01_เซต_บทนำ

คู่มอื ประกอบส่ือการสอน วิชาคณิตศาสตร์ บทนา เรือ่ ง เซต โดย อาจารย์ ดร.จิณดษิ ฐ์ ละออปกั ษณิ อาจารย์ ดร.รตินนั ท์ บญุ เคลือบ สือ่ การสอนชุดน้ี เป็นความรว่ มมอื ระหวา่ ง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย กบั สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ

คมู่ อื ส่ือการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พน้ื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั สอ่ื การสอน เรื่อง เซต สือ่ การสอน เรื่อง เซต มีจานวนตอนทงั้ หมดรวม 7 ตอน ซึง่ ประกอบด้วย 1. บทนา เรอื่ ง เซต 2. เนอื้ หาตอนท่ี 1 ความหมายของเซต - ความหมายของเซต - การเขยี นเซต - เซตจากดั และเซตอนนั ต์ 3. เน้ือหาตอนที่ 2 เซตกาลงั และการดาเนินการบนเซต - แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ - สบั เซตและเซตกาลงั - การเทา่ กันของเซต - การดาเนินการบนเซต 4. เนื้อหาตอนที่ 3 เอกลักษณ์ของการดาเนนิ การบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ - เอกลักษณก์ ารดาเนนิ การบนเซต - การหาจานวนสมาชกิ ของเซตและการแกป้ ญั หาโดยใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ 5. แบบฝกึ หดั (พ้ืนฐาน) 6. แบบฝกึ หัด (ขนั้ สูง) 7. สื่อปฏสิ ัมพนั ธ์ เรือ่ ง แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ คณะผู้จดั ทาหวงั เปน็ อย่างย่ิงว่า ส่ือการสอนชุดน้ีจะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนท่ีใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต นอกจากน้ีหาก ท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเร่ืองอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อ เร่อื ง และชื่อตอนไดจ้ ากรายชอ่ื สอ่ื การสอนวชิ าคณิตศาสตรท์ ั้งหมดในตอนท้ายของคู่มอื ฉบบั นี้ 1

คมู่ อื ส่อื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลยั เรื่อง เซต หมวด บทนา จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เพ่ือให้ผู้เรยี นเขา้ ใจทม่ี า เกดิ ความซาบซึ้ง เห็นคุณคา่ ของคณติ ศาสตร์เร่ือง เซต ตระหนักถึงความสาคัญ และประโยชน์ ตลอดจนบทประยุกต์ของเซต วตั ถุประสงคห์ ลักของการจดั ทาส่ือบทนา: เพื่อให้ผเู้ รยี นเกิดแรงบนั ดาลใจในการเรียน ได้เหน็ ถึงท่ีมาและประโยชน์ของเน้ือหาท่จี ะได้เรยี นตอ่ ไป โดยมิไดม้ ่งุ เน้นทก่ี ารท่องจา เน้ือหาหรือเรื่องราวตามท่ปี รากฏในสื่อบทนา การใช้ส่อื บทนาจงึ ควรใช้เพียงประกอบ ในขน้ั การนาเข้าสบู่ ทเรียน หรือนาเสนอผูเ้ รียนกอ่ นการจัดการเรียนรูใ้ นเนอ้ื หานัน้ ๆ และ ไมค่ วรนาเนือ้ หาในส่ือบทนาไปใช้วดั ผลการศึกษาหรอื ใช้ในการสอบ เพราะอาจทาให้ การใช้สือ่ ไมบ่ รรลวุ ัตถปุ ระสงคท์ ่แี ทจ้ รงิ ตามท่มี าดหมายไว้ 2

คู่มอื สอื่ การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย บทสารคดีและขอ้ มูลเพมิ่ เตมิ มนุษยใ์ ชป้ ระโยชน์จากคณิตศาสตร์ทง้ั ในเชิงรปู ธรรม คือเป็นเคร่ืองมอื ทีช่ ่วยอานวยความสะดวกสบายใน การดารงชีวติ เช่น การวดั การนับ การคานวณ ตลอดจนใชเ้ ปน็ ฐานรากท่ีนาไปสูก่ ารสรา้ งสรรค์เทคโนโลยใี หมๆ่ ใหเ้ กดิ ขึ้น 3

