1) จดุ B มีพกิ ัดเป'น (x2,y1) เนือ่ งจากรปู สามเหลี่ยม P1A P คลา$ ยกบั รูปสามเหล่ียม P1BP2 จะได$ P1A = P1P P1B P1P2 แต5 P (x,y) เป'นจุดกง่ึ กลางของ P1P2 จะได$ P1P = 1 P1P2 2 นนั่ คือ P1A = 1 P1B 2 P1A = 1 P1B 2 จะได$ P1A = A B หรอื | x - x1 | = | x2 - x | ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 12

02 เนอ่ื งจาก x อย5ูระหว5าง x1 และ x2 ดังนัน้ x1 < x < x2 หรือ x2 < x < x1 เพราะฉะนน้ั x - x1 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ และ x2 - x จะเปน' จำนวนบวกเหมอื นกนั หรือเปน' จำนวนลบเหมอื นกัน ดังนั้น x - x1 = x2 - x x = x1 + x2 2 ในทำนองเดยี วกัน สามารถแสดงได$ว5า y = y1 + y2 2 ดงั นนั้ จงึ สรุปเปน' ทฤษฎีบทได$ดงั น้ี ทฤษฎบี ท กำหนดจดุ P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) ถา$ จุด P (x,y) เป'นจดุ ก่งึ กลางของ สว5 นของเสน$ ตรง P1P2 แล$ว x = x1 + x2 และ y = y1 + y2 2 2 เพ่ิมเติม! ถา$ จดุ P (x,y) ไม5เป'นจดุ ก่ึงกลางของสว5 นของเส$นตรง จากรูปใชท$ ฤษฎีบทของสามเหลี่ยมคล$าย จะได$ x - x1 = r1 x2 - x1 r1 + r2 (r1 + r2)(x - x1) = r1(x2 - x1) r1x - r1x1 + r2x - r2x1 = r1x2 - r1x1 (r1 + r2)x = r1x2 + r2x1 x = r1x2 + r2x1 r1 + r2 ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 13

02 ในทำนองเดียวกนั สามารถแสดงไดว$ า5 = r1y2 + r2y1 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ r1 + r2 y ดงั นนั้ จงึ สรปุ เปน' ทฤษฎีบทได$ดังนี้ ทฤษฎีบท กำหนดจุด A(x1,y1) และ B(x2,y2) ถ$าจุด P (x,y) เป'นจดุ ใด ๆ บนของส5วน ของเสน$ ตรง A B แลว$ x = r1x2 + r2x1 และ y = r1y2 + r2y1 r1 + r2 r1 + r2 ตัวอย1างท่ี 1 จงหาจดุ ก่งึ กลางของสว5 นของเส$นตรงท่ีมี A(-3, 5) และ B(4, -1) เปน' จุดปลาย วธิ ที ำ กำหนดให$ P(x,y) เป'นจุดกง่ึ กลาง ���##���#���#��� เนอ่ื งจาก !!\"!\" , $!\"$\" ������ = # ������ = # %&\"' (%) # # จะได$ ,������ = ������ = ������ = ) , ������ = ' =2 # # ตอบ จุดกง่ึ กลางของสว5 นของเสน$ ตรง คือ ($# , 2) ตวั อย1างท่ี 2 จุด P เป'นจุดกึง่ กลางของส5วนของเส$นตรง P1P2 พิกัดจุด P และ P1 คอื (2, 3) และ (5, 4) ตามลำดบั จงหาพิกัดจดุ ของ P2 วธิ ที ำ กำหนดให$ P2 เนือ่ งจาก จดุ P(2,3) เป'นจุดก่งึ กลางของ P1 (5,4) และ P2 (x,y) !!\"!\" $!\"$\" # # ,นนั่ คือ ������ = ������ = จะได$ 2 = (\"! ,3 = '\"$ # # ������ = −1 , ������ = 2 ตอบ พิกัด P2 คือ (-1, 2) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 14

02 ตวั อย1างที่ 3 กำหนด A(2, -2) และ B(-8, 3) เปน' จดุ ปลายทง้ั สองขา$ งของสว5 นของเส$นตรง AB จงหาจุด C ซง่ึ ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ อย5ูบน AB ทีท่ ำให$ | AC |:| CB | = 3 : 2 r2=2 B (-8,3) วธิ ที ำ กำหนดให$ C(x,y) ดังรูป *!$\"\"*\"$! C (x,y) *!!\"\"*\"!! *!\"*\" *!\"*\" จาก ,������= ������ = (&)(%-)\"(#)(#) (&)(&)\"(#)(%#) &\"# &\"# r1=3 =จะได$ ,������ ������ = A (2,-2) ������ = −4 , ������ = 1 ตอบ ดังนั้น พกิ ดั C คือ (-4,1) ตวั อย1างที่ 4 จุด Q(-5, 5) เป'นจดุ แบ5งเสน$ เชือ่ มจดุ P(-7, 4) และ R(1, 8) ออกเปน' อัตราสว5 น |������������|: |������������| เทา5 กบั เทา5 ใด ตวั อย1างท่ี 5 ถา$ P(3, 1) เปน' จดุ กึง่ กลางของเส$นตรง AB เมอ่ื A(5, -7) จงหาพิกัดของจุด B ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 15

