introduction to set

[วนั ที่] บทที่ 1 ตรรกะกบั เซต ครูอุไรวรรณ จนั ทมลู วทิ ยาลยั อาชวี ศกึ ษามหาสารคาม สานักงานคณะกรรมการการอาชีวศกึ ษา

1 บทท่ี 1 ความรู้เบื้องต้นเกย่ี วกับเซต หัวข้อการเรียนรู้ 1. ความรูเ้ บ้ืองตน้ เก่ียวกบั เซต จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 1. บอกความหมายของเซต เซตวา่ ง เซตยอ่ ย และการเทา่ กนั ของเซตได้ 2. เขียนเซตและสมาชิกของเซตได้ 3. มีทกั ษะในการกระทาการดาเนินการระหวา่ งเซต 4. เขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ได้

2 การกล่าวถึงส่ิงต่าง ๆ ท่ีอยรู่ วมกนั เป็ นกลุ่ม เป็ นคณะ อธิบายถึงลกั ษณะทบี่ ง่ บอกถึงการ อยรู่ วมกนั ของสิ่งต่าง ๆ ในทางคณิตศาสตร์จะใชค้ าว่า “เซต” (Set) เพอื่ บอกถึงการรวมหรือกลุ่มของ สิ่งต่างๆ การศกึ ษาดา้ นการพฒั นาโปรแกรม ตอ้ งมีพน้ื ฐานเกี่ยวกบั เซต เพราะถือเป็ นพน้ื ฐานสาหรับ สาขาท่ีเก่ียวขอ้ งกบั คอมพิวเตอร์ ท้งั ในส่วนของซอฟตแ์ วร์(Software) หรือการเขียนโปรแกรมและ ส่วนของฮาร์ดแวร์ (Hardware)หรือการทางานของเครื่อง ความรู้เบื้องต้นเกยี่ วกบั เซต 1. ความหมายของเซต เซต หมายถึง การอธิบายถึงกลุ่มของส่ิงตา่ ง ๆ ทม่ี ีลกั ษณะเหมือนกนั เป็ นกลุ่มเป็ น พวกเดียวกนั หรืออาจต่างกนั แต่มีลกั ษณะบางอยา่ งร่วมกนั สิ่งท่ีรวมอยภู่ ายในเซต เรียกวา่ สมาชิก ของเซต เซตทร่ี วมเอาทุกสิ่งทกุ อยา่ งท่ีตอ้ งการศกึ ษา เพอ่ื ใชเ้ ป็ นขอบเขตสาหรับการพจิ ารณา เซตใหม่ เรียกวา่ เอกภพสมั พทั ธ์ (Relative Universe) เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ U เซตทีจ่ ะนามาศกึ ษา ตอ้ งเป็นเซตที่สามารถตดั สินใจไดอ้ ยา่ งแน่นอนว่าเป็ นสมาชิกของสิ่งน้นั เช่น เซตของครูวทิ ยาลยั อาชีวศึกษามหาสารคามท่ีใส่เส้ือแดงเลือดหมู หมายถึง กลุ่มของครูวทิ ยาลยั อาชีวศกึ ษามหาสารคาม ทใี่ ส่เส้ือสีแดงเลือดหมู เซตของหนังสือคอมพวิ เตอร์ในหอ้ งสมุด หมายถึง กลุ่มของหนงั สือหมวด คอมพวิ เตอร์ที่อยใู่ นหอ้ งสมุด เซตของอาเภอในจงั หวดั มหาสารคาม หมายถึง กลุ่มของอาเภอที่อยู่ ในเขตจงั หวดั มหาสารคาม เซตของสระในภาษาองั กฤษ หมายถึง ตวั อกั ษร a, e, i, o และ u เซตของวนั ในหน่ึงสปั ดาห์ หมายถึง ชื่อของวนั ในหน่ึงสปั ดาห์ต้งั แต่วนั อาทิตยถ์ ึงวนั เสาร์ เป็นตน้ 2. สมาชิกของเซต การเขียนอธิบายสิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ภายในเซต เรียกว่า “สมาชิกของเซต” หรืออาจ เรียกวา่ “สมาชิกอยใู่ นเซต” ก็ได้ เช่น หนงั สือคอมพิวเตอร์เบ้ืองตน้ เป็ นสมาชิกของเซตหนงั สือใน หอ้ งสมุด อาเภอโกสุมพสิ ยั เป็นสมาชิกของเซตอาเภอในจงั หวดั มหาสารคาม วนั อาทิตยเ์ ป็นสมาชิก ของเซตวนั ในหน่ึงสปั ดาห์ ตวั อกั ษร m เป็นสมาชิกของเซตคาวา่ computer เป็นตน้ โดยทวั่ ไปจะใชต้ วั อกั ษรพมิ พใ์ หญ่ เช่น A, B, C, … แทนเซต ใชต้ วั อกั ษรพมิ พ์ เล็ก เช่น a, b, c, … แทน สมาชิกของเซต และใชส้ ญั ลกั ษณ์ “” (Epsilon) แทนคาวา่