คมู่ ือสื่อการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พื้นฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย อีกทง้ั ประโยชนใ์ นเชิงนามธรรม เพื่อตอบสนองความกระหายใคร่รู้ ซ่งึ เปน็ เสมอื นเครือ่ งประดับทาง สตปิ ญั ญาอยา่ งหนึง่ และเป็นคลงั ความรเู้ พื่อรอการสานต่อจากนกั คิดรุ่นต่อมา ทมี่ องเห็นความสอดคลอ้ งของความรู้ เร่ืองนน้ั ๆ กบั ศาสตร์อ่นื ๆ จนสามารถนาไปปรบั ใช้ ตลอดจนรงั สรรค์ผลงานในดา้ นต่างๆ ต่อไป ในแงม่ ุมน้ีคณติ ศาสตรถ์ กู มองในลักษณะของระบบท่ีตงั้ อย่บู นองค์ประกอบสปี่ ระการ คือ อนยิ าม นิยาม สจั พจน์ และทฤษฎบี ท ซึ่งรวมเรียกว่าระบบสจั พจน์ แนวคิดทพี่ ิจารณาคณิตศาสตร์ในลักษณะนี้ มีเคา้ ลางมาแต่ครั้งบุราณ การ สะท้อนผ่านงานของ ยุคลดิ (Euclid, 276-194 ก่อนคริสต์ศกั ราช) เมื่อราว 300 ปีก่อนคริสตกาล และยงั คงมี อทิ ธิพลตอ่ ความคดิ ของมนษุ ยต์ ่อเนื่องมายาวนานกวา่ 2,000 ปจี วบจนกระท่ังถึงปัจจบุ ัน 4

คู่มอื สอ่ื การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพืน้ ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั ระบบสัจพจน์ ประกอบด้วย อนยิ าม นยิ าม สัจพจน์ และทฤษฎบี ท คาอนยิ าม คือ คาทไ่ี มม่ กี ารกาหนดความหมายชัดเจน หากแต่เปน็ ทีเ่ ขา้ ใจกนั โดยท่วั ไปว่าหมายถึง อะไร เพราะหากมกี ารให้ความหมายคาเหล่าน้ี กจ็ าเป็นตอ้ งมกี ารให้ความหมายของคาทีใ่ ชอ้ ธบิ าย คาเหลา่ น้ีดว้ ย ดังนัน้ จึงจาเปน็ ต้องมีการกาหนดคามลู ฐานขึน้ นักคณิตศาสตร์เรม่ิ เห็นความสาคัญกับ คาอนิยาม เมื่อราวต้นคริสต์วรรษที่ 20 โดยอาศยั คาอนิยาม จะสามารถกาหนดความหมายของคาใหม่ ใหเ้ ป็นทเี่ ขา้ ใจตรงกันได้ เรียกวา่ คานิยาม ซึ่งลกั ษณะของคานยิ ามที่ดี ควรประกอบด้วย 1. คาที่ใชใ้ นบทนยิ ามและคานิยาม ควรเป็นคาท่ีอยู่ในกลุ่มเดียวกนั หรือมีสมบตั ิใกลเ้ คยี งกนั 2. บทนิยามควรย้อนกลบั ได้ 3. ควรมีคาทสี่ ามารถแยกแยะคาทจ่ี ะนยิ ามจากคาอ่นื ๆ 4. คาทใี่ ชใ้ นบทนยิ ามควรเข้าใจได้งา่ ยกว่าคาทจ่ี ะนิยาม สจั พจน์ คอื ข้อความทจี่ ะถือว่าเปน็ จริงโดยไม่ต้องพิสจู น์ และนาไปใช้ในการพสิ จู นข์ ้อความอื่นๆได้ ข้อความที่พสิ ูจน์ได้อยา่ งสมเหตุสมผล โดยอาศัย อนยิ าม นิยาม และสจั พจน์นน้ั เรยี กว่า ทฤษฎีบท 5