02 ตวั อย1างที่ 6 กำหนดจดุ C เป'นจุดภายนอกทแี่ บง5 AB ออกเป'นอตั ราสว5 น CA : CB =1 : 5 โดยที่ ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ A(6, 3) และ B(-2, 7) จงหาจุด C ตวั อย1างที่ 7 จุดทแี่ บ5งสว5 นของเสน$ ตรงท่เี ชอ่ื มจดุ (4, 0) และ (-8, 4) ออกเปน' 4 สว5 นเทา5 ๆ กัน ได$แกจ5 ุดใดบา$ ง ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 16

02 แบบฝ8กทกั ษะท่ี 1.1 เรือ่ ง จดุ กง่ึ กลางของสว0 นของเสน3 ตรง ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 1. จงหาจุดกึ่งกลางของส5วนของเสน$ ตรงทีเ่ ชอ่ื มระหว5างจดุ แต5ละค5ตู อ5 ไปนี้ 1.) æ 1 , 2 ö และ (3, -1) 2.) æ 3, - 5ö และ (-3, -9) ç 2 ÷ ç ÷ è ø è 2 ø 3.) (-1, -3) และ (5, 3) 4.) (-3, -2) และ (-1, -1) 2. จุด M เป'นจดุ ก่งึ กลางของสว5 นของเสน$ ตรง PQ จงหาพกิ ัดของจดุ P ถา$ 1.) จุด M มีพกิ ดั เป'น (1, 2) และจุด Q มพี กิ ัดเป'น (3, 4) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 17

02 2.) จุด M มพี กิ ัดเปน' (5, 6) และจดุ Q มีพิกัดเป'น (15, -4) ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 3.) จุด M มพี ิกัดเป'น (− & , #&) และจุด Q มีพกิ ัดเปน' ('& , (#) # 4.) จุด M มพี กิ ัดเป'น (3������, −2������) และจุด Q มพี ิกัดเป'น (#. , − &/) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 18

02 3. หาจุดซ่ึงแบง5 ภายในส5วนของเสน$ ตรง A(-3, 4) และ B(13, 12) ออกเป'น 3:5 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 4. จงหาพิกัดของจดุ ซ่ึงแบ5งภายในส5วนของเส$นตรง A (a+3b, 2a-b) และ B (a+6b, 8a-b) ออกเปน' 2:3 ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 19

02 ใบความร)ทู ่ี 1.2 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ เร่อื ง โจทยBปญD หาจุดกงึ่ กลางของส0วนของเสน3 ตรง ตัวอยา1 งท่ี 8 กำหนด A(x1, y1), B(x2, y2), C (x3, y3) และ D(x, y) เปน' จดุ ยอดของสเี่ หล่ยี มดา$ น ขนานของ A BC D จงหาพิกัดของจดุ D D(x, y) C (x3,y3) เทคนคิ การหาพกิ ัดรูปสี่เหลี่ยม สตู ร คือ ใกล$ + ใกล$ - ไกล A(x1, y1) B (x2, y2 ) วธิ ีทำ ณ จุด ������ จะได$ ������ = ������) + ������& − ������# ������ = ������) + ������& − ������# ดังนน้ั พิกดั D คอื (������) + ������& − ������#, ������) + ������& − ������#) ตอบ พกิ ดั D คือ (������) + ������& − ������#, ������) + ������& − ������#) ตวั อย1างท่ี 9 กำหนดให$ A(- 6,- 3), B(3, 1), C (x, y) และ D(- 8, 2) เป'นจดุ ยอดสเ่ี หล่ยี มดา$ นขนาน จงหาพกิ ดั ของจุด C D(-8, 2) C (x, y) วิธีทำ ณ จดุ ������ จะได$ A(-6, -3) B(3, 1) จะได$ ������ = −8 + 3 − (−6) = −8 + 3 + 6 ������ = 1 และ ������ = 2 + 1 − (−3) ������ = 6 ดังนั้น C (1,6) ตอบ พิกดั C คอื (1,6) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 20

