เรขาคณิตวเิ คราะห์ 28 Jul 2015
สารบัญระยะระหวา่ งจดุ ....................................................................................................................................................................... 1จดุ กง่ึ กลาง................................................................................................................................................................................ 3ความชนั ................................................................................................................................................................................... 4สมการกราฟเส้นตรง ................................................................................................................................................................ 7ระยะระหวา่ งจดุ กบั เส้นตรง................................................................................................................................................... 11ระยะระหวา่ งเส้นขนาน ......................................................................................................................................................... 14
เรขาคณิตวิเคราะห์ 1ระยะระหวา่ งจดุเรื่องนี ้จะเรียนเกยี่ วกบั การหาคา่ ของสงิ่ ตา่ งๆทอี่ ยบู่ นแกน X - Y โดยจะมีสตู รตา่ งๆมากมายทีต่ ้องทอ่ งสตู รแรก เป็นสตู รในการหาระยะทางระหวา่ งจดุ 2 จดุ ที่กาหนดให้ (������2, ������2) ระยะทางระหวา่ งจดุ (������1, ������1) และ (������2, ������2) ? หาได้จากสตู ร √(������2 − ������1)2 + (������2 − ������1)2 (เอาจดุ ไหนเป็นตวั ตงั้ จดุ ไหนเป็นตวั ลบก็ได้ ได้คาตอบเทา่ กนั )(������1, ������1)เช่น ระยะระหวา่ งจดุ (1, 2) กบั (4, 6) คือ √(4 − 1)2 + (6 − 2)2 = √32 + 42 = √25 = 5 ระยะระหวา่ งจดุ (1, −2) กบั (−3, 0) คือ √(1 − (−3))2 + (−2 − 0)2 = √42 + (−2)2 = √20 = 2√5 ระยะระหวา่ งจดุ (−2, −3) กบั (−1, 1) คอื √(−2 − (−1))2 + (−3 − 1)2 = √(−1)2 + (−4)2 = √17ตวั อยา่ ง จงพจิ ารณาวา่ สามเหลยี่ มท่ีมจี ดุ A(−1, 1) , B(0, −1) , C(5, 1) เป็นจดุ ยอด เป็นสามเหลยี่ มมมุ ฉากหรือไม่วธิ ีทา สามเหลย่ี มมมุ ฉาก จะต้องมคี วามยาวด้านทงั้ สาม สอดคล้องกบั สตู ร ������2 + ������2 = ������2 ดงั นนั ้ เราจะหาความยาว AB , BC และ AC เพื่อตรวจสอบวา่ ������2 + ������2 = ������2 หรือไม่ A C AB = √(−1 − 0)2 + (1 − (−1))2 = √(−1)2 + 22 = √5 # BC = √(5 − 0)2 + (1 − (−1))2 = √52 + 22 = √29 B AC = √(5 − (−1))2 + (1 − 1)2 = √62 + 02 = √36จะเห็นวา่ √52 + √292 = 5 + 29 = 34 ≠ √362ดงั นนั้ สามเหลย่ี ม ABC ไมเ่ ป็นสามเหลย่ี มมมุ ฉากแบบฝึกหดั 2. (−1 , −4) และ (−6 , 8)1. จงหาระยะทางระหวา่ งจดุ ตอ่ ไปนี ้ 1. (−1 , 3) และ (3 , 0)3. (−1 , 1) และ (1 , −1) 4. (0, 3) และ (−3, 3)
