แบบฝึกทกั ษะ วิชาคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน เรอ่ื ง ลาดบั และอนกุ รม ก ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดบั คำนำ แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ลาดบั และอนกุ รม เปน็ ส่วนหนง่ึ ของการจัดกจิ กรรม การเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ สาหรับนกั เรยี นช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 โดยมุ่งพฒั นาผลสัมฤทธ์ิทาง การเรียนของนกั เรยี น อีกท้ังนกั เรียนสามารถใช้เปน็ เครอ่ื งมอื ในการแสวงหาความรู้ ความเข้าใจ ด้วยตนเอง เป็นสือ่ ทม่ี ปี ระสทิ ธภิ าพ อานวยประโยชน์ตอ่ การเรียนการสอน ตามวัตถปุ ระสงคข์ อง หลักสตู รได้ ซง่ึ ผจู้ ดั ทาได้ดาเนินการใหส้ อดคล้องตามกรอบหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้นั พน้ื ฐาน พ.ศ.2551 ชว่ ยสง่ เสรมิ กระบวนการแกป้ ญั หา การให้เหตผุ ล การสอื่ สาร สือ่ ความหมายทาง คณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชอ่ื มโยงความรทู้ างคณติ ศาสตรเ์ พอ่ื ใหเ้ กิดความคดิ รวบยอดและ การคดิ ริเริม่ สร้างสรรค์ ในการจัดทาครั้งนผ้ี ูจ้ ัดทาไดร้ บั คาแนะนาจากผเู้ ชี่ยวชาญ การสนบั สนุน คาปรึกษาจาก ผ้อู านวยการโรงเรยี น คณะครู และความร่วมมอื ในการทาแบบฝกึ ทักษะของนกั เรียนช้ันมัธยมศกึ ษา ปีท่ี 5 โรงเรยี นนาหนงั พฒั นศึกษา ใหส้ าเร็จดว้ ยดี ผจู้ ัดทาหวังเปน็ อย่างยง่ิ วา่ แบบฝกึ ทกั ษะ คณิตศาสตร์เลม่ นี้จะเป็นประโยชน์ต่อการจดั กจิ กรรมการเรยี นการสอนของครู เพอ่ื พฒั นานกั เรยี น ใหม้ คี วามรู้ความสามารถและนาไปใช้ในชีวิตประจาวันได้ เฉลิม ลชิ ยั มลุ ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการ
แบบฝึกทกั ษะ วชิ าคณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน เรื่อง ลาดบั และอนกุ รม ข ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 เล่มที่ 1 ลาดับ สำรบัญ เรอ่ื ง หนำ้ คานา ก สารบญั ข คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทกั ษะ 1 คาช้แี จงสาหรับครู 2 คาชี้แจงสาหรบั นกั เรยี น 3 ขัน้ ตอนการเรียนรโู้ ดยใช้แบบฝกึ ทกั ษะ 4 สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตวั ช้วี ดั 5 จุดประสงค์การเรยี นรู้ 6 แบบทดสอบก่อนเรียน 7 กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน 9 ใบความรู้ท่ี 1 ความหมายของลาดบั 10 แบบฝกึ ทกั ษะที่ 1 ความหมายของลาดบั 13 แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2 ลาดับจากัดและลาดบั อนันต์ 15 ใบความรู้ที่ 2 การเขยี นลาดบั ในรปู แจงพจน์ 16 แบบฝกึ ทักษะท่ี 3 การเขียนลาดบั ในรปู แจงพจน์ 19 แบบทดสอบหลงั เรยี น 21 กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน 23 ตารางบันทึกคะแนน 24 บรรณานุกรม 25 ภาคผนวก 26 27 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน 28 เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 1 ความหมายของลาดบั 30 เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 2 ลาดับจากดั และลาดบั อนันต์ 31 เฉลยแบบฝกึ ทักษะที่ 3 การเขยี นลาดบั ในรูปแจงพจน์
แบบฝึกทักษะ วิชาคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน เรือ่ ง ลาดับและอนุกรม 1 ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดับ คำชี้แจงเก่ยี วกบั แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศำสตร์ 1. แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดบั และอนุกรม สาหรับนกั เรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษา ปีที่ 5 เป็นแบบฝึกทกั ษะทสี่ ร้างขึ้นเพือ่ ใชป้ ระกอบการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์ มีท้ังหมด 6 เล่ม ดังนี้ เลม่ ท่ี 1 ลำดบั เลม่ ท่ี 2 การหาพจนท์ ั่วไปของลาดบั เล่มท่ี 3 ลาดบั เลขคณติ เลม่ ท่ี 4 ลาดบั เรขาคณติ เล่มท่ี 5 อนกุ รมเลขคณติ เล่มท่ี 6 อนกุ รมเรขาคณติ 2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตรน์ ี้ จัดทาขน้ึ เพอื่ เปน็ สอ่ื การจดั กจิ กรรมการเรยี นการสอน ให้ผเู้ รียนไดศ้ ึกษา ทาความเขา้ ใจ สาหรบั นักเรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 3. แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เลม่ ที่ 1 ลำดบั ประกอบดว้ ย 3.1 คาชแ้ี จงเกี่ยวกับแบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ 3.2 คาชแ้ี จงสาหรบั ครู 3.3 คาชแ้ี จงสาหรบั นกั เรยี น 3.4 ขนั้ ตอนการเรยี นร้โู ดยใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ 3.5 สาระ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชีว้ ัด 3.6 จุดประสงค์การเรยี นรู้ 3.8 แบบทดสอบกอ่ นเรียน 3.9 ใบความรู้ 3.10 แบบฝกึ ทกั ษะ 3.11 แบบทดสอบหลังเรยี น 3.12 ตารางบันทึกคะแนน 3.13 บรรณานกุ รม 3.14 ภาคผนวก
