ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

การทดลองส่มุ คือ การทดลองซ่ึงทราบผลลพั ธท์ ่ีจะเกิดข้ึนวา่ จะเป็นอะไรบา้ ง แตไ่ มส่ ามารถท่ีจะทราบ ผลลพั ธท์ ่ีเกิดข้ึนไดถ้ ูกตอ้ งแน่นอนวา่ จะเกิดอะไรข้ึน เน่ืองจากในการทดลองแตล่ ะคร้งั อาจ เกิดผลลพั ธ(์ Outcome ) หลายอยา่ ง เชน่ ท-านกาายรวโาย่ จนะเหอรอียกญหวับา(ทH1eเหaรdียญ)หขร้ึนือไอปอในกอกาอ้ กยา(ศTแลilว้ lตก)ลซงพ่ึง้ืเนปอ็นยผา่ ลงลอิสพั ธระไ์ ดสล้ าว่ มงหารนถา้ ท่ีจะ -การโยนลูกเตา๋ 1 ลูก ข้ึนไปในอากาศ แลว้ ตกลงพ้ืนอยา่ งอิสระ ซ่ึงเราทราบวา่ ผลลพั ธท์ ่ีจะ เกิดข้ึน คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 แตว่ า่ ผลลพั ธม์ ีหลายอยา่ ง เราไมส่ ามารถทานายไดว้ า่ จะออก เลขอะไร

แซมเปิ ลสเปซ (sample space ) คือเซตของผลลพั ธท์ ่ีอาจเป็นไปไดท้ ง้ั หมดของการทดลองสุม่ ตวั อย่าง เชน่ ในการโยนเหรียญ 2 อนั 1 ครัง้ ถา้ มีผลลพั ธท์ ่ีเราสนใจคือ การข้ึนหวั หรือกอ้ ย จะไดแ้ ซมเปิลสเปซ คือ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} เม่ือ (H,T) หมายถึงเหรียญอนั ท่ี 1 ข้ึนหวั และเหรียญอนั ท่ี 2 ข้ึนกอ้ ย ในการโยนเหรียญ 2 อนั 1 ครั้งถา้ มีผลลพั ธท์ ่ีเราสนใจคือจานวนกอ้ ยท่ีข้ึน จะไดแ้ ซมเปิลสเปซ คือ { 0 , 1 , 2 } เม่ือ 0 หมายถึงไมข่ ้ึนกอ้ ยทงั้ 2 อนั (น่ันคือข้ึนหวั ทงั้ สองอนั ) 1 หมายถึงข้ึนกอ้ ยเพียง 1 อนั (ข้ึนหวั 1 อนั ) 2 หมายถึงข้ึนกอ้ ยทง้ั 2 อนั -เหตุการณ์ ( event ) คือสบั เซตของแซมเปิลสเปซ



เมื่อ P (E) คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E n (E) คือ จานวนผลท่ีจะเกิดข้ึนในเหตุการณ์ E n ( S) คือ จานวนผลท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนได้ จานวนผลท่ีจะเกิดข้ึนในเหตุการณ์ E เรียกอีกอยา่ งหน่ึงวา่ เหตุการณ์ท่ีสนใจ หรือสิ่งที่ โจทยก์ าหนดให้ จานวนผลท้งั หมดท่ีอาจจะเกิดข้ึนได้ S เรียกอีกอยา่ งหน่ึงวา่ แซมเปิ ลสเปซ หาไดจ้ าก การทดลองสุ่ม ขอ้ สงั เกต ถา้ E เป็นเหตุการณ์ใดๆ จะพบวา่ 1) 0 < P(E) < 1 2) P(E) = 0 เมื่อ E เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไมไ่ ด้ 3) P(E) = 1 เม่ือ E เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน

วิธีจดั หมู่ คือ วิธีการจดั ส่ิงของท่ีแตกตา่ งกนั ออกเป็นกลุม่ หรือ หมูโ่ ดย ไมค่ านึงถึงอนั ดบั กฎการจดั หมู่ จานวนวิธีจดั หมูข่ อง n ส่ิงท่ีแตกตา่ งกนั โดยนามาจดั หมูค่ ราวละ r ส่ิง ( r < n ) เทา่ กบั เขียนแทนดว้ ย

ตวั อย่าง เชน่ ในการเลือกตวั แทนนักเรียน 3 คนจากผูส้ มคั ร 5 คน จะมีวิธีเลือกทงั้ หมดก่ีวิธี ปัญหา เชน่ น้ีเราจะไมส่ นใจอนั ดบั ท่ีของคนท่ีเราเลือก แตส่ นใจวา่ จะจดั เป็นหมู่ 3 คน ไดท้ ง้ั หมดก่ี หมู่ วิธีทา ถา้ เรียกผูส้ มคั ร 5 คนนั้นวา่ ก,ข,ค,ง,จ การจดั หมูท่ ีละ 3 คนเหมือนกบั การหาสบั เซตท่ีมีสมาชิก 3 ตวั ของเซต {ก,ข,ค,ง,จ} ซ่ึงมีทงั้ หมด 10 สบั เซต ดงั น้ี {ก,ข,ค}, {ก, ข,ง}, {ก,ข,จ}, {ข,ค,ง}, {ข,ค,จ}, {ข,ง,จ}, {ค,ง,จ}, {ก,ค,ง}, {ก,ค,จ}, {ก,ง,จ} ดงั นั้นในการเลือกตวั แทนนักเรียน 3 คน จากผูส้ มคั ร 5 =10 วิธี

การเรียงสบั เปลี่ยน (Permutation) การเรียงสบั เปล่ียน คือ การนา นาส่ิงของซ่ึงมีอยูท่ ง้ั หมด หรือบางสว่ นมาจดั โดยถือวา่ ลาดบั มี ความสาคญั การเรียงสบั เปล่ียนหรือการจดั ลาดบั เป็นการหาจานวนวิธีท่ีเป็นไปไดท้ ง้ั หมดในการจดั เรียงส่ิงของบางสว่ น หรือทงั้ หมดท่ีแตกตา่ งกนั โดยถือลาดบั เป็นสาคญั น่ันคือเม่ือมีการสลบั ท่ีกนั แลว้ ความหมายเปล่ียนไป เชน่ การจดั คนลงตาแหน่งงาน การจดั ลาดบั การผลิต การจดั ลาดบั การใหบ้ ริการ การสลบั ท่ีตวั อกั ษรท่ีใช้ เป็ นรหสั

ตวั อย่าง มีตวั อกั ษร 3 ตวั คือ a, b, c ตอ้ งการนาตวั อกั ษร 3 ตวั น้ีทาเรียงตอ่ กนั เป็นขอ้ ความ จะ ทาไดก้ ่ีวิธี วิธีทา เม่ือนาตวั อกั ษร 3 ตวั น้ีทาเรียงตอ่ กนั เป็นขอ้ ความ จะได้ {abc, acb, bac, bca, cab, cba} หรือคานวณจานวนวิธีไดจ้ าก ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกตวั อกั ษรในตาแหน่งแรกได้ 3 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกตวั อกั ษรในตาแหน่งท่ีสองได้ 2 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกตวั อกั ษรใน ตาแหน่งท่ีสามได้ 1 วิธี ดงั นั้น สามารถสรา้ งขอ้ ความได้ 3! = 3 x 2 x 1 = 6 วิธี

ตวั อย่าง ในการจดั ลาดบั ภาพยนตรท์ ่ีช่ืนชอบทง้ั หมด 4 เร่ือง สามารถจดั ลาดบั แตกตา่ งกนั ไดก้ ่ีวิธี วิธีทา ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกภาพยนตรท์ ่ีช่ืนชอบลาดบั ท่ี 1 ได้ 4 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 2 เลือกภาพยนตรท์ ่ีช่ืนชอบลาดบั ท่ี 2 ได้ 3 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกภาพยนตรท์ ่ีช่ืนชอบลาดบั ท่ี 3 ได้ 2 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 4 เลือกภาพยนตรท์ ่ีช่ืนชอบลาดบั ท่ี 4 ได้ 1 วิธี ดงั น้ัน สามารถจดั ลาดบั ภาพยนตรท์ ่ีช่ืนชอบได้ 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 วิธี