02 ตัวอย1างที่ 10 กำหนดให$ A(- 2,- 9), B(3,- 8), C (7, 20)และ D(x, y) เปน' จดุ ยอดของสีเ่ หลีย่ มด$าน ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ขนาน แล$วเสน$ ทแยงมุม BD มคี วามยาวเทา5 ใด D(x, y) C (7, 20) วิธที ำ ณ จดุ D จะได$ A(-2, -9) B(3, -8) จะได$ ������ = 7 + (−2) − (3) ������ = 2 และ ������ = 20 + (−9) − (−8) ������ = 19 ดงั นั้น พิกดั คือ ������ (2,1) คำนวณระยะ DB จะได$ ������ = =(1)# + (27)# ������ = √730 ตอบ เสน$ ทแยงมมุ BD มีความยาวเท5ากบั √730 ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 21

02 แบบฝก8 ทกั ษะที่ 1.2 เรื่อง โจทยBปDญหาจุดกึง่ กลางของส0วนของเสน3 ตรง ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 1. จงแสดงวา5 จุดก่ึงกลางของเส$นทแยงมุมของรปู สีเ่ หลีย่ มซึ่งมีจุดยอดท่ี A(2,1), B(7,1), C (9, 3) และ D(4, 3) เปน' จดุ เดียวกนั 2. จงหาพิกัดของจดุ ก่ึงกลางของสว5 นของเส$นตรงซ่ึงเชือ่ มจดุ P1(x1,y1) และ P2(3x1, 3y1) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 22

02 3. ให$ P มพี ิกัดเปน' (2,1) และ Q มีพิกดั เปน' (6, 5) จงหาความยาวของสว5 นของเส$นตรงซึง่ เชอ่ื มจุด ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ A(8, 2) กบั จุดกึ่งกลางของสว5 นของเส$นตรง PQ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 23

02 ใบความรูท) ี่ 1.3 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ เรอื่ ง จดุ ตัดของเส3นมัธยฐาน (Centroid) C (x3, y3 ) N M ณ จุด x = x1 + x2 + x3 P 3 y = y1 + y2 + y3 3 A(x1, y1) S B (x2, y2 ) ขอ@ ควรร@ู 1. เสน$ มธั ยฐาน คือ เส$นตรงทล่ี ากจากจุดยอดไปแบ5งครงั้ ดา$ นตรงขา$ ม 2. เส$นมธั ยฐานทง้ั สามเสน$ จะตดั กันทจ่ี ุดเดยี วกันเสมอ เรยี กจดุ จดุ นนั้ วา5 จุดตัดของเสน$ มัธยฐาน (centroid) 3. จุด centroid จะแบ5งเส$นมธั ยฐานแต5ละเส$นเปน' อัตราส5วน 2:1 จากรปู AP = BP = CP = 2 PM PN PS 1 4. จุด centroid จะแบง5 พ้ืนที่ภายในรปู สามเหลีย่ ม ABC ออกเป'น 3 ส5วน เทา5 ๆ กัน คือ พ้ืนที่ DAP B = พืน้ ท่ี DBP C = พนื้ ท่ี DAP C ตวั อย1างท่ี 11 กำหนดสามเหลย่ี ม ABC มี A(-1,2), B(3, 0)และC(5, 4)จงหาจดุ ตดั ของเส$นมธั ยฐาน C (5, 4) วิธที ำ กำหนด P(x,y) เป'นจุดตัดของเส$นมธั ยฐาน A(-1, 2) (%)\"& 0 B(3, 0) ������ = & = & ������ = '\"#\"1 = 2 = 2 & & ดังน้นั ������ ?&0 , 2@ ตอบ จดุ ตัดของเส$นมธั ยฐาน คือ ?&0 , 2@ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 24