แบบฝึกทกั ษะ วิชาคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน เรอื่ ง ลาดับและอนกุ รม 2 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดบั คำช้แี จงสำหรบั ครู แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เลม่ ที่ 1 ลำดับ ใช้ประกอบการจดั การเรยี นการสอน วชิ า คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน สาหรบั นกั เรียนชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5 กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ ครผู สู้ อนเป็นผมู้ บี ทบาทสาคัญทจี่ ะช่วยในการดาเนินการเรยี นรูข้ องนกั เรยี นให้บรรลุตามจดุ ประสงค์ ครูผสู้ อนจงึ ควรศึกษารายละเอียดเกย่ี วกบั การปฏบิ ตั กิ ่อนทจ่ี ะใช้บทเรียนสาเรจ็ รปู ดังน้ี 1. ข้ันเตรียมกำรสอน ครผู สู้ อนควรดาเนินการดงั น้ี 1.1 ศกึ ษาแผนการจัดการเรยี นรู้ ชดุ แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์และอ่านเนื้อหาสาระ อย่างละเอยี ดรอบคอบ พรอ้ มทง้ั ทาความเขา้ ใจกบั เนอื้ หาทกุ เลม่ กอ่ นการใช้งาน 1.2 เตรียมชุดแบบฝึกทกั ษะใหค้ รบถ้วนและเพยี งพอกับจานวนผ้เู รียน 1.3 เตรียมเคร่อื งมอื วัดและประเมนิ ผล เพือ่ ใหท้ ราบความก้าวหนา้ ของผเู้ รียน 2. ข้ันกำรจัดกิจกรรมกำรเรยี นกำรสอน ครูควรดาเนนิ การดงั น้ี 2.1 ดาเนินการจดั กจิ กรรมการเรียนรตู้ ามกจิ กรรมการเรยี นร้ทู ี่กาหนดไวใ้ นแผนการจัดการ เรยี นรอู้ ย่างเคร่งครดั 2.2 ชแ้ี จงจุดประสงค์การเรียนรู้และเกณฑก์ ารประเมินให้ผเู้ รยี นทราบ 2.3 ชแี้ จงให้ผเู้ รียนทราบเก่ียวกบั บทบาทของผเู้ รยี น ในการเรยี นรูโ้ ดยใช้แบบฝึกทักษะ คณิตศาสตรใ์ ห้เขา้ ใจ และเนน้ ย้าเรื่องความซอ่ื สตั ย์ โดยไมล่ อดเพอ่ื น ไมใ่ ห้เพอื่ ทาให้กอ่ นลงมอื ทา ด้วยตนเอง 2.4 สงั เกตความตงั้ ใจของผเู้ รยี น ความสนใจในการเรียน การทางานร่วมกันเปน็ กลุ่มของ ผเู้ รียนอยา่ งใกลช้ ดิ หากผเู้ รยี นคนใดมปี ัญหาหรอื ข้อสงสยั ครูต้องให้ความช่วยเหลืออย่างทนั ที 2.5 ควบคมุ เวลาในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนโดยใชแ้ บบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ 2.6 กากับ ควบคุมให้ผเู้ รียนทาแบบทดสอบหลังเรียน เพ่ือประเมนิ ความก้าวหนา้ ของ ผเู้ รียน 3. ขั้นกำรประเมนิ ผล ครูควรดาเนินการดงั นี้ 3.1 ครผู สู้ อนประเมินผลทุกครง้ั หลังสนิ้ สดุ กิจกรรมการเรียนการสอน 3.2 ครผู ูส้ อนบันทึกขอ้ มลู ในแบบประเมนิ และแจง้ ให้นักเรยี นทราบถงึ ผลการประเมิน
แบบฝึกทกั ษะ วชิ าคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน เรอ่ื ง ลาดบั และอนกุ รม 3 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 เล่มท่ี 1 ลาดับ คำช้ีแจงสำหรบั นกั เรยี น แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 1 ลำดบั ใช้ประกอบการจัดการเรียนการสอน วิชา คณิตศาสตร์พื้นฐาน สาหรบั นกั เรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ นกั เรียนควรปฏบิ ัติตามคาแนะนา ดงั นี้ 1. นักเรียนอา่ นคาช้ีแจงและคาแนะนาใหเ้ ข้าใจก่อนทากจิ กรรมทกุ ครง้ั 2. อ่านจดุ ประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เพื่อให้ทราบวา่ เรียนจบแลว้ ผเู้ รียนจะมีความรูใ้ นเร่อื งใดบ้าง 3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบเพอ่ื ตรวจสอบความร้เู ดิมของนักเรยี น 4. นักเรียนศกึ ษาใบความรู้และทาความเข้าใจเกยี่ วกบั เนอื้ หา และศึกษาตัวอยา่ งประกอบ ใหเ้ ข้าใจ 5. นักเรยี นทาแบบฝกึ ทกั ษะตามที่กาหนดไว้ หากไม่เขา้ ใจใหก้ ลบั ไปอา่ นเนอ้ื หาอีกครงั้ จนเขา้ ใจดี แล้วจงึ กลบั มาทาแบบฝึกทกั ษะ 8. เมอ่ื ทากจิ กรรมทุกอยา่ งเสรจ็ เรยี บรอ้ ยแล้ว ใหท้ าแบบทดสอบหลงั เรยี น จานวน 10 ขอ้ เพอื่ ประเมินความก้าวหนา้ ของตนเอง 9. การศกึ ษาแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตรเ์ ลม่ นจ้ี ะไมบ่ รรลผุ ลสาเร็จ ถา้ ผเู้ รยี นขาดความ ซอื่ สตั ย์ในการทาแบบฝกึ ทกั ษะ
แบบฝึกทักษะ วชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน เรื่อง ลาดับและอนกุ รม 4 ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5 เลม่ ที่ 1 ลาดับ ข้นั ตอนกำรเรียนรโู้ ดยใช้แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศำสตร์ 1. อา่ นคาชีแ้ จงสาหรับนักเรียน 2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน ไมผ่ า่ นเกณฑก์ ารประเมนิ 3. ศกึ ษาแบบฝกึ ทักษะโดยปฏบิ ัติดังน้ี 3.1 ศึกษาเนื้อหา 3.2 ทาแบบฝกึ ทกั ษะ 3.3 ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 4. ทาแบบทดสอบหลงั เรียน ประเมินผล 5. ศกึ ษาแบบฝกึ ทักษะเลม่ ต่อไป ผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ
แบบฝกึ ทักษะ วิชาคณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน เรอ่ื ง ลาดบั และอนกุ รม 5 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 เล่มท่ี 1 ลาดับ สำระ มำตรฐำนกำรเรียนรู้ และตวั ช้วี ัด สำระท่ี 4 : พีชคณติ มำตรฐำน ค 4.1 เข้าใจและวเิ คราะหแ์ บบรูป (pattern) ความสัมพนั ธ์ และฟงั ก์ชัน ตวั ชี้วัด ม.4-6/5 เข้าใจความหมายของลาดบั เลขคณิต และลาดับเรขาคณติ หาพจน์ตา่ งๆ ของลาดับเลขคณิตและลาดับเรขาคณิต และนาไปใชไ้ ด้ สำระท่ี 6 : ทักษะและกระบวนกำรทำงคณติ ศำสตร์ มำตรฐำน ค 6.1 มคี วามสามารถในการแก้ปญั หา การใหเ้ หตุผล การสอื่ สาร ตัวชว้ี ดั ม.4-6/1 การสอ่ื ความหมายทางคณติ ศาสตร์ และการนาเสนอ การเชอ่ื มโยงความรู้ ตัวชี้วัด ม.4-6/2 ตา่ งๆ ทางคณิตศาสตร์และเชือ่ มโยงคณิตศาสตรก์ ับศาสตร์อน่ื ๆ และมี ตวั ชว้ี ัด ม.4-6/3 ความคดิ รเิ ร่มิ สร้างสรรค์ ตวั ชี้วัด ม.4-6/4 ตัวช้วี ัด ม.4-6/5 ใช้วธิ กี ารทีห่ ลากหลายแก้ปญั หา ตวั ชี้วัด ม.4-6/6 ใชค้ วามรู้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์ และเทคโนโลยีในการ แกป้ ัญหาในสถานการณต์ า่ งๆ ได้อย่างเหมาะสม ให้เหตผุ ลประกอบการตดั สนิ ใจและสรปุ ผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสม ใชภ้ าษาและสัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ในการสอื่ สาร การส่ือความหมาย และการนาเสนอได้อยา่ งถูกตอ้ งและชัดเจน เชอ่ื มโยงความรตู้ ่างๆ ในทางคณติ ศาสตร์ และนาความรู้ หลกั การ กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ไปเชือ่ มโยงกับศาสตร์อน่ื ๆ มีความคิดรเิ รม่ิ สร้างสรรค์
