c. Past Semester Question: March 2016 Q3 An open box with square base and a volume of 256 cm3 is to be constructed from the same material. Show that the surface area of the box is ������ = ������2 + 1024������−1, where ������ is the length of the base of the box. Hence, find the dimensions of the box so that the minimum amount of material was used in its construction. 93
3.7 Rolle’s Theorem and Mean Value Theorem Rolle’s Theorem Suppose ������ = ������(������) is continuous at every point in the closed interval [������, ������] and differentiable at every point in the open interval (������, ������). If ������(������) = ������(������), then there is a value ������ in (������, ������) such that ������′(������) = 0 Example 3.16 Find all the values of ������ in the given interval that satisfy the conclusion of Rolle’s theorem. a. ������(������) = ������2 − 4������ + 8; [0, 5] b. ������(������) = 6������ − ������2 − 3������3; [−3, 3] c. ������(������) = sin(������2) ; [0, ������] 94
Mean Value Theorem Suppose ������ = ������(������) is continuous at every point in the closed interval [������, ������] and differentiable at every point in the open interval (������, ������). If ������(������) = ������(������), then there is a value ������ in (������, ������) such that ������′(������) = ������(������) − ������(������) ������ − ������ Example 3.17 Find all the values of ������ in the given interval that satisfy the conclusion of the Mean Value theorem. a. ������(������) = 3√������; (0,1) b. ������(������) = 1 − √3������3; (−2,4) c. ������(������) = ������ − 2 ; (0, 5) 2 ������ 95
Chapter 4 Integration 4.1 Anti-Derivatives 1. Anti-derivative is obtain by integration, that is the reverse process of differentiation. Differentiation ������ = ������(������) ������������ = ������′(������) ������������ Integration 4.2 Indefinite Integral Integral sign ∫ ������(������) ������������ Variable involved in integration Integrand 4.2.1 Integration of a Constant Function Let ������ = ������ where ������ is a constant ∫ ������ ������������ = ������������ + ������ ������ = constant Example 5.1 Evaluate the following integrals. a. ∫ ������ ������������ b. ∫ 2 ������������ c. 1 ∫ − ������������ √3 96
4.2.2 Integration of a Power Function For any real number ������ and constant ������ ∫ ������������ ������������ = ������������+1 + ������ ������ + 1 ∫ ������������������ ������������ = ������������������+1 + ������ ������ + 1 Example 5.2 Evaluate the following integrals. a. ∫ ������5 ������������ b. 1 c. ∫ 2√������3 ������������ ∫ ������12 ������������ 4.2.3 Integration of Sums and Differences of Functions For functions ������ and ������ ∫(������(������) + ������(������)) ������������ = ∫ ������(������) ������������ + ∫ ������(������) ������������ ∫(������(������) − ������(������)) ������������ = ∫ ������(������) ������������ − ∫ ������(������) ������������ Example 5.3 Evaluate the following integrals. a. ∫(������ + 1) ������������ b. ∫ (3������3 − 1 + 1 ������������ 4) ������2 97
4.2.4 Integration of Trigonometric Functions Differentiation Rule Integration Rule ∫ cos ������ ������������ = sin ������ + ������ 1. ������ (sin ������) = cos ������ ∫ sin ������ ������������ = −cos ������ + ������ ������������ ∫ sec2 ������ ������������ = tan ������ + ������ ∫ csc ������ ∙ cot ������ ������������ = −csc ������ + ������ 2. ������ (cos ������) = −sin ������ ∫ sec ������ ∙ tan ������ ������������ = sec ������ + ������ ������������ ∫ csc2 ������ ������������ = −cot ������ + ������ 3. ������ (tan ������) = sec2 ������ ������������ 4. ������ (csc ������) = −csc ������ ∙ cot ������ ������������ 5. ������ (sec ������) = sec ������ ∙ tan ������ ������������ 6. ������ (cot ������) = −csc2 ������ ������������ Example 5.4 Evaluate the following integrals. a. ∫(cos ������ − sec2 ������) ������������ b. 1 ∫ (2sin ������ + sin2 ������) ������������ 4.2.5 Integration of Exponential and Reciprocal Functions Differentiation Rule Integration Rule ∫ e������ ������������ = e������ + ������ 1. ������ (e������ ) = e������ 1 ������������ ∫ ������ ������������ = ln ������ + ������ 2. ������ (ln ������) = 1 ������������ ������ Example 5.5 Evaluate the integrals. a. ∫(������ − 2e������) ������������ b. 3������3 − 2������2 + ������ ∫ ������2 ������������ 98