2 เรขาคณิตวเิ คราะห์ 2. วงกลมวงหนงึ่ มีจดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (0, −2) ถ้าวงกลมวงนผี ้ า่ นจดุ (3, −1) แล้ว จงหารัศมขี องวงกลม 3. จดุ A เป็นจดุ บนแกน Y ซง่ึ หา่ งจากจดุ (1, 1) กบั (−4, 6) เป็นระยะทางเทา่ กนั จงหาพิกดั ของจดุ A 4. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสเี่ หลยี่ มทมี่ ีจดุ ยอดเป็น A(−2, 3) B(2, 8) C(4, 4) และ D(0, −3) พนื ้ ที่ของรูปสเี่ หลย่ี ม ABCD เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/9] 5. ถ้าวงกลมวงหนงึ่ มีจดุ ศนู ยก์ ลางคือ C(ℎ, ������) อยบู่ นเส้นตรง ������ + ������ + 4 = 0 และวงกลมนผี ้ า่ นจดุ A(−5, −2) และจดุ B(−2, 5) แล้ว พนื ้ ท่ีของรูปสามเหลย่ี ม ABC เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/31]
เรขาคณิตวเิ คราะห์ 3จดุ กงึ่ กลางสตู รทส่ี อง เป็นสตู รสาหรับหาพิกดั ของจดุ ทอี่ ยกู่ ง่ึ กลางระหวา่ งจดุ 2 จดุ ทีก่ าหนดให้(������1, ������1) (������2, ������2) จดุ กง่ึ กลางระหวา่ ง (������1, ������1) และ (������2, ������2) (?,?) หาได้จากสตู ร (������1+������2 , ������1+������2) 22เช่น จดุ ทอี่ ยกู่ ง่ึ กลางระหวา่ ง (1, 2) และ (5, 8) คอื (1+5 , 2+8) = (3, 5) 22จดุ ทอ่ี ยกู่ ง่ึ กลางระหวา่ ง (−3, 0) และ (1, −4) คอื (−3+1 , 0+(−4)) = (−1, −2) 22จดุ ที่อยกู่ งึ่ กลางระหวา่ ง (4, −2) และ (−1, −2) คือ (4+(−1) , −2+(−2)) = ( 3 , −2) 22 2ตวั อยา่ ง กาหนดให้ A(1, 3) , B(−2, 2) และ C(0, 6) เป็นจดุ ยอดของสามเหลย่ี มรูปหนงึ่ จงหาความยาวสว่ นของเส้นตรงท่ลี ากจากจดุ A ไปแบง่ ครึ่งด้าน BCวิธีทา C จดุ ที่แบง่ คร่ึงด้าน BC คอื (−2+0 , 2+6) = (−1, 4) 22 A B ดงั นนั ้ ระยะจาก A ไปยงั (−1, 4) = √(−1 − (−1))2 + (3 − 4)2 = 1 #แบบฝึกหดั 2. (−2, 2) กบั (−2, −2)1. จงหาจดุ กง่ึ กลางระหวา่ งจดุ สองจดุ ตอ่ ไปนี ้ 1. (2, 3) กบั (4, −1)3. (0, −3) กบั (4, 2) 4. ( − 1 , 1) กบั (− 3 , −2) 222. วงกลมวงหนง่ึ มจี ดุ ศนู ย์กลางคือ (2 , −1) และมี ̅A̅̅B̅ เป็นเส้นผา่ นศนู ย์กลาง ถ้าพิกดั ของจดุ A คือ (−1, −3) แล้ว จงหาพิกดั ของจดุ B