คู่มอื ส่อื การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พ้นื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย ตอ่ มาเม่ือราวศตวรรษท่ี 19 เกอรก์ คันทอร์ (Georg Cantor, ค.ศ. 1845-1918) ได้นาเสนอ “ทฤษฎีเซต” ซึง่ เป็น แนวคดิ ในระบบสัจพจน์ เพ่ือหวงั ที่จะตอบปัญหาเกี่ยวกับทม่ี าของจานวนต่างๆ ซงึ่ เป็นสิง่ ที่นกั คณติ ศาสตร์สมยั นัน้ กาลังใหค้ วามสนใจ “ทฤษฎีเซต” ของคนั ทอร์ สามารถนาไปใชใ้ นการอธิบายส่งิ ต่างๆ ทางคณติ ศาสตร์ไดอ้ ย่าง รัดกุม สามารถนาไปใช้สร้างจานวนนับ จานวนเตม็ จานวนตรรกยะ และจานวนจรงิ แตต่ ่อมา “ทฤษฎีเซต” ดูเหมอื นจะถูกทา้ ทายครงั้ สาคัญ จนสรรพสิ่งทส่ี รา้ งมาต้องสญู สลายไปทง้ั หมด เม่อื ต้อง เผชญิ กับปฏทิ รรศนห์ รือ paradox ซ่งึ เป็นข้อความท่มี คี วามขัดแยง้ ในตัวเอง เบอรน์ าด รสั เซลตงั้ คาถามข้ึนมาวา่ “ณ หมู่บ้านแหง่ หนงึ่ มชี ายช่างตดั ผมคนหนึ่งทจี่ ะคอยทาหน้าที่โกนหนวด ใหก้ ับชายทุกคนในหมู่บา้ นที่ไมไ่ ด้โกนหนวดด้วยตนเอง...... ลองคดิ ดูเลน่ ๆ สิวา่ ใครจะเปน็ คนโกนหนวดให้กบั ชายชา่ งตดั ผมผนู้ ้นั ” 6

คมู่ อื ส่อื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความรว่ มมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พืน้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย หากชายช่างตดั ผมเปน็ ผโู้ กนหนวดของตนเอง ก็จะขัดแย้งกบั ที่วา่ เขาจะโกนหนวดให้เฉพาะกบั คนทไี่ มไ่ ด้โกน หนวดด้วยตนเองเทา่ น้นั หรือชายช่างตัดผมไม่ได้เป็นผู้โกนหนวดของตนเอง แตช่ ายทุกคนทไ่ี ม่ไดโ้ กนหนวดเอง ชา่ งตัดผมจะเป็นผ้โู กนให้ ดงั นัน้ ไมว่ ่าใครจะเป็นผทู้ าหนา้ ที่โกนหนวดใหก้ ับชายชา่ งตัดผมผนู้ ั้น กล็ ้วนแต่เกดิ ข้อ ขัดแยง้ ในตัวเองท้ังสิน้ 7

ค่มู อื ส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย ฉบั พลนั ทนั ใดนั้นเอง ปฏิทรรศนก์ ็บงั เกิดขึ้นและทาใหท้ ฤษฎเี ซตของคันทอร์ส่นั คลอน ภายหลงั แอนสท์ แซร์เมโล (Ernst Zermelo, ค.ศ. 1871 - 1953) ได้เสนอแนวทางแกป้ ัญหานี้ โดยเสนอใหม้ ีการกาหนดเซตท่เี รียกว่าเอกภพ สัมพัทธ์ข้ึนมา เม่อื คณิตศาสตร์ถูกนาเสนอในลักษณะทมี่ รี ากฐานเป็นทฤษฎเี ซต นอกจากจะทาให้การศกึ ษาทางคณติ ศาสตรเ์ ปน็ ระบบอย่างในปจั จุบันแล้ว ยงั กอ่ ให้เกดิ แนวคดิ ทคี่ าดไม่ถึงขึ้นอกี หนึง่ ในน้ันคือ โรงแรมมหศั จรรยข์ องฮิลแบร์ท ซ่งึ ทาใหส้ จั พจนข์ องยุคลดิ ท่ีว่า “ส่วนรวมย่อมมากกว่าส่วนย่อย” ซึง่ ควรจะเปน็ จริงอย่างไมม่ ีข้อกงั ขาน้นั กลบั กลายเป็นสงิ่ ที่ไม่จรงิ ภายใต้ระบบท่ีอธิบายดว้ ยทฤษฎเี ซต โรงแรมมหัศจรรย์ของฮลิ แบรท์ มีห้องพักต้งั แต่หมายเลข 1, 2, 3,… ไม่มีท่สี น้ิ สดุ และท่ีสาคัญคอื ทุกห้องมี แขกเข้าพกั หมดแล้ว หากมีแขกรายใหมต่ ้องการเขา้ พักเพิ่มขึ้นอีกสักคน จะทาอย่างไร 8

