Colorful Online Class Etiquette Values Education Presentation

UNIT 1 MATHEMATICS Saquences & Series ลําดับและอนุกรม

1.ลาํ ดบั 1.1 ความหมายของลาํ ดับ ในการเขยี นลําดับ จะเขยี นเฉพาะเรนจ์เรียงกนั กลา่ วคือ ถ้า a เปนลาํ ดบั บทนยิ าม1 ซึง a(1) = a1 , a(2) = a2 , a(3) = a3 , ... , a(n) = an แลว้ ลาํ ดับ (Saquences) คือ เรยี ก a1 ว่าพจนท์ ี 1 ของลําดบั ฟงกช์ นั ทมี โี ดเมนเปนเซต เรียก a2 วา่ พจน์ที 2 ของลําดบั {1,2,3,...,n} หรือ มโี ดเมนเปน เรยี ก a3 วา่ พจน์ที 3 ของลําดบั เซตของจาํ นวนเต็มบวก เรยี ก an วา่ พจนท์ ี n ของลําดับ หรือพจน์ทวั ไปของลาํ ดับ

ลาํ ดบั จํากัด (Finite sequence) เปนลําดบั ทีมโี ดเมนเปนเซต {1,2,3,...,n} เขยี นแสดงด้วย a1 , a2 , a3 , ... , an 1 ลาํ ดับอนนั ต์ (Infinite sequence) เปนลําดบั ทมี ีโดเมนเปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวก เขียนแสดงลําดบั ด้วย a 1 , a 2 , a 3 , ... , an

การเขียนแสดงลาํ ดับ ตัวอย่างของลาํ ดับ เขยี นแจกแจงพจน์ 1. 7 , 14 , 21 , 28 , ... เขียนพจนท์ ัวไป เปนลําดับจํากัด ใช้ความสมั พนั ธเ์ วียนเกดิ บอกเงือนไขของลําดับหรือ 2. 1 , 3 , 5 , 7 , ... สมบัตขิ องพจนข์ องลําดับ เปนลาํ ดบั จาํ กัด 3. 6 , 11 , 16 , 21 , ... , S +1 , ... เปนลําดับอนนั ต์ 4.4,9,16,25,...,(n+1) ,... เปนลําดับอนนั ต์ เทคนคิ ลาํ ดบั จาํ กดั สามารถนบั ไดว้ ่ามเี ท่าไหร่ ลาํ ดับอนนั ต์ ไม่สามารถนับได้

จากบทนยิ าม 1.2 ลาํ ดับเลขคณิต ลาํ ดบั a1, a2, a3, ... , an, ... เปนลําดับเลขคณิต ก็ต่อเมือ บทนิยาม2 มีค่าคงตวั d ที an+1 - an= d ลําดับเลขคณิต (Arithmetic สาํ หรบั ทุกจาํ นวนเต็มบวก n sequence) คือ ลําดบั ทีมผี ลต่างทีได้ จาการนําพจนท์ ี n+1 ลบด้วยพจน์ที n สูตร an = a1+(n-1)d เปนค่าทเี ทา่ กัน สําหรบั ทกุ จํานวนเต็ม บวก n และเรียกคา่ คงตัวนันว่า \"ผล ตา่ งร่วม (Common differences)\" แทนสญํ ลกั ษณด์ ้วย d a คอื พจน์ที n ของลาํ ดับเลขคณิต a คือ พจน์ที 1 ของลาํ ดับเลขคณติ n คอื ตาํ แหนง่ ของพจน์ที n d คอื ผลตา่ งร่วม 1

ถา้ ลาํ ดับเลขคณิตมี a 1 = 22 และ a = 35 จงหาพจน์ที ตัวอยา่ งโจทย์ 100 ลาํ ดบั เลขคณิต วิธีทาํ หา d เมอื an= a1+(n-1)d an= a1+(2-1)d 35 = 22+d d = 13 a100= 22+(100-1)(13) a100= 22+99(13) a100= 22+1,287 a100= 1,309 ดงั นนั พจนท์ ี 100 ของลําดับเลขคณติ นี คอื 1,309

บทนิยาม 3 ลาํ ดับเรขาคณติ (Geometric Sequence) คือลําดบั 1.3 ลาํ ดบั ซงึ มอี ตั ราส่วนของพจนท์ ี n+1 ตอ่ พจน์ที n เปนค่า เรขาคณติ คงตวั เทา่ กนั สาํ หรับทุกจาํ นวนเตม็ บวก n และเรยี กคา่ คงตัวทีเปนอตั ราส่วนนีว่า \"อตั ราสว่ นรว่ ม\" แทนดว้ ย สัญลักษณ์ r สตู รทวั ไปของลําดับเรขาคณติ กําหนดลาํ ดบั เรขาคณิต a1 , a2 , a3 , ... , a n, ... an+1 จาก an =r สําหรับทุกจํานวนจริงบวก n สตู ร an+1= anr

ตัวอยา่ งโจทย์ จงหาพจน์ที 7 ของลาํ ดับเรขาคณิต 4 , ลําดบั เรขาคณิต 20 , 100 , ... วิธีทํา a1 = 4 , r = 240= 5 an= a1rn-1 a 7= 4(5)7-1 a 7= 4(5)6 a 7= 62,500 ดังนนั พจนท์ ี 7 ของลําดับเรขาคณติ นี คอื 62,500

2.อนกุ รม อนุกรมทีไดจ้ ากลําดับคณติ 2.1 ความหมายอนุกรม 2.2 อนกุ รมเลขคณติ ถา้ a1, a2, a3, ... , an สูตรของผลบวก เปนลาํ ดบั จํากดั ทมี ี n อนกุ รมเลขคณิต พจน์ จะเขยี นแสดง แบ่งเปน 2 สูตร การบวกของพจน์ทุก พจน์ของลาํ ดบั ในรูป Sn=n2 (a1+a n) a 1 + a2 + a3 + ... + an ว่า \" อนกุ รมจํากดั S n= n[2a 1+(n-1)d] 2

ตวั อย่างโจทย์อนุกรมเลขคณิต จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต เมือกาํ หนดให้ n = 50 และ ลําดับเลขคณิต คือ 5,7,9,11,13,... วิธที ํา a1 = 5 , d = 7-5 = 2 a50 = a1+(n-1)d a50 = 5+(50-1)d a50 = 5+49(2) a50 = 103 S50 = n (a +a ) 2 S50 = 50(5+103) 2 S50 = 25(108) S50 = 2,700 ดังนัน ผลบวก 50 พจนแ์ รก คอื 2700

2.3 อนุกรมเรขาคณิต ตวั อย่างโจทยอ์ นุกรม เรขาคณติ อนกุ รมทีไดจ้ ากลําดับเรขาคณิต จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของ สูตรของผลบวกอนกุ รมเรขาคณติ มดี ังนี a1 - anr ลําดบั เรขาคณติ 1,2,4,8,... 1-r Sn = วธิ ีทาํ a = 1, r = 2(rn-1) S = a r-1 หรือ เมอื S = a (28-1) r=1 r-1 a1(1-rn) S = 255 Sn = 1-r ดงั นนั ผลบวก 8 พจนแ์ รก ของลาํ ดับเรขาคณติ นีคอื 255

การประยุกตข์ อง ลาํ ดับและอนุกรม กาํ หนดตัวแปรให้ S = เงนิ รวม P = เงนิ ต้น I = จาํ นวนดอกเบยี หรอื คา่ ตอบแทน K = อตั ราผลตอบแทนหรืออัตรา ดอกเบยี ตอ่ ปทีได้รับจากการ ลงทนุ ต่องวด T = ระยะเวลา

สตู ร ดอกเบียคงต้น ดอกเบยี ทบตน้ มูลคา่ ปจจุบัน I = Prt )r -kn S = P(1+r)n P = S(1+ S = P(1+ kr) k มูลคา่ อนาคต รายงวด รายงวด ผอ่ นชาํ ระ r )kn (ตน้ งวด) (สนิ งวด) S = P(1+ k R[1-(1+r)n ] R(1+r)[(1+r)-n-1] R[(1+r)-n-1] S= r S= r S= r

น.ส.จุฑามาศ อุปพิลา ชัน ม.5/8 เลขที 3