4 เรขาคณิตวิเคราะห์ความชนัเรื่องนจี ้ ะสนใจวดั วา่ เส้นตรงท่กี าหนดให้ “ชนั ” ขนาดไหน (������2, ������2) ความชนั ของเส้นตรงท่ีผา่ นจดุ (������1, ������1) และ (������2, ������2) (������1, ������1) หาได้จากสตู ร ������2−������1 (หรือ ������1−������2 ก็ได้) ������2−������1 ������1−������2เช่น (0 , 0) (−5 , −1) (3, 10) ความชนั = 0−(−1) = 1 ความชนั = 10−4 = 6 = 3 0−(−5) 5 3−1 2 (1, 4) ความชนั = 0−(−3) = − 3 (−1 , 1) (5 , 1) −2−6 8 ความชนั = 1−1 = 0 (−2, 0) (6, −3) 5−(−1)อกี สตู รหนง่ึ ท่ใี ช้หาความชนั ได้ คอื ความชนั = tan ������ เม่อื ������ คอื มมุ ทเ่ี ส้นกราฟทากบั แกน X บวกเชน่ 30° 135°ความชนั = tan 30° = 1 ความชนั = tan 45° = 1 √3และความชนั แตล่ ะคา่ จะมคี วามหมายดงั นี ้ ชนั = +น้อยๆ ชนั = +1 ชนั = +มากๆชนั = 0 หาความชนั ไมไ่ ด้ ชนั = −น้อยๆ ชนั = −1 ชนั = −มากๆและเราสามารถนาความชนั ไปใช้ตรวจสอบการขนานกนั หรือ ตงั้ ฉากกนั ของเส้นตรง 2 เส้น ได้ ดงั นี ้ เส้นตรงทขี่ นานกนั จะมคี วามชนั เทา่ กนั เส้นตรงทีต่ งั้ ฉากกนั จะมคี วามชนั คณู กนั ได้ −1
เรขาคณิตวเิ คราะห์ 5ตวั อยา่ ง จงพิจารณาวา่ A(−1 , 3) , B(1 , 2) และ C(6 , 0) อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั หรือไม่วิธีทา ทงั้ สามจดุ จะอยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั เมือ่ ̅A̅̅B̅ กบั ̅B̅̅C̅ “ชนั เทา่ กนั ”A(−1, 3) B(1, 2) ความชนั ̅A̅̅B̅ = 3−2 = − 1 −1−1 2 ≠ C(6, 0) ความชนั B̅̅̅C̅ = 2−0 = − 2 1−6 5 ดงั นนั้ ทงั้ สามจดุ ไมอ่ ยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั #ตวั อยา่ ง กาหนด A(−1, 6), B(0, 3) , C(1, 5) จงพิจารณาวา่ สามเหลย่ี ม ABC เป็นสามเหลย่ี มมมุ ฉากหรือไม่วธิ ีทา ข้อนี ้จะหาระยะระหวา่ งจดุ มาเช็ควา่ ������2 + ������2 = ������2 หรือไม่ แบบหวั ข้อก่อนหน้าก็ได้ แตอ่ กี วิธีทง่ี า่ ยกวา่ คอื เช็คจากกฎท่บี อกวา่ เส้นตรงท่ตี งั้ ฉากกนั จะมคี วามชนั คณู กนั ได้ −1 โดยเราจะหาความชนั ของ AB , BC , AC ออกมา แล้วดวู า่ มคี ไู่ หน ความชนั คณู กนั ได้ −1 หรือเปลา่ความชนั ̅A̅̅B̅ = 6−3 = −3 −1−0ความชนั ̅B̅̅C̅ = 5−3 = 2 คณู กนั ได้ −1 → ̅B̅̅C̅ ⊥ ̅A̅̅C̅ 1−0ความชนั ̅A̅̅C̅ = 6−5 = − 1 −1−1 2ดงั นนั้ ABC เป็นสามเหลย่ี มมมุ ฉาก #แบบฝึกหดั 2. (0, −2) และ (−2, 0)1. จงหาความชนั ของเส้นตรง ทผี่ า่ นจดุ ตอ่ ไปนี ้ 1. (1, −1) และ (2, 3)3. (3, 2) และ (3, −3) 4. (1, 2) และ จดุ กงึ่ กลางระหวา่ ง (3, −1) กบั (1, 1)2. จงพิจารณาวา่ สเ่ี หลย่ี มท่เี กิดจาก A(−2, 2) , B(3, 4) , C(5, −6) , D(−1, −3) เป็นสเ่ี หลย่ี มคางหมหู รือไม่