คู่มอื ส่อื การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พืน้ ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย แนน่ อนว่าสาหรบั โรงแรมท่ัวไปยอ่ มไมส่ ามารถทาได้ แต่สาหรับโรงแรมของฮลิ แบรท์ ละ่ ? เหตุการณ์นี้ไมเ่ ปน็ ปัญหาสาหรับโรงแรมของฮิลแบร์ท เพราะโรงแรมจะขอให้แขกทพี่ กั หอ้ งหมายเลข 1 ย้ายไปพักห้องหมายเลข 2 และขอใหแ้ ขกทพี่ กั หอ้ งหมายเลข 2 ย้ายไปพกั ห้องหมายเลข 3 อย่างน้ไี ปเร่ือยๆ กล่าวคือขอให้แขกทพ่ี กั ห้อง หมายเลข n ย้ายไปพักหอ้ งหมายเลข n+1 ซง่ึ จะทาให้แขกทุกคนยังมีท่ีพกั และโรงแรมมหี อ้ งพกั หมายเลข 1 สาหรับ แขกผ้มู าใหม่ ดว้ ยวธิ กี ารข้างตน้ หากมีแขกใหม่เข้ามาพกั จานวนหนงึ่ ร้อยคน หนึ่งล้านคน หรอื แมก้ ระท่ังหนงึ่ พันลา้ นคน ก็คงไม่ เป็นปญั หากระไร หากมองในเชิงคณติ ศาสตร์ สมมติวา่ ยา้ ยแขกชุดเดิมที่พกั ในห้องหมายเลข 1, 2, 3, … ไปพกั ใน หอ้ งหมายเลข 6, 7, 8, … เนื่องจากเป็นแขกชดุ เดมิ ดังนนั้ เมื่อนบั ห้องทั้งหมดก่อนการยา้ ยซงึ่ กค็ ือห้องหมายเลข 1, 2, 3, … กบั จานวนห้องหมายเลข 6, 7, 8 … หลังจากย้ายแลว้ มจี านวนเท่ากนั แต่ !!! 6, 7, 8, … เปน็ สว่ นยอ่ ยของ 1, 2, 3, … และนเ่ี องทีท่ าใหส้ ง่ิ ทีไ่ ม่น่าเชื่อไดบ้ ังเกิดขึน้ 9

ค่มู อื สื่อการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขนั้ พ้นื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลัย คาถามอภปิ ราย จากปัญหาข้างตน้ หากมแี ขกใหมเ่ ข้ามาพักจานวนอนนั ต์คน โรงแรมฮลิ แบร์ทจะยงั สามารถจดั ให้ทุก คนเข้าพกั ได้หรอื ไม่ เพราะอะไร แนวคาตอบ โรงแรมฮิลแบร์ทสามารถจัดการปัญหาดังกล่าวได้ ถา้ แขกจานวนอนนั ต์คนนั้น เปน็ อนนั ตค์ นแบบนบั ได้ สมมติให้แขกใหมม่ หี มายเลขประจาตวั เปน็ 1, 3, 5, 7,… ซึ่งมจี านวนเป็นอนนั ตค์ น โดย ฮิล แบร์ทจะย้ายแขกชุดเดิมทีพ่ ักในหอ้ งหมายเลข 1, 2, 3, 4, … ไปพกั ในหอ้ งหมายเลข 2, 4, 6, 8, … และ ใหแ้ ขกใหมเ่ ข้าพักตามห้องที่ตรงกับหมายเลขของตน ดงั นี้ แขกชุดเดิมอนันตค์ นท่ีเคยพักกย็ ังคงมที ่ีพกั และแขกชุดใหม่อนันตค์ น ก็ยงั คงไดเ้ ขา้ พัก หลังจากย้ายแล้ว มจี านวนเท่ากนั แต่ !!! 6, 7,180, … เปน็ ส่วนย่อยของ 1, 2, 3, … และนีเ่ องทที่ าใหส้ งิ่ ที่ ไม่น่าเชื่อได้บังเกดิ ข้ึน