Tutorial 4.1 Evaluate the following integrals. a. ∫ (3√������ − ������2 ������������ b. 3√������5 + 4������ − 1 2) ∫ ������3 ������������ c. ∫ ������2 (2 − 1 + 5������6) ������������ d. ∫(√������ + 1)(4 − ������2) ������������ ������4 e. ∫ ������(2 − ������)2 ������������ f. (������ − 3)2 ∫ ������������ √������ 99
Evaluate the following integrals. h. ∫ (e������ − 1 ������) ������������ g. ∫(sec ������ ∙ tan ������) ������������ sin2 i. 1 j. 1 + ������ ∫ sin ������ ∙ tan ������ ������������ ∫ ������ ������������ k. 2 e������ l. (e������ − 1)(e������ + 1) ∫ (������ + 2 ) ������������ ∫ e������ ������������ 100
4.3 Integration by Substitution 1. Sometimes the integrals cannot be evaluated directly, especially if the integrand involves multiplication or division of functions that are more complex. 2. Also, the previous rules cannot be applied directly to evaluate integrals of composite functions. 3. Hence, another method to evaluate the integral is by using substitution. Integration by ������ −Substitution Step 1 : Choose a suitable function for ������, let ������ = ������(������) Step 2 : Find ������������ = ������′(������) ������������ Step 3 : Perform substitution so that the integral must all be in terms of ������. Step 4 : Evaluate the integral in terms of ������. Step 5 : Substitute ������ to obtain the final answer in terms of ������. Example 5.6 Evaluate the following integrals. a. ∫ ������(������2 + 3)5 ������������ 101
b. ������2 ∫ (1 − ������3)4 ������������ c. ∫(������ + 1)√������2 + 2������ − 1 ������������ d. ������ ∫ (������ − 1)2 ������������ 102
Tutorial 4.2 Evaluate the following integrals using suitable substitution. a. ∫ ������ ������������ √������2 + 2 b. ∫ ������3(10 − ������4)−5 ������������ c. ∫ ������√������ + 1 ������������ 103
Evaluate the following integrals. d. ∫ sin 3������ ������������ e. ∫(2 − e3������) ������������ f. ������5 ∫ 2������6 − 3 ������������ 104
Evaluate the following integrals. g. ∫ cos(−5������) ∙ sin(−5������) ������������ h. ∫ tan 4������ ������������ i. (1 − e2������)2 ∫ e������ ������������ 105
Evaluate the following integrals. j. sec ������ ∙ tan ������ ∫ sec2 ������ ������������ k. ∫ e������ ∙ csc2(e������) ������������ l. ∫(sec2(������ + 1)) ∙ etan(2������+1) ������������ 106
4.4 Definite Integral 1. Definite integral is an integral with upper and lower limits. Evaluation of Definite Integral ������ ∫ ������(������) ������������ = ������(������) − ������(������) ������ Example 5.7 Evaluate the following integrals. a. 3 ∫(������2 − 3������ + 5) ������������ −1 b. ������ ∫ cos ������ ������������ 0 107
c. 0 ∫ sin(������ + 1) ������������ −������ d. 2 1 ∫ 2������ + 3 ������������ 1 e. 3 ������ ∫ (1 − 2������2)2 ������������ 2 108
Tutorial 4.3 Evaluate the following definite integrals. a. 4 ∫(cos(������) − ������−5) ������������ 1 b. 1 ∫ ( 1 − 3������ + 5√������4) ������������ √������ 0 c. 2 ∫ ������e2������2 ������������ 0 109
Evaluate the following integrals. d. ∫ (2 sec2 ������ − 1 ������) ������������ sin2 e. 4 e√������ ∫ ������������ √������ 2 f. 2 ∫ ������(������ − 1)5 ������������ 1 110
4.4.1 Properties of Definite Integral ������ ������ ������ 1. Sum/Difference: ∫(������(������) ± ������(������)) ������������ = ∫ ������(������) ������������ ± ∫ ������(������) ������������ 2. Constant multiple: 3. Reverse interval: ������ ������ ������ 4. Zero-length interval: ������ ������ 5. Adding intervals: ∫ ������ ∙ ������(������) ������������ = ������ ∙ ∫ ������(������) ������������ ������ ������ ������ ������ ∫(������(������) ± ������(������)) ������������ = − ∫ ������(������) ������������ ������ ������ ������ ∫ ������(������) ������������ = 0 ������ ������ ������ ������ ∫ ������(������) ������������ + ∫ ������(������) ������������ = ∫ ������(������) ������������ ������ ������ ������ Example 5.8 Suppose ������ and ������ are continuous functions and 2 66 ∫ ������(������) ������������ = −3 ∫ ������(������) ������������ = 5 ∫ ������(������) ������������ = 10 1 1 1 Evaluate the following integrals. a. 2 b. 1 ∫ ������(������) ������������ ∫ 3������(������) ������������ 2 6 c. 6 d. 6 ∫(������(������) + ������(������)) ������������ ∫(������(������) + ������2) ������������ 1 2 111