6 เรขาคณิตวิเคราะห์ 3. กาหนดให้ A(−1, −3) และ B(9, −8) ถ้า C เป็นจดุ บนแกน X ทท่ี าให้ A̅̅̅C̅ ⊥ ̅B̅̅C̅ แล้ว จงหาพกิ ดั ของจดุ C 4. จดุ A(1, 0) และ จดุ B(������, 0) เมอ่ื ������ > 1 เป็นจดุ ปลายของเส้นผา่ นศนู ย์กลางของวงกลมวงหนงึ่ ถ้าเส้นตรง ������ ผา่ นจดุ (−1, 0) และสมั ผสั กบั วงกลมวงนี ้มคี วามชนั เทา่ กบั 4 แล้ว ������ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/34] 3
เรขาคณิตวิเคราะห์ 7สมการกราฟเส้นตรงกราฟเส้นตรง คอื กราฟท่ีมีสมการในรูป ������������ + ������������ + ������ = 0 เมอ่ื ������ , ������ , ������ เป็นตวั เลขอะไรก็ได้เมอ่ื ตอน ม. ต้น เราได้เรียนวธิ ีวาดกราฟ ของสมการกราฟเส้นตรง ไปแล้วโดยเราจะใช้วิธีแทนคา่ หาจดุ ซกั 2 - 3 จดุ ทีท่ าให้สมการกราฟเป็นจริง แล้วลากเส้นผา่ นเช่น 2������ − ������ + 3 = 0 ������ = 2 ������ = −3������ −1 0 1 ������ 2 2 2 ������ −1 0 1������ 1 3 5 ������ −1 0 1 ������ −3 −3 −3ในทางกลบั กนั ถ้ากาหนดเงื่อนไขตา่ งๆของกราฟมา เราต้องสามารถย้อนกลบั ไปหาสมการกราฟได้สตู รสาหรับหาสมการกราฟ จากเงื่อนไขตา่ งๆ มดี งั นี ้ ผา่ นจดุ (������1, ������1) และมีความชนั = ������������−������1 = ������ เชน่ ชนั = − 2 ������−3 = − 2 3������−������1 (−1, 3) ������−(−1) 3 3������ − 9 = −2������ − 2 2������ + 3������ − 7 = 0 ผา่ นจดุ (������1, ������1) และ (������2, ������2) เชน่ (1, 5) ������−5 = 5−1 ������−������1 = ������2−������1 (−1, 1) ������−1 1−(−1) ������−������1 ������2−������1 2������ − 10 = 4������ − 4 0 = 4������ − 2������ + 6 0 = 2������ − ������ + 3 มีความชนั = ������ และ มีระยะตดั แกน Y คอื ������ ชนั = 2 ������ = 2 ������ + (−2) เช่น 3 3 ������ = ������������ + ������ 3������ = 2������ − 6 −2 0 = 2������ − 3������ − 6 มีระยะตดั แกน X คอื ������ และ มีระยะตดั แกน Y คอื ������ เช่น ������ + ������ = 1������ + ������ = 1 2 32������ ������ 2������ + 3������ = 6 2������ + 3������ − 6 = 0 3
8 เรขาคณิตวเิ คราะห์ตวั อยา่ ง จงหาสมการเส้นตรงทผี่ า่ นจดุ (−1, 2) และตงั้ ฉากกบั เส้นตรง 4������ + 3������ + 2 = 0วธิ ีทา เส้นตรงทต่ี ้องการต้องตงั้ ฉากกบั 4������ + 3������ + 2 = 0แปลวา่ ความชนั ของเส้นทีต่ ้องการ คณู กบั ความชนั ของ 4������ + 3������ + 2 = 0 ต้องได้ −14������ + 3������ + 2 = 0 หาความชนั ของ 4������ + 3������ + 2 = 0 ก่อน 3������ = −4������ − 2 โดยจดั รูปให้เป็น ������ = ������������ + ������ แล้วเอา ������ ไปใช้ ������ = − 4 ������ − 2 จะได้ความชนั ของ 4������ + 3������ + 2 = 0 คอื − 4 33ดงั นนั้ ความชนั ของเส้นที่ต้องการ คอื 3 (เพราะ 3 คณู − 4 ได้ −1) 3 4 43ใช้สตู ร ������−������1 = ������ หาสมการเส้นตรงที่ผา่ น (−1, 