Ficha de trabajo

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02 Razones I ¡Tenga en cuenta que...! RAZÓN De las dos razones estudiadas, la que Es la comparación que se establece entre dos cantidades y esta se tiene mayor uso es la razón geométrica, puede realizar de dos maneras. por ello si un ejercicio indica el término de razón, se entenderá que se trata de la CLASES DE RAZÓN razón geométrica. Razón aritmética Cuando la comparación de las cantidades se realiza mediante la Nota sustracción. Razón aritmética Ejemplo En una tienda comercial, los precios de dos artículos son RA: a – b = r S/1400 S/800 Razón geométrica Comparemos estos precios mediante la sustracción. antecedente consecuente RG: a = k 1400 − 800 = 600 b razón aritmética valor de la razón aritmética Donde De donde se concluye lo siguiente: a: antecedente • El precio de la tableta es mayor al del celular en S/600. b: consecuente • El precio de la tableta excede al del celular en S/600. r: valor de la razón aritmética • El precio del celular es menor al de la tableta en S/600. k: valor de la razón geométrica • El precio del celular es excedido al de la tableta en S/600. Observación Razón geométrica Tenemos 3 cantidades A, B y C, donde Cuando la comparación de las cantidades se realiza mediante la se cumple que división. Ejemplo A = 3 ×3k La velocidad de un avión y de un auto de carrera se ven en los gráfi- B 4 ×3k cos. Comparemos estas velocidades mediante la razón geométrica. El valor de vavión=400 km/h vauto=200 km/h B debe ser B = 6 ×2k el mismo, C 2 ×2k por eso homogeneizamos Entonces A = 9k; B = 12k y C = 4k Pagina 2 de 22

Aritmética antecedente avión 400 2 auto = 200 = 1 Nota consecuente valor de la razón razón Dada una razón o razón geométrica, tal como geométrica geométrica De donde se concluye lo siguiente: P = 7 • La velocidad del avión es a la del auto como 2 es a 1. Q 9 • La velocidad del avión y la del auto están en la relación de 2 a 1. • La razón geométrica de la velocidad del avión y del auto es 2/1. Esto se interpreta de la siguiente manera: • La velocidad del avión y del auto son proporcionales a 2 y 1. • P y Q están en la relación de 7 a 9. • P es a Q como 7 es a 9. APLICACIÓN DE RAZONES EN PROBLEMAS DE EDADES • P es como 7 y Q es como 9. En este tipo de problemas se cumple que la diferencia de eda- • P y Q son proporcionales a 7 y 9. des de dos personas en cualquier periodo de tiempo siempre es constante. Ejemplo hace 3 años dentro de ¡Cuidado! 5 años Si en los ejercicios tenemos pasado presente futuro A es 2 veces B → A = 2B A es 2 veces más que B → A = 3B 1 15 18 23 11 14 19 Esto significa que Vilma 2 veces más equivale a 3 veces Teodora 444 5 veces más equivale a 6 veces 8 veces más equivale a 9 veces diferencia La diferencia de las edades n veces más equivale a (n + 1) veces de edades siempre es la misma. Aplicación La edades de Carlos y Vladimir están en la relación de 7 a 3. Si hace 6 años la relación de sus edades fue de 3 a 1, ¿qué edad tiene Vladimir? Resolución Desafío 6 años 1. Las edades de Ana y Cecilia están en la relación de 4 a 3, y dentro de pasado presente 8 años sus edades sumarían 51 años. Calcule la edad de Ana. 1 3M=6k 7k 1M=3k 3k 2. A una reunión asisten 100 personas, Carlos de las cuales 60 son varones y hay 10 Vladimir 2M 4k mujeres que bailan. ¿Cuántos varones no están bailando? diferencia de edades son iguales → M = 2k Además, 6k + 6 = 7k → 6 = k. Por lo tanto, la edad de Vladimir (3k) es 18 años. Pagina 3 de 22

