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Resumen de ecuaciones cuadr´aticas Daniel Bossa 16 de julio de 2020 1. Casos Particulares En la siguiente tabla se resume los 4 casos particulares que se obtienen al modificar los t´erminos b y c en la ecuacio´n ax2 + bx + c = 0 . Caso Ecuacio´n Soluciones b, c = 0 ax2 = 0 b = 0, c < 0 ax2 + c = 0 x=0 b = 0, 0 < c ax2 + c = 0 x = ± −c a b = 0, c = 0 ax2 + bx = 0 x=± c i a x = 0 y x = −b a Cuadro 1: Resumen de casos particulares Cuando no estamos en ninguno de los cuatro casos anteriores se trata de buscar dos nu´meros enteros o racionales m, n tales que m + n = b y mn = ac Y se obtiene que: multiplicando por 1 distribuyendo a ax2 + bx + c = 0 a (ax2 + bx + c) = 0 sustituyendo b y ac a distribuyendo ax 1 ((ax)2 + b(ax) + ac) = 0 a agrupando y factor comu´n 1 ((ax)2 + (m + n)(ax) + mn) = 0 a 1 ((ax)2 + m(ax) + n(ax) + mn) = 0 a 1 ((ax)((ax) + m) + n((ax) + m)) = 0 a 1 (ax + m)(ax + n) = 0 a De donde se tiene que por el teorema del factor 1

ax + m = 0 o´ ax + n = 0 y despejando las soluciones son: x = −n y x = −m aa 2. Caso General Cuando no es posible factorizar por nu´meros racionales o el polinomio es irreducible podemos usar la f´ormula general de la cuadr´atica la cual permite hallar todas las soluciones reales o complejas de la ecuaci´on. Y est´a dada por: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Al nu´mero ∆ = b2 − 4ac se le llama el discriminante de la ecuaci´on, y brinda informaci´on importante del nu´mero de soluciones y el tipo de las mismas as´ı: 1. Si ∆ = 0, entonces la ecuaci´on tiene u´nica soluci´on. Y la gr´afica de la ecuacio´n corta en un u´nico punto el eje de coordenadas x. 2. Si ∆ > 0, entonces la ecuacio´n tiene dos soluciones reales. Y la gra´fica de la ecuacio´n corta el eje de coordenadas x en dos puntos. 3. Si ∆ < 0, entonces la ecuaci´on tiene dos soluciones complejas. Y la gra´fica de la ecuaci´on no corta el eje de coordenadas x. 2