คู่มอื ส่อื การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลยั เรื่องมหัศจรรย์เกี่ยวกบั เซตยงั มมี ากกว่านี้ ท้งั ๆทท่ี ฤษฎเี ซตเปน็ ทฤษฎีทสี่ รา้ งขึ้นมาเพ่ือรองรับระบบทางคณติ ศาสตร์ แต่แนวคิดทางทฤษฎีเซตก็มีประโยชน์มากในการวเิ คราะหแ์ ละประพนั ธด์ นตรไี รก้ ุญแจเสียงแบบอสิ ระในแง่ของ การวิเคราะห์ ซ่ึงจะชว่ ยทาใหเ้ ขา้ ใจได้ถึงโครงสร้างและความสัมพันธข์ องกล่มุ โน้ต ส่วนในแงข่ องการประพันธจ์ ะ ทาให้ผู้ประพนั ธม์ ่ันใจวา่ กลุ่มโน้ตทใ่ี ชใ้ นบทเพลงไร้กญุ แจเสียงไม่ไดร้ วมกล่มุ กนั โดยบงั เอญิ หากแตเ่ กิดขึน้ อย่างมี เหตุผลและมีทศิ ทางท่ีชดั เจน นอกจากนคี้ วามรเู้ ก่ยี วกับเร่ืองเซต ยังสามารถนามาชว่ ยในการแกป้ ัญหาทีม่ ีความซบั ซ้อนได้ ซง่ึ สะทอ้ นได้จาก เหตกุ ารณ์ดังตวั อยา่ งต่อไปนี้ หน่วยงานท้องถน่ิ แห่งหนึ่งต้องการช่วยเหลอื ผู้ตกงาน จึงขอขอ้ มูลผวู้ า่ งงานของหมู่บ้านตา่ งๆ จากนาย อาเภอ ใหส้ ่งขอ้ มลู ของผูว้ า่ งงานในแต่ละหมบู่ า้ นมา ซ่งึ มีนายอาเภอของหมู่บา้ นแห่งหนึ่ง ได้ส่งรายละเอยี ดข้อมูล มาใหด้ งั น้ี “ลูกบา้ นวัยทางานของผมมที ั้งหมด 52 คน มีอาชีพ ทาไร่ข้าวโพดกบั เล้ียงแกะ เม่อื วานกระผมลองไปนบั จานวนดู พบว่ามีคนที่ไม่ได้ทาไร่ข้าวโพด 30 คน พวกท่เี ลยี้ งแกะอย่างเดียว 15 คน สว่ นพวกขยันท่ที าท้ัง สองอย่างมีอยู่ 5 คน… แลว้ ตกลงว่า มคี นตกงานกี่คนกนั ? จะได้ชว่ ยเหลือไดถ้ ูก” 11

คมู่ อื สอื่ การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พืน้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั หากมองเพียงผวิ เผินแลว้ ดูเหมอื นกับว่านายอาเภอจะไม่ได้ให้ข้อมลู ทเี่ จา้ หนา้ ทตี่ ้องการ หากแต่ถ้าเราใชค้ วามรู้ เรื่องเซตทแี่ ทนข้อมูลทีน่ ายอาเภอใหม้ าดว้ ยแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แล้ว เราก็จะพบว่า ขอ้ มลู ที่เจ้าหนา้ ท่ีต้องการ ถกู ซ่อนอยแู่ ลว้ ในจดหมายของนายอาเภอ ดงั น้ี 12