Problemas resueltos Sabemos que 0, 6 = 6 ; por eso 1. A un teatro asisten 399 personas entre varones, 10 mujeres y niños. Si el número de varones es el A6 quíntuplo del de mujeres y el de mujeres es el N = 10 triple que el de los niños, ¿cuántos varones hay? Resolución Ahora simplificamos (sacamos la mitad) Sea V: N.º de varones M: N.º de mujeres A3 N: N.º de niños N=5 Se deduce que A = 3 k, N = 5 k. De los datos tenemos V=5M V = 5 ×3k Del último dato, tenemos M 1 ×3k La cantidad A + N = 24 M=3N M = 3 ×1k de mujeres ↓↓ N 1 ×1k es la misma 3 k + 5 k = 24 en ambas razones 8k = 24 → k = 24 → k = 3 8 Entonces tenemos que V = 15k; M = 3k y N = k. A = 3 k = 3(3) = 9 Como hay 399 personas tendremos N = 5 k = 5(3) = 15 → 15 – 9 = 6 15k + 3k + k = 399   19k = 399 Por lo tanto, Nilmar tiene 6 canicas más que Andreí. k = 21 Por lo tanto, el número de varones será 3. La propina que recibe Siara para ir al colegio V = 15k = 15(21) = 315 es dos veces más a la de Lucas, su hermano. ¿Cuánto llevó de propina Siara si esas cantidades 2. Al dividir las cantidades de canicas que tiene suman 40 soles? Andreí y Nilmar, el resultado es 0,6. Si el total de canicas de los hermanos es 24, ¿cuántas ca- Resolución nicas demás tiene Nilmar? Analizamos los datos del ejercicio como Propina de Siara: k + 2 k = 3 k Resolución Propina de Lucas: k Juntos tienen 3 k + k = 40. El enunciado del texto lo representamos de la 4 k = 40 k = 40/4 → k = 10 siguiente manera: Propina de Siara: 3 k = 3(10) = 30 Cantidad de canicas de Andreí: A Por lo tanto, Siara llevó S/30 de propina. Cantidad de canicas de Nilmar: N Condición del enunciado: A = 0, 6 N Pagina 4 de 22

Aritmética Práctica dirigida 5. Cuando Luis tenía 30 años nació su hijo Gael. Si dentro de 2 años sus edades estarán en la 1. Se sabe que la edad de Miguel es igual a los 3/5 de la edad de Andrés. Determine la edad relación de 4 a 1, entonces ¿hace cuántos años del mayor si el valor de la razón aritmética de dichas edades es 8 años. nació Gael? A) 7 años B) 8 años C) 9 años D) 10 años A) 20 años B) 18 años 6. Dos personas tienen 40 + a y 30 + a años de C) 30 años D) 12 años edad, respectivamente. Si hace 18 años sus 2. En una fábrica se producen clavos, pernos y edades estaban en la relación de 5 a 3, indique tornillos. Los tiempos de fabricación son de tal modo que por cada 6 kg de clavos se producen dentro de cuántos años sus edades serán entre 4 kg de tornillos, y por cada 3 kg de tornillos se producen 2 kg de pernos. Si en la jornada de sí como 9 es a 11. un día de trabajo se produjeron 130 kg más de clavos que de pernos, ¿cuántos kilogramos de A) 9 años B) 6 años tornillos se produjeron ese día? C) 12 años D) 13 años Práctica domiciliaria A) 156 B) 140 C) 168 D) 172 1. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los UNMSM 2018 - II números 5; 3 y 16. Determine la suma de esos 3. En una caja se tiene esferas rojas y azules en la proporción de 3 a 5 respectivamente; mientras números. que en otra caja la relación de esferas azules y blancas es de 2 a 7 en ese orden. Si ambas A) 20 B) 40 C) 10 D) 30 cajas contienen la misma cantidad de esferas, ¿cuántas de ellas son blancas? Considere que 2. Por cada 8 monedas de S/2 que tiene Jesús, hay 122 esferas azules en total. Yesi tiene 3. Si la razón aritmética de esas cantidades de monedas es 20, ¿cuánto más dinero tiene Jesús? A) 108 B) 112 C) 96 D) 72 4. Un árabe petrolero reparte una propina entre A) S/160 B) S/20 sus 3 esposas, de modo que las cantidades C) S/40 D) S/80 son proporcionales a 5; 4 y 7 respectivamente. Arrepentido el árabe por tal decisión, decide 3. Laura, Carola y Vilma compararon la cantidad repartir la propina y dar a todas las esposas de preguntas que marcaron en su examen y se una misma cantidad, por lo que la esposa más obtuvo que la cantidad de preguntas marcadas beneficiada debe devolver 2650 euros. Calcule por Laura y por Carola están en la relación de la razón aritmética de las cantidades adiciona- 7 a 4, mientras que la cantidad de preguntas les recibidas por las otras 2 esposas para cum- marcadas por Vilma y Carola están en la plir con los deseos del árabe. relación de 5 a 6. Si la cantidad de preguntas marcadas por Laura excede a la de Vilma en 44, ¿cuántas preguntas marcó Carola? A) 870 euros B) 1590 euros A) 80 B) 84 C) 70 D) 48 C) 1020 euros D) 530 euros Pagina 5 de 22

4. A una competencia en la que participaron 8. Felipe y Santiago, al comparar la cantidad de di- los equipos X e Y asisten 300 apostadores. Al nero que tienen, se dieron cuenta de que entre inicio, la razón de las apuestas de X a Y es los dos tenían S/800, además, se percataron de 3/2; al término de la competencia la razón se que si Felipe le daba S/320 a Santiago, entonces invierte. Si los apostadores por Y no cambiaron la razón geométrica de sus dineros se invertiría. a X, ¿cuál es el número de apostadores que ¿Cuánto dinero tiene Felipe? cambiaron su apuesta? A) S/690 B) S/740 C) S/560 D) S/580 A) 100 B) 120 C) 60 D) 80 9. Las edades de Ángel y Beto son 20 y 16 años, 5. Gerardo gana en 2 días lo que Santiago gana respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus en 3, mientras que Raúl gana en 4 días lo que edades estarán en la relación de 13 a 11? Gerardo gana en 5. ¿En qué relación está lo A) 4 años B) 6 años C) 10 años D) 12 años que gana Raúl y Santiago en un día? A) 3 a 4 B) 4 a 7 C) 7 a 3 D) 15 a 8 10. Hace 8 años, las edades de Luz y Doris estuvie- ron en la relación de 7 a 2, y dentro de 16 años 6. A la fiesta de promoción de Daniela asistieron estarán en la relación de 3 a 2. Determine 360 personas entre hombres y mujeres, dentro de cuántos años sus edades sumarán de modo que acudieron en proporción de 65 años. 5 hombres por cada 4 mujeres, después de tres horas se retira un cierto número de A) 9 años B) 10 años C) 11 años D) 12 años parejas y quedan entonces 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántas parejas se retiraron 11. La edad que tiene Rosemary y la que tendrá de esa reunión? Daniel dentro de 8 años están en la relación de 7 a 10, mientras que la edad que tuvo Daniel A) 40 B) 80 C) 160 D) 30 hace 4 años y la que tendrá Rosemary dentro de 8 años están en la relación de 7 a 9. ¿Cuál es 7. En cierta aula del ciclo anual San Marcos, la la suma de sus edades hoy? cantidad de varones y mujeres está en la pro- porción de 3 a 2; mientras que en el aula con- A) 60 años B) 45 años C) 56 años D) 72 años tigua la relación de varones y mujeres es de 4 a 3, respectivamente. Además, se sabe que 12. Cuando Luis nació, su padre tenía 25 años y en ambas aulas la cantidad de mujeres es la cuando nació Ricardo, el hijo de Luis, este tenía misma. ¿Cuántos varones hay en la primera 20 años. Si actualmente la edad de Aristeo, el aula si en total se tienen 174 alumnos en las abuelo, es a la del nieto como 4 es a 1, ¿hace dos aulas? cuántos años estas edades eran como 10 es a 1? A) 48 B) 52 C) 54 D) 56 A) 10 años B) 20 años C) 15 años D) 12 años 01 - A 03 - D 05 - D 07 - C 09 - B 11 - A 02 - C 04 - C 06 - A 08 - C 10 - C 12 - A Pagina 6 de 22

02 Leyes de exponentes I POTENCIACIÓN EN R Es la quinta operación matemática donde, a partir de dos elemen- tos llamados base (b) y exponente (n), se calcula un tercer elemen- to llamado potencia (p). bn=p Observación Ejemplo En el siguiente recuadro indicaremos los elementos de la Sea n ∈ N, entonces potenciación. • b + b + ... + b = bn n sumandos Expresión 52 = 25 xn = y 2m Base 5 x 2 •  a −n =  b n ; ab ≠ 0 Exponente 2 n m b a Potencia 25 y 2m Ejemplos • 2 + 2 + ... + 2 = 2(40) = 80 40 sumandos DEFINICIONES •  5  −2  3 2  3   3  9 Exponente natural 3 5 5 5 25 = = = Sea b ∈ R y n ∈ N ¡Recuerde que...! bn = b ⋅ b ⋅ b ⋅ ... ⋅ b Es importante considerar las 10 primeras n factores potencias del 2. Ejemplos 21 = 2 26 = 64 • 61= 6 22 = 4 27 = 128 • 32= 3 · 3 = 9 23 = 8 28 = 256 • 43= 4 · 4 · 4 = 64 24 = 16 29 = 512 • ( – 2)4= ( – 2)( – 2)( – 2)( – 2) = 16 25 = 32 210 = 1024 Exponente nulo b0=1;  b ≠ 0 Ejemplos • 50= 1 •  ( – 5)0= 1 •  – 50 = – 1 •  (2014)0= 1 •  1 + 1 − 5 0 = 00 (no definido) 2 3 6 Pagina 7 de 22

Álgebra Exponente negativo Sea b ≠ 0 y n ∈ Z + b− n 1  1  n ¡Sabía que...! bn b P=m abc = = Ejemplo =P a=3 2 2 a 3 4 Ejemplos P = a81 • 5−1 = 1 ¡Tenga en cuenta que...! 5 bm  + n = bm · bn • (−4)−2 = 1 = 1 Ejemplos (−4)2 16 • 2x + 3 = 2x · 23 • 5x + 2 = 5x · 52 •  2 −3 =  3 3 = 27 • 3x – 2 = 3x · 3 – 2 3  2  8 • xx + 1 = xx · x1 • 4−2 = 1 = 1 Aplicación 42 16 Si xx3 = 3 halle el valor de M. • − 4−2 = 1 = 1 M = xxx3 + xx3 + x3 − 42 − 16 Nota • 5−3 = 1 = 1 53 125 • bnm ≠ (bn )m = bnm TEOREMAS DE LA POTENCIACIÓN • bn + m ≠ bn + bm PROPIEDAD EJEMPLOS bm · bn = bm + n • 23 · 24 = 23 + 4 = 27 = 128 bm = bm−n; b ≠ 0 • 58 = 58−5 = 53 = 125 bn 55 (bm)n = bm · n = (bn)m • (23)4 = 23 · 4 = 212 = 4096 (a · b)n = an · bn • (2 × 3)3 = 23× 33 = 8(27) = 216  a n = an ; b ≠ 0 •  7 2 = 72 = 49 b bn 2 22 4 Ecuaciones exponenciales 1. Si b ≠ 0 y b ≠ 1, tal que bm = bn, entonces m = n. Ejemplo 5x+2= 53  →  x + 2 = 3         x = 1 2. Si bb = aa  → a = b Ejemplo (x + 2)(x + 2) = 27  → (x + 2)(x + 2) = 33        →  x + 2 = 3 x=1 Pagina 8 de 22

Problemas resueltos Como xx= 3, entonces se obtiene K = x3x − (3)2 1. Reduzca la siguiente expresión. K = (x x )3 − 9 = 33 − 9 = 18 M = 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 2 3 4 ∴ K = 3 2 Resolución 2 2 2 4. Si 264 = aa y 354 = (3b)b halle el valor de (a – b)2b – 17. M = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 2 3 4 M = 1× 2 + 12 1× 3 + 12 1× 4 + 12  2   3   4  Resolución M =  3 2  4 2  5 2 2 3 4 En primer lugar aa = 264 M = 32 42 52 52 22 ⋅ 32 ⋅ 42 = 22 aa = (24 )16 aa= 1616  →  a = 16 ∴ M = 25 Luego 4 (3b)b = 354 = 327 2. Simplifique la siguiente expresión. [(3b)b]3=(327)3 E = 23x+1 + 8x+2 [3b]3b = (33 )27 23 x +1 (3b)3b= 2727  → 3b = 27 Resolución    →  b = 9 E = 23x+1 + 8x+2 Por último 23 x +1 (a – b)2b – 17 = (16 – 9)2(9) – 17 = 718 – 17 E = 23x+1 + (23 )x+2 ∴ (a – b)2b – 17 = 7 23 x +1 E = 23 x +1 23 x + 6 5. Si M es el exponente final de x en la expresión 23 x +1 + 23x+1 ( x 2 )3 ⋅ (x −2 )3 ⋅ x −2 P = ⋅ x 24 1M0. x(−3)2 ⋅ x −52 E = 1+ 2 3x +6 −3x −1 E = 1 + 25 halle ∴ E = 33 Resolución xx 3. Si xx= 3, calcule el valor de K. P = ( x 2 )3 ⋅ (x −2 )3 ⋅ x −2 ⋅ x 24 K = x xx+1 − x2x x(−3)2 ⋅ x −52 Resolución P = x6 ⋅ x −6 ⋅ x −2 ⋅ x16 Nos piden calcular x 9 ⋅ x −25 K = x xx+1 − x2x P = x 6−6−2+16 = x14 = x 30 K= x x x·x – ( xx )2 x 9−25 x −16 → M = 30 ∴  M = 3 10 Pagina 9 de 22

Álgebra Práctica dirigida 5. En un estudio publicado por la revista científi- ca Proceedings of the Royal Society, los astró- 1. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes nomos determinaron que los días de la Tierra proposiciones. se están alargando; por cada 3,3 × 106 años se gana 6 × 104 milisegundos al día. Determine I. (2−1 + 3−1 + )6−1 −3 = 1 cuántos milisegundos se ganaría en 330 años. II. 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 210 = 1024 A) 5 ms B) 3,3 ms 10 veces C) 3 ms D) 6 ms III. 10 + 10 + ... + 10 = 1010 6. Si la cantidad de bacterias de un cultivo está determinada por 4x, donde x es el tiempo en 10 horas. Determine el tiempo x cuando la canti- IV. (p – 3,14)0= 1 dad de bacterias es 16x–2. A) FFFF A) 4 horas B) VVFV B) 5 horas C) VFVF C) 2 horas D) VVVV D) 0 horas 2. Si x > 1, indique el exponente final de x en la 7. Simplifique la siguiente expresión. siguiente expresión: T = x −23 ⋅ x(−2)4 5n+2 + 5n+4 + 5n+6 x(−3)2 ⋅ x −3 2 5n+4 + 5n+2 + 5n ( ) A) 9 B) 3 A) 4 B) 25 C) 6 D) 5 C) 35 D) 16 3. Halle el valor de la expresión K. Práctica domiciliaria K = 610 ⋅ 155 ⋅ 107 215 ⋅ 512 ⋅ 315 1. Respecto a las siguientes proposiciones, indi- A) 4 B) 3 que el valor de verdad (V o F). C) 2 D) 1 I.  21 + 1 1 1 0 1 3 + 6 − = 4. Si se cumple que xx= 3 II. 1023 = (102 )3 halle el valor de S = x x− x x+1. 5  1  A) 21 B) 31 III. 3−4−5 =  1  4 D) 41 3 C) 1 A) FVV B) FFV 9 C) FFF D) VFF Pagina 10 de 22

2. Dada las siguientes proposiciones: 7. Si a >  1, indique el exponente final de x en la expresión I. 52010 a. 0 II. 2 + 2 + 2 + ... + 2 b. 666 x −22 ⋅ x(−2)4 ( x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x)−2 333 veces III. − 32 4 15 −4 10 veces 10 −   c. 15 A) 20 B) 25 C) 21 D) 32 indique la alternativa correcta A) Ic, IIa, IIb 8. Simplifique la siguiente expresión: B) Ia, IIc, IIIb C) Ib, IIc, IIIa 2n+4 − 2 ⋅ 2n + 2−3; n ∈N D) Ic, IIb, IIIa 2 ⋅ 2n+3 3. Halle el exponente final de x, luego de simplifi- A) 7/8 B) 1 car la siguiente expresión: C) 2 D) 7 x23 · x( – 2)4 · x – 24 · (x2)3 9. El cecio 137 es un elemento radiactivo usado en aplicaciones médicas. Si se desintegra se- A) 8 B) 9 1 t C) 10 D) 14 2 gún 10   h en gramos, donde t es el tiempo 4. Simplifique en años y h es la vida media del cecio 137, ¿cuántos años deben pasar para que quede 1410 ⋅1020 ⋅ 72 2,5 gramos de cecio 137, con una vida media 3510 ⋅ 2010 ⋅ 210 T = de 30 años? A) 59 B) 29 A) 20 años C) 19 D) 49 B) 60 años C) 15 años 5. Halle R = aa−aa+1 si se sabe que aa= 2. D) 50 años A) 1 B) 21 10. Determine el número de días n que fue nece- 3 D) 81 sario para que una plaga afecte a un terreno C) 1 n+1 4 de cultivo de papa si 9 2 + 1 es la cantidad de 6. Si mm= 3, halle el valor de K. K = mmm+1 − m3m plantas afectadas en n días y se sabe que 730 plantas fueron afectadas. A) 1 B) 2 A) 8 días C) 3 D) 0 B) 5 días C) 3 días D) 6 días Pagina 11 de 22

02 Ángulos ÁNGULO vértice lados Es aquella figura geométrica formada por dos rayos no colineales con extremo en co- O mún. A dicho extremo se le denomina vértice y a los rayos, lados del ángulo. Notación CLASIFICACIÓN La medida del ángulo AOB es q. según A La medida de La posición de sus La relación entre sus ángulos lados sus medidas Ángulo agudo θ B Ángulos adyacen- Ángulos O α tes (AOB y BOQ) adyacentes 0º < α < 90º complementarios Se denota m AOB = q. Ángulo recto AB A θ OQ B θ = 90º Ángulo obtuso Ángulos consecu- β C tivos (AOB, BOQ α ω 90º < ω <180º y QOP) O AB α+β = 90º Q ¡Recuerde que...! OP Ángulos adyacentes α Ángulos opuestos suplementarios β por el vértice MA Q θ αOα NB βα a + b + q=360º A OB α+β =180º Pagina 12 de 22

Geometría Problemas resueltos 1. Si el reloj marca las 5 p. m., calcule la medida del ángulo que forma el minutero con el horario. 11 12 1 10 2 93 84 765 Resolución Consideraremos que al reloj se le asocia 360º. Medida entre 12 y 1= 360° = 30° ¡Tenga en cuenta que...! 12 AN Luego OB Si ON es bisectriz, entonces Medida entre 12 y 5 = 5 × 30°= 150° Por lo tanto, el ángulo que forman mide 150°. m AON = m NOB 2. El complemento de un ángulo es igual al suplemento de otro ángulo. Si la suma de las medidas de dichos ángulos es 130°, hallar la medida del menor ángulo. Resolución Cα =Sβ → 90º – α =180° – β Con lo cual β – α =90° (I) Por dato del problema α + β =130° (II) De (I) y (II) ∴ α =20° Pagina 13 de 22

3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Si m AOB + m COD = 80º, calcule la medida de los ángulos determinados por la bisectrices de los ángulos AOC y BOD. Resolución Nos piden x. Dato: w + b =80º B AM x+θ – ω N ωxθ C O β 2x – ω D Sea OM bisectriz del  AOC m AOM = m MOC = x + q → m BOM = x + q – w Si ON es bisectriz del  BOD m BON = m NOD = 2x + q – w → m COD = 2x – w Del gráfico 2x – w = b → 2x = w + b 2x = 80º ∴ x = 40º Pagina 14 de 22

Práctica dirigida Geometría 1. Del gráfico, calcule 2a + d. 5. Para mayor confort al momento de realizar las tareas, Franco averiguó posturas correctas, y encontró la siguiente información: δ 0° 20° 100° IV I II α 60° α III A) 110° B) 120° C) 130° D) 140° 2. Según el reloj que se muestra, al cabo de me- dia hora, calcule la medida del ángulo que for- marán las agujas del horario y minutero. Cuerpo en postura estática 11 12 1 I Aceptable 10 2 II Aceptable. en caso de buen 93 apoyo corporal 84 III Inaceptable 765 IV Aceptable. en caso de un buen apoyo corporal A) 20° B) 45° C) 40° D) 50° 3. Sean dos ángulos cuya suma de sus medidas Si Franco solo quiere utilizar la mesa como es 85° y la diferencia de sus complementos es apoyo, ¿cuál sería la diferencia entre las medi- 25°. Halle la razón entre las medidas de dichos das del máximo y mínimo valor del ángulo que ángulos. debe considerar respecto a su vertical? A) 2 B) 75 C) 161 D) 53 A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° 3 4. Según el gráfico, 3(m AOB)=5(m BOC) y Práctica domiciliaria m AOM+m COD – m BOC=50°. Calcule m MOB+m COD si OM es bisectriz del án- gulo AOC. B 1. Del gráfico, calcule la mAOB. A B C D O C 4x+10° 5x+20° 6x B) 25º C) 15º D A O A) 50º D) 45º A) 30° B) 50° C) 40° D) 60° Pagina 15 de 22

2. Si se considera que la torta mostrada tenía for- 6. Las medidas de dos ángulos suplementarios ma de círculo, calcule la medida de la mitad son proporcionales a 11 y 9. Calcule el suple- del ángulo de la porción de torta faltante. mento del complemento del menor de dichos ángulos. 1 1 41 A) 171º B) 150º C) 120º D) 135º 44 7. En el gráfico, calcule la medida del ángulo for- B) 45° C) 40° D) 50° mado por las bisectrices de los ángulos AOB A) 20° y COD. C B 3. Si el suplemento del complemento de un án- A 80º 130º D gulo es igual a dos veces el complemento del O mismo ángulo, halle el suplemento del com- plemento del mismo ángulo. A) 75º B) 85º C) 95º D) 105º A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° 8. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, donde mAOB + mCOD = 70°. Calcular 4. Adriana compra la mitad de una pizza y lo re- mXOY si OX es bisectriz del AOC y OY es parte con su familia para lo cual realiza cuatro bisectriz del BOD. cortes como se muestra en el gráfico. Si los cortes en OB y OE son bisectrices para los án- A) 80° B) 45° C) 40° D) 35° gulos AOC y DOF, calcule la m BOE. 9. Se tienen dos ángulos adyacentes cuyas medi- C das se diferencian en 40°. Calcular la medida BD del ángulo formado por el lado común y la bi- sectriz del ángulo formado por las bisectrices 20º E de los ángulos dados. A O F A) 10° B) 20° C) 25° D) 30° A) 40º B) 68º C) 80º D) 100º 10. Si la diferencia de los cuadrados del suplemento del complemento de un ángulo y el comple- 5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC mento de dicho ángulo es seis veces el cua- y COD, tal que 11(m BOC)=2(m AOD) y drado de la medida de dicho ángulo, calcule la m AOB+ m COD = 108º. Calcule m BOC. medida del ángulo. A) 12º B) 24º C) 36º D) 48º A) 40º B) 50º C) 60º D) 30º 01 - B 03 - C 05 - B 07 - D 09 - A 02 - B 04 - D 06 - A 08 - D 10 - C Pagina 16 de 22

02 Sistemas de medidas angulares Los diferentes sistemas de medidas angulares usan como unidad de medida alguna fracción del ángulo de una vuelta. SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS Tiene como unidad de medida al grado sexagesimal (1°), el cual se obtiene al dividir el ángulo de una vuelta en 360 partes iguales. Observación 1° = mS1v → mS1 v = 360° El ángulo trigonométrico es aquel que se 360 genera por la rotación de un rayo alrede- dor de un punto fijo, denominado vérti- Subunidades ce, desde una posición inicial (lado ini- cial) hasta una posición final (lado final). Minuto sexagesimal: 1’ Segundo sexagesimal: 1’’ posición final Equivalencias O θ 1°= 60’= 3600’’ 1’= 60’’ vértice posición inicial SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS Tiene como unidad de medida al grado centesimal (1g), el cual se obtiene al dividir el ángulo de una vuelta en 400 partes iguales. 1g = mS1v → mS1 v = 400g 400 Nota Subunidades Un ángulo trigonométrico se llamará de Minuto centesimal: 1m una vuelta si su posición final coincide Segundo centesimal: 1s con su posición inicial por primera vez después de una rotación. Equivalencias 1v posición inicial posición final 1g= 100m= 10 000s 1m = 100s Pagina 17 de 22

Trigonometría SISTEMA RADIAL O CIRCULAR Tiene como unidad de medida al radián (1 rad), el cual se obtiene al dividir el ángulo de una vuelta entre 2π. 1 rad = mS1v → mS1 v = 2p rad Observación 2π Para la conversión de un ángulo de un sistema a otro sistema, usaremos el mé- p ≈ 3,14 todo de factor de conversión. Equivalencias entre los sistemas de medición angular factor de = sistema que quiero conversión sistema que tengo Para pasar de un sistema a otro se usa las siguientes equivalencias: mS1 v = 360°= 400g= 2p rad mS 1 v = 180° = 200g = p rad 2 9°= 10g Nota Para un mismo ángulo se tiene θ=S°=Cg=R rad S = C = R 180 200 π S = C S = R C = R 9 10 180 π 200 π S = 9n, C = 10n y R = πn 20 Pagina 18 de 22

Problemas resueltos 1. Del gráfico mostrado, halle a. ¡Sabía que...! (11α − g 27αº El sistema sexagesimal se usa para me- dir tiempos (horas, minutos y segundos) Resolución y ángulos (grados, minutos y segundos). De la figura se observa que Observación 27a°+ (11a – 5)g= 180° Se cumple lo siguiente: • a°b’c” = a° + b’ + c” Pasamos todo a grados sexagesimales usando la relación 9°=10g. • xgymzs = xg + ym + zs • 1 rad > 1° > 1g 27αº + (11α − 5) g  9º  = 180º • 27’ = 50m 10 g  27αº + 99αº −45º = 180º 10 270a°+ 99a° – 45°= 1800° 369a°= 1845°  →  a =5 2. Si a° y bg son ángulos complementarios, halle el valor de 9 (100 − b) . a Resolución Por dato a°+ bg= 100g a ° 10 g  + b g = 100 g  9 °  10a + 9b = 900 10a = 900 - 9b 10a = 9(100 - b) ∴ 9 (100 − b) = 10 a Pagina 19 de 22

Trigonometría 3. Se tiene dos ángulos suplementarios, y uno de ellos excede al otro en 36°. Halle el mayor de dichos ángulos en grados centesimales. Resolución Sean α y θ los ángulos. Luego, las condiciones dadas son las siguientes: a + q =200g (I) a - q =36° (II) Puesto que la medida del ángulo se pide en grados centesima- les, convertimos estos valores a centesimales. 36° = 36°  10g  = 40 g Nota  9°  Geométricamente, 1 rad es la medida de un ángulo central que subtiende un De (I) + (II): 2a =240g → a =120g arco de igual longitud que el radio de la circunferencia. Por lo tanto, el mayor ángulo es 120g. 4. Se sabe que 25 grados en un sistema N equivalen a 60 grados r A sexagesimales. ¿A cuántos radianes equivalen 5 grados N? Oθ r B Resolución r Por condición del problema 25 grados N < > 60° Sacamos quinta a la condición inicial y tenemos Si AB = r , entonces q = 1 rad. 5 grados N < > 12° Trasformamos dicho ángulo a radianes usando la relación π rad = 180° 12° = 12°  π rad  = π rad 180° 15 Finalmente \\ 5 grados N <> π rad 15 Pagina 20 de 22

Práctica dirigida 4. Obtenga el valor de la expresión 1. Un estudiante en una clase de Topografía mide 90° + 60g + π rad un ángulo de 74,25°, mientras que otro estu- 5 diante mide el mismo ángulo como de 74°20’. Determine la diferencia entre estas medidas π rad+ 50 g en minutos sexagesimales. 4 A) 2 B) 21 C) 3 D) 1 Práctica domiciliaria 1. Un estudiante de secundaria recorta una cartu- lina formando un triángulo cuyos ángulos inter- nos miden 6x°, 10xg y π rad. Calcule la medida 4 del mayor ángulo en grados sexagesimales. A) 45° B) 54° C) 81° D) 21° A) 12’ B) 10’ C) 8’ D) 5’ 2. Se tiene dos ángulos complementarios y uno excede al otro en 50°. Halle el menor ángulo en 2. Cattleya dibuja un triángulo y con la ayuda de grados sexagesimales. su transportador encuentra que la medida de uno de sus ángulos es 45°, por lo cual, puede A) 20° B) 18° C) 30° D) 27° deducir la medida de los otros dos ángulos. Calcule la suma obtenida para los ángulos res- 3. La Tierra gira sobre su eje una vez cada 24 h. tantes en grados centesimales. ¿Cuánto tarda en girar un ángulo de 240°? C A B A) 135g B) 140g C) 145g D) 150g A) 12 h B) 14 h C) 15 h D) 16 h 3. Si 5x° equivalen a p rad, calcule la edad de Ha- 4. Halle el valor de la expresión rumi que está representada por el valor de 3°2 ' + 4g5m 2' 5m E = x° 10g A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 A) 172 B) 176 C) 168 D) 142 Pagina 21 de 22

Trigonometría 5. Si π rad=x°y', donde y < 60, calcule y - x. 24 A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 a° 10bg 6. Se tiene dos ángulos suplementarios, los cua- B) 36 C) 32 D) 40 les están en relación de 2 a 3. Halle el menor A) 4 de los ángulos en radianes. A) π rad B) π4 rad C) 25π rad D) 23π rad 9. Un gamer crea un nuevo sistema de medición 3 angular Dota, tal que su unidad (1D ) resulta ser la ducentésima cuadragésima parte (1/240) del ángulo de una vuelta. Calcule el equivalente de 7. Al convertir πx radianes al sistema sexagesi- π rad en el nuevo sistema. 7 12 mal se obtiene 540°. Halle el valor de x. A) 10D B) 12D C) 14D D) 16D ag= b°c’,  60 b+ c  º a A) 14 B) 21 C) 28 D) 35 10. Si calcule en el sistema 8. En la figura se muestra el ángulo girado por radial. el mango de una tijera para papel, donde a + b = 40. Calcule a – b. A) 3π rad B) 25π rad C) π2 rad D) 1π0 rad 10 01 - C 03 - D 05 - C 07 - B 09 - A 02 - A 04 - A 06 - C 08 - C 10 - A Pagina 22 de 22