แบบฝึกทักษะ วิชาคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรม 6 ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดบั จุดประสงคก์ ำรเรียนรู้ ด้ำนควำมรู้ (Knowledge : K) ; ผู้เรียนสามารถ 1. บอกความหมายของลาดบั ได้ 2. บอกลาดบั ทีก่ าหนดให้ว่าเป็นลาดบั จากัดหรอื ลาดบั อนนั ตไ์ ด้ 3. หาพจนต์ า่ งๆ ของลาดบั ได้ 4. นาความรู้เรื่องลาดบั มาประยุกต์ใช้ในการแกโ้ จทยป์ ัญหาได้ ด้ำนทักษะและ (Process : P) ; ผเู้ รียนมคี วามสามารถใน 1. การแก้ปัญหา 2. การใหเ้ หตุผล 3. การสอ่ื สาร สอื่ ความหมายและการนาเสนอ 4. การเชื่อมโยงความรู้ทางคณติ ศาสตรเ์ พื่อใหเ้ กิดความคดิ รวบยอด 5. การคดิ ริเริ่มสรา้ งสรรค์ ดำ้ นคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (Attitude : A) ; ผเู้ รียน 1. มีการทางานอย่างเป็นระบบรอบคอบ 2. มีระเบยี บวนิ ัย 3. มคี วามรบั ผิดชอบ 4. มคี วามเชือ่ มน่ั ในตนเอง 5. มีความตระหนักในคณุ คา่ และเจตคตทิ ีด่ ตี อ่ คณติ ศาสตร์
แบบฝึกทักษะ วิชาคณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน เรอ่ื ง ลาดับและอนุกรม 7 ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 5 เล่มท่ี 1 ลาดบั แบบทดสอบกอ่ นเรยี น ลำดับ คำช้แี จง 1. ข้อสอบชดุ นม้ี จี านวน 10 ข้อเป็นขอ้ สอบปรนยั ชนิด 4 ตวั เลือก 2. ใหน้ กั เรยี นเลอื กคาตอบทถ่ี กู ต้องทส่ี ุดเพยี งขอ้ เดยี วแลว้ ทาเครื่องหมาย (X) ลงในกระดาษคาตอบ 1. พิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปนี้ ขอ้ ใดถูกต้อง 1) ลาดบั เปน็ ฟงั ก์ชันท่มี โี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็ม 2) ในการเขียนลาดับจะเขียนเฉพาะสมาชกิ ของเรนจ์เรยี งกันไป ก. 1) ถกู 2) ผิด ข. 1) ผิด 2) ถูก ค. ผดิ ทงั้ 1) และ 2) ง. ถกู ท้ัง 1) และ 2) 2. ข้อใดต่อไปนไี้ ม่เป็นลาดับ ก. (1,4),(2,5),(3,6),... ข. (1,-1),(2,-2),(3,-3),... ค. (0,7),(1,-1),(2,3),...,(8,-2) ง. (1,4),(2,8),(3,12),...,(10,40) 3. ขอ้ ใดเปน็ ลาดับจากัด ก. 2 , 4 , 6 , 8 , … , 2n , … ข. 10 , 8 , 6 , 4 , 2 , … ค. an = 3n + 5 เมือ่ n 1,2,3 ง. an = 2n – 7 เม่ือ n 1,2,3,... 4. ขอ้ ใดคือ 3 พจนแ์ รกของลาดบั ทมี่ ี an = 8n 1 2n เมอื่ n เป็นจานวนคี่ เม่อื n เป็นจานวนคู่ ก. 8 , 3 , 8 4 ข. 8 , 16 , 24 ค. 8 , 4 , 8 3 ง. 8 , 3 , 4
แบบฝกึ ทักษะ วชิ าคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน เรอื่ ง ลาดับและอนุกรม 8 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ ที่ 1 ลาดับ 5. ลาดบั หนึ่งมพี จนท์ วั่ ไปเปน็ an = 3n – 1 ขอ้ ใดคอื a4 – a2 ก. 6 ข. 25 ค. 72 ง. 89 6. เขยี นลาดบั an = 3n – 2 ในรูปแจงพจนไ์ ด้ดงั ขอ้ ใด ก. 2 , 4 , 6 , 8 , … ข. 1 , 4 , 7 , 10 , … ค. 6 , 10 , 14 , 18 , … ง. 9 , 12 , 15 , 18 , … 7. ลาดับในขอ้ ใดเปน็ ลาดับอนนั ต์ ก. an = 5n – 3 เมอื่ n 1,2,3 ข. an = 3n + 5 เมอื่ n 1,2,3,4 ค. an = 2n เมอ่ื n I+ และ n < 8 ง. an = 1n (n2 - 2) เมอื่ n N 8. ให้ f = 1,5,2,10,3,15,4,20 ข้อใดคือการเขยี นในรปู ลาดบั ของฟงั กช์ นั น้ี ก. 1 , 2 , 3 , 4 ข. 5 , 10 , 15 , 20 , … ค. 1 , 2 , 3 , 4 ,… ง. 5 , 10 , 15 , 20 9. พจนท์ ี่ 3 ของลาดับใดตอ่ ไปนมี้ ีค่าเทา่ กบั 19 ก. 19 , 21 , 23 , 25 ข. 15 , 19 , 23 , 27 ค. 9 , 14 , 19 , 24 ง. -8 , 1 , 10 , 19 2n-1 2n 1 10. พจน์ท่ี 4 และ 5 ของลาดับ an = คือข้อใด ก. 11 , 9 13 11 9 11 ข. 11 , 13 ค. 9 , 7 11 9 7 9 ง. 9 , 11
แบบฝกึ ทกั ษะ วิชาคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน เร่ือง ลาดบั และอนุกรม 9 ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดบั กระดำษคำตอบแบบทดสอบกอ่ นเรียน ลำดบั ชือ่ – นามสกลุ ............................................................................................................................ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี......../.......... วนั ท่.ี .............เดอื น................................. พ.ศ. ...................... คำช้แี จง ให้นักเรียนทาเครอ่ื งหมาย (×) ลงใน ก ข ค ง ทีเ่ ปน็ คาตอบทถี่ กู ตอ้ งเพยี งขอ้ เดียว ขอ้ แบบทดสอบก่อนเรยี น กขคง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนน หลังเรียน ผลกำรประเมิน ลงชื่อ........................................ผู้ตรวจ เต็ม 10 ผา่ น ไมผ่ ่าน (.........................................) ได้ วนั ที่......... เดอื น......................... พ.ศ. ............