02 ตัวอยา1 งท่ี 12 สามเหลีย่ มรปู หนงึ่ มีจดุ ยอดเป'น (-2, 5),(2, -4) และ (x,y) ถา$ จุดตดั ของเสน$ มธั ยฐานของ ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ สามเหล่ยี มน้ีเปน' æ 5 , 2ö จงหา (x, y ) ç 3 ÷ è 3 ø วธิ ที ำ จุด ������ ?(& , #&@ เปน' จดุ ตดั ของเส$นมธั ยฐานของสามเหลยี่ ม เน่ืองจาก ������ = !!\"!\"\"!% , ������ = $!\"$\"\"\"$% & & จะได$ ( = !%#\"# ,# = $\"(%' & & & & ������ = 5 , ������ = 1 ดงั น้ัน (x,y) คือ (5, 1) ตอบ x,y คือ (5, 1) ตัวอยา1 งที่ 13 สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมจี ดุ ยอดท่ี A(3, 6), B(1, 2) และ C(-3, 4) ความยาวของเส$นมัธยฐานท่ี ลากจาก A มายังดา$ นตรงข$ามมีค5าเทา5 กบั เทา5 ใด A(3, 6) วิธที ำ จาก สมบัตเิ สน$ มัธยฐาน จะแบ5งครง่ึ ฐานได$ 2 ส5วนเท5ากนั B(1, 2) กำหนดจุด D (x,y) เปน' จดุ กง่ึ กลาง B���B���B���B��� จะได$ ������ = )\"(%&) = −1 # #\"' ������ = # = 2 C (-3, 4) ดงั นน้ั D มพี กิ ัดเป'น (-1,3) ตอบ D มพี กิ ดั เปน' (-1,3) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 25

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ แบบฝ8กทกั ษะที่ 1.3 เรื่อง จดุ ตัดของเสน3 มธั ยฐาน 1. จงหาพิกัดของจุดปลายของเส$นมัธยฐานของรูปสามเหลีย่ มทม่ี จี ดุ ยอดที่ A(4, 9), B(3, 8) และ C (-1,2) 2. ให$ A(-4, 3), A(4, 5), C (8,11) และ D(-8, 7) เป'นจดุ ยอดของสีเ่ หลย่ี มและ P , Q , R และ S เป'นจดุ ก่งึ กลางของดา$ น A B, BC , C D และ DA ตามลำดบั จงหาความยาวของเส$นรอบรูปสีเ่ หลย่ี ม PQR S ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 26

02 3. จงหาความยาวของสว5 นของเส$นตรงที่เชอื่ มจดุ A(8, 2) กบั จดุ กงึ่ กลางระหวา5 ง P(2, 1) และ Q(6, 5) ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 4. วงกลมวงหนึ่งมีจุด (1, -2) เปน' จดุ ศนู ยกo ลาง จุดปลายเส$นผ5านศนู ยกo ลางดา$ นหนง่ึ เป'น (-3, 4) จงหาจดุ ปลายอกี ดา$ นหนึง่ ของเสน$ ผา5 นศูนยoกลาง 5. ถ$าจุด (3, 5) เป'นจดุ ก่ึงกลางของเส$นเชือ่ มจุด (2, a) และ (b, 4) แลว$ a + b เทา5 กบั เทา5 ใด ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 27

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ แบบทดสอบหลงั เรยี น เลม1 ที่ 2 เร่ือง จุดก่ึงกลางของสว1 นของเส=นตรง คำชแ้ี จง 1. แบบทดสอบฉบบั น้เี ปJนแบบทดสอบ 4 ตวั เลอื กจานวน 10 ขFอ ขFอละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน 2. นักเรียนทำเครื่องหมายกากบาท (O ) ขอF ทถ่ี กู ที่สดุ ลงในกระดาษคำตอบ 1. จงหาระยะทางระหวา* งจุด P(4,1) กบั จดุ ก่ึงกลางระหวา* งจดุ A(-3,-4) และ B(5,-2) ก. 5 หน*วย ข. 4 หน*วย ค. 3 หน*วย ง. 2 หน*วย 2. ถาF D(-4,2) เปJนจุดแบง* ส*วนของเสนF ตรงทเ่ี ชื่อมจดุ A(-8,4) และ B(2,-1) จงหาอัตราสว* นแบ*งของ AD : DB ก. 5 : 6 ข. 4 : 5 ค. 3 : 4 ง. 2 : 3 3. M เปนJ จุดกึ่งกลางของเสFนตรง AB ถาF M มีพิกดั (-4,13) และ A มพี กิ ัด (-10,8) แลFวพิกัดของจุด B ตรงกบั ขFอใด ก.(-6,-5) ข. (6,5) ค. (2,18) ง. (-7, , !!\") 4. จดุ ก่ึงกลางระหว*างจุด (5,-3) และ (-1,7) คอื จดุ ใด ก. (2,-2) ข. (2,2) ค. (3,-5) ง. (-3,5) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 28