3 “สมาชิกของ” หรือ “อยใู่ น” และใชส้ ญั ลกั ษณ์ “” แทนคาวา่ “ไม่เป็ นสมาชิกของ” หรือ “ไม่ อยใู่ น” เช่น A = {1, 3, 5, 7, 9} จากเซต A สามารถอธิบายไดว้ า่ 1 เป็นสมาชิกของ A เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 1  A 7 เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 7  A 2 ไม่เป็ นสมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 2  A B = {2, 4, {6}, 8} จากเซต B สามารถอธิบายไดว้ า่ 2 เป็นสมาชิกของ B เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 2  B {6} เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ {6}  B 6 ไม่เป็ นสมาชิกของ B เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 6  B ถา้ เซต A เป็ นเซตจากดั การเขียนบอกจานวนสมาชิกของเซต A สามารถเขียน ไดโ้ ดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ |A| เช่น A = {1, 3, 5, 7, 9} จะได้ |A| = 5 B = {2, 4, {6}, 8} จะได้ |B| = 4 3. วิธีการเขยี นเซต การเขียนเซตนิยมใชต้ วั อกั ษรพมิ พใ์ หญ่ของภาษาองั กฤษ เช่น A, B, C, D แทนชื่อ ของเซต และใชต้ วั อกั ษรตวั พมิ พเ์ ลก็ ของภาษาองั กฤษ เช่น a, b, c, d แทนสมาชิกของเซต การเขียนเซตจะใชช้ ื่อเซตตามดว้ ยเคร่ืองหมายเท่ากบั และสมาชิกที่อยใู่ นวงเล็บปี กกาเปิ ดและปิ ด วธิ ีการเขียนเซตสามารถเขยี นได้ 2 วธิ ีคือ เขียนแบบแจกแจงสมาชิก และเขียนแบบบอกเง่อื นไข 3.1 การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก เป็ นการเขียนสมาชิกแต่ละตวั ไวใ้ นวงเล็บปี กกาเปิ ดและปิ ด “{…}” และคั่น สมาชิกแตล่ ะตวั ดว้ ยเคร่ืองหมายจลุ ภาค “,” เช่น เซต A เป็นเซตของวนั ในหน่ึงสปั ดาห์ A = {อาทติ ย,์ จนั ทร์, องั คาร, พธุ , พฤหสั บดี, ศุกร์,เสาร์} เซต B เป็นเซตของเดือนในหน่ึงปี B = {มกราคม, กุมภาพนั ธ์, มีนาคม, เมษายน, พฤษภาคม, มิถุนายน, กรกฎาคม, สิงหาคม, กนั ยายน, ตุลาคม, พฤศจิกายน, ธนั วาคม} เซต C เป็ นเซตของเลขคู่ต้งั แต่ 1 – 10 C = {2, 4, 6, 8, 10} เป็นตน้

4 ในกรณีทเ่ี ซตน้นั มีจานวนสมาชิกมาก สามารถละสมาชิกบางตวั ไวใ้ นฐานที่ เขา้ ใจได้ เช่น เซต X เป็นเซตของจานวนนบั นอ้ ยกวา่ 100 X = {1, 2, 3, …, 100} เซต Y เป็นเซตของจานวนเตม็ บวก Y = {1, 2, 3, …} เซต D เป็นเซตของจานวนเตม็ บวกทห่ี าร ดว้ ย 10 ลงตวั D = {10, 20, 30, … } เป็นตน้ 3.2 การเขียนแบบบอกเงื่อนไข เป็นวธิ ีการเขียนเซตโดยใชต้ วั แปรแทนสมาชิกทกุ ตวั ของเซต และเขียนบอก คุณสมบตั ิของตวั แปรทใ่ี ชบ้ อกคุณสมบตั ิของสมาชิกภายในเซตน้นั โดยใชเ้ ครื่องหมาย “ | ” อ่านวา่ “ซ่ึง” หรือ “โดยที่” (Such that) คน่ั ระหวา่ งตวั แปรกบั เง่ือนไข แลว้ บรรยายลกั ษณะเซต เช่น W = {x | x เป็ นวนั ทีข่ ้ึนตน้ ดว้ ยตวั อกั ษร “ส” } ดงั น้นั W = { เสาร์ } Z = {x | x เป็ นไพห่ น่ึงสารบั } ดงั น้นั Z = {โพดา, โพแดง, ดอกจกิ , ขา้ วหลามตดั } เป็นตน้ 4. การเท่ากันของเซต 4.1 เซตทีเ่ ท่ากนั เซตที่เท่ากนั (Equal Set) หมายถึงเซตสองเซตทีม่ ีจานวนสมาชิกเหมือนกนั โดยไม่คานึงถึงลาดบั ก่อนหลงั สญั ลกั ษณ์ทีใ่ ชแ้ สดงความเท่ากนั ใชเ้ ครื่องหมายเทา่ กบั “ = ” และ สญั ลกั ษณ์ที่แสดงความไม่เท่ากนั คือเครื่องหมายไม่เท่ากบั “ ” เช่น A = { 2, 4, 6, 8} และ B = {x | x เป็ นจานวนเตม็ บวกเลขคู่ท่นี อ้ ยกวา่ 10} แจกแจงสมาชิกของ B ไดค้ อื B = {2, 4, 6, 8} ดงั น้นั A = B เป็นตน้ 4.2 เซตที่เทยี บเท่ากนั เซตสองเซตจะเทียบเทา่ กนั (Equivalent Set) กต็ ่อเมื่อท้งั สองเซตมีจานวน สมาชิกเทา่ กนั เมื่อเซต A เทยี บเทา่ กบั เซต B เขียนแทนดว้ ย A  B หรือ A  B หมายความวา่ สมาชิกของ A และสมาชิกของ B สามารถจบั คูห่ น่ึงตอ่ หน่ึงไดพ้ อดี เช่น A = { 2, 4, 6, {8, 10}} B = {2, 4, 6, 8} ดงั น้นั A  B เพราะจานวนสมาชิกเท่ากนั เป็นตน้

5 5. ชนิดของเซต 5.1 เซตว่าง เซตวา่ ง (Null Set หรือ Empty Set) คือเซตที่ไม่มีสมาชิกของเซตหรือมี จานวนสมาชิกเท่ากบั ศนู ย์ สญั ลกั ษณ์ทีใ่ ชค้ ือ  หรือ { } เช่น A = {x | x เป็ นช่ือของวนั ท่ขี ้นึ ตน้ ดว้ ยตวั อกั ษร ก } ดงั น้นั A =  Q = {x | x2 = 25 และ x เป็ นเลขคู่} ดงั น้นั Q =  เป็ นตน้ 5.2 เซตย่อย เมื่อเซต A และเซต B เป็นเซตใดๆ เซต A จะเป็นเซตยอ่ ย (Sub Set) ของเซต B เมื่อสมาชิกของ A ทกุ ตวั เป็นสมาชิกของ B สญั ลกั ษณ์ที่ใชค้ อื ““ ถา้ เซต A เป็ นเซตยอ่ ยของ เซต B เขียนสญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น A  B ถา้ เซต A ไม่เป็นเซตยอ่ ยของเซต B เขียนสญั ลกั ษณ์ไดเ้ ป็น A  B เช่น A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 2, 1} สมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ดงั น้นั เซต A เป็ นเซตยอ่ ยของเซต B สามารถเขยี นสญั ลกั ษณ์ไดด้ งั น้ี A  B เซตวา่ งเป็นเซต ยอ่ ยของทุกเซต 5.3 เซตกาลัง เซตกาลงั (Power Set) คือ เซตที่ประกอบดว้ ยสมาชิกทเี่ ป็นเซตยอ่ ยท้งั หมดของ เซต A สามารถเขียนสญั ลกั ษณ์แทนเซตกาลงั ของเซต A คอื P(A) เช่น เซต A = {1, 2, 3} เซตกาลงั ของเซต A คอื P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}} เป็นตน้ 5.4 เซตจากัด คือเซตท่สี ามารถนบั จานวนสมาชิกได้ วา่ เป็ น 0 หรือเป็ นจานวนเตม็ บวก เช่น เซตของเดือนในหน่ึงปี , เซตของจงั หวดั ในประเทศไทย เป็นตน้ 5.5 เซตอนันต์ คอื เซตทไี่ ม่สามารถนบั จานวนสมาชิกได้ เช่น เซตของจุดบนเสน้ ตรง, เซตของจานวนจริง, เซตของจานวนนบั เป็นตน้

6 6. การดาเนินการระหว่างเซต นิยาม เซตเอกภพสมั พทั ธ์ (U) หรือเอกภพสมั พทั ธ์ คือ เซตของส่ิงของท้งั หมดที่ กาหนดข้นึ เพอื่ เป็นขอบเขตในการพจิ ารณา โดยถือวา่ สมาชิกทไ่ี ม่อยใู่ นเซตน้ีจะไม่นามาพจิ ารณา 6.1 ผลผนวกหรือยูเนียน ถา้ A และ B เป็นเซต 2 เซตใด ๆ ยเู นียน (Union) ของเซต A และเซต B คอื เซตทม่ี ีสมาชิกท้งั หมดทอ่ี ยใู่ นเซต A หรืออยใู่ นเซต B หรืออยทู่ ้งั ในเซต A และเซต B เขยี นแทน ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A  B เช่น A = {1, 2, 3} B = {0, 1, 2, 4} A  B = {0, 1, 2, 3, 4} หรือ A = {x, y, z} B =  A  B = {x, y, z} เป็นตน้ 6.2 ผลตดั หรืออินเตอร์เซกชัน ถา้ A และ B เป็นเซต 2 เซตใด ๆ อินเตอร์เซกชนั (Intersection) ของเซต A และ เซต B คือเซตของสมาชิกท้งั หมดที่อยทู่ ้งั เซต A และเซต B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A  B เช่น A = {1, 2, 3} B = {0, 1, 2, 4} A  B = {1, 2} หรือ A = {x, y, z} B =  หรือ A  B =  เป็นตน้ 6.3 ส่วนเตมิ เต็มหรือคอมพลีเมนต์ ถา้ A เป็ นเซตยอ่ ยของเอกภพสมั พทั ธ์ คอมพลีเมนต์ (Complement) ของ A คือ เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกของเซต U แตไ่ ม่เป็ นสมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ AC ห รื อ A / เช่ น U = {1, 2, …, 10} แล ะ A = {2, 4, 6, 8} แล ะ B = {1, 2, 7, 9} AC = {1, 3, 5, 7, 9, 10} BC = {3, 4, 5, 6, 8, 10} 6.4 ผลต่าง ถา้ A และ B ต่างก็เป็ นสับเซตของ U ผลต่าง (Difference) ของเซต A และ B คือ เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกของ A แตไ่ ม่เป็ นสมาชิกของ B เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ A – B เช่น A = {1, 3, 5, 7, 9} และ B = {2, 3, 5, 9} ดงั น้นั B – A = {2} และ A – B = {1, 7} เป็นตน้

7 7. การเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์(Venn-Euler Diagram) เป็นการเขยี นแผนภาพแสดง ความสมั พนั ธข์ องเซต เพอ่ื ช่วยใหค้ วามเขา้ ใจเก่ียวกบั เซตง่ายข้ึน นิยมเขียนรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ แทน เอกภพสมั พทั ธ์ U สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์ เขยี นแทนดว้ ยวงรี เม่ือ U คือ เอกภพสมั พทั ธ์ และ A, B และ C คือ เซตจากดั ใดๆ เขียนแผนภาพเวนน์- ออยเลอร์ แสดงการดาเนินดารต่างๆ ระหวา่ งเซตได้ ดงั น้ี ภาพท่ี 1.1 แผนภาพแสดงเซต A และเซต B ที่มีสมาชิกบางตวั ร่วมกนั แต่เซต C ไม่มีสมาชิกร่วมกบั เซต A และเซต B ภาพท่ี 1.2 แผนภาพแสดงเซต A, เซต B และเซต C มีสมาชิกบางตวั ร่วมกนั ภาพที่ 1.3 แผนภาพแสดงเซต A และเซต B เป็ นสบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ์

