ใบความรู้ เรื่อง กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ความหมายของฟงั กช์ นั กาลังสอง ฟงั กช์ นั กาลังสอง คอื ฟังก์ชนั ทอ่ี ยู่ในรปู y = ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ และ a  0 เช่น 1) y = 2x2 + 3x – 10 เม่อื a = 2 , b = 3 และ c = -1 2) y = x2 + 1 เมือ่ a = 1 , b = 0 และ c = 1 3) y = -x2 + 2x + 1 เมื่อ a = -1 , b = 2 และ c = 1 กราฟของฟงั ก์ชนั กาลงั สอง ท่กี าหนดดว้ ยสมการ y = ax2 เม่อื a  0 กรำฟของฟังกช์ ันกำลังสอง มีชื่อเรยี กว่ำ พำรำโบลำ ซ่ึงลักษณะของกรำฟของฟังกช์ ันข้นึ อยูก่ ับคำ่ ของ a , b และ c และเมอ่ื a เปน็ บวกหรือลบ จะทำให้ได้กรำฟเป็นเสน้ โค้งหงำยหรือควำ่ และกรำฟ ของฟงั กช์ ันกำลงั สองท่ีกำหนดดว้ ยสมกำร y = ax2 เม่อื a  0 ดังตวั อย่ำงต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงเขยี นกรำฟจำกสมกำรต่อไปน้ี 1) y = x2 2) y = 1 x2 3) y = 1 x2 2 4 วิธีทา 1) จำก y = x2 จะได้ x 1 2 3 0 -1 -2 -3 -4 y1490149 16 2) จำก y = 1 x2 จะได้ 2 x 2 4 6 0 -2 -4 -6 y 2 8 18 0 2 8 18 3) จำก y = 1 x2 จะได้ 4 X 2 4 8 0 -2 -4 -8 Y 1 4 16 0 1 4 16 Y y = 1 x2 2 y = x2 y = 1 x2 4 X กรำฟของ y = ax2 เม่อื a > 0

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงเขยี นกรำฟจำกสมกำรต่อไปนี้ 3) y = - 1 x2 4 1) y = -x2 2) y = - 1 x2 2 -3 -9 วิธที า 1) จำก y = - x2 จะได้ x 1 2 3 0 -1 -2 y -1 -4 -9 0 -1 -4 2) จำก y = - 1 x2 จะได้ 2 x 2 4 6 0 -2 -4 -6 y -2 -8 -18 0 -2 -8 -18 3) จำก y = - 1 x2 จะได้ 4 x 2 4 8 0 -2 -4 -8 y -1 -4 -16 0 -1 -4 -16 Y X y = -x2 y = - 1 x2 4 y = - 1 x2 2 กรำฟของ y = ax2 เมื่อ a < 0

สรุป ลกั ษณะของกรำฟทีก่ ำหนดดว้ ยสมกำร y = ax2 เม่ือ a  0 เมือ่ a > 0 ได้พำรำโบลำหงำย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (0, 0) เมื่อ a < 0 ได้พำรำโบลำคว่ำ จุดสงู สุดอยู่ที่ (0, 0) แกนสมมำตรคือ แกน Y หรือเสน้ ตรง X = 0 , สมกำรแกนสมมำตรคือ X = 0 เมื่อ a > 0 ค่ำต่ำสุดคือ 0 และ เม่ือ a < 0 ค่ำสงู สดุ คือ 0 | a | ย่ิงมำกกรำฟย่งิ แคบ กราฟของฟังกช์ นั กาลังสองท่ีกาหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k เมือ่ a  0 และ k  0 1. กราฟของ y = ax2 + k เมื่อ a  0 และ k > 0 ตวั อย่างท่ี 1 จงเขียนกรำฟจำกสมกำรตอ่ ไปน้ี 1) y = x2 + 2 2) y = -x2 + 2 วธิ ที า 12 36 X -3 -2 -1 0 1 -2 3 11 y = x2 + 2 11 6 3 2 -7 y = -x2 + 2 -7 -2 1 2 Y y = x2 + 2 2 X 1 - 2 - 1- 1 (01, 2)2 -2 y = -x2 + 2

2. กราฟของ y = ax2 + k เมื่อ a  0 และ k < 0 ตัวอยา่ งที่ 2 จงเขียนกรำฟจำกสมกำรต่อไปนี้ 1) y = x2 – 4 2) y = -x2 – 4 วิธีทา 12 -3 0 x -3 -2 -1 0 -5 -8 3 5 y = x2 – 4 -3 0 5 -4 -13 y = -x2 – 4 -5 -8 -13 -4 Y y = x2 –4 X (0, -4) y = -x2 – 4 สรุป ลักษณะของกรำฟทกี่ ำหนดด้วยสมกำร y = ax2 + k ถำ้ a > 0 ไดพ้ ำรำโบลำหงำย จุดต่ำสดุ อยู่ที่ (0, k) ค่ำตำ่ สุด = k ถำ้ a < 0 ได้พำรำโบลำควำ่ จดุ สูงสุดอยทู่ ่ี (0, k) ค่ำสงู สุด = k แกนสมมำตรคอื แกน y หรอื เสน้ ตรง x = 0 สมกำรแกนสมมำตรคือ x = 0 ถ้ำ k > 0 จุดวกกลับอยูเ่ หนอื แกน X ถ้ำ k < 0 จุดวกกลับอยใู่ ต้แกน X ถ้ำ a, k มเี คร่ืองหมำยเหมือนกัน กรำฟไม่ตัดแกน X ถ้ำ a, k มีเคร่ืองหมำยตำ่ งกนั กรำฟจะตัดแกน X