แบบฝึกทักษะ วชิ าคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน เร่ือง ลาดับและอนุกรม 10 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ ที่ 1 ลาดับ ใบควำมรูท้ ี่ 1 ควำมหมำยของลำดบั นักเรียนพจิ ารณาสถานการณ์ต่อไปนี้ สถำนกำรณ์ที่ 1 นทนี าเงนิ ไปฝากธนาคารออมสนิ เดอื นแรก 50 บาท เดอื นถดั ไปเพมิ่ ขน้ึ เดือนละ 50 บาท ทกุ เดอื น เปน็ เวลา 1 ปี เขียนแสดงจานวนเงนิ ทนี่ ทฝี ากในแต่ละเดอื น ได้ดงั น้ี ตารางแสดงความสัมพันธร์ ะหว่างเดอื นทฝี่ ากเงนิ กบั จานวนเงนิ ทีฝ่ ากในแตล่ ะเดอื น เดอื นที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 จำนวนเงิน 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 {(1,50),(จ2า,1ก0ต0า)ร,า(3ง,จ1ะ5เ0ห)น็,(ค4ว,2า0ม0ส)ัม,(พ5,ัน2ธ5ร์0ะ),ห(6ว,า่ 3ง0เด0ือ),น(7ท,3ี่น5ท0ฝี )(า8ก,เ4ง0ิน0ก),บั (9จ,า4น5ว0น),เ(ง1นิ 0ท,5่ีฝ0า0ก)ใ,น(1แ1ต,5ล่ 5ะ0เด),ือ(1น2เ,ป6็น00ด)งั}น้ี ซึง่ มีโดเมนเป็น 1,2,3,...,12 และมีเรนจ์เป็น 50,100,150,...,600 สถำนกำรณ์ท่ี 2 แบคทเี รียขยายพันธโ์ ดยการแบง่ ตวั จากหนึ่งตวั เป็นสองตวั ทุกๆ หน่ึงวินาทไี ปเรอ่ื ยๆ ถา้ เดิมมีแบคทเี รยี 1 ตวั เขียนแสดงจานวนแบคทีเรยี ในแต่ละวนิ าที ไดด้ ังนี้ ตารางแสดงการขยายพนั ธข์ องแบคทเี รีย วินำทที ี่ 1 2 3 4… จำนวนแบคทีเรีย 2 4 8 16 … {(1,2),(2จ,4า)ก,(ต3า,8รา),ง(จ4ะ,1เ6ห)็น,..ค.}วามซส่งึ มัมีโพดนัเมธนร์ ะเปหน็ว่า{ง1เ,ว2ล,3า,เ4ป,น็...ว}ินาแทลีกะับมจีเรานนจวเ์นปแ็นบค{ท2เี,4ร,ีย8ใ,น1แ6ต,..ล่.}ะวินาทีเปน็ ดงั นี้ ฟังก์ชนั ในสถานการณ์ท่ี 1 เปน็ ฟังกช์ นั ทมี่ ีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก 12 ตัวแรก และ ฟังก์ชันในสถานการณท์ ี่ 2 เปน็ ฟงั ก์ชันทมี่ โี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก ฟังก์ชันทมี่ ลี ักษณะเช่นนีเ้ ป็น ตัวอยา่ งของลาดบั ในกรณีท่มี ีโดเมนเปน็ 1,2,3,...,n เรยี กวา่ ลำดบั จำกดั (Finite sequence) และ กรณีท่ีมีโดเมนเป็น 1,2,3,... เรยี กวา่ ลำดบั อนันต์ (Infinite sequence) นน่ั คอื ฟงั กช์ นั ใน สถานการณ์ท่ี 1 เป็นลาดบั จากดั ฟงั กช์ นั ในสถานการณ์ที่ 2 เปน็ ลาดับอนันต์ บทนยิ ำม ลำดบั คอื ฟงั กช์ ันทม่ี ีโดเมนเปน็ เซตของจานวนเต็มบวก n ตวั แรก หรือโดเมนเปน็ เซตของ จานวนเตม็ บวก ลาดับทมี่ โี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั แรก เรยี กวา่ ลาดับจากัด (Finite sequence) ลาดับทมี่ โี ดเมนเปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก เรยี กว่า ลาดับอนนั ต์ (Infinite sequence)
แบบฝกึ ทักษะ วชิ าคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน เร่ือง ลาดบั และอนุกรม 11 ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดับ ตัวอย่ำงท่ี 1 ตวั อย่างของลาดบั โดเมน ลำดบั เปน็ ไม่เปน็ ฟงั ก์ชนั (f) 1,2,3,4 1,2,3,4,... f1 1,x,2,y,3,z,4,a 1,2,3,...,6 f2 1,a,2,b,3,c,4,d,... a, b, c, ..., z f3 1,2,2,4,3,8,...,6,64 2,4,8,16 f4 a,1,b,2,c,3,...,z,26 3,4,5,6 f5 2,5,4,10,8,15,16,20 2, 1, 0 f6 3,1,4,2,5,3,6,4 f7 2,1,1,2,0,3 1,2,3 f8 1,2,2,4,3,6 0,2,4 f9 0,3,2,6,4,8 1,2,3,... f10 1,4,2,8,3,12,... ตัวอย่ำงท่ี 2 กาหนดฟังกช์ ัน f = 1,2,2,4,3,8,4,16 แนวคดิ จากฟงั ก์ชนั ทีก่ าหนดให้ จะได้ ดงั น้ัน โดเมนของฟังกช์ นั คือ 1,2,3,4 เรนจ์ของฟงั กช์ ัน คือ 2,4,8,16 จากฟังกช์ ันทีก่ าหนดให้ มโี ดเมน คอื 1,2,3,4 เป็นลาดบั จากัด ซึ่งมลี าดบั เป็น 2 , 4 , 8 , 16 ตัวอย่ำงที่ 3 กาหนด f(x) = 3 – x เมอ่ื x I+ แนวคิด จากฟังก์ชนั ที่กาหนดให้ จะได้ ดังนัน้ โดเมนของฟังก์ชนั คอื 1,2,3,4,... เรนจข์ องฟงั ก์ชัน คือ 2,1,0,1,... จากฟงั ก์ชนั ท่ีกาหนดให้ มีโดเมน คือ 1,2,3,4,... เป็นลาดับอนนั ต์ ซง่ึ มลี าดบั เปน็ 2 , 1 , 0 , -1 , …
แบบฝึกทกั ษะ วชิ าคณิตศาสตร์พื้นฐาน เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรม 12 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดบั ตัวอยำ่ งท่ี 4 จงพจิ ารณาว่าลาดับทกี่ าหนดใหต้ ่อไปนี้ เปน็ ลาดับจากัดหรอื ลาดบั อนันต์ ข้อท่ี ฟงั ก์ชนั เป็นลำดับ จำกัด อนันต์ 1 f1 = 1,3,2,5,3,7,4,9,5,11,6,13 2 f2 = 1,5,2,10,3,15,4,20,5,25 3 f3 = 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,... 4 f4 = 1,1,2,4,3,9,4,16,5,25,... จากตัวอยา่ งจะเห็นว่า f1 เปน็ ลาดบั จากดั ท่ีมโี ดเมน คือ 1,2,3,4,5,6 f2 เป็นลาดบั จากดั ที่มโี ดเมน คือ 1,2,3,4,5 f3 เป็นลาดบั อนนั ต์ ที่มีโดเมน คือ 1,2,3,4,5,... f4 เปน็ ลาดบั อนันต์ ท่มี โี ดเมน คือ 1,2,3,4,5,... ฟังก์ชันใดท่ีระบจุ านวนสมาชิกของโดเมนไดช้ ดั เจน จะเรียกวา่ ลำดบั จำกัด ฟงั ก์ชันใดท่ีไมร่ ะบจุ านวนสมาชกิ ของโดเมนไดช้ ัดเจน จะเรยี กวา่ ลำดับอนันต์
แบบฝึกทกั ษะ วิชาคณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน เร่ือง ลาดบั และอนุกรม 13 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5 เลม่ ที่ 1 ลาดบั แบบฝึกทกั ษะที่ 1 ควำมหมำยของลำดับ คำชี้แจง ให้นกั เรยี นพจิ ารณาฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้ี ว่าเป็นลาดับหรอื ไม่ โดยทาเครอ่ื งหมาย ลงใน พร้อมทั้งระบโุ ดเมนเซตของจานวน แล้วเติมคาตอบลงในชอ่ งว่างให้ถกู ตอ้ ง (10 คะแนน) 1. f1 1,1,2,2,3,3,4,4 โดเมน คือ ...................................................... เป็นลาดบั ไม่เป็นลาดบั 2. f2 1,5,2,8,4,7,5,1,... โดเมน คอื ...................................................... เป็นลาดับ ไม่เปน็ ลาดับ 3. f3 1,1,2,3,3,5,4,7,10,15,... โดเมน คือ ..................................................... เป็นลาดบั ไม่เปน็ ลาดับ 4. f4 2,3,4,0,6,3,8,6 โดเมน คือ ...................................................... เป็นลาดบั ไม่เปน็ ลาดบั 5. f5 1,5,2,10,3,15,... โดเมน คือ ...................................................... เป็นลาดับ ไม่เป็นลาดบั
แบบฝกึ ทกั ษะ วชิ าคณิตศาสตร์พื้นฐาน เรือ่ ง ลาดับและอนุกรม 14 ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5 เล่มท่ี 1 ลาดบั 6. f6 1,3,2,4,3,5,4,6,... โดเมน คอื ...................................................... เป็นลาดบั ไม่เป็นลาดบั 7. f7 a,1,1,2,b,2,2,3,c,3,3,3,... โดเมน คือ ...................................................... เป็นลาดับ ไมเ่ ปน็ ลาดับ 8. f8 1,a,2,b,3,c,4,d,5,e,... โดเมน คอื ...................................................... เป็นลาดบั ไมเ่ ป็นลาดับ 9. f9 1,3,2,6,4,8 โดเมน คือ ...................................................... เปน็ ลาดบั ไมเ่ ป็นลาดับ 10. f10 1,2,2,3,3,4,4,5,... โดเมน คอื ...................................................... เป็นลาดับ ไม่เปน็ ลาดับ
แบบฝกึ ทักษะ วชิ าคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน เรื่อง ลาดับและอนกุ รม 15 ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ ที่ 1 ลาดับ แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2 ลำดับจำกดั และลำดบั อนนั ต์ คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาฟงั กช์ ันตอ่ ไปน้ี แลว้ ทาเครอื่ งหมาย ลงในชอ่ งตาราง เพือ่ แสดงว่าเป็นลาดับหรอื ไม่ พร้อมท้งั ระบุวา่ เป็นลาดับจากัดหรอื ลาดับอนันต์ (10 คะแนน) ข้อ ฟังกช์ ัน ลำดับ ไมเ่ ปน็ ที่ จำกัด อนันต์ ลำดบั 1 f1 1,0,2,1,3,2,4,3,... 2 f2 1,4,2,6,3,8,4,10,...,7,6 3 f3 1,1,2,5,3,11,4,17,... 4 f4 1,1,2,4,3,9,4,16,5,25 5 f5 3,4,4,5,5,6,6,7,... 6 f6 2,3,4,0,6,3,8,6 7 R x,y y x 2;xI 8 R x,y y x2 5;x 1,2,3,4,5 9 R x,y y 2x;x 1,2,3,...,10 10 R x,y y 3a2 5;a 2,4,6,...