Tutorial 4.4 a. Past Semester Question: March 2017 Q4(b) Given 40 ∫ ������(������) ������������ = 18 and ∫ ������(������) ������������ = 6 −2 −2 Evaluate 4 ∫(������(������) + ������2) ������������ 0 112
b. Past Semester Question: January 2018 Q4(b) Given 22 ∫ ������(������) ������������ = 5 and ∫ ������(������) ������������ = −2 −1 0 Evaluate 20 ������(������) ∫ (������ + 3 ) ������������ + ∫ ������(������) ������������ 0 −1 113
c. Past Semester Question: June 2018 Q4(b) Given 04 ∫ ������(������) ������������ = 4 and ∫ ������(������) ������������ = 2 −2 3 Find ������ if 0 34 ������(������) 2 ∫ ������������(������) ������������ + ∫ ������������2 ������������ + ∫ ������������ = 12 −2 1 3 114
4.5 Second Fundamental Theorem of Calculus Given ������(������) then ������(������) = ∫ ������(������) ������������, ������ ������′(������) = ������[������(������)] ∙ ������′(������) Example 5.9 Past Semester Question: December Q4(c) Given 2������2 ������(������) = ∫ (1 − 3������2) ������������ 0 Use the Second Fundamental Theorem of Calculus to find a. ������′(������) b. ������′(1) 115
Tutorial 4.5 a. Past Semester Question: March 2017 Q4(c) √������ Use the Second Fundamental Theorem of ������(������) = ∫ ������ ∙ ln(������2) ������������ Calculus to find ������′(������) and ������′(1). 0 b. Past Semester Question: January 2018 Q4(c) 2������+1 ������2 − 1 ������������ Use the Second Fundamental Theorem of Calculus to find ������′(������) and ������′(1). ������(������) = ∫ 5 + √3������ 0 c. Past Semester Question: June 2018 Q4(c) ������−1 Use the Second Fundamental Theorem of Calculus to find ������′(������) and ������′(3). ������(������) = ∫ (������ + 5������3) ������������ 0 116
Chapter 5 Applications of The Definite Integral 5.1 Area between Two Curves 1. For the area that is bounded by lines above and below along an interval (������, ������) on the ������ −axis, the integral is constructed in terms of ������. ������ Area ������ ������ Area ������ ������ ������ 2. For the area that is bounded by lines on the right and left along an interval (������, ������) on the ������ −axis, the integral is constructed in terms of ������. ������ Area ������ ������ ������ 117
Example 5.1 Find the area of the shaded region. a. ������ 4 ������ = 4 − ������2 0 2 ������ b. ������ ������ = 1 ������2 ������ = ������ 2 ������ c. ������ ������ = ������ (4, 4) ������ = 5������ − ������2 ������ 118
Tutorial 5.1 Calculate the area of the shaded region. a. Past Semester Question: March 2016 Q5(a) ������ ������ = ������2 + 2������ + 3 ������ ������ = ������2 − 4������ + 3 b. Past Semester Question: October 2016 Q5(a) ������ ������ = 4 − ������2 ������ = −2������ + 4 ������ 119
Calculate the area of the shaded region. c. Past Semester Question: January 2018 Q5(a) ������ ������ = ������ − 2 ������ ������ = ������2 − 4������ + 2 d. Past Semester Question: June 2018 Q5(a) ������ ������ + ������ = 4 ������ = ������2 + 2 ������ 120
5.2 Volume of Solid by Revolution 5.2.1 Volume by Disk Method 1. The volume of solid that is obtained by rotating the shaded region along the interval (������, ������) about the ������ −axis (������ = 0) or horizontal line ������ = ������. ������ ������ ������ ������ ������ ������������������������������ = ∫ ������ ∙ [������(������)]2 ������������ ������ Radius, ������(������) = distance between ������(������) and the line of rotation 2. The volume of solid that is obtained by rotating the shaded region along the interval (������, ������) about the ������ −axis (������ = 0) or vertical line ������ = ������. ������ ������ ������ ������������������������������ = ∫ ������ ∙ [������(������)]2 ������������ ������ Radius, ������(������) = distance between ������(������) and the line of rotation 121
Example 5.2 Find the volume of the solid obtained by revolving the shaded region about the line indicated in the figure. a. ������ 4 ������ = 4 − ������2 0 2 ������ b. ������ ������ = (������ − 1)2 + 1 4 ������ c. ������ ������ = 3 ������ = ������2 − 4������ + 3 ������ 122
Tutorial 5.2 Find the volume of the solid obtained by revolving the shaded region about the line indicated in the figure. a. ������ ������ = 2 ������ = ������3 + 1 ������ b. ������ ������ = ������2 − 3������ + 4 1 ������ 3 ������ = −1 c. ������ ������ = √������ − 1 2 ������ 123