2) และ ชนั = 3 ได้ ������−������1 4 ������−2 = 3 ������−(−1) 4ดงั นนั้ สมการเส้นตรงที่ต้องการ คอื 3������ − 4������ + 11 = 0 4������ − 8 = 3������ + 3 0 = 3������ − 4������ + 11 #แบบฝึกหดั1. จงหาสมการเส้นตรงท่ผี า่ นจดุ (−2, 1) และ (3, −1)2. จงหาสมการเส้นตรงท่ผี า่ นจดุ (0, −2) และขนานกบั เส้นตรง 2������ + ������ − 1 = 03. จงหาสมการเส้นตรงทีผ่ า่ นจดุ (1, 2) และตงั้ ฉากกบั เส้นตรง ������ = 1 − 3������
เรขาคณิตวิเคราะห์ 94. กาหนดให้ P(−1, −1) และ Q(1, ������) เป็นจดุ ในระนาบ XY ถ้า ℓ เป็นเส้นตรงซง่ึ ผา่ นจดุ P, Q และมคี วามชนั เทา่ กบั 3 แล้ว จงหาสมการเส้นตรงท่มี ีความชนั เทา่ กบั −2 และผา่ นจดุ Q5. ให้ L เป็นเส้นตรงท่ผี า่ นจดุ (0, 1) และตงั้ ฉากกบั เส้นตรง ������ + 2������ = 6 พนื ้ ที่ของบริเวณในควอดรันต์ (quadrant) ท่ี 1 ซงึ่ ล้อมร้อบด้วย แกน ������ แกน ������ เส้นตรง L เส้นตรง ������ + 2������ = 6 เทา่ กบั ก่ีตารางหนว่ ย [PAT 1 (ต.ค. 55)/40]6. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มทีม่ ี A(0, 0) และ B(2, 2) เป็นจดุ ยอด และ C(������, ������) เป็นจดุ ยอดในจตภุ าค(quadrant) ท่ี 2 ท่ที าให้ด้าน AC ยาวเทา่ กบั ด้าน BC ถ้าพนื ้ ทขี่ องสามเหลยี่ ม ABC มคี า่ เทา่ กบั 4 ตารางหนว่ ยแล้วจดุ C อยบู่ นเส้นตรงในข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (มี.ค. 53)/15]1. ������ − ������ + 4 = 0 2. 4������ + 3������ − 1 = 03. 2������ − ������ − 3 = 0 4. ������ + ������ − 5 = 0
10 เรขาคณิตวเิ คราะห์7. รูปสามเหลย่ี ม ABC มมี มุ AB̂C เป็นมมุ ฉาก และด้านตรงข้ามมมุ ฉากยาว 10 หนว่ ย ถ้าพกิ ดั ของจดุ A และจดุ B คือ(−4, 3) และ (−1, 2) ตามลาดบั แล้วสมการเส้นตรงในข้อใดผา่ นจดุ C [PAT 1 (ก.ค. 53)/9]1. ������ + 8������ − 27 = 0 2. 8������ + ������ − 27 = 03. 4������ − 5������ + 3 = 0 4. −5������ + 4������ + 3 = 08. กาหนดให้ ������ > tan 60° และ A(������, 3) , B(7,8) และ C(−4,9) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลยี่ มท่มี มี มุ A เป็น มมุ ฉาก ให้ L เป็นสมการเส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ A และจดุ B จงหาจานวนเตม็ บวก ������ ท่ีน้อยท่ีสดุ ท่ีทาให้พาราโบลา ������������ = ������2 + 2������ มจี ดุ ร่วมกบั เส้นตรง ������ เพยี งจดุ เดียว [PAT 1 (ม.ี ค. 54)/34]