แบบฝึกทกั ษะ วชิ าคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน เร่อื ง ลาดบั และอนุกรม 16 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดับ ใบควำมรู้ท่ี 2 กำรเขียนลำดบั ในรูปแจงพจน์ การเขียนลาดบั จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป ถา้ a เป็นลาดับจากัด จะเขียนแทนด้วย a1,a2,a3,...,an ถา้ a เป็นลาดบั อนนั ต์ จะเขยี นแทนดว้ ย a1,a2,a3,...,an,... เรยี ก a1 ว่า พจนท์ ่ี 1 ของลาดบั a2 วา่ พจนท์ ่ี 2 ของลาดับ a3 ว่า พจน์ท่ี 3 ของลาดับ an ว่า พจน์ที่ n ของลาดับ หรอื พจน์ทว่ั ไปของลำดบั (general term) กำรเขยี นลำดับในรปู แจงพจน์ ตัวอย่ำงที่ 1 1) จากลาดับ -3 , -1 , 1 , 3 เปน็ ลาดับจากัด ท่มี ี พจนท์ ่ี 1 หรอื a1 = -3 พจน์ที่ 2 หรือ a2 = -1 พจนท์ ่ี 3 หรือ a3 = 1 พจนท์ ่ี 4 หรอื a4 = 3 2) จากลาดบั 1 , 3 , 5 , 7 , … , 2n-1 , … เปน็ ลาดบั อนนั ต์ ทม่ี ี พจน์ที่ 1 หรอื a1 = 1 พจนท์ ี่ 2 หรือ a2 = 3 พจน์ที่ 3 หรอื a3 = 5 พจน์ที่ 4 หรือ a4 = 7 พจนท์ ่ี n หรือ พจน์ทัว่ ไป หรอื an = 2n-1
แบบฝกึ ทักษะ วชิ าคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เรือ่ ง ลาดบั และอนุกรม 17 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 เล่มท่ี 1 ลาดับ การเขยี นลาดับนอกจากจะเขียนแบบแจกแจงสมาชกิ แลว้ อาจเขียนเฉพาะพจนท์ ่วั ไปพรอ้ ม ทง้ั ระบสุ มาชกิ ในโดเมน ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี ตวั อยำ่ งท่ี 2 1) ลาดบั 1 , 3 , 5 , 7 , 9 อาจเขียนแทนดว้ ย an 2n 1 เมื่อ n = 1 ,2 , 3 , 4 , 5 2) ลาดับ 2 , 5 , 10 , 17 , … , n2 1, … อาจเขียนแทนด้วย an n2 1 เมอื่ n = I+ หมำยเหตุ ในกรณีที่กาหนดลาดบั โดยพจนท์ ัว่ ไป ถ้าไมไ่ ด้ระบสุ มาชกิ ในโดเมน ให้ถือว่า ลาดบั น้ันเป็นลาดับอนนั ต์ เราสามารถเขียนลาดับซ่งึ อยูใ่ นรปู พจน์ทัว่ ไปใหอ้ ยใู่ นรปู การแจงพจนไ์ ด้ โดยการแทนค่า ตัวแปร n ลงในพจนท์ ่วั ไป น่ันคือ a1 หรอื พจนท์ ี่ 1 ของลาดับ ให้แทน n ด้วย 1 ในพจน์ทั่วไป a2 หรอื พจนท์ ่ี 2 ของลาดับ ให้แทน n ดว้ ย 2 ในพจนท์ วั่ ไป a3 หรอื พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั ให้แทน n ดว้ ย 3 ในพจนท์ ั่วไป ตวั อยำ่ งที่ 3 กาหนดลาดับ an n3 1 จงหาพจนท์ ี่ 4 ของลาดบั วิธที ำ การหาพจน์ท่ี 4 ของลาดบั ทาไดโ้ ดยการแทน n ด้วย 4 ลงใน an n3 1 จาก an n3 1 จะได้ a4 43 1 64 1 65 ดังนั้น พจนท์ ี่ 4 ของลาดบั น้ี คอื 65 ตวั อย่ำงที่ 4 จงหา 4 พจน์แรกของลาดบั จากัดตอ่ ไปน้ี 1) วิธที ำ 1) an 3 2n 2) an 4 n2 แทนค่า n ด้วย 1 , 2 , 3 , 4 ลงในพจนท์ ่ัวไป an 3 2n แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 3 21 3 2 5 แทน n ดว้ ย 2 จะได้ a2 3 22 3 4 7
แบบฝึกทักษะ วิชาคณิตศาสตร์พน้ื ฐาน เรื่อง ลาดับและอนกุ รม 18 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 เลม่ ที่ 1 ลาดับ แทน n ดว้ ย 3 จะได้ a3 3 23 3 6 9 แทน n ด้วย 4 จะได้ a4 3 24 3 8 11 ดงั นน้ั ส่ีพจนแ์ รกของลาดับน้ี คือ 5 , 7 , 9 , 11 2) วิธีทำ แทนค่า n ดว้ ย 1 , 2 , 3 , 4 ลงในพจน์ทั่วไป an 4 n2 แทน n ด้วย 1 จะได้ a1 4 12 4 1 3 แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 4 22 4 4 0 แทน n ดว้ ย 3 จะได้ a3 4 32 4 8 4 แทน n ด้วย 4 จะได้ a4 4 42 4 16 12 ดงั น้ัน สี่พจนแ์ รกของลาดับนี้ คือ 3 , 0 , -4 , -12 ตัวอยำ่ งที่ 5 จงหา 4 พจน์แรกของลาดบั อนันต์ต่อไปน้ี และเขยี นลาดับในรปู แจงพจน์ 1) วธิ ีทำ 1) an 5 3n 2) an 2 3n2 แทนค่า n ด้วย 1 , 2 , 3 , 4 ลงในพจนท์ ว่ั ไป an 5 3n แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 5 31 5 3 2 แทน n ดว้ ย 2 จะได้ a2 5 32 5 6 1 แทน n ด้วย 3 จะได้ a3 5 33 5 9 4 แทน n ด้วย 4 จะได้ a4 5 34 5 12 7 ดงั นน้ั เขยี นลาดบั ในรปู แจงพจน์ได้ คือ 2 , -1 , -4 , -7 , …, 5 – 3n , … 2) วิธีทำ แทนค่า n ด้วย 1 , 2 , 3 , 4 ลงในพจนท์ วั่ ไป an 2 3n2 แทน n ด้วย 1 จะได้ a1 2 312 2 3 5 แทน n ดว้ ย 2 จะได้ a2 2 322 2 12 14 แทน n ด้วย 3 จะได้ a3 2 332 2 27 29 แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 2 342 2 48 50 ดงั นั้น เขยี นลาดบั ในรปู แจงพจน์ได้ คอื 5 , 14 , 29 , 50 , … , 2 + 3n2 , …
แบบฝึกทกั ษะ วิชาคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน เรื่อง ลาดบั และอนกุ รม 19 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดับ แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 กำรเขยี นลำดบั ในรูปแจงพจน์ คำชแี้ จง ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในชอ้ งวา่ งให้ถกู ตอ้ ง (10 คะแนน) 1. หาพจนต์ ่างๆ ของลาดบั ทก่ี าหนดใหต้ ่อไปน้ี (4 คะแนน) 1) -7 , 9 , -5 , 7 , -3 , 5 , -1 , 3 a1 = ............. a3 = ............. a5 = ............. a7 = ............. 2) -14 , -12 , -10 , -8 , -6 , -4 , -2 , 0 , 2 , 4 a2 = ............. a4 = ............. a6 = ............. a8 = ............. 3) 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 a5 = ............. a7 = ............. a1 = ............. a3 = ............. a5 = ............. an = ............. 4) -25 , -20 , -15 , -10 , -5 , … , -5n a2 = ............. a4 = ............. 2. จงเขียนหา้ พจนแ์ รกของลาดบั ตอ่ ไปน้ี (6 คะแนน) 1) an 2n 2 วธิ ที ำ แทน n ด้วย 1 จะได้ a1 = ………………………………………………………………… แทน n ดว้ ย 2 จะได้ a2 = ………………………………………………………………… แทน n ด้วย 3 จะได้ a3 = ………………………………………………………………… แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 = ………………………………………………………………… แทน n ด้วย 5 จะได้ a5 = ………………………………………………………………… ดังนั้น ห้าพจนแ์ รกของลาดบั น้ี คือ .............................................................................. 2) an 8n 4 วิธที ำ แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 = …………………………………………………………… แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = …………………………………………………………… แทน n ด้วย 3 จะได้ a3 = …………………………………………………………… แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 = …………………………………………………………… แทน n ด้วย 5 จะได้ a5 = …………………………………………………………… ดังน้ัน หา้ พจน์แรกของลาดบั นี้ คอื .........................................................................