กราฟของฟังก์ชันกาลงั สองท่ีกาหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมือ่ a  0 และ h  0 1. กราฟของ y = a(x – h)2 เมอื่ a  0 และ h > 0 ตัวอยา่ งท่ี 1 จงเขยี นกรำฟจำกสมกำรตอ่ ไปน้ี 1) y = (x – 3)2 2) y = -2(x – 3)2 วิธที า 0567 9 4 9 16 X 234 -18 -8 -18 -32 y = (x – 3)2 101 y = -2(x – 3)2 -2 0 -2 Y สมกำร y = (x – 3)2 แกนสมมำตร x=3 X (0, 0) สมกำร y = -2(x – 3)2 แกนสมมำตร x=3

2. กราฟของ y = a(x – h)2 เมือ่ a  0 และ h < 0 ถ้ำ h < 0 จะได้สมกำรใหม่เปน็ y = a(x – (-h))2 = a(x + h)2 ตัวอย่างท่ี 2 จงเขียนกรำฟจำกสมกำรตอ่ ไปน้ี 1) y = (x + 4)2 2) y = -2(x + 2)2 วธิ ที า X -2 -3 -4 0 1 2 3 49 y = (x + 4)2 4 1 0 4 25 36 -50 y = -2(x + 2)2 0 -2 -8 -8 -18 -32 Y y = (x + 4)2 สมกำรแกน สมมำตร x = -4 (-2, 0) X (-4, 0) สมกำร แกนสมมำตร x = -2 y = -2(x + 2)2 สรุป ลกั ษณะของกรำฟท่ีกำหนดดว้ ยสมกำร y = a(x – h)2 ถ้ำ a > 0 ไดพ้ ำรำโบลำหงำย จุดต่ำสดุ อย่ทู ่ี (h, 0) ค่ำตำ่ สุด = 0 ถ้ำ a < 0 ไดพ้ ำรำโบลำคว่ำ จดุ สงู สุดอย่ทู ่ี (h, 0) คำ่ สูงสดุ = 0 แกนสมมำตรคอื เส้นตรง x = h สมกำรแกนสมมำตรคือ x = h h > 0 แกนสมมำตรอยู่ทำงซำ้ ยของแกน Y h < 0 แกนสมมำตรอยู่ทำงขวำของแกน Y

กราฟของฟงั ก์ชันกาลังสองท่กี าหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a  0 , h  0 และ k  0 ตวั อย่างท่ี จงเขียนกรำฟจำกสมกำรต่อไปน้ี x 2345 1) y = -(x + 2)2 – 4 y = (x – 3)2 – 5 -4 -5 -4 -1 2) y = -(x + 2)2 + 2 y = (x – 3)2 + 1 2 1 2 5 3) y = (x – 3)2 – 5 4) y = (x – 3)2 + 1 วิธีทา x -2 -3 -4 0 y = -(x + 2)2 – 4 -4 -5 -8 -8 y = -(x + 2)2 + 2 2 1 -2 -2 Y y = (x – 3)2 + 1 (-2, 2) y = (x – 3)2 – 5 (3, 1) y = -(x + 2)2 + 2 X (-2, -4) (-3, -5) y = -(x + 2)2 – 4

สรปุ ลักษณะของกรำฟทก่ี ำหนดด้วยสมกำร y = a(x – h)2 + k เม่อื a > 0 ได้พำรำโบลำหงำย จดุ ตำ่ สุดอยู่ท่ี (h, k) คำ่ ต่ำสุด = k เม่อื a < 0 ไดพ้ ำรำโบลำคว่ำ จุดสงู สดุ อยู่ท่ี (h, k) ค่ำสูงสดุ = k ถ้ำ k > 0 จุดวกกลับอยเู่ หนือแกน X ถ้ำ k < 0 จุดวกกลบั อยู่ใต้แกน X แกนสมมำตร คอื เส้นตรง x = h สมกำรแกนสมมำตรคอื x = h ถำ้ h > 0 แกนสมมำตรอยทู่ ำงซำ้ ยมอื ของแกน Y ถำ้ h < 0 แกนสมมำตรอยทู่ ำงขวำมือของแกน Y ถำ้ a และ k มีเครื่องหมำยเหมอื นกนั กรำฟไมต่ ัดแกน X ถ้ำ a และ k มเี ครอ่ื งหมำยต่ำงกันกรำฟตัดแกน X