ใบความรู้เรื่องทฤษฎีบทพีทาโกรัส

2 คณติ ศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 ในหน่วยการเรียนรู้นี้ นักเรียนจะได้ทราบสมบัติของรูปสามเหล่ียมมุมฉากที่มีช่ือว่า ทฤษฎบี ทพที าโกรัส (Pythagoras’theorem) ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั เป็นหนงึ่ ในทฤษฎีบททส่ี ำ�คญั มากในคณติ ศาสตร์ มหี ลกั ฐานชดั เจนวา่ ในยคุ สมยั บาบโิ ลนมกี ารศกึ ษาและคน้ พบความสมั พนั ธข์ องความยาว ของด้านของรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ดงั ต่อไปน้ี 1. สมบัติของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก หมายถึง รปู สามเหลย่ี มทมี่ มี มุ ใดมมุ หนง่ึ เปน็ มมุ ฉาก พจิ ารณา รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABC มี AC^ B เปน็ มุมฉาก A เรยี ก AB วา่ ด้านตรงขา้ มมุมฉาก เรยี ก AC และ BC วา่ ด้านประกอบมุมฉาก จะเหน็ วา่ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากมดี า้ นตรงขา้ มมมุ ฉากเปน็ ด้านท่ยี าวท่สี ุด B C สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยให้ด้านประกอบมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากมี ความยาวตามที่ก�ำ หนดให้ดังนี้ 1. ด้านประกอบมุมฉากยาว 3 เซนตเิ มตร และ 4 เซนติเมตร 4 ซม. 3 ซม. วัดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้ 5 เซนตเิ มตร ความสมั พนั ธข์ องความยาวของดา้ นท้งั สาม 52 5 32142

3 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรสั 2. ด้านประกอบมมุ ฉากยาว 6 เซนติเมตร และ 8 เซนติเมตร 8 ซม. 6 ซม. วัดความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉากได้ 10 เซนติเมตร 3.2 ซม. ความสัมพนั ธ์ของความยาวของด้านท้ังสาม 102 5 62182 3. ด้านประกอบมุมฉากยาว 2.4 เซนตเิ มตร และ 3.2 เซนติเมตร 2.4 ซม. วดั ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉากได้ 4 เซนติเมตร ความสมั พันธข์ องความยาวของด้านทงั้ สาม 42 5 3.2212.42 ขอ้ 1, 2, 3 จะสอดคลอ้ งกับความสัมพันธ์ของความยาวของด้าน ท้ังสามของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC มีมมุ ACB เป็นมมุ ฉาก ถ้า c แทนความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก a และ b แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ดังรปู A c b B aC จะได้ความสมั พนั ธข์ องความยาวของดา้ นทั้งสามเป็น c2 5 a21b2

4 คณติ ศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนที่ 2 สมบัติของรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก สำ�หรับรูปสามเหล่ียมมุมฉากใดๆ กำ�ลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เทา่ กับผลบวกของก�ำ ลงั สองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก กจิ กรรมตรวจสอบความเขา้ ใจ 1 จงใชส้ มบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก เขยี นแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความยาวของดา้ นทงั้ สาม 1. 2. 3. a b 10 6 z y a 12 x 4. 5. 2.4 n m 3.6 2.6 1.5 ตวั อย่าง จงหาความยาวของด้านของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากต่อไปนี้ (1) (2) a 12 a 10 9 26 วิธที ำ� (1) จากสมบตั ขิ องรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จะได ้ a2 5 921122 5 811144 5 225 5 15315 หรือ (215)3(215) a 5 15 หรือ 215 เนื่องจาก a เปน็ ความยาวของดา้ นของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ซ่งึ มีคา่ เปน็ บวกเสมอ ดังนัน้ a 5 15 ตอบ 15 หนว่ ย

5 หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 1 ทฤษฎีบทพที าโกรัส (2) จากสมบตั ิของรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก จะได้ 262 5 a21102 a2 5 2622102 5 6762100 5 576 5 24324 หรือ (224)3(224) a 5 24 หรือ 224 เน่อื งจาก a เปน็ ความยาวของดา้ นของรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ซึ่งมคี า่ เปน็ บวกเสมอ ดังนน้ั a 5 24 ตอบ 24 หน่วย แบบฝกึ หัด 1 1. จงหาคา่ ของ x เมือ่ x แทนความยาวของด้านของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากตอ่ ไปนี้ x x 29 3.5 20 1.2 16 34 x 12 30 x 2. A จากรูป DABC เป็นรูปสามเหลย่ี มหน้าจวั่ AB 5 AC 5 15 หนว่ ย, BC 5 18 หนว่ ย AD ⊥ BC จงหาพืน้ ท่ี DABC B DC 3. D C จากรูป hABCD เปน็ รปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก 25 BD 5 25 หน่วย และ AB 5 15 หน่วย จงหาความยาวเส้นรอบรูปของ hABCD A 15 B

6 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นที่ 2 2. ทฤษฎีบทพที าโกรสั A จากรูป DABC เป็นรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก มมี มุ ABC เป็นมุมฉาก เรยี ก AC ว่าด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก เรยี ก AB และ BC ว่าดา้ นประกอบมุมฉาก BC กิจกรรมความสมั พนั ธข์ องด้านของรูปสามเหล่ียมทเ่ี กย่ี วขอ้ งกับ ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส มีความสัมพันธ์พิเศษระหว่างพ้ืนท่ีของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสท่ีสร้างจากด้านสามด้านของ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก กิจกรรมสองกิจกรรมต่อไปนี้จะช่วยให้นักเรียนเร่ิมเห็นความสัมพันธ์ ดังกลา่ วกอ่ นทจ่ี ะกลา่ วในรูปทั่วไปในกจิ กรรม 3 กจิ กรรม 1 1. ให้นักเรียนใชก้ ระดาษสรา้ งรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก ABC โดยมี AC และ CB ซึง่ เปน็ ดา้ นประกอบมุมฉากยาวเทา่ กนั และ AB เปน็ ด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก 2. สรา้ งรูปส่ีเหลย่ี มจตั รุ สั บน AC , CB และ AB กำ�หนดช่ือเป็น hACMN, hCBPO และ hARQB ตามล�ำ ดับ ดังรปู R NA Q MC B O P

7 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั 3. ลาก AM , NC , CP และ OB 4. ตัด hACMN และ hCBPO แต่ละรปู ออกเปน็ 4 ช้นิ ดังรูป R NA Q 1 42 M 3 C5 B 86 7 OP 5. นำ�รปู สามเหลย่ี มทง้ั 8 ชิ้น ไปวางซ้อนทบั hARQB จะวางซ้อนทบั hARQB ได้สนทิ พอดหี รอื ไม่ กจิ กรรม 2 1. ใหน้ กั เรยี นใช้กระดาษสร้างรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC โดยมี มมุ ACB เปน็ มุมฉาก และ CB ยาวเปน็ สองเทา่ ของ AC 2. สรา้ งรปู สเี่ หล่ยี มจัตรุ สั บน AB, AC และ BC กำ�หนดช่อื เป็น hABDE, hAGFC และ hBCHI ตามลำ�ดับ ดงั รูป GF H AC I E B D

8 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 3. ตดั hAGFC และตดั hBCHI โดยแบง่ hBCHI ออกเปน็ 4 สว่ น โดยมจี ดุ J และ จดุ K เปน็ จดุ ก่งึ กลางของ HI และ BC ตามลำ�ดับ ดงั รปู GF 1 AC H 2 3 E KJ 5 4 B I D 4. น�ำ กระดาษท้ัง 5 ชิ้น (คอื ชนิ้ ท่ี 1, 2, 3, 4 และ 5) ไปซ้อนทับ hABDE จะวางซ้อนทับ hABDE ไดส้ นทิ พอดหี รือไม่ ในกจิ กรรม 1 และกิจกรรม 2 นกั เรียนไดน้ �ำ ชิน้ ส่วนจากพื้นที่ของรปู สี่เหลีย่ มจตั รุ สั บน ด้านประกอบมุมฉากไปวางซ้อนทับพ้ืนท่ีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งจะวาง ไดเ้ ต็มรปู ส่เี หล่ยี มจัตรุ ัสบนดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากพอดี การทำ�กจิ กรรม 1 และกจิ กรรม 2 พบวา่ ผลบวกของพนื้ ทข่ี องรปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั บนดา้ นประกอบมมุ ฉากเทา่ กบั พน้ื ทขี่ องรปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั บนดา้ นตรงขา้ มมุมฉากของรปู สามเหล่ียมมุมฉาก R GF 5 1 A C H 2 I N A8 4 2 6 Q M C 3 E 7 3 15 B 4B OP รูปกิจกรรม 1 D รูปกิจกรรม 2

9 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 ทฤษฎีบทพีทาโกรสั กจิ กรรม 3 1. ให้นักเรียนใช้กระดาษสรา้ งรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC โดยมี มุม ACB เป็นมุมฉาก และ BC ยาวกวา่ AC 2. สร้างรปู สเี่ หลีย่ มจตั รุ ัสบน AB, AC และ BC กำ�หนดชื่อเป็น hABDE, hAGFC และ hBCHI ตามล�ำ ดบั ดงั รูป H F C I G B A ED 3. หาจดุ ใน hBCHI ซึง่ เป็นจดุ ตดั ของเสน้ ทแยงมุม ก�ำ หนดจุดดงั กลา่ วเปน็ จดุ O 4. ที่จุด O ลากเส้นตรง j ตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก AB และลากเส้นตรง k ต้ังฉากกับเสน้ ตรง j เส้นตรง j และเส้นตรง k แบง่ hBCHI เปน็ ส่วนย่อย 4 ส่วน ดงั รูป F H GC OI A k B j ED 5. ตัด hAGFC และสว่ นย่อย 4 ส่วน ของ hBCHI ไปวางซ้อนทับ hABDE จะซ้อนทับ hABDE ได้สนทิ พอดหี รอื ไม่ ถา้ นกั เรยี นสร้างรูปไมค่ ลาดเคลื่อน เมื่อนำ�ไปวางซ้อนทบั hABDE จะพบวา่ ซ้อนทับได้ สนิทพอดี นักเรียนจะสรุปผลการทำ�กิจกรรมนี้ว่าอย่างไร ให้นักเรียนเปรียบเทียบข้อสรุปของ นักเรียนกับข้อสรุปของเพอื่ นๆ

10 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 ถ้าความยาวของด้านประกอบมุมฉากของรูปสามเหล่ียมมุมฉากเป็น a และ b ดังนั้น พ้ืนท่ขี องรปู สี่เหล่ยี มจตั รุ สั บนดา้ นประกอบมมุ ฉากจะเป็น a2 และ b2 ตามลำ�ดับ ถา้ ความยาว ของดา้ นตรงข้ามมุมฉากเป็น c ดงั นัน้ พ้ืนท่ีของรปู สเี่ หลีย่ มจัตรุ ัสบนดา้ นตรงข้ามมุมฉากเป็น c2 จงเขยี นข้อความคาดกาณ์ของนกั เรียน ข้อความคาดการณ์ของนักเรียนควรสอดคลอ้ งกับทฤษฎีบทพีทาโกรสั ดังนี้ ส�ำ หรบั รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากใดๆ ก�ำ ลงั สองของความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก จะเท่ากับผลบวกของก�ำ ลังสองของความยาวของด้านประกอบมมุ ฉาก c b a นนั่ คือ เมอื่ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก a และ b เป็นความยาวของดา้ น ประกอบมมุ ฉาก จะได้ c2 5 a21b2 ตวั อย่างท่ี 1 จงหาความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก c ในรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก เม่อื ก�ำ หนด a และ b เป็นความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก (1) a 5 12, b 5 5 (2) a 5 1.6, b 5 3 (3) a 5 7, b 5 24 วิธที �ำ (1) จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั c2 5 a21b2 เมือ่ a 5 12 และ b 5 5 จะได ้ c2 5 122152 5 144125 5 169 5 13313 ดังน้ัน c 5 13 ตอบ 13 หนว่ ย

11 หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส (2) จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส c2 5 a21b2 เมอ่ื a 5 1.6 และ b 5 3 จะได ้ c2 5 1.62132 5 2.5619 5 11.56 5 3.433.4 ดงั นั้น c 5 3.4 ตอบ 3.4 หน่วย (3) จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั c2 5 a21b2 เม่อื a 5 7 และ b 5 24 จะได้ c2 5 721242 5 491576 5 625 5 25325 ดงั น้ัน c 5 25 ตอบ 25 หน่วย หมายเหต ุ เนอ่ื งจาก a และ b เปน็ ความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉาก และ c เปน็ ความยาว ของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก ซงึ่ มคี า่ เปน็ บวกเสมอ ดงั นน้ั ในหนว่ ยการเรยี นรนู้ จ้ี งึ กล่าวถึงเฉพาะคา่ a, b และ c ทเี่ ป็นบวกเท่านน้ั ในกรณีที่โจทย์กำ�หนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก และความยาวของด้าน ประกอบมมุ ฉากมาใหด้ า้ นหนง่ึ เรากส็ ามารถหาความยาวของดา้ นประกอบมมุ ฉากอกี ดา้ นหนงึ่ ได้ เนื่องจาก c2 5 a21b2 ..........(1) ถา้ โจทยก์ ำ�หนดคา่ c และ a มาให้ และโจทยต์ ้องการหาค่า b เราอาจจัดรูปสมการ (1) เป็น b2 5 c22a2 ..........(2) ถ้าโจทยก์ ำ�หนดค่า c และ b มาให้ และโจทย์ตอ้ งการหาคา่ a เราอาจจดั รปู สมการ (1) เป็น a2 5 c22b2 ..........(3)

12 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรียนท่ี 2 ตวั อย่างที่ 2 จงหาความยาวของด้านท่ีเหลอื ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก เม่ือกำ�หนดให้ a และ b เปน็ ความยาวของดา้ นประกอบมุมฉาก และ c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก (1) b 5 15, c 5 39 (2) a 5 24, c 5 30 (3) b 5 4.5, c 5 7.5 วธิ ที �ำ (1) จาก a2 5 c22b2 b 5 15 และ c 5 39 จะได้ a2 5 3922152 5 1,5212225 5 1,296 5 36336 ดงั นน้ั a 5 36 ตอบ 36 หนว่ ย (2) จาก b2 5 c22a2 เมื่อ a 5 24 และ c 5 30 จะได้ b2 5 3022242 5 9002576 5 324 5 18318 ดงั น้นั b 5 18 ตอบ 18 หนว่ ย (3) จาก a2 5 c22b2 เมอ่ื b 5 4.5 และ c 5 7.5 จะได้ a2 5 7.5224.52 5 56.25220.25 5 36 5 636 ดังนัน้ a 5 6 ตอบ 6 หนว่ ย

13 หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส ตวั อยา่ งที่ 3 ชายคนหนงึ่ ข่รี ถจกั รยานไปทางทศิ เหนือ 14 กโิ ลเมตร แล้วเดินทางต่อโดยการ เดนิ เทา้ ไปทางทิศตะวนั ตกอีก 10 กโิ ลเมตร จากน้ันนงั่ เรอื ขึ้นไปทางทศิ เหนอื อีก 10 กโิ ลเมตร จึงถงึ ที่หมาย ชายคนนอี้ ย่หู ่างจากจดุ เริ่มต้นกีก่ โิ ลเมตร วธิ ที ำ� D ใหจ้ ุด A เปน็ จดุ เริม่ ต้น AB เปน็ ระยะทางทข่ี ร่ี ถจกั รยานไปทางทศิ เหนอื 10 กม. 14 กโิ ลเมตร C 10 กม. BC เปน็ ระยะทางทเี่ ดนิ เทา้ ไปทางทศิ ตะวนั ตก B 10 กิโลเมตร 14 กม. CD เป็นระยะทางที่น่ังเรือขึ้นไปทางทิศเหนือ 10 กโิ ลเมตร E A AD แทนระยะห่างจากจดุ เรมิ่ ตน้ ถงึ ทหี่ มาย ตอ่ DC ไปทางจุด C พบส่วนของเสน้ ตรง AE ทข่ี นานกับ BC ทจ่ี ดุ E จะไดร้ ูปสี่เหลีย่ มผืนผ้า ABCE และรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ADE ท่มี มี มุ AED เปน็ มมุ ฉาก จะได้ AD2 5 AE21DE2 แต่ AE 5 BC 5 10 และ DE 5 DC1CE 5 10114 (CE 5 AB) 5 24 จะได ้ AD2 5 1021242 5 1001576 5 676 5 26326 ดังนน้ั AD 5 26 ตอบ ชายคนนอ้ี ยู่ห่างจากจุดเรม่ิ ต้น 26 กโิ ลเมตร ตวั อยา่ งท่ี 4 จากรูป จงหาพ้นื ท่ีของรูปสเ่ี หล่ียมคางหมู ABCD ซง่ึ มี AB 5 12 เซนตเิ มตร BC 5 13 เซนติเมตร และ CD 5 17 เซนติเมตร 13 ซม. C E B 12 ซม. 17 ซม. AD

14 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 วธิ ที ำ� ลาก BE ขนานกบั AD พบ CD ที่จุด E ดงั นน้ั DBCE เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก และ hABED เปน็ รปู สี่เหล่ยี มมมุ ฉาก จะได ้ EC 5 CD2ED 5 17212 (ED 5 AB) 5 5 เซนตเิ มตร เน่ืองจาก DBCE เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ดังน้นั BC2 5 BE21CE2 132 5 BE2152 BE2 5 132252 5 169225 5 144 5 12312 จะได ้ BE 5 12 เซนตเิ มตร น่ันคอื พ้ืนที่ของรูปสีเ่ หล่ียมคางหมู ABCD 5 1 3(12117)312 2 5 2936 5 174 ตารางเซนตเิ มตร ตอบ 174 ตารางเซนตเิ มตร กจิ กรรมตรวจสอบความเข้าใจ 2 กำ�หนด a และ b เปน็ ความยาวของด้านประกอบมุมฉาก และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ ม มมุ ฉากของรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก จงหาความยาวของอกี ดา้ นหนง่ึ 1. a 5 8, b 5 15 2. a 5 12, b 5 35 3. b 5 2.1, c 5 2.9 4. a 5 2.4, c 5 3

15 หนว่ ยการเรยี นร้ทู ี่ 1 ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส แบบฝกึ หดั 2 1. จงใช้ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั หาค่าของ c เมือ่ c แทนความยาวของดา้ น (1) (2) 3c 1c 4 2.4 (4) (3) c c 25 33 (5) 60 56 1.2 (6) 0.9 c 60 c 45 (7) c 6.3 (8) 1.6 c5 (9) (10) 1.4 cb c 41 28 40 53

16 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 2. จากรปู ท่ีก�ำ หนดให้ จงหาค่าของ a เม่อื a แทนความยาวของดา้ น (1) 17 12 a (2) 22 20 a (3) 25 7 a 4 8 16 3. บันไดยาว 50 ฟตุ ปลายบันไดขา้ งหนง่ึ จรดกบั เสาสงู 48 ฟุต ปลายบันไดอีกขา้ งหนง่ึ อยหู่ า่ ง จากโคนเสาก่ฟี ตุ 3. บทกลับของทฤษฎีบทพที าโกรสั ถา้ พนื้ ทขี่ องรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั บนดา้ นหนง่ึ ของรปู สามเหลย่ี มเทา่ กบั ผลบวกของพน้ื ทข่ี อง รูปส่เี หลีย่ มจตั ุรัสบนดา้ นอกี สองดา้ น แล้วรปู สามเหลย่ี มนีเ้ ปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากหรอื ไม่ ให้นกั เรยี นทำ�กิจกรรมต่อไปน้ี ขัน้ ท่ี 1 กำ�หนดสว่ นของเส้นตรงยาว 8 เซนตเิ มตร 15 เซนตเิ มตร และ 17 เซนตเิ มตร พิจารณาความสมั พันธข์ องก�ำ ลงั สองของความยาวสว่ นของเสน้ ตรง จะเห็นวา่ 172 5 152182 ขน้ั ท่ี 2 ใชว้ งเวยี นและสนั ตรงสรา้ งรปู สามเหลย่ี มโดยใชส้ ว่ นของเสน้ ตรงทส่ี รา้ งในขน้ั ท่ี 1 ขน้ั ท่ี 3 ใชโ้ พรแทรกเตอรว์ ดั ขนาดของมมุ ภายในทอ่ี ยตู่ รงขา้ มดา้ นทย่ี าวทส่ี ดุ มมุ ดงั กลา่ ว มีขนาดเทา่ กบั 90 องศา หรอื ไม่

17 หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 1 ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั ให้นักเรียนหาความสัมพันธ์ของกำ�ลังสองของความยาวส่วนของเส้นตรงที่กำ�หนด ให้แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมจากความยาวส่วนของเส้นตรงท่ีกำ�หนดให้พร้อมตรวจสอบว่าเป็น รูปสามเหล่ียมมุมฉากหรอื ไม่ กำ�หนดความยาวสว่ นของเส้นตรง ดงั นี้ 3 เซนติเมตร, 4 เซนตเิ มตร และ 5 เซนตเิ มตร จะเห็นวา่ 52 5 32142 Z สรา้ งรูป DXYZ ให้ XY 5 3 เซนตเิ มตร XZ 5 4 เซนตเิ มตร และ YZ 5 5 เซนตเิ มตร วดั มุม YXZ มขี นาด 908 หรอื ไม่ 54 Y 3X จากกจิ กรรมจะเหน็ ไดว้ ่า ถา้ รูปสามเหล่ียม XYZ มดี า้ นยาว x, y และ z หนว่ ย ตามลำ�ดับ และ x2 5 y21z2 จะได้วา่ DXYZ เป็นรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก และมดี ้านที่ยาว x หน่วย เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเปน็ จริงตามบทกลบั ของทฤษฎบี ทพที าโกรัสทกี่ ล่าวว่า สำ�หรับรูปสามเหล่ียมใดๆ ถ้ากำ�ลังสองของความยาวของด้านด้านหน่ึงเท่ากับผลบวก ของก�ำ ลงั สองของความยาวของดา้ นอกี สองดา้ น แลว้ รปู สามเหลยี่ มนนั้ เปน็ รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก บทกลบั ของทฤษฎบี ทพีทาโกรสั นน้ั เปน็ จรงิ โดยสามารถพิสูจนไ์ ดด้ ังนี้ A cb B aC ก�ำ หนดให้ DABC มี AB 5 c หนว่ ย BC 5 a หนว่ ย AC 5 b หนว่ ย และ b2 5 a21c2 ต้องการพสิ จู น์วา่ DABC เปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉาก มมี มุ ABC เปน็ มุมฉาก แนวคิดในการพิสจู น์ ตอ้ งสรา้ งรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก DEF ให้มมุ DEF เป็นมุมฉาก EF และ DE เป็นดา้ นประกอบมุมฉากยาว a หน่วย และ c หนว่ ย ตามล�ำ ดบั แล้วแสดงว่า DDEF  DABC

18 คณิตศาสตร์ ม.2 ภาคเรยี นท่ี 2 พิสจู น์ สรา้ งรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก DEF ใหม้ มุ DEF เป็นมุมฉาก EF และ DE เปน็ ดา้ น ประกอบมมุ ฉากยาว a หนว่ ย และ c หนว่ ย ตามล�ำ ดบั D c E aF EF 5 BC 5 a และ DE 5 AB 5 c (จากการสร้าง) DDEF เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก จะได้ DF2 5 a21c2 (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) แต่จาก DABC จะได้ b2 5 a21c2 (กำ�หนดให)้ ดังนนั้ DF2 5 b2 (สมบัติการเท่ากัน) นนั่ คือ DF 5 b จะได ้ DDEF > DABC (ดา้ น-ดา้ น-ด้าน) ดังน้นั DE^F 5 AB^C 5 908 (มุมที่สมนัยกันของรูปสามเหล่ียม ท่ีเทา่ กันทุกประการมขี นาดเทา่ กัน) นั่นคอื DABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มมุมฉาก มมี มุ ABC เป็นมุมฉาก ตัวอย่างท่ี 1 DABC มีด้านยาว 15 เซนตเิ มตร, 36 เซนติเมตร และ 39 เซนติเมตร DABC เป็น รปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากหรือไม่ วิธที ำ� ให ้ a 5 15 เซนตเิ มตร b 5 36 เซนติเมตร A 3396 ซซมม. . CB15 ซม . จ ะได้ bacc222 5555 1213,2,952529เซ61นติเมตร a21b2 5 22511,296 5 1,521 ดังน้นั c2 5 a21b2 ตอบ DABC เปน็ รปู สามเหล่ียมมุมฉาก

19 หนว่ ยการเรียนรู้ที่ 1 ทฤษฎบี ทพที าโกรัส ตวั อย่างท่ี 2 ก�ำ หนดรปู สามเหลีย่ ม ABC ดงั รูป จงแสดงว่า DABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก A 12 B D 9C 16 วิธที ำ� DABD เป็นรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก จะได้ AB2 5 AD21BD2 5 1221162 5 1441256 AB2 5 400 DACD เป็นรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก จะได ้ AC2 5 AD21CD2 5 122192 5 144181 AC2 5 225 จะได้ AB21AC2 5 4001225 5 625 และ BC2 5 (BD1DC)2 5 (1619)2 5 252 5 625 ดังนั้น BC2 5 AB21AC2 ตอบ DABC เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก มมี ุม BAC เปน็ มมุ ฉาก