8 8. การนาเซตไปใช้ในการแก้ปญั หาโจทย์ การแกป้ ัญหาโจทยโ์ ดยใชค้ วามรู้เรื่องเซต สิ่งท่ีนามาใชป้ ระโยชนม์ ากคือ การเขยี น แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และนาความรู้เรื่องสมาชิกของเซตจากดั มาใช้ เช่น ตวั อย่างที่ 1 บริษทั แห่งหน่ึงมีพนกั งาน 80 คน พนกั งาน 18 คน ใช้ รถยนต์ พนกั งาน 23 คน มี บา้ นอยู่ และ 9 คน มีบา้ นและรถ จงหา 1. จานวนพนกั งานท้งั หมดทม่ี ีรถหรือบา้ น 2. จานวนพนกั งานทไ่ี มม่ ีรถหรือบา้ น วธิ ีทา ให้ A แทนเซตของพนกั งานท่ีมีรถยนต์ ให้ B แทนเซตของพนกั งานทีม่ ีบา้ น ภาพที่ 1.4 แผนภาพแสดงการใชเ้ ซตหาจานวนพนกั งานทมี่ ีบา้ นหรือรถยนต์ (1.) n(A) = 18, n(B) = 23, n(A  B) = 9 พจิ ารณา n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดงั น้นั จานวนพนกั งานทีม่ ีรถหรือบา้ นจานวน 32 คน (2.) มีพนกั งานท้งั หมด 80 คน เพราะฉะน้นั จะเป็ นพนกั งานทไี่ ม่มีรถหรือบา้ น = 80 – 32 = 48 คน

9 ตัวอย่างท่ี 2 วทิ ยาลยั อาชีวศึกษามหาสารคามมีนกั ศกึ ษาจานวน 1,000 คน เลือกเรียนคณิตศาสตร์ 800 คน เรียนคอมพวิ เตอร์ 400 คน และเลือกเรียนท้งั สองวชิ า 280 คน จงหา 1. จานวนนกั ศึกษาทีเ่ รียนคณิตศาสตร์เพยี งวชิ าเดียว 2. จานวนนกั ศกึ ษาที่เรียนคอมพวิ เตอร์วชิ าเดียว 3. จานวนนกั ศกึ ษาทีไ่ ม่ไดเ้ รียนวชิ าใดวชิ าหน่ึงเลย 4. จานวนนกั ศึกษาท่ไี ม่ไดเ้ รียนท้งั สองวชิ าพรอ้ มกนั วธิ ีทา ให้ U แทนเซตของนกั ศึกษาท้งั หมด A แทนเซตของนกั ศกึ ษาที่เรียนวชิ าคณิตศาสตร์ B แทนเซตของนกั ศกึ ษาท่เี รียนวชิ าคอมพวิ เตอร์ A  B แทนเซตของนกั ศึกษาที่เรียนท้งั สองวชิ า กาหนดให้ n(U) = 1,000 n(A) = 800 n(B) = 400 n(A  B) = 280 สามารถเขียนแผนภาพ เวนน์-ออยเลอร์ ไดด้ งั น้ี ภาพที่ 1.5 แผนภาพแสดงการหาจานวนนกั เรียนทเี่ รียนวชิ าคณิตศาสตร์และคอมพวิ เตอร์ (1.) นกั ศกึ ษาเรียนคณิตศาสตร์วิชาเดียว = 800 – 280 = 520 คน (2.) นกั ศึกษาทเี่ รียนคอมพวิ เตอร์วชิ าเดียว = 400 – 280 = 120 คน

10 (3.) นกั ศกึ ษาที่ไม่ไดเ้ รียนวชิ าใดวชิ าหน่ึงเลย = 1,000 – 520 – 280 - 120 = 80 คน (4.) นกั ศึกษาทีไ่ มไ่ ดเ้ รียนท้งั สองวชิ าพร้อมกนั คือ นกั ศกึ ษาทีเ่ รียนวชิ าใดวิชาหน่ึงรวม กบั นกั ศึกษาทไี่ ม่ไดเ้ รียนวชิ าใดเลย = 1,000 – 280 = 720 คน การแกป้ ัญหาโจทยโ์ ดยใชค้ วามรู้เรื่องเซต ส่ิงที่นามาใชป้ ระโยชน์มากคอื การเขยี น แผนภาพ เวนน์-ออยเลอร์ ความรู้เรื่องเบ้อื งตน้ เกี่ยวกบั เซต จะเป็นพ้นื ฐานสาคญั ในการเขียน โปรแกรม เพราะคอมพวิ เตอร์ทางานดว้ ยการตดั สินใจอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงท่ถี ูกตอ้ ง