5.2.2 Volume by Washer Method 1. The volume of solid that is obtained by rotating the shaded region bounded by two curves (above and below) along the intervals (������, ������) about the ������ −axis (������ = 0) or horizontal line ������ = ������. ������ ������ = ������ ������ ������ ������������������������ℎ������������ = ∫ ������ ∙ [(������(������))2 − (������(������))2] ������������ ������ Outer radius, ������(������) = distance between outer function and the line of rotation Inner radius, ������(������) = distance between inner function and the line of rotation 2. The volume of solid that is obtained by rotating the shaded region bounded by two curves (right and left) along the interval (������, ������) about the ������ −axis (������ = 0) or vertical line ������ = ������. ������ ������ = ������ ������ ������ ������������������������ℎ������������ = ∫ ������ ∙ [(������(������))2 − (������(������))2] ������������ ������ Outer radius, ������(������) = distance between outer function and the line of rotation Inner radius, ������(������) = distance between inner function and the line of rotation 124
Example 5.3 Use the Washer method to find the volume of solid obtained by rotating the shaded region about the line stated below. ������ ������ = ������ ������ = 1 ������2 2 ������ a. Line of rotation: ������ −axis b. Line of rotation: ������ −axis 125
Tutorial 5.3 Calculate the volume of the solid obtained by revolving the shaded region about the line stated below. ������ ������ = ������ (4, 4) ������ = 5������ − ������2 ������ a. ������ −axis b. ������ = −1 126
5.2.3 Volume by Cylindrical Shell Method 1. The volume of solid that is obtained by rotating the shaded region bounded by two curves (above and below) along the intervals (������, ������) about the ������ −axis (������ = 0) or line ������ = ������. ������ ������ = ������ ������ ������ ������������ℎ������������������ = ∫ 2������ ∙ (������ℎ������������������ ������������������������������������) ∙ (������ℎ������������������ ℎ������������������ℎ������) ������������ ������ ������ℎ������������������ ������������������������������������ = distance from vertical strip ������ to the line of rotation (parallel to ������ −axis) ������ℎ������������������ ℎ������������������ℎ������ = 2. The volume of solid that is obtained by rotating the shaded region bounded by two curves (right and left) along the interval (������, ������) about the ������ −axis (������ = 0) or line ������ = ������. ������ ������ = ������ ������ ������ ������������ℎ������������������ = ∫ 2������ ∙ (������ℎ������������������ ������������������������������������) ∙ (������ℎ������������������ ℎ������������������ℎ������) ������������ ������ ������ℎ������������������ ������������������������������������ = distance between horizontal strip ������ to the line of rotation (parallel to ������ −axis) ������ℎ������������������ ℎ������������������ℎ������ = 127
Example 5.4 Using Shell method, find the volume of the solid obtain by revolving the shaded region about the line stated below. ������ ������ = 4 − ������2 ������ = −2������ + 4 ������ a. Line of rotation: ������ −axis b. Line of rotation: ������ = 3 128
Tutorial 5.4 Use the Shell method to calculate the volume of solid obtained by revolving the shaded region about the line stated below. ������ ������ = ������ − 2 ������ ������ = ������2 − 4������ + 2 a. ������ = 3 b. ������ = −4 129
130
REFERENCES Nazirah Ramli, Salimah Ahmad & Amirah Hana Mohamed Nor 2016, Introduction to Calculus for Science and Engineering Students, Venton Publisher James Stewart & David Busch 2015, Calculus, 8 Ed., Brooks/Cole Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis 2012, Calculus, 10Ed., John Wiley & Sons George B. Thomas, Jr., Maurice D. Weir, Joel Hass 2013, Thomas' Calculus, 10 Ed., Pearson Karl J. Smith, Monty J. Strauss, Magdalena Daniele Toda, Calculus, 6 Ed., Kendall Hunt Publishing Robert Alexander Adams & Christopher Essex 2013, Calculus, 5 Ed., Prentice Hall Varberg Purcell Rigdon 2014, Calculus, 9 Ed., Pearson Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce Edwards 2013, Essential Calculus: Early Transcendental Functions, Cengage Learning
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140