02 5. กำหนด A(-7, 3) และ B(5, 9) เปนJ จุดปลายท้งั สองขาF งของสว* นของเสนF ตรง AB จงหาจุด C ซง่ึ อยบ*ู น AB ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ทีท่ ำใหF CA : CB =1 : 5 ก. (-1,-3) ข. (-2,3) ค. (-5,4) ง. (-6,-3) 6. กำหนด A(5,-2) , B(7,4) , C(4,7) และ D(2,1) เปJนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมรูปหน่งึ โดยมี P, Q, R และ S เปJนจุดกง่ึ กลางของดFาน AB, BC, CD และ DA ตามลำดบั ความยาวรอบรูปของส่ีเหล่ียม PQRS ยาวเทา* ใด ก. 10√6 + 4√10 หนว* ย ข. 10√6 + 2√2 หน*วย ค. 4√10 + 6√2 หนว* ย ง. √82 + √24 หน*วย 7. จดุ ก่ึงกลางระหว*างจุด (-4,-2) และ (-9,5) คอื จดุ ใด \"# !#% ก. #− ! , − ข. #− \"# , !#% ! ค. \"− 5 , 7# 2 2 ง. #− ' , − (!% ! 8. M เปJนจดุ ก่งึ กลางของเสนF ตรง AB ถFา M มีพกิ ดั (3,2) และ A มีพกิ ัด (4,5) แลFวพิกัดของจุด B ตรงกับขFอใด ก. #\"! , 2% ข. #!( , !(% ค. (1,2) ง. (2,-1) 9. กำหนดจุดปลายของเสนF ผ*านศนู ยjกลางของวงกลมคอื (12,3) และ (10,7) แลวF จดุ ศูนยกj ลางของวงกลมนตี้ รงกบั ขอF ใด ก. (11 , 5) ข. (5 , 11) ค.#!' , \"!\"% ง.#\"!\" , '!% ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 29

02 10. กำหนดสามเหลีย่ ม ABC มี A(8,-4) , B(-1,-7) และ C(5,2) จงหาจดุ ตดั ของเสนF มัธยฐาน ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ก. (1,-2) ข. (-1,2) ค. (4,-3) ง. (6,-3) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 30

02 กระดาษคำตอบแบบทดสอบหลังเรียน ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ เลม8 ที่ 2 เร่ือง จดุ ก่งึ กลางของสว8 นของเสนB ตรง ช่อื ....................................................นามสกลุ .............................................ช้ัน....................เลขท่ี.................... ข\"อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนเต็ม 10 คะแนน คะแนนท่ีได= .............. คะแนน เกณฑทE ีใ่ ชใB นการประเมนิ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ผา# นรอ' ยละ 70 ของคะแนนสอบ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 31

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ บรรณานกุ รม กนกวลี อษุ ากรกุล และคณะ. (2561). แบบฝ$กหัดรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร9 ม.4 เล=ม 2. กรุงเทพฯ: บรษิ ทั อกั ษรเจริญทัศนA อจท. จำกดั . กระทรวงศึกษาธิการ. (2560). ตวั ช้ีวัดและสาระการเรียนรDูแกนกลาง กลุม= สาระการเรยี นรDู คณิตศาสตร9 (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพAชุมชนการเกษตรแหงL ประเทศไทย จำกดั . กวิยา เนาวประทปี . (2556). เทคนคิ การเรยี นคณติ ศาสตร9 เรขาคณติ วิเคราะห.9 กรุงเทพฯ: หจก. สำนกั พมิ พA ฟสS กิ สAเซน็ เตอร.A จกั รนิ ทรA วรรณโพธิก์ ลาง. (2558). สุดยอดคำนวณและเทคนิคคดิ ลดั คณติ ศาสตร9 ม.4 เล=ม 2 (เพ่มิ เติม). กรงุ เทพฯ: บรษิ ัท เรืองแสงการพิมพA (2002) จำกัด. ชิดชนก ตง้ั บุญอนุสรณA. (2561). จำสูตรไดD ใชสD ตู รเป[น คณิตศาสตร9 ม.ปลาย. กรงุ เทพฯ: บริษทั คารAเปเดยี ม เมอรA จำกดั สถาบนั สLงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแA ละเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2560). หนังสอื รายวิชา คณิตศาสตร9เพม่ิ เติม ชั้นมัธยมศึกษาป\\ท่ี 4 เลม= 2. พิมพคA รง้ั คร้ัง 1 ลาดพร[าว: โรงพมิ พA สกสค. . (2560). ค=มู อื ครรู ายวชิ าคณติ ศาสตรเ9 พิ่มเติม ช้นั มัธยมศึกษาป\\ท่ี 4 เลม= 2. ลาดพรา[ ว: โรงพิมพA สกสค. ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 32

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ ภาคผนวก ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 33