แบบฝกึ ทกั ษะ วิชาคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน เรอื่ ง ลาดับและอนุกรม 20 ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดับ 3) an 0.4n 1.2 วธิ ที ำ แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 = ……………………………………………………………… แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = ……………………………………………………………… แทน n ดว้ ย 3 จะได้ a3 = ……………………………………………………………… แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 = ……………………………………………………………… แทน n ด้วย 5 จะได้ a5 = ……………………………………………………………… ดงั นน้ั ห้าพจนแ์ รกของลาดบั นี้ คือ ............................................................................ 4) an 2n1 วธิ ีทำ แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 = ……………………………………………………………..... แทน n ดว้ ย 2 จะได้ a2 = ……………………………………………………………….. แทน n ดว้ ย 3 จะได้ a3 = ……………………………………………………………….. แทน n ด้วย 4 จะได้ a4 = ……………………………………………………………..... แทน n ด้วย 5 จะได้ a5 = ……………………………………………………………..... ดงั น้ัน หา้ พจนแ์ รกของลาดบั น้ี คอื .............................................................................. 5) an n 2 n 1 วิธีทำ แทน n ด้วย 1 จะได้ a1 = ………………………………………………………………… แทน n ดว้ ย 2 จะได้ a2 = ………………………………………………………………… แทน n ด้วย 3 จะได้ a3 = ………………………………………………………………… แทน n ด้วย 4 จะได้ a4 = ………………………………………………………………… แทน n ดว้ ย 5 จะได้ a5 = ………………………………………………………………… ดังนั้น หา้ พจน์แรกของลาดบั น้ี คือ ............................................................................... 6) an 3n 2 วธิ ีทำ แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 = ………………………………………………………………… แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = ………………………………………………………………… แทน n ด้วย 3 จะได้ a3 = ………………………………………………………………… แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 = ………………………………………………………………… แทน n ด้วย 5 จะได้ a5 = ………………………………………………………………… ดังนน้ั หา้ พจน์แรกของลาดบั นี้ คอื ..............................................................................
แบบฝึกทักษะ วิชาคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน เร่ือง ลาดบั และอนกุ รม 21 ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5 เลม่ ที่ 1 ลาดบั แบบทดสอบหลังเรยี น ลำดบั คำช้แี จง 1. ขอ้ สอบชุดนม้ี จี านวน 10 ขอ้ เป็นขอ้ สอบปรนยั ชนิด 4 ตัวเลือก 2. ให้นกั เรยี นเลือกคาตอบทถ่ี กู ตอ้ งทสี่ ดุ เพยี งข้อเดียวแลว้ ทาเครอ่ื งหมาย (X) ลงในกระดาษคาตอบ 1. ขอ้ ใดเป็นลาดบั จากัด ก. 2 , 4 , 6 , 8 , … , 2n , … ข. 10 , 8 , 6 , 4 , 2 , … ค. an = 3n + 5 เมื่อ n 1,2,3 ง. an = 2n – 7 เมอ่ื n 1,2,3,... 2. พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ข้อใดถกู ตอ้ ง 1) ลาดบั เปน็ ฟงั ก์ชนั ทม่ี โี ดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ 2) ในการเขยี นลาดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป ก. 1) ถูก 2) ผดิ ข. 1) ผดิ 2) ถกู ค. ผิดทัง้ 1) และ 2) ง. ถกู ทัง้ 1) และ 2) 3. ข้อใดคือ 3 พจนแ์ รกของลาดบั ท่มี ี an = 8n 1 2n เมอื่ n เป็นจานวนคู่ ก. 8 , 3 , 8 4 ข. 8 , 16 , 24 ค. 8 , 4 , 8 3 ง. 8 , 3 , 4 4. ขอ้ ใดต่อไปนี้ไมเ่ ปน็ ลาดบั ก. (1,4),(2,5),(3,6),... ข. (1,-1),(2,-2),(3,-3),... ค. (0,7),(1,-1),(2,3),...,(8,-2) ง. (1,4),(2,8),(3,12),...,(10,40)
แบบฝึกทกั ษะ วิชาคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน เรอ่ื ง ลาดบั และอนกุ รม 22 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่มท่ี 1 ลาดับ 5. พจน์ที่ 4 และ 5 ของลาดบั an = 2n-1 คือข้อใด 2n 1 11 9 ก. 13 , 11 ข. 9 , 11 11 13 9 7 ค. 11 , 9 ง. 7 , 9 9 11 6. เขยี นลาดับ an = 3n – 2 ในรูปแจงพจนไ์ ด้ดังข้อใด ก. 2 , 4 , 6 , 8 , … ข. 1 , 4 , 7 , 10 , … ค. 6 , 10 , 14 , 18 , … ง. 9 , 12 , 15 , 18 , … 7. ลาดับในขอ้ ใดเปน็ ลาดับอนันต์ ก. an = 5n – 3 เม่ือ n 1,2,3 ข. an = 3n + 5 เมอื่ n 1,2,3,4 ค. an = 2n เมอ่ื n I+ และ n < 8 ง. an = 1n (n2 - 2) เมื่อ n N 8. ลาดบั หนึง่ มีพจนท์ ว่ั ไปเป็น an = 3n – 1 ขอ้ ใดคือ a4 – a2 ก. 6 ข. 25 ค. 72 ง. 89 9. พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั ใดตอ่ ไปนมี้ ีค่าเท่ากบั 19 ก. 19 , 21 , 23 , 25 ข. 15 , 19 , 23 , 27 ค. 9 , 14 , 19 , 24 ง. -8 , 1 , 10 , 19 10. ให้ f = 1,5,2,10,3,15,4,20 ข้อใดคอื การเขยี นในรปู ลาดบั ฟังก์ชนั นี้ ก. 1 , 2 , 3 , 4 ข. 5 , 10 , 15 , 20 , … ค. 1 , 2 , 3 , 4 ,… ง. 5 , 10 , 15 , 20
แบบฝึกทกั ษะ วิชาคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน เรอ่ื ง ลาดับและอนกุ รม 23 ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดับ กระดำษคำตอบแบบทดสอบหลังเรียน ลำดับ ชอื่ – นามสกลุ ............................................................................................................................ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที .่ี ......./.......... วันท.่ี .............เดอื น................................. พ.ศ. ...................... คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนทาเคร่อื งหมาย (×) ลงใน ก ข ค ง ที่เป็นคาตอบท่ถี ูกต้องเพียงขอ้ เดยี ว ข้อ แบบทดสอบหลงั เรยี น กขคง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนน หลังเรียน ผลกำรประเมิน ลงชื่อ........................................ผู้ตรวจ เตม็ 10 ผ่าน ไม่ผา่ น (.........................................) ได้ เกณฑ์กำรผ่ำน 8 คะแนนขึ้นไป วนั ท่.ี ........ เดือน......................... พ.ศ. ............
