Ecuaciones lineales

Tema 2. Sistemas de ecuaciones linealesEstructura del tema.• Definiciones b´asicas • Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales • Clasificacio´n de lossistemas segu´n el nu´mero de soluciones. Teorema de Rouch´e-Frobenius • M´etodos de resolucio´n.M´etodo de Cramer. M´etodo de Gauss0.1. Definiciones b´asicas Una ecuaci´on lineal es una ecuaci´on polin´omica de grado 1 en una o varias inco´gnitas. Esdecir, es una expresi´on de la forma a1x1 + ... + anxn = bdonde los t´erminos a1, ..., an son nu´meros reales conocidos que se llaman coeficientes; el t´erminob es tambi´en un nu´mero real conocido que se llama t´ermino independiente, y por u´ltimo loss´ımbolos x1, ..., xn se conocen como inc´ognitas y son a priori desconocidas. Para un nu´meropequen˜o de inc´ognitas, ser´a usual tambi´en denotarlas por las letras x, y, z, t, ... Una soluci´on de una ecuaci´on es una asignaci´on de valores a las inc´ognitas de forma que severifique la igualdad.Definicio´n 0.1.1. Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas a un conjuntode m ecuaciones lineales en las mismas n inc´ognitas: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1   a21x1 + a22x2 + ... + a2nx2 = b2  (1)  ..... .... ... .... ....   am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm  

2 Llamaremos solucio´n del sistema a cada asignaci´on de valores de las inc´ognitas {x1 = k1, ...,xn = kn} que sea solucio´n comu´n a todas las ecuaciones del sistema, es decir: que verifique todaslas igualdades simult´aneamente. Se llama solucio´n general del sistema al conjunto de todas lassoluciones del sistema. Resolver un sistema es hallar su soluci´on general. Dos sistemas se dice queson sistemas equivalentes si tienen la misma soluci´on general, es decir, si tienen exactamente lasmismas soluciones. Para transformar un sistema en otro sistema equivalente podemos realizar las siguientes opera-ciones elementales: • Intercambiar dos ecuaciones. • Multiplicar una ecuacio´n por un escalar no nulo. • Sumar a una ecuaci´on un mu´ltiplo de otra. • Eliminar las ecuaciones triviales del tipo 0 = 0, las ecuaciones repetidas o las proporcionales.0.2. Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial. Por ejemplo, (1)se puede escribir como AX = b,donde   x1   b1  a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n   x2   b2  ...  ... A =   , X =   y b =   .        ... ... ... ...         am1 am2 ... amn xn bmA la matriz A se le llama matriz del sistema o de coeficientes. El vector X es el vector deinco´gnitas y el vector b es el vector de los t´erminos independientes. Por u´ltimo llamamosmatriz ampliada a la matriz que se forma cuando an˜adimos a la matriz del sistema el vector delos t´erminos independientes:  a11 a12 ... a1n b1  a21 a22 ... a2n b2  A∗ = (A|b) =   .    ... ... ... ... ...   am1 am2 ... amn bm Como caso particular de sistemas cabe destacar los sistemas homog´eneos:Definicio´n 0.2.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homog´eneo si su vector det´erminos independientes es el vector nulo. Observemos que un sistema homog´eneo siempre admite la soluci´on trivial {x1 = 0, ..., xn = 0}.

0.3 Clasificacio´n de sistemas. Teorema de Rouch´e-Frobenius 30.3. Clasificacio´n de los sistemas segu´n el nu´mero de soluciones. Teo- rema de Rouch´e-Frobenius. Atendiendo a la existencia o no de soluciones de un sistema y al nu´mero de ´estas se da lasiguiente clasificaci´on.Definicio´n 0.3.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema incompatible sino tiene soluci´on. Por el contrario se dice que es un sistema compatible si tiene alguna soluci´on.En este u´ltimo caso so´lo caben dos posibilidades: o bien el sistema tiene una u´nica soluci´on, y eneste caso se dice que es un sistema compatible determinado, o bien tiene infinitas soluciones,llam´andose un sistema compatible indeterminado. Como ejemplo, v´ease que los sistemas homog´eneos siempre son compatibles. En consecuencia, la soluci´on general de un sistema compatible determinado consistira´ en lau´nica soluci´on posible del sistema mientras que la soluci´on general de un sistema compatible inde-terminado vendra´ expresada en funci´on de uno o ma´s para´metros. En este u´ltimo caso, para cadaasignaci´on de valores que le demos a los par´ametros obtendremos una soluci´on concreta del sistema. Al hecho de decidir si un sistema es incompatible, compatible determinado o compatible in-determinado se le llama comu´nmente discutir el sistema. Para discutir un sistema no es necesarioresolverlo. Nos basta con estudiar el rango de la matriz del sistema y de la matriz ampliada yaplicar el siguiente resultado.Teorema 0.3.2. Teorema de Rouch´e-Frobenius. Sea AX = b la representaci´on matricial deun sistema de ecuaciones lineales y sea A∗ = (A|b) la matriz ampliada del sistema. Entonces, elsistema es compatible si y s´olo si rg(A) = rg(A∗). En este caso el sistema es compatible determinadosi rg(A) coincide con el nu´mero de inc´ognitas, y es compatible indeterminado si rg(A) es menorque el nu´mero de inc´ognitas. Como consecuencias inmediatas del Teorema 0.3.2 se tiene que: 1. Un sistema es incompatible si y so´lo si rg(A) < rg(A∗), ya que por ser A una submatriz de A∗ la otra desigualdad estricta no es nunca posible. 2. Como el nu´mero de ecuaciones del sistema coincide con el nu´mero de filas de A y el nu´mero de inc´ognitas con el nu´mero de columnas, rg(A) siempre es menor o igual que el nu´mero de inc´ognitas del sistema y que el nu´mero de ecuaciones. En el caso de un sistema compatible indeterminado sabemos que su soluci´on general dependede par´ametros. El nu´mero de para´metros necesarios es igual a la diferencia entre el nu´mero deinc´ognitas y el rango de la matriz del sistema: no de para´metros = no de inc´ognitas − rg(A).