02 เฉลย แบบฝ0กทักษะท่ี 1.1 เรอื่ ง จุดก่งึ กลางของสวA นของเสCนตรง ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 1. จงหาจดุ กงึ่ กลางของสวL นของเสน[ ตรงทเ่ี ช่ือมระหวาL งจุดแตLละคLตู Lอไปน้ี 1.) æ 1 , 2 ö และ (3, -1) 2.) æ 3, - 5 ö และ (-3, -9) ç 2 ÷ ç 2 ÷ è ø è ø วิธที ำ ������ = !\"!\" = $ !0, − !#\"% # % #!('() ( ������ = # = # ตอบ \"\"! , $#$ 3.) (-1, -3) และ (5, 3) 4.) (-3, -2) และ (-1, -1) (2,0) !−2, − \"!% 2. จดุ M เปaนจุดกงึ่ กลางของสLวนของเส[นตรง PQ จงหาพกิ ดั ของจุด P ถ[า 1.) จดุ M มพี กิ ดั เปนa (1, 2) และจดุ Q มีพกิ ัดเปaน (3, 4) วธิ ที ำ จดุ กึง่ กลาง ������(1,2) ระหวLาง ������(������, ������) กับ ������(3,4) น่นั คอื 1 = $%\" , 2 = &%# \" ! ������ = −1 , ������ = 0 ดังนน้ั ������(������, ������) = ������(−1,0) ตอบ พกิ ดั P คือ (-1,0) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 34

02 2.) จดุ M มพี ิกดั เปaน (5, 6) และจดุ Q มีพกิ ัดเปนa (15, -4) ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ วธิ ีทำ จดุ กงึ่ กลาง ������(5,6) ระหวาL ง ������(������, ������) กบั ������(15, −4) $%'( &)# น่นั คอื 5 = ! , 6 = ! ������ = −5 , ������ = 16 ดงั นั้น ������(������, ������) = ������(−5,16) ตอบ พิกดั P คอื (-5,16) 3.) จุด M มีพกิ ดั เปนa (− \" , !\") และจุด Q มีพกิ ัดเปนa (#\" , !() ! วธิ ีทำ จดุ ก่ึงกลาง ������ !− \" , \"!% ระหวาL ง ������(������, ������) กับ ������(#\" , !() ! $%!\" &%$# นัน่ คอื − \" = ! , ! = ! ! \" '\" * ������ = − \" , ������ = − + ดังนัน้ ������(������, ������) = ������ .− 13 , − 67/ 3 ตอบ พกิ ัด P คือ !− '\" , − *+% \" 4.) จุด M มพี ิกัดเปนa (3������, −2������) และจุด Q มพี กิ ดั เปนa (!0 , − \"1) วธิ ีทำ จุดก่ึงกลาง ������(−3������, −2������) ระหวLาง ������(������, ������) กับ ������(!0 , − \"1) $%$% &)\"& นั่นคือ −3������ = ! , −2������ = ! ,������ = − '\"0 ������ = − ''1 ! \" ดงั น้ัน 13������ 131������/ ������(������, ������) = ������ .− 2 , − ตอบ พกิ ัด P คือ !− '\"0 , − '\"'0% ! ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 35

02 3. หาจดุ ซ่ึงแบงL ภายในสวL นของเสน[ ตรง A(-3, 4) และ B(13, 12) ออกเปaน 3:5 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ วิธีทำ ให[จุด (x,y) เปaนจุดภายในของสวL นของเส[นตรง ���##���#���#��� 5'6$%5$6' 5'7$%5$7' 5'%5$ 5'%5$ จาก ,������= ������ = ('\")(\")%()\")(() ('!)(\")%(#)(() \"%( \"%! จะได[ ,������= ������ = ������ = 3 , ������ = 7 ตอบ จุดแบงL ภายในของ ���##���#���#��� คือ (3,7) 4. จงหาพกิ ดั ของจดุ ซึ่งแบLงภายในสวL นของเส[นตรง A (a+3b, 2a-b) และ B (a+6b, 8a-b) ออกเปaน 2:3 วิธที ำ ใหจ[ ุด (x,y) เปaนจุดภายในของสLวนของเส[นตรง ���##���#���#��� 5'6$%5$6' 5'7$%5$7' 5'%5$ 5'%5$ จาก ,������= ������ = (!)($%+&)%(\")($%\"&) (!)(:$)&)%(\")(!$)&) !%\" !%\" จะได[ ,������= ������ = ������ = !$%'!&%\"$%;& , ������ = '+$)!&%+$)\"& !%\" !%\" ($%!'& !!$)(& ������ = ( , ������ = ( ตอบ จุดแบLงภายในของ ���##���#���#��� คือ ($%!'& , !!$)(& ( ( ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 36

02 เฉลย แบบฝก0 ทักษะที่ 1.2 เรอ่ื ง โจทยGปIญหาจุดกึ่งกลางของสวA นของเสCนตรง ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 1. จงแสดงวLาจดุ กง่ึ กลางของเส[นทแยงมมุ ของรูปสเ่ี หลีย่ มซึง่ มจี ดุ ยอดที่ A(2,1), B(7,1), C (9, 3) และ D(4, 3) เปaนจดุ เดยี วกัน วิธที ำ กำหนดจุด P(x,y) เปaนจดุ กึ่งกลาง ���<<���<���<��� !%* '' จะได[ ������ = ! = ! ������ = '%\" = 2 ! ดังนนั้ ������(������, ������) = ������ .121 , 2/ กำหนดจดุ Q(a,b) เปนa จุดกงึ่ กลาง <���<���<���<��� %# '' จะได[ ������ = ! = ! ������ = \"%' = 2 ! ดงั นน้ั ������(������, ������) = ������ .121 , 2/ ซง่ึ จดุ P และ Q มพี กิ ดั เดยี วกัน ดังน้นั จุดกง่ึ กลางของเส[นทแยงมุมของรูปส่ีเหลี่ยมนีเ้ ปนa จดุ เดียวกนั ตอบ จดุ กึง่ กลางของเส[นทแยงมุมของรูปสี่เหลย่ี มนเ้ี ปนa จุดเดียวกัน 2. จงหาพกิ ดั ของจุดกงึ่ กลางของสLวนของเสน[ ตรงซ่ึงเชอ่ื มจดุ P1(x1,y1) และ P2(3x1, 3y1) วิธที ำ ให[ ������(������, ������) เปนa จดุ กงึ่ กลางของ ������'(������', ������') กบั ������!(3������', 3������') ������1+3������1 จะได [ ������ = 2 , ������ = 7'%\"' ! ������ = 2������' , ������ = 2������' ดงั นัน้ ������(������, ������) = ������(2������', 2������') ตอบ จดุ กึง่ กลางของสLวนของเส[นตรง คอื ������(2������', 2������') ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 37

02 3. ให[ P มีพิกดั เปนa (2,1) และ Q มพี กิ ดั เปaน (6, 5) จงหาความยาวของสLวนของเสน[ ตรงซ่ึงเชอื่ มจุด ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ A(8, 2) กบั จุดก่งึ กลางของสวL นของเส[นตรง PQ วิธที ำ กำหนด ������(������, ������) เปนa จดุ กง่ึ กลางของ ������(2,1) กับ ������(6,5) ������1+3������1 จะได [ ������ = 2 , ������ = 7'%\"' ! ������ = 2������' , ������ = 2������' ดงั นั้น ������(������, ������) = ������(2������', 2������') คำนวณระยะ AM = >(8 − 4)! + (2 − 3)! = √17 ตอบ ดังนน้ั ���<<���<���<���< ยาว >17 หนLวย ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó 38

02 เฉลย แบบฝก0 ทกั ษะที่ 1.3 เรือ่ ง จดุ ตัดของเสนC มธั ยฐาน ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ 1. จงหาพกิ ัดของจดุ ปลายของเสน[ มธั ยฐานของรูปสามเหลย่ี มทมี่ จี ุดยอดที่ A(4, 9), B(3, 8) และ C (-1,2) วธิ ที ำ กำหนดแตLละจุดดงั รูป โจทยถA ามหาพิกดั ของ ������B, ���B���, ������B )'%\" คำนวณหา ������B จะได[ ������ = ! = 1 ������ = !%: = 5 ! คำนวณหา ���B��� จะได[ ������ = )'%# = \" ! ! ;%! '' ������ = ! = ! คำนวณหา ������B จะได[ ������ = #%\" = * ! ! ;%: '* ������ = ! = ! ตอบ พิกดั ������B (1,5) ���$��� (\"! , '!') และ ������B (*! , '!*) 2. ให[ A(-4, 3), A(4, 5), C (8,11) และ D(-8, 7) เปaนจดุ ยอดของส่ีเหล่ยี มและ P , Q , R และ S เปนa จุด ก่งึ กลางของด[าน A B, BC , C D และ DA ตามลำดับ จงหาความยาวของเส[นรอบรูปสเ่ี หลย่ี ม PQ R S วธิ ที ำ คดิ ท่ีจดุ ������ : ������ = #%: = 6 ! '%( ������ = ! = 8 ∴ ������ = (6,8) คิดท่จี ดุ ������ : ������ = )#%# = 0 จะได[ ������ (6,8) และ ������ (−2,6) ! คำนวณหาระยะตาL งๆจะได[ )\"%( ������ = ! = 1 ������������ = √85 ∴ ������ = (0,1) ������������ = √37 ������������ = √85 ������������ = √37 ดังนั้น ความยาวรอบรูป = 2√37 + 2√85 ตอบ ความยาวรอบรูปเทLากับ 2√37 + 2√85 ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 39

02 3. จงหาความยาวของสวL นของเส[นตรงท่เี ชอ่ื มจดุ A(8, 2) กับจดุ กึ่งกลางระหวาL ง P(2, 1) และ Q(6, 5) ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ วิธีทำ กำหนด ������(������, ������) เปนa จุดกึง่ กลางของ ������(2,1) กบั ������(6,5) 2+6 จะได [ ������ = 2 = 4 ������ = '%( = 3 ! ดังนัน้ ������(������, ������) = ������(4,3) คำนวณระยะ RA จะได[ ������ = >(8 − 4)! + (2 − 3)! ������ = √16 + 1 ������ = √17 ตอบ ความยาวของสLวนของเส[นตรง เทLากบั 2√37 + 2√85 4. วงกลมวงหนงึ่ มีจดุ (1, -2) เปนa จุดศนู ยAกลาง จุดปลายเส[นผLานศนู ยกA ลางดา[ นหนง่ึ เปaน (-3, 4) จงหาจดุ ปลายอีก ด[านหนึ่งของเสน[ ผาL นศนู ยกA ลาง วธิ ที ำ กำหนดจุด ������(������, ������) เปนa จดุ อีกด[านของเส[นผาL นศูนยAกลาง ณ จดุ ศูนยกA ลาง 1 = −3+������ , −2 = #%7 2 ! ������ = 5 , ������ = −8 ดงั นั้น ������(������, ������) = ������(5, −8) ตอบ จดุ ปลายอกี ดา[ นหนงึ่ ของเสน[ ผLานศนู ยAกลาง คอื (5,8) 5. ถ[าจดุ (3, 5) เปนa จุดกึง่ กลางของเสน[ เชื่อมจดุ (2, a) และ (b, 4) แล[ว a + b เทาL กบั เทLาใด วธิ ที ำ กำหนด ������(3,5) , ������(2, ������) , ������(������, 4) เน่อื งจาก ������(3,5) เปนa จดุ ศนู ยAกลาง จะได [ 3 = 2+������ , 5 = $%# 2 ! ������ = 4 , ������ = 6 ดังนั้น ������ + ������ = 6 + 4 = 10 ตอบ a + b เทLากับ 10 ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 40

02 เฉลยคำตอบแบบทดสอบก+อน-หลงั เรยี น ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ เรื่อง จดุ กง่ึ กลางของส+วนของเส?นตรง เฉลย แบบทดสอบก+อนเรยี น เฉลย แบบทดสอบหลังเรียน ขอD ก ข ค ง ขDอ ก ข ค ง 1O 1O 2O 2O 3O 3O 4O 4O 5O 5O 6O 6O 7O 7O 8O 8O 9O 9O 10 O 10 O เกณฑทB ่ีใช?ในการประเมนิ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ผา# นรอ' ยละ 70 ของคะแนนสอบ ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 41

02 ب´ èÖ¡§¡ÅÒ§¢Í§ èÊǹ¢Í§à éʹµÃ§ µÒÃÒ§º¹Ñ ·¡Ö ¤Ðá¹¹ Ẻ½Ö¡·¡Ñ ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì àÃè×ͧ ¤ÇÒÁÃÙéàºÍé× §µé¹à¡ÕèÂÇ¡ºÑ àâҤ³µÔ ÇÔà¤ÃÒÐËì ÊÓËÃѺ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ªé¹Ñ Á¸Ñ ÂÁÈÖ¡ÉÒ»·Õ Õè 4 àÅèÁ·èÕ 2 ¨´Ø ¡§èÖ ¡ÅÒ§¢Í§Êèǹ¢Í§àÊ鹵ç ªè×Í ..................................................................... ª¹éÑ .................. àÅ¢·.èÕ .................. ËÁÒÂà赯 ¼Å¡Òþ²Ñ ¹Ò = (¤Ðá¹¹ËÅѧàÃÕ¹ #¤Ðá¹¹¡è͹àÃÂÕ ¹) ×100 ¤Ðá¹¹àµçÁ ŧª×Íè .................................................. ¼ÙÊé ͹ (¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó) ¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊÁØ ÅÇÃó 42

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความรเู้ บ้ืองตน้ เก่ยี วกบั เรขาคณิตวิเคราะห์