แบบฝึกทักษะ วชิ าคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน เร่ือง ลาดบั และอนกุ รม 24 ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 5 เล่มที่ 1 ลาดบั ตำรำงบนั ทกึ คะแนน ลำดับ คำช้แี จง 1. ให้นกั เรียนบันทกึ ผลการเรยี นจากการทาแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ แบบทดสอบก่อนเรยี น และแบบทดสอบหลงั เรยี น 2. ใหน้ ักเรยี นทาเครอื่ งหมาย ท่ีช่องสรปุ ผล โดยพจิ ารณาจากเกณฑก์ ารประเมนิ ตามทก่ี าหนดให้ แบบทดสอบ คะแนนเตม็ คะแนนที่ได้ สรุปผล ผ่ำน ไมผ่ ่ำน กอ่ นเรียน 10 หลังเรยี น 10 เกณฑ์กำรผำ่ น 8 คะแนนขึ้นไป (สำหรับแบบทดสอบหลังเรียน) แบบฝกึ ทักษะ คะแนนเต็ม คะแนนทีไ่ ด้ สรปุ ผล ผ่ำน ไม่ผ่ำน แบบฝกึ ทักษะที่ 1 10 แบบฝกึ ทักษะท่ี 2 10 แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3 10 เกณฑก์ ำรผำ่ น 24 คะแนนขึน้ ไป ลงชื่อ..............................................ผู้บนั ทึก วนั ท.ี่ ........เดอื น....................พ.ศ. ..............
แบบฝึกทกั ษะ วชิ าคณิตศาสตรพ์ ้ืนฐาน เรื่อง ลาดับและอนุกรม 25 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่มท่ี 1 ลาดบั บรรณำนกุ รม กวิยา เนาวประทปี . เทคนิคกำรเรยี นคณติ ศำสตร์ ลำดับและอนุกรม กลุ่มสำระกำรเรยี นรู้ คณิตศำสตร.์ กรงุ เทพฯ: สานักพมิ พฟ์ สิ กิ ส์เซนเตอร,์ 2555. จกั รนิ ทร์ วรรณโพธกิ์ ลาง. คมู่ อื สำระกำรเรียนรพู้ น้ื ฐำนคณิตศำสตร์ ม.4 – 6 เลม่ 3. กรงุ เทพฯ: เรอื งแสงการพมิ พ์ (2002), 2554. เลิศ สิทธิโกศล. MATH REVIEW คณิตศำสตร์ ม.5 เลม่ 1. กรงุ เทพฯ: เจรญิ ดมี ่ันคง การพมิ พ,์ ม.ป.ป. สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) กระทรวงศึกษาธกิ าร. หนังสือเรยี น รำยวิชำพ้ืนฐำน คณติ ศำสตร์ เลม่ 3 ช้นั มธั ยมศึกษำปีที่ 4 – 6 กลุม่ สำระกำรเรยี นรู คณิตศำสตร์. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว, 2558. สเุ ทพ พฒั นะวาณชิ . คณิตศำสตร์พ้ืนฐำน เล่ม 1 สำหรับนกั เรยี นช้นั มธั ยมศึกษำปีท่ี 5 ภำคเรียนท่ี 1. กรงุ เทพฯ: เดอะบุคส,์ 2548. ศกึ ษาธิการ, กระทรวง. คู่มอื ครรู ำยวิชำพืน้ ฐำน คณติ ศำสตร์ เล่ม 3 ชน้ั มธั ยมศึกษำปที ่ี 4-6 ตำมหลักสูตรแกนกลำงกำรศกึ ษำข้นั พื้นฐำน พุทธศกั รำช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว, 2553. ศภุ กจิ เฉลิมวสิ ตุ ม์กลุ . เทคนิคคณิตศำสตร์พน้ื ฐำน ชัน้ มธั ยมศึกษำปที ่ี 5 เลม่ 1. กรงุ เทพฯ: เอเชยี แปซิฟคิ ส์ พรนิ้ ต้งิ , 2550. อเนก หิรัญและกวิยา เนาวประทีป. คณิตศำสตรพ์ ื้นฐำน 5 ชว่ งชั้นท่ี 4 (ม. 4 – ม. 6) สำหรับ นกั เรยี นชั้นมัธยมศกึ ษำปที ่ี 5 ภำคเรยี นท่ี 1. กรุงเทพฯ: ฟสิ ิกสเ์ ซน็ เตอร,์ 2547.
แบบฝกึ ทกั ษะ วชิ าคณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน เรือ่ ง ลาดับและอนุกรม 26 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 เล่มที่ 1 ลาดับ ภำคผนวก
แบบฝึกทกั ษะ วชิ าคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน เรอื่ ง ลาดับและอนุกรม 27 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เลม่ ที่ 1 ลาดับ เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น – หลงั เรียน ลำดับ ข้อ แบบทดกอ่ นหลงั เรียน กขคง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ข้อ แบบทดสอบหลังเรยี น กขคง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
แบบฝึกทกั ษะ วิชาคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เร่อื ง ลาดบั และอนกุ รม 28 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดบั เฉลยแบบฝึกทักษะท่ี 1 ควำมหมำยของลำดับ คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาฟงั ก์ชันต่อไปน้ี วา่ เปน็ ลาดบั หรอื ไม่ โดยทาเครอื่ งหมาย ลงใน พร้อมทงั้ ระบุโดเมนเซตของจานวน แล้วเตมิ คาตอบลงในช่องว่างใหถ้ ูกตอ้ ง (10 คะแนน) 1. f1 1,1,2,2,3,3,4,4 โดเมน คอื 1,2,3,4 เปน็ ลาดบั ไมเ่ ปน็ ลาดบั 2. f2 1,5,2,8,4,7,5,1,... โดเมน คือ 1,2,4,5 เปน็ ลาดบั ไม่เปน็ ลาดบั 3. f3 1,1,2,3,3,5,4,7,10,15,... โดเมน คือ 1,2,3,4,10,... เปน็ ลาดับ ไมเ่ ป็นลาดบั 4. f4 2,3,4,0,6,3,8,6 โดเมน คอื 2,4,6,8 เป็นลาดบั ไม่เปน็ ลาดบั 5. f5 1,5,2,10,3,15,... โดเมน คือ 1,2,3,... เป็นลาดบั ไม่เป็นลาดบั
แบบฝึกทกั ษะ วชิ าคณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน เรื่อง ลาดบั และอนุกรม 29 ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5 เล่มที่ 1 ลาดับ 6. f6 1,3,2,4,3,5,4,6,... โดเมน คอื 1,2,3,4,... เปน็ ลาดบั ไม่เปน็ ลาดับ 7. f7 a,1,1,2,b,2,2,3,c,3,3,3,... โดเมน คอื a,1,b,2,c,3,... เปน็ ลาดบั ไม่เปน็ ลาดับ 8. f8 1,a,2,b,3,c,4,d,5,e,... โดเมน คือ 1,2,3,4,5,... เปน็ ลาดับ ไม่เปน็ ลาดับ 9. f9 1,3,2,6,4,8 โดเมน คือ 1,2,4 เปน็ ลาดบั ไมเ่ ป็นลาดับ 10. f10 1,2,2,3,3,4,4,5,... โดเมน คอื 1,2,3,4,5,... เปน็ ลาดับ ไม่เปน็ ลาดับ
แบบฝกึ ทักษะ วชิ าคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เรอ่ื ง ลาดับและอนุกรม 30 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เลม่ ท่ี 1 ลาดับ เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะที่ 2 ลำดบั จำกดั และลำดบั อนนั ต์ คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาฟงั ก์ชนั ต่อไปน้ี แล้วทาเครอื่ งหมาย ลงในช่องตาราง เพื่อแสดงว่าเปน็ ลาดบั หรอื ไม่ พรอ้ มทงั้ ระบวุ ่าเป็นลาดบั จากัดหรอื ลาดับอนันต์ (10 คะแนน) ขอ้ ท่ี ฟังก์ชนั ลำดับ ไมเ่ ป็น จำกัด อนันต์ ลำดับ 1 f1 1,0,2,1,3,2,4,3,... 2 f2 1,4,2,6,3,8,4,10,...,7,6 3 f3 1,1,2,5,3,11,4,17,... 4 f4 1,1,2,4,3,9,4,16,5,25 5 f5 3,4,4,5,5,6,6,7,... 6 f6 2,3,4,0,6,3,8,6 7 R x,y y x 2;xI 8 R x,y y x2 5;x 1,2,3,4,5 9 R x,y y 2x;x 1,2,3,...,10 10 R x,y y 3a2 5;a 2,4,6,...
แบบฝกึ ทกั ษะ วชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน เรือ่ ง ลาดับและอนกุ รม 31 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่มที่ 1 ลาดบั เฉลยแบบฝกึ ทักษะท่ี 3 กำรเขยี นลำดบั ในรูปแจงพจน์ คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนเตมิ คาตอบลงในชอ้ งวา่ งใหถ้ กู ตอ้ ง (10 คะแนน) 1. หาพจน์ตา่ งๆ ของลาดับทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปนี้ (4 คะแนน) 1) -7 , 9 , -5 , 7 , -3 , 5 , -1 , 3 a1 = .....-7...... a3 = .....-5........ a5 = ......-3....... a7 = .....-1........ 2) -14 , -12 , -10 , -8 , -6 , -4 , -2 , 0 , 2 , 4 a2 = .....-12........ a4 = .....-8........ a6 = .....-4........ a8 = ......0....... 3) 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 a1 = .....2........ a3 = ......8....... a5 = ......32....... a7 = .....128........ 4) -25 , -20 , -15 , -10 , -5 , … , -5n a2 = ......-20....... a4 = ......-10....... a5 = ......-5....... an = ....-5n......... 2. จงเขียนหา้ พจนแ์ รกของลาดับตอ่ ไปน้ี (6 คะแนน) 1) an 2n 2 วธิ ีทำ แทน n ด้วย 1 จะได้ a1 = 21 2 2 2 0 แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = 22 2 4 2 6 แทน n ดว้ ย 3 จะได้ a3 = 23 2 8 2 6 แทน n ด้วย 4 จะได้ a4 = 24 2 16 2 18 แทน n ดว้ ย 5 จะได้ a5 = 25 2 32 2 30 ดังน้นั ห้าพจน์แรกของลาดบั น้ี คอื 0 , 6 , -6 , 18 , -30 2) an 8n 4 วธิ ที ำ แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 = 81 4 8 4 4 แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = 82 4 16 4 12 แทน n ดว้ ย 3 จะได้ a3 = 83 4 24 4 20 แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 = 84 4 32 4 28 แทน n ดว้ ย 5 จะได้ a5 = 85 4 40 4 36 ดังนนั้ ห้าพจนแ์ รกของลาดบั น้ี คอื 4 , 12 , 20 , 28 , 36
แบบฝกึ ทกั ษะ วชิ าคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เรื่อง ลาดับและอนุกรม 32 ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5 เล่มท่ี 1 ลาดบั 3) an 0.4n 1.2 วิธที ำ แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 = 0.41 1.2 0.4 1.2 1.6 แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = 0.42 1.2 0.8 1.2 2.0 แทน n ดว้ ย 3 จะได้ a3 = 0.43 1.2 1.2 1.2 2.4 แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 = 0.44 1.2 1.6 1.2 2.8 แทน n ด้วย 5 จะได้ a5 = 0.45 1.2 2.0 1.2 3.2 ดังนัน้ หา้ พจน์แรกของลาดบั น้ี คือ 1.6 , 2.0 , 2.4 , 2.8 , 3.2 4) an 2n1 วธิ ที ำ แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 = 211 22 4 แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = 221 23 8 แทน n ด้วย 3 จะได้ a3 = 231 24 16 แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 = 241 25 32 แทน n ดว้ ย 5 จะได้ a5 = 251 26 64 ดงั น้ัน ห้าพจน์แรกของลาดบั น้ี คือ 4 , 8 , 16 , 32 , 64 5) an n 2 n 1 1 2 3 วธิ ที ำ แทน n ดว้ ย 1 จะได้ a1 = 1 1 2 แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = 2 2 4 2 1 3 3 2 5 แทน n ดว้ ย 3 จะได้ a3 = 3 1 4 แทน n ดว้ ย 4 จะได้ a4 = 4 2 6 4 1 5 5 2 7 แทน n ด้วย 5 จะได้ a5 = 5 1 6 ดงั นั้น หา้ พจน์แรกของลาดบั น้ี คือ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 23456
แบบฝึกทักษะ วชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหัสวิชา เร่ือง ลาดบั และอนุกรม 33 ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เล่มท่ี 1 ลาดบั 6) an 3n 2 วธิ ที ำ แทน n ด้วย 1 จะได้ a1 = 31 2 3 2 5 แทน n ด้วย 2 จะได้ a2 = 32 2 9 2 7 แทน n ด้วย 3 จะได้ a3 = 33 2 27 2 29 แทน n ด้วย 4 จะได้ a4 = 34 2 81 2 79 แทน n ดว้ ย 5 จะได้ a5 = 35 2 243 2 245 ดงั น้นั หา้ พจน์แรกของลาดบั นี้ คอื -5 , 7 , -29 , 79 , -245
Search
Read the Text Version
- 1 - 36
Pages: