ระบบแรง

21 แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยท่ี 2 ชื่อวิชา กลศาสตรว์ ิศวกรรม สอนคร้ังที่ 2 ช่ือหน่วย ระบบแรง จานวน 3 ช่ัวโมง หัวเร่ือง 2.1 การบวกและลบเวคเตอร์ 2.2 ผลคูณสเกลาร์และผลคณู เวคเตอร์ 2.3 การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์ สาระสาคัญ 1. การบวกเวกเตอร์จะทาไดโ้ ดยการตอ่ เวคเตอร์หรือการเอาหางเวคเตอร์ตวั ท่ี 2 ต่อกบั หัว เวคเตอร์ตวั ท่ี 1 จะไดเ้ วคเตอร์ผลลพั ธท์ ม่ี ขี นาดและทศิ ทางเทา่ กบั เสน้ ทล่ี ากมาปิ ดเวคเตอร์ท้งั สอง 2. การลบเวคเตอร์ จะทาไดโ้ ดยการใชก้ ฎสามเหลี่ยมซ่ึงก็คือการนาเอาหางตอ่ หัวและการใช้ กฎส่ีเหล่ียมดา้ นขนาน (หางต่อหาง) เหมือนกนั กบั การบวกเวคเตอร์แต่ทศิ ทางของ → จะตรงกนั V2 ขา้ ม 3. ผลคณู สเกลาร์ คอื ผลคูณระหวา่ งขนาดของเวกเตอร์หน่ึง (A) กบั ขนาดของอกี เวคเตอร์ หน่ึง ( B )ผลคณู เวกเตอร์ (Cross product, A . B )คอื ผลคณู ระหว่างขนาดของเวกเตอร์หน่ึง (A)กบั ขนาดของอีกเวคเตอร์หน่ึง ( B ) 4. การใชก้ ฎของซายน์และกฎของโคซายนเ์ ป็นการสรา้ งภาพ แสดงการบวกเวคเตอร์โดยใช้ กฎรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน หามมุ ทอี่ ย่ภู ายในรูปสี่เหลีย่ มดา้ นขนานจากรูปเชิงเรขาคณิตของโจทย์ ปัญหาหรือจะวเิ คราะหเ์ ป็นรูปสามเหลี่ยมจะไดร้ ูปสามเหลย่ี ม หามมุ ท่ีอยู่ภายในรูปสามเหล่ยี มโดย อาศยั กฎตอ่ ไปน้ี กฎของซายน์ (Sine Law) a = b = c และ กฎของโคซายน์ (Cosine sinA sinB sinC Law) c = a 2 + b2 − 2abcosC สมรรถนะที่พึงประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คณุ ธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ ) 1. ผเู้ รียนสามารถอธิบายถึงวธิ ีการบวกเวคเตอร์ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง 2. ผเู้ รียนสามารถอธิบายถงึ วธิ ีการลบเวคเตอร์ไดอ้ ย่างถูกตอ้ ง 3. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์ไดอ้ ย่างถกู ตอ้ ง 4. ผเู้ รียนสามารถโจทยแ์ กป้ ัญหาของเวคเตอร์ โดยใชก้ ฎของซายน์และกฎของโคซายนไ์ ด้

22 อยา่ งถูกตอ้ ง เนือ้ หาสาระ แรง (Force) คือ การกระทาของวตั ถุหน่ึงต่ออีกวตั ถุหน่ึง แลว้ มีผลทาให้วตั ถุท่ีถูกกระทาน้ันเคล่ือนท่ีไปตาม ทศิ ทางของแรงทีก่ ระทา แรงเป็นปริมาณเวคเตอร์จงึ ตอ้ งมขี นาดและทศิ ทาง 2.1 การบวกและลบเวคเตอร์  V1  V2 รูปที่ 1 สญั ลกั ษณ์เวคเตอร์ การบวกเวคเตอร์และการลบเวคเตอร์ 1. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสี่เหลย่ี มด้านขนาน (Parallelogram law) ซ่ึงสามารถทาไดโ้ ดยการ นาหางของเวคเตอร์ท้งั สองตาม รูป 2.1 มาต่อกนั ตามทศิ ทางท่กี าหนด เช่น เวคเตอร์ → และ V1 → จากรูปท่ี 2.1 ซ่ึงเป็นเวกเตอร์อสิ ระใดๆสามารถรวมกนั ได้ เวคเตอร์รวม V2  V1 V  V2 รูปท่ี 2  และ  โดยใชก้ ฎส่ีเหล่ยี มดา้ นขนาน แสดงการรวมเวคเตอร์ V1 V2 2. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสามเหลย่ี ม (Triangle law) สามารถทาไดโ้ ดยการตอ่ เวคเตอร์หรือ การเอาหางเวคเตอร์ตวั ที่ 2 ตอ่ กบั หวั เวคเตอรต์ วั ที่ 1 จะไดเ้ วคเตอร์ผลลพั ธท์ ม่ี ขี นาดและทศิ ทาง   เท่ากบั เส้นท่ีลากมาปิ ดเวคเตอร์ท้งั สอง จากรูปที่ 3 V1 และ V2 รวมกนั ได้  V  V1  V2

23 รูปที่ 3 แสดงการรวมเวคเตอร์ → และ → โดยใชก้ ฎสามเหล่ยี ม V1 V2 ถา้ เวคเตอร์ท้งั สองทามุมฉากต่อกนั และมที ศิ ทางตามแนวแกน X และY ดงั ในรูป Y  VY   X  รูปท่ี 4  และ VX ต้งั ฉากตอ่ กนั V  VY VX VX จะไดว้ า่ = + VY และ θ = tan −1 VY VX ถา้ → และ → เป็ นเวคเตอร์หน่ ึงหน่วย (Unit vector) ในแนวแกน X และY ตามลาดบั i j  V X = i VX จะไดว้ ่า V Y = j VY ดงั น้นั   V = i VX + jVY ขนาดของเวคเตอร์รวมหาไดจ้ าก V 2 = VX2 + VY2 หรือ V = VX2 + VY2 เมื่อ V คอื ขนาดของเวคเตอร์รวม VX คอื ขนาดของเวคเตอร์ตามแนวแกน X VY คือ ขนาดของเวคเตอร์ตามแนวแกน Y

24 การลบเวคเตอร์ การลบเวคเตอร์ จะทาไดโ้ ดยการใชก้ ฎสามเหลยี่ มซ่ึงก็คอื การนาเอาหางตอ่ หวั และการใช้ กฎสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน (หางตอ่ หาง) เหมอื นกนั กบั การบวกเวคเตอร์แต่ทศิ ทางของ → จะตรงกนั V2 ขา้ ม ดงั แสดงในรูป 2.5 และ 2.6 เมื่อ → และ → มีลกั ษณะดงั รูป V1 V2  V1  V2 ดงั น้นั จะได้  − V2  V V1 รูปที่ 5 การลบเวคเตอรโ์ ดยใชก้ ฎของสามเหล่ยี ม  V2 V1  − V2 รูปท่ี 6 การลบเวคเตอร์โดยใชก้ ฎส่ีเหลย่ี มดา้ นขนาน

25 2.2 ผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์ ผลคูณสเกลาร์ ( Dot product, A.B) คอื ผลคูณระหว่างขนาดของเวกเตอร์หน่ึง (A) กบั ขนาดของอกี เวคเตอร์หน่ึง ( B ) ( คดิ เครื่องหมายของเวคเตอรด์ ว้ ย ) เม่อื คณู กนั แลว้ จะไดป้ ริมาณ สเกลาร์ออกมา 1 คา่ เชน่ A = 2i+4j+5k B = 3i-4j-2k A.B = 6-16-10 = -20 โดยมีขอ้ ควรจาคือ i.i = 1, j.j = 1, k.k = 1, i.j = 0, j.k = 0, k.i = 0, ผลคณู เวกเตอร์ (Cross product, A . B ) คือ ผลคูณระหวา่ งขนาดของเวกเตอร์หน่ึง (A) กบั ขนาดของอีกเวคเตอร์หน่ึง ( B ) ( คดิ เครื่องหมายของเวคเตอร์ดว้ ย )เมื่อคณู กนั แลว้ จะได้ ปริมาณเวคเตอร์ออกมาเป็นเวคเตอร์หน่ึงหน่วย (Unit Vector) ตามแนวแกน คอื i ,j ,k เช่น A = 2i +4 j +5k B = 3i − 4 j − 2k A B = −8k + 4 j = −12 k + 8 i = 15 j + 20 i  A  B = 12 i +19 j − 20 k โดยมขี อ้ ควรจาคอื i.i = 0, j.j = 0, k.k = 0, i.j = k, j.k = i, k.i = j, i.k = -j, k.j = -i, j.i = -k “การหาเวคเตอร์หน่ึงหน่วยในแนวแกนใด ๆ”โดยกาหนดให้ → คอื เวคเตอร์หน่ึงหนว่ ยใน u

26 แนวแกนใด ๆ น้นั s คือ เวคเตอร์ตาแหน่งในแนวแกนใด ๆ (A B) s คือ ขนาดของเวคเตอรต์ าแหน่งในแนวแกนใด ๆ จะได้ → = s u s เช่น A x B = 12i+19j-20k = s s = (12) 2 + (19) 2 + (-20) 2 s = 30.083  → = 12 i + 19 j - 20 k 30.083 30.083 30.083 u = 0.3989i + 0.6316j - 0.6648k 2.3 การแก้ปัญหาของเวคเตอร์ (Resolution of Vector) เวคเตอร์ คือ ปริมาณทม่ี ที ้งั ขนาดและทิศทางปัญหาที่เกย่ี วขอ้ งกบั การรวมแรงสองแรง หรือการรวมเวคเตอร์( แรง คอื ปริมาณเวคเตอร์ )หรือการหาแรงลพั ธ์ และมสี องตวั แปรไม่ทราบคา่ สามารถแกป้ ัญหาไดโ้ ดยใชว้ ธิ ีวเิ คราะหด์ งั ตอ่ ไปน้ี กฎของซายน์และกฎของโคซายน์ การใชก้ ฎของซายนแ์ ละกฎของโคซายน์เป็นการสร้างภาพคร่าวๆ แสดงการบวกเวคเตอร์โดย ใชก้ ฎรูปสี่เหล่ียมดา้ นขนาน หามมุ ทอ่ี ยภู่ ายในรูปสี่เหลี่ยมดา้ นขนานจากรูปเชิงเรขาคณิตของโจทย์ ปัญหา หรือจะวเิ คราะห์เป็นรูปสามเหลย่ี มจะไดร้ ูปสามเหล่ยี ม 2 รูปหามมุ ทอ่ี ยูภ่ ายในรูปสามเหลี่ยมโดย อาศยั กฎตอ่ ไปน้ี กฎของซายน์ (Sine Law) ดรู ูปที่ 2.7 a =b=c sin A sin B sin C b Ac C aB

27 รูปท่ี 7 กฎของโคซายน์ (Cosine Law) ดูรูปท่ี 2.8 และ 2.9 c = a2 + b2 − 2ab cosC bc C a รูปท่ี .8 หรือ R = F12 + F22 + 2F1F2 cosθ F1 R  F2 รูปที่ 9

28 ตวั อย่างท่ี 1. ตุม้ น้าหนกั L หอ้ ยอย่บู นคานซ่ึงมจี ดุ หมนุ คอื C แรงตงึ ในเสน้ เชือก AABB เทา่ กบั 15kN จงแสดงแรงตงึ → ในรูปของเวคเตอร์ โดยมี → และ → เป็ นเวคเตอร์หน่ ึงหน่วยในแนวแกน T i j X และ Y ตามลาดบั Y B T A CX วิธีทาโดยการแตกแรงไปในแนวแกน X และ Y Y T = 15 kN Ty  Tx X  = tan−1 6 = 31.0 10

29 ดงั น้นั sin  = sin 31.0 = 0.514 และ cos = cos 31.0 = 0.857  Tx = T cosθ = 15(0.857) = 12.86 kN Ty = T cosθ = 15(0.514) = 7.72 kN → →→ Ans T = 12.86 i + 7.72 j ตวั อย่างที่ 2. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ี่มเี คร่ืองกดี ขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คอื 1.6 kN และ P ดงั รูป จงคานวณหาขนาดของแรง P ที่ทาให้แรงลพั ธ์ท้งั สองอย่ใู นแนวของสลกั พอดีและ หาขนาดของแรงตงึ วธิ ที า F.B.D. → P 200  T  100  150   1.6kN

30 หาคา่  และ  ได้ α = tan −1 100 = 26.56 200 θ = tan −1 150 = 36.38 200 β = 180 − (α + θ) = 116.57 จากกฏของซายน์ ได้ P = 1.6 Sin 36.87 Sin 26.57 = 2.15 kN Ans Ans T = 1.6 Sin 116.57 Sin 26.57 T = 3.2 kN

31

32 กจิ กรรมการเรียนการสอน ข้ันตอนการสอนหรือกิจกรรมของครู ทดสอบ 1. ให้ผเู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ืองความรู้พ้ืนฐานเบ้ืองตน้ ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวคเตอร์ กฎของนวิ ตนั กฎของความโนม้ ถว่ ง( 30 นาที ) 2. เฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที ) ข้ันนา 1. กล่าวนาเขา้ สู่บทเรียนโดยพดู คยุ ถงึ เรื่องการบวกและลบเวคเตอร์ ผลคูณสเกลาร์และผล คูณเวคเตอร์ การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์ ของ กฎของซายน์ ,กฎของโคซายน์ ( 10 นาที ) ข้ันสอน 1. สอนแบบบรรยายในหน่วยท่ี 2 ( ในหวั ขอ้ ย่อย 1 , 2 , 3) ( 70 นาที ) 2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งท่ี 1 , 2 , 3 ( 20 นาที ) 3. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสให้ผเู้ รียนถาม ( 25 นาที ) 4. เฉลยแบบฝึกหัด ( 10 นาที ) ข้ันสรุป 1. สรุปเน้ือใหผ้ ูเ้ รียนฟัง ( 10 นาที )

33 งานทม่ี อบหมายหรือกิจกรรม 1. ให้ศึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , 3 และทารายงานส่ง 2. ให้ทาแบบฝึกหัด 3. ใหไ้ ปศกึ ษาเร่ืองทีเ่ รียนสปั ดาห์หนา้ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนการบวกและลบเวคเตอร์ ผลคณู สเกลาร์และผลคณู เวคเตอร์ การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์ 2. แผน่ ใส่เรื่องการบวกและลบเวคเตอร์ ผลคณู สเกลาร์และผลคณู เวคเตอร์ การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์ การวดั ผลและประเมนิ ผล 1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน 2. ความรับผิดชอบต่องานท่มี อบหมาย 3. การให้ความร่วมมอื ในการทากิจกรรมระหว่างเรียน 4. ให้ทาแบบทดสอบ

34 แบบฝึ กหดั 1. จงอธิบายถึงวิธีการบวกและการลบเวคเตอร์พอเขา้ ใจ 2. แรงขนาด 100N. กระทาผา่ นจุด 0 แนวของแรง F ผ่านจุด A มตี าแหน่งซ่ึงแรง F ทามุม  45  กบั ระนาบ x-y จงเขียน F 3. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ่มี เี คร่ืองกดี ขวางทาให้ตอ้ งใชแ้ รงสองแรง คือ 1.6 kN และ P ดงั รูป จงคานวณหาขนาดของแรง P ทีท่ าให้แรงลพั ธ์ท้งั สองอยู่ในแนวของสลกั พอดีและหาขนาด ของแรงตึง

35 เฉลยแบบฝึ กหดั ข้อ 1. แรง (Force) คือ การกระทาของวตั ถุหน่ึงต่ออีกวตั ถุหน่ึง แลว้ มีผลทาให้วตั ถุที่ถูกกระทาน้ันเคลื่อนท่ีไปตาม ทศิ ทางของแรงทก่ี ระทา แรงเป็นปริมาณเวคเตอร์จึงตอ้ งมีขนาดและทศิ ทาง การบวกและลบเวคเตอร์  V1  V2 รูปที่ 1 สญั ลกั ษณ์เวคเตอร์ การบวกเวคเตอร์ 1. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสี่เหลย่ี มด้านขนาน (Parallelogram law) ซ่ึงสามารถทาไดโ้ ดยการ นาหางของเวคเตอร์ท้งั สองตาม รูป 2.1 มาต่อกนั ตามทศิ ทางท่ีกาหนด เช่น เวคเตอร์ → และ V1 → จากรูปที่ 2.1 ซ่ึงเป็นเวกเตอร์อสิ ระใดๆสามารถรวมกนั ได้ เวคเตอร์รวม V2  V1 V  V2 รูปท่ี 2 แสดงการรวมเวคเตอร์   โดยใชก้ ฎสี่เหล่ียมดา้ นขนาน V1 และ V2 2. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสามเหลยี่ ม (Triangle law) สามารถทาไดโ้ ดยการตอ่ เวคเตอร์หรือการ เอาหางเวคเตอร์ตวั ท่ี 2 ต่อกบั หวั เวคเตอร์ตวั ที่ 1 จะไดเ้ วคเตอร์ผลลพั ธ์ท่ีมีขนาดและทิศทางเทา่ กบั   เสน้ ท่ลี ากมาปิ ดเวคเตอร์ท้งั สอง จากรูปท่ี 3 V1 และ V2 รวมกนั ได้  V  V1  V2

36 รูปท่ี 3 แสดงการรวมเวคเตอร์ → และ → โดยใชก้ ฎสามเหล่ียม V1 V2 ข้อ 2. แรงขนาด 100N. กระทาผา่ นจดุ 0 แนวของแรง F ผา่ นจดุ A มีตาแหน่งซ่ึงแรง F ทามมุ 45 กบั  ระนาบ x-y จงเขียน F วธิ ีทา tanθ = 4 ;θ = tan −1 4 33 θ = 53.13 l = cos45cos53.13 = 0.424 m = cos45sin53.13 = 0.565 n = cos45 = 0.707  F = 100(0.424i + 0.565j + 0.707k) = 42.4i + 56.5j + 70.7k N. ข้อ 3. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ่มี เี ครื่องกีดขวางทาให้ตอ้ งใชแ้ รงสองแรง คอื 1.6 kN และ P ดงั รูป จง คานวณหาขนาดของแรง P ทที่ าใหแ้ รงลพั ธ์ท้งั สองอยู่ในแนวของสลกั พอดแี ละหาขนาดของแรงตึง วธิ ที า

37 F.B.D. → 200 P  100  150  T   1.6kN หาค่า  และ  ได้ α = tan −1 100 = 26.56 200 θ = tan −1 150 = 36.38 200 β = 180 − (α + θ) = 116.57 จากกฏของซายน์ ได้ P = 1.6 Sin 36.87 Sin 26.57 = 2.15 kN Ans Ans T = 1.6 Sin 116.57 Sin 26.57 T = 3.2 kN

38 แบบทดสอบสัปดาห์ที่ 2 1. จงอธิบายถึงวธิ ีการบวกและการลบเวคเตอร์พอเขา้ ใจ 2. แรงขนาด 100N. กระทาผา่ นจดุ 0 แนวของแรง F ผา่ นจดุ A มตี าแหน่งซ่ึงแรง F ทามุม  45  กบั ระนาบ x-y จงเขยี น F 3. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ่ีมเี ครื่องกีดขวางทาให้ตอ้ งใชแ้ รงสองแรง คอื 1.6 kN และ P ดงั รูป จงคานวณหาขนาดของแรง P ทท่ี าใหแ้ รงลพั ธท์ ้งั สองอยู่ในแนวของสลกั พอดแี ละหาขนาด ของแรงตงึ

39 ข้อ 1. เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 2 การบวกและลบเวคเตอร์  V1  V2 รูปที่ 1 สญั ลกั ษณ์เวคเตอร์ การบวกเวคเตอร์ 1. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎส่ีเหลยี่ มด้านขนาน (Parallelogram law) ซ่ึงสามารถทาไดโ้ ดยการ นาหางของเวคเตอร์ท้งั สองตาม รูป 2.1 มาต่อกนั ตามทศิ ทางท่ีกาหนด เชน่ เวคเตอร์ → และ V1 → จากรูปที่ 2.1 ซ่ึงเป็นเวกเตอร์อิสระใดๆสามารถรวมกนั ได้ เวคเตอร์รวม V2  V1 V  V2 รูปที่ 2  และ  โดยใชก้ ฎส่ีเหล่ยี มดา้ นขนาน แสดงการรวมเวคเตอร์ V1 V2 2. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสามเหลยี่ ม (Triangle law) สามารถทาไดโ้ ดยการต่อเวคเตอร์หรือการ เอาหางเวคเตอร์ตวั ท่ี 2 ตอ่ กบั หวั เวคเตอรต์ วั ท่ี 1 จะไดเ้ วคเตอร์ผลลพั ธ์ทีม่ ีขนาดและทศิ ทางเทา่ กบั   เสน้ ทล่ี ากมาปิ ดเวคเตอร์ท้งั สอง จากรูปท่ี 3 V1 และ V2 รวมกนั ได้  V  V1  V2 รูปท่ี 3 แสดงการรวมเวคเตอร์ → และ → โดยใชก้ ฎสามเหล่ยี ม V1 V2

40 ข้อ 2. แรงขนาด 100N. กระทาผ่านจุด 0 แนวของแรง F ผ่านจดุ A มตี าแหน่งซ่ึงแรง F ทามุม 45 กบั  ระนาบ x-y จงเขยี น F วธิ ที า Y T = 15 kN Ty  Tx X θ = tan −1 6 = 31.0 10 tanθ = 4 ;θ = tan −1 4 33 θ = 53.13 l = cos45cos53.13 = 0.424 m = cos45sin53.13 = 0.565  F = 100(0.424i + 0.565j + 0.707k) = 42.4i + 56.5j + 70.7k N. ข้อ 3. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ีม่ ีเคร่ืองกดี ขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คอื 1.6 kN และ P ดงั รูป จง คานวณหาขนาดของแรง P ทที่ าให้แรงลพั ธท์ ้งั สองอยู่ในแนวของสลกั พอดีและหาขนาดของแรงตึง วธิ ที า

41 F.B.D. → 200 P  100  150  T   1.6kN หาค่า  และ  ได้ α = tan −1 100 = 26.56 200 θ = tan −1 150 = 36.38 200 β = 180 − (α + θ) = 116.57 จากกฏของซายน์ ได้ P = 1.6 Sin 36.87 Sin 26.57 = 2.15 kN Ans Ans T = 1.6 Sin 116.57 Sin 26.57 T = 3.2 kN

42 บนั ทกึ หลงั การสอน ผลการใชแ้ ผนการสอน ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................. ผลการเรียนของนกั เรียน ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ผลการสอนของครู ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................