เรขาคณิตวิเคราะห์ 11ระยะระหวา่ งจดุ กบั เส้นตรง # #หวั ข้อนจี ้ ะเป็นสตู รสาหรับหาระยะตงั้ ฉาก จากจดุ ไปยงั เส้นตรงกอ่ นจะใช้สตู รนไี ้ ด้ ต้องจดั สมการเส้นตรงให้อยใู่ นรูป ������������ + ������������ + ������ = 0 ก่อน (������1, ������1) ระยะตงั ้ ฉาก จากจดุ (������1, ������1) ? ������������ + ������������ + ������ = 0 ไปยงั เส้นตรง ������������ + ������������ + ������ = 0 หาได้จากสตู ร |������������1+������������1+������| √������2+������2เชน่ 3������ − 2������ + 1 = 0 ������ + ������ = 0 ������ = |3(5)−2(−1)+1| ������ ������ = |(−2)+(−2)| √32+(−2)2 (−2 , −2) ������ √12+12 (5 , −1) = 18√13 = 2√2 13ตวั อยา่ ง จงหาระยะหา่ งระหวา่ งจดุ (−2, 1) กบั เส้นตรง ������ = 2������ − 3วธิ ีทา จดั ������ = 2������ − 3 ให้อยใู่ นรูป ������������ + ������������ + ������ = 0 กอ่ น ได้เป็น 2������ − ������ − 3 = 0จะได้ ระยะหา่ ง คอื |(2)(−2)−(1)−3| = |−1| = 1 = 1 × √5 √22+(−1)2 √5 √5 √5 √5 = √5 5ตวั อยา่ ง จงหาสมการกราฟเส้นตรงท่มี คี วามชนั 3 และอยหู่ า่ งจากจดุ (1, 0) เป็นระยะทาง 2 หนว่ ย 4วธิ ีทา ความชนั = 3 ดงั นนั้ สมการกราฟต้องอยใู่ นรูป ������ = 3 ������ + ������ 44จดั ให้อยใู่ นรูป ������������ + ������������ + ������ = 0 ได้ ������ = 3 ������ + ������ 4 4������ = 3������ + 4������ 0 = 3������ − 4������ + 4������ดงั นนั ้ ระยะจาก (1, 0) ไป เส้นตรงนี ้จะเทา่ กบั |3(1)−4(0)+4������| = |3+4������| = |3+4������| √32+(−4)2 √9+16 5ดงั นนั ้ |3+4������| = 2 5 |3 + 4������| = 10 3 + 4������ = ±10 ไมต่ ้องหา ������ ก็ได้ เอา 4������ ไปแทน 4������ = 7 , −13 ใน 3������ − 4������ + 4������ = 0 ได้เลยจะได้สมการกราฟ คอื 3������ − 4������ + 7 = 0 กบั 3������ − 4������ − 13 = 0แบบฝึกหดั 2. (−3, −5) กบั เส้นตรง ������ = 01. จงหาระยะระหวา่ งจดุ กบั เส้นตรงทกี่ าหนดให้ตอ่ ไปนี ้ 1. (−2, 1) กบั เส้นตรง ������ − ������ + 1 = 0
12 เรขาคณิตวิเคราะห์ 2. วงกลมวงหนงึ่ มจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่ (2, −1) และมีเส้นตรง ������ + ������ − 4 = 0 เป็นเส้นสมั ผสั จงหารัศมีของ วงกลมวงนี ้ 3. จงหาสมการกราฟเส้นตรงท่ีตงั้ ฉากกบั เส้นตรง 12������ + 5������ − 3 = 0 และอยหู่ า่ งจากจดุ (−1, −1) เป็นระยะทาง 3 หนว่ ย 4. สามเหลยี่ ม ABC มีจดุ A(3, 4) , B(0, −2) , C(3, 1) จงหาความยาวของสว่ นสงู ทล่ี ากจาก A ไปยงั ฐาน B̅̅̅C̅