40.4. M´etodos de resoluci´on0.4.1. M´etodo de Cramer Del Teorema 0.3.2 y de las observaciones que le suceden se sigue que si tenemos un sistemade ecuaciones lineales con n inco´gnitas, el menor nu´mero de ecuaciones para que sea compatibledeterminado es tambi´en n. En este caso la matriz del sistema A es cuadrada, y para que rg(A) = nha de tener determinante no nulo. Es decir, A tiene que ser una matriz regular. Los sistemas quecumplen estas caracter´ısticas se denominan sistemas de Cramer:Definici´on 0.4.1. Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema de Cramer sies un sistema compatible determinado de n ecuaciones con n inco´gnitas. O equivalentemente, si lamatriz del sistema A es una matriz cuadrada regular. Es posible dar la soluci´on de un sistema de Cramer mediante determinantes. De hecho, unsistema de Cramer gen´erico viene dado por  a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1    a21x1 + a22x2 + ... + a2nx2 = b2   , .... .... ... .... ....    an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn  y se puede probar que su solucio´n es b1 a12 ... a1n a11 b1 ... a1n a11 a12 ... b1 b2 a22 ... a2n a21 b2 ... a2n a21 a22 ... b2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... bn an2 ... ann an1 bn ... ann an1 an2 ... bn x1 = |A| , x2 = |A| , ..., xn = |A| . Obtener la solucio´n de un sistema compatible determinado mediante determinantes es lo que seconoce como m´etodo de Cramer. Los principales incovenientes del m´etodo de Cramer son: un altocoste computacional, y solamente se puede aplicar a sistemas de Cramer. Sin embargo, siguiendola filosof´ıa del m´etodo de Gauss que hemos expuesto en el Tema ?? podemos discutir y resolversimult´aneamente cualquier sistema de ecuaciones lineales.0.4.2. M´etodo de Gauss Hay una serie de sistemas de ecuaciones lineales muy fa´ciles de discutir y de resolver, los sistemasescalonados.Definicio´n 0.4.2. Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema escalonado si la matrizampliada es una matriz escalonada por filas tal y como se defini´o en el Tema ??.

0.4 M´etodos de resoluci´on 5 Si la matriz ampliada del sistema es una matriz escalonada por filas, la matriz del sistematambi´en lo ser´a, y por tanto sera´ inmediato hallar y comparar los rangos de ambas matrices. Enconsecuencia, gracias al Teorema 0.3.2 la discusio´n del sistema es inmediata. Con respecto a la resolucio´n: • Si el sistema es incompatible no hay nada que resolver. • Si el sistema es compatible determinado se podr´a resolver de forma regresiva: en la u´ltima ecuaci´on se despeja la u´ltima inc´ognita y se sustituye en la penu´ltima ecuacio´n. En esta penu´ltima ecuaci´on se despeja la penu´ltima inco´gnita y se sustituye en la anterior, y as´ı hasta llegar a la primera ecuaci´on d´onde despejaremos la primera inco´gnita. • Si el sistema es compatible indeterminado lo resolveremos de modo similar, pero nos quedaran inco´gnitas “libres” que no podamos despejar. Estas inc´ognitas ser´an los par´ametros de la soluci´on general del sistema. El m´etodo de Gauss para la resolucio´n de sistemas consiste en transformar un sistema deecuaciones lineales en otro equivalente que sea escalonado, para discutirlo y resolverlo como se acabade explicar. Para ello, basta con escribir el sistema en forma matricial y aplicarle transformacioneselementales de filas a la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada por filas. Tambi´enpodemos eliminar las filas nulas, o las que sean iguales o proporcionales. La matriz que obtengamosser´a la matriz ampliada correspondiente a un sistema equivalente al inicial y escalonado. Si se prefiere se puede hacer el mismo proceso sin escribir el sistema en forma matricial, mani-pulando directamente las ecuaciones.

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