คมู่ ือสื่อการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพน้ื ฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย ในช่วงน้ี ผ้สู อนควรพิจารณาอธบิ ายเพิ่มเตมิ โดยอาจแทรกระหว่างการนาเสนอส่ือบทนา หรือหลังจาก นาเสนอจบแล้ว ท้ังน้ไี มค่ วรอา้ งองิ ทฤษฎบี ทตามบทเรียน หากแต่สะทอ้ นใหเ้ หน็ ถงึ ประโยชนข์ องการ นาแผนภาพมาใช้เพ่ือใหเ้ กิดความเข้าใจทงี่ ่ายและตรงกนั สังเกตว่า ขอ้ มลู บางอยา่ งของนายอาเภอไมไ่ ด้ ถกู นามาใช้งาน และอาจมวี ธิ แี ก้ปัญหาได้หลายวธิ ี ทง้ั นผี้ ้สู อนอาจยกตัวอยา่ งอ่ืน หรือตวั อยา่ งท่ี ซบั ซอ้ นขน้ึ เพมิ่ เตมิ ได้ 13

คมู่ ือสอื่ การสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย นอกจากน้ัน ในชวี ิตจริงเราอาจจะพบปัญหาในลกั ษณะเดียวกันที่มีความซบั ซ้อนมากกวา่ ปญั หาข้างตน้ เช่น มีอาชีพมากกว่าสองอาชีพ ซงึ่ เรากย็ งั สามารถใชค้ วามรูใ้ นเรอ่ื งเซตมาชว่ ยแก้ปัญหาเหล่าน้ไี ดเ้ ช่นกนั 14

คูม่ ือสอ่ื การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั ภาคผนวกที่ 1 แผนภาพแสดงความสมั พนั ธ์ เรื่อง เซต 15

คู่มอื สอ่ื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พนื้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย เซต ความรูพ้ น้ื ฐาน ความหมาย แจกแจงสมาชิก การเขยี นเซต บอกเง่ือนไข ประเภทของเซตทส่ี าคญั เซตจากัด เซตอนนั ต์ การเปรียบเทียบ เซตว่าง การเท่ากนั เอกภพสัมพทั ธ์ การเทียบเท่า สบั เซต เซตกาลงั การดาเนินการบนเซต ยเู นยี น อินเตอรเ์ ซกชนั คอมพลีเมนต์ ผลต่าง การใชแ้ ผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์ ในการแก้ปญั หาท่ัวไป และปัญหาเกี่ยวกบั จานวนสมาชกิ 16

คู่มอื ส่อื การสอนวชิ าคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลยั รายช่อื สอ่ื การสอนวิชาคณติ ศาสตร์ จานวน 92 ตอน 17

คมู่ ือสอ่ื การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พ้ืนฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั รายชอ่ื สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน เรื่อง ตอน เซต บทนา เร่ือง เซต การใหเ้ หตุผลและตรรกศาสตร์ ความหมายของเซต เซตกาลงั และการดาเนนิ การบนเซต จานวนจรงิ เอกลักษณ์ของการดาเนนิ การบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สื่อปฏสิ ัมพันธเ์ รื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ทฤษฎจี านวนเบอ้ื งต้น บทนา เรอ่ื ง การใหเ้ หตผุ ลและตรรกศาสตร์ ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน การให้เหตผุ ล ประพจน์และการสมมูล สัจนิรนั ดร์และการอ้างเหตผุ ล ประโยคเปดิ และวลีบง่ ปริมาณ สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย สื่อปฏิสัมพันธ์เร่ืองตารางคา่ ความจรงิ บทนา เรือ่ ง จานวนจริง สมบัตขิ องจานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฏบี ทตวั ประกอบ สมการพหุนาม อสมการ เทคนคิ การแก้อสมการ คา่ สมั บูรณ์ การแกอ้ สมการค่าสมั บูรณ์ กราฟค่าสัมบูรณ์ สื่อปฏสิ ัมพนั ธเ์ รอื่ งช่วงบนเสน้ จานวน สอ่ื ปฏสิ มั พันธเ์ รื่องสมการและอสมการพหุนาม สอ่ื ปฏิสัมพนั ธเ์ รอ่ื งกราฟคา่ สมั บูรณ์ บทนา เรือ่ ง ทฤษฎีจานวนเบ้อื งตน้ การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ (ตกัวาหราหรารร่วลมงมตาวั กแแลละะตตวั ัวหคาณูรรรว่ มมมนาอ้ กย) บทนา เรือ่ ง ความสัมพนั ธ์และฟงั กช์ นั ความสัมพันธ์ 18

คู่มอื ส่ือการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ โดยความร่วมมือระหวา่ ง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พ้ืนฐาน และ คณะวทิ ยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย เรื่อง ตอน ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน โดเมนและเรนจ์ ฟังก์ชันชก้ี าลังและฟังก์ชนั ลอการทิ ึม อนิ เวอร์สของความสมั พนั ธแ์ ละบทนยิ ามของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ ฟังกช์ ันเบือ้ งตน้ พีชคณติ ของฟังกช์ นั กาหนดการเชงิ เส้น อินเวอร์สของฟงั ก์ชนั และฟังกช์ นั อนิ เวอร์ส ลาดบั และอนกุ รม ฟังกช์ ันประกอบ บทนา เรอ่ื ง ฟังกช์ นั ชีก้ าลงั และฟังกช์ นั ลอการิทึม เลขยกกาลงั ฟังก์ชนั ชกี้ าลงั และฟังก์ชนั ลอการิทมึ ลอการิทึม อสมการเลขชี้กาลงั อสมการลอการทิ ึม บทนา เรือ่ ง ตรโี กณมติ ิ อัตราส่วนตรีโกณมิติ เอกลกั ษณ์ของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ และวงกลมหนง่ึ หน่วย ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ 1 ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ 2 ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ 3 กฎของไซนแ์ ละโคไซน์ กราฟของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ ฟงั ก์ชันตรโี กณมิตผิ กผัน สอ่ื ปฏสิ มั พันธ์เรอื่ งมมุ บนวงกลมหนง่ึ หน่วย สอื่ ปฏิสัมพนั ธเ์ รือ่ งกราฟของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ ส่ือปฏิสัมพนั ธ์เรือ่ งกฎของไซน์และกฎของโคไซน์ บทนา เรอ่ื ง กาหนดการเชงิ เส้น การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ การหาค่าสดุ ขีด บทนา เรอ่ื ง ลาดบั และอนุกรม ลาดบั การประยกุ ต์ลาดบั เลขคณิตและเรขาคณติ ลิมติ ของลาดับ ผลบวกยอ่ ย อนกุ รม ทฤษฎบี ทการลเู่ ข้าของอนกุ รม 19

คมู่ อื สอื่ การสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั เรอื่ ง ตอน การนบั และความน่าจะเปน็ บทนา เรอื่ ง การนบั และความน่าจะเปน็ การนบั เบอ้ื งตน้ . การเรียงสับเปลีย่ น การจดั หมู่ สถิตแิ ละการวิเคราะหข์ ้อมูล ทฤษฎบี ททวนิ าม การทดลองสุ่ม โครงงานคณติ ศาสตร์ ความนา่ จะเป็น 1 ความนา่ จะเปน็ 2 บทนา เรื่อง สถติ แิ ละการวิเคราะหข์ อ้ มูล บทนา เนื้อหา แนวโน้มเข้าสสู่ ่วนกลาง 1 แนวโนม้ เข้าสสู่ ่วนกลาง 2 แนวโนม้ เข้าสูส่ ว่ นกลาง 3 การกระจายของข้อมลู การกระจายสมั บรู ณ์ 1 การกระจายสัมบรู ณ์ 2 การกระจายสัมบูรณ์ 3 การกระจายสัมพัทธ์ คะแนนมาตรฐาน ความสมั พันธ์ระหว่างขอ้ มูล 1 ความสมั พนั ธ์ระหว่างข้อมูล 2 โปรแกรมการคานวณทางสถติ ิ 1 โปรแกรมการคานวณทางสถติ ิ 2 การลงทุน SET50 โดยวิธกี ารลงทนุ แบบถวั เฉล่ยี ปญั หาการวางตวั เบี้ยบนตารางจตั ุรสั การถอดรากทส่ี าม เส้นตรงล้อมเสน้ โค้ง กระเบ้ืองที่ยืดหดได้ 20