เรขาคณิตวิเคราะห์ 135. จดุ ������(−3, 1) ������(1, 5) ������(8, 3) และ ������(2, −3) เป็นจดุ ยอดของรูปสเ่ี หลย่ี ม ������������������������ ข้อใดตอ่ ไปนีผ้ ดิ [PAT 1 (ม.ี ค. 53)/9] 1. ด้าน ������������ ขนานกบั ด้าน ������������ 2. ผลบวกความยาวของด้าน ������������ กบั ������������ เทา่ กบั 10√2 หนว่ ย 3. ระยะตงั้ ฉากจากจดุ ������ ไปยงั เส้นตรงท่ีผา่ นจดุ ������ และจดุ ������ มคี า่ เทา่ กบั 9√2 หนว่ ย 2 4. ระยะตงั้ ฉากจากจดุ ������ ไปยงั เส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ ������ และจดุ ������ มคี า่ เทา่ กบั 9 หนว่ ย 26. กาหนดให้ M(������, ������) เป็นจดุ ก่งึ กลางของเส้นตรงท่เี ชื่อมจดุ ตดั ระหวา่ งกราฟ ������������ = 6 กบั เส้นตรง ������ − ������ − 1 = 0 จงหาระยะระหวา่ งจดุ M กบั เส้นตรง 6������ − 8������ + 13 = 0 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/30*]7. ให้ ������ เป็นจดุ ตดั ของเส้นตรง ������ − 3������ + 1 = 0 และ 2������ + 5������ − 9 = 0 ถ้าเส้นตรง L มีความชนั เทา่ กบั ������ เมือ่ ������ < 0 มรี ะยะหา่ งจากจดุ กาเนดิ (0, 0) เทา่ กบั ������ หนว่ ย โดยท่ี ������2 + 2������ = 1 และผา่ นจดุ ������ แล้วสมการ ของเส้นตรง L ตรงกบั ข้อใดตอ่ ไปนี ้ [PAT 1 (เม.ย. 57)/10] 1. 2������ + ������ − 5 = 0 2. 3������ + ������ − 7 = 0 3. ������ + 2������ − 4 = 0 4. ������ + 3������ − 5 = 0
14 เรขาคณิตวเิ คราะห์ระยะระหวา่ งเส้นขนานหวั ข้อนจี ้ ะเป็นสตู รสาหรับหาระยะตงั้ ฉาก ระหวา่ งเส้นขนานก่อนจะใช้สตู รนไี ้ ด้ ต้องจดั สมการเส้นตรงให้อยใู่ นรูป ������������ + ������������ + ������ = 0 กอ่ น ������������ + ������������ + ������1 = 0 ระยะระหวา่ งเส้นตรง ������������ + ������������ + ������1 = 0 ? กบั เส้นตรง ������������ + ������������ + ������2 = 0 ������������ + ������������ + ������2 = 0 หาได้จากสตู ร |������1−������2| √������2+������2จะเหน็ วา่ ก่อนจะใช้สตู รนไี ้ ด้ ต้องจดั สมการของทงั้ สองเส้น ให้มีสว่ น ������������ + ������������ เทา่ กนั กอ่ น(ถ้าจดั ไมไ่ ด้ แปลวา่ เส้นตรงสองเส้นนนั้ ไมข่ นานกนั หาระยะตงั้ ฉากไมไ่ ด้)เช่น |5−(−1)| √32+(−4)2 ������ = ������ + 2������ −2 = 0 ������ = หาไมไ่ ด้3������ − 4������ + 5 = 0 ������ =6 ������ + ������ +2 = 0 5 3������ − 4������ − 1 = 0ตวั อยา่ ง จงหาระยะหา่ งระหวา่ ง 2(������ − ������) = 5 และ ������ = ������ + 2วธิ ีทา จดั รูปทงั้ สองสมการให้เป็นรูป ������������ + ������������ + ������ = 0 ท่ีมี ������������ + ������������ เหมอื นกนั กอ่ น 2(������ − ������) = 5 ������ = ������ + 2 คณู 2 ตลอด จะได้เป็น 2������ − 2������ = 5 0 = ������ − ������ + 2 2������ − 2������ เหมอื นฝ่ังโน้น 2������ − 2������ − 5 = 0 0 = 2������ − 2������ + 4 ดงั นนั้ ระยะหา่ ง = |4−(−5)| = |9| = 9 = 9 × √2 = 9√2 # √22+22 √8 2√2 4 # 2√2 √2ตวั อยา่ ง จงหาระยะหา่ งระหวา่ ง ������ − ������ + 