6 เส้นตรง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความรู้เบื้องตน้ เก่ยี วกับเรขาคณติ วิเคราะห์ เลม่ ที่ 6 เร่ือง เสน้ ตรง นางสาวปณพร สมุ ลวรรณ ตาํ แหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครชู าํ นาญการ

06 à éʹµÃ§ ¤Ó¹Ó ÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙ餳ԵÈÒʵÃìà»ç¹ÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙéËÅÑ¡·ÕèÊӤѭã¹ËÅÑ¡ÊÙµÃ᡹¡ÅÒ§¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ¢éѹ ¾×é¹°Ò¹¾Ø·¸ÈÑ¡ÃÒª 2551 «Ö觪èÇÂ㹡ÒþѲ¹Ò¤ÇÒÁ¤Ô´¢Í§Á¹ØÉÂì ·ÓãËé¤Ô´ÍÂèÒ§ÁÕà˵ؼŠà»ç¹Ãкº áÅÐà»ç¹ ¾×鹰ҹ㹡ÒÃàÃÕ¹ÇÔªÒÍ×è¹ â´Â¸ÃÃÁªÒµÔ¢Í§ÇÔªÒ¤³ÔµÈÒʵÃìà»ç¹ÇÔªÒ·ÕèÁÕÅѡɳÐà»ç¹¹ÒÁ¸ÃÃÁ µéͧ¤Ô´¤Ó¹Ç³ ¨Ö§µéͧÍÒÈÑ·ӫéÓæ «Öè§à»ç¹¡Òý֡ãËéà¡Ô´·Ñ¡ÉÐ ¨¹à¡Ô´¤ÇÒÁà¢éÒã¨áÅЪӹҭ 㹡ÒäԴ¤Ó¹Ç³ä´éÍÂèÒ§ ÃÇ´àÃÇç Ẻ½Ö¡·¡Ñ ÉФ³ÔµÈÒʵÃì àÃÍ×è § ¤ÇÒÁÃÙéàºÍé× §µÑ¹à¡ÕÂè Ç¡ºÑ àâҤ³µÔ ÇÔà¤ÃÒÐËì ÊÓËÃºÑ ¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ªé¹Ñ ÁѸÂÁÈÖ¡ÉÒ»Õ·Õè 4 ¨Ñ´·Ó¢Öé¹à¾×èÍãªé»ÃСͺ¡ÒèѴ¡Ô¨¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙé ÇÔªÒ¤³ÔµÈÒʵÃìà¾ÔèÁàµÔÁ ÁØè§ãËé¼ÙéàÃÕ¹ÁÕ ¤ÇÒÁÃÙé¾×é¹°Ò¹¡Òäӹdz ÁÕ·Ñ¡ÉСÃкǹ¡Ò÷ҧ¤³ÔµÈÒʵÃì ÊÒÁÒöá¡è⨷Âì»Ñ­ËÒä´é¶Ù¡µéͧ ¾Ñ²¹Ò ·Ñ¡ÉСÃкǹ¡ÒäԴÍÂèÒ§ÁÕà˵ؼŠàª×èÍÁ⧤ÇÒÁÃÙéä´éÍÂèÒ§ÊÃéÒ§ÊÃÃ¤ì «Öè§à»ç¹¾×é¹°Ò¹¡Òäӹdz áÅÐÁÕ·Ñ¡ÉÐ ¡Ãкǹ¡ÒäԴã¹ÃдѺ·èÕÊÙ§¢Öé¹ä» »ÃСͺ´Çé ÂẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉШӹǹ 7 àÅèÁ ´Ñ§¹éÕ àÅèÁ·Õè 1 ÃÐÂзҧÃÐËÇèÒ§¨´Ø Êͧ¨´Ø àÅèÁ·èÕ 2 ¨´Ø ¡§Öè ¡ÅÒ§¢Í§ÊÇè ¹¢Í§àÊ鹵ç àÅèÁ·èÕ 3 ¤ÇÒÁªÑ¹¢Í§àÊ鹵ç àÅèÁ·èÕ 4 àÊ¹é ¢¹Ò¹ àÅÁè ·èÕ 5 àÊ¹é µ§Ñé ©Ò¡ àÅÁè ·Õè 6 àÊ鹵ç àÅÁè ·èÕ 7 ÃÐÂÐËÒè §ÃÐËÇÒè §àÊ¹é µÃ§¡ºÑ ¨´Ø ¢éÒ¾à¨éÒËÇѧÍÂèÒ§ÂÔè§ÇèÒẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì àÃ×èͧ ¤ÇÒÁÃÙéàº×éͧµé¹à¡ÕèÂÇàâҤ³ÔµÇÔà¤ÃÒÐËì ÊÓËÃѺ¹Ñ¡àÃÕ¹ªÑé¹ÁѸÂÁÈÖ¡ÉÒ»Õ·Õè 4 ¹Õé ¨Ðà»ç¹Êèǹ˹Ö觢ͧà¤Ã×èͧÁ×Í·Õè¨ÐªèÇÂãËé¼ÙéàÃÕ¹à¡Ô´¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙéÍÂèÒ§ ÊÁºÙóì Á»Õ ÃÐÊÔ·¸ÀÔ Ò¾ áÅФ§àÍéÍ× »ÃÐ⪹áì ¡¹è Ñ¡àÃÕ¹ ¤ÃÙ¼ÙÊé ͹¤³µÔ ÈÒʵÃáì ÅмÙé·Õèʹ㨵ÒÁÊÁ¤Çà ¢Í¢Íº¤Ø³¼Ù·é Õèà¡èÂÕ Ç¢Íé §·èáÕ ¹Ð¹ÓáÅЪèÇÂàËÅ×Í¡ÒèѴ·ÓẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉÐàÅèÁ¹éÕÁÒ ³ âÍ¡ÒʹÕé »³¾Ã ÊØÁÅÇÃó µÓáË¹è§ ¤ÃÙ ÇԷ°ҹР¤ÃÙªÓ¹Ò­¡Òà KRU IU 1

ÊÒú­Ñ 06à éʹµÃ§ ¤Ó¹Ó ˹Òé ÊÒúѭ 1 ¤ÓªéÕᨧ 2 ¤ÓªÕéᨧÊÓËÃѺ¤ÃÙ 3 ¤ÓªÕéᨧÊÓËÃѺ¹¡Ñ àÃÕ¹ 4 ¤Óá¹Ð¹Ó¡ÒÃãªéẺ½¡Ö ·¡Ñ ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì 5 ¨Ø´»ÃÐʧ¤ì¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙé 6 Ẻ·´Êͺ¡Íè ¹àÃÕ¹ àÃÍè× § àÊ¹é µÃ§ 7 㺤ÇÒÁÃÙé·Õè 1.1 8 㺤ÇÒÁÃÙ·é Õè 1.2 11 Ẻ½¡Ö ·¡Ñ ÉÐ 13 Ẻ·´ÊͺËÅѧàÃÂÕ ¹ àÃè×ͧ àÊ¹é µÃ§ 21 ºÃóҹءÃÁ 27 ÀÒ¤¼¹Ç¡ 30 31 Ø à©ÅÂẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉÐ 32 Ø à©ÅÂẺ·´Êͺ¡Íè ¹-ËÅѧàÃÂÕ ¹ 38 Ø µÒÃÒ§ºÑ¹·¡Ö ¤Ðá¹¹ 39 KRU IU 2

06 ¤ÓªÕáé ¨§ à éʹµÃ§ ¡ÒÃãªéẺ½Ö¡·¡Ñ ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì ¤ÃÙáÅй¡Ñ àÃÂÕ ¹µéͧ·Ó¤ÇÒÁà¢Òé 㨺·ºÒ·¢Í§µ¹àͧ à¾Íè× ´Óà¹¹Ô ¡Ô¨¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙéãËéºÃÃÅصÒÁµÇÑ ªÕÇé ´Ñ áÅÐÁ»Õ ÃÐÊÔ·¸ÀÔ Ò¾´§Ñ ¹Õé º·ºÒ·¢Í§¤ÃÙ : 1. ¤Ùõéͧ·Ó¤ÇÒÁà¢éÒ㨤ÙèÁ×ͤÃÙáÅÐá¼¹¡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙéãËéà¡Ô´¤ÇÒÁà¢éÒã¨ÍÂèÒ§ªÑ´à¨¹ à¾×èÍãËé ÊÒÁÒö¹ÓẺ½Ö¡·¡Ñ ÉФ³µÔ ÈÒʵÃìáµÅè ÐàÅÁè 仨Ѵ¡Ô¨¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙãé ´éÍÂÒè §ÁÕ»ÃÐÊ·Ô ¸ÔÀÒ¾µÍè ä» 2. ãËé¤Óá¹Ð¹Óá¡è¹Ñ¡àÃÕ¹¢³Ð·ÕèãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìµÒÁ¤Óá¹Ð¹Ó·Õè¡Ó˹´äÇéËÃ×ÍàÁè×Í ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹µéͧ¡ÒäÇÒÁªÇè ÂàËÅ×Í 3. »ÃÐàÁÔ¹¼Å¡ÒÃàÃÕ¹¢Í§¹Ñ¡àÃÕ¹ËÅѧ¨Ò¡ãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì à¾×è͵ÃǨÊͺ¤ÇÒÁà¢éÒã¨ÍÕ¡ ¤Ã§éÑ Ë¹§Öè º·ºÒ·¢Í§¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ : 1. È¡Ö ÉÒ¤ÙÁè ×͹¡Ñ àÃÕ¹ãËàé ¢Òé 㨡Íè ¹·èÕ¨ÐŧÁ×Í·ÓẺ½Ö¡·¡Ñ ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì 2. ·ÓẺ½¡Ö ·¡Ñ ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì 3. »Ã¡Ö ÉÒ¤ÃÙàÁèÍ× ÁÕ»­Ñ ËÒ㹡ÒÃãªáé ºº½Ö¡·Ñ¡ÉФ³µÔ ÈÒʵÃìËÃÍ× àÁè×ÍÁջѭËÒÍ×¹è æ㹡ÒÃàÃÂÕ ¹ KRU IU 3

06 ¤ÓªáéÕ ¨§ÊÓËÃѺ¤ÃÙ à éʹµÃ§ ªéÕᨧ ÊÓËÃѺ¤ÃÙ·Õèãªáé ºº½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì àÃÍè× § ¤ÇÒÁÃÙàé º×éͧµ¹Ñ à¡ÕèÂǡѺàâҤ³Ôµ ÇàÔ ¤ÃÒÐËì ÊÓËÃºÑ ¹Ñ¡àÃÕ¹ªéѹÁ¸Ñ ÂÁÈÖ¡ÉÒ»Õ·èÕ 4 ÁÕ´§Ñ ¹éÕ 1. ¤ÃÙ¤ÇÃÈÖ¡ÉÒÇÔ¸Õ¡ÒÃãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì á¼¹¡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙé ÇÔ¸Õ¡ÒÃÊ͹ ÇÔ¸ÕÇ´Ñ áÅлÃÐàÁÔ¹¼Å ¢Í§áºº½¡Ö ·Ñ¡ÉÐãËàé ¢Òé 㨪Ѵਹ 2. ¤ÃÙ¤Çä鹤ÇÒé áÅÐÍèÒ¹à¹Í×é ËÒ·èÕà¡ÕèÂÇ¢éͧà¾ÔèÁàµÔÁ 3. ¤ÃÙ¤ÇÃàµÃÕÂÁ¡ÒÃÊ͹Åèǧ˹éÒ àµÃÕÂÁʶҹ·Õè µÅÍ´¨¹Ê×èÍ¡ÒÃÊ͹µèÒ§æ·Õèãªé㹡Òà ¨Ñ´¡Ô¨¡ÃÃÁ¡ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙéâ´ÂãªéẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³µÔ ÈÒʵÃãì Ëé¾ÃéÍÁ 4. ¤ÃÙªÕéᨧº·ºÒ·¢Í§¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ã¹¡ÒÃàÃÕ¹â´Âãªáé ºº½Ö¡·¡Ñ ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì 5. ¤ÃÙÁÕº·ºÒ·à¾Õ§¼Ùéá¹Ð¹ÓàÁ×è͹ѡàÃÕ¹ÁջѭËÒ㹡ÒÃãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì à·Òè ¹¹éÑ áµÁè Ôä´Êé ͹¹Ñ¡àÃÕ¹ã¹à¹×Íé ËҢͧẺ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì 6. ÊèÔ§·¤Õè ÃÙµéͧàµÃÂÕ Á 6.1) Ẻ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì áÅÐẺ·´ÊͺãËéà¾Õ§¾ÍµèͤÇÒÁµéͧ¡Òâͧ ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ KRU IU 4

06 ¤ÓªéáÕ ¨§ÊÓËÃѺ¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ à éʹµÃ§ à¾×èÍãËé¡ÒÃãªéẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìàÅèÁ¹Õéà»ç¹ä»µÒÁÇѵ¶Ø»ÃÐʧ¤ì㹡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙé ¢Í§¤ÃÙáÅÐà¡´Ô »ÃÐ⪹ìÊÙ§Ê´Ø µÍè ¡ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙ¢é ͧ¹Ñ¡àÃÕ¹ ¨Ö§ãËé¹Ñ¡àÃÂÕ ¹»¯ÔºµÑ µÔ ÒÁÅӴѺ´Ñ§¹Õé 1. ¹Ñ¡àÃÕ¹áµèÅФ¹ÍèÒ¹¤ÓªÕéᨧÇÔ¸Õ¡ÒÃàÃÕ¹ãËéà¢éÒ㨡è͹·Õè¨ÐàÃÔèÁàÃÕ¹ â´Âµéͧ·Ó µÒÁÅӴѺ¢¹Ñé µÍ¹ã¹¤ÓªáéÕ ¨§Ç¸Ô ¡Õ ÒÃ㪨é зÓãËéà¢éÒ㨧Òè ¢Öé¹ 2. µ§Ñé ã¨È¡Ö ÉÒ㺤ÇÒÁÃÙãé ËéàÊÃ¨ç ·¹Ñ àÇÅÒ·Õ¤è ÃÙ¡Ó˹´ 3. àÃÔèÁ·Ó¡Ô¨¡ÃÃÁã¹áºº½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìËÅѧ¨Ò¡ÈÖ¡ÉÒ㺤ÇÒÁÃÙé´éǤÇÒÁµÑé§ã¨ ËÒ¡ÁջѭËÒÊÒÁÒö¡Á×ÍÊͺ¶ÒÁ¤ÃÙä´é 4. ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹µÍé §àÃÂÕ ¹´Çé ¤ÇÒÁµ§Ñé ã¨áÅÐäÁèàÅè¹ËÃÍ× ¤ÂØ ¡ºÑ à¾Íè× ¹ã¹ÃÐËÇÒè §àÃÂÕ ¹ 5. ¹Ñ¡àÃÕ¹¤ÇÃÁÕ¤ÇÒÁ«×èÍÊѵÂìµè͵¹àͧ äÁèÅÍ¡¤ÓµÍº¨Ò¡à¾×è͹ËÃ×Íà©Å¨¹¡ÇèÒ¨Ð·Ó áºº·´ÊͺàÊèç àÊÂÕ ¡è͹ 6. ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹ÊÒÁÒö·º·Ç¹à¹×éÍËÒä´éµÅÍ´àÇÅÒ KRU IU 5

06 ¤Óá¹Ð¹Ó¡ÒÃãªáé ºº½Ö¡·Ñ¡ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì àÃÍè× § ¤ÇÒÁÃÙéàºé×ͧµé¹ à éʹµÃ§ à¡ÕÂè Ç¡ºÑ àâҤ³µÔ ÇàÔ ¤ÃÒÐËì ÊÓËÃѺ¹Ñ¡àÃÕ¹ªé¹Ñ ÁѸÂÁÈÖ¡ÉÒ»Õ·èÕ 4 àÅÁè ·èÕ 6 àÊ¹é µÃ§ 1. Ẻ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì¹ÕéãªéàÇÅÒ 2 ¤Òº â´Â¹Ñ¡àÃÕ¹ÍèÒ¹¤ÓªÕéᨧãËéà¢éÒ㨡è͹ŧ ·Ó¡Ô¨¡ÃÃÁ 2. ãËé¹Ñ¡àÃÂÕ ¹·ÓẺ·´Êͺ¡Íè ¹àÃÂÕ ¹ à¾è×ÍÇÑ´¤ÇÒÁÃÙàé ºÍé× §µ¹é ¢Í§¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ 3. ÈÖ¡ÉÒÊÒÃÐÊӤѭ ¨Ø´»ÃÐʧ¤ì¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙéáÅÐà¹×éÍËÒÍÂèÒ§ÅÐàÍÕ´¡è͹·Ó¡Ô¨¡ÃÃÁ㹠Ẻ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì 4. àÁ×èÍ·ÓàÊÃç¨ãËé¹Ñ¡àÃÕ¹µÃǨ¤ÓµÍº ¶éҹѡàÃÕ¹ÁÕ¢éÍʧÊÑÂã¹¢Ñ鹵͹㴢Ñ鹵͹˹Öè§ã¹ Ẻ½¡Ö ·¡Ñ ÉФ³ÔµÈÒʵùì Ñ¡àÃÂÕ ¹ÊÒÁÒö«Ñ¡¶ÒÁ»­Ñ Ëҹѹé æ¨Ò¡à¾è×͹ ËÃ×ͤÃÙ¼ÙÊé ͹ 5. ËÅѧ¨Ò¡·Õè¹Ñ¡àÃÕ¹ä´éÈÖ¡ÉÒẺ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃìàÊÃç¨áÅéÇ ãËé¹Ñ¡àÃÕ¹·Ó Ẻ·´ÊͺËÅѧàÃÂÕ ¹ µÃǨÊͺ¤ÇÒÁà¢éÒ㨢ͧµ¹àͧÁÒ¡¢é¹Ö 6. ¹¡Ñ àÃÕ¹ÊÒÁÒö·º·Ç¹à¹é×ÍËÒä´é KRU IU 6

06 ¨Ø´»ÃÐʧ¤¡ì ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙé à éʹµÃ§ Ẻ½Ö¡·Ñ¡ÉФ³ÔµÈÒʵÃì àÃ×èͧ ¤ÇÒÁÃÙéàº×éͧµé¹à¡ÕèÂǡѺàâҤ³ÔµÇÔà¤ÃÒÐËì ÊÓËÃѺ ¹Ñ¡àÃÕ¹ªÑ¹é ÁѸÂÁÈ¡Ö ÉÒ»Õ·Õè 4 àÅèÁ·Õè 6 àÊ鹵ç Á¨Õ Ø´»ÃÐʧ¤¡ì ÒÃàÃÂÕ ¹ÃÙ´é ѧ¹Õé ´Òé ¹¤ÇÒÁÃÙé 1. ËÒ¤ÇÒÁªÑ¹¢Í§àÊ¹é µÃ§ ÊÁ¡ÒÃàÊ¹é µÃ§ àÊ¹é ¢¹Ò¹ áÅÐàÊ¹é µéѧ©Ò¡ä´é 2. ãªé¤ÇÒÁÃÙéà¡ÕèÂǡѺ¤ÇÒÁªÑ¹¢Í§àÊ鹵ç ÊÁ¡ÒÃàÊ鹵ç àÊé¹¢¹Ò¹ áÅÐ àÊ¹é µ§éÑ ©Ò¡á¡âé ¨·Â»ì ­Ñ ËÒä´é ´éÒ¹·Ñ¡ÉÐ / ¡Ãкǹ¡Òà : ¹¡Ñ àÃÂÕ ¹Á¤Õ ÇÒÁÊÒÁÒö 1. ¡ÒÃá¡»é Ñ­ËÒ 2. ¡ÒÃãËàé ˵¼Ø Å ´éÒ¹¤³Ø Å¡Ñ É³ÐÍ¹Ñ ¾§Öè »ÃÐʧ¤ì 1. ¤ÇÒÁ«Íè× ÊµÑ ÂìÊ¨Ø ÃµÔ 2. ÁÃÕ ÐàºÂÕ ºÇÔ¹ÂÑ 3. ¡Ò÷ӧҹÃÇè Á¡ºÑ ¼ÙéÍ×¹è 4. Á§Øè Áè¹Ñ 㹡Ò÷ӧҹ KRU IU 7

06 แบบทดสอบกอ( นเรียน เลม( ที่ 6 เรื่อง เส5นตรง à éʹµÃ§ คำชแี้ จง 1. แบบทดสอบฉบับนี้เป]นแบบทดสอบ 4 ตัวเลอื กจานวน 10 ขอ* ขอ* ละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน 2. นกั เรียนทำเครือ่ งหมายกากบาท (O ) ขอ* ที่ถูกทสี่ ดุ ลงในกระดาษคำตอบ 1. จงหาสมการเสน* ตรงทผี่ า1 นจดุ (-2,-1) และมคี วามชันเท1ากบั -3 ก. 3x + y + 7 = 0 ข. 3x - y + 7 = 0 ค. 2x + y + 3 = 0 ง. 2x + y - 3 = 0 2. ถ*าสมการ ax + 10y = 6 ขนานกับเสน* ตรง x + 2y = 8 จงหาค1า a ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6 3. ถา* สมการ 3x + by = 5 ตั้งฉากกบั เส*นตรง 5x + 3y – 8 = 10 จงหาคา1 b ก. -4 ข. -5 ค. -6 ง. -7 4. จงหาสมการของเสน* ตรงท่ลี ากผ1านจดุ (1,2) และ (4,3) ก. x - 3y - 13 = 0 ข. x - 3y + 9 = 0 ค. x - 3y - 7 = 0 ง. x - 3y + 5 = 0 5. จงหาสมการเส*นตรงทม่ี ีความชนั เท1ากบั -1 และผ1านจดุ กง่ึ กลางของเสน* ตรงเช่อื มจุด A(3,1) และ B(1,5) ก. x + y + 1 = 0 ข. x + y - 1 = 0 ค. x + y - 5 = 0 ง. x + y + 5 = 0 KRU IU 8

06 à éʹµÃ§ 6. จงหาสมการเสน* ตรงทมี่ ีผ1านจุด (4,-3) และขนานกบั เสน* ตรงท่ลี ากผา1 นจุด A(-1,5) และ B(2,-4) ก. 3x + y - 9 = 0 ข. 3x + y + 9 = 0 ค. x + 3y - 9 = 0 ง. x + 3y - 9 = 0 7. จงหาสมการเส*นตรงทม่ี ผี า1 นจดุ (-4,-5) และตั้งฉากกบั เส*นตรงทล่ี ากผ1านจุด A(1,2) และ B(6,5) ก. 5x + 3y - 5 = 0 ข. 5x + 3y + 35 = 0 ค. 3x + 5y - 5 = 0 ง. 3x + 5y - 35 = 0 8. ถา* เสน* ตรง kx – 4y – 5 = 0 ขนานกับเส*นตรงทลี่ ากผา1 นจดุ A(7,4) และ B(3,1) แล*ว k2+1 ตรงกับขอ* ใด ก. -8 ข. 8 ค. -10 ง. 10 9. ถ*าเส*นตรง mx + 5y – 6 = 0 ตง้ั ฉากกับเส*นตรงที่ลากผ1านจุด A(-1,2) และ B(1,7) แลว* m2+1 ตรงกบั ข*อใด ก. 2 ข. 3 ค. 5 ง. 6 10. เสน* ตรงทลี่ ากผ1านจดุ ของจดุ กง่ึ กลางของสว1 นของเส*นตรงท่ีเชื่อมจุด A(1,2) และ B(3,4) และขนานกบั เส*นตรง ทีล่ ากผา1 นจดุ C(-5,4) และ D(-3,5) ตรงกับสมการขอ* ใด ก. x - 2y + 1 = 0 ข. x - 2y + 2 = 0 ค. x - 2y + 3 = 0 ง. x - 2y + 4 = 0 KRU IU 9

06 กระดาษคำตอบแบบทดสอบกอ/ นเรียน à éʹµÃ§ เล/มที่ 6 เรอื่ ง เสน; ตรง ชื่อ....................................................นามสกลุ .............................................ชัน้ ....................เลขท.่ี ................... ขอ\" ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนเตม็ 10 คะแนน คะแนนท่ีได5 .............. คะแนน เกณฑท> ่ีใช;ในการประเมิน คะแนนเตม็ 10 คะแนน ผา# นรอ' ยละ 70 ของคะแนนสอบ KRU IU 10

06 ใบความร)ูท่ี 1.1 à éʹµÃ§ เรื่อง ความสัมพนั ธGซง่ึ มีกราฟเปLนเสน5 ตรง 1) ความสมั พนั ธซj ึง่ มกี ราฟเป]นเส*นตรงท่ีขนานกบั แกน X และตดั แกน Y ทีจ่ ุด (0, b) คือ { ( x, y ) | y =b} เชน1 YY 0 X 0 X - - - - 2) ความสมั พันธjซง่ึ มีกราฟเปน] เสน* ตรงทขี่ นานกบั แกน Y คอื { ( x, y ) | x =a } เช1น YY 0 X 0 X - - - - 3) ความสัมพันธjซ่ึงมีกราฟเปน] เส*นตรงที่ไม1ขนานกบั แกน X และไมข1 นานกบั แกน Y ถ*า ( x, y ) เป]นจุดอ่นื ๆ บนเส*นตรง l จะได* m= y- y1 x- x1 สรปุ ความสัมพันธซj ง่ึ มกี ราฟเปน] เสน* ตรงที่มี ความชนั m และผา1 นจดุ ( x1 , y1 ) คือ { ( x, y ) | y - y1 = m( x - x1 )} KRU IU 11

06 สรปุ ลักษณะสมการเส*นตรงแบง1 เปน] 3 แบบ คือ à éʹµÃ§ แบบที่ ลกั ษณะกราฟ ตัวอยIาง y y=a y 1. เส*นตรงขนานแกน x (0, a) x 2 y=2 3 x สมการคือ y = a y y = -3 y 2. เส*นตรงขนานแกน y 4 5 x = -4 x=5 (b, 0) x y x x=b สมการคือ 1 6 y y = mx+1 y = mx+0 3. เส*นตรงทีไ่ ม1ขนานทง้ั c x x แกน x และ แกน y y = mx-6 สมการคือ y = mx + c สรปุ ง1ายๆนะจqะเด็กๆ 1. ขนานแกน x อยู1ในรูป y= 2. ขนานแกน y อยูใ1 นรปู x= 3. ไม1ขนานอะไรเลย สมการจะมีทง้ั X และ y เขา* ใจไหมเอยr KRU IU 12

06 ใบความร)ทู ่ี 1.2 à éʹµÃ§ เร่อื ง สมการเส5นตรง การหาสมการเส\"นตรงเมอื รคู\" วามชนั และจุดท่เี ส\"นตรงผาI น 1 จุด (Point – Slop form) จาก m= Dy Dx (x, y) y- y1 m= x- x1 (x1, y1) y - y1 = m(x - x1) ดังนนั้ ถา* จะหาสมการเสน* ตรงท่ีมคี วามชัน m และเสน* ตรงผ1านจุด (x1,y1) จะหาจาก y - y1 = m(x - x1) ------------(1) การหาสมการเสน\" ตรงเม่อื รค\"ู วามชนั และระยะตัดแกน y (Slope – intercept form) y ถ*าจะหาสมการเส*นตรงที่มีความชนั m และมรี ะยะตดั แกน y คอื c จะหาจาก y = mx + c ------------(2) cx การหาสมการเส\"นตรงเมอื่ ร\"ูระยะตัดแกน x และ ระยะตดั แกน y (Intercept form) y ถา* จะหาสมการเส*นตรงที่ระยะตัดแกน x = a และ ระยะตดั แกน y = b จะหาจาก b x + y = 1 ------------(3) a a b x KRU IU 13

06 สมการเส\"นตรงรูปแบบทั่วไป à éʹµÃ§ จากสมการ (1), (2) และ (3) เราสามารถจดั สมการทัง้ สามใหอ* ยใ1ู นรูปสมการเส*นตรงรปู ท่ัวไป คอื A x + By + C = 0 โดย A และ B ไม1เป]นศูนยพj รอ* มกันได* ซ่งึ การหาความชันและระยะตัดแกน y จากสมการรปู ทั่วไปจะหาจาก m= - A B ระยะตดั แกน y = - C B รปู แบบ ขอ\" มลู ทีต่ อ\" งร\"ู สูตร Point – Slope form 1. ความชัน (m) y - y1 = m(x - x1) Slope – intercept form 2. จดุ ผา1 น (x1,y1) y = mx + c 1. ความชนั (m) Intercept form 2. ระยะตัดแกน y (c) x + y = 1 1. ระยะตัดแกน x (a) a b 2. ระยะตัดแกน y (b) หมายเหตุ : หาระยะตดั แกน y ใหแ* ทน x = 0 ในสมการ หาระยะตัดแกน x ให*แทน y = 0 ในสมการ ตวั อยIางที่ 1 จงหาความชันของเส*นตรงท่มี ีสมการ 2x - 3y = 4 และจดุ ท่เี ส*นตรงนต้ี ัดแกน x และแกน y วิธีทำ จากสมการจัดรปู เพอ่ื หาความชัน 2������ − 3������ = 4 3������ = 2������ − 4 !\" !$ ������ = # − ∴ ������% = ! # หาจดุ ตดั แกน x แทน y = 0 หาจดุ ตัดแกน y แทน x = 0 จะได* 2������ = 4 จะได* −3������ = 4 ! \" ������ = 2 ������ = − ดงั นนั้ จุดตดั แกน x คอื (2,0) ดังน้นั จุดตัดแกน y คือ çæ 0,- 4 ÷ö è 3 ø ตอบ ความชันเท1ากับ ! , จุดตดั แกน y คอื (2,0) จุดตดั แกน y คือ æç 0,- 4 ÷ö # è 3 ø KRU IU 14

06 ตวั อย&างที่ 2 จงหาความชันของเสน* ตรงที่มีสมการเป]น x + 2y = 1 และจดุ ท่เี สน* ตรงตัดแกน y à éʹµÃ§ (ลองทําเองนะคะ คนเก่ง ) ตัวอยา& งท่ี 3 จงหาสมการเสน* ตรงทส่ี อดคล*องกับเง่อื นไขตอ1 ไปน้ี 1.) มีระยะตัดแกน x และ y เป]น 3 และ -4 ตามลำดบั วิธที ำ ใช* Intercept from : x + y = 1 a b จากโจทยj a = 3 , b = -4 แทนค1า x - y =1 3 4 4x - 3y = 12 ® 4x - 3y -12 = 0 ตอบ สมการเสน* ตรง คอื 4x-3y-12=0 2.) ความชันเป]น -2 และระยะตัดแกน x เปน] 4 วิธีทำ ใช* Point – Slope form : y - y1 = m(x - x1) จากโจทยj m=-2 จดุ ผา1 น (4,0) y - y1 = m(x - x1 ) y = -2(x - 4) y = -2x + 8 y + 2x -8 = 0 ตอบ สมการเส*นตรง คอื y+2x-8=0 KRU IU 15

06 3.) ผ1าน (3,1), (-5, 4) à éʹµÃ§ วิธีทำ หาความชนั จากจุดสองจดุ หาสมการโดยใช* Point – Slope form : y - y1 = m(x - x1) m = Dy y - y1 = m(x - x1 ) Dx 3 m = 4 -1 y - 1 = - 8 (x - 3) -5-3 8y - 8 = -3x + 9 3 m = - 8 3x + 8 y -17 = 0 ตอบ สมการเสน* ตรง คอื 3x+8y-17=0 4.) ผ1านจดุ (2, -3) และขนานกับเส*นตรง x + 3y - 4 = 0 วธิ ที ำ เน่อื งจากเสน* ตรง 2 เสน* ขนานกันความชนั จะเท1ากนั คอื m = -A = -1 B 3 นน่ั คอื สมการโดยใช* Point – Slope form : y - y1 = m(x - x1) y - y1 = m(x - x1 ) y + 3 = -1 (x - 2) 3 3y + 9 = -x + 2 x + 3y + 7 = 0 ตอบ สมการเส*นตรง คอื x+3y+7=0 5.) ผา1 นจดุ กงึ่ กลา1 งระหวา1 ง (2, 1) กบั (4, -3) และตงั้ ฉากกบั เส*นตรง 2x + y – 1 = 0 วธิ ีทำ กำหนด A(x, y) เป]นจุดก่งึ กลางระหว1าง (2, 1) กบั (4, -3) น่ันคือ x = 2 + 4 = 3 , y = 1- 3 = -1 2 2 \\ A(x, y) = A(3,-1) เน่ืองจากเสน* ตรงตง้ั ฉากกัน เนื่องจาก y - y1 = m(x - x1 ) m1 × m2 = -1 y +1 = 1 (x - 3) 2 - 2 ×m2 = -1 m2 = 1 2y + 2 = x -3 2 2y - x +5 = 0 ตอบ สมการเส*นตรง คอื 2y-x+5=0 ตัวอย&างที่ 4 จงหาค1าความชันของเส*นตรงตอ1 ไปน้ี KRU IU 16

06 1.) x – y – 5 = 0 6.) 5x – 3y + 17 = 0 à éʹµÃ§ 7.) 14y – 7x + 2 = 0 m = -A = -1 =1 8.) y + 3x – 1 = 0 B -1 9.) 2x – 10 = 0 10.) 3y – 4 = 0 2.) 2x + y + 4 = 0 3.) x – 7y – 11 = 0 4.) 7x – 3y + 1 = 0 5.) 7x + y -7 = 0 ตัวอย&างท่ี 5 เส*นตรงชุดใดประกอบกนั เปน] สามเหลย่ี มมุมฉาก Trick จับคู1ความชันที่คณู กนั ได*-1 ให*ได1* ค1ู 1. x – y – 5 = 0 , 3y – 4 = 0 , 2x + y + 4 = 0 ตอบ m1 = 1 , m2 = 0 m3 = -2 2. 5x – 3y + 17 = 0 3x + 5y - 6 = 0 , 5x – 3y – 8 = 0 ตอบ 3. x – 7y – 11 = 0 , 7x – 3y + 1 = 0 , 7x + y – 7 = 0 KRU IU 17

06 à éʹµÃ§ ตอบ x – 2y + 5 = 0 , 3x – 6y – 9 = 0 , 7x – 14y + 5 = 0 4. ตอบ ตัวอย&างที่ 6 สมการเส*นตรงทีผ่ า1 นจุดกึ่งกลา1 งของสว1 นของเส*นตรง A(3, -4), B(-5, 6) และลากไปตง้ั ฉากกบั เสน* ตรง 3x - 5y + 6 = 0 มีสมการเทา1 กบั เท1าใด วิธีทำ กำหนด P(x, y) เป]นจดุ กงึ่ กลางระหวา1 ง A(3, -4) กบั B(-5, 6) จะได* x = 3 - 5 = -1 , y = - 4+ 6 =1 เน่ืองจากเส*นตรงต้ังฉากกัน 2 2 จะได* m1 × m2 = -1 ดังน้นั P(x, y) = P(-1,1) จาก l1 : 3x - 5y + 6 = 0 çæ 3 øö÷m2 = -1 è 5 จะได* m1 = -A = -3 m2 = -5 B -5 3 m1 = 3 ดงั นน้ั y - y1 = m(x - x1) 5 y -1 = -5 (x + 1) 3 3y - 3 = -5x - 5 5x + 3y + 2 = 0 ตอบ สมการเสน* ตรง คือ 5x + 3y + 2 = 0 KRU IU 18

06 ตวั อย&างที่ 7 จงหาสมการเส*นตรงซ่ึงต้งั ฉากกบั เส*นตรงทผ่ี า1 นจุด (-3, 2) และ (5, 6) ณ จดุ กึง่ กลางของจุดสอง à éʹµÃ§ จุด วิธที ำ กำหนด A(x, y) เปน] จดุ กงึ่ กลางระหวา1 ง(-3, 2) กบั (5, 6) จะได* x = -3+ 5 =1 น่นั คอื m1m2 = -1 2 y = 2+6 = 4 1 m2 = -1 2 2 \\ Açæ 3 ,4 ÷ö เนื่องจาก y - y1 = m(x - x1) è 2 ø ความชันทผ่ี า1 นจดุ (5, 6), (-3, 2) y +1 = -7(x - 4) จะได* m1 = 6 - 2 = 4 = 1 y +1 = -7x + 28 5 + 3 8 2 7x + y - 27 = 0 ตอบ สมการเสน* ตรง คือ 7x + y - 27 = 0 ตัวอย&างท่ี 8 เส*นตรง x – 2ay + 1 = 0 ตั้งฉากกับเสน* ตรงท่ผี 1านจดุ P(1, -5) และ Q(-1, 3) ค1าของ a คือเทา1 ใด วธิ ีทำ จาก x + 2ay +1 = 0 เนื่องจากเสน* ตรงตั้งฉากกนั จะได* m1 = -A = 1 จะได* m1m2 = -1 B 2a ให* m2แทนความชันองเส*นตรงท่ผี 1านจุด P,Q çæ 1 ÷ö (- 4) = -1 è 2a ø จะได* m2 = -5-3 = -4 4 = 2a 1+1 a=2 ตอบ a เทา1 กนั 2 KRU IU 19

06 à éʹµÃ§ ตวั อยา& งท่ี 9 ให* A(-1, 2), B(3, 0) และ C(5, 4) เปน] จุดยอดทั้งสามของสามเหล่ียม ABC สมการของเส*นตรง ท่มี คี วามชนั เท1ากับ 1 และผา1 นจุดตดั กนั ของเสน* มธั ยฐานของสามเหลีย่ ม ABC มคี า1 เท1ากบั เทา1 ใด ตัวอย&างท่ี 10 สมการของเสน* ตรงทส่ี ัมผัสกบั วงกลมรัศมี 5 หน1วย และมีจุดศูนยjกลางท่ี (0, 0) ณ จดุ (3, –4) คือสมการใด (0,0) วธิ ีทำ ให* m1 แทนความชันของเส*นตรงท่ผี า1 นจุด (0, 0) กับ (3, –4) r=5 จะได* 0+ 4 4 0- 3 3 m1 = = - ให* m2 แทนความชนั ของเสน* สมั ผัสและต้งั ฉากกับรัศมี จะได* m1m2 = -1 æç -4 ÷ö m2 = -1 è 3 ø m2 = 3 4 ดงั นน้ั y - y1 = m(x - x1) y + 4 = 3 (x - 3) 4 4 y +16 = 3x - 9 4 y - 3x + 25 = 0 KRU IU 20

06 แบบฝกN ทักษะ เรื่อง เสน5 ตรง à éʹµÃ§ 1. จงบอกความชนั ระยะตดั แกน X (x - intercept) และระยะตดั แกน Y (y - intercept) ของกราฟแตล1 ะ สมการต1อไปน้ี สมการ ความชนั ระยะตดั แกน x ระยะตดั แกน y 2x - 3y = 7 5x + 4y - 2 = 0 x - 4y + 5 = 0 3x + 2y + 7 = 0 5x - y - 11 = 0 3 x - 4 y = 24 43 x- y= 0 2y + 3 = 0 x= 4 3(y - 1) = - 2(x - 2) KRU IU 21

06 2. จงแสดงวา1 เสน* ตรง 3y = 2x - 6 ขนานกบั เสน* ตรง y = 2x + 1 à éʹµÃ§ 3 3. จงแสดงว1าเสนตรง 2x + y = 8 ตั้งฉากกบั เสน* ตรง y = 1x - 5 2 KRU IU 22

06 4. จงหาสมการของเส*นตรงทผี่ า1 นจดุ (7, 5) และขนานกับเสน* ตรง x + 2y + 12 = 0 à éʹµÃ§ 5. จงหาสมการของเสน* ตรงทผ่ี า1 นจดุ (3, 2) และตง้ั ฉากกับเส*นตรง 3x - 2y + 12 = 0 KRU IU 23

06 6. จงเขียนกราฟของเส*นตรง 2x - 3y + 1 = 0 และ x + y - 2 = 0 และหาพกิ ัดของจดุ ตดั ของกราฟทง้ั à éʹµÃ§ สอง 7. จงหาความสมั พนั ธซj งึ่ มกี ราฟเปน] เส*นตรงที่ 1.) ผ1านจุด (- 1, 0) และขนานกบั เสน* ตรงทผ่ี 1านจุด (1, 2) และ (- 3, 4) 2.) ผา1 นจุด (- 1,- 4) และตัง้ ฉากกบั เสน* ตรงที่ผ1านจดุ (- 1, 3) และ (- 2,- 2) KRU IU 24

06 à éʹµÃ§ 8. จงหาสมการเสน* ตรงทีต่ ั้งฉากกับเส*นตรง x - 7y - 11 = 0 และผา1 นจุดทเ่ี สน* ตรง x - 7y - 11 = 0 ตดั กบั เส*นตรง 3x + 5y - 7 = 0 9. ให* L เปน] เสน* ตรงตดั แกน x ที่ A และตัดแกน y ท่ี B มีจุด (2, 3) เปน] จดุ กง่ึ กลางของ AB จงหาสมการของเสน* ตรง L y B(0,b) (2,3) A(a,0) x KRU IU 25

06 10. วงกลมวงหน่งึ มศี ูนยjกลางทจี่ ุด (3, -2) สมการเส*นตรงท่ีสมั ผสั วงกลมนี้ท่จี ดุ (1, 2) คอื เท1าใด à éʹµÃ§ (3,-2) (1,2) KRU IU 26

06 à éʹµÃ§ แบบทดสอบหลงั เรียน เลม( ท่ี 6 เรื่อง เส5นตรง คำชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับน้ีเปน] แบบทดสอบ 4 ตัวเลอื กจานวน 10 ข*อ ข*อละ 1 คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน 2. นักเรียนทำเคร่อื งหมายกากบาท (O ) ข*อที่ถกู ทส่ี ดุ ลงในกระดาษคำตอบ 1. จงหาสมการเสน* ตรงที่มคี วามชนั เท1ากบั -1 และผา1 นจดุ กง่ึ กลางของเสน* ตรงเช่อื มจุด A(3,1) และ B(1,5) ก. x + y - 1 = 0 ข. x + y - 5 = 0 ค. x + y + 5 = 0 ง. x + y + 1 = 0 2. เสน* ตรงท่ลี ากผา1 นจุดของจุดกงึ่ กลางของส1วนของเส*นตรงที่เชื่อมจดุ A(1,2) และ B(3,4) และขนานกับเส*นตรง ท่ีลากผา1 นจุด C(-5,4) และ D(-3,5) ตรงกบั สมการข*อใด ก. x - 2y + 4 = 0 ข. x - 2y + 3 = 0 ค. x - 2y + 2 = 0 ง. x - 2y + 1 = 0 3. ถา* เสน* ตรง kx – 4y – 5 = 0 ขนานกับเสน* ตรงท่ีลากผ1านจุด A(7,4) และ B(3,1) แล*ว k2+1 ตรงกบั ข*อใด ก. -8 ข. -10 ค. 10 ง. 8 4. ถา* สมการ ax + 10y = 6 ขนานกับเส*นตรง x + 2y = 8 จงหาค1า a ก. 6 ข. 3 ค. 4 ง. 5 5. จงหาสมการเส*นตรงทมี่ ีผ1านจดุ (-4,-5) และตัง้ ฉากกบั เสน* ตรงท่ลี ากผ1านจุด A(1,2) และ B(6,5) ก. 5x + 3y + 35 = 0 ข. 3x + 5y - 35 = 0 ค. 5x + 3y - 5 = 0 ง. 3x + 5y - 5 = 0 KRU IU 27

06 à éʹµÃ§ 6. จงหาสมการเส*นตรงท่ผี า1 นจุด (-2,-1) และมคี วามชันเท1ากับ -3 ก. 3x - y + 7 = 0 ข. 3x + y + 7 = 0 ค. 2x + y - 3 = 0 ง. 2x + y + 3 = 0 7. ถ*าสมการ 3x + by = 5 ตงั้ ฉากกบั เสน* ตรง 5x + 3y – 8 = 10 จงหาคา1 b ก. -7 ข. -6 ค. -5 ง. -4 8. จงหาสมการเสน* ตรงทีม่ ผี 1านจุด (4,-3) และขนานกับเส*นตรงทล่ี ากผ1านจดุ A(-1,5) และ B(2,-4) ก. 3x + y + 9 = 0 ข. x + 3y - 9 = 0 ค. x + 3y - 9 = 0 ง. 3x + y - 9 = 0 9. จงหาสมการของเส*นตรงที่ลากผา1 นจุด (1,2) และ (4,3) ก. x - 3y - 13 = 0 ข. x - 3y + 9 = 0 ค. x - 3y - 7 = 0 ง. x - 3y + 5 = 0 10. ถ*าเสน* ตรง mx + 5y – 6 = 0 ต้งั ฉากกับเส*นตรงท่ลี ากผ1านจดุ A(-1,2) และ B(1,7) แล*ว m2+1 ตรงกับข*อใด ก. 6 ข. 5 ค. 3 ง. 2 KRU IU 28

06 กระดาษคำตอบแบบทดสอบหลังเรียน à éʹµÃ§ เลม/ ที่ 6 เร่ือง เสน; ตรง ช่อื ....................................................นามสกลุ .............................................ชน้ั ....................เลขท.่ี ................... ข?อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนเตม็ 10 คะแนน คะแนนทไี่ ด5 .............. คะแนน เกณฑ>ท่ีใชใ; นการประเมนิ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ผา# นร'อยละ 70 ของคะแนนสอบ KRU IU 29

06 à éʹµÃ§ บรรณานุกรม กนกวลี อษุ ากรกุล และคณะ. (2561). แบบฝCกหัดรายวชิ าเพม่ิ เติม คณติ ศาสตรK ม.4 เล&ม 2. กรุงเทพฯ: บรษิ ัท อกั ษรเจรญิ ทศั นj อจท. จำกดั . กระทรวงศกึ ษาธิการ. (2560). ตัวชี้วดั และสาระการเรียนรแู? กนกลาง กลุ&มสาระการเรยี นรู? คณิตศาสตรK (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขัน้ พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพชj ุมชนการเกษตรแห1งประเทศไทย จำกัด. กวิยา เนาวประทปี . (2556). เทคนคิ การเรยี นคณติ ศาสตรK เรขาคณติ วิเคราะหK. กรงุ เทพฯ: หจก. สำนกั พมิ พj ฟzสกิ สเj ซ็นเตอร.j จักรินทรj วรรณโพธิก์ ลาง. (2558). สุดยอดคำนวณและเทคนคิ คิดลัด คณิตศาสตรK ม.4 เล&ม 2 (เพม่ิ เตมิ ). กรุงเทพฯ: บริษทั เรืองแสงการพิมพj (2002) จำกัด. ชิดชนก ตงั้ บญุ อนุสรณj. (2561). จำสูตรได? ใชส? ตู รเป_น คณติ ศาสตรK ม.ปลาย. กรงุ เทพฯ: บรษิ ทั คารjเปเดยี ม เมอรj จำกัด สถาบนั ส1งเสริมการสอนวิทยาศาสตรjและเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2560). หนงั สอื รายวิชา คณติ ศาสตรKเพม่ิ เตมิ ชน้ั มัธยมศกึ ษาป`ที่ 4 เลม& 2. พิมพคj ร้ังครั้ง 1 ลาดพรา* ว: โรงพิมพj สกสค. . (2560). คู&มือครูรายวิชาคณิตศาสตรKเพม่ิ เตมิ ช้นั มัธยมศึกษาปท` ี่ 4 เล&ม 2. ลาดพร*าว: โรงพมิ พj สกสค. KRU IU 30

06 à éʹµÃ§ ภาคผนวก KRU IU 31

06 เฉลย แบบฝกN ทกั ษะ เรื่อง เส5นตรง à éʹµÃ§ 1. จงบอกความชัน ระยะตดั แกน X (x - intercept) และระยะตัดแกน Y (y - intercept) ของกราฟแตล1 ะ สมการตอ1 ไปนี้ สมการ ความชนั ระยะตดั แกน x ระยะตดั แกน y 2x - 3y = 7 2 7 − 7 3 2 3 5x + 4y - 2 = 0 − 5 2 1 x - 4y + 5 = 0 4 5 2 3x + 2y + 7 = 0 1 -5 5 4 4 5x - y - 11 = 0 − 3 − 7 − 7 3 x - 4 y = 24 2 3 2 43 x- y= 0 5 11 -11 5 9 32 -18 16 0 0 1 2y + 3 = 0 0 - − 3 x= 4 ไมน1 ิยาม 4 2 - 3(y - 1) = - 2(x - 2) − 2 7 7 3 2 3 KRU IU 32

06 2. จงแสดงวา1 เส*นตรง 3y = 2x - 6 ขนานกับเส*นตรง y = 2x + 1 à éʹµÃ§ 3 วธิ ที ำ จาก 3������ = 2������ − 6 3������ − 2������ + 6 = 0 = −������ = −(−2) จะได* ������1 ������ 3 # ������% = ! ดงั น้นั เสน* ตรงทง้ั สองขนานกัน 2 จาก ������ = 3 ������ + 1 ������# = # ! นนั่ คือ ������% = ������& 3. จงแสดงวา1 เสนตรง 2x + y = 8 ต้งั ฉากกับเส*นตรง y= 1 x - 5 2 วธิ ที ำ จาก 2������ + ������ = 8 2������ + ������ − 8 = 0 ,- จะได* ������% = . % ������% = −2 # −5 จาก ������ = ������ จะได* ������# = % # น่ันคอื ������%������& = (−2) ,%&- = −1 ดงั น้นั เส*นตรงท้ังสองต้ังฉากกนั KRU IU 33

06 4. จงหาสมการของเสน* ตรงทผ่ี า1 นจุด (7, 5) และขนานกบั เสน* ตรง x + 2y + 12 = 0 à éʹµÃ§ วิธีทำ จาก ������ + 2������ + 12 = 0 จะได* ������% = ,- . ,% ������% = # เนื่องจาก เสน* ตรงสองเสน* ขนานกัน ความชันเท1ากนั ,% นั่นคือ ������% = ������# = # ดังนน้ั ������ − ������% = ������(������ − ������%) ,% ������ − 5 = # (������ − 7) 2������ − 10 = −������ + 7 2������ + ������ − 17 = 0 ตอบ สมการเส*นตรง คอื 2������ + ������ − 17 = 0 5. จงหาสมการของเสน* ตรงท่ผี 1านจดุ (3, 2) และตัง้ ฉากกบั เสน* ตรง 3x - 2y + 12 = 0 วิธที ำ จาก 3������ − 2������ + 12 = 0 ,- จะได* ������% = . ������% = ! # เนื่องจาก เสน* ตรงท้งั สองตง้ั ฉากกนั นั่นคอื ������%������# = −1 3#!4 ������# = −1 ,# ������# = ! ดังนัน้ ������ − ������% = ������(������ − ������%) ������ − 2 = ,# (������ − 3) ! 3������ − 6 = −2������ + 6 3������ + 2������ − 12 = 0 ตอบ สมการเส*นตรง คอื 3������ + 2������ − 12 = 0 KRU IU 34

06 6. จงเขยี นกราฟของเส*นตรง 2x - 3y + 1 = 0 และ x + y - 2 = 0 และหาพิกดั ของจดุ ตดั ของกราฟทง้ั à éʹµÃ§ สอง 7. จงหาความสมั พนั ธjซึ่งมีกราฟเป]นเสน* ตรงที่ 1.) ผา1 นจดุ (- 1, 0) และขนานกับเสน* ตรงที่ผา1 นจดุ (1, 2) และ (- 3, 4) วิธีทำ ให* ������% แทนความชนั เส*นตรงทผ่ี า1 นจดุ (1,2) และ (−3,4) #,$ ,% จะได* ������% = %/! = # เนือ่ งจาก เสน* ตรงสองเส*นขนานกัน ,% นั่นคอื ������% = ������# = # ดังนน้ั ������ − ������% = ������(������ − ������%) ,% ������ − 0 = # (������ + 1) 2������ = −������ − 1 2������ + ������ + 1 = 0 ดังนั้น {(������, ������) ∈ ������ × ������|2������ + ������ + 1 = 0} ตอบ {(������, ������) ∈ ������ × ������|2������ + ������ + 1 = 0} 2.) ผ1านจุด (- 1,- 4) และตั้งฉากกับเส*นตรงทีผ่ า1 นจุด (- 1, 3) และ (- 2,- 2) วธิ ีทำ ให* ������% แทนความชนั เส*นตรงท่ผี 1านจุด(−1,3) และ (−2, −2) !/# 0 จะได* ������% = ,%/# = % เน่ืองจาก เสน* ตรงสองเส*นตง้ั ฉากกนั จะได* ������1������2 = −1 (5)������# = −1 ,% ������# = 0 ดงั นั้น ������ − ������% = ������(������ − ������%) ,% ������ + 4 = 0 (������ + 1) 5������ + 20 = −������ − 1 5������ + ������ + 21 = 0 ดงั นนั้ {(������, ������) ∈ ������ × ������|������ + 5������ + 21 = 0} ตอบ {(������, ������) ∈ ������ × ������|������ + 5������ + 21 = 0} KRU IU 35

06 8. จงหาสมการเส*นตรงท่ีตั้งฉากกบั เส*นตรง x - 7y - 11 = 0 และผา1 นจุดทเี่ ส*นตรง x - 7y - 11 = 0 ตดั à éʹµÃ§ กับเส*นตรง 3x + 5y - 7 = 0 วิธีทำ ������ − 7������ − 11 = 0 − (1) 3������ + 5������ − 7 = 0 − (2) แก*สมการ (1), (2) จะได* ������ = 4, ������ = −1 จาก ������ − 7������ − 11 = 0 % จะได* ������% = 1 เนือ่ งจาก เสน* ตรงสองเส*นตงั้ ฉากกัน นน่ั คือ ������%������# = −1 ดังน้ัน ������ − ������% = ������(������ − ������%) ������ + 1 = −7(������ − 4) ������ + 1 = −7������ − 28 ������ + 7������ − 27 = 0 ตอบ สมการเสน* ตรง คือ ������ + 7������ − 27 = 0 9. ให* L เป]นเสน* ตรงตัดแกน x ท่ี A และตดั แกน y ท่ี B มจี ดุ (2, 3) เป]นจดุ ก่ึงกลางของ AB จงหาสมการของเส*นตรง L y วิธีทำ กำหนดจุดดังรปู ณ จุด (2, 3) 2/3 4/2 B(0,b) จะได* 2 = # , 3 = # (2,3) ������ = 4, ������ = 6 นนั่ คือ ������(0,6), ������(4,0) 6,2 ,! จะได* ������.5 = 2,$ = # A(a,0) x ดังนน้ั ������ − ������% = ������(������ − ������%) ������ − 0 = ,! (������ − 4) # 2������ = −3������ + 12 2������ + 3������ − 12 = 0 ตอบ สมการเส*นตรง คอื 2������ + 3������ − 12 = 0 KRU IU 36

06 10. วงกลมวงหนึ่งมีศนู ยกj ลางทจ่ี ดุ (3, -2) สมการเสน* ตรงทส่ี มั ผัสวงกลมน้ที ีจ่ ุด (1, 2) คือเท1าใด à éʹµÃ§ วิธที ำ ให* ������% แทนความชันของเสน* ตรงทผี่ า1 นจุด (3, -2) กบั (1, 2) (3,-2) จะได* ������% = ,#,# = −2 (1,2) !,% ให* ������# แทนความชันของเสน* สัมผัสและต้ังฉากกบั รัศมี จะได* ������%������# = −1 −2������# = −1 % ������# = # ดงั นัน้ ������ − ������% = ������(������ − ������%) ������ − 2 = % (������ − 1) # 2������ − 4 = ������ − 1 2������ − ������ − 3 = 0 ตอบ สมการเสน* KRU IU 37

06 เฉลยคำตอบแบบทดสอบกอ/ น-หลังเรยี น à éʹµÃ§ เร่ือง เส;นตรง เฉลย แบบทดสอบก/อนเรียน เฉลย แบบทดสอบหลังเรยี น ขอ? ก ข ค ง ขอ? ก ข ค ง 1O 1O 2O 2O 3O 3O 4O 4O 5O 5O 6O 6O 7O 7O 8O 8O 9O 9O 10 O 10 O เกณฑท> ีใ่ ช;ในการประเมนิ คะแนนเตม็ 10 คะแนน ผา# นร'อยละ 70 ของคะแนนสอบ KRU IU 38

06 à éʹµÃ§ µÒÃÒ§ºÑ¹·Ö¡¤Ðá¹¹ Ẻ½¡Ö ·Ñ¡ÉФ³µÔ ÈÒʵÃì àÃÍè× § ¤ÇÒÁÃÙàé º×éͧµ¹é à¡ÕèÂÇ¡ºÑ àâҤ³µÔ ÇÔà¤ÃÒÐËì ÊÓËÃºÑ ¹Ñ¡àÃÂÕ ¹ª¹Ñé Á¸Ñ ÂÁÈÖ¡ÉÒ»·Õ èÕ 4 àÅèÁ·Õè 6 àÊ¹é µÃ§ ªÍè× ....................................................................... ªéѹ ....................... àÅ¢·Õè ................ ËÁÒÂà赯 ¼Å¡Òþ²Ñ ¹Ò = (¤Ðá¹¹ËÅ§Ñ àÃÂÕ ¹ #¤Ðá¹¹¡Íè ¹àÃÂÕ ¹) ×100 ¤Ðá¹¹àµçÁ ŧªÍè× .................................................. ¼ÙÊé ͹ (¹Ò§ÊÒÇ»³¾Ã ÊØÁÅÇÃó) KRU IU 39

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความรเู้ บ้ืองตน้ เก่ยี วกบั เรขาคณิตวิเคราะห์