1 = 0 และ ������ + ������ − 2 = 0วิธีทา ข้อนจี ้ ะเห็นวา่ ทงั้ สองสมการอยใู่ นรูป ������������ + ������������ + ������ = 0 อยแู่ ล้ว แตอ่ นั แรกเป็น ������ − ������ อีกอนั เป็น ������ + ������ ดงั นนั้ เอาอะไรมาคณู ก็ไมม่ ีทางเป็น ������������ + ������������ เหมอื นกนั ได้ ดงั นนั้ สองเส้นนีไ้ มข่ นานกนั หาระยะหา่ งไมได้แบบฝึกหดั1. จงหาระยะหา่ งระหวา่ งเส้นตรงตอ่ ไปนี ้ 1. 12������ + 5������ − 32 = 0 และ 12������ + 5������ + 33 = 0
เรขาคณิตวิเคราะห์ 152. 4������ − 3������ − 1 = 0 และ 6������ − 8������ = 23. ������ − ������ = 2 และ ������ − ������ = 34. ������ = −1 และ ������ = 52. จงหาสมการเส้นตรงทอ่ี ยหู่ า่ งจากเส้นตรง ������ = √3������ − 2 เป็นระยะทาง 3 หนว่ ย3. จงหาสว่ นสงู ของสเี่ หลย่ี มคางหมู ABCD เมอื่ กาหนดพกิ ดั A(1, 4) , B(7, 4) , C(3, −2) , D(−1, 1)
16 เรขาคณิตวเิ คราะห์ 4. กาหนดให้ ������1 เป็นเส้นตรงผา่ นจดุ (−2, −4) มีความชนั เป็นจานวนเตม็ บวก และตดั แกน ������ และแกน ������ ทจ่ี ดุ ������ และจดุ ������ ตามลาดบั โดยผลบวกของระยะตดั แกน ������ และระยะตดั แกน ������ เทา่ กบั 3 หนว่ ย ให้ ������2 เป็นเส้นตรงท่ี ขนานกบั เส้นตรง ������1 และผา่ นจดุ (0, −13) ถ้า ������ เป็นจดุ บนเส้นตรง ������2 โดยที่ ������������ = ������������ แล้วพนื ้ ท่ขี องรูป สามเหลยี่ ม ������������������ เทา่ กบั ก่ีตารางหนว่ ย [PAT 1 (พ.ย. 57)/17]
เรขาคณิตวิเคราะห์ 17 ระยะระหวา่ งจดุ 2. 13 3. 2√2 4. 3 3. (0, 5) 4. 32 5. 14.51. 1. 52. √10 จดุ กงึ่ กลาง1. 1. (3, 1) 2. (−2, 0) 3. (2, − 1) 4. (−1, − 1)2. (5, 1) 2 2 ความชนั1. 1. 4 2. −1 3. หาไมไ่ ด้ 4. −22. เป็น 3. (5, 0) หรือ (3, 0) 4. 17สมการกราฟเส้นตรง1. 2������ + 5������ − 1 = 0 2. 2������ + ������ + 2 = 03. 3������ − ������ − 1 = 04. ������ = −2������ + 7จากสตู รความชนั ������ = ������2−������1 จะได้ ℓ จะมคี วามชนั = ������−(−1) = 3 แก้สมการจะได้ ������ = 5 1−(−1) ������2−������1เส้นตรงทีม่ ีความชนั เทา่ กบั −2 จะอยใู่ นรูป ������ = −2������ + ������ และต้องผา่ นจดุ Q(1,5) แสดงวา่ 5 = −2(1) + ������แก้สมการ ได้ ������ = 7 ดงั นนั ้ คาตอบคือ ������ = −2������ + 75. 8.2 6. 1 7. 2 8. 4ระยะระหวา่ งจดุ กบั เส้นตรง1. 1. √2 2. 5 7. 1 3. 5������ − 12������ − 46 = 0 , 5������ − 12������ + 32 = 02. 3√2 5. 4 6. 2 24. 3√2 2ระยะระหวา่ งเส้นขนาน1. 1. 5 2. 2 3. 5√2 4. 6 5 2 3. 18√132. √3������ − ������ + 4 = 0 , √3������ − ������ − 8 = 0 134. 8.5
Search
Read the Text Version
